Simulado gb 2 FISICA MECANICA A - VILARBO

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS NOTA
CIEˆNCIA EXATAS E TECNOLO´GICAS - FI´SICA
F´ısica Mecaˆnica A - Turma 53/63 - SIMULADO - 2a Verificac¸a˜o - Grau B
Data: Prof. Vilarbo da Silva Ju´nior
Aluno: .
Observac¸o˜es:
1) Este simulado tem por objetiva apenas orienta´-los quanto ao estilo e forma de dis-
tribuic¸a˜o dos conteu´dos na quarta avaliac¸a˜o da disciplina. Toda e qualquer similaridade com
o teste oficial sera´ uma mera coincideˆncia.
2) O mesmo na˜o tera´ valor algum no que se refere as avaliac¸o˜es da disciplina.
3) Na˜o sera´ disponibilizado soluc¸a˜o, gabarito ou qualquer coisa do geˆnero, entretando fico
as ordens quanto a du´vidas pontuais destas questo˜es.
4) A forma mais segura de aprendizado e, consequentemente, bom desempenho na
disciplina e´ realizar o maior nu´mero poss´ıvel de exerc´ıcios nas listas disponibilizadas no
“plano de ensino” bem como a leitura dos livros indicados.
(1) Um bloco de massa m1 que se encontra sobre uma superf´ıcie horizontal esta´ conectado
a outro bloco de massa m2 via uma corda ideal sendo que esta passa por uma roldana de
massa e atrito desprez´ıveis (figura abaixo). Uma forc¸a de intensidade F , formando um aˆngulo
θ com a horizontal, e´ aplicada ao bloco de massa m1. O coeficiente de atrito cine´tico entre a
superf´ıcie horizontal e o bloco e´ µc. Admitindo que o sistema acelere no sentido indicado na
figura.
(a) Apresente os diagramas de forc¸as para cada bloco, bem como as equac¸o˜es dinaˆmicas
provenientes da aplicac¸a˜o da Lei de Newton.
(b) Com base no item (a) mostre que a acelerec¸a˜o adquirida pelo conjunto e´ dada por
a =
F (cos (θ) + µc sin (θ))− g(m2 + µcm1)
m1 +m2
.
(c) Se todas quantidades f´ısicas envolvidas neste problema estiverem no (SI), comprove
que a acelerac¸a˜o do item (b) esta´ dada, de fato, em m/s2, i.e. [a] = m/s2.
(d) Se o sistema parte do repouso, conclua que apo´s o mesmo percorrer uma distaˆncia L,
sua velocidade e´
v =
√√√√2(F (cos (θ) + µc sin (θ))− g(m2 + µcm1)
m1 +m2
)
L.
(e) Por fim, mostre os seguintes limites
lim
θ→0
v =
√√√√2(F − g(m2 + µcm1)
m1 +m2
)
L;
lim
µc→0
v =
√√√√2(F cos (θ)−m2g
m1 +m2
)
L.
Interprete fisicamente estes limites.
[Dica:
∑−→
F = m−→a :. p = mg:. fac = µcN :. v2 = v2o + 2a∆x.].
(2) A forc¸a que age sobre uma part´ıcula aponta ao longo do eixo x e e´ dada por.
F (x) =
{
Fo x/xo, se 0 ≤ x < xo
Fo, se xo ≤ x ≤ 4xo ,
onde xo e Fo sa˜o constantes.
a) Esboce o gra´fico desta forc¸a (no plano F × x) no intervalo 0 ≤ x ≤ 4xo.
b) Mostre que o trabalho W realizado por esta forc¸a no intervalo referido no item (a) e´
dado por: W = 7Foxo/2.
c) Se F0 = 1N e x0 = 1m, e que esta forc¸a realiza tal trabalho em 4s determine a poteˆncia
media.
[Dica: W = Area(=
∫
F (x)dx):. Note que deves considerar a´rea no gra´fico F × x com o
sinal. P = W/∆t]
(3) Na figura abaixo uma menina de massa m pode deslizar, sem atrito, no escorregador.
Ele parte do repouso no ponto mais alto do escorregador, a uma altura h acima do ponto
mais baixo. Ao final do escorregador ela inicia um movimento de proje´teis sob aˆngulo θ com
a horizontal.
a) Utilizando o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia, mostre que a velocidade da menina
ao chegar no final do escorregador e´ dada por:
v = 2
√
2gh
5
.
b) Utilizando um sistema de coordenadas no qual a menina se encontra na posic¸a˜o (0, h/5)
(na posic¸a˜o apresentada na figura acima), conclua que as equac¸o˜es parame´tricas x(t), y(t) e
vy(t), que descrevem a cineme´tica de seu movimento de proje´til, sa˜o dadas por:
x(t) = 2
√
2gh
5
cos (θ)t
y(t) = h
5
+ 2
√
2gh
5
sin (θ)t− gt2
2
vy(t) = 2
√
2gh
5
sin (θ)− gt.
