Apostila_Eletricidade_E_Civil-Maio-2015

Prévia do material em texto

Universidade Estadual Paulista 
Campus de Ilha Solteira 
Departamento de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
Curso de Graduação em Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilha Solteira-SP, Maio-2015. 
eelleettrriicciiddaaddee 
 
aa a
pp p
oo o
ss s
tt t ii i
ll l aa a
 
Carlos Roberto Minussi 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 1
1. CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA EM REGIME 
PERMANENTE 
 
1.1. Rudimentos 
 
Os regimes operacionais de circuitos encontram-se ilustrados na Figura 1.1.1. 
Os principais regimes são: (1) permanente, (2) transitório e (3) regime subtransitório. 
 
Figura 1.1.1. Regimes elétricos. 
 
 Regime Permanente : Equações algébricas (que são casos particulares das equações 
diferenciais). 
 Regime Transitório : Equações diferenciais (para modelagem contínua) ou de 
diferenças (para modelagem discreta) e equações algébricas. 
 Regime Subtransitório: Equações diferenciais (para modelagem contínua) ou de 
diferenças (para modelagem discreta) e equações algébricas, 
porém o intervalo de tempo sob análise refere-se à parte inicial 
do transitório, como indicado na Figura 1.1.1. 
 
NB (Nota Bene  Observação): 
Nesta disciplina (Eletricidade) o regime considerado é somente o Regime Permanente. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 2
 Os componentes a serem usados na disciplina “Circuitos Elétricos” encontram-
se relacionados na Tabela 1.1.1. 
Tabela 1.1.1. – Componentes e simbologia usados nos circuitos elétricos. 
Componente Símbolo Unidade Observação 
1. Resistor ohm -   
2. Resistor variável 
 
ohm -   
3. Indutor henry - L  
4. Capacitor farad - C  
5. Menristor 
 
ohm -  Resistor com memória. É considerado o 
quarto elemento passivo de circuitos 
elétricos / eletrônicos. Função não-linear 
entre a tensão e corrente. É uma junção 
entre a capacidade resistiva (do resistor) 
e a memorização (das memórias). Os 
memristores são nanofios com 50 
nanômetros de largura, o que 
compreende cerca de 150 átomos. A 
ilustração abaixo contém 17 
memristores. 
 
6. Fonte de tensão independente 
 
ampère - A Tensão terminal completamente 
independente da corrente que passa pela 
fonte 
7. Fonte de tensão dependente 
 
volt - V Tensão terminal é dependente da 
corrente que passa pela fonte (tensão 
controlada) 
8. Fonte de corrente independente 
 
volt - V Corrente fornecida pela fonte é 
completamente independente da tensão 
do terminal 
9. Fonte de corrente dependente 
 
ampère - A Corrente fornecida pela fonte é 
dependente da tensão do terminal 
(corrente controlada) 
10. Fonte de tensão contínua 
 
volt - V Bateria 
11. Transformador 
 
  
12. Chave / interruptor 
 
  
13. Diodo 
 
  
14. Transistor 
 
  
15. Corrente alternada 
 
  
16. Aterramento 
 
  
17. Amplificador operacional 
 
  
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 3
Tabela 1.1.2. Sistema decimal usado nos circuitos elétricos. 
Designação Simbologia Valor 
atto a 10 18 
femto f 10 15 
pico p 10 12 
nano N 10 9 
micro  10 6 
mili m 10 3 
centi c 10 2 
deci d 10 1 
deca da 10 1 
hepto h 10 2 
quilo k 10 3 
mega M 10 6 
giga G 10 9 
tera T 10 12 
 
Tabela 1.1.3. Identificação de resistores. 
1a. Faixa 
(1o Dígito) 
2a. Faixa 
(2o Dígito) 
3a. Faixa 
(Multiplicador) 
4a. Faixa 
Tolerância 
 Preto = 0 x 1 
Marrom = 1 Marrom = 1 x 10 
Vermelho = 2 Vermelho = 2 x 100 
Laranja = 3 Laranja = 3 x 1.000 
Amarelo = 4 Amarelo = 4 x 10.000 Prata: 10% 
Verde = 5 Verde = 5 x 100.000 
Azul = 6 Azul = 6 x 1000.000 Ouro: 5% 
Violeta = 7 Violeta = 7 Ouro: x 0,1 
Cinza = 8 Cinza = 8 Prata: x 0,01 Nenhuma Faixa: 20% 
Branco = 9 Branco = 9 
NB: 
 1. A primeira faixa nunca deverá ser de cor preta, i.e., correspondente ao dígito “0”; 
 2. O resistor poderá conter, também, a 5a faixa, indicando o fator de segurança 
(percentual de falhas por 1.000 horas de uso): Marrom  1%; Vermelho  0,1%; 
Laranja  0,01%; Amarelo  0,001%; 
 3. Os valores de resistência disponíveis no mercado são padronizados. Portanto, 
valores fracionários nem sempre se encontram disponíveis, sendo necessária a 
aproximação ao valor mais próximo. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 4
Exemplo 1: 
 
Figura 1.1.2. Resistor elétrico de 10 k. 
 
1a. Faixa = Marrom : 1 
2a. Faixa = Preto : 0 Total = 10 x 1.000 = 10 k, 5% de tolerância (erro) 
3a. Faixa = Laranja : x 1.000 
 
 
Exemplo 2: 
 
Figura 1.1.3. Resistor elétrico de 4,7 k. 
 
1a. Faixa = Amarelo : 4 
2a. Faixa = Violeta : 7 Total = 47 x 100 = 4,7 k, 5% de tolerância 
3a. Faixa = Vermelho : x 100 
 
Exemplo 3: 
a) 1a faixa: Cinza; 2a faixa: Vermelho; 3a faixa: Preto; 4a faixa: Ouro; 5a faixa: Marrom 
 8 2 0 + 5% 1% 
 82 x 1 = 82  + 5% (1% de fator de segurança); 
 
b) 1a. faixa: Laranja; 2a faixa: Branco; 3a faixa: Ouro; 4a. faixa: Prata; 5a faixa: Nenhuma cor 
 3 9 0,1 +10%  
 39 x 0,1 = 3,9  + 10% (sem indicação do fator de segurança). 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 5
 
 
1.2. Bipolo 
 
 Um bipolo elétrico é, por definição, um dispositivo elétrico com dois terminais 
acessíveis, por meio do qual circula uma corrente elétrica. Toda a iteração elétrica do 
bipolo com o exterior se faz, somente, através destes dois terminais. Em qualquer instante, 
a corrente que entra por um dos terminais é igual a corrente que sai pelo outro terminal. O 
bipolo elétrico é representado, genericamente, pelo símbolo mostrado na Figura 1.2.1. 
 
 
Figura 1.2.1. Símbolo de um bipolo elétrico. 
 
 Considerando-se um bipolo atravessado por uma corrente i(t). Durante um 
intervalo de tempo (dt) o bipolo é atravessado por uma carga elétrica: 
 
 dq(t) = i(t) dt (1.2.1) 
sendo: 
q : carga elétrica (coulomb) [Charles Augustin de Coulomb / francês]. 
 A passagem desta corrente transfere para o bipolo uma energia dw, 
relacionada à carga, por: 
 
 dw(t) = v(t) dq(t) (1.2.2) 
 
sendo: 
w : energia (joule) (James Prescott Joule / inglês) 
v : tensão elétrica entre os terminais do bipolo (volt) [Conde Alessandro Volta / 
italiano]. 
 A grandeza v(t), entre os terminais do bipolo, pode ser expressa por: 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 6
 
 v(t) = 
dt
)t(dw
 (1.2.3) 
 
 
1.3. Leis de Ohm 
 
 Considere a seguinte relação: 
 
 Efeito = 
oposição
causa (1.3.1) 
 
 Qualquer processo de conversão de energia pode ser relacionado com esta 
equação. Em circuitos elétricos, o “efeito” que se deseja estabelecer é o “fluxo de carga 
elétrica” ou “corrente elétrica”. A diferença de potencial (ou tensão elétrica), entre dois 
pontos, é a “causa”, e a “oposição” à corrente corresponde a “resistência”. Assim sendo, 
adaptando-se a equação (1.3.1) ao problema de circuitos elétricos, resulta em: 
 
 corrente = 
aresistênci
potencialdediferença
 (1.3.2) 
 
sendo: 
no sistema SI (Sistema Internacional de medidas): 
 
corrente : ampère [André Marie Ampère/ francês] 
tensão : volt 
resistência : ohm [Georg Simon Ohm/ alemão]. 
 
 A equação (1.3.2) é conhecida como lei de Ohm. Esta expressão mostra que, 
para uma resistência fixa, quanto maior for a tensão nos terminais de um resistor, maior 
será a corrente. Para uma tensão fixa, quanto maiorfor a resistência, menor será a corrente 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 7
elétrica. Portanto, a corrente é proporcional à tensão aplicada e inversamente proporcional 
à resistência. 
 
Exemplo: 
 Calcular a resistência do filamento de uma lâmpada elétrica (tipo 
incandescente) de 60W se uma corrente de 500 mA for estabelecida em função da 
aplicação de tensão de 120 V (Figura 1.3.1.): 
 
 
Figura 1.3.1. Bateria alimentando uma lâmpada elétrica. 
 
Solução: 
R = 
I
V 
 = 
A10x500
V120
3 
 = 240 . 
 
 Porém, se a tensão abaixar para 100 V, a corrente será: 
I = 240
V100
 
 = 0,417 A 
 A potência consumida pela lâmpada será: 
Potência = R I2 
 = 240  (0,417 A)2 
 = 41,73 W. 
 
 
(Carga Resistiva) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 8
1.3.1. Gráfico da Lei de Ohm 
 
 Trata-se da representação gráfica da corrente, em função da tensão, cuja 
evolução mantém-se linear, conforme é mostrado na Figura 1.3.1.1. 
 
 
Figura 1.3.1.1. Curva característica de um resistor. 
 
 Se escrevermos a lei de Ohm, em termos da corrente: 
 I = 
R
1 V + 0. (1.3.1.1) 
 
 Pode-se notar que a expressão (1.3.1.1) é uma equação da reta com 
deslocamento nulo e inclinação (1/R). Assim, se “plotarmos” a corrente em função da 
tensão usando um dispositivo qualquer, se o gráfico não for linear, conclui-se que a carga 
é não-resistiva. Por exemplo, supondo-se o gráfico mostrado na Figura 1.3.1.2, pode-se 
observar que a evolução não é linear. Esta é a curva característica de um diodo 
semicondutor. 
 
