O conceito formal de limite

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Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 1
Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite
2.3.1 - Limite de uma func¸a˜o de uma varia´vel 2.3.3 - Limite de uma func¸a˜o de n varia´veis
2.3.2 - Limite de uma func¸a˜o de duas varia´veis
Este cap´ıtulo e´ dedicado a` formalizac¸a˜o do conceito de limite, tanto daquele visto para func¸o˜es de uma
varia´vel real quanto para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis reais. E´ um cap´ıtulo de aprofundamento, com
conceitos um pouco mais complexos do que normalmente e´ ensinado em alguns cursos de Ca´lculo.
2.3.1 - Limite de uma func¸a˜o de uma varia´vel
Para definir de forma mais rigorosa o que e´ um limite de func¸o˜es de duas ou mais varia´veis e´ necessa´rio
aprofundar o conceito de limite visto ate´ enta˜o. Antes de mostrar a definic¸a˜o formal do limite de uma func¸a˜o
f = f(x) quando x→ x0, e´ bom lembrar que, embora o Ca´lculo Diferencial e Integral tenha surgido com Isaac
Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717) no se´culo XVII, foi somente no se´culo XIX
que essa definic¸a˜o foi formalizada pelo franceˆs Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e pelo alema˜o Karl Theodor
Wilhelm Weierstrass (1815-1897).
Dado um limite lim
x→x0
f(x) = L, a definic¸a˜o formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em
torno do limite L e outro em torno do ponto x0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em torno
de x0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do limite
L (segunda figura a seguir).
x
y
x0
L
bc
bc
bc bc x
y
x0
L
bc
bc
bc bc
Prova-se que o limite e´ verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, na˜o importa o qua˜o pequeno
ele seja, for sempre poss´ıvel encontrar um intervalo em torno de x0 de modo que a imagem desse intervalo esteja
contida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto na˜o e´ poss´ıvel, mostrando
que o limite e´ falso.
x
g(x)
0 x0
L b
bc
bc
bc
bc bc x
g(x)
0 x0
L b
bc
bc
bc
bc bc
Determinando que o intervalo em torno de L e´ dado por (L− ǫ, L+ ǫ) e o intervalo em torno de x0 e´ dado
por (x0 − δ, x0 + δ), onde ǫ (e´psilon) e δ (delta) sa˜o ambos maiores que zero, podemos dizer que o limite esta´
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 2
correto se, para y ∈ (L− ǫ, L+ ǫ), existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0− δ, x0+ δ). Isto tem que ser verdade
para qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um exemplo mais espec´ıfico e´ dado a seguir.
Isaac Newton (1642-1727): Newton foi um dos maiores geˆnios da humanidade. Nasceu na pequena cidade
de Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessa
mesma universidade. Ele era f´ısico, matema´tico, astroˆnomo e alquimista, tendo contribu´ıdo significativamente
para todos esses campos. Ele foi o criador da mecaˆnica racional e da lei da gravitac¸a˜o universal. Foi um dos
criadores do Ca´lculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu va´rios trabalhos em o´ptica,
tendo revolucionado essa a´rea da F´ısica. Tambe´m foi dele a invenc¸a˜o do telesco´pio refletor, que e´ usado em
observato´rios do mundo inteiro e no espac¸o. Newton tambe´m exerceu importantes cargos pu´blicos e foi sagrado sir
(cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na e´poca. Morreu como uma celebridade em seu pa´ıs, embora ja´ mostrasse
va´rios sinais de demeˆncia senil.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717): matema´tico, filo´sofo, f´ısico e estudioso das leis alema˜o. Nasceu
em Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do Ca´lculo
Diferencial e Integral. Tambe´m foi responsa´vel por boa parte da notac¸a˜o matema´tica usada ate´ hoje. Ale´m disso,
foi um grande filo´sofo, tendo tecido uma visa˜o de um universo baseado em princ´ıpios fundamentais e racionais, sem
rejeitar as concepc¸o˜es crista˜s. Sua convicc¸a˜o de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizada
uma notac¸a˜o coveniente levou-o a organizar va´rias expresso˜es matema´ticas em termos de s´ımbolos. Leibniz sofreu
revezes com a rivalidade entre ele e Newton devida a` controve´rsia sobre quem teria sido o criador do Ca´lculo
Diferencial e Integral.
Exemplo 1: tentaremos mostrar que limx→ 1x2 = 1 usando o novo crite´rio que acaba de ser descrito. Tomando
um
intervalo que inclui todos os nu´meros que esta˜o a distaˆncias menores que ǫ = 1 do ponto y = 1, temos que esse intervalo
vai de y = 0 ate´ y = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmos
agora um intervalo centrado em x = 1 de comprimento 2δ = 0, 4, isto e´, o intervalo (1− 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2),
este produzira´ a seguinte imagem em y: para x = 0, 8 temos f(0, 8) = 0, 64; para x = 1, 2, f(1, 4) = 1, 44. Portanto,
a imagem produzida pelo intervalo em x centrado em x = 1 e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em y
dada pelo intervalo (0, 64 , 1, 44), que esta´ contido no intervalo (0, 2).
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
2ǫ = 2
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
bc bc
2ǫ = 2
2δ = 0, 4
Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 ⇒ δ = 0, 2, poder´ıamos ter escolhido δ = 0, 1 ou δ = 0, 4, que a
imagem produzida pelo intervalo (1− δ, 1+ δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δ
seja menor ou igual a
√
2− 1 ≈ 0, 414, o intervalo produzido em x leva a uma imagem que esta´ contida em (0, 2).
Vamos mostar que tambe´m para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essas
condic¸o˜es. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo (1 − 0, 5 , 1 + 0, 5) = (0, 5 , 1, 5) em y. O que temos que fazer
agora e´ encontrar um valor de δ para o qual o intervalo (1− δ, 1+ δ) em x produza uma imagem que esteja contida
no intervalo em y. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2) em x que, como ja´
vimos, produz a imagem (0, 64 , 1, 44), que esta´ contida no intervalo (0, 5 , 1, 5).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 3
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
2ǫ = 1
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
bc bc
2ǫ = 1
2δ = 0, 4
Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo (1− 0, 25 , 1 + 0, 25) =
= (0, 75 , 1, 25) em y. Escolhendo δ = 0, 1, temos o intervalo (1− 0, 1 , 1+ 0, 1) = (0, 9 , 1, 1) em x, que tem como
imagem o intervalo (0, 81 , 1, 21), que esta´ contido no intervalo (0, 75 , 1, 25).
