Filtros Banda de Passagem

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Conteúdo
1 - Filtro de Banda de Passagem - Análise 
Quantitativa (Resposta em Freqüência)
2 - Exercícios
3 - Filtro de Banda de Rejeição - Análise 
Quantitativa (Resposta em Freqüência)
4 - Exercícios
5 - Lista de Exercícios Número 5 - LE 5
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
1.1 - Circuito RLC em série (Tensão de Saída no Resistor): Análise 
Quantitativa
a) Função de Transferência →→→→ H ( jωωωω )
∴
ω
−ω+
ω=ω
••
C
jLjR
R)j(V)j(V io ∴
ω
−ω+
=
ω
ω
•
•
C
jLjR
R
)j(V
)j(V
i
o
)j(Vi ω
•
)j(Vo ω
•
+
-
R
j ωωωω L
- j / (ωωωω C)
∴
ω
−ω+
=ω
C
jLjR
R)j(H ∴


 ω


ω
−ω+


 ω
=ω
L
j
C
jLjR
L
jR
)j(H
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
∴


 ω


ω
−ω+


 ω
=ω
L
j
C
jLjR
L
jR
)j(H ∴
+ω−
ω
ω
=ω
CL
1
L
Rj
L
Rj
)j(H
2
∴
+ω−ω
ω
=ω
CL
1
L
Rj
L
Rj
)j(H
2
L
Rj
CL
1
L
Rj
)j(H
2 ω+


ω−
ω
=ω
b) Resposta de freqüência →→→→ gráficos do módulo e do ângulo de H ( jωωωω ) em
função de ωωωω.
∴








ω−
ω
∠

ω+


ω−
∠ω
=ω
2
22
2
0
CL
1
L
R
tgarc
L
R
CL
1
90
L
R
)j(H
Transformando o numerador e denominador da função de transferência da forma
retangular para polar, tem-se: 
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 








ω−
ω
−∠


ω+


ω−
ω
=ω
2
0
22
2 CL
1
L
R
tgarc90
L
R
CL
1
L
R
)j(H
⇓⇓⇓⇓
22
2
L
R
CL
1
L
R
)j(H


ω+


ω−
ω
=ω








ω−
ω
−=ωθ
2
0
CL
1
L
R
tgarc90)j(
090)j(e0)j(H =ωθ=ωPara ωωωω →→→→ 0:
090)j(e0)j(H −=ωθ=ωPara ωωωω →→→→ ∞∞∞∞:
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
ωωωω 0
θ ( jω0 ) = 00 ωωωω
)j( ωθ
- 900
900
θ ( jωc1 )
ωωωωc1
ωωωωc2
θ ( jωc2 )
Parâmetros importantes: 
1) ωωωωc1 e ωωωωc2 →→→→ freqüências de 
corte (rad/s); correspondem às 
duas freqüências nas quais o 
módulo da função de 
transferência é 70,7% do valor 
máximo, que neste caso é 1.
1
ωωωω 0ωωωωc1 ωωωωc2 ωωωω
)j(H ω
0,707
BPBR
BRββββ 2) ωωωω 0 →→→→ freqüência central ou freqüência de ressonância 
(rad/s); corresponde à freqüência 
na qual o módulo da função de 
transferência é máximo (1) e o 
ângulo é zero, ou seja, nesta 
freqüência a função de 
transferência é um número real.
3) ββββ →→→→ largura da banda passante 
(rad/s); corresponde à diferença 
entre as freqüências de corte: 
β = ωc2 - ωc1
4) Q →→→→ fator de qualidade 
(adimensional); corresponde à
relação entre a freqüência central 
(ou de ressonância) e a banda 
passante : Q = ω0 / β
002c1c0 f2π=ω⇒ωω=ω
BP →→→→ banda passante (ωωωωc1 < ωωωω < ωωωωc2 )
BR →→→→ banda rejeitada (ωωωω < ωωωωc1 e ωωωω > ωωωωc2 )
2c2c
1c1c
f2
f2
π=ω
π=ω
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
c) Determinação das expressões matemáticas dos 5 parâmetros que
caracterizam um Filtro de Banda de Passagem:
Nesta freqüência a função de transferência possui módulo 1 e ângulo zero, ou 
seja, é igual a 1 ⇒⇒⇒⇒ )j(V)j(V
)j(V
)j(V)j(H101)j(H i0
i
00 ω=ω∴
ω
ω
=ω∴=∠=ω
••
•
•
c.1 - Freqüência central ou de ressonância (ωωωω0):
)j(V i ω
• )j(V o ω
•
+
-
R
j ωωωω L - j / (ωωωω C)
Assim, o indutor e o capacitor
comportam-se como um curto-
circuito e, portanto, a soma de 
suas impedâncias tem que ser 
nula.
⇓⇓⇓⇓
∴=+ 0ZZ CL ∴=ω
−ω 0
C
jLj
0
0 ∴
ω
=ω
C
jLj
0
0 ∴=ω CL
12
0 CL
1
0 =ω
Verifica-se que na freqüência de ressonância (ou central):
1) O circuito é puramente resistivo.
2) A impedância equivalente é mínima, uma vez que as impedâncias do 
indutor e do capacitor se cancelam (pois apresentam efeitos subtrativos).
3) O módulo da função de transferência é máximo (1) - vide gráfico na página anterior.
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
Nestas freqüências o módulo da função de transferência é 70,7 % do valor 
máximo (1) ⇒⇒⇒⇒ EPC!!VERIFICAR1)j(HH 0max −⇒=ω=
c.2 - Freqüências de corte (ωωωωc1 e ωωωωc2 ):
∴===ω 707,0
2
1
2
)j(H maxHc
∴=


