Mapas de Karnaugh1

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Mapas de Karnaugh
1
Mapas de Karnaugh
Simplificação algébrica de equações boolenas
Difícil/demorada a simplificação de equações com muitos termos
Difícil identificar as possíveis simplificações
A ordem na qual as propriedades/teoremas são aplicados pode dificultar/facilitar a simplificação
Fácil de cometer algum engano
Equações booleanas também podem ser simplificadas a partir de mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh
Método visual utilizado para a simplificação de equações booleanas
A equação simplificada pode ser obtida na forma de soma de produtos ou produto de somas
A equação obtida não é necessáriamente a menor equação
Em muitos casos a equação obtida pode ser fatorada (distributividade)
Em teoria pode ser utilizado para simplificar equações com um número qualquer de variáveis de entrada
Entretanto, na prática é utilizado apenas para simplificar equações de até 6 variáveis de entrada
Simplificações envolvendo mais de 6 variáveis de entrada devem ser resolvidas por ferramentas especializadas (e.g. Logisim)
Mapas de Karnaugh
2 variáveis de entrada (A e B)
3 variáveis de entrada (A, B e C)
4 variáveis de entrada (A, B, C e D)
Os mapas são matrizes de 2n células, onde n é o número de variáveis de entrada
O número de células é igual ao número de linhas da tabela verdade
As linhas e colunas são númeradas com as possíveis combinações entre as variáveis de entrada (binário)
As células são preenchidas com os valores de saída da equação
A numeração das linhas/colunas adjacentes diferem em apenas um dígito
H
CD
A B
00
01
11
10
00
01
11
10
G
C
A B
0
1
00
01
11
10
F
B
A
0
1
0
1
Não é uma sequência binária crescente
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
C1
C2
V
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
V
C2
C1
0
1
0
1
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
C1
C2
V
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
V
C2
C1
0
1
0
0
1
1
1
0
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
C1
C2
V
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
V
C2
C1
0
1
0
0
1
1
1
0
V = !C1.C2 + C1.!C2
V = (C1 + C2). (!C1 + !C2)
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
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0
0
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1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
P
c
a b
0
1
00
01
11
10
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
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0
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0
1
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P
c
a b
0
1
00
0
1
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1
0
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0
1
10
1
0
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
Gerador de paridade
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
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0
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0
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0
1
1
0
0
1
1
1
1
P
c
a b
0
1
00
0
1
01
1
0
11
0
1
10
1
0
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.b.c + a.!b.!c 
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+!b+c).(!a+b+!c)
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
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0
1
1
0
0
1
1
1
1
P
b c
a
00
01
11
10
0
1
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
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0
0
1
1
1
1
P
b c
a
00
01
11
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0
1
0
1
1
1
0
1
0
Mapas de Karnaugh
Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra maneira de escrever uma tabela verdade
Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
a
b
c
P
0
0
0
0
0
0
1
1
0
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0
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0
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0
1
1
1
1
P
b c
a
00
01
11
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0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.b.c + a.!b.!c 
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+!b+c).(!a+b+!c)
Mapas de Karnaugh
Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
Detector de maioria
v1
v2
v3
v4
Maioria
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
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0
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1
0
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0
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1
1
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Maioria
v3 v4
v1 v2
00
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00
01
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Mapas de Karnaugh
Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
Detector de maioria
v1
v2
v3
v4
Maioria
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
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0
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0
0
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1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
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0
1
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1
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0
0
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1
1
1
1
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1
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1
Maioria
v3 v4
v1 v2
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10
0
0
1
0
Mapas de Karnaugh
Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
Detector de maioria
v1
v2
v3
v4
Maioria
0
0
0
0
0
0
0
0
1
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0
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0
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v3 v4
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0
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0
1
0
Maioria = !v1.v2.v3.v4 + v1.v2.!v3.v4 + v1.v2.v3.v4 + v1.v2.v3.!v4 + v1.!v2.v3.v4
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Feita a partir do agrupamento de 1s ou 0s
Antes de agrupar deve-se decidir se o agrupamento será baseado em 1 ou 0
Não é possível agrupar 1s e 0s no mesmo mapa
Grupos de 1s
Equação simplificada obtida na forma de soma de produtos
Grupos de 0s
Equação simplificada obtida na forma de produto de somas
O número de elementos de cada grupo deve ser uma potência de 2
1 (20), 2 (21), 4 (22), 8 (23), 16 (24) …
Focaremos grupos de 1s, visto que é mais utilizado
Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
X
b
a
0
1
0
1
1
1
0
0
Y
b
a
0
1
0
1
0
1
1
0
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b
a
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0
1
1
1
1
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F
b
a
0
1
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1
1
1
1
1
G
b
a
0
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0
0
1
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
X
b
a
0
1
0
1
1
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0
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b
a