Figura 1.3.1.2. Curva característica de um diodo semicondutor. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 9
Para V = +1 V: 
R diodo = 
I
V = 
mA50
V1
 
 = 20  
Para V = 1 V: 
R diodo = 
I
V = 
Aμ1
V1
 
 = 1 M . 
 
 
1.4. Leis de Kirchhoff 
 
 As leis de Kirchhoff (Gustav Robert Kirchhoff / alemão) compreendem duas 
importantes propriedades de circuitos elétricos: 
(1) Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC); e 
(2) Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT). 
 
1.4.1. Lei de Kirchhoff das Correntes 
 
 A lei de Kirchhoff das correntes possui três versões. Em qualquer instante em 
um circuito elétrico: 
1. a soma algébrica das correntes que chegam em uma superfície fechada é zero; 
2. a soma algébrica das correntes que saem de uma superfície fechada é zero; 
3. a soma algébrica das correntes que chegam em uma superfície fechada é igual a soma 
algébrica das correntes que saem de uma superfície fechada. 
 
 O vocábulo “algébrica” significa que os sinais das correntes devem ser 
considerados na soma. Deve-se lembrar que uma corrente que entra é uma corrente 
negativa que sai e que uma corrente que sai é uma corrente negativa que entra. Ressalta-
se, ainda, que as correntes são arbitradas como sendo positivas que saem e negativas que 
entram na superfície fechada (vide Figura 1.4.1.1). Nas aplicações de circuitos elétricos, as 
superfícies fechadas são nós. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 10
 
Figura 1.4.1.1. Sinais das correntes. 
 
 
 
Figura 1.4.1.2. Lei de Kirchhoff das correntes de nó. 
 
NB. Na aplicação da LKC, um nó é escolhido como referência, ou terra (aterramento). 
 
 Considerando-se o nó 1, a soma das correntes que saem do nó (I1 + I2 + I3) é 
igual a corrente Is da fonte de corrente (que chega no nó 1): 
 
 Is + I1 + I2 + I3 = 0 (1.4.1.1) 
ou: 
 Is = I1 + I2 + I3 (1.4.1.2) 
 = 
1R
1 V + 
2R
1 V + 
3R
1 V 
 = G1 V + G2 V + G3 V 
 = GT V 
sendo: 
GT = G1 + G2 + G3 
G1, G2, G3 : condutâncias, cuja unidade é siemens (S) [Werner von Siemens / alemão]. 
Símbolo: (mho); 
G1 = 1/R1 
G2 = 1/R2 
G3 = 1/R3. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 11
 
 Deste resultado, pode-se concluir que resistências em paralelo podem ser 
agregadas no seguinte equivalente: 
 
 GT = G1 + G2 + G3 (1.4.1.3) 
 
 RT  
TG
1 (1.4.1.4) 
 = 
3G2G1G
1
 
 = 
3R
1
2R
1
1R
1
1

 
 
TR
1 = 
3R
1
2R
1
1R
1  (1.4.1.5) 
 
 Ou, genericamente, para n resistores em paralelo: 
 
 
TR
1 = 
1R
1 + 
2R
1 + . . . + 
Rn
1 (1.4.1.6) 
 
 GT = G1 + G2 + . . . + Gn (1.4.1.7) 
 
 
1.4.2. Lei de Kirchhoff das Tensões 
 
 A lei de Kirchhoff das tensões possui três versões equivalentes. A qualquer 
instante em um laço, tanto no sentido horário quanto no sentido anti-horário: 
1. A soma algébrica das tensões é igual a zero; 
4. A soma algébrica das elevações de tensão é igual a zero; 
5. A soma algébrica das quedas de tensão é igual a soma algébrica das elevações de 
tensão. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 12
 Em todas as versões, a palavra “algébrica” significa que os sinais das quedas de 
tensão ou de elevações de tensão devem ser considerados na adição. Deve-se lembrar que 
uma elevação de tensão é uma queda negativa e uma queda de tensão é uma elevação 
negativa. Tomando-se como exemplo o circuito mostrado na Figura 1.4.2.1: 
 
 
 
Figura 1.4.2.1. Lei de Kirchhoff das tensões. 
 
 
Equação de tensão da Malha 1: 
 Vs – V1 – V2 – V3 = 0 (1.4.2.1) 
ou: 
 Vs = V1 + V2 + V3 (1.4.2.2) 
 = I R1 + I R2 + I R3 
 = I RT. 
 
sendo: 
RT : Resistência Total = R1 + R2 + R3 
Soma das quedas de tensão sobre os resistores = V1 + V2 + V3 
Elevação de tensão sobre a fonte de tensão = Vs. 
 
 A partir deste resultado, pode-se concluir que n resistores dispostos em série 
possuem um resistor equivalente: 
 
 RT = R1 + R2 + . . . + Rn (1.4.2.3). 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 13
 
1.5. Associação de Bipolos 
 
 O conceito de bipolo pode ser estendido para dispositivos com mais de 2 
terminais (multipolo). Dentre os multipolos há especial interesse no quadripolo, ou seja, 
com 4 terminais (vide Figura 1.2.2). 
 
 
Figura 1.2.2. Quadripolo. 
 
 Cada par de terminais de um quadripolo pode ser ligado a um bipolo, de modo 
que o quadripolo pode ser considerado como um dispositivo que interliga um par de 
bipolos (Figura 1.2.3). 
 
 
 
Figura 1.2.3. Quadripolo interligando 2 bipolos. 
 
 
 Assim sendo, os circuitos elétricos são concepções compostas por associações 
de bipolo / quadripolo. 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 14
 
1.6. Fontes de tensão e de Corrente Independentes e Dependentes 
 
 
1.6.1. Fonte de Tensão Independente 
 
 Trata-se de uma fonte que fornece uma tensão que não depende da corrente que 
circula através da fonte. 
 
 
 Exemplos: Bateria [Corrente Contínua (CC)] 
 Gerador de energia elétrica [Corrente Alternada (CA)]. 
 
1.6.2. Fonte de Tensão Dependente 
 Fonte que fornece uma tensão que é dependente da corrente que passa através da 
fonte. Também é chamada de fonte controlada. 
 
 
1.6.3. Fonte de Corrente Independente 
 Fonte que fornece corrente elétrica que é completamente independente da tensão do 
terminal, ou seja, fornece uma corrente preestabelecida não importante a tensão 
aplicada nos seus terminais. 
 
 
1.6.4. Fonte de Corrente Dependente 
 Fonte que fornece corrente elétrica que é dependenteda tensão do terminal (corrente 
controlada). 
 
Simbologia: Corrente Contínua 
 
 
 Corrente Alternada 
Simbologia: 
Simbologia: 
Simbologia: 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 15
 
1.6.5. Conversão de Fontes 
 
 A fonte de corrente descrita anteriormente é denominada fonte ideal por causa 
da ausência de resistência interna. Na realidade, todas as fontes (de tensão ou de corrente) 
possuem alguma resistência interna, como é mostrado nas Figuras 1.6.5.1 (a) (b). 
 
 
Figura 16.5.1. Fontes de tensão e de corrente reais. 
 A partir da Figura 1.6.5.1, a corrente na carga IL é dada por: 
 
 IL = 
LS RR
V
 (1.6.5.1) 
sendo: 
V : fonte de tensão; 
RS : resistência interna da fonte de tensão; 
IL : corrente da carga; 
RL : resistência da carga. 
 
 Multiplicando-se a equação (1.6.5.1) por fator igual a 1 (RS/RS), obtém-se: 
 
 IL = 
LS RR
V)1(
 
 = 
LS
SS
RR
V)R/R(
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 16
 = 
LS
SS
RR
)R/V(R
 
 = 
LS
S
RR
IR
 (1.6.5.2) 
sendo: 
I = 
SR
V . (1.6.5.3) 
 Deste modo, o modelo de fonte de tensão pode ser convertido no modelo de 
fonte de corrente e vice-versa. 
 
Exemplo 1. Converter a fonte de tensão de tensão mostrada na Figura 1.6.5.2 em fonte de 
corrente e, também, determinar a corrente através de uma carga de 4  para cada tipo de 
fonte. 
 
Figura 1.6.5.2. Representação por fonte de tensão. 
 
Solução: 
 
IL = 
LS RR
V
 
 =  42
V6 
 = 1 A. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 17
 
Figura 1.6.5.3. Representação por fonte de corrente. 
 Da Figura 1.6.5.3., a corrente da carga IL: 
IL = 

42
A3x2 
 = 1 A (OK!). 
 
Exemplo 2. Tomando-se o exemplo 1: (1) substituir a carga de 4  por uma de 1 k e 
calcular a corrente IL para a fonte; (2) repetir o cálculo do item (a), considerando-se uma 
fonte de tensão ideal (RS = 0 ) . 
 
Solução: 
1) IL = 
LS RR
V
 
 =  10002
V6 
  5,988 mA 
2) IL = 
LR
V 
 = 1000
V6 
 = 6 mA. 
 
Exemplo 3. Reduzir as fontes de corrente em paralelo (Figura 1.6.5.4) em uma única conte 
de corrente. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 18
 
Figura 1.6.5.4. Fontes de correntes paralelas. 
Solução: 
 As fontes de corrente são somadas: 
I = 6 A  10 A 
 =  4 A 
e as resistências em paralelo, portanto: 
 
R = 

63
6x3 
 = 2 . 
 
Figura 1.6.5.5. Circuito equivalente do circuito da Figura 1.6.5.4. 
 
Exemplo 4. Converte o modelo de fonte de corrente para o modelo de fonte de tensão do 
circuito mostrado na Figura 1.6.5.6. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 19
 
Figura 1.6.5.6. Circuito: fonte de corrente. 
 
 
Figura 1.6.5.7. Circuito: fonte de tensão equivalente. 
 
sendo: 
VS = 4 A x 3  
 = 12 V. 
 
 
1.7. Divisores de Tensão e de Corrente 
 
1.7.1. Divisor de Tensão 
 
 Divisor de tensão aplica-se para resistores em série. Esta lei fornece a tensão 
sobre qualquer resistor em função da resistência e da tensão sobre todos os resistores em 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 20
série. Tomando-se como exemplo a Figura 1.7.1.1. 
 
