LIVRO DE ESTATÍSTICA COM EXERCÍCIOS RESPONDIDOS

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AULA 1: 
 
ESTATÍSTICA 
E 
SEUS DADOS 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 01 
 
ESTATÍSTICA 
 Definição: 
 É o conjunto de métodos e processos quantitativos que 
 servem para estudar, avaliar e conceituar as medidas e 
 os valores de um determinado fenômeno. 
 
 
A Estatística é dividida em duas partes: 
 
1º) ESTATÍSTICA DESCRITIVA ou DEDUTIVA 
2º) ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ou DEDUTIVA (Parte I) 
 
 Definição: 
 Refere-se a organização e descrição dos dados a serem 
 estudados de uma população. 
 
A Estatística Descritiva é composta pelos seguintes fatores estatísticos: 
 
 Variáveis 
 População e Amostra 
 Técnicas de Amostragem 
 Séries Estatísticas 
 Gráficos Estatísticos 
 Distribuição de Frequências 
 
 Estudaremos cada um deles posteriormente ! 
 
 
ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL (Parte I) 
 
 Definição: 
 Refere-se à análise e interpretação de dados de uma 
 população,a qual é baseada em amostras de probabilidade 
 da mesma. 
 
 
 
02 
 
A Estatística Indutiva é composta pelos seguintes fatores estatísticos: 
 
 Resultados baseados em Amostras 
 Conclusões baseadas em População 
 Teorias baseadas em Probabilidade 
 
RESUMO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Para entendermos os fenômenos estudados pela estatística,devemos concei- 
 tuar primeiramente o conjunto de elementos que fazem parte destes estudo,o 
 qual chamaremos de POPULAÇÃO. 
 
POPULAÇÃO 
 
 Definição: 
 É o conjunto de todos os elementos e valores que se 
 pretende estudar, isto é, o que possa ser medido. 
 
 Ex: Pessoas; Salários; Objetos, Animais; Etc. 
 
OBS: Portanto, a população é um fenômeno mensurável,pois compreende o 
 conjunto de todos os dados em observação,sobre os quais queremos obter 
 uma determinada conclusão. 
 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA INDUTIVA 
POPULAÇÃO 
AMOSTRA 
HIPÓTES
PROBABILIDADE 
GRÁFICO
S 
AMOSTRAGEM ANÁLISE DE 
RESULTADO 
TABELA
S 
VARIÁVEIS 
03 
 
CLASSIFICAÇÃO DA POPULAÇÃO 
 
 
A classificação da População é dividida em: 
 
1º) População Finita: N ≤ 100.000 (Menor que cem mil elementos) 
 
2º) População Infinita: N ≥ 100.000 (Maior que cem mil elementos) 
 
OBS: Como a quantidade de elementos de cada população possui um valor muito 
 expressivo, então devemos fragmentá-la em uma pequena porcentagem 
 para analisarmos e obtermos os seus resultados. Essa pequena porcenta- 
 gem da população,definiremos como AMOSTRA. 
 
 
AMOSTRA ( ou Amostragem) 
 
 Definição: 
 É um subconjunto de elementos extraídos de uma população, 
 mas com um grau de representatividade confiável. 
 
Ex: População = 
 
 
 Amostra = , 
 
 
 
OBS1: Essa representatividade dará confiança a Amostra, resultando assim em 
 uma probabilidade de acertos muito grande, referente as informações 
 retiradas da população. 
 
 
OBS2: Quando estudamos a totalidade de um conjunto populacional, não podemos 
 mais utilizar o conceito de amostra, para isso,definiremos este estudo como 
 um CENSO. 
 
 
 
 
 
, , , , , , 
Conjunto de 
Maçãs Vermelhas 
e de Maçãs Verdes 
! 
04 
 
CENSO x AMOSTRA 
 
 
Censo: É o estudo de uma população em sua totalidade (100%). 
 
Amostra: É o estudo de um determinado percentual da população. 
 
 
Portanto: Quando o Censo não consegue atingir a sua totalidade é recorrido a 
 Amostra para expressar a probabilidade estatística do estudo que 
 queremos obter. 
 
 A forma que será realizada a Amostra é fundamental, pois se os fatores 
 estatísticos não forem bem claros o processo do estudo será perdido. 
 
 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
 
 Para realizar um determinado estudo, devemos estabelecer parâmetros 
mensuráveis e seguir uma ordem cronológica dos fatores a serem 
estudados: 
 
1º) Definir o Problema : 
 
 O que devemos pesquisar exatamente ? 
 
2º) Planejar: 
 
 a) Como iremos coletar as informações; 
 b) Quais são os dados a serem levantados; 
 c) Qual instrumento será utilizado para a pesquisa(Censo ou Amostra); 
 d) Cronograma das atividades; 
 e) Quanto custará a pesquisa ? 
 
