409361203-Resumao-Concreto-Armado

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O concreto é um material utilizado na construção civil composto 
por agregados graúdos (pedras britadas, seixos rolados), agregados 
miúdos (areia natural ou artificial), aglomerantes (cimento), água, 
adições minerais e aditivos (aceleradores, retardadores, fibras, 
corantes). 
Devido ao fato do concreto apresentar boa resistência à 
compressão, mas não à tração, mostra-se muito limitado a 
utilização do concreto simples em obras civis. Quando se faz 
necessária a resistência aos esforços de compressão e tração, 
associa-se o concreto a materiais que apresentem alta resistência à 
tração resultando no concreto armado (concreto e armadura 
passiva) ou protendido (concreto e armadura ativa). 
 
Vantagens: 
 Economia; 
 Facilidade de execução e adaptação a qualquer tipo de forma (o 
que proporciona liberdade arquitetônica); 
 Excelente solução para se obtiver uma estrutura monolítica e 
hiperestática (maior reserva de segurança); 
 Resistência a efeitos atmosféricos, térmicos e ainda a desgastes 
mecânicos; 
 Manutenção e conservação praticamente nulas e grande 
durabilidade. 
 
Desvantagens: 
 Peso próprio elevado (na ordem de 2,5 t/m³); 
 Baixo grau de proteção térmica e isolamento acústico 
 Fissuração da região tracionada, podendo esta, ser controlada 
por meio da utilização de armadura de tração. 
 
A seguir, alguns termos a respeito do concreto armado que são 
definidos no item 3 da NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento. 
 Armadura ativa: define-se como uma armadura previamente 
alongada que realiza a protensão de um elemento estrutural, 
podendo, essa, ser em forma de barra, cordoalha ou fio isolado; 
 Armadura passiva: armadura utilizada sem prévio alongamento, 
não provocando, dessa forma, protensão no elemento; 
 Concreto estrutural: refere-se à utilização do concreto como 
material estrutural; 
 Elementos de concreto armado: são elementos estruturais feitos 
de concreto que possuem armadura, sendo a aderência 
concreto/armadura a responsável pelo comportamento 
estrutural; 
 Elementos de concreto protendido: são elementos estruturais 
feitos de concreto que possuem armadura previamente alongada 
por equipamentos destinados a esse fim. Dentre as funções dessa 
protensão, estão: evitar ou minimizar a fissuração da estrutura e 
possibilitar o maior aproveitamento possível dos aços de alta 
resistência; 
 Elementos de concreto simples estrutural: são elementos 
estruturais feitos de concreto que não apresentam armadura ou 
a possuem em quantidade menor do que a mínima estipulada em 
norma; 
 Estado-limite último (ELU): estado-limite que se relaciona ao 
colapso ou qualquer forma de ruína da estrutura, levando à 
necessidade de paralisação do uso da mesma devido à falta de 
segurança; 
 Estado-limite de serviço (ELS): estado-limite relacionado à 
durabilidade, aparência, bom desempenho da estrutura e 
conforto do usuário. Pode ocorrer devido a deformações e 
deslocamentos excessivos no uso normal, vibrações ou 
fissurações excessivas. Dentre os estados-limites de serviço tem-
se: ELS-F (estado-limite de formação de fissuras), ELS-W(estado-
limite de abertura das fissuras), ELS-D (estado-limite de 
descompressão), ELSDP (estado-limite de descompressão 
parcial), ELS-DEF (estado-limite de deformações excessivas), ELS-
CE (estado-limite de compressão excessiva), ELS-VE (estado-
limite de vibrações excessivas). 
 Módulo de Elasticidade: define-se com o aumento das 
deformações devido o crescimento linear sob carregamento. Ou 
seja, a relação de tensão e deformação para determinados 
intervalos pode-se considerar a Lei de Hooke: 
 
 𝜎 = 𝐸. 𝜀 (1) 
𝜎= Tensão; 
𝜀= Deformação específica; 
𝐸 = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação 
Longitudinal. 
 
A seguir, classificações e dados sobre o concreto armado 
apresentados no item 8.2 da NBR 6118:2014. 
Propriedades mecânicas do concreto 
 Resistência à compressão: A principal análise e estudo da 
propriedade mecânica do material concreto é a resistência 
mecânica a compressão devido a sua função estrutural assumida 
no material composto concreto armado. A NBR-12655:2015 
estabelece as dimensões e procedimentos para o ensaio de 
compressão simples realizado em corpos de provas (CPs), já que 
a forma do corpo de prova e a duração do ensaio são dois fatores 
básicos que interfere a resistência à compressão. É recomendado 
pela norma o corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm 
de diâmetro e 30 cm de altura. 
 