 
Figura 1.7.1.1. Circuito série. 
 
 Assim, a fórmula de divisores de tensão pode ser expressa por: 
 
 Vi = 
T
i
R
R Vs (5.3.1.1) 
sendo: 
RT = R1 + R2 + R3; 
Vi : tensão sobre o i-ésimo resistor; 
Ri : resistência do i-ésimo resistor. 
 
 
1.7.2. Divisor de Corrente 
 
 Divisor de corrente aplica-se para resistores em paralelo. Esta lei fornece a 
corrente através de qualquer resistor em função da condutância e da tensão na combinação 
paralela. Tomando-se como exemplo a Figura 1.7.2.1. 
 
 
Figura 1.7.2.1. Circuito paralelo. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 21
 Assim sendo, a fórmula de divisores de corrente pode ser expressa por: 
 
 
 Ii = 
T
i
G
G Is (5.3.2.1) 
 
sendo: 
GT = G1 + G2 + G3; 
Ii : corrente através do i-ésimo condutor; 
Gi : condutância associada ao i-ésimo resistor. 
 
 
Exemplo. No caso de 2 resistores: 
I1 = 
2G1G
1G
 Is 
 = 
2R/11R/1
1R/1
 Is 
 = 
2R1R
2R
 Is 
I2 = 
2R1R
1R
 Is 
 
 
ou seja, a corrente que circula em um dos resistores paralelos é igual a resistência do outro 
resistor, dividida pela soma das resistências, com o resultado multiplicado pela corrente 
que circula na combinação paralela. 
 
 
1.8. Transformação Delta-Estrela (Y e Y) 
 
 Na resolução de circuitos elétricos, em muitos casos, há necessidade de obter 
formas reduzidas de circuitos (circuitos equivalentes). Uma das mais importantes regras 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 22
de transformação refere-se às transformações (Y) e (Y), como descritas a seguir. 
 
 
1.8.1. Transformação (Y) 
 
 As ligações Y e  podem ser visualizadas, conforme é mostrado na Figura 
1.8.1.1. 
 
 
Figura 1.8.1.1. Representações Estrela (Y) e Delta (). 
 
 Portanto, é possível a transformação de um circuito estrela em um circuito delta 
equivalente e vice-versa. Os circuitos correspondentes são equivalentes apenas para tensões 
e correntes externas ao circuito Y e . Internamente, as tensões e correntes são diferentes. 
Considerando-se a Figura 1.8.1.2, na qual estão sobre postos os 2 modelos (Y e ), como 
forma de melhor interpretação das equivalências de circuitos: 
 
Figura. 1.8.1.2. Circuitos equivalentes Y . 
 
Superposição dos modelos  e Y 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 23
 Deste modo, as resistências do modelo , a partir do modelo Y, podem ser 
calculadas por: 
 RAB = 
C
Y
R
R
 (5.4.1.1) 
 RBC = 
A
Y
R
R
 (5.4.1.2) 
 RCA = 
B
Y
R
R
 (5.4.1.3) 
sendo: 
RY = RA RB + RB RC + RC RA. (5.4.1.4) 
 
 Ou, em termos de condutâncias: 
 RAB = 
C
Y
R
R
 
 = 
C
ACCBBA
R
RRRRRR 
 
 GAB  
ABR
1 
 = 
ACCBBA
C
RRRRRR
R
 
 = 
AB
C
BA RR
R
RR
1

 
 = 
ABBA
C
G
1
G
1
GG
G
1

 
 GAB = 
Y
BA
G
GG
 (5.4.1.5) 
 
 Assim, adaptando-se esta expressão às demais condutâncias, tem-se: 
 
 GBC = 
Y
CB
G
GG
 (5.4.1.6) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 24
 GCA = 
Y
AC
G
GG
 (5.4.1.7) 
sendo: 
GY = GA + GB + GC. (5.4.1.8) 
 
1.8.2. Transformação (Y) 
 
 Neste caso, as resistências do modelo Y, a partir do modelo , podem ser 
calculadas da seguinte forma: 
 RA = 
R
RR CAAB (5.4.2.1) 
 RB = 
R
RR BCAB (5.4.2.2) 
 RC = 
R
RR CABC (5.4.2.3) 
sendo: 
R = RAB + RBC + RCA. (5.4.2.4) 
 
 
Exemplo. Represente o sistema conectado em estrela (Figura 1.8.2.1) em sistema conectado 
em delta. 
 
Figura 1.8.2.1. Sistema com ligação em estrela. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 25
 
Figura 1.8.2.2. Sistema com ligação em delta equivalente. 
 
 
 
YAB = 05,0067,01,0
067,0x1,0
 
 = 0,03087 siemens 
 
RAB = 
ABY
1 
 = 32,388  
 
YBC = 05,0067,01,0
067,0x05,0
 
 = 0,01543siemens 
 
RBC = YBC
1 
 = 64,7761  
 
YCA = 05,0067,01,0
05,0x1,0
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 26
 = 0,023041 siemens 
 
RCA = YCA
1 
 = 43,40  
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 27 
2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE GERAL DAS REDES EM CORRENTE 
CONTÍNUA: ANÁLISE DE MALHAS 
 
 
2.1. Análise de Malhas 
 
 A resolução de circuitos elétricos (determinação das grandezas envolvidas no 
problema) é obtida usando uma série de técnicas conhecidas nesta área do conhecimento. 
Dentre elas, destacam-se as resoluções por equacionamento por malhas e por nós (análise 
nodal). 
 
 Considerando-se a Figura 2.2.1, a resolução circuito pode ser formalizada da 
seguinte forma. Pela lei de Kirchhoff de malhas, tem-se: 
 
30 V  V1  V2  V3 = 0 
ou: 
30 V  I (15  + 10  + 5 ) = 0. 
 
 Assim, a corrente da malha vale: 
 
I = 
 51015
V30
 
 = 1 A. 
 
 As tensões V1, V2 e V3 são, respectivamente: 
 
V1 = I x 15 
 = 15 V 
V2 = 5 V 
V3 = 10 V. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 28 
 
Figura 2.1.1. Circuito elétrico série. 
 
 A verificação prática destas grandezas é feita através do uso de instrumentos 
de medidas, e.g.: 
(1) Tensão : Voltímetro 
(2) corrente : Amperímetro 
(3) resistência : Ohmímetro 
(4) Multímetro : realiza as medidas de tensão, corrente e de resistência (vide Figura 
2.1.2 correspondendo ao um multímetro digital). 
 
 
Figura 2.1.2. Multímetro digital. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 29 
 No multímetro mostrado na Figura 2.1.2, a medida de tensão é feita 
conectando-se os cabos com indicação [V ] (cor vermelha) e em COM (comum: cor 
preta) com o ponteiro posicionado em “V”. 
 
Figura 2.1.3. Medida de tensão da fonte. 
 
 Para a medida de resistência, o procedimento é o mesmo, porém, com o 
ponteiro posicionado em []. Como exemplo, a medida de R1 (Figura 2.1.4). 
 
 
 
Figura 2.1.4. Medida de resistência. 
 
 No caso da corrente, os cabos devem ser conectados no terminal vermelho à 
esquerda [A] e em COM (cor preta). Estas instruções valem para o instrumento mostrado 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 30 
na referida Figura. Contudo, os exemplares disponíveis comercialmente, basicamente, 
possuem as mesmas indicações, com variações bastante sutis. 
 
 
Figura 2.1.5. Medida de corrente elétrica. 
 
 Além destas recomendações, deve-se tomar muito cuidado com a montagem 
do experimento, ou seja, se desejarmos medir corrente elétrica, o multímetro deve ser 
inserido em série e, para o caso de tensão, o instrumento deve ser usado em paralelo. 
 Deve-se ressaltar, ainda, que os instrumentos de medida “não interferem” nas 
grandezas a serem medidas. Por esta razão, o instrumento, ao “emular” o amperímetro, 
deve apresentar uma resistência interna nula (ou muitíssimo próximo de zero) e, como 
voltímetro, a resistência deverá ser muito grande. 
 Considerando-se, agora, o seguinte circuito (multimalhas): 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 31 
 
Figura 2.1.6. Circuito multimalhas. 
 
 
5. NB. 1. Pela lei de Kirchhoff das malhas, deve-se estabelecer uma 
quantidade exata de malhas que o circuito comporta. Estas malhas são chamadas 
malhas básicas, ou seja, um conjunto de malhas que efetivamente podem ser 
resolvidas e, portanto, a solução do problema é finalmente concluída. O vocábulo 
“básico” refere-se à base, no sentido matemático. Portanto, é um número 
irredutível e suficiente para que a resolução do problema seja obtida. 
 
 Um conjunto de malhas básicas está indicado na Figura 2.1.7, cuja escolha da 
orientação foi no sentido horário (arbitrário). 
 
 
Figura 2.1.7. Circuito elétrico com indicação das malhas básicas. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 32 
 O problema, agora, constitui-se na resolução das correntes I1, I2 e I3 (pela 
aplicação de lei Kirchhoff das malhas), a partir dos dados das resistências R1, R2, . . ., R7 e 
conhecimento dos valores das fontes de tensão V1, V2 e V3, como será abordado a seguir. 
 
Equacionamento (Lei de Kirchhoff das Malhas): 
 
Malha 1: 
V1  R1 (I1 + I2 + I3)  R2 I1  R5 (I1 + I2 + I3) = 0 (2.1.1) 
ou: 
V1 = (R1 + R2 + R5) I1 + (R1 + R5) I2 + (R1 + R5) I3 
 
Malha 2: 
V1  R1 (I1 + I2 + I3)  R3 ( I2 + I3)  V2  R6 (I2 + I3) + R5 (I1+I2+I3) = 0 (2.1.2) 
ou: 
V1  V2 = (R1 + R5) I1 + (R1 + R3 + R6) I2 + (R1 + R3 + R5 + R6) I3 
 
Malha 3: 
V1  R1 (I1+I2+I3)  R3 (I2+I3) R4 I3 V3 R7 I3 R6 ( I2+I3) R5 (I1+I2+3) = 0 (2.1.3) 
ou: 
V1  V3 = (R1 + R5) I1 + (R1 + R3 + R6 + R5 ) I2 + (R1 + R3 + R5 + R6 + R7 ) I3 
 
 Ou, ainda, matricialmente: 
 












3V1V
2V1V
1V
 = 













7R6R5R4R3R1R6R5R3R1R5R1R
6R5R3R1R6R5R3R1R5R1R
5R1R5R1R5R2R1R










3I
2I
1I
 (2.1.4) 
 
 Esta equação é da forma: 
 
 [ R ] I = V (equação matricial linear) (2.1.5) 
sendo: 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 33 
R  













7R6R5R4R3R1R6R5R3R1R5R1R
6R5R3R1R6R5R3R1R5R1R
5R1R5R1R5R2R1R
 
 : matriz de resistências de malha. É uma matriz simétrica e inversível, tendo em 
vista que as malhas 1, 2 e 3 são malhas independentes (malhas básicas); 
V = 












3V1V
2V1V
1V
 
I = 










3I
2I
1I
. 
 
 A solução I do sistema (2.1.5) pode ser resolvido por vários métodos, dentre 
eles via inversão de matriz: 
 I = [R]1 V (2.1.6). 
 
 Considerando-se os seguintes dados: 
R1 = 5  
R2 = 4  
R3 = 1  
R4 = 5  
R5 = 4  
R6 = 10  
R7 = 8  
V1 = 20 V 
V2 = 5 V 
V3 = 10V, 
 
então: 
R = 










33 20 9 
20 20 9 
9 9 13
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 34 
R1 = 










90,0769 0,0769- 0 
0,0769- 0,1495 0,0503- 
0 0,0503-0,1117 
 
V = 










10 
15 
20
 
I  










3I
2I
1I
 ampères 
 = 










0,3846- 
0,4684 
1,4804
 ampères. 
 
 As tensões vi´s sobre os i-ésimos resistores valem: 
 
v1 = R1 x (I1 + I2 + I3) 
 = 5  (1,4804 + 0,4684  0,3846) A 
 = 7,8212 V 
 
v2 = R2 x I1 
 = 4  1,4804 A 
 = 5,9218 V 
 
v3 = R3 x (I2 + I3) 
 = 1  x (0,4684  0,3846) A 
 = 0,0838 V 
 
v4 = R4 x I3 
 = 5  ( 0,3846) A 
 = 1,9231 V 
 
v5 = R5 x (I1 + I2 + I3) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 35 
 = 4  (1,4804 + 0,4684  0,3846) A 
 = 6,2570V 
 
v6 = R6 x (I2 + I3) 
 = 10  (1,4804 + 0,4684  0,3846) A 
 = 0,8380 V 
 
v7 = R7 x I3 
 = 8  ( 0,3846) A 
 =  3,0769 V 
 
 Assim: 
V1 = v1+v2+v5 
 = (6,2570 + 5,9218 + 7, 8212) 
 = 20 V (OK!) 
 . 
 . 
 . 
V2 = V3 + v4+ v7 
 = ( 10 1,9231  3,0769) V 
 = 5 V ( OK!). 
 
 
 
NB. Regra de Cramer. 
 Outro método para a resolução de um sistema da forma (2.1.5) (sistema linear) 
pode ser descrito da seguinte forma. As correntes I1, I2 e I3 podem ser calculadas por 
meio de determinantes. Para melhor compreender este método, considere os seguintes 
dados (exemplo anterior): 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 36 
R = 










33 20 9 
20 20 9 
9 9 13
 
V = 










10 
15 
20
. 
 
 As correntes I1, I2 e I3 podem ser calculadas da seguinte forma: 
 
 
 
 I1 = 
R
332010
202015
9920
 
 = 
2327
3445
 
 = 1,4804 A 
 
I2 = 
R
33109
20159
92013
 
 = 
2327
1090
 
 = 0,4684A 
I3 = 
R
20209
15209
20913
 
 = 
2327
-895
 
 = 0.3846 A 
 
1
a
 coluna = V 
 
 matriz R 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 37 
sendo: 
 .  : determinante 
R
 = 2327; 
 
Ii = 
R
Ri
. 
 
 
 
 
 Considere o seguinte circuito elétrico (4 nós, 7 resistências e arbitrando-se o nó 
1 como referência) (Figura 2.1.8): 
 
Figura2.1.8. 
 
 Este circuito possui duas malhas básicas (5 elementos, 4 nós, 3 ramos e 2 
ligações). Um possível conjunto de malhas básicas é mostrado da Figura 2.1.9): 
 
 
matriz R substituindo a i-ésima coluna por V (segundo 
membro de (2.1.5)) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 38 
 
Figura 2.1.9. 
Equacionamento (Lei de Kirchhoff das malhas) 
 
Malha 1: 
 
V1  R1 I1  R2 (I1  I2)  R3 (I1  I2)  R4 I1 = 0 
ou: 
V1 = (R1 + R2 + R3 + R4) I1 + (R2  R 3) I2 (2.1.7) 
 
Malha 2: 
R5 I2  R6 I2  R7 I2  R3 (I2  I1)  R2 ( I2  I1) = 0 
ou: 
0 = (R2  R3) I1 + (R2 + R3 + R5 + R 6 + R7) I2 (2.1.8) 
 
 As equações (2.1.7) e (2.1.8) podem ser colocadas na forma matricial: 
 
 [ R ] I = V (2.1.9) 
sendo: 
R = 








7R6R5R3R2R3R2R
3R2R4R3R2R1R
 
 = 






22R21R
12R11R
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 39 
R1 = 
)(det
1
R
 








4R3R2R1R3R2R
3R2R7R6R5R3R2R
 
det(R) = (R1 + R2 + R3 + R4) ( R2 + R3 + R5 + R6 + R7)  (R2 + R3) 2 
I = 






2I
1I
 
V = 






0
1V
. 
 
 A matriz R possui a seguinte constituição: 
R11 : Somatório das resistências pertencentes à malha 1 (R1 + R2 + R3 + R4); 
R12 : Somatório de todas as resistências comuns às malhas 1 e 2 , considerando-se os 
sinais +: (+) se as malhas estão orientadas no mesmo sentido e () se as malhas 
forem orientadas em sentidos opostos; 
R21 : R12 (simetria); 
R22 : Somatório das resistências pertencentes à malha 2 (R2 + R3 + R5 + R6 + R7). 
 
 Assim sendo, estes resultados podem ser estendidos para o caso de circuitos 
com qualquer número de malhas: 
 
R  [Rij] = 











jipara;contráriassorientaçõecomjeimalhaspara)(;sorientaçõe
mesmascomjeimalhaspara)(),(sinaiscom
,jeimalhasàscomunsasresistêncidassomatório
jipara,imalhaàespertencentasresistêncidasSomatório
 
 (2.1.10) 
  Matriz de resistências de malhas básicas. 
 
Exemplo: Considerando-se o circuito mostrado ma Figura 2.1.10., determinar as 
correntes de malhas. Neste circuito, as malhas básicas (3 malhas) podem ser 
arbitradas como indicadas (malha 1, malha 2 e malha 3). O nó 1 foi adotado 
como referência do circuito. 
 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 40 
 
Figura 2.1.10. 
Resolução: 
 
 Usando-se o conceito de montagem da equação matricial, referente a lei de 
Kirchhoff das malhas (equação (2.1.9), obtém-se o seguinte sistema: 
 
 [ R ] I = V (2.1.11) 
 
sendo: 
 
R = 













)85(00
0)4101(4
04)445(
 
I = 










3I
2I
1I
 
V = 












V)510(
V5
V20
 
 
 Assim, as correntes das malhas básicas são: 
 
I = [ R1 ] V 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 41 
 = 










0,3846- 
0,0838 
1,5642
 
 
sendo: 
R1 = 










0.0769 0 0 
0 0,0726 0,0223 
0 0,0223 0,0838
 siemens. 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 42 
3. TÉCNICAS DE SIMPLIFICAÇÃO, TEOREMA DE THÉVENIN E MÁXIMA 
TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA 
 
 
3.1. Teorema de Thévenin 
 
 Considerando-se um circuito elétrico complexo, como mostrado na Figura 
3.1.1: 
 
Figura 3.1.1. Circuito elétrico complexo. 
 
se desejarmos conhecer a tensão e a corrente no resistor (Rab), em particular, alocado nos 
terminais ab do circuito elétrico, uma forma simples de determinação destas grandezas é 
o que se propõe o teorema de Thevénin. 
 
 O teorema de Thévenin (Leon-Charles Thévenin / francês) afirma que: 
 
 
 
 
 
 
 Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode 
ser substituído por um circuito equivalente constituído por uma fonte de 
tensão e um resistor em série, conforme é mostrado na Figura 3.1.2. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 43 
 
Figura 3.1.2. Circuito equivalente de Thévenin. 
 
 
NB. 1. O circuito de Thévenin fornece uma equivalência apenas nos terminais 
considerados; 
2. O teorema de Thévenin é bastante útil para a resolução de problemas de 
Engenharia Elétrica: análise de curto-circuito, análise de ondas viajantes 
(propagação de ondas em sistemas de energia elétrica, de comunicação, etc.), 
resolução de circuitos complexos. 
 
 
 
Passos do Processo de Cálculo de VTH e RTH: 
 
1. Remover a parte do circuito para a qual se deseja obter o equivalente Thévenin, ou 
seja, a remoção é temporária; 
2. Assinalar os terminais do circuito remanescente; 
3. Calcular RTH, colocando primeiramente todas as fontes em zero (substituindo as 
fontes de tensão por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) 
e, em seguida, determinar a resistência equivalente entre os dois terminais 
escolhidos. Se o circuito original incluir as resistências internas de fontes de tensão 
e/ou fontes de corrente, estas resistências devem ser mantidas quando as fontes 
forem “zeradas”; 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 44 
4. Calcular VTH, retornando todas as fontes as suas posições originais no circuito e em 
seguida determine a tensão entre os dois terminais escolhidos. 
5. Conclusão. Colocar em série o circuito equivalente de Thévenin os terminais da 
parte removida e resolver o circuito: determinação da tensão Vab e Iab : 
Iab = 
abTH
TH
RR
V

 (3.1.1) 
Vab = Rab x Iab . (3.1.2) 
 
 
Exemplo 1. Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do 
circuito mostrado na Figura 3.1.3. 
 
 
 
Figura 3.1.3. Circuito elétrico. 
 
