CÁLCULO 1 1

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PROF. CARLOS ASSIS
Referências bibliográficas..... Sugestões!
Propriedades operatórias:
Exemplos com indeterminação:
	
EXEMPLOS COM INDETERMINAÇÃO:
	
Continuação...
 = 
Exercício proposto 1:
RESOLUÇÃO:
Exercício PROPOSTO 2:
RESOLUÇÃO:
Exercício proposto 3:
Resolução:
EXERCÍCIO PROPOSTO 4:
RESOLUÇÃO:
EXERCÍCIO PROPOSTO 5:
Resolução:
Continuação .....
Exemplo resolvido:
Exemplo resolvido:
Exemplo resolvido:
Exercícios para praticar.....
Questão 1:
resolução......
Exercícios para praticar.....
Questão 2:
Resolução.....
Exercício proposto:
Resolução....
a
b) 2 = 12 = 1
.
D) 
F) 
Exemplo resolvido 1:
Exemplo resolvido 2: 
Exemplo resolvido 4:
Exercícios para praticar......
Resolução:
Resolução.....
Outro exemplo...resolvido......
Limite fundamental logarítmico:
Exemplo resolvido 1:
Exercício para resolver.......
Resolução:
Assíntota horizontal:
Assíntota horizontal:
Mais Exemplos....
Recapitulando....
Resoluções.....
Derivadas de funções:
Exemplo 1 – função Constante: F(x) = 5
Exemplo 2: 
função f(x) = x2
Exemplo 3:
função f(x) = sen (x)
1) Encontre a derivada de: 
F(x) = x3 ---- f’(x) = 3.x3-1 . X’ ---- f’(x) = 3.x2 .1 = 3x2 
F(x) = 4x2 ----- f’(x) = 4. (X2)’ = 4. 2. X2-1 . X’ = 8.X.1 = 8X 
F(x) = (5x – 2)4 ---- F’(X) = 4. (5X-2)4-1 . (5X-2)’= 4.(5X-2)3 . ((5X)’ – (2)’) = 4.(5X-2)3.(5. (X)’ – 0) = 4.(5X-2)3.(5. 1) = 20.(5X-2)3
F(X) = 7 ----- F’(X) = 0
F(X) = 6X2 – 3X + 2 ------ F’(X) = (6X2)’ – (3X)’ + (2)’ = 6.(X2)’ – 3. (X)’ + 0 = 6.2.X2-1 . (X)’ – 3. 1 = 12X.1 – 3 = 12X – 3 
F(X) = ⅛ ----- F’(X) = 0
Continuação...
g) f(x) = x5 ----- f’(x) = 5.x5-1 . (X)’ = 5x4 . 1 = 5x4
H) f(x) = 3x2 – 2x + 7 ------- f’(x) = 3. (x2)’ – 2. (x’) + 0 = 3.2x – 2.1= 6x – 2 
i) f(x) = 4x3 + 3x2 – x + 4 ---- f(x) = 4.(x3)’ + 3.(x2)’ – (x)’ + 0 = 4.3.x3-1 . (x)’ + 3.2x – 1 = 12x2. 1 + 6x – 1 = 12x2 + 6x - 1
J) f(x) = (2x+6)3 ---- f’(x) = 3.(2x+6)3-1 . (2x+6)’ = 3.(2x+6)2. ((2x)’ + (6)’) = 3.(2x+6)2.((2) + 0)) = 6.(2x+6)2 
Continuação...
K) f(x) = (3x2 + 6x)10 ------ f’(x) = 10. (3x2 + 6x)10-1 . (3x2 + 6x)’ =
= 10. (3x2 + 6x)9. (3.(x2)’ + 6.(x)’) = 10.(3x2 + 6x)9. (3.2x + 6.1) = =10.(3x2 + 6x)9 . (6x + 6) 