3º) Fases Operacionais: 
 
 Desenvolvimento prático do estudo estatístico,o qual é dividido em: 
 
FASE 1 : Coleta de Dados ( Amostragem, Pesquisa e Questionário) 
 
05 
 
 
 Esta é a fase inicial, a qual determina a Amostra do objeto de estudo, além 
da pesquisa e o questionário que serão realizados para a coleta de dados do 
processo estatístico. 
 
Portanto, os Dados são um conjunto de informações que constituem os objetos de 
estudo estatístico, sendo estes de fundamental importância para a credibilidade 
das demais fases. 
 
OBS: As coletas de Dados se dividem em Direta e Indireta! 
 
Coleta de Dados Direta: Quando o estudo é realizado por um pesquisador, de 
 maneira contínua,periódica ou ocasional. 
 
Coleta de Dados Indireta: Quando o estudo é baseado em dados já pesquisados 
 e publicado em revistas,jornais,livros,etc. 
 
 
FASE 2: Apuração dos Dados ( Tabulação,Contagem e Softwares) 
 
 Nesta fase o pesquisador terá uma gama de informações a sua disposição, 
as quais deverão ser tabuladas, isto é, processadas e organizadas em 
gráficos estáticos ou mapas de análise estatística. Feito esse procedimento, 
devemos aplicar os cálculos estatísticos e matemáticos ou ainda utilizar 
softwares específicos para obtenção dos resultados. 
 
 
FASE 3: Apresentação dos Dados ( Tabelas, Gráficos e Planilhas) 
 
 Consiste na utilização de um software para apresentação de tabelas, 
gráficos e planilhas que esbocem o resultado da pesquisa. 
 
FASE 4: Análise, Interpretação e Conclusão das Informações 
 
 É a última fase do processo estatístico, a qual deverá processar todas as 
informações coletadas, sendo que estas serão interpretadas de forma 
analítica, isto é, são analisados minuciosamente os resultados e retiradas 
determinadas conclusões que poderão ser utilizadas como tomadas de 
decisões ou somente ficam a disposição como fonte de pesquisas futuras. 
 
 
 
06 
 
VARIÁVEIS 
 
 Definição: 
 São valores que recebem um tratamento estatístico. 
 
As variáveis se dividem em: 
 
 NOMINAL (Ex: Sexo;Religião,Estado Civil, Etc. 
 QUALITATIVA 
 ORDINAL(Ex: Dia da Semana,Mês,Grau de Instrução) 
 
 
 DISCRETA( Ex: Número de Faltas,Irmãos, Etc.) 
 QUANTITATIVA 
 CONTÍNUA ( Ex: Altura, Área, Peso, Volume, Etc)FONTES DE PESQUISA 
 
 Definição: 
 São as bases de informações do pesquisador, as quais são utilizadas 
 para fundamentar a pesquisa do estudo estatístico. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS FONTES DE PESQUISA 
 
1º) Primária: O pesquisador realiza as perguntas(pesquisa de campo) 
 Ex: Questionário(coleta de dados) 
 
2º) Secundária: O pesquisador utiliza outras pesquisas já realizadas. 
 Ex: Livros, artigos, etc. 
 
3º) Terciária: Direcionam o pesquisador para realizar a pesquisa primária e 
 secundária. 
 Ex: Bibliotecas, resumos, etc. 
 
 
 
 
 
07 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
01) De entre os 3000 alunos de uma escola selecionaram-se 30 e inquiriram-se 
sobre o programa de televisão preferido. Os resultados obtidos foram os 
seguintes: 
PROGRAMA PREFERIDO Nº. DE ALUNOS 
 Telejornal 10 
 Novelas 12 
 Cinema 8 
Neste conjunto de dados indique: 
 
a) a população_________ 
b) a amostra.___________ 
 
02) Classifique as seguintes variáveis em: (QN) Qualitativa nominal, (QO) 
Qualitativa ordinal (QC) Quantitativa contínua, (QD)Quantitativa discreta 
a) ( ) Cor dos olhos 
b) ( ) Número de filhos de um casal 
c) ( ) Peso de um indivíduo 
d) ( ) Altura de um indivíduo 
e) ( ) Número de alunos de uma escola 
f) ( ) Tipo sanguíneo 
g) ( ) Posicionamento das empresas no mercado 
h) ( ) Fator RH 
i) ( ) Sexo 
j) ( ) Comprimento de um segmento de reta 
k) ( ) Área de um círculo 
l) ( ) Raça 
m) ( ) Quantidade de livros de uma biblioteca 
n) ( ) Escolaridade dos funcionários de uma empresa 
o) ( ) Religião 
p) ( ) Salário dos empregados de uma empresa 
q) ( ) Comprimento dos parafusos produzidos em uma fábrica 
r) ( ) Estado civil 
s) ( ) