VETORES - INTRODUÇÃO PARTE 1

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VETORES
GEOMETRIA
 ANALITICA
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DEFINIÇÃO:
É um segmento de reta orientado que pode 
representar uma Grandeza Física.
A
Exemplos:
B
Lemos: Vetor A e Vetor B
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OBSERVAÇÃO:
Algumas Grandezas Físicas não ficam bem 
compreendidas somente com um valor e sua 
unidade. Essas Grandezas são chamadas de 
Grandezas Vetoriais.
Portanto:
Grandezas Vetoriais são aquelas que para 
ficarem bem representadas necessitam de:
Módulo, Direção e Sentido.
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Módulo: É representado graficamente 
através do tamanho do vetor ou através de 
um valor numérico acompanhado de unidade.
Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e 
pode ser informada através de palavras 
como: horizontal, vertical, etc.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela 
seta e também pode ser informada através de 
palavras como: para esquerda, para direita, 
do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
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Exemplo 1:
A
Módulo: 3 cm
3 cm Direção: Vertical
Sentido: Para cima
Vetor A
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Exemplo 2:
Módulo: 5,5 cm
Direção: Horizontal
Sentido: Para esquerda
Vetor B
B
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Vetores Iguais: É necessário que estes 
possuam as mesmas características para que 
sejam ditos IGUAIS.
Exemplo:
A C
Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C
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Vetores Opostos: São ditos opostos quando a 
única diferença entre eles é a oposição de 
sentido.
Exemplo:
A - A
Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “
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Vetores Diferentes: São aqueles que 
possuem uma ou mais diferenças em suas 
características.
A
B
Nesse caso, o vetor A e o 
Vetor B possuem módulos 
diferentes.
BA
Nesse caso, o vetor A e o 
Vetor B possuem direções 
e sentidos diferentes.
A B
Nesse caso, o vetor A e o 
Vetor B possuem sentidos 
diferentes.
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Operações com Vetores
É possível realizarmos alguma operações com 
vetores, aquelas que estudamos no ensino 
médio são:
• Multiplicação e divisão de vetores por números 
reais;
• Soma e subtração de vetores.
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Multiplicação de vetores por números reais
A
Tomemos como exemplo um vetor A:
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:
 3 A
A A A
Comprove:
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Veja outro Exemplo
A
Tomemos como exemplo o mesmo vetor A:
Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:
 -2 A
-A -A
Comprove:
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Soma e subtração de vetores – Casos 
Especiais
Vetores de Direções e Sentidos iguais:
BA
A + B
O módulo do resultante é dado pela soma 
dos módulos dos dois vetores.
O sentido do vetor soma é o mesmo de A e 
de B.
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Soma e subtração de vetores – Casos 
Especiais
Vetores de mesma Direção e Sentido 
opostos:
BA
A + B
Nesse caso o vetor soma terá o sentido do 
maior deles - o sentido do vetor B
O módulo da soma será dado por B – A , ou 
seja, o maior menos o menor.
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Soma e subtração de vetores – Casos Gerais
Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais 
podemos utilizar duas regras, a do polígono e 
a do paralelogramo.
A regra do polígono é muito útil quando 
precisamos somar três ou mais vetores;
A regra do paralelogramo deve ser aplicada 
com grupo(s) de dois vetores. 
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Regra do Polígono
Sejam os vetores abaixo:
A
BC
D
Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos 
iniciar com qualquer um deles, veja como se 
utiliza a regra do polígono:
C
D
A
B
Soma
Após terminarmos 
ocorre a formação de 
um polígono.
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Regra do Paralelogramo
Sejam os vetores abaixo:
B
Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:
A
A
B
Vamos fazer traços paralelos 
aos lados opostos.
Soma = A + B
Som
a
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Teorema de Pitágoras
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois 
vetores perpendiculares entre si, teremos o 
mesmo vetor resultante e seu módulo pode 
ser determinado utilizando o TEOREMA DE 
PITÁGORAS:
Regra do Polígono:
A
A
B
B
Regra do Paralelogramo:
S
S
S2 = A2 + B2
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V1
V3
V2
1. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a 
seguir, obtenha graficamente o vetor soma 
vetorial:
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V1
V2
a) V1 + V2
VR
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V1
V3
V2
b) V1 + V2 + V3
VR
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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, 
perpendiculares entre si, um de módulo 12 
e outro de módulo 16, terá módulo igual a:
Triângulo de 
Pitágoras
Verifique:
202 = 122 + 162
400 = 144 + 256
Alternativas:
a) 4
b) Entre 12 e 16
c) 20
d) 28
e) Maior que 28
12
16
20
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3. A figura a seguir representa os 
deslocamentos de um móvel em várias 
etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m. 
A distância percorrida pelo móvel e o 
módulo do vetor deslocamento são, 
respectivamente:
A
B
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Distância percorrida:
20 m
20 mA
20 m
20 m
20 m
B
Total = 5 x 20 = 100 m
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A
B
ΔS
40 m
20 m
ΔS2 = 402 + 202
ΔS2 = 1600 + 400
ΔS2 = 2000
ΔS = 2000
ΔS = 20 5 m
Módulo do vetor deslocamento:
Pelo Teorema 
de Pitágoras:
Resposta: 100 m e 20 5 m
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor V pode ser decomposto 
em dois vetores componentes: Vx 
(componente horizontal) e Vy 
(componente vertical), de modo 
que: 
V
VY
VX
a
x
y
 VX = cos a . V
 Vy = sen a . V
• Uma reta define uma direção
• Segmento Orientado:
Um segmento orientado é determinado por 
um par ordenado (A, B) de pontos. A é a 
origem e B é a extremidade do segmento 
orientado. B B
 A A
 D C 
 
