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Circuitos Elétricos 2 
 
 
Dr. Eng.- Reinel Beltrán Aguedo 
 
 
 
 
reinel.beltran@ufrpe.br Sala de professores – 509A 
 
mailto:reinel.beltran@ufrpe.br
FILTROS PASSIVOS 
Introdução 
Passivos 
Formado apenas 
pelos elementos 
passivos R, L e C. 
Exemplo: Filtros LC usados na prática por mais de oito décadas em áreas 
relacionadas como equalizadores, circuitos de casamento de impedância, 
transformadores, circuitos modeladores, divisores de potência, 
atenuadores e acopladores direcionais. 
Ativos 
Formado por elementos 
ativos (transistores, A.O), 
além dos passivos R, Le C. 
Tipos de filtros 
1. Passa-baixas: Deixa passar frequências 
baixas e rejeita as altas. 
 
 
 
 
 
3. Passa-faixa: Deixa passar frequências 
dentro de uma faixa e bloqueia ou 
atenua frequências dentro da faixa. 
2. Passa-altas: Deixa passar frequências 
altas e rejeita as baixas. 
4. Rejeita-faixa: Deixa passar frequências 
fora de uma faixa e bloqueia ou atenua 
frequências dentro da faixa. 
Tipos de filtros 
Filtro passa-baixas 
c: Frequência de corte (frequência de aumento 
de decaimento, frequência de meia potência). 
Frequência na qual a função de transferência H 
cai em módulo para 70,71% de seu valor máximo. 
Também é considerada como a frequência na 
qual a potência dissipada em um circuito é 
metade da potência de seu valor máximo. 
Um filtro passa-baixas também pode ser formado 
quando a saída de um circuito RL é obtida do resistor. 
Filtro passa-altas 
Um filtro passa-altas também pode ser formado 
quando a saída de um circuito RL é obtida do indutor. 
Filtro passa-faixa 
Um filtro passa-faixa também pode ser formado 
pela conexão em cascata de um filtro passa-baixas 
(onde 2=c) com o filtro passa-altas (onde 1=c). 
Filtro rejeita-faixa 
Filtro rejeita –faixa, 
corta-faixa ou filtro notch 
Exemplo 1: Determine que tipo de 
filtro é mostrado a seguir e calcule a 
frequência de corte. Supor R=2 k, 
L=2 H e C=2 F. 
FT: 
Como H(0)=1 e H()=0 o filtro é 
passa-baixas de 2a ordem. 
Substituindo os valores de R, L e C. 
Supondo que c esteja em krad/s. 
Resolvendo: 
Frequência de corte: Frequência onde H é reduzido de um fator igual a 1/2. 
Amplitude: 
Exemplo 2: Se o filtro rejeita-faixa deve rejeitar uma senoide de 200 Hz 
enquanto deve deixar passar as demais frequências, calcule os valores de L 
e C. Adote R= 150  e a largura de banda como 100 Hz. 
Como o circuito é ressonante série: 
Filtro rejeita –faixa 
Solução: 
Rejeitar a senoide de 200 Hz significa que 0 = 2200 rad/s 
Tarefa 1: Para o circuito a seguir, obter a função de transferência Vo()/Vi(). 
Identifique o tipo de filtro que o circuito representa e determine a 
frequência de corte. Considere R1 = R2 = 100 , L = 2 mH. 
Tarefa 2: Projete um filtro passa-faixa com uma frequência de corte inferior 
de 20,1 kHz e uma frequência de corte superior igual a 20,3 kHz. 
Adote R= 20 k. Calcule L, C e Q. 
FILTROS ATIVOS 
Limitações dos filtros passivos: 
1. Não podem gerar ganho superior a 1 nem acrescentar energia ao 
circuito 
2. Talvez precisem de indutores volumosos e caros 
3. Apresentam um fraco desempenho em frequência abaixo do intervalo 
da audiofrequência (300 Hz < f < 63.000 Hz). 
 
Não obstante, os filtros passivos são úteis em frequências elevadas. 
Introdução 
Vantagens em relação aos filtros RLC 
1. Menores e mais baratos, pois não 
precisam de indutores. 
2. Podem fornecer ganho de 
amplificador, e a mesma resposta de 
frequência que um filtro RLC. 
3. Podem ser associados a amplificadores 
com buffers (seguidores de tensão) 
para isolar cada estágio do filtro de 
efeitos de impedância de carga e de 
fonte, possibilitando o projeto de 
estágios de forma independente para, 
em seguida, colocá-los em cascata e 
obter a função de transferência 
desejada. 
Filtros ativos: Formados por associações de resistores, capacitores e 
amplificadores operacionais. 
Desvantagens 
1. São menos confiáveis e menos 
estáveis. 
2. O limite prático da maioria dos 
filtros ativos é cerca de 100 kHz – 
operando bem abaixo dessa 
frequência. 
De acordo com: 
1. Sua ordem (ou número de polos) 
2. Seu tipo de desenho específico 
Classificação 
Filtros de primeira ordem 
A escolha de Zi e Zf determinam se o 
filtro é passa-baixas ou passa-altas, 
porém um dos componentes deve ser 
reativo. 
Filtro passa-baixas de primeira ordem ativo 
• Ganho de frequência baixa (→ 0) ou 
ganho CC igual a –Rf/Ri. 
• c não depende de Ri. Então diversas 
entradas com diferentes Ri podem ser 
somadas, permanecendo constante a 
frequência de corte para cada entrada. 
Exemplo 3: Projete um filtro ativo passa-baixas com ganho CC igual a 4 e 
uma frequência de corte de 500 Hz. 
 