 Resistência característica do concreto a compressão ( 𝑓𝑐𝑘 ): O 
cálculo da resistência de dosagem deve ser feito a partir de 
resultados de ensaios feitos em um grande número de obras, esta 
variabilidade é medida pelo desvio-padrão, 𝑆𝑑 , é levada em conta 
no cálculo segundo a equação: 
 𝑓𝑐𝑗 = 𝑓𝑐𝑘 + 1,65 𝑆𝑑 (2) 
 
Onde, 
𝑓𝑐𝑗 = é a resistência média do concreto à compressão, prevista 
para idade j dias, em MPa; 
𝑓𝑐𝑘 = é a resistência característica do concreto à compressão, em 
MPa; 
 𝑆𝑑 = é o desvio-padrão da dosagem, em MPa. 
 
De acordo com a NBR12655:2015 o cálculo da resistência de 
dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, das 
condições de preparo do concreto, definidas a seguir: 
 Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os 
agregados são medidos em massa, a água de amassamento é 
medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida 
em função da umidade dos agregados; 
 Condição B: 
- Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, 
a água de amassamento é medida em volume mediante 
dispositivo dosador e os agregados medidos em massa 
combinada com volume; 
CONCRETO ARMADO 
TERMOS E DEFINIÇÕES 
CONCRETO 
2 
 
- Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, 
a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo 
dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do 
agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o 
serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é 
corrigido através da curva de inchamento estabelecida 
especificamente para o material utilizado; 
 Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): 
o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em 
volume, a água de amassamento é medida em 
Ainda de acordo com a NBR12655:2005, no início da obra ou em 
qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do 
desvio-padrão 𝑆𝑑 , deve-se adotar para o cálculo da resistência de 
dosagem os valores apresentados na Tabela 1, de acordo com a 
condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente 
durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja 
conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor 
que 2,0 MPa. 
 
Tabela 1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da condição 
de preparo do concreto. 
Condição de preparo do concreto 
Desvio-padrão 
(Mpa) 
A 4,0 
B 5,5 
C¹ 7,0 
¹ Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, 
exige-se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de 
cimento por metro cúbico. 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2015. 
Massa específica (𝝆𝒄) 
A norma se aplica aos concretos de massa específica normal, ou 
seja, quando secos em estufa apresentam massa específica entre 
2.000 e 2.800 kg/m³. 
Quando a massa específica não for conhecida, adota-se, para 
cálculo, 2.400 kg/m³ para o concreto simples e 2.500 kg/m³ para o 
concreto armado. 
 
Diagrama tensão-deformação 
A NBR 6118:2014, no item 8.2.10.1, apresenta o seguinte diagrama 
tensão-deformação, para compressão, analisando-se o estado-
limite último: 
 
Figura 1– Diagrama tensão-deformação idealizado 
 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Para este diagrama, a tensão de compressão no concreto é obtida 
pela fórmula:𝜎𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑 [1 − (1 −
𝜀𝑐
𝜀𝑐2
)
𝑛
] (3) 
Sendo, 
 para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 ∴ 𝑛 = 2 (3.a) 
 para 𝑓𝑐𝑘 > 50 𝑀𝑃𝑎 ∴ 𝑛 = 1,4 + 23,4 [
(90−𝑓𝑐𝑘)
100
]
4
 (3.b) 
Onde, 
 𝑓𝑐𝑘 = Resistência Característica do Concreto à Compressão 
(expresso em 𝑀𝑃𝑎). 
Para os valores de 𝜀𝑐2 (deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e 𝜀𝑐𝑢 (deformação 
específica de encurtamento do concreto na ruptura) tem-se, de 
acordo com a norma: 
 
- Concretos de classes até C50: 
 
𝜀𝑐2 = 2,0‰ (4) 
𝜀𝑐𝑢 = 3,5‰ (5) 
 
- Concretos de classes C55 até C90: 
 
 𝜀𝑐2 = 2,0‰ + 0,085‰(𝑓𝑐𝑘 − 50)0,53 (6) 
 
𝜀𝑐𝑢 = 2,6‰ + 35‰ [
90−𝑓𝑐𝑘
100
]
4
 (7) 
 
Sendo 𝑓𝑐𝑘 expresso em 𝑀𝑃𝑎. 
 
Resistência do concreto à tração direta (𝒇𝒄𝒕) 
De acordo com a NBR 6118:2014, a resistência à tração direta do 
concreto (𝑓𝑐𝑡) pode ser obtida pelas fórmulas: 
 
 𝑓𝑐𝑡 = 0,9𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝 (8) 
 𝑓𝑐𝑡 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑓 (9) 
 
Sendo: 
𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝 = resistência do concreto à tração indireta; 
𝑓𝑐𝑡,𝑓 = resistência do concreto à tração na flexão. 
 
Na falta de ensaios para obtenção dos valores de 𝑓𝑐𝑡,𝑠𝑝 e 𝑓𝑐𝑡,𝑓 , 
calcula-se a resistência média à tração 𝑓𝑐𝑡,𝑚 por meio das fórmulas: 
 
- Concretos de classes até C50: 
 
 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘
2/3 (10) 
 
- Concretos de classes C55 até C90: 
 
 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ln(1 + 0,11 𝑓𝑐𝑘) (11) 
 
Sendo𝑓𝑐𝑡,𝑚 e 𝑓𝑐𝑘 expresso em 𝑀𝑃𝑎. 
 
