Prova 3 - Cálculo Diferencial e Integral III

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As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utilizando o Teorema de Fubini.   
Sabendo disso, determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retângulo :
A
895
B
922
C
50
D
952
2Uma partícula percorre um caminho retangular definido pelos pontos x = 0, x = 2, y = 1 e y = 2 sobre o plano z = x + y com orientação anti-horária. Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
A
0.
B
- 8.
C
- 4.
D
8.
3O comprimento do arco da curva
A
Somente a opção IV é correta.
B
Somente a opção III é correta.
C
Somente a opção I é correta.
D
Somente a opção II é correta.
4Usando o Teorema de Green, podemos determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F sobre uma partícula que se move ao longo do caminho específico. Se a partícula começa no ponto (2, 0) e percorre o círculo de raio igual a 2, então o trabalho realizado pelo campo de forças
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
5
Há uma relação para escrever uma integral dupla em coordenadas polares. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta essa relação (transformação) para cada x e y, utilizando-se novas vaiáveis de coordenadas polares:
A
x = r cos (θ); y = r sen (θ)
B
x = r sen (θ); y = t cos (θ)
C
x = r sen (θ); y = r cos (θ)
D
x = t sen (θ); y = t cos (θ)
6Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3 contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função
A
6.
B
9.
C
0.
D
3.
7
Na análise matemática, o Teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas. 
 
Utilizando-o, calcule a integral dupla a seguir sabendo que R é uma região que consiste em todos os pontos (x,y) para os quais -1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3:
A
21.
B
23.
C
24.
D
22.
8Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula, porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente. Determine a reta tangente da função vetorial:
A
A reta tangente é 2 + 5t.
B
A reta tangente é 5 + 2t.
C
A reta tangente é (-1 + 3t, 1 + 2t).
D
A reta tangente é (3 - t, 2 + t).
9São três os principais Teoremas que relacionam as integrais de linha com integrais duplas, triplas ou integrais de superfícies. Esses três teoremas recebem o nome de grandes matemáticos que iniciaram o estudo. Sobre esses teoremas e suas respectivas igualdades, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Teorema de Green.
II- Teorema de Gauss.
III- Teorema de Stokes.
A
III - I - II.
B
II - III - I.
C
II - I - III.
D
I - II - III.
10Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através da região limitada pelos planos x = 1, x = 3, y = - 1, y = 1, z = 0 e z = 1 do campo vetorial a
A
0.
B
24.
C
6.
D
12.
11(ENADE, 2011)
A
III, apenas.
B
I e III, apenas.
C
II, apenas.
D
I e II, apenas.
12(ENADE, 2011) Em um plano de coordenadas cartesianas xOy, representa-se uma praça de área P, que possui em seu interior um lago de área L, limitado por uma curva C fechada, suave, orientada no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o lago, atua um campo de forças F(x,y)=(-y, x). Supondo que T representa o trabalho realizado por F(x,y) para mover uma partícula uma vez ao longo da curva C e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a área não ocupada pelo lago é igual a T/2, conclui-se que:
A
P=T
B
T=L
C
P=2T
D
T=4L