,
c) Mostre que, a altura ma´xima y0 (conforme a figura acima) vale:
y0 =
h
5
+
4h
5
sin (θ).
d) Baseado no item (c) prove os seguinte limites:
lim
θ→0
y0 =
h
5
, lim
θ→pi/2
y0 = h.
Interprete estes limites no contexto deste problema.
e) Por fim, se todas contidades f´ısica envolvidas neste problemas estiverem no SI, mostre
que a velocidade v do item (a) esta´ dada em m/s, i.e., [v] = m/s.
[Dica: Ei = Ef :. E = K +
∑
U :. K = mv
2
2
:. U(y) = mgy:. x(t) = xo + vo cos (θ)t:.
y(t) = y0 + vo sin (θ)t− gt22 :. vy(t) = vo sin (θ)− gt.]
(4) Referenciando a figura abaixo, suponha que a forc¸a da mola na˜o seja dada pela Lei de
Hooke, e sim por fe = −(kx+ �x3), onde � e´ pequeno mas pode ser positivo ou negativo. A
mola e´ chamada de ”dura” se � > 0 e de ”mole” se � < 0. Assim, a energia potencial ela´stica
assume a forma
U(x) =
kx2
2
+
�x4
4
.
(a) Partindo de U(x), comprove que a forc¸a ela´stica (varia´vel) induzida por U(x) e´ dada,
de fato, por
fe(x) = −(kx+ �x3).
(b) Com base no item (a), deduza as unidades de medida (no SI) de k e �.
(c) Conclua que, se � > 0, o u´nico ponto de equil´ıbrio e´
x1 = 0.
Adicionalmente conclua que, se � < 0, os pontos de equil´ıbrio sa˜o
x1 = 0, x2,3 = ±
√
−k
�
.
(d) Verifique que os valores da energia potencial ela´stica deste problema U(x), nos pontos
de equil´ıbrio valem:
Para � > 0
U(x1) = 0,
e que para � < 0 temos
U(x1) = 0, U(x2) = U(x3) = − k
2
4 �
> 0.
(por que a expressa˜o acima e´ positiva?)
(e) Baseado nos itens anteriores conclua que os pontos de equil´ıbrio do tipo x1 devem
ser de equilibrio esta´vel, enquanto os pontos de equil´ıbrio x2 e x3 sa˜o de equil´ıbrio insta´vel
(Justifique).
(f) Para k = 1N/m, realize o que e´ pedido:
Construa o gra´fico (no mesmo plano) U(x)× x, com x ∈ [−4.5, 4.5] para:
(f1) � = 0.1 e para (f2) � = −0.1.
Comente as denominac¸o˜es ”dura” e ”mole” comparando os gra´ficos. Ale´m disso, confirme
os resutados obtidos anteriormente no que diz respeito a natureza da estabilide dos pontos
de equil´ıbrio.
(g) Com base nos gra´ficos dos itens (f1) e (f2), utilize a analogia gravitacional de uma
”bolinha” solta no ”relevo” formado por este potencial para discutir/compreender o movi-
mento oscilato´rio deste sistema Massa-Mola (para cada um dos casos � > 0 e � < 0).
(h) (h1) Escreva e Energia Mecaˆnica deste sistema Massa-Mola para k e � quaisquer.
(h2) Se m = 1kg, k = 1N/m e inicialmente o sistema tem seu estado caracterizado por
v = 0m/s e x = 4m, quanto vale sua energia mecaˆnica para � = 0.1 e quanto vale a energia
mecaˆncia para � = −0.1?
(i) Supondo o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia, bem como as condic¸o˜es do item (h),
mostre que v e x (para qualquer instante) esta˜o relacionados, para � = 0.1 e � = −0.1,
respectivamente pelas expresso˜es:
2x2 + 0.1x4 + 2v2 = 57.6, 2x2 − 0.1x4 + 2v2 = 6.4.
(j) Utilize um recurso computacional para gerar os gra´ficos de cada uma das coˆnicas (plano
de fases) obtidas no item (i), ou seja, v×x. Voceˆ consegue visualizar o movimento oscilato´rio
deste sistema mecaˆnico e a consequente conservac¸a˜o da energia mecaˆnica? (Justifique)
[Dica: F (x) = −dU(x)
dx
:. Ei = Ef :. E = K +
∑
U :. K = mv
2
2
.]
“A cieˆncia e´ a aproximac¸a˜o progressiva do homem com o mundo real” Max Planck.