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
2ǫ = 0, 5
x
y
−2 −1 0 1 2
1
2
3
4
bc
bc
bc bc
2ǫ = 0, 5
2δ = 0, 2
Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, sera´ sempre poss´ıvel escolher um valor de
δ tal que o intervalo (1− δ, 1 + δ) em x produzira´ uma imagem em y que estara´ contida no intervalo (1− ǫ, 1 + ǫ).
Diremos que o limite existe e esta´ correto quando isto puder ser provado.
Voltemos, agora, a` definic¸a˜o formal de um limite. Podemos dizer que o limite de uma func¸a˜o f(x) quando
x tende a x0 e´ L, lim
x→x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0− δ, x0 + δ)⇒
⇒ f(x) ∈ (L− ǫ, L+ ǫ).
Agora, podemos escrever |x− x0| < δ no lugar de x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Isto porque
|x− x0| < δ ⇔ −δ < x− x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 + δ .
De modo semelhante, podemos escrever |f(x)− L| < ǫ no lugar de f(x) ∈ (L− ǫ, L+ ǫ). Isto porque
|f(x)− L| < ǫ⇔ −ǫ < f(x)− L < ǫ⇔ L− ǫ < f(x) < L+ ǫ .
Portanto, a definic¸a˜o de limite fica dada a seguir. lim
x→x0
f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um
δ > 0 tal que |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ.
Definic¸a˜o 1 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂R e um ponto x0 de I, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
x→x0
f(x) = L,
quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 4
Observac¸a˜o: uma definic¸a˜o mais formal de limite e´ feita na Leitura Complementar 2.3.3 e necessita do conceito
de ponto de acumulac¸a˜o, que e´ visto na Leitura Complementar 2.3.2.
A definic¸a˜o 2 e´ usada a seguir para provar dois limites.
Exemplo 2: mostre que lim
x→3
(x+ 2) = 5.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 3, f(x) = x+ 2 e L = 5, de modo que a expressa˜o fica
|x− 3| < δ ⇒ |x+ 2− 5| < ǫ⇔ |x− 3| < δ ⇒ |x− 3| < ǫ⇔ .
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x− 3| < δ e
δ ≤ ǫ, enta˜o |x− 3| < ǫ. Portanto, o limite esta´ provado.
Exemplo 3: mostre que lim
x→1
(2x− 1) = 1.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x− 1 e L = 1, de modo que a expressa˜o fica
|x−1| < δ ⇒ |2x−1−1| < ǫ⇔ |x−1| < δ ⇒ |2x−2| < ǫ⇔ |x−1| < δ ⇒ 2|x−1| < ǫ⇔ |x−1| < δ ⇒ |x−1| < ǫ
2
.
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ2 , essa relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x− 1| < δ e
δ ≤ ǫ2 , enta˜o |x− 1| < ǫ. Portanto, o limite esta´ provado.
A definic¸a˜o de limites que acabamos de desenvolver na˜o e´ va´lida para limites infinitos ou limites envolvendo
o infinito. Para esses limites e outros sa˜o necessa´rias novas definic¸o˜es. Na verdade, sa˜o necessa´rias nove delas
(isto e´ feito na Leitura Complementar 2.3.3).
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matema´tico franceˆs responsa´vel pela formulac¸a˜o mais precisa do conceito
de limites e por va´rias contribuic¸o˜es de fundamental importaˆncia na teoria de func¸o˜es de varia´veis complexas e
em equac¸o˜es diferenciais. Cauchy teve uma infaˆncia atribulada, tendo vivido na e´poca da Revoluc¸a˜o Francesa.
Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napolea˜o e teve va´rias tentativas de obter posic¸o˜es em universidades
recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Cato´lico devoto, teve atritos com seus colegas partida´rios do ate´ısmo.
Quando o rei da Franc¸a voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu
trabalho apo´s o rei ter sido novamente deposto.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1789-1857): matema´tico nascido na Pru´ssia (atual Alemanha). Embora
fosse apaixonado pela matema´tica, estudou financ¸as por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou uma
vida despreocupada de estudante ate´ que resolveu, contrariando seu pai, estudar matema´tica. Tendo abandonado
a universidde, formou-se professor do segundo grau. Exerceu essa profissa˜o ate´ publicar um artigo sobre inversa˜o
de func¸o˜es hiperel´ıpticas, o que lhe valeu uma posic¸a˜o na universidade. E´ considerado o pai da ana´lise matema´tica
por ter introduzido o rigor atual no Ca´lculo e na teoria de func¸o˜es de varia´veis complexas. Fez muitas contribuic¸o˜es
a` matema´tica, sobretudo nesses dois u´ltimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantes
vindos de va´rias partes do mundo.
2.3.2 - Limite de uma func¸a˜o de duas varia´veis
Podemos, agora, expandir o conceito de limite para o caso de uma func¸a˜o de duas varia´veis reais. Relem-
brando, uma func¸a˜o f = f(x, y) leva elementos de R2 a elementos de R (primeira figura a seguir).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 5
b
x
y
x0
y0
z
f(x0, y0)
f
R2 R
Para definirmos um limite lim
(x0,y0)
f(x, y) = L, precisamo primeiro determinar uma regia˜o em torno do ponto
(x0, y0) e um outro intervalo aberto em torno do limite L. Podemos, por exemplo, desenhar um quadrado
ou uma circunfereˆncia em torno de (x0, y0) (duas figuras a seguir) e dizer que (x, y) tem que estar dentro do
subconjunto de R2 constitu´ıdo pela regia˜o interna a esse quadrado ou a essa circunfereˆncia, excluindo as suas
bordas (isto e´ representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir).
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
b
x
y
x0
y0
z
L
f
bc
bc
Como e´ mais fa´cil determinar a equac¸a˜o da regia˜o circular em torno do ponto (x0, y0), escolheremos esse
tipo de regia˜o, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela na˜o inclui a superf´ıcie do c´ırculo.
Podemos, enta˜o, dizer que a regia˜o limitada pela bola aberta e´ dada pelo c´ırculo
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ2 =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ,
onde δ e´ o raio da bola aberta.
Lembrando agora que
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = ||(x − x0, y − y0)||, podemos dizer que a bola aberta e´
definida por ||(x− x0, y − y0)|| < δ. Podemos, enta˜o, utilizar a seguinte definic¸a˜o de limite.
Definic¸a˜o 2 - Dada uma func¸a˜o f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e um ponto (x0, y0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e e´ igual a L, o que pode ser
escrito como lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
||x− x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ǫ.
Vamos usar esta definic¸a˜o para provar um limite bem simples, a seguir.
Exemplo 1: prove que lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
||x− x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ǫ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x− x0| < ǫ .
Sabemos que
√
(x − x0)2 ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 ⇔ |x−x0| ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2. Portanto, escolhendo
qualquer δ ≤ ǫ, temos que
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x− x0| < ǫ, o que prova o limite.
Em geral, e´ muito dif´ıcil provar limites envolvendo func¸o˜es de duas varia´veis. Podemos, no entanto, calcular
alguns limites utilizando nossos conhecimentos de limites de func¸o˜es de uma varia´vel, como mostra o exemplo
a seguir.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 6
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
.
Soluc¸a˜o: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudanc¸a de varia´vel x2+y2 = r2. Quando (x, y)→ (0, 0),
teremos r → 0, tambe´m, de modo que podemos escrever
lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= lim
r→0
sen r2
r2
.
Se aplicarmos r = 0, este limite fica da forma 00 , de modo que podemos aplicar a ele a regra de L’Hoˆpital:
lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= lim
r→0
sen r2
r2
= lim
r→0
2r cos r2
2r
= lim
r→0
cos r2 = cos 0 = 1 .
Vamos, agora, provar que um limite na˜o existe.
Exemplo 3: calcule lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
.
Soluc¸a˜o: o procedimento que adotaremos e´ fazer o limite de uma das varia´veis e depois o limite da outra. Comec¸ando
pelo limite x→ 0, temos
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
= lim
y→0
−y2
y2
= lim
y→0
(−1) = −1 .
Se fizermos primeiro o limite em y e depois o limite em x, obtemos
lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= lim
x→0
x2
x2
= lim
x→0
1 = 1 .
Note que os dois limites na˜o sa˜o iguais. Isto ja´ basta para provar que na˜o existe esse limite.
Na verdade, os exemplos 2 e 3 na˜o esta˜o formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar 2.3.4
mostra como fazeˆ-lo.
2.3.3 - Limite de uma func¸a˜o de n varia´veis
Vamos, agora, definir limites para o caso de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis reais. A generalizac¸a˜o para func¸o˜es
de n varia´veis reais podera´ ser feita facilmente a partir da´ı. Uma func¸a˜o f = f(x, y, z) leva elementos de R3 a
elementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R3 dada por uma esfera
de raio menor que δ levando a um interavalo|f(x, y, z)− L| < ǫ na imagem (segunda figura a seguir).
b
x y
z
x0 y0
z0
w
f(x0, y0, z0)
f
R3 R
b
x y
z
x0 y0
z0
w
L
f
R3 R
bc
bc
Podemos escrever a regia˜o dentro dessa bola aberta pela equac¸a˜o
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ,
que e´ a equac¸a˜o de uma esfera de raio δ com excec¸a˜o de sua superf´ıcie. Novamente, podemos trocar a raiz por
uma norma: ||(x− x0, y − y0, z − z0)|| < δ. A definic¸a˜o de limite fica, enta˜o, como a dada a seguir.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 7
Definic¸a˜o 3 - Dada uma func¸a˜o f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3 e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I,
dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe e e´ igual a L, o que pode
ser escrito como lim
(x,y,z)→(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0
tal que ||(x− x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z)− L| < ǫ.
A generalizac¸a˜o para o limite de uma func¸a˜o de n varia´veis reais e´ direta.
Definic¸a˜o 4 - Dada uma func¸a˜o f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo I ⊂ Rn e um ponto
(x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende a (x01, · · · , x0n) ex-
iste e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L, quando, para qual-
quer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1−x10, · · · , xn−xn0)|| < δ ⇒⇒ |f(x1, · · · , xn)−L| < ǫ.
Resumo
• Limite de uma func¸a˜o f : R → R. Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R
e um ponto x0 de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e e´ igual a L, o que
pode ser escrito como lim
x→x0
f(x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que
|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ.
• Limite de uma func¸a˜o f : R2 → R. Dada uma func¸a˜o f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e
um ponto (x0, y0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e e´ igual
a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre
um δ > 0 tal que ||x− x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ǫ.
• Limite de uma func¸a˜o f : R3 → R. Dada uma func¸a˜o f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3
e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe
e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x,y,z)→(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0,
existir sempre um δ > 0 tal que ||(x− x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z)− L| < ǫ.
• Limite de uma func¸a˜o f : Rn → R. Dada uma func¸a˜o f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo
I ⊂ Rn e um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende
a (x01, · · · , x0n) existe e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L,
quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1 − x10, · · · , xn − xn0)|| < δ ⇒
⇒ |f(x1, · · · , xn)− L| < ǫ.
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Leitura Complementar 2.3.1 - Desigualdades
e mo´dulo
Os s´ımblos < (menor), > (maior), ≤ (menor ou igual) e ≥ (maior ou igual) estabelecem relac¸o˜es de ordem
no conjunto dos nu´meros reais. Isto tambe´m vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma relac¸a˜o de ordem entre
dois nu´meros reais tambe´m e´ chamada de desigualdade.
Exemplos: 2 < 7 , −4 > −8 , 3, 4 ≤ 5 , 32 ≥
√
2 .
Existem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer nu´meros reais a e b, valem as
seguintes propriedades:
P1) a < b⇔ a+ c < b+ c , c ∈ R;
P2) a < b e c < d⇔ a+ c < b+ d , c ∈ R e d ∈ R;
P3) a < b⇔ ac < bc , c ∈ R e c > 0;
P4) a < b⇔ ac > bc , c ∈ R e c < 0;
P5) a < b⇔ 1a > 1b , a 6= 0 e b 6= 0.
Exemplos dessas regras sa˜o dados a seguir.
Exemplo 1: 2 < 3⇔ 2 + 4 < 3 + 4⇔ 6 < 7 (por P1).
Exemplo 2: 1 < 4⇔ 1 + 3 < 4 + 6⇔ 4 < 10 (por P2).
Exemplo 3: 2 < 3⇔ 2 · 3 < 3 · 3⇔ 6 < 9 (por P3).
Exemplo 4: 2 < 3⇔ 2 · (−1) < 3 · (−1)⇔ −2 > −3 (por P4).
Exemplo 5: 2 < 4⇔ 12 > 14 (por P5).
a) Mo´dulo de um nu´mero real
O mo´dulo ou valor absoluto de um nu´mero real a, escrito |a|, e´ definido como
|a| = a se a ≥ 0 ; |a| = −a se a < 0 .
Outra definic¸a˜o e´ dada em termos da raiz quadrada de um nu´mero ao quadrado:
|a| =
√
a2 .