 
Solução: 
 
Passos 1 e 2: 
 
 Removendo-sea parte do circuito correspondente ao resistor R4 (terminais 
a  b) (Figura 3.1.4): 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 45 
 
 
Figura 3.1.4. 
 
Passo 3. Determinação da Resistência de Thévenin 
 
 
 
Figura 3.1.5. 
RTH = 


46
4x6
 
 = 2,4  
 
Passo 4. Determinação da Tensão de Thévenin 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 46 
 
Figura 3.1.6. 
VTH = R1 x I1 
 
Como: 
 I1 = 


10x2
)102(V8
 


102
2
 (divisor de corrente) 
 = 0,8 A, 
Logo: 
VTH = 6  x 0,8 A 
 = 4,8 V 
 
 
Figura 3.1.7. Equivalente Thévenin do circuito mostrado na Figura 3.1.3. 
 
Passo 5. Determinação da Tensão e da Corrente no Resistor R4 
 
 Deste modo, a corrente e a tensão sobre o resistor R4 podem ser calculados do 
seguinte modo: 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 47 
IR4 = 
 34,2
V8,4
 
 
 = 0,887 A 
VR4 = R4 x IR4 
 = 3  x 0,887 A 
 = 2,667 V . 
 
Verificação: 
 A tensão e a corrente no resistor R4 podem ser resolvidas, convencionalmente, 
do seguinte modo: 
 
Figura 3.1.8. 
 
I2 = 





2
36
3x6
4
2
 x I (divisor de corrente) 
 = 1,3333 A 
sendo: 
I = 
R
V8
 
 = 5,3333 A 
R = 
2)4
36
3x6
(
2x)4
36
3x6
(



  
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 48 
 = 1,5  
I4 = I2 x 


9
6
 (divisor de corrente) 
 = 1,3333 A x 0,6667  
 = 0,8887 A 
VR4 = R4 x I4 
 = 3  0,8887 A 
 = 2,667 V (OK!). 
 
 
Exemplo 2. Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do 
circuito em ponte (Figura 3.1.9). 
 
 
Figura 3.1.9. 
 
 
Solução: 
 
Passos 1 e 2: 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 49 
 
Figura 3.1.10. Identificação dos terminais de interesse para a aplicação do teorema de 
Thévenin. 
 
 
Passo 3: Determinação de RTH: 
 
 
RTH = R1  R3 + R2  R4 
 = 


36
3x6
+ 


124
12x4
 
 = 2  + 3  
 = 5  
 
Passo 4: Determinação de VTH 
 
paralelo 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 50 
 
Figura 3.1.11. Determinação da tensão de Thévenin. 
 
V1 = 
3R1R
V1R

 
 = 


36
V72x6
 
 = 48V 
V2 = 
4R2R
V2R

 
 = 


412
V72x12
 
 = 54 V 
Vba = V2  V1 
 = 54 V  48 V 
Vab = 6 V. 
 
Exemplo 3. Determinar o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do 
circuito mostrado na Figura 3.1.12. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 51 
 
Figura 3.1.12. 
 
Solução: 
 
Passos 1 e 2. Este circuito pode ser redesenhado como mostrado na Figura 3.1.13: 
 
Figura 3.1.13. 
 
Passo 3. Determinação da Resistência de Thévenin 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 52 
 
Figura 3.1.14. 
 
RTH = R4 + R1  R2  R3 
 = 1,4 k  + 0,8 k   4 k   6 k  
 = 1,4 k  + 
48,0
4x8,0

 k   6 k  
 = 1,4 k  + 
48,0
4x8,0

 k   6 k  
 = 1,4 k  + 2 / 3 k   6 k  
 = 1,4 k  + 
6
3
2
6x
3
2

k  
 = 1,4 k  + 0,6 k  
RTH = 2000 . 
 
Passo 4. Determinação da Tensão de Thévenin. 
 
Figura 3.1.15. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 53 








600040004000
40004000800







2I
1I
A = 





 
10
106
V 
 
 






2I
1I
 = 103 x 






0,1500 0,1250- 
0,1250- 0,3125






10
16
 
Vab = R3 x I2 
 =  3 V. 
 
Figura 3.1.16. Equivalente Thévenin. 
 
Exemplo 4. Determine a resistência de Thévenin para a parte sombreada do circuito 
mostrado na Figura 3.1.17: 
 
Figura 3.1.17. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 54 
Passos 1 e 2. 
 
Figura 3.1.18. 
 
 
 
 
Figura 3.1.19. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 55 
 
Figura 3.1.20. 
RTH = 0,199  . 
 
 
3.2. Máxima Transferência de Potência 
 
 O teorema da máxima transferência de potência afirma o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 Assim, tomando-se o circuito equivalente de Thévenin (Figura 3.2.1): 
 
 
Figura 3.2.1. Circuito equivalente de Thévenin. 
 A potência transferida a uma carga por um circuito de corrente contínua linear 
bilateral será máxima quando a resistência desta carga for exatamente igual a 
resistência de Thévenin. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 56 
 
 A potência da carga pode ser expressa por: 
 
 PL = I2 RL (3.2.1) 
 
 Como a corrente elétrica I é expressa por: 
 
 I = 
LTH
TH
RR
V

 (3.2.2) 
 
então: 
 
 PL = 
2
LTH
L
2
TH
)RR(
RV

 (3.2.3) 
 PL = 
L
2
TH
R4
V 
 
 A partir da expressão (3.2.3) busca-se estabelecer a máxima potência consumida 
pela carga em função da resistência RL, ou seja, calculando-se a derivada parcial de PL em 
relação a RL: 
 
L
L
R
P


 = 
4
LTH
2
LTHLLTH
2
TH
)RR(
])RR(Rx)R2R2([V


 
 = 
4
LTH
2
LLTH
2
TH
2
LLTH
2
TH
)RR(
]RRR2RR2RR2[V


 
 = 
4
LTH
2
TH
2
L
2
TH
)RR(
]RR[V


 (3.2.4) 
 
 Fazendo-se: 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 57 
 
L
L
R
P


 = 0  RL2  RTH2 = 0 (determinação de um ponto extremo), ou seja: 
 
 
 (3.2.5) 
 
 
 Calculando, agora, a segunda derivada parcial de PL em relação a RL, tem-se: 
 
]
R
P
[
R L
L
L 



 = 
8
LTH
L
4
LTH
2
TH
2
L
3
LTH
2
TH
)RR(
]R2x)RR()RR(x)RR(x4[V


 (3.2.6) 
THRLR
L
L
L
]
R
P
[
R





= 
4
LTH
L
2
TH
)RR(
RV2


 < 0, para RL > 0. (3.2.7) 
 
 Deste modo, considerando-se o resultado definido pela relação (3.2.7), pode-se 
concluir que RL = RTH corresponde a um ponto máximo de PL, como enunciado pelo 
teorema da máxima transferência de potência. Então, a potência máxima pode ser expressa 
por: 
 
 PLmax = 
L
2
TH
R4
V (3.2.8) 
 
Exemplo. Determine o valor de RL do circuito mostrado na Figura 3.2.2 para que a 
potência fornecida a esta resistência seja máxima e determine o valor desta potência. 
 
 
Figura 3.5.2. 
RL = RTH 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 58 
 
Solução: 
 
 A resistência de Thévenin vale: 
 
RTH = R3 + R1 R2 
 = 8 + 


36
3x6
 
 = 10. 
 
 Tensão de Thévenin: 
VTH = R2 x 
2R1R
V

 
 = 3 x 
 36
V12
 
 = 4 V. 
 
 Potência Máxima: 
 
RL = RTH (resistência da carga correspondente à máxima potência de transferência) 
PLmáx = 
L
2
TH
R4
V 
 = 
10x4
)V4( 2
 
 = 0,4 W. 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 594. MÉTODOS CLÁSSICOS PARA RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS, FORMAS DE 
ONDA, VALOR EFICAZ E FASORES 
 
 
 
4.1. Introdução 
 
 Neste capítulo, serão abordadas as técnicas de resolução de circuitos de 
correntes e tensões senoidais. Deve-se observar que as leis (1a e 2a leis de Kirchhoff), 
teoremas (Thévenin, etc.), divisores de tensão / de corrente e técnicas (resolução por 
malhas e resolução nodal) usados no contexto de corrente contínua são igualmente 
aplicados no caso de sinais senoidais, mutatis mutandis. Evidentemente, os circuitos com 
sinais senoidais possuem suas particularidades. Portanto, todos estes detalhes serão 
focalizados na sequência. 
 
 
 
4.2. Fontes de Corrente Alternada 
 
 As tensões (e correntes) senoidais podem ser geradas por diversas fontes. As 
mais comuns são as que estão disponibilizadas nas tomadas residenciais, que fornecem 
tensão alternada, que são produzidas em uma usina geradora. Essas usinas são, em geral, 
alimentadas por quedas d´água (hidrelétricas) óleo, gás, fissão nuclear, etc. (termelétricas). 
Em cada caso, um gerador CA (Corrente Alternada) é o componente mais importante no 
processo de conversão de energia (energia mecânica em energia elétrica). Os tipos de 
fontes, de corrente alternada, mais comuns são: 
1. gerador síncrono; 
2. gerador eólico (máquina assíncrona); 
3. gerador de sinais; 
4. etc. 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 60 
 
4.3. Definições 
 
 A forma de onda da tensão elétrica senoidal, com seus parâmetros, é vista na 
Figura 4.3.1. Deste modo, adiante, serão apresentadas as principais definições sobre sinais 
senoidais. 
 
 Forma de onda : Gráfico de uma grandeza (e.g., como mostrado na Figura 
4.3.1 em função da variável independente t (tempo)); 
 
Figura 4.3.1. Parâmetros importantes de uma onda de tensão. 
 
 A forma de onda da Figura 4.3.1 representa a tensão senoidal dada por: 
 
 e(t) = Em sen (wt) (4.3.1) 
sendo: 
e(t) : tensão senoidal em função do tempo e da frequência (volt); 
Em : amplitude da onda de tensão; 
w : velocidade angular (radianos por segundo (rad/s)) 
 2  f; 
f : frequência (hertz) (Heinrich Rudolph Hertz / Alemão) 
 
NB. 1 hertz (Hz) corresponde a 1 ciclo por segundo (c/s). 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 61 
 
 Considerando-se a tensão definida pela equação (4.3.1), aplicada em um 
elemento da rede elétrica e o regime permanente, a corrente elétrica, também, será uma 
forma de onda senoidal definida pela seguinte expressão: 
 
 i(t) = Im sen (wt + ) (4.3.2) 
sendo: 
i(t) : forma de onda da corrente; 
Im : amplitude da corrente; 
 : defasamento angular. 
 