Quanto aos valores inferior e superior para a resistência 
característica à tração tem-se: 
 
 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 (12) 
 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3𝑓𝑐𝑡,𝑚 (13) 
 
Módulo de Deformação Tangente inicial (𝑬𝒄𝒊) 
A fórmula do Módulo de elasticidade para o concreto é aplicado 
apenas à parte retilínea da curva tensão-deformação ou, se a parte 
3 
 
retilínea não existir, a fórmula é aplicada à tangente da curva na 
origem, então se tem o módulo de deformação tangente inicial 
(𝐸𝑐𝑖 ) (Figura 2). Este módulo pode ser obtido segundo o ensaio 
estabelecido na NBR 8522:2008 – Concreto – Determinação do 
módulo estático de elasticidade à compressão, ou pode ser 
estimado através da fórmula: 
- Concretos de classes até C50: 
 
 𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 5600 𝑓𝑐𝑘
1/2 (14) 
 
- Concretos de classes C55 até C90: 
 
 𝐸𝑐𝑖 = 21,5.10³ 𝛼𝐸 [
𝑓𝑐𝑘
10
+ 1,25]
1/3
 (15) 
 
Sendo: 
𝛼𝐸= 1,2 para basalto e diabásio; 
𝛼𝐸= 1,0 para granito e gnaisse; 
𝛼𝐸= 0,9 para calcário; 
𝛼𝐸= 0,7 para arenito; 
𝐸𝑐𝑖 e 𝑓𝑐𝑘 expresso em 𝑀𝑃𝑎. 
 
Módulo de Deformação Secante (𝑬𝒄𝒔) 
Pode-se adotar um módulo de elasticidade único, à tração e à 
compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (𝐸𝑐𝑠 ) para 
avaliar o comportamento de um elemento estrutural ou de uma 
ação transversal. Para análises elásticas, determinação de esforços 
solicitantes e verificação de limites de serviço deve-se adotar a 
fórmula: 
 𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 𝐸𝑐𝑖 (16) 
Onde: 
 𝛼𝑖 = 0,8 + 0,2 
𝑓𝑐𝑘
10
≤ 1,0 (17) 
 
Sendo 𝑓𝑐𝑘 expresso em 𝑀𝑃𝑎. 
 
A Tabela 2 apresenta valores arredondados que podem ser 
encontrados por meio das fórmulas anteriormente citadas. 
 
Tabela 2 – Valores estimados do módulo de elasticidade em 
função da resistência característica à compressão do concreto 
(considerando o uso do granito como agregado graúdo) 
Classes C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80 C90 
𝑬𝒄𝒊(GPa) 25 31 35 40 42 43 45 47 
𝑬𝒄𝒔(GPa) 21 27 32 37 40 42 45 47 
𝜶𝒊 0,85 0,88 0,90 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Figura 2 – Módulo de elasticidade e deformação do concreto. 
 
Fonte: Adaptado de BATTAGIN, 2007. 
Segundo a 6118: 2014, O módulo de elasticidade secante (𝐸𝑐𝑠) a ser 
utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para 
determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: 
𝐸𝑐𝑠 = 𝑜, 85𝐸𝑐𝑖 (14) 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou 
seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade 
único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade 
secante (𝐸𝑐𝑠). Na avaliação do comportamento global da estrutura 
pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente 
inicial (𝐸𝑐𝑖). 
Para tensões de compressão menores que 0,5. 𝑓𝑐 pode-se admitir 
uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para 
módulo de elasticidade o valor secante (𝐸𝑐𝑖). 
Coeficiente de Poisson (𝝊) e módulo de elasticidade transversal do 
concreto (𝑮𝒄) 
De acordo com a norma, em casos de tensões de compressão 
menores que 0,5. 𝑓𝑐 e de tração menores que 𝑓𝑐𝑡 , adota-se, para 
coeficiente de Poisson (𝜐 ), o valor de 0,2 e para o módulo de 
elasticidade transversal (𝐺𝑐) tem-se: 
 
 𝐺𝑐 = 
𝐸𝑐𝑠
2,4
 (18) 
 
O aço utilizado no concreto armado segue parâmetros estipulados 
pelas normas NBR 7480:2007 e NBR 6118:2014. A seguir, 
classificações e dados sobre o aço. 
Categoria 
Para elaboração de projetos estruturais em concreto armado, são 
utilizados aços classificados como CA-25 e CA-50 para barras, ou 
CA-60 para fios, significando, essa denominação: CA= Concreto 
Armado + número que se segue = valor característico da resistência 
de escoamento do aço em kN/cm² ou kgf/mm². Quanto às 
características das barras, a NBR 7480:2007 estipula a 
características das barras e dos fios. 
 