L) f(x) = x-2 ----- f(x) = -2.x-2-1 .(x)’ = -2.x-3 .1 = -2x-3 
M) f(x) = 6x – 7 ---- f’(x) = 6.(x)’ – (7)’ = 6.1 – 0 = 6
N) f(x) = ---- 
O) f(x) = (4x – 3).(x+1) ----- f(x) = 4x2 + 4x – 3x – 3 = 4x2 + x – 3 
F’(x) = 4.(x2)’ + (x)’ – (3)’ = 4. 2x + 1 – 0 = 8x + 1 
Fórmulas:
 = 
TABELA:
F(X) = un ------f’(x) = n.un-1 . U’
F(x) = x ----- f’(x) = 1
F(x) = K. U ---- F’(X) = K. U’
F(X) = K (constante) ------ F’(X) = 0
F(x) = sen (u) ----- f’(x) = cos (u) . (u’)
Regras de derivação: 
(derivada do produto e da divisão)
Resolução:
A) F(x) = 15x5 – 33x4 – 35x3 + 77x2
f’(x) = 15.(x5)’ – 33.(x4)’ – 35.(x3)’ + 77.(x2)’
F’(x) = 15.5.x4 – 33.4.x3 – 35.3.x2 + 77.2x
F’(x) = 75x4 – 132x3 – 105x2 + 154x 
Continuação....
3) Derive as seguintes funções:
F(X) = X3 + X2 ---- f’(x) = (x3)’ + (x2)’ = 3.x3-1 .(x)’ + 2.x2-1 . (x)’ = 3x2.1 + 2x.1 = 3x2 + 2x
F(X) = 1 + SEN (X) ---- f’(x) = (1)’ + (sen (x))’ = 0 + cos(x) = cos(x)
F(X) = 8 – 2X ----- f’(x) = (8)’ – (2x)’ = 0 – 2. (x)’ = 0 – 2.1 = -2 
F(X) = 3X5 ---- f’(x) = 3. (x5)’ = 3. 5.x5-1 . (x)’ = 15.x4.1 = 15x4
F(X) = (2X – 1).(X + 2) ---- f(x) = 2x2 + 4x – x – 2 = 2x2 +3x – 2
F’(x) = 2. (x2)’ + 3.(x)’ – (2)’ = 2.2x + 3.1 – 0 = 4x + 3 
f) F(X) = X10 – 3X + 7 ----- f’(x) = (x10)’ – 3.(x)’ + (7)’ = 10.x9 – 3 
1º caso – Indeterminação: 0/0
Regra de l’ hospital 
exemplo 1:
Resolução...
 =
2 = 3.4 = 12.
Regra de l’ hospital 
exemplo 2:
Resolução....
=
Regra de l’ hospital 
exemplo 3:
Resolução...
 = 
Questões de prova....
1) Qual O valor do limite abaixo?
Resolução....
 = 
Continuação...
Resolver:
Resolução....
 = 
Continuação...
Usando a Regra de L’ Hospital, resolver: 
Resolução...
 = 
Continuação....
Resolver:
Resolução....
= 
ATIVIDADE DIAGNÓSTICA: 
Questão 1:
Resolução...
Questão 2: 
Resolução...
Questão 3:
Analise as seguintes sentenças (colocando V OU f):
SEJA A FUNÇÃO
ENTÃO:
Resolução....
 = 
Continuação....
Calculando-se 
Obtém-se 24 ?
Resolução...
.
Outros exemplos:
regra de L’ Hospital:
 = = 
 = 
Mais exemplos..
 = 
Derivada no ponto (x0):
Exemplos propostos
Qual o valor dA derivada da função
No ponto ?
Resolução:
Continuação....Exemplos....
F(x) = x2 + 2x + 5, x0 = 1.
B) f(x) = x4 + 5x2 + 1 , x0 = -2.
Problemas com máximos e mínimos:
