3ª Lista_Derivada

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3a Lista de Exerc´ıcios - Derivadas
Matema´tica para Engenharia I
01- Calcule f
′
(p), pela definic¸a˜o, sendo dados
a) f(x) = x2 + x e p = 1 b) f(x) =
√
x e p = 4 c) f(x) = 5x− 3 e p = −3
d) f(x) =
1
x
e p = 1 e) f(x) =
√
x e p = 3 f) f(x) =
1
x2
e p = 2
g) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1 h) f(x) = 3√x e p = 2
02- Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados
a) f(x) = x2 e p = 2 b) f(x) =
1
x
e p = 2
c) f(x) =
√
x e p = 9 d) f(x) = x2 − x e p = 1
03- Mostre que a func¸a˜o
f(x) =
 2x+ 1, x < 1−x+ 4, x ≥ 1
na˜o e´ deriva´vel em p = 1. Esboce o gra´fico de g.
04- Seja
g(x) =
 x2 + 2, x < 12x+ 1, x ≥ 1
a) Mostre que g e´ deriva´vel em p = 1 e calcule g
′
(1).
b) Esboce o gra´fico de g.
05- Seja
g(x) =
 x+ 1, x < 1−x+ 3, x ≥ 1
a) Esboce o gra´fico de g.
b) g e´ deriva´vel em p = 1? Por queˆ?
06- Calcule g
′
(x) sendo g dada por
a) f(x) = x6 b) f(x) = x100 c) f(x) =
1
x
d) f(x) = x2
e) f(x) =
1
x3
f) f(x) =
1
x7
g) f(x) = x h) f(x) = x−3
i) f(x) = 4
√
x j) f(x) = 6
√
x k) f(x) = 8
√
x l) f(x) = 9
√
x
07- Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x2 e paralela a` reta y = 4x+ 2.
08- Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = 3
√
x no ponto de abscissa 1. Esboce
os gra´ficos de f e da reta tangente.
09- Determine a reta tangente ao gra´fico de f(x) = ex no ponto de abscissa 0.
10- Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = lnx no ponto de abscissa 1.
Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
11- Seja f(x) = ax onde a > 0 e a 6= 1 e´ um real dado. Mostre que f ′(x) = ax ln a.
12- Calcule f
′
(x).
a) f(x) = 2x b) f(x) = pix c) f(x) = 5x d) f(x) = ex
13- Seja loga x, onde a > 0 e a 6= 1 e´ constante. Mostre que g
′
(x) =
1
x ln a
.
14- Calcule g
′
(x).
a) g(x) = log3 x b) g(x) = log5 x c) g(x) = logpi x d) g(x) = lnx
15- Seja
f(x) =
 x+ 1, x < 21, x ≥ 2
a) f e´ cont´ınua em 2? Por queˆ?
b) f e´ deriva´vel em 2? Por queˆ?
16- Seja
f(x) =
 x2, x ≤ 0−x2, x > 0
a) f e´ cont´ınua em 0? Justifique.
b) f e´ deriva´vel em 0? Justifique.
17- Seja
f(x) =
 −x+ 3, x < 3x− 3, x ≥ 3
a) f e´ deriva´vel em 3? Justifique.
b) f e´ cont´ınua em 3? Justifique.
18- Calcule f
′
(x).
a) f(x) = 3x2 + 5 b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3x3 − 2x2 + 4
d) f(x) = 3x+
√
x e) f(x) = 5 + 3x−2 f) f(x) = 3
√
x
g) f(x) = 3x+
1
x
h) f(x) =
4
x
+
5
x2
i) f(x) =
2
3
x3 +
1
4
x2
j) f(x) = 3
√
x+
√
x l) f(x) = 2x+
1
x
+
1
x2
m) f(x) = 6x3 + 3
√
x
19- Calcule F
′
(x) onde F (x) e´ igual a
a) F (x) =
x
x2 + 1
b) F (x) =
x2 − 1
x+ 1
c) F (x) =
3x2 + 3
5x− 3
d) F (x) =
√
x
x+ 1
e) F (x) = 5x+
x
x− 1 f) F (x) =
√
x+
3
x3 + 2
g) f(x) =
3
√
x+ x√
x
h) F (x) =
x+ 4
√
x
x2 + 3
20- Calcule f
′
(x).
a) f(x) = 3x2 + 5 cosx b) f(x) =
cosx
x2 + 1
c) f(x) = xsen x
d) f(x) = x2 tg x e) f(x) =
x+ 1
tg x
f) f(x) =
3
sen x+ cosx
g) f(x) =
secx
3x+ 2
h) f(x) = cosx+ (x2 + 1)sen x i) f(x) =
√
x secx
j) f(x) = 3 cosx+ 5 secx l) f(x) = x cotg x m) f(x) = 4 secx+ cotg x
n) f(x) = x2 + 3x tg x o) f(x) =
x2 + 1
secx
p) f(x) =
x+ 1
x sen x
q) f(x) =
x
cosec x
r) f(x) = (x3 +
√
x) cosec x s) f(x) =
x+ senx
x− cosx
21- Calcule f
′
(x).
a) f(x) = x2ex b) f(x) = 3x+ 5 lnx c) f(x) = ex cosx
d) f(x) =
1 + ex
1− ex e) f(x) = x
2 lnx+ 2ex f) f(x) =
x+ 1
x lnx
g) f(x) = 4 + 5x2 lnx h) f(x) =
ex
x2 + 1
i) f(x) =
lnx
x
j) f(x) =
ex
x+ 1
22- Calcule F
′
(x) sendo F (x) igual a
a) xex cosx b) x2(cosx)(1 + lnx) c) ex sen x cosx d) (1 +
√
x)ex tg x