Estudo dirigido 2011L3

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II
CA´LCULO 3 —– SEGUNDO SEMESTRE DE 2011
Estudo dirigido 3: Teorema de Green
1. Seja C a curva obtida pela unia˜o dos gra´ficos y = senx e y = 2 senx para 0 ≤ x ≤ pi;
orientamos C no sentido anti-hora´rio. Calcule a integral abaixo de duas formas: (i) pela
definic¸a˜o; (ii) pelo teorema de Green.
ˆ
C
(1 + y2) dx+ y dy
2. Sejam F o campo vetorial no plano definido por
F(x, y) = (2xy + y2 − y + 2, x2 + 2xy + x+ yey3)
e C o arco da elipse 4x2 + 9y2 = 36 no semiplano y ≥ 0. Calcule a integral de F ao longo
de C desde o ponto A(3, 0) ate´ o ponto B(−3, 0).
Sugesta˜o: Considere a curva γ obtida unindo C ao segmento de reta BA e aplique o teo-
rema de Green a` curva fechada γ; reflita agora sobre como proceder para obter a integral
sobre a curva C acima e conclua o ca´lculo.
3. Quais das regio˜es a seguir sa˜o simplesmente conexas? Justifique. (i) R2 − {(1, 1)};
(ii) R2 − l, onde l e´ o semi-eixo {(x, 0) : x ≤ 0}; (iii) R2 − S, onde S e´ o segmento
{(x, 0) : 1 ≤ x ≤ 2}.
4. Calcule a a´rea da regia˜o interior a` curva r(t) = (cos t, sen3t) (0 ≤ t ≤ 2pi).
5. Sejam C1 e C2 os c´ırculos x
2 +y2 = 9 e x2 +y2 = 1, orientados no sentido anti-hora´rio.
Se F(x, y) = (x2 +
x
x2 + y2
, x3 + y3), calcule
´
C1
F · dr− ´
C2
F · dr de duas formas:
(i) usando o teorema de Green; (ii) calculando diretamente as duas integrais.
E´ poss´ıvel usar o teorema de Green para calcular cada integral separadamente? Por queˆ?
6. Seja F o campo vetorial em R2 − {(0, 0)} dado por F(x, y) = (−y, x)
x2 + y2
.
(a) Se C e´ o c´ırculo x2 + y2 = R2 percorrido no sentido anti-hora´rio, calcule
´
C
F · dr.
(b) Justifique: Se γ e´ uma curva simples fechada (orientada no sentido anti-hora´rio) que
circunda a origem (isto e´, (0, 0) ∈ int(γ)), enta˜o ´
γ
F · dr = 2pi. Qual e´ o valor desta
integral se (0, 0) e´ exterior a` curva?
(c) (Aplicac¸a˜o de Ca´lculo 3 a Ca´lculo 1) Use o resultado acima no caso em que γ e´ a
elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 para concluir que
ˆ 2pi
0
1
a2 cos2 t+ b2 sen2 t
dt =
2pi
ab
.