ω+


ω−
ω
=ω
2
1
L
R
CL
1
L
R
)j(H
2
c
2
2
c
c
c
Aplicando a definição de freqüência de corte na expressão do módulo da função de 
transferência, tem-se: 
Explicitando ωωωωc na equação acima, obtém-se dois valores para esta variável:



+


+−=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
1c 


+


+=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
2c
As equações acima podem ser utilizadas para determinar a relação entre as 
freqüências de corte e a freqüência de ressonância (ou central):
EPC!!VERIFICAR2c1c0 −⇒ωω=ω
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
∴ω−ω=β 1c2cÉ definida como a diferença entre as duas freqüências de corte ⇒⇒⇒⇒
c.3 - Largura da Banda Passante ou Banda Passante ( ββββ ):
∴






+


+−−


+


+=β
CL
1
L2
R
L2
R
CL
1
L2
R
L2
R 22
L
R
=β
É definido como a relação entre a freqüência de ressonância (ou central) e a banda 
passante ⇒⇒⇒⇒
c.4 - Fator de Qualidade ( Q ):
∴β
ω
=
0Q ∴=
L
R
CL
1
Q 2RC
LQ =
NOTA - As freqüências de corte podem ser expressas em função da banda passante 
(ou largura da banda passante) e da freqüência de ressonância (ou central):
∴


+


+−=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
1c
2
0
2
1c 22
ω+

 β
+
β
−=ω
∴


+


+=ω
CL
1
L2
R
L2
R 2
2c
2
0
2
2c 22
ω+

 β
+
β
=ω
1 - FILTRO DE BANDA DE PASSAGEM 
d - Função de Transferência - CARACTERIZAÇÃO:
NOTA - Todo circuito cuja função de transferência é da forma apresentada 
acima, comporta-se como um Filtro de Banda de Passagem.
∴
ω+


ω−
ω
=ω
L
Rj
CL
1
L
Rj
)j(H
2 )(j
j)j(H 22
o ω−ω+βω
βω
=ω
e - Exercício - EPC - Mostre que o circuito abaixo corresponde a um Filtro de 
Banda de Passagem. Calcule os parâmetros ωωωωc1, ωωωωc2 , ωωωω0 , ββββ e Q.
LC
R
)j(Vi ω
•
)j(Vo ω
•
+
-
RESPOSTA:
)(j
j)j(H 22
o ω−ω+βω
βω
=ω
CR
1
=β
CL
1
0 =ω



+


+−=ω
CL
1
CR2
1
CR2
1 2
1c 


+


+=ω
CL
1
CR2
1
CR2
1 2
2c