Determine as dimensões de um retângulo de área 100m2 de modo que seu perímetro seja mínimo.
Perímetro = resultado da soma do contorno da figura.
Dimensões: x E Y
P = 2X + 2Y
A = X.Y = 100M2 ------- Y = 100/X = 100/10 = 10M
P = 2X + 2.(100/X) = 2X + 200/X
P’ = 0 ----- PERÍMETRO SEJA MÍNIMO.
CONTINUAÇÃO...
P = 2X + 200/X -------- (200/X) = 200.X-1
P’ = 0 --- MÍNIMO
P’ = (2X)’ + (200/X)’
P’ = 2 + 200.(-1).X-2 = 2 -200/X2
2 – 200/X2 = 0 
-200/X2 = -2 
-2X2 = - 200 ------ X2 = 100 ----- X = ±√100 = 10M
Continuação....
2) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade de 40m/s, num local em que g = 10m/s2, tem posição s em função do tempo t dada pela função horária s(t) = 40t – 5t2 (si) com 0 ≤ t ≤ 8.
 a) qual o tempo gasto para atingir altura máxima em relação ao solo?
S’(T) = 0 
S’(T) = (40T)’ – (5T2)’
S’(t) = 40 -10T ----- 40 – 10T = 0 -------- 40 = 10T ---- T = 4S.
b) Qual a altura máxima atingida?
S(4) = 40.4 – 5.42 = 160 – 80 = 80M.
Continuação....
3) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de máximo volume possível, cortando um quadrado de lado x em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm.
a)calcular x.
V(X) = (60-2X).(40-2X).X = (2400 – 120X – 80X +4X2).X = 
= 2400X -200X2 +4X3
V’(X) = 12X2 – 400X + 2400 (:4) --- V’(X) = 3X2 -100X + 600 = 0 (volume máximo)
∆ = (-100)2 – 4.3.(600) = 10.000 – 7.200 = 2.800
X = (-(-100) ± √2800)/2.3 = (+100± 53)/6 = 
X1 = (100+53)/6 = 25,5 CM (não faz sentido) E X2 = (100-53)/6 = 7,8 CM
b) calcular o volume máximo da caixa. 
V(7,8) = 2400.(7,8) – 200.(7,8)2 + 4.(7,8)3 = 8.450,20cm3 
exercícios
4) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicular os lados resultantes. Determine o tamanho do lado quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo. (Desprezar a espessura da cartolina). 
Figuras para auxiliar a questão...
Resolução: 
V (x) = (52-2x).(40-2x).x = (2080 – 104x – 80x +4x2).x = 
= 4x3 -184x2 + 2080x = 0 (volume máximo)
V’(x) = 12x2 - 368x + 2080 = 0 (:4) 
V’(x) = 3x2 – 92x + 520 = 0
∆ = (-92)2 – 4.3.(520) = 8464 – 6240 = 2224
X = (-(-92)±√2224)/2.3 = (+92 ± 47)/6 = 
X1 = (92 + 47)/6 = 23,1 --- (não faz sentido para o problema)
X2 = (92 - 47)/6 = 7,5
Exemplos: 
Resolução: 
1) 
= (alternativa c)
Obs: 
 