Tipo de superfície aderente 
Os fios e barras de aços utilizados no concreto armado podem ter 
superfícies lisas, entalhadas ou providas de saliências ou mossas. A 
capacidade aderente entre aço e concreto está relacionada ao 
coeficiente 𝜂1, sendo, este, estabelecido pela NBR 6118:2014 no 
item 8.3.2, sendo demonstrado na Tabela 1: 
 
Tabela 3 – Valor do coeficiente de aderência 𝜼𝟏 
Tipo de superfície ƞ1 
Lisa (CA-25) 1,0 
Entalhada (CA-60) 1,4 
Nervurada (CA-50) 2,25 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Massa específica (𝝆) 
Adota-se, para aço de armadura passiva ou ativa, massa específica 
no valor de 7.850 kg/m³. 
 
Módulo de elasticidade 
Quando não forem estabelecidos por ensaios, o módulo de 
elasticidade do aço de armadura passiva (𝐸𝑠) pode ser adotado 
como 210 𝐺𝑃𝑎 (2,1𝑥106 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²). Para módulo de elasticidade 
do aço de armadura ativa (Ep), pode-se considerar o valor de 
200 𝐺𝑃𝑎 (2,0𝑥106 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²) para fios e cordoalhas. 
Aço 
4 
 
 
Diagrama tensão-deformação 
A NBR ISO 6892-1 estipula os ensaios de tração a serem realizados 
para obtenção do diagrama tensão-deformação para aços de 
armaduras passivas, valores característicos da resistência ao 
escoamento (𝑓𝑦𝑘), resistência à tração (𝑓𝑠𝑡𝑘) e deformação última 
de ruptura (𝜀𝑢𝑘). Em casos nos quais o aço não apresentar patamar 
de escoamento, adota-se o valor de 𝑓𝑦𝑘de 0,2%. 
 
Para compressão e tração, aços com ou sem patamar de 
escoamentoe em intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC, 
analisando-se os estados-limite de serviço e último, pode-se utilizar 
o diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas 
proposto na NBR 6118:2014: 
 
Figura 3 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras 
passivas 
 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Quanto ao aço de armadura ativa, tratando-se das cordoalhas, 
deve-se obedecer ao estabelecido na NBR 7483 que estipula os 
valores característicos da resistência ao escoamento convencional 
(𝑓𝑝𝑦𝑘), resistência à tração (𝑓𝑝𝑡𝑘) e alongamento após ruptura (𝜀𝑢𝑘). 
 
Para os valores referentes aos fios, deve-se seguir a NBR 7482. Em 
intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC, analisando-se os 
estados-limite de serviço e último, pode-se utilizar o diagrama 
tensão-deformação para aços de armaduras ativas proposto na 
NBR 6118:2014: 
 
Figura 4 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras 
ativas 
 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
 
A seguir, breve apresentação teórica e formulação para cálculo das 
resistências mais utilizadas em elementos de concreto armado 
presentes no item 12 da NBR 6118:2014. 
 
Resistência de cálculo do concreto (𝒇𝒄𝒅) 
A resistência de cálculo do concreto ( 𝑓𝑐𝑑 ), quando obtida por 
verificação realizada em data igual ou superior a 28 dias, é obtida, 
segundo NBR 6118:2014, pela fórmula: 
 
 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 (19) 
Sendo: 
𝑓𝑐𝑘 = resistência característica do concreto à compressão; 
𝛾𝑐 = coeficiente de ponderação do Concreto. 
 
Para cálculo da tensão de pico pelo diagrama tensão-deformação, 
para qualquer tipo de seção e classe de concreto, deve-se 
considerar o coeficiente de Rüsch, chegando-se à fórmula: 
 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 = 0,85.
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 (20) 
 
Segundo Camacho (2006), os ensaios rápidos de compressão axial 
ou de flexão, geralmente define os diagramas tensão-deformação 
do concreto. Observa-se quando a tensão de ruptura é alcançada 
nos ensaios de compressão axial, tem-se uma deformação 
especifica da ordem de 2‰. Já nos ensaios de flexão, essa 
deformação varia entre os limites de 3‰ a 6‰. 
 
Os ensaios realizados pelo pesquisador Rüsch, mostraram que o 
concreto submetido a um carregamento com baixa velocidade de 
crescimento, apresenta uma diminuição de resistência de até 20% 
em relação aos valores obtidos em ensaios rápidos, modificando-se 
também os valores últimos das deformações. 
 
Figura X– Velocidade de carregamento do concreto 
 
Fonte: CAMACHO, 2006. 
 
Onde, 
𝑓𝑐 = resistência do concreto à compressão num ensaio rápido; 
𝜀𝑐= encurtamento relativo do concreto; 
𝜎𝑐= tensão no concreto durante o ensaio; 
𝑡= duração do carregamento. 
 
A Figura X mostra que não haverá ruptura imediata se o corpo de 
prova for carregado de forma rápida até atingir o ponto A, e a carga 
for mantida constante, porém as deformações irão crescendo até 
que ocorra a ruptura do concreto comprimido. 
 
De forma semelhante, haverá um acréscimo de deformação no 
corpo de prova com o tempo, se a carga for conduzida e mantida 
até o ponto B, porém sem que se verifique a ruptura do mesmo. 
 
Admite-se que no estado último as tensões de compressão na 
seção transversal tenham uma distribuição de acordo com o 
diagrama parábola-retângulo representada na Figura 5. 
 