Exemplos: |2| = 2 , | − 4| = 4 , | − 3| =
√
(−3)2 = √9 = 3 .
O mo´dulo de um nu´mero representa a distaˆncia deste ao ponto 0 no eixo dos nu´meros reais.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 9
0 a
|a|
b 0
|b|
Usamos esta interpretac¸a˜o para estabelecer algumas relac¸o˜es para um nu´mero x ∈ R com relac¸a˜o a um
nu´mero a > 0. Primeiro,
|x| = a⇔ x = ±a .
Exemplo 1: calcule x quando |x| = 2.
Soluc¸a˜o: |x| = 2⇔ x = ±2, ou seja, x = 2 ou x = −2.
A segunda relac¸a˜o e´ a seguinte:
|x| < a⇔ −a < x < a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O mo´dulo de x sera´ menor que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−a, a) (outra notac¸a˜o usada para o intervalo aberto e´ ]− a, a[ ).
0−a a
bc bc
x
|x|
Exemplo 2: calcule x quando |x| < 4.
Soluc¸a˜o: |x| < 2⇔ −2 < x < 2, ou seja, x ∈ (−2, 2).
A terceira relac¸a˜o e´:
|x| > a⇔ x < −a ou x > a .
Isto pode ser visto da figura abaixo. O mo´dulo de x sera´ maior que a quando x estiver dentro do intervalo
aberto (−∞, a) ou no intervalo aberto (a,∞).
0−a a
bc bc
x
|x|
0−a a
bc bc
x
|x|
Exemplo 3: calcule x quando |x| > 3.
Soluc¸a˜o: |x| > 3⇔ x < −3 ou x > 3, ou seja, x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,∞).
De modo semelhante, podemos escrever
|x| ≤ a⇔ −a ≤ x ≤ a , |x| ≥ a⇔ x ≤ −a ou x ≥ a .
Exemplo 4: calcule x quando |x| ≤ 3.
Soluc¸a˜o: |x| ≤ 3⇔ −3 ≤ x ≤ 3, ou seja, x ∈ [−3, 3].
O mo´dulo de um nu´mero real apresenta as seguintes propriedades:
P1) |ab| = |a| · |b|;
P2)
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| , b 6= 0;
P3) |a+ b| ≤ |a|+ |b| (desiguladade triangular).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 10
Demonstrac¸a˜o:
P1) podemos escrever |ab| =
√
(ab)2 =
√
a2b2 =
√
a2
√
b2 = |a| · |b|.
P2) temos
∣∣a
b
∣∣ =
√(
a
b
)2
=
√
a2
b2
=
√
a2√
b2
= |a||b| .
P3) dados dois nu´meros reais, sabemos que −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Portanto, temos
−|a| − |b| ≤ a+ b ≤ |a|+ |b| ⇔ − (|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b| ⇔ |a+ b| < |a|+ |b| .
Exemplo 5: |3 · (−2)| = | − 6| = 6 = |3| · |2|.
Exemplo 6:
∣∣−1
2
∣∣ = ∣∣−12 ∣∣ = 12 = |−1||2| .
Exemplo 7: |3 + (−2)| = |3− 2| = |1| = 1 e |3|+ | − 2| = 3 + 2 = 5. Portanto, |3 + (−2)| ≤ |3|+ | − 2|.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 11
Leitura Complementar 2.3.2 - Vizinhanc¸a e ponto
de acumulac¸a˜o
Nesta sec¸a˜o, veremos dois to´picos da topologia dos nu´meros reais: os conceitos de vizinhanc¸a e de ponto de
acumulac¸a˜o. Dado um nu´mero real a qualquer pertencente a um subintervalo I ⊂ R, definimos uma vizinhanc¸a
desse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distaˆncia menor que um
nu´mero ǫ > 0 de a, isto e´, uma vizinhanc¸a de a e´ o intervalo
{x ∈ I | a− ǫ < x < a+ ǫ} = {x ∈ I | |x− a| < ǫ} .
aa− ǫ a+ ǫ
bc bc
Exemplo 1: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma vizinhanc¸a do ponto x = 2 pode ser dada
por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2− 1, 2 + 1) = (1, 3), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1 < x < 3} = {x ∈ R | |x− 2| < 1} .
0 1 2 3 6
bc bcbc bc
Exemplo 2: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma outra vizinhanc¸a do ponto x = 2 pode ser
dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2− 0, 4 , 2+ 0, 4) = (1, 6 , 2, 4), ou seja, pelo conjunto
{x ∈ I | 1, 6 < x < 2, 4} = {x ∈ R | |x− 2| < 0, 4} .
0 1,6 2 2,4 6
bc bcbc bc
Exemplo 3: dado o intervalo I = {x ∈R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma vizinhanc¸a do ponto
x = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5− 0, 5 , 5+0, 5) = (4, 5 , 5, 5), ou seja,
pelo conjunto
{x ∈ I | 4, 5 < x < 5, 5} = {x ∈ R | |x− 5| < 0, 5} .
0 2 4 4,5 5 5,5
bc b bc bc
Exemplo 4: dado o intervalo I = {x ∈ R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma outra vizinhanc¸a do pon-
to x = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhanc¸a sera´ composta por todos os pontos
pertencentes ao intervalo
{x ∈ I | 1 < x < 9} = (1, 2) ∪ [4, 9) .
0 1 2 4 5 9
bc bbc bc b bc
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 12
Exemplo 5: dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto x = 2 tem {2} como sua u´nica vizinhan-
c¸a.
2
b
Dado um intervalo I ⊂ R e um ponto a ∈ R, dizemos que a e´ um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto I
quando todo intervalo aberto (a− ǫ, a+ ǫ), de centro a, conte´m algum ponto x ∈ I diferente de a. Em termos
de simbologia matema´tica, a e´ um ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto I ⊂ R quando, para qualquer ǫ > 0,
existir um x ∈ I tal que 0 < |x− a| < ǫ.
aa− ǫ a+ ǫ
bc bcb
Exemplo 6: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 3 e´ um ponto de acumulac¸a˜o desse intervalo, pois
para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3− ǫ, 3+ ǫ)∪ (1, 5) que pertencem a I e que na˜o sa˜o o ponto x = 3.
1 3− ǫ 3 3 + ǫ 5
bc bcbc bc
Exemplo 7: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 1 e´ um ponto de acumulac¸a˜o desse intervalo, pois
para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3− ǫ, 3+ ǫ)∪ (1, 5) que pertencem a I e que na˜o sa˜o o ponto x = 1.