 Dependendo do tipo de elemento (resistor, capacitor e indutor, os quais são os 
elementos principais usados no contexto desta disciplina), o parâmetro  pode ser nulo 
(circuito puramente resistivo), negativo (circuito indutivo) e positivo (circuito capacitivo), 
em relação à tensão. Assim, diz-se que a corrente está atrasada ou adiantada, em relação à 
tensão, se  for negativo ou positivo, respectivamente, conforme será abordado adiante. 
 
 Valor instantâneo : Valor da forma de onda em um instante de tempo 
qualquer, e.g., e(t1) e e(t2) na Figura 4.3.1. 
 Amplitude de pico : Valor máximo de uma forma de onda em relação a um 
valor médio. Na forma de onda mostrada na Figura 4.3.1, o 
valor médio é zero e a amplitude é Em. 
 Valor de pico : Valor máximo de uma forma de onda medido a partir do 
nível zero. No caso da forma de onda vista na Figura 4.3.1, 
a amplitude de pico e o valor de pico são idênticos, pois o 
valor médio da função tensão é zero volt. 
 Valor pico a pico : Diferença entre os valores dos picos positivo e negativo, ou 
seja, é a soma dos módulos das amplitudes positiva e 
negativa. Simbologia Ep-p. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 62 
 Forma de onda periódica : Forma de onda que se repete continuamente após um certo 
intervalo de tempo constante. A forma de onda da Figura 
4.3.1. é periódica. 
 Período : Intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma 
forma de onda periódica. Simbologia: Por exemplo, as 
indicações T1, T2 e T3 (T1 = T2 = T3) mostradas na Figura 
4.3.1. 
 Ciclo : Parte de uma forma de onda contida em um intervalo de 
tempo igual a um período. Os ciclos definidos por T1, T2 e 
T3 podem parecer diferentes, porém, como estão contidos 
em um período, satisfazem à definição de ciclo. 
 Frequência : O número de ciclos que ocorrem em 1 segundo. 
Simbologia: f. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 4.3.2. Ilustração do efeito da mudança da frequência sobre o período de uma forma 
de onda senoidal. 
 
 A frequência da forma de onda mostrada nas Figuras 4.3.2 (a), 4.3.2(b) e 
4.3.3.(c) são 1 é 1 c/s ( T = 1 s), 2 c/s ( T = 0,5 s) e 2,5 c/s (T = 0,4 s), 
respectivamente. 
 
 Como a frequência é inversamente proporcional ao período, estas duas 
grandezas estão assim relacionadas: 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 63 
 f = 
T
1
 (4.3.3) 
sendo: 
f = Hz 
T = segundo (s). 
ou: 
 
 T = 
f
1
 (4.3.4) 
 
Exemplo. Determine a frequência e o período da forma de onda mostrada na Figura 4.3.3: 
 
Figura 4.3.3. 
 
Solução. A partir da Figura 4.3.3., tem-se: 
T = 25 ms  5 ms 
 = 20 ms 
f = 
T
1
 
 = 
s10x20
1
3
 
 = 50 Hz. 
 
 Polaridade : A polaridade da fonte de tensão e o sentido da corrente 
serão correspondentes ao semiciclo positivo da forma da 
respectiva forma de onda (vide Figura 4.3.4). 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 64 
 
 (a) (b) 
Figura 4.3.4. (a) Fonte de tensão alternada senoidal. (b) Fonte de corrente senoidal. 
 
 
 
4.4. Espectro de Frequência 
 
 A título de curiosidade, relacionam-se, nos quadros 4.4.1 e 4 4.2, as principais 
faixas de frequência observadas no contexto da Engenharia Elétrica. 
 
Quadro 4.4.1. 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 65 
Quadro 4.4.2. 
 
Modalidade Detalhe Faixa de Frequência 
Geração, transmissão e 
distribuição de energia 
elétrica 
– 60 Hz (Brasil) 
50 Hz (Europa) 
FM – 88 MHz – 108 MHz 
TV Canais 2 – 6 54 MHz – 88 MHz 
TV Canais 7 – 13 174 MHz – 216 MHz 
TV Canais 14 – 83 470 MHz – 890 MHz 
CB Faixa Cidadão 26,9 MHz – 27,4 MHz 
Fornos de Microondas – 2,45 GHz 
Ondas Curtas – 1,5 MHz – 30 MHz 
 
 
 
 
4.5. Representação de Grandezas Elétricas por Números Complexos 
 
 Será introduzido, nesta subseção, um sistema de números complexos que, 
quando aplicado a formas de onda senoidais, resulta numa técnica de aplicação rápida, 
direta e precisa, que facilita bastante a resolução de circuitos elétricos. 
 Assim, um número complexo pode ser representado por um ponto em um 
plano , referido a um sistema de eixos cartesianos. O eixo horizontal é designado eixo real, 
enquanto que o vertical é denominado eixo imaginário. Na Figura 4.5.1 é ilustrado um 
número complexo: 
 
 C = x + j y 
sendo: 
C : número complexo; 
x e y : são número reais; 
j  
1
(na maioria das referências matemáticas, a representação deste operador é 
caracterizada pela letra i. Contudo, em Engenharia Elétrica,a letra i está 
reservada para indicar a variável “corrente elétrica”. Daí decorre o 
significado do uso da letra “j” para indicar o número imaginário unitário). 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 66 
 
 
Figura 4.5.1. Representação de um número complexo. 
 
 
 O número complexo C (equação 4.5.1) pode ser representado da seguinte 
forma, a partir da ilustração mostrada na Figura 4.5.2: 
 
 
Figura 4.5.2. 
 
1. Forma Retangular 
 
 C = x + j y (4.5.1) 
2. Forma Polar 
 
 C = Z   (4.5.2) 
sendo: 
Z = 
22 yx 
 (módulo); 
 = tan1 (
x
y
) (ângulo ou argumento). 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 67 
3. Forma Trigonométrica 
 
 C = Z cos () + j Z sen () (4.5.3) 
 
4. Forma Exponencial 
 C = Z exp(j ) (4.5.4) 
sendo: 
exp  número de Neper 
 = 2,7183. 
 
Exemplo. Considere o seguinte número complexo: C= 3 + j 4. Assim, nas diversas 
representações, têm-se as seguintes equivalências: 
C = Z   
sendo: 
Z = 
22 43 
 
 = 5 
 = tan1 (
3
4
) 
 = 53,1301o (0,9273 radiano). 
Portanto: 
C = 3 + j 4 
 = 5 53,1301o 
 = 5 exp ( j 53,1301o ) 
 = 5 cos (53,1301o) + j sen (53,1301o). 
 
 
 
4.6. Principais Operações com Números Complexos 
 
 Estas várias formas de representação de um número complexo servem para 
simplificar os cálculos. Por exemplo, quando se efetuam cálculos com números complexos 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 68 
de soma ou subtração, a melhor forma é a representação retangular, enquanto que, se for 
multiplicação ou divisão a melhor alternativa é usar a forma polar ou exponencial. 
 
Soma / Subtração 
 A soma ou subtração de 2 números complexos: 
 
 C1 = x1 + j y1 (4.6.1) 
 C2 = x2 + j y2 (4.6.2) 
 
 Soma: 
C1 + C2 = (x1 + x2) + j (y1 + y2). 
 
Subtração: 
C1  C2 = (x1  x2) + j (y1  y2). 
 
Multiplicação / Divisão 
 A multiplicação / Divisão entre 2 números complexos C1 e C2 podem ser mais 
eficientemente realizadas usando a forma polar (exponencial): 
 
 C1 = Z1 1 (4.6.3) 
 C2 = Z2  2 (4.6.4) 
Multiplicação: 
C1 x C2 = (Z1 1) x (Z2  2) 
 = Z1 x Z2  (1 + 2) (igual ao resultado correspondente ao produto dos 
módulos e a soma dos ângulos). 
 
Divisão: 
2C
1C
 = (Z1  1) / (Z2  2) 
 = 
2Z
1Z
 (1  2) (igual ao resultado correspondente à divisão dos 
módulos e a subtração dos ângulos). 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 69 
 
Exemplo. Realizar o cálculo da seguinte expressão complexa: 
 
C = 
5j 1
3)j- (2 x 4)j 3 (


 
 = 
o
oo
78,69015,0990
)56,30993,6056 (x)53,13015(


 
 = 
099,5
6056,3x5
 (53,1301  56,3099  78,6901)o 
 = 3,5356  81,8699 o 
 = 3,5356  1,4289 radianos 
 = 0,5  j 3,5 
 
Radiciação 
 
 Qualquer número complexo C = Z  , também pode ser expresso por: 
 
 C = Z  (  + 2  n), (4.6.5) 
 
sendo: 
n = 0, +1, + 2, . . . 
 Então: 
 
 
k C
 = 
k Z
 (  + 2  n)/ k (4.6.6) 
Exemplo. Calcular: 
P = 
2 2j4
 
 = Z   
Z = 
2 2 22 )24( 
 
Z =
2 4721,4
 
 = 2,1147 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 70 
1 = 
2
)
4
2
(tg 1 
 = 0,2318 rd 
2 = 3,3733 rd 
 
ou seja: 
P1 = ( 2,0582 + j 0,4859) e  P12 = 4 + j 2 (OK!) 
P2 = (-2,0582 – j 0,4859) P22 = 4 + j 2 (OK!). 
 
 Como neste caso são 2 raízes, tomou-se n = 0 e n = 1. 
 
Logaritmo 
 
 
 O logaritmo neperiano de um número complexo pode ser determinado com 
facilidade, a partir da forma exponencial. O resultado não é único. Contudo, usa-se, mais 
freqüentemente, o valor principal, quando n = 0, ou seja: 
se: 
 C = Z exp( j  ), então, 
ln (C) = ln (Z) + j . 
 
