Sejam a = 1 2 e b = 1√ 2. Dada a matriz A =  b a a 0 b −b −b a a , mostre que: (a) os vetores colunas são vetores unitários e ortogonais ...

Para mostrar que os vetores colunas da matriz A são vetores unitários e ortogonais entre si, podemos calcular o produto interno entre eles. O produto interno entre dois vetores u e v é dado por u.v = ||u|| ||v|| cos(θ), onde ||u|| é o módulo de u, ||v|| é o módulo de v e θ é o ângulo entre eles. Vamos calcular o produto interno entre as colunas da matriz A: a1.a2 = (1/√2).(1/2) + (1/2).(1/√2) + (1/√2).(-1/2) = 0 a1.a3 = (1/√2).(-1/2) + (1/2).(1/√2) + (1/√2).(1/2) = 0 a2.a3 = (1/2).(-1/2) + (1/√2).(-1/2) + (-1/2).(1/√2) = 0 Como o produto interno entre todas as colunas é igual a zero, podemos concluir que elas são ortogonais entre si. Para mostrar que são vetores unitários, basta calcular o módulo de cada um: ||a1|| = √(1/2 + 1/4 + 1/2) = 1 ||a2|| = √(1/4 + 1/2 + 1/4) = 1 ||a3|| = √(1/2 + 1/4 + 1/2) = 1 Portanto, as colunas da matriz A são vetores unitários e ortogonais entre si. Para mostrar que os vetores linhas formam uma base do R3, podemos calcular o determinante da matriz A: det(A) = b(a^2 - b^2) - a(b^2 - b^2) - a(-ba) = 0 Como o determinante é igual a zero, podemos concluir que as linhas da matriz A são linearmente dependentes. Portanto, elas não formam uma base do R3.