1 1 + ǫ 4 5
bc bcbc bc
Exemplo 8: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 0 na˜o e´ um ponto de acumulac¸a˜o desse intervalo,
pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0− 0, 5 , 0 + 0, 5) = (−0, 5 , 0, 5) centrado em 0 na˜o
existem pontos x ∈ I.
0 1 5
bc bcbc bc
-0.5 0.5
Exemplo 9: dado um intervalo I = {3}, o ponto x = 3 na˜o e´ um ponto de acumulac¸a˜o desse intervalo, pois
podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (3−0, 5 , 3+0, 5) = (−2, 5 , 3, 5) centrado em 3 na˜o existem
pontos x ∈ I diferentes de 3.
bbc bc
32.5 3.5
Exemplo 10: dado um intervalo I = {x ∈ R | x 6= 3}, o ponto x = 3 e´ um ponto de acumulac¸a˜o desse
intervalo, pois para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3− ǫ, 3 + ǫ) que pertencem a I e que na˜o sa˜o o
ponto x = 3.
33− ǫ 3 + ǫ
bc bc bc
Portanto, se x = a e´ um ponto de acumulac¸a˜o de um intervalo I, enta˜o e´ poss´ıvel escolher uma sequ¨eˆncia
de nu´meros pertencentes a esse intervalo que se aproximem cada vez mais desse ponto sem nunca alcanc¸a´-lo.
De posse desses conceitos, podemos agora partir para a definic¸a˜o formal de limite, dada na pro´xima leitura
complementar.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 13
Leitura Complementar 2.3.3 - Definic¸a˜o formal
de limite
A definic¸a˜o formal de limite e´ dada logo a seguir. E´ uma das definic¸o˜es mais dif´ıceis do Ca´lculo e pesadelo
da maioria dos estudantes, mas fica mais fa´cil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores.
Definic¸a˜o 5 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulac¸a˜o
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a existe e e´ igual a L, o que pode ser escrito
como lim
x→a
f(x) = L, quando, para qualquer nu´mero ǫ > 0, existir sempre um nu´mero δ > 0 tal que, se
|x− a| < δ, enta˜o |f(x)− L| < ǫ.
Usando os exemplos da Leitura Complementar 2.3.1, pudemos mostrar o porque da necessidade de uma
definic¸a˜o ta˜o precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de limites. Note que na definic¸a˜o e´ explicitado
o fato de o nu´mero a do limite lim
x→a
f(x) na˜o estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o limite.
Este e´ o caso do limite da func¸a˜o f(x) = x0 quando x→ 0, pois x = 0 na˜o pertence ao domı´nio desta func¸a˜o
(isto levando em conta a convenc¸a˜o por no´s adotada). Podemos usar essa definic¸a˜o na demonstrac¸a˜o de diversos
limites, o que sera´ feito a seguir.
Exemplo 1: mostre que lim
x→1
x = 1.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de
ǫ > 0. No nosso caso, temos a = 1, f(x) = x e L = 1, de modo
que a expressa˜o fica
|x− 1| < δ ⇒ |x− 1| < ǫ .
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
essa relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ, enta˜o
|x− 1| < ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situac¸a˜o.
bc bc x
11− δ 1 + δ
bc bc y
11− ǫ 1 + ǫ
Enta˜o, se tomarmos, por exemplo, ǫ = 1, podemos escolher qualquer 0 < δ < 1 que a relac¸a˜o sera´ satisfeita. Se
escolhermos ǫ = 0, 1, qualquer 0 < δ < 0, 1 tornara´ a relac¸a˜o verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ > 0,
podemos encontrar valores de δ > 0 para os quais a relac¸a˜o e´ verdadeira. Assim, o limite esta´ provado.
Exemplo 2: mostre que lim
x→2
(x+ 3) = 5.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de
ǫ > 0. Temos a = 2, f(x) = x + 3 e L = 5, de modo que a
expressa˜o fica
|x− 2| < δ ⇒ |x+ 3− 5| < ǫ ⇔ |x− 2| < δ ⇒ |x− 2| < ǫ .
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,
essa relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x−2| < δ e δ ≤ ǫ, enta˜o |x−2| < ǫ.
Portanto, o limite esta´ provado.
bc bc x
22− δ 2 + δ
bc bc y
22− ǫ 2 + ǫ
Os dois pro´ximos exemplos ilustram limites de func¸o˜es do tipo f(x) = ax+ b, onde a 6= 1.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 14
Exemplo 3: mostre que lim
x→1
(2x− 1) = 1.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de
ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a expressa˜o
fica
|x− 1| < δ ⇒ |2x− 1− 1| < ǫ ⇔ |x− 1| < δ ⇒ |2x− 2| < ǫ ⇔
⇔ |x− 1| < δ ⇒ 2|x− 1| < ǫ ⇔ |x− 1| < δ ⇒ |x− 1| < ǫ
2
.
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ2 , essa
relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ2 , enta˜o |x − 1| < ǫ.
Portanto, o limite esta´ provado.
bc bc x
11− δ 1 + δ
bc bc y
11− ǫ/2 1 + ǫ/2
Exemplo 4: mostre que lim
x→2
(5x− 4) = 6.
Soluc¸a˜o: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valor
de
ǫ > 0. Temos a = 2, f(x) = 5x − 4 e L = 6, de modo que a expressa˜o
fica
|x− 2| < δ ⇒ |5x− 4− 6| < ǫ ⇔ |x− 2| < δ ⇒ |5x− 10| < ǫ ⇔
⇔ |x− 2| < δ ⇒ 5|x− 2| < ǫ ⇔ |x− 2| < δ ⇒ |x− 2| < ǫ
5
.
Podemos ver da expressa˜o acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ5 , essa
relac¸a˜o sera´ va´lida, pois se |x − 2| < δ e δ ≤ ǫ5 , enta˜o |x − 1| < ǫ.
Portanto, o limite esta´ provado.
bc bc x
22− δ 2 + δ
bc bc y
22− ǫ/5 2 + ǫ/5
Exemplo 5: mostre que lim
x→1
(2x− 1) = 4.
Soluc¸a˜o: para tentarmos provar esse resultado (que esta´ errado), temos que mostrar que existem valores de δ > 0
tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x− 1 e L = 4, de modo
que a expressa˜o fica
|x− 1| < δ ⇒ |2x− 1− 4| < ǫ ⇔ |x− 1| < δ ⇒ |2x− 3| < ǫ ⇔ |x− 1| < δ ⇒ 2|x− 1, 5| < ǫ ⇔
⇔ |x− 1| < δ ⇒ |x− 1, 5| < ǫ
2
.