 
 
4.7. Fasores 
 
 No contexto de circuitos de corrente alternada, há necessidade de realizar 
várias operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, etc.) de funções senoidais. 
Estas operações, convencionalmente, envolvem cálculos complexos de funções não-
lineares. Para resolver este problema, Steinmetz (Charles Proteus Steinmetz / Norte-
americano) propôs uma técnica designada Fasores que facilita bastante a resolução de 
circuitos CA, conforme será abordado na sequência. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 71 
 Supondo-se que se deseja realizar o seguinte cálculo de tensões: 
 
 vT = v1 + v2 (4.7.1) 
sendo: 
v1 = 2 sen (wt + 90o) 
v2 = 1 sen (wt ). 
 
Resolução: 
 A função vT pode ser calculada, por exemplo, usando o procedimento 
apresentado no item NB 1: 
 
 vT = 2,236 sen (wt + 63,43º). (4.7.2). 
 
 As formas de onda de v1, v2 e vT encontram-se ilustradas na Figura 4.7.1(b). 
 
 
Figura 4.7.1. 
 
 
NB 1: 
 Os componentes senoidais da equação (4.7.1) podem ser expressos na seguinte 
forma: 
NB 1 
(a) 
 (b) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 72 
 A sen (x + a) + B sen (x) = A sen (x) cos (a) + A sen (a) cos(x) + B sen (x) 
 sendo: x = w t, A = 2, B = 1 e a = 90o (1,5708 rd). 
 
 Como esta soma deve produzir um sinal senoidal, então: 
 A sen (x) cos(a) + A sen (a) cos(x) + B sen (x) = C sen(x + ) 
 = C sen(x) cos + C sen cos (x) 
 ou: 
 {A cos (a) + B} sen (x) + A sen (a) cos (x) = C cos sen (x) + C sen cos(x) (4.7.3) 
 com parâmetros C e  a ser determinados. Deste modo, comparando-se os 
coeficientes (em ambos os lados) da equação 4.7. 3, têm-se: 
 {A cos(a) + B} = C cos 
 A sen(a) = C sen, 
 de onde se conclui que: 
  = tg1 (
B)acos(A
)a(senA

) 
 C = (A cos(a) + B) cos () + A sen (a) sen () 
 Do exemplo anterior: 
 A = 2 
 B = 1 
 a = 90  /180 (rd.) 
 = 1,5708 rd 
 então: 
  = tg1 [
1)1,5708(cos2
)1,5708(sen2

] 
 = 1,1071 (rd.) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 73 
 = 63,43º 
 C = [ 2 cos(1,5708) + 1] cos(1,1071) + 2 sen (1,5708) sen(1,1071) 
 = 2,236 
 ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 Como se pode notar, a execução de uma adição “simples”de duas funções 
senoidais necessitou de um algebrismo razoavelmente complexo. A complexidade torna-
se ainda maior se as operações com tais funções forem mais exigidas. Deste modo, a 
seguir, será apresentado o conceito de fasor que, certamente, constitui-se numa ferramenta 
muito eficiente para a manipulação de funções senoidais, como é o caso de “circuitos 
elétricos” CA. 
 
 Considerando-se uma função temporal complexa defina por: 
 
 f(t)  r exp (j wt) (4.7.4) 
 
sendo: 
r : parâmetro constante; 
w : velocidade; 
t : tempo. 
 
 A equação (4.7.4), usando-se a fórmula de Euler, pode ser expressa por: 
 
 f(t)  r cos wt + j r sen wt (4.7.5) 
Fim da NB 1 
1. 
vT = 2,2361 sen (wt + 63,4361o) 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 74 
 
 Analisando esta equação percebe-se que f(t) pode ser interpretada como sendo 
um vetor girante de tamanho r (constante), descrevendo uma circunferência com 
movimento anti-horário, conforme pode ser visto na Figura 4.7.2. 
 
Figura 4.7.2. Conceito de Fasor. 
 
 O movimento anti-horário pode ser melhor observado ao tomarmos, por 
exemplo, o tempo inicial t0 = 0. Nestecaso, as projeções de f(t0) no eixo real e no eixo 
imaginário, valem r ( r cos 0) e 0 (r sen 0), respectivamente. Em instante ligeiramente 
superior (t1 = t0 + h (h > 0 e pequeno)), a projeção real diminuirá (r cos w t1 < r cos w t0) 
e a projeção no eixo imaginário irá aumentar ( r sen wt1 > r sen wt0), o que indica um 
movimento anti-horário, cuja velocidade corresponde à velocidade da onda (w). 
 
 Deste modo, se representarmos a equação (4.7.1), em termos de fasores, tem-se: 
 
vT = 2 sen (wt + 90o) + 1 sen (wt ) (notação temporal) (4.7.6) 
 = 2 90o + 1 0o (notação fasorial) 
 = 0 + j 2 + 1 + j 0 
 = 1 + j 2 
 = 
22 21 
tg1 (
1
2
) 
 = 2,2361  1,1071 rd 
 = 2,2361 63.43o (OK !) ( ilustração mostrada na Figura 4.7.1.(a)). 
 
Fasor 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 75 
 
Exemplo. Determine a soma de duas correntes elétricas: 
 
 iT = i1 + i2 (4.7.7) 
sendo: 
i1 = 5 sen (wt + 30o) 
i2 = 6 sen (wt + 60o). 
 
Resolução. Estas correntes encontram-se ilustradas na Figura 4.7.3(b). 
Figura 4.7.3. 
i1 = 5 sen (wt + 30o) 
 = 5  30o 
 = 
i2 = 6 sen (wt + 60o) 
 = 6  60o 
iT = 5  30o+ 6  60o 
 = 4,3301 + j 2,5000 + 3,0000 + j 5,1962 
 = 7,3301 + j 7.6962 
 = 10,6284  46,3957o, (ilustração mostrada na Figura 4.7.3(a)). 
 
 (a) 
 (b) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 76 
 
 Portanto, este procedimento, certamente, é bem mais simples, se comparado ao 
apresentado, e.g., na NB 1. 
 Deve-se ressaltar que o uso do conceito de fasor é muito fácil de ser 
empregado. Ainda que o fasor gire, no sentido anti-horário, a uma velocidade constante, o 
que importa, em termos de tensão e de corrente elétricas, é o movimento relativo. Ou seja, 
estas duas grandezas, relativamente, são vistas como estacionárias (tensão e corrente 
giram à mesma velocidade). Daí decorre a importância dos fasores na resolução de 
circuitos senoidais. 
 
 
 
 
4.8. Diagrama Fasorial 
 
 
 A representação de grandezas elétricas (tensões e correntes) senoidais por 
fasores torna a análise de circuitos elétricos bastante simples, ou seja, trabalha-se com 
operações vetoriais simples. O diagrama fasorial é a representação gráfica de tais 
grandezas registradas correspondentes ao instante t = t0 (tempo inicial da observação da 
evolução das curvas no tempo). 
 Para ilustrar o diagrama fasorial, emprega-se o problema enunciado a 
seguir. 
 
Problema 1. Obter o diagrama fasorial das seguintes grandezas elétricas: 
 
 E = V + z x I (4.8.1) 
sendo: 
V = 4 sen wt V 
I = 1 sen (wt  30o) A 
Z = j 2 . 
j = 
1
. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 77 
 Estas grandezas podem ser assim representadas: 
 
V
 = 4 0o V (fasor) 
I
 = 1  30o A (fasor) 
Z = 2 90o . 
 
 Assim, a tensão E pode ser determinada por: 
E
  
V
 + Z x 
I
 
 = (4 0o) V + (2 90o)  x (2  30) A 
 = 4 0o + 2 60o 
 = 4 + j 0 + 1 + j 1,7321 
 = 5 + j 1,7321 
 = 5,291519,1066 o 
 
 Na Figura 4.8.1. é ilustrado o diagrama fasorial. 
 
 
Figura 4.8.1. 
 Deste modo, a tensão E vale (vide Figura 4.8.2): 
 
E = 5,2915 sen (wt +19,1066 o) volts. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 78 
 
Figura 4.2.8. Evolução da forma de onde de E. 
 
 
 
4.9. Indutância 
 
 Quando uma corrente em um circuito varia, o fluxo magnético que envolve 
também varia. Esta variação de fluxo ocasiona a indução de uma f.e.m. (força eletromotriz) 
v(t) no circuito elétrico. A f.e.m. induzida v é proporcional à taxa da variação da corrente 
em relação ao tempo. A constante de proporcionalidade é chamada indutância do referido 
circuito (vide Figura (4.9.1)): 
 
 v(t) = L 
dt
di
 (4.9.1) 
ou: 
 i(t) = 
 dtv
L
1
 (4.9.2) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 79 
 
Figura 4.9.1. 
 
sendo: 
v : f.e.m. induzida (volt); 
dt
di
 = ampère/s 
L  volt/ampère 
 : henry (Joseph Henry /Norte-americano) 
 
NB. A indutância de um circuito é de 1 henry, se a f.e.m. induzida no referido circuito é 
de 1 volt, quando a corrente varia à razão de 1 ampère/s. 
 
 
NB. A equação (4.9.1) é válida para circuitos em que a indutância é assumida como 
uma constante. Contudo, há casos em que tal consideração não pode ser adotada, 
por exemplo, em circuitos de máquinas elétricas rotativas. Neste caso, o 
comportamento da tensão pode ser expresso por: 
 
 v(t) = 
dt
d
 (4.9.3) 
 sendo: 
   enlace de fluxo magnético (weber-espira) (Wilhelm Eduard Weber/Alemão) 
 = L i (4.9.4) 
 
 Então, a equação (4.9.3) vale: 
 
 v(t) = 
i
dt
dL
dt
di
L 
 (4.9.5) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 80 
 que corresponde à expressão geral do comportamento da tensão para circuitos 
magnéticos. 
 
 
 
4.10. Capacitância 
 
 A diferença de potencial v entre os terminais de um capacitor é proporcional à 
carga elétrica q existente no referido circuito. A constante de proporcionalidade C e 
chamada capacitância do capacitor (vide Figura 4.10.1). 
 
 
Figura 4.10.1. 
 
 q(t) = C v(t) (4.10.1) 
 i(t) = 
dt
dq
 (4.10.2) 
ou: 
 v(t) = 
 dti
C
1
 (4.10.3) 
sendo: 
q : carga em coulomb (Charles Augustin de Coulomb / Francês); 
v : em volt 
C  coulomb / volt 
 : farad (Michael Faraday /Inglês) 
 
NB. Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad, se uma carga de 1 coulomb for 
depositada em suas placas por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 81 
 
4.11. Valor Médio e Valor Eficaz 
 
 
 Às formas de onda periódicas podem ser definidos dois importantes conceitos, 
que são: (1) Valor Médio e (2) Valor Eficaz. 
 