Figura 5 – Diagrama de tensões Parábola-Retângulo 
RESISTÊNCIAS 
5 
 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para simplificação, a NBR 6118:2014 permite utilizar o diagrama 
retangular representada na Figura 6, para cálculo das tensões no 
concreto, resultando, nos casos em que a largura da seção 
transversal não diminuir da linha neutra para a borda mais 
comprimida, em uma tensão constante obtida pela fórmula: 
 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐 = 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 = 𝛼𝑐 .
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 (21) 
 
 
Figura 6 – Diagrama de tensões Retangular 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para caso contrário, como seção circular, utiliza-se, para cálculo da 
tensão constante, a fórmula: 
 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐 = 0,9. 𝛼𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 = 0,9. 𝛼𝑐 .
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 (22) 
 
Tem-se para as Fórmulas 21 e 22: 
 
Concretos de classes até C50: 
 
 𝛼𝑐 = 0,85 (23) 
 
Concretos de classes C55 até C90: 
 
 𝛼𝑐 = 0,85. [1 −
(𝑓𝑐𝑘−50)
200
] (24) 
 
Sendo 𝑓𝑐𝑘 expresso em 𝑀𝑃𝑎. 
 
Resistência de escoamento de cálculo (𝒇𝒚𝒅) 
A resistência de escoamento de cálculo (𝑓𝑦𝑑) é obtida pela fórmula: 
 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
 (25) 
 
Sendo: 
𝑓𝑦𝑑 = tensão de escoamento de cálculo; 
𝑓𝑦𝑘 = resistência característica de escoamento; 
𝛾𝑠 = coeficiente de ponderação das resistências do aço. 
 
A norma NBR 6118:2014, em seu item 12.4.1, estabelece os 
coeficientes de ponderação das resistências no estado-limite 
último por meio da tabela: 
 
Tabela 4 – Valores dos coeficientes 𝛾𝑐 e 𝛾𝑠 
Combinações 
Concreto Aço 
Normais 1,4 1.15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
 
A durabilidade das estruturas de concreto mostra-se afetada, 
significativamente, pela agressividade do ambiente, relacionando-
se, esta, às ações físicas (ex: variações de temperatura e ação da 
água) e químicas (ex: águas ácidas, sulfatos e cloretos) que atuam 
sobre as estruturas de concreto. Para classificação em relação à 
agressividade ambiental, a norma estabelece, em seu item 6.4.2 
representada pela tabela 3: 
 
Tabela 5 – Classes de agressividade ambiental (CAA) 
Classe de 
agressividade 
ambiental 
(CAA) 
Agressividade 
Classificação 
geral do tipo de 
ambiente para 
efeito de projeto 
Risco de 
deterioração 
da estrutura 
I Fraca 
Rural 
Insignificante 
Submersa 
II Moderada 
Urbana a,b 
 
 
Pequeno 
III Forte 
Marinhaa 
Grande 
Industriala,b 
IV Muito Forte 
Industriala,c 
Elevado Respingos de 
maré 
a Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma acima) para 
ambientes internos secos como salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de 
serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com 
concreto revestido com argamassa e pintura. 
b Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma acima) em obras em 
regiões de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65%, partes 
da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões 
onde raramente chove. 
C Ambientes quimicamente agressivos como tanques industriais, galvanoplastia, 
branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes e 
indústrias químicas. 
 Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Os cobrimentos nominais de uma barra (𝑐𝑛𝑜𝑚), que referem-se ao 
cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução Δc (maior 
ou igual a 10mm, salvo quando houver controle rígido de 
qualidade), devem seguir as condições estabelecidas na NBR 
6118:2014, item 7.4.7.5: 
 
 ∅𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 
 𝑐𝑛𝑜𝑚 ≥ ∅𝑓𝑒𝑖𝑥𝑒 (26) 
 0,5. ∅𝑏𝑎𝑖𝑛ℎ𝑎 
Sendo: 
 ∅𝑓𝑒𝑖𝑥𝑒 Obtido pela fórmula: 
 ∅𝑓𝑒𝑖𝑥𝑒 = ∅𝑛 = ∅𝑓. √𝑛 (27) 
Onde: 
∅𝑛= diâmetro equivalente; 
∅𝑓= diâmetro das barras do feixe; 
𝑛 = número de barras do feixe; 
 
Relacionada ao cobrimento nominal, está a dimensão máxima 
característica do agregado graúdo utilizado no concreto, sendo, 
esta, estipulada pela NBR 6118:2014, item 7.4.7.6, por meio da 
fórmula:𝑑𝑚á𝑥 ≤ 1,2. 𝑐𝑛𝑜𝑚 (28) 
Sendo: 
AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE 
𝛾𝑐
' 
𝛾𝑠 
6 
 
𝑑𝑚á𝑥= dimensão máxima característica do agregado graúdo; 
𝑐𝑛𝑜𝑚 = cobrimento nominal. 
 