Isto significa que para qualquer valor de ǫ > 0, existe sempre
um δ > 0 tal que, se x estiver dentro do intervalo aberto no eixo
x dado por (1 − δ, 1 + δ), enta˜o f(x) estara´ sempre dentro do
intervalo aberto
(
1, 5− ǫ2 , 1, 5 + ǫ2
)
no eixo y. Para mostrar que
isto na˜o esta´ correto, basta achar um contra-exemplo. A figura ao
lado facilita isto.
bc bc x
1
1− δ 1 + δ
bc bc y
1, 5
1, 5− ǫ/2 1, 5 + ǫ/2
Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 < 0, 5, isto e´, ǫ < 1, na˜o ha´ forma de escolher um intervalo (1−δ, 1+δ)
de modo a garantir que, se x esta´ dentro desse intervalo, enta˜o f(x) estara´ dentro do intervalo (1, 5−ǫ/2 , 1, 5+ǫ/2).
Portanto, o limite esta´incorreto.
Ha´ ainda a possibilidade de demonstrar alguns limites mais complicados, como os que envolvem func¸o˜es
quadra´tica,s mas isso foge da intenc¸a˜o desta leitura complementar.
A definic¸a˜o de limite feita aqui e´ apenas aquela que e´ adequada a limites finitos quando se tende a nu´meros
finitos. A seguir, veremos algumas definic¸o˜es de limites envolvendo o infinito.
a) Limites no infinito
Quando tomamos os limites x→∞, a definic¸a˜o 5 de limite torna-se inapropriada, pois na˜o podemos tomar
um intervalo |x− a| < δ quando a→ ±∞. Substituindo a por ∞ nessa desigualdade, temos
|x− a| < δ ⇒ |x−∞| < δ ⇒ | −∞| < δ ⇒∞ < δ ,
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 15
pois x−∞ = −∞ para qualquer x ∈ R. De forma semelhante, substituindo a por −∞, temos
|x− a| < δ ⇒ |x− (−∞)| < δ ⇒ |x+∞| < δ ⇒ |∞| < δ ⇒∞ < δ ,
pois x+∞ =∞ para qualquer x ∈ R. Como na˜o existe um nu´mero real δ tal que δ >∞, temos que usar uma
outra definic¸a˜o para esse tipo de limite.
Pensemos o seguinte: o limite lim
x→∞
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a infinito, o intervalo |f(x)− ǫ|
tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ > 0, existe um nu´mero N tal que, toda
vez que x > N , automaticamente, |f(x)− L| < ǫ. Esta ide´ia e´ formalizada na definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 6 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto no ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ existe e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
x→∞
f(x) = L,
quando, para qualquer nu´mero ǫ > 0, existir sempre um nu´mero N > 0 tal que, se x > N , enta˜o
|f(x)− L| < ǫ.
De modo semelhante, podemos dizer que o limite lim
x→−∞
f(x) = L existe quando, fazendo x tender a menos
infinito, o intervalo |f(x) − ǫ| tender a zero, isto e´, que dado um ǫ > 0, existe um nu´mero N < 0 tal que
x < N ⇒ |f(x)− L| < ǫ. A definic¸a˜o seguinte formaliza esta ide´ia.
Definic¸a˜o 7 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ existe e e´ igual a L, o que pode ser escrito como lim
x→−∞
f(x) = L,
quando, para qualquer nu´mero ǫ > 0, existir sempre um nu´mero N < 0 tal que, se x < N , enta˜o
|f(x)− L| < ǫ.
b) Limites infinitos
Primeiro, veremos os caso de limites que va˜o para infinito ou menos infinito quando x tende a um valor
finito:
lim
x→a
f(x) =∞ ou lim
x→a
f(x) = −∞ .
O motivo de na˜o termos definido esses limites no texto principal foi porque ainda na˜o vimos func¸o˜es que
apresentam esse comportamento. No entanto, para que as definic¸o˜es fiquem completas, faremos aqui as duas
que restam.
Definic¸a˜o 8 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulac¸a˜o
a de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a e´ igual a ∞, o que pode ser escrito como
lim
x→a
f(x) = ∞, quando, para qualquer M > 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, enta˜o
f(x) > M .
Definic¸a˜o 9 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulac¸a˜o a
de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a e´ igual a −∞, o que pode ser escrito como
lim
x→a
f(x) = −∞, quando, para qualquer M < 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, enta˜o
f(x) < M .
c) Limites infinitos no infinito
Resta agora definir os limites no infinito das func¸o˜es de poteˆncias naturais f(x) = xn com n > 0. Esses
limites sa˜o infinitos, de modo que as definic¸o˜es 2 e 3 na˜o sa˜o mais apropriadas, pois quando o limite for ∞,
teremos
|f(x)− L| < ǫ⇒ |f(x)−∞| < ǫ ⇒ | −∞| < ǫ⇒∞ < ǫ
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 16
e, quando o limite for −∞,
|f(x)− L| < ǫ⇒ |f(x)− (−∞)| < ǫ⇒ |∞| < ǫ⇒∞ < ǫ .
Como na˜o existe ǫ real tal que ǫ >∞, na˜o podemos aplicar essas definic¸o˜es aos casos em que o limite tende a
infinito. Podemos dizer, no entanto, que o limite quando x → ∞ de uma func¸a˜o tende a ∞ quando, quanto
maior for o valor de x, maior sera´ o valor de f(x). Podemos tambe´m dizer isto da seguinte forma: para todo
valor M > 0, existe sempre um valor N > 0 tal que x > N ⇒ f(x) > M . Como existem diversas situac¸o˜es
dependendo do limite que tomamos, e´ necessa´rio fazer as quatro definic¸o˜es a seguir.
Definic¸a˜o 10 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a ∞ e´ igual a ∞, o que pode ser escrito como lim
x→∞
f(x) = ∞, quando,
para qualquer nu´mero M > 0, existir sempre um nu´mero N > 0 tal que, se x > N , enta˜o f(x) > M .
Definic¸a˜o 11 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a∞ e´ igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
x→∞
f(x) = −∞, quando,
para qualquer nu´mero M < 0, existir sempre um nu´mero N > 0 tal que, se x > N , enta˜o f(x) < M .
Definic¸a˜o 12 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a −∞ e´ igual a∞, o que pode ser escrito como lim
x→−∞
f(x) =∞, quando,
para qualquer nu´mero M > 0, existir sempre um nu´mero N < 0 tal que, se x < N , enta˜o f(x) > M .