 
 
4.11.1. Valor Médio 
 
 Uma função periódica geral y(t) , de período T, possui um valor médio definido 
por: 
 
 (4.11.1.1) 
 
 
 Esta definição encontra pouca utilidade em circuitos elétricos por produzir, em 
vários casos, um valor nulo (e.g., para a função senoidal) (vide Exercício 1 adiante). Porém, 
o conceito de valor eficaz, que será abordado na sequência, introduz informações 
importantes, do ponto de vista dos circuitos elétricos, no trato de formas de onda. 
 
 
4.11.2. Valor Eficaz 
 
 Uma função periódica geral y(t) , de período T, possui um valor eficaz definido 
por: 
 
 (4.11.2.1) 
 
  
T
})t(y{área 2 (4.11.2.2) 
Ymed  
T
1

T
0
dt)t(y
 
Yrms  

T
0
2 dt})t(y{
T
1
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 82 
 
 A rotulação rms é dada pelo significado de valor médio quadrático (rms – root-
mean-square). 
 
 O significado do valor eficaz pode ser melhor compreendido através do 
seguinte experimento (mostrado na Figura 4.11.2.1). 
 
 
 Figura 4.11.2.1. 
 
 Trata-se de um circuito com fontes de tensão em corrente alternada (CA) e em 
corrente contínua (CC) alimentando uma carga resistiva (resistência R). Cada fonte possui 
uma chave (chaves 1 e 2). 
 Se a chave 1 for ligada com a chave 2 desligada, uma corrente ICC, que depende 
da resistência R e da tensão VCC da bateria, atravessará o resistor R. Se a chave 2 forligada 
e a chave 1 estiver aberta, a corrente elétrica alternada (com amplitude Imax) alimentará o 
resistor R. A fonte alternada deverá ser ajustada de tal forma que a potência fornecida à 
carga (resistor R) seja a mesma, se alimentada por corrente contínua. Assim, a potência 
instantânea fornecida pela fonte de corrente alternada será dada por: 
 
PCA = ICA2 R 
 = (Imax2 sen2 wt) R (4.11.2.3) 
 
Porém: 
 
sen2 wt = 
)wt2cos1(
2
1

, 
 
cos (2 A) = cos A cos A - sen A sen A 
 = cos
2
 A - sen
2
 A 
 = (1 - sen
2
 A) - sen
2
 A 
 = 1 –2 sen2 A. 
assim: 
sen
2
 A = 
)A2cos1(
2
1

 
 
Identidade trigonométrica 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 83 
Portanto: 
 
PCA = Imax2 [
)wt2cos1(
2
1

] R 
 = 
wtcos
2
RaxIm
2
RaxIm 22

 (4.11.2.4) 
 
 A potência média fornecida pela fonte alternada corresponde apenas ao 
primeiro termo (Imax2 R/2), já que o valor médio de um co-seno é zero, ainda que a 
frequência da onda seja o dobro da forma de onda da fonte. Igualando-se a potência 
média, fornecida pela fonte de corrente alternada, à potência fornecida pela fonte de 
corrente contínua (via bateria), obtém-se: 
 
Pmédia (CA) = PCC (4.11.2.5) 
2
RaxIm 2
= ICC2 R (4.11.2.6) 
ou seja: 
ICC = 
2
axIm
 (4.11.2.7) 
 = 0,7071 Imax. 
 
 Portanto: 
 
 
 
 
 
 Este é, por conseguinte, o significado do valor eficaz de formas de onda 
senoidais. 
 
 
 
O valor equivalente CC de uma tensão ou corrente senoidal vale 0,7071 (1/
2
) 
do seu valor máximo. 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 84 
4.11.3. Exercícios 
 
Exercício 1. Determinar os valores médio e eficaz para a seguinte forma de onda: 
 
y(t) = Ymax sen wt 
 
 Figura 4.11.3.1. 
 
 Considerando-se que o período é igual a 2, então, o valor médio será: 
Ymed = 
2
1

2
0
)wt(dwtsenmaxY
 
 = 
2
1    20wtcosmaxY
 
 = 0. 
 
 
 O valor eficaz vale: 
 
Yrms = 


2
0
2 )wt(d)wtsenmaxY(
2
1
 
 = Ymax 


2
0]
2
wtcossenwtwt
[
2
1
 
 = 
2
maxY
 
 
 Yrms = 0,7071 Ymax. (valor eficaz de uma função senoidal) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 85 
5. CONCEITO DE IMPEDÂNCIA E DE ADMITÂNCIA 
 
 
 
 As formas de onda de tensão e de corrente a ser abordadas neste Capítulo são 
essencialmente senoidais. Considerando-se este tipo de forma de onda, adiante serão 
apresentados os conceitos de impedância e de admitância, visando beneficiar-se da técnica 
de fasores de Steinmetz. 
 
 
5.1. Impedância 
 
 A impedância, pela Lei de Ohm, é definida como sendo a relação entre a tensão 
aplicada no circuito e a corrente elétrica que circula no referido circuito, ou seja: 
 
 Z  
corrente
tensão
 (5.1.1) 
sendo: 
Z : impedância (). 
 
 Na abordagem a ser apresentada adiante, considerar-se-ão formas de onda 
senoidais. Assim sendo, a técnica a ser usada refere-se à análise fasorial. 
 Para tensão e corrente senoidais a relação (5.1.1) terá um módulo e um ângulo. 
Na Figura 5.1.1. mostram-se as formas de onda da tensão e da corrente elétrica, 
considerando-se, isoladamente, a aplicação sobre uma resistência R, indutância L e 
capacitância C, respectivamente, tomando-se como referência a tensão V definida por: 
 
 V(t) = Vmax sen wt (5.1.2). 
sendo: 
Vmax : amplitude da tensão V(t) (V); 
V = 0 (ângulo de fase da tensão). 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 86 
 Deste modo, a corrente elétrica I(t) pode ser expressa por: 
 
 I(t) = Imax sen (wt + I) (5.1.2). 
 
sendo: 
Imax : amplitude da corrente I(t) (A); 
I : ângulo de fase da corrente. 
 
Figura 5.1.1. 
 
 Na Tabela 5.1.1 apresentam-se as relações entre tensão, corrente e impedância 
para circuitos senoidais. 
Tabela 5.1.1. 
Elemento Expressão da 
Corrente 
Corrente para 
V(t) = Vmax sen wt 
 Resistência R 
 IR = 
R
)t(V
 IR = 
R
maxV
 sen wt 
 Indutância L 
 IL = 
 dt)t(V
L
1
 IL = 
)wtcos(
wL
maxV

 
 Capacitância C 
 IC = 
dt
)t(dV
C
 
 IC = 
wtcosmaxVwC
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 87 
 A tensão e a corrente elétrica podem ser representadas por fasores da seguinte 
forma: 
 
V
 = Vmax 0o (5.1.3) 
 
I
 = Imax I (5.1.4) 
 
 A corrente elétrica, em termos da tensão V e da impedância Z, vale: 
 
 
I
  Imax I 
 = 
Z
0
φZ
0maxV


 (5.1.5) 
 
 Assim, a impedância Z pode ser expressa, no plano complexo, por: 
 
 Z = R + j X (5.1.6) 
em que: 
Z = 
22 XR 
 
 
X : reatância 
Z = 
)
R
X
(tg 1
 
X = w L (para a indutância) (5.1.7) 
X : valor positivo 
 
X = 
Cw
1

 (para capacitância) (5.1.8) 
X : valor negativo. 
 
 
 
NB. Quando maior for a frequência (w = 2  f), maior será a reatância indutiva e menor 
(em módulo) será a reatância capacitiva (vide Figura 5.1.2). 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 88 
 
Figura 5.1.2. 
 
 A impedância Z, no plano complexo, é ilustrada na Figura 5.1.3. 
 
 
Figura 5.1.3. 
 
 Por conseguinte, a partir das equações (5.1.6), (5.1.7) e (5.1.8), conclui-se que: 
 
 
I
 =
Zφ
Z
maxV

 (5.1.9) 
 
(1) Para um elemento puramente resistivo: 
 
I
 = 
00
Z
maxV

 (corrente em fase com a tensão) (5.1.10) 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 89 
 
Figura 5.1.4. Corrente em fase com a tensão. 
 
 
(2) Para um elemento puramente indutivo: 
 
I
 = 
090
Z
maxV

 (corrente fica atrasada de 90o sobre a tensão) (5.1.11) 
 
Figura 5.1.5. Corrente atrasada de 90o em relação à tensão. 
 
 
 (3) Para um elemento puramente capacitivo: 
I
 = 
090
Z
maxV

 (corrente fica adiantada de 90o sobre a tensão) (5.1.12) 
 
Figura 5.1.6. Corrente adiantada de 90o em relação à tensão. 
 
 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 90 
 
5.2. Admitância 
 
 A admitância é definida como sendo uma operação inversa da impedância, ou 
seja: 
 
 Y = 
Z
1
 (5.2.1) 
 
 Considerando-se a definição da impedância (Equação (5.1.6)), pode-se 
expressar a admitância da seguinte forma: 
 
 Y = 
XjR
1

 (5.2.2) 
 
 
 Multiplicando-se e dividindo-se a equação (5.2.2), obtém-se: 
 
 
 Y = 
)XjR()XjR(
XjR


 (5.2.3) 
 = 
22 XR
XjR


, 
 
Resultando em: 
 
 Y  G + j B (5.2.4) 
 
sendo: 
G : condutância 
 = 
22 XR
R

 
DEE – C/ISA – UNESP  Eletricidade – Curso de Graduação em Engenharia Civil  C. R. Minussi 
 
 91 
B : susceptância 
 = 
)
XR
X
(
22 

. 
 
 
 
5.3. Exemplos 
 
Exemplo 1: 
 Num circuito série (Figura 5.3.1) contendo R, L e C a corrente I(t) é Imax sen 
wt. Determine a tensão nos terminais de cada um dos elementos indicados e mostre o 
diagrama fasorial. 
 
 
 
Figura 5.3.1. 
 Tensão VR(t) 
 
 VR(t) = R I(t) 
 = R x I(t) 
 = R x Imax