 
Solução: 
Ganho CC: 
Frequência de corte: 
Selecionando Cf = 0,2 F, então: 
Finalmente: Rf = 1,6 k, Ri = 400  e Cf = 0,2 F 
Filtro passa-altas de primeira ordem ativo 
• Ganho de frequência alta (→ ) igual a –Rf/Ri. 
Filtro passa-faixa ativo 
Conectando em cascata um filtro passa-baixas de ganho unitário, um filtro 
passa-altas, também ganho unitário, e um inversor com ganho –Rf/Ri. 
Filtro passa-faixa ativo 
Filtro passa-faixa ativo 
Frequência central: 
 
Largura de banda: 
 
Fator de qualidade: 
Ganho da faixa de passagem 
 
Escrevendo H() na forma-padrão: 
Filtro passa-faixa ativo 
Na frequência central 0=12, a amplitude da função de transferência é: 
Ganho na faixa de passagem: 
Exemplo 4: Projete um filtro passa-faixa para deixar passar frequências 
entre 250 Hz e 3.000 Hz e com K=10. Selecione R=20 k. 
Solução: 
Como: 
Se Ri = 10 kΩ, então Rf = 10,83Ri = 108,3 kΩ 
Filtro passa-faixa ativo 
Avaliação 
Filtro passa-faixa ativo 
R=20 k 
Ri =10 kΩ 
Rf =108,3 kΩ 
Saída do primeiro amplificador operacional: 
Filtro passa-faixa ativo 
Saída do segundo amplificador operacional: 
R=20 k 
Ri =10 kΩ 
Rf =108,3 kΩ 
Filtro passa-faixa ativo 
Saída do terceiro amplificador operacional: 
R=20 k 
Ri =10 kΩ 
Rf =108,3 kΩ 
Filtro passa-faixa ativo 
Se s = j1 = j2f1 = j2250 
Se s = j2 = j2f2 = j23000 
ponto da 
frequência de 
corte inferior 
ponto da frequência de corte superior 
Projeto do circuito de 
forma satisfatória. 
Filtro rejeita-faixa ativo (ou notch) 
O filtro deixa passar frequências abaixo de 1 e acima de 2. 
Pode ser construído pela 
associação em paralelo entre um 
filtro passa-baixas, um filtro 
passa-altas e um amplificador 
somador. 
Frequência central: 
Largura de banda: 
Fator de qualidade: 
Filtro rejeita-faixa ativo (ou notch) 
Filtro rejeita-faixa ativo (ou notch) 
Ganho da faixa de passagem 
 
Escrevendo H() na forma-padrão: 
Nas duas faixas de passagem (→0 e →), o ganho é: 
Na frequência central 0=12, a amplitude da função de transferência é: 
Fatores de escala 
No projeto e na análise de circuitos, as vezes é conveniente trabalhar com 
valores de elementos de 1 , 1 H ou 1 F, e depois transformá-los para 
valores reais por meio de fatores de escala. 
Formas de aplicar fatores de escala: 
1. Fatores de escala de amplitude ou de impedância: Deixa a resposta de 
frequência inalterada. 
2. Fatores de escala de frequências: Desloca a resposta de frequência 
acima ou abaixo do espectro de frequências. 
Fatores de escala 
Aplicação de fatores de escala a amplitudes 
Aplicação 
Multiplicar a impedância de cada 
elemento por um fator Km e fazer que 
a frequência permaneça constante. 
Novos valores dos 
elementos e da frequência 
No circuito RLC em série ou em paralelo: 
Aplicação de fatores de escala a amplitudes 
A frequência de 
ressonância não mudou!!! 
De forma similar, o fator de qualidade (Q), a largura de banda (B) e as 
funções de transferência não são afetados. 
Aplicação de fatores de escala a frequências 
Aplicação 
Multiplicar a frequência por um fator Kf, enquantose mantém a 
impedância inalterada. 
Os novos valores dos 
elementos e da frequência são: 
• A impedância do indutor e do 
capacitor devem permanecer as 
mesmas: L→L/Kf e C→C/Kf. 
• R não é afetado. 
Aplicação de fatores de escala a frequências 
Fator de qualidade permanece o mesmo: 
Nova largura de banda: 
Nova frequência de corte: 
Fórmulas genéricas 
Aplicação de fatores de escala a 
amplitudes e frequências 
Quando não há fator de escala aplicado a: 
Amplitudes  Km = 1 
Frequências  Kf = 1 
Exemplo 5: Um filtro passa-baixa Butterworth de quarta ordem é 
projetado de forma que a frequência de corte c=1 rad/s. Aplique fator 
de escala à frequência de corte de 50 kHz usando resistores de 10 k. 
Solução: 
Deslocar c de 1 rad/s para 2π(50) krad/s, 
o fator de escala aplicado à frequência é: 
Se cada resistor de 1  tiver de ser 
substituído por um de 10 k , o fator de 
escala aplicado a amplitude é: 
Aplicando as fórmulas genéricas 
O circuito com aplicação de fator de escala usa valores práticos que 
fornecerão a mesma função de transferência que o protótipo, porém, 
deslocado em frequência. 
Tarefa 3: Projete um filtro passa-altas com um ganho 5 em alta frequência 
e uma frequência de corte de 2 kHz. Use um capacitor de 0,1 F 
em seu projeto. 
Tarefa 4: Projete um filtro notch para V0=20 krad/s, K=5 e Q=10. 
Use R=Ri= 10 k. 
Tarefa 5: Um filtro Butterworth de terceira ordem normalizado para c=1 
rad/s é indicado a seguir. Aplique fator de escala ao circuito para 
uma frequência de corte de 10 kHz. Use capacitores de 15 nF. 
PROBLEMAS 
FILTROS PASSIVOS 
PROBLEMAS 
FILTROS ATIVOS 
PROBLEMAS 
FATORES DE ESCALA