Definic¸a˜o 13 - Dada uma func¸a˜o f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a −∞ e´ igual a −∞, o que pode ser escrito como lim
x→−∞
f(x) = −∞,
quando, para qualquer nu´mero M < 0, existir sempre um nu´mero N < 0 tal que, se x < N , enta˜o
f(x) < M .
Essas sa˜o, na verdade, todas as definic¸o˜es de limites para func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 17
Leitura Complementar 2.3.4 - Alguns teoremas
para limites
A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o ca´lculo de alguns limites impor-
tante envolvendo func¸o˜es de duas ou mais varia´veis. Esse teoremas sa˜o seguidos de exemplos que os utilizam,
entre eles formas mais corretas dos exemplos 2 e 3 da sec¸a˜o 2.3.2 deste cap´ıtulo.
O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um limite existe se, seguindo qualquer caminho poss´ıvel
ate´ ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que sa˜o imagens
de func¸o˜es vetoriais de um paraˆmetro real.
Teorema 1 - Considere que lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = L. Dada uma func¸a˜o vetorial F (t) de
R em Rn, cont´ınua em t = t0 e tal que F (t0) = (x10, · · · , xn0) e F (t) 6= (x10, · · · , xn0) se t 6= t0, e tal
que F (t) ∈ D(f), enta˜o, lim
t→t0
f (F (t)) = L.
Exemplo 1: mostre que lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= 1.
Soluc¸a˜o: este e´ o mesmo exemplo 3 da sec¸a˜o 2.3.2 deste cap´ıtulo, so´ que formulado de maneira mais rigorosa usando
o teorema 1. Consideremos uma curva que e´ a imagem da func¸a˜o vetorial F (t) = (t cos θ, t sen θ), onde t e´ um
paraˆmetro real positivo e θ e´ um aˆngulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em direc¸a˜o a` origem
vindos de aˆngulos θ distintos e e´ tal que F (0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F (t) 6= (0, 0) para t 6= 0.
Portanto, pelo teorema 1, podemos considerar x(t) = t cos θ e y(t) = t sen t, que nada mais sa˜o que coordenadas
polares (Leitura Complementar 1.1.4). Como x2 + y2 = t2 cos2 t + t2 sen 2t = t2(cos2 t + sen 2t) = t2, podemos
escrever o limite da seguinte forma:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
t→0
sen t2
t2
.
Tal limite pode ser resolvido usando L’Hoˆpital:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
t→0
cos t2 · 2t
2t
= lim
t→0
cos t2 = cos 02 = 1 .
Como esse resultado e´ va´lido para qualquer aˆngulo θ, enta˜o por qualquer caminho que possamos usar, o limite e´ o
mesmo, o que prova que o limite esta´ correto.
Este mesmo racioc´ınio pode ser utilizado para outros problemas que exibam simetria radial, como o do
exemplo aseguir.
Exemplo 2: mostre que lim
(x,y)→(1,−2)
e−x
2−y2+2x−4y−5 = 1.
Soluc¸a˜o: completando quadrados, podemos escrever
−x2 − y2 + 2x− 4y − 5 = −(x2 − 2x)− (y2 + 4y)− 5 = − [(x− 1)2 − 1]− [(y + 2)2 − 4]− 5 =
= −(x− 1)2 + 1− (y + 2)2 + 4− 5 = −(x− 1)2 − (y + 2)2 .
Escolhendo a func¸a˜o F (t) = (1 + t cos θ,−2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos (x − 1)2 + (y + 2)2 =
(1+t cos theta−1)2+(−2+tsent+2)2 = t2, um resultado que independe de θ. Essa func¸a˜o e´ tal que F (0) = (1,−2)
e F (t) 6= (1,−2) para t 6= 0. Do teorema 1,
lim
(x,y)→(1,−2)
e−x
2−y2+2x−4y−5 = lim
(x,y)→(1,−2)
e−(x−1)
2−(y+2)2 = lim
t→0
e−t
2
= e0 = 1 .
Esse resultado e´ va´lido para qualquer aˆngulo θ, o que prova que o limite esta´ correto.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 18
A seguir, utilizamos o teorema 1 para provar que um dado limite na˜o existe.
Exemplo 3: mostre que lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
na˜o existe.
Soluc¸a˜o: nossa estrate´gia sera´ mostrar que podemos obter resultados diferentes atrave´s de duas curvas distintas.
Comec¸amos pela curva associada a` func¸a˜o vetorial F (t) = (t, 0), que e´ tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6= (0, 0) para
t 6= 0. Enta˜o, o limite pode ser escrito trocando x = t e y = 0, de modo que
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
= lim
t→0
t2 − 0
t2 + 0
= lim
t→0
1 = 1 .
Considerando agora uma curva associada a` func¸a˜o vetorial F (t) = (0, t), que e´ tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6=
6= (0, 0) para t 6= 0, enta˜o o limite pode ser escrito trocando x = 0 e y = t, de modo que
lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
= lim
t→0
0− t2
0 + t2
= lim
t→0
(−1) = −1 .
Como os dois limites na˜o coincidem, podemos afirmar que o limite dado na˜o existe.
O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma func¸a˜o em duas outras, onde o limite da
primeira e´ zero e a segunda func¸a˜o e´ limitada, enta˜o o limite da func¸a˜o original e´ zero.
Teorema 2 - Dado um limite tal que
lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn) ,
onde lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
g(x1, · · · , xn) = 0 e |h(x1, · · · , xn)| ≤M ,M ∈ R eM > 0, dentro do intervalo
||(x1, · · · , xn)− (x10, · · · , xn0)|| < r, r ∈ R e r > 0, enta˜o lim
(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)
f(x1, · · · , xn) = 0.
Exemplo 4: prove que lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= 0.
Soluc¸a˜o: podemos escrever
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x · x
2
x2 + y2
.
Temos que lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e
∣∣∣∣ x
2
x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 1, pois um nu´mero positivo (quadrado) dividido por ele mais outro nu´mero
positivo sempre sera´ menor ou igual a 1. Enta˜o, pelo teorema 2, lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= 0.
Exemplo 5: prove que lim
(x,y)→(∞,∞)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= 0.
Soluc¸a˜o: podemos escrever
lim
(x,y)→(∞,∞)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(∞,∞)
1
x2 + y2
· sen (x2 + y2) .