A Tabela 4, retirada do item 7.4.7.2 da NBR 6118:2014, relaciona o 
cobrimento nominal à classe de agressividade ambiental: 
 
Tabela 6 – Correspondência entre a classe de agressividade 
ambiental (CAA) e o cobrimento nominal para Δc=10mm. 
Tipo de 
Estrutura 
Componente ou 
elemento 
CAA 
I II III IVc 
Cobrimento 
nominal (mm) 
Concreto 
armado 
Lajeb 20 25 35 45 
Viga / Pilar 25 30 40 50 
Elementos estruturais 
em contato com o solod 
30 40 50 
Concreto 
Protendido
a 
Laje 25 30 40 50 
Viga / Pilar 30 35 45 55 
 
a Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da 
armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado. 
b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de 
contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de 
revestimento e acabamento, como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, 
pisos asfálticos e outros, as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas 
condições apresentadas para o cobrimento nominal, respeitando um cobrimento 
nominal ≥ 15mm. 
c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de 
tratamento de água e esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes 
química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de 
agressividade IV. 
d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a 
armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45mm. 
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014. 
 
Por meio da análise dos diagramas de deformação, chegou-se aos 
domínios de deformação, sendo, estes, descritos na NBR 
6118:2014, no item 17.2.2: 
 
Figura 7 – Domínios de estado-limite último de uma seção 
transversal 
 
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva: 
- reta a: tração uniforme; 
- domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; 
- domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à 
compressão do concreto (𝜀𝑐do concreto; 
𝑏 = base da seção retangular; 
𝑑 = altura útil da seção retangular; 
𝑓𝑦𝑑 = tensão de escoamento de cálculo; 
K e K’ = parâmetros adimensionais que medem as intensidades dos 
momentos fletores externo e interno, respectivamente. 
 
A altura útil da seção retangular (d) é obtida pela fórmula: 
 
 𝑑 = ℎ − 𝑑′ (32) 
 
Sendo: 
ℎ = altura da seção retangular; 
𝑑′ dado pela fórmula: 
 𝑑′ = 𝐶𝑛𝑜𝑚 + ∅𝑡 + 
∅𝐿
2
 (33) 
Sendo: 
𝐶𝑛𝑜𝑚= cobrimento nominal; 
∅𝑡 = diâmetro da barra de armadura transversal (estribo); 
∅𝐿 = diâmetro da barra de armadura longitudinal. 
 
Figura 22 – Seção retangular 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para cálculo do parâmetro K, tem-se: 
 𝐾 = 
𝑀𝑑
𝑓𝑐.𝑏.𝑑2 = 
𝑀.1,4
𝑓𝑐.𝑏.𝑑2 (34) 
Onde: 
𝑀𝑑= momento de cálculo. 
 
Para análise do valor de 𝐾′ a ser utilizado para cálculo de 𝐴𝑠1 e 
𝐴𝑠2, considera-se: 
𝐾 ≤ 𝐾𝐿 → 𝐾′ = 𝐾 
 (35) 
𝐾 > 𝐾𝐿 → 𝐾′ = 𝐾𝐿 
 
Sendo 𝐾𝐿, considerando-se um adequado comportamento dúctil, 
obtido pela fórmula: 
 𝐾𝐿 = 𝐾′𝐿 = 𝛼𝐿 (1 −
𝛼𝐿
2
) (36) 
Onde: 
 𝛼𝐿 = (
𝑦
𝑑
)
𝐿
= 𝜆 (
𝑥
𝑑
)
𝐿
 (37) 
SEÇÃO RETANGULAR 
9 
 
 
Para um adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a NBR 
6118:2014 estabelece para posição da linha neutra no ELU os 
limites: 
 
- Concretos de classes até C50: 
 
 
𝑥
𝑑
 ≤ 0,45 (38) 
 
- Concretos de classes C55 até C90: 
 
 
𝑥
𝑑
 ≤ 0,35 (39) 
 
As tensões na seção transversal de um elemento em concreto 
resultam em um diagrama parábola-retângulo com tensão de pico 
de 0,85.fcd. Para simplificação, a NBR 6118:2014 permite trabalhar 
com um diagrama retangular de profundidade obtida pela fórmula: 
 𝑦 = 𝜆𝑥 (40) 
Sendo: 
 
- Concretos de classes até C50: 
 
 𝜆 = 0,8 (41) 
 
- Concretos de classes C55 até C90: 
 
 𝜆 = 0,8 −
(𝑓𝑐𝑘−50)
400
 (42) 
 
Sendo 𝑓𝑐𝑘 expresso em MPa. 
 
