Prova (UFPE)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 2012/1
1o Exerc´ıcio Escolar
1 - Calcule os seguintes limites:
( O uso da regra de L’Hoˆpital na˜o e´ permitido!)
a) (1.0 pt) lim
x→7
(2−√x− 3
x2 − 49
)
lim
x→7
(
2−√x− 3
x2 − 49
)(
2 +
√
x− 3
2 +
√
x− 3
)
= lim
x→7
7− x
(x2 − 49) (2 +√x− 3) .
lim
x→7
−(x− 7)
(x− 7) (x+ 7) (2 +√x− 3) = limx→7
−1
(x+ 7) (2 +
√
x− 3) = −
1
56
.
b)(1.0 pt) lim
x→pi
(
1− sin(x
2
)
pi − x
)
Fac¸a u ≡ pi − x. Enta˜o x→ pi e´ equivalente a u→ 0.
lim
x→pi
(
1− sin(x
2
)
pi − x
)
= lim
u→0
(
1− sin(pi
2
− u
2
)
u
)
= lim
u→0
(
1− cos(u
2
)
u
)
=
lim
u→0
1
2
(
1− cos(u
2
)
u
2
)
= 0 .
c)(1.0 pt) lim
x→64
(√
x− 8
3
√
x− 4
)
Fac¸a x = u6. Neste caso x→ 64 e´ equivalente a u→ 2.
lim
x→64
(√
x− 8
3
√
x− 4
)
= lim
u→2
(
u3 − 8
u2 − 4
)
= lim
u→2
(
(u− 2) (u2 + 2 u+ 4)
(u− 2)(u+ 2)
)
lim
u→2
(
(u2 + 2u+ 4)
(u+ 2)
)
= 3 .
b)(1.0 pt) y =
x3
3
√
(1 + x sec(x))3
1
3
x3
(1 + x sec(x))
3
2
1
3
(
3x2
√
(1 + x sec(x))3 − x3 3
2
√
(1 + x sec(x)).(sec(x) + x sec(x) tan(x))
(1 + x sec(x))3
)
.
c)(1.0 pt) y = cos(x)sin(x
2).
Tomando-se o logaritmo:
ln(y) = sin(x2) ln(cos(x))
Derivando:
y′
y
= cos(x2) 2x ln(cos(x))− sin(x2) sin(x)
cos(x)
e portanto:
y′ = cos(x)sin(x
2)
(
cos(x2) 2 x ln(cos(x))− sin(x2) tan(x)) .
3-(2.0 pts) Considere a func¸a˜o
f(x) =
 x
2 se x ≥ 0 ,
−x2 se x < 0 .
Usando a definic¸a˜o calcule a derivada desta func¸a˜o no ponto x = 0.
lim
h→0+
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
h2
h
= lim
h→0+
h = 0 .
lim
h→0−
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0+
−h2
h
= lim
h→0+
−h = 0 .
Como os dois limites laterais existem e sa˜o iguais entre si, segue que
f ′(0) = 0.
=
=
2 - Calcule a derivada da func¸a˜o dada:
a)(1.0 pt) y = esin(2x) ln
(
x2 + 2 x
)
3x.
esin(2x) cos(2x) 2 ln
(
x2 + 2 x
)
3x.+ esin(2x)
2 x+ 2
x2 + 2 x
3x.+ esin(2x) ln
(
x2 + 2 x
)
3x ln(3) .
1
A derivada da func¸a˜o e´ dada por
y′(x) = −2x e(1−x2) ,
Inclinac¸a˜o da reta tangente em P1 : y
′(−1) = 2 .
Inclinac¸a˜o da reta tangente em P2 : y
′(1) = −2 .
Reta tangente em P1:
y − 1 = 2(x+ 1) .
Reta Normal em P1 :
y − 1 = −1
2
(x+ 1) .
Reta tangente em P2:
y − 1 = −2(x− 1) .
Reta Normal em P1 :
y − 1 = 1
2
(x− 1) .
4- (2.0 pts) Encontre as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva
y = e(1−x
2)
no pontos onde essa curva intersecta a reta y = 1.
Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o soluc¸o˜es de
1 = e(1−x
2)
0 = 1− x2
x = ±1
Temos enta˜o os pontos P1 = (−1, 1) e P2 = (1, 1).