Uma vez que lim
(x,y)→(∞,∞)
1
x2 + y2
= 0 e
∣∣ sen (x2 + y2)∣∣ ≤ 1, enta˜o, pelo teorema 2, lim
(x,y)→(∞,∞)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
= 0.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 19
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 2.3
Nı´vel 1
Limites de func¸o˜es de uma varia´vel
Exemplo 1: escreva o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f(x, y) = e−x
2−y2.
Soluc¸a˜o: o domı´nio dessa func¸a˜o e´ D(f) = R2, enquanto sua imagem e´ Im(f) = [0, 1], pois a func¸a˜o exponencial
so´ pode assumir valores positivos ou nulos e a func¸a˜o chega a um valor ma´ximo em f(0, 0) = 1.
E1) Escreva os domı´nios e as imagens das func¸o˜es dadas a seguir.
a) f(x, y) = 4x2 + 4y2, b) f(x, y) = 2x2 + 3y2, c) f(x, y) =
√
9− x2 − y2, d) f(x, y) = 1√
1−x2−y2
,
e) f(x, y) = 3x2 − 2y2, f) f(x, y) = x4 + y4, g) f(x, y) = ln(x2 + y2), h) f(x, y) = ln(x2 − y3).
Limites
Exemplo 2: calcule lim
(x,y)→(1,0)
(3xy − y3).
Soluc¸a˜o: lim
(x,y)→(1,0)
(3xy − y3) = 3 · 1 · 0− 03 = 0.
E2) Calcule os seguintes limites:
a) lim
(x,y)→(2,1)
(2xy − x2), b) lim
(x,y)→(1,0)
senxy
y
, c) lim
(x,y,z)→(1,0,0)
(yz2 + lnx),
d) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
ln(x2 + y2 + z2).
Nı´vel 2
E1) Verifique se f(x, y) =
sen (x2 + y2)
x2 + y2
e´ cont´ınua em (0, 0).
E2) Verifique se f(x, y) =


sen (x2 + y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
1 , (x, y) = (0, 0)
, e´ cont´ınua em (0, 0).
Nı´vel 3
E1) Prove que lim
x→1
(4x− 2) = 2.
E2) Prove que lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) = 0.
E3) Prove que lim
(x,y)→(x0,y0)
k = k para quaisquer (x0, y0) ∈ R2 e k ∈ R.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 20
E4) Considere a func¸a˜o CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substituic¸a˜o Constante)
P (K,L) = A [αKρ + (1− α)Lρ]1/ρ.
a) Calcule o limite de z = lnP quando ρ→ 0. (Dica: use a regra de L’Hoˆpital.)
b) Mostre que o limite da func¸a˜o CES quando ρ→ 0 e´ a func¸a˜o de Cobb-Douglas.
E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)→(∞,∞)
1
x2 + y2
= 0.
E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = 1.
E7) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
= 0.
E8) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
= 0.
E9) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y na˜o existe.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a) D(f) = R2, Im(f) = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}. b) D(f) = R2, Im(f) = R+.
c) D(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9}, Im(f) = [0, 3].
d) D(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}, Im(f) = R+∗ = {x ∈ R | x > 0}. e) D(f) = R2, Im(f) = R.
f) D(f) = R2, Im(f) = R+. g) D(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | (x, y) 6= (0, 0)}, Im(f) = R.
h) D(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 − y3 > 0}, Im(f) = R.
E2) a) 0, b) 1, c) 0, d) −∞.
Nı´vel 2
E1) Na˜o e´ cont´ınua em (0, 0), pois f(0, 0) na˜o existe.
E2) E´ cont´ınua em (0, 0), pois lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 1.
Nı´vel 3
E1) Como |f(x)− L| < ǫ⇔ |4x− 2− 2| < ǫ⇔ |4x− 4| < ǫ⇔ |x− 1| < ǫ
4
, enta˜o para qualquer ǫ > 0, sempre existe um
0 < δ ≤ ǫ
4
tal que |x− 1| < δ ⇒ |f(x)− 2| < ǫ.
E2) Como |f(x, y)− L| < ǫ⇔ |x2 + y2 − 0| < ǫ e ||(x − x0), (y − y0)|| =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 =
√
x2 + y2, enta˜o para
qualquer 0 < δ ≤ ǫ teremos
√
x2 + y2 < δ ⇒ |x2 + y2| < ǫ ⇔ −ǫ < x2 + y2 < ǫ. Como 0 <
√
x2 + y2 < δ, enta˜o
x2 + y2 < δ2. Com isto, podemos dizer que
√
x2 + y2 < δ ⇒ −ǫ < x2 + y2 < ǫ⇔ δ2 ≤ ǫ e δ > 0, de modo que devemos
ter δ <
√
ǫ. Portanto, sempre que δ <
√
ǫ, teremos ||x− x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x)− L| < ǫ, o que prova o limite.
E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que
||x− x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ǫ⇔
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |k − k| < ǫ⇔ 0 < ǫ .
Como, por hipo´tese, ǫ > 0 sempre, enta˜o para qualquer δ > 0 a afirmac¸a˜o acima e´ verdadeira, o que prova o limite.
E4) a) lim
ρ→0
z = ln
(
AKαL1−α
)
b) lim
ρ→0
P = lim
ρ→0
exp(lnP ) = exp
[
ln
(
lim
ρ→0
P
)]
= exp
[
ln
(
AKαL1−α
)]
= AKαL1−α. O limite pode ser deslocado para
dentro das func¸o˜es exponencial e logaritmo natural porque elas sa˜o cont´ınuas.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 2.3 - Formalizac¸a˜o do conceito de limite 21
E5) Escolhendo F (t) = (t cos θ, t sen θ), temos lim
(x,y)→(∞,∞)
1
x2 + y2
= lim
t→∞
1
t2
= 0 para qualquer valor de θ, o que prova o
limite.
E6) Escolhendo F (t) = (t cosh θ, t senh θ), temos lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 − y2)
x2 − y2 = limt→0
sen t2
t2
= lim
t→0
cos t2 · 2t
2t
= cos 0 = 1 para
qualquer valor de θ, o que prova o limite.
E7) lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e
∣∣∣∣ yx2 + y2
∣∣∣∣ < 1, de modo que lim(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
= 0.
E8) lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e
∣∣∣∣∣
1√
x2 + y2∣∣∣∣∣ < 1, de modo que lim(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
= 0.
E9) Escolhendo F (t) = (t, 0), enta˜o lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y = limt→0
t+ 0
t− 0 = 1. Escolhendo F (t) = (0, t), enta˜o
lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y = limt→0
0 + t
0− t = −1. Portanto, o limite na˜o existe.