Utilizando-se as fórmulas citadas, chega-se à tabela para os valores 
de 𝐾𝐿 considerando-se a situação de adequado comportamento 
dúctil: 
 
Tabela 7 – Valores de 𝑲𝑳. 
Classe Λ (x/d)L αL KL 
≤ C50 0,8000 0,45 0,360 0,295 
C55 0,7875 0,35 0,276 0,238 
C60 0,7750 0,35 0,271 0,234 
C65 0,7625 0,35 0,267 0,231 
C70 0,7500 0,35 0,263 0,228 
C75 0,7375 0,35 0,258 0,225 
C80 0,7250 0,35 0,254 0,222 
C85 0,7125 0,35 0,249 0,218 
C90 0,7000 0,35 0,245 0,215 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
A relação d’/d é obtida por meio da fórmula utilizada para cálculo 
do nível de tensão na armadura comprimida (φ), que é sempre 
menor ou igual a 1: 
 
 
 𝜑 =
𝜎′𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑
=
(
𝑥
𝑑
)
𝐿
−(
𝑑′
𝑑
)
(
𝑥
𝑑
)
𝐿
.
𝜀𝑐𝑢.𝐸𝑠
𝑓𝑦𝑑
≤ 1 (43) 
 
Considerando-se φ = 1, tem-se: 
 
Tabela 8 – Valores para a relação d’/d 
Classe CA 25 CA 50 CA 60 
≤ C50 0,317 0,184 0,131 
C55 0,234 0,118 0,072 
C60 0,224 0,099 0,049 
C65 0,218 0,085 0,032 
C70 0,214 0,077 0,023 
C75 0,212 0,073 0,018 
C80 0,211 0,072 0,016 
C85 0,211 0,071 0,016 
C90 0,211 0,071 0,016 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para casos nos quais haja 𝐴𝑠2 , deve-se calcular a armadura de 
compressão 𝐴′𝑠 pela fórmula: 
 
 𝐴′𝑠 =
𝐴𝑠2
𝜑
 (44) 
Sendo, 
 
𝐴𝑠2 obtido pela Fórmula 31; 
𝜑 obtido pela Fórmula 44. 
 
 
Nas estruturas de concreto armado, mostra-se muito frequente a 
utilização de seções geométricas em T ou L. Estas seções são 
compostas por uma nervura ou alma de largura 𝑏𝑤 e uma mesa de 
largura 𝑏𝑓 . No entanto, essas estruturas só podem ser 
consideradas como seções em T ou L se a mesa estiver comprimida. 
Nos casos em que ela não demonstrar tal comportamento, a seção 
se comportará como retangular de largura 𝑏𝑤. 
 
Para casos nos quais a profundidade da linha neutra seja menor ou 
igual à altura da mesa (y ≤ ℎ𝑓 ), a seção é considerada como 
retangular de largura 𝑏𝑓. 
 
Figura 23 – Diagrama para seção retangular 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
Para obtenção da área de aço 𝐴𝑠 necessária para a armadura, 
utiliza-se a mesma fórmula empregada para seções retangulares 
(ver Fórmula 29). Quanto às parcelas para cálculo do 𝐴𝑠 (𝐴𝑠1 e 
𝐴𝑠2), utiliza-se para 𝐴𝑠2 a Fórmula 31 e para 𝐴𝑠1 tem-se: 
 
 𝐴𝑠1 =
𝑓𝑐 .𝑏𝑓.𝑑
𝑓𝑦𝑑
. [(1 − √1 − 2𝑘′) + (
𝑏𝑓
𝑏𝑤
− 1) .
ℎ𝑓
𝑑
] (45) 
 
Sendo, 
𝑓𝑐 = resistência final de cálculo do concreto; 
𝑏 = base da seção retangular; 
𝑑 = altura útil da seção retangular; 
 𝑓𝑦𝑑= tensão de escoamento de cálculo; 
𝑏𝑓 = largura da mesa; 
𝑏𝑤 = largura da nervura; 
ℎ𝑓 = altura da mesa; 
 
K obtido pela fórmula: 
 
 𝐾 =
𝑀𝑑
𝑓𝑐.𝑏.𝑑
2 − (
𝑏𝑓
𝑏𝑤
− 1) . (
ℎ𝑓
𝑑
) . (1 −
ℎ𝑓
2𝑑
) (46) 
 
 
Para análise do valor de K’ a ser utilizado para cálculo de 𝐴𝑠1 𝐴𝑠2, 
são obedecidas as mesmas condições da seção retangular (35). Para 
cálculo de 𝐾𝐿 , considerando-se um adequado comportamento 
SEÇÃO T ou L 
10 
 
dútil, utiliza-se a Fórmula 36 apresentada para as seções 
retangulares, chegando-se aos mesmos valores de 𝐾𝐿 que os já 
calculados (ver Tabela 7). 
 
Para casos nos quais haja 𝐴𝑠2, deve-se calcular a armadura de 
compressão A’s utilizando-se Fórmula 44. 
 
Roteiro para cálculo de vigas T 
 
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝑅𝑐𝑐 . (𝑑.
ℎ𝑡
2
) 
1) Verificar se a viga pode ser T (Existe compressão na 
mesa?). 
 