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a
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0
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b
a
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2 grupos
G
b
a
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2 grupos
Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Grupos com formato quadrado ou retangular
Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos grupos, melhor a simplificação
Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F
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00
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Adjacência nas bordas
A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
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Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Adjacência nas bordas
A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F
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1
Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Adjacência nas bordas
A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
1
0
0
1
G
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
1
1
1
1
H
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
1
1
1
1
X
c d
a b
00
01
11
10
00
0
1
1
0
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
0
1
1
0
Y
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
1
0
0
1
Z
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
0
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
0
0
0
1
Mapas de Karnaugh
Agrupamento
Adjacência nas bordas
A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
1
0
0
1
G
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
1
1
1
1
H
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
1
1
1
1
X
c d
a b
00
01
11
10
00
0
1
1
0
01
1
0
0
1
11
1
0
0
1
10
0
1
1
0
Y
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
1
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
1
0
0
1
Z
c d
a b
00
01
11
10
00
1
0
0
0
01
0
0
0
0
11
0
0
0
0
10
0
0
0
1
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto da equação final
X
b
a
0
1
0
0
0
1
1
1
X = a.!b + a.b
X = a.(!b + b)	(distributividade)
X = a.(1)		(OR: X + !X = 1)
X = a		(AND: X . 1 = X)
X = a
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
a = 1
b = 0 
a = 1
b = 1 
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
G
b
a
0
1
0
1
1
1
0
1
H
b
a
0
1
0
1
1
1
1
1
F
b
a
0
1
0
1
0
1
1
0
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Soma de produtos
(variáveis de entrada iguais a 0 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
G
b
a
0
1
0
1
1
1
0
1
H
b
a
0
1
0
1
1
1
1
1
F
b
a
0
1
0
1
0
1
1
0
F = !b
G = !a + b
H = 1
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Soma de produtos
(variáveis de entrada iguais a 0 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 0s produz um termo soma
Os termos obtidos são multiplicados (produto de somas)
G
b
a
0
1
0
1
1
1
0
1
H
b
a
0
1
0
1
1
1
1
1
F
b
a
0
1
0
1
0
1
1
0
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Produto de somas
(variáveis de entrada iguais a 1 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 0s produz um termo soma
Os termos obtidos são multiplicados (produto de somas)
G
b
a
0
1
0
1
1
1
0
1
H
b
a
0
1
0
1
1
1
1
1
F
b
a
0
1
0
1
0
1
1
0
F = !b
G = !a + b
H = 1
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Produto de somas
(variáveis de entrada iguais a 1 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
I
c
a b
0
1
00
1
0
01
0
0
11
1
1
10
0
0
Z
b c
a
00
01
11
10
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Soma de produtos
(variáveis de entrada iguais a 0 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
I
c
a b
0
1
00
1
0
01
0
0
11
1
1
10
0
0
Z
b c
a
00
01
11
10
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
I = !a.!b.!c + a.b
Z = !a.!b + !c
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Soma de produtos
(variáveis de entrada iguais a 0 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 0s produz um termo soma
Os termos obtidos são multiplicados (produto de somas)
I
c
a b
0
1
00
1
0
01
0
0
11
1
1
10
0
0
Z
b c
a
00
01
11
10
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Produto de somas
(variáveis de entrada iguais a 1 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 0s produz um termo soma
Os termos obtidos são multiplicados (produto de somas)
I
c
a b
0
1
00
1
0
01
0
0
11
1
1
10
0
0
Z
b c
a
00
01
11
10
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Z = (!a + !c).(!b + !c)
I = (a + !b).(!a + b).(a + !c)
Produto de somas
(variáveis de entrada iguais a 1 aparecem negadas no termo)
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Z
c d
a b
00
01
11
10
00
0
1
0
0
01
0
1
1
0
11
1
1
1
1
10
0
1
1
0
Z = a.b + !c.d + b.d + a.d	(pode ser simplificada)
Z = a.b + a.d + !c.d + b.d	(comutatividade)
Z = a.(b + d) + d.(!c + b)	(distributividade)
Mapa de Karnaugh produz a equação mais simplificada possível na forma de soma de produtos ou produto de somas.
Tal equação não é necessáriamente a mais simplificada considerando outros formatos
Mapas de Karnaugh
Simplificação
Cada grupo de 1s produz um termo produto
Os termos obtidos são somados (soma de produtos)
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
Z
c d
a b
00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
Z
c d
a b
00
01
11
10
00
0
0
0
0
01
0
0
0
0
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
Z = a.b.!c + a.b.c
Z = a.b
Ainda dá para simplificar
Simplificação máxima
Agrupar sempre o número máximo de elementos possível
Mapas de Karnaugh
Logisim
Project → Analyze Circuit 
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
J
c
a b
0
1
00
0
1
01
1
1
11
1
0
10
1
0
H
c
a b
0
1
00
1
1
01
1
0
11
0
1
10
1
1
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
J
c
a b
0
1
00
0
1
01
1
1
11
1
0
10
1
0
H
c
a b
0
1
00
1
1
01
1
0
11
0
1
10
1
1
J = !a.c + !a.b + a.!c
H = !b + !a.!c + a.c
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
X
b c
a
00
01
11
10
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
Y
b c
a
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
X
b c
a
00
01
11
10
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
Y
b c
a
00
01
11
10
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
X = !a.!c + a.c
Y = a.!b + c
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
G
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
0
0
0
11
1
0
1
0
10
1
0
0
1
X
c d
a b
00
01
11
10
00
0
0
1
1
01
1
1
1
1
11
0
1
1
0
10
1
0
0
0
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda de valor em alguma célula do grupo é eliminada do termo
J
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
1
1
0
1
11
1
0
1
1
10
1
1
1
1
H
c d
a b
00
01
11
10
00
1
1
1
0
01
1
1
1
0
11
1
1
1
1
10
1
1
1
0
Mapas de Karnaugh
Simplificar por soma de produtos
Obter a tabela verdade antes de simplificar
M = A.B.C + A.B.!C
J = (!A + B).(A + B)
F = !A.B.C + !A.B.!C + A.C 
G = !A.B.!C + !A.B.C + A.B.!C + !A.B.!C 
H = !A.B.!C + A.B.!C + B.!C.D 
X = !(A + B).(!A + !B) 
Y = !( !(A + B).!(!C+ B) )
Z = A.B.!(!A + B.C)
K = !(C.!B).(A + !C.!A).B
P = !a.c + !a.b + a.!b.c + b.c
Q = !a.!b.!c + !b.c.!d + !a.b.c.!d + a.!b.!c
R = !a.!b.!c.!d + !c.d + a.!b.c + !d
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