 C D 
 
Vetores
• A cada ponto A e um vetor v fica 
associado um ponto B indicado por:
B = A + v v = B - A 
 (Notação de Grassman) 
• Dado um segmento orientado (A, B) o seu 
vetor correspondente é representado por 
AB.
• Quando não há o interesse na origem e 
extremidade do vetor podemos representar 
o vetor com uma letra minúscula, v.
 Soma de Ponto com Vetor
Há duas formas de somarmos dois vetores:
I. Quando a extremidade do vetor está ligada 
com a origem de outro.
Ex: Dados dois vetores AB e BC obtenha AB 
+ BC. 
 B AC = AB + BC
 A C 
 
Basta “fechar” o triângulo formado pelos 
dois vetores para se obter a soma dos 
mesmos.
u v
u + v
 Adição de Vetores
Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. 
 
u
v
u + v
A
C
B
D
AD = AB + AC
 II. Quando os dois vetores possuem a 
mesma origem:
A soma é obtida utilizando a
 REGRA DO PARALELOGRAMO. 
Se o interesse é aumentar ou diminuir um 
vetor, multiplicamos tal vetor por um 
número maior que 1 ou por um número 
entre 0 e 1, respectivamente.
Obs: Se multiplicarmos o vetor por um 
número negativo, o sentido do vetor é 
invertido. 
Ex:
-u u 2u ½ u 
Multiplicação de um número real por um vetor.
Vetores paralelos, 
colineares 
 
 
Vetores Colineares
Dois ou mais vetores são colineares se 
tiverem a mesma direção.
Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo:
u
2u
Vetores coincidentes, 
colineares, “ mesma 
linha” 
u
vUm vetor v = (x1, y1) é representado no plano 
(R2) conforme a figura abaixo.
x1
y1
x
y
(x1, y1)
Basta marcar os pontos dados no plano e 
traçar o vetor v, partindo da origem do 
sistema. 
Representação de um Vetor no Plano
1
1
2
3 4 x
y
Interpretação Geométrica
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Produto Escalar de Vetores
Propriedades
I) u.v = |u||v|cos 
II) Se u.v = 0  uv 

v
u
Produto Escalar de Vetores
 Geometricamente, utilizamos o produto escalar 
entre dois vetores quando o interesse é:
Determinar o ângulo  entre esses vetores.
vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) é:
u.v = a1.a2 + b1.b2 + c1.c2
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Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 
com v1 // u e v2  u. 
v2
v1
v
u

v2
v1
v
u

O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v 
sobre u e é denotado por:
v1 = proju v 
projuv = v.u .u
 u.u
Projeção de um Vetor
O produto vetorial ao contrário do produto 
escalar resulta em um vetor. Logo o “vetor 
resultante” precisara ter módulo direção e 
sentido
Notação do produto vetorial: u x v.
 i j k
 u x v = a1 b1 c1 
 a2 b2 c2
Ex: Calcule u x v sendo que u = (a1, b1, c1) 
 
 e v = (a2, b2, c2) 
PRODUTO VETORIAL
O vetor u x v é 
simultaneamente 
ortogonal a u e v. 
u
u x v
v
v x u
Observações
u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos 
vetores altera o sentido do vetor resultante.
Obs.:(u x v).u = 0 e 
(u x v).v = 0
u x v = 0 se e somente se u // v (vetores L.D.).
Se  é o ângulo entre os vetores u e v então:
|u x v| = |u||v| sen 
O |u x v| é a área de um paralelogramo de 
lados iguais ao |u| e |v|. 
|u|
|v|

|v| sen
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Exemplos 
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Exemplo ( 2 )
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Exemplo ( 3 )