Avaliação Final (Discursiva) - Individual Cálculo Diferencial e Integral III (MAD105

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24/05/23, 05:36 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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Peso da Avaliação 4,00
Prova 63706532
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem 
ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
Minha resposta
*Teorema de Green – esse teorema faz uma conexão entre integrais duplas e integrais de linha de
um campo vetorial, ou seja, relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com a
integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Em outras palavras, substitui-se uma
integral de linha por um integral dupla da diferença das derivadas parciais da função vetorial
dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos usar o Teorema de Green para o cálculo de
área, para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas dimensões sobre uma
partícula. Também usamos nos casos em que a integral de linha original é difícil de ser resolvida
e a saída mais fácil é através de uma integração dupla. *Teorema de Stokes - O teorema de
Stokes é uma versão 3D do teorema de Green, onde faz associação entre uma integral de
superfície com uma integral em torno da curva dada pela fronteira da superfície de integração.
Com o teorema de Stokes, assim como o teorema de Green, podemos calcular o trabalho
realizado por um campo de forças sobre uma partícula, porém em três dimensões. *Teorema de
Gauss- Também chamado de Teorema da divergência, faz relação entre uma intregal tripla sobre
um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla do campo vetorial é
utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três dimensões, por exemplo,
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este teorema é uma forma poderosa de cálculo para modelos físicos tais como o fluxo de fluidos,
fluxos de campos elétricos ou magnéticos, calor, entre outros.
teorema_de_green.docx
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demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Confira no quadro "Resposta
esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma 
dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.
Com relação a isso, deduza a fórmula de um prisma triangular utilizando integrais triplas. Justifique 
cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
Resposta esperada
Sabemos que o volume de um sólido é dado pela integral tripla da função f (x, y, z) = 1.
Precisamos agora determinar os limites de integração. O limite para a integração em z é de 0 até
c.
Já para x e y temos que decidir se usaremos a
integral do tipo 1 ou tipo 2. Nesse caso, determinar os limites do tipo 2 é mais simples, assim -
b/2 ≤ y ≤ b/2 e para x temos que encontrar as equações das retas que definem o triângulo:
Note que a reta que liga os pontos (0, b/2) e (a, 0) é:
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Note também que metade do triângulo está abaixo do eixo x e metade está acima, assim se
tratando de volume é preciso trocar a integral dupla por duas vezes a integral em relação a y de 0
à b/2 e a integral em relação a x de 0 à . Portanto, o volume é: 
Minha resposta
Desenvolvimento e resposta no arquivo em anexo.
discursiva_integral_3.docx
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