2) Cálculo do bf 
𝑏𝑓 = 𝑏1 + 𝑏𝑤 + 𝑏1 = 𝑏𝑓 
𝑏𝑓 = 𝑏3 + 𝑏𝑤 + 𝑏3 = 𝑏𝑓 
𝑏𝑓 = 𝑏1 + 𝑏𝑤 + 𝑏3 = 𝑏𝑓 
𝑏3 ≤ {
0,10. 𝑎
𝑏4
 𝑏1 ≤ {
0,10. 𝑎
0,5. b2
 
3) Cálculo do M referência 
𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝑓𝑐 . 𝑏𝑓 . ℎ𝑓 . (𝑑 −
ℎ𝑡
2
) 
 
4) Comparar𝑀𝑟𝑒𝑓 com 𝑀𝑑. 
4.1) Se 𝑀𝑑 𝑀𝑟𝑒𝑓, a linha neutra desce cortando a nervura. Usam-
se as formulas da pagina 9 da apostila. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segue quadro de conversão de unidades mais comumente 
utilizadas: 
Quadro 1 – CONVERSÃO DE UNIDADES 
Tendo 
Multiplicar por 
 
Obtém 
Tf 10 kN 
Tf 1.000 Kgf 
Kgf 1/100 kN 
Kgf 10 N 
kN 1000 N 
Kgf/cm² 1/10 MPa 
CONVERSÃO DE UNIDADES 
11 
 
Kgf/cm² 100 kN/m² 
Kgf/cm² 1/10 MN/m² 
Kgf/cm² 10 N/cm² 
Kgf/cm² 1/100 kN/cm² 
tf/m² 10 kN/m² 
tf/m² 1/100 MPa 
tf/m² 1/10 Kgf/cm² 
tf/m³ 10 kN/m³ 
MPa 1.000 KN/m² 
MPa 1 MN/m² 
MPa 1/10 KN/cm² 
m³ 1.000 L 
tf.m 10.000 Kgf.cm 
Kg 1.000 G 
m² 10.000 cm² 
H 3.600 S 
Obtém 
Dividir por 
 
Tendo 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Admitindo-se que o concreto armado é um material heterogêneo e 
anisotrópico, o seu comportamento estrutural não respeita 
minunciosamente as previsões da mecânica dos sólidos clássica, 
dificultando assim sua análise. Em função disso, este texto 
procurou relatar apenas conceitos bem consolidados no meio 
técnico-científico, sendo objetivo dos autores disponibilizarempara a comunidade em geral um material de consulta prático. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 12655: 
Concreto de cimento Portland - Preparo, controle, recebimento e 
aceitação – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2015. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: 
Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480: Aço 
destinado a armaduras para estruturas de concreto armado – 
Especificação. Rio de Janeiro: ABNT, 2007. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8522: 
Concreto – Determinação do módulo estático de elasticidade à 
compressão. Rio de Janeiro: ABNT, 2008. 
 
BASTOS, P.S.S. Notas de aula da disciplina: Fundamentos do 
Concreto Armado. UNESP: Bauru, 2011. Disponível em: 
 Acesso em 22 mar. 2015. 
 
BATTAGIN, Inês Laranjeira da S. Módulo de Elasticidade do 
Concreto como Analisar e Especificar. 2007. Disponível em: 
 Acesso em: 
05 ago. 2015. 
 
CAMACHO, Jefferson S. Notas de aula da disciplina: Introdução ao 
estudo do concreto armado. UNESP: Ilha Solteira, 2006. Disponível 
em: 
 Acesso em 20 Dez. 2015. 
 
PINHEIRO, Libânio M.; MUZARDO, Cassiane D.; SANTOS, Sandro P. 
Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios: Capítulo 2. São 
Paulo: EduFSCar, 2007 . Disponível em: 
 Acesso em: 05 ago. 2015. 
 
CARVALHO, Carlos Chust; FILHO, Jasson R. de Figueredo. Cálculo e 
detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo 
a NBR 6118:2003. 3. Ed. São Paulo: EduFSCar, 2010. 
 
PORTO, Thiago B.; FERNANDES, Danielle S. G. Projeto Estrutural de 
um Edifício em Concreto Armado. Belo Horizonte: FUMARC, 2014. 
 
PORTO, Thiago B.; FERNANDES, Danielle S. G. Curso básico de 
concreto armado: conforme NBR 6118:2014. São Paulo: Oficina de 
Textos, 2015. 
 
SILVA, N.A. Concreto Armado I. Belo Horizonte: UFMG, 2005. 
 
SILVA, N.A. Notas de aula da disciplina: Concreto Armado I. Belo 
Horizonte: UFMG, 2014. 
 
 
Autores: 
Danielle Stefane Gualberto Fernandes (Arquiteta e Urbanista/ 
Engenheira Civil) 
Denise Christie de O. Capanema (Graduanda de Engenharia Civil) 
Tatiana Aparecida Rodrigues Costa (Graduanda de Engenharia Civil) 
Thiago Bomjardim Porto (Professor do Departamento de 
Engenharia Civil) 
Editor: Thiago Bomjardim Porto (Professor do Departamento de 
Engenharia Civil). 
Apoio: Consmara Engenharia 
 
 
 
www.consmara.com.br 
Versão: 28/08/2015 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CRÉDITOS 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/FUNDAMENTOS.pdf
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/FUNDAMENTOS.pdf
http://www.abece.com.br/Eventos_EM_3_2007.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf
http://www.consmara.com.br/