2) + C (alternativa e)
Mais exemplos: 
Resolução....
= 
=
= . (ALTERNATIVA – E)
RESOLUÇÃO...
 
(alternativa d)
Exercícios propostos:
questão 1 
Resolução...
(alternativa d).
Questão 2: 
Resolução....
= =
= 
Questão 3: 
Resolução...
= 
Alternativa (c).
Para exercitar.....
Continuação....
Resolução..
(alternativa e).
Exemplo 1:
Resolução...exemplo1...
= (alternativa – e).
Exemplo 2:
Resolução....
= 
Exemplo 3: 
Resolver: 
APLICAÇÕES DE integrais e DERIVADAS (outras):
1) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abscissas x = 0 e x = 2. 
Resolução..
Resolução...
A = = 
Continuação....
2) ENCONTRE A ÁREA LIMITADA PELA CURVA Y = 4 – x2 e o eixo x. 
raízes: 4 – x2 = 0 ---- x2 = 4 ---- x = ±√4 = ±2
Interseção COM o eixo y = c =4.
Resolução...
Resolução...
Continuação....
3) Encontre a área da região limitada pelo gráfico y = x2 – 2x – 3 para x = 3 e x = -1. 
Resolução....
Resolução...
 -----
Outras aplicações de derivadas:
Encontre a equação da reta (y = ax + b) tangente à curva de equação y = x3 + 2x – 1 no ponto de abscissa x = -1. 
Y’ = 3x2 + 2 
Y’(-1) = 3.(-1)2 + 2 = 3+2 = 5 (coeficiente angular da reta --- (a))
Y(-1) = (-1)3 + 2.(-1) – 1 = -1-2 – 1 = -4.
Substituindo os valores encontrados acima, na equação da reta, temos: -4 = 5.(-1) +b ----- b = -4 + 5 = 1. Logo, a equação da reta tangente à curva será: y = 5x + 1. 
Gráfico da função...
Continuação....
Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto x = 2.
gráfico:
Continuação.....
Y’(x) = 2x – 2
Y’(2) = 2.2 - 2 = 4 – 2 = 2 ------- coeficiente angular da reta tangente à curva = (a).
Y(2) = 22 – 2.2 + 1 = 4 – 4 +1 = 1 
Logo, a equação da reta, será: 1 = 2.(2) + b ---- b = 1- 4 = -3. 
Assim , a equação da reta é y = 2x - 3. 
Continuação...
Encontre a equação da reta tangente à curva de equação y = no ponto de abscissa . 
Gráfico...
Resolução....
 (coeficiente angular da reta)
Cálculo b: 
Equação da reta: y = 2x + 1/8. 
Continuação....
Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 – 3x no ponto x = 4.
Y’ = 2x – 3 
Y’(4) = 2.(4) – 3 = 8 – 3 = 5 (coeficiente angular da reta). 
Y(4) = 42 – 3.(4) = 16 – 12 = 4.
Cálculo de b: 4 = 5.(4) + b ----- b = 4 – 20 = -16
A equação da reta tangente à curva é: y = 5x -16. 
Continuação....
Encontre a equação da reta tangente à curva y = x2 + 1 no ponto x = 2.
Y’ = 2x
Y’(2) = 2.(2) = 4 --- coef. Angular da reta.
Y(2) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5
Cálculo de b: 5 = 4.(2) + b ----- b = 5 – 8 = -3. 
A equação da reta será: y = 4x – 3.
Volume dos sólidos de revolução: método dos discos circulares.
Resolução....
=
Resolução.....
Equação (reduzida) da circunferência: (x – xc)2 + (y – yc)2 = r2
Como o centro é (0,0), temos: (x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ---- x2 + y2 = r2 
Daí, Logo, Onde 
Usando a fórmula: = .
Continuação...
Resolução...
Continuação .....
2) Determine o volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo x.
Resolução...
 = 
Exemplo 1:
Resolução...
 −2 e 
 = = = 
Exemplo 2:
Vamos calcular a área entre as curvas e 
Resolução...
 
 =
Exemplo 3: 
Vamos calcular a área entre as curvas f(x) = x2 + 2 e g(x) = 4 – x2 .
Resolução...
G(x) – f(x) ---- a integral....
Pontos: iguala as duas funções...
Feito na revisão.....
Para exercitar....
Resolução...
f(x) – g(x) ---- a integral...
Pontos x = 2 e x = -2.
Para exercitar....
Resolução...
F(x) – g(x) ---- integral.
Pontos: x= -1
FEITO NA REVISÃO....
Exemplo: 
Resolução...
F(x)= 
Método da substituição algébrica:
Exemplo:
Resolução...
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
+
-
®
18
3
3
16
12
2
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
2
1
3
lim
2
+
-
®
x
x
x
2
3
2
lim
2
2
3
2
+
-
-
-
®
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
®
2
0
lim
=
-
-
®
8
2
3
2
lim
x
x
x
=
+
-
+
-
®
6
5
9
6
2
2
3
lim
x
x
x
x
x
2
2
7
3
)
(
2
-
+
-
=
x
x
x
x
f
5
)
(
lim
2
=
®
x
f
x
(
)
(
)
1
2
.
lim
3
2
-
®
x
x
x
6
3
4
2
)
(
3
5
-
+
+
-
=
x
x
x
x
f
1
-
=
x
 
 









x
y









x
y









x
y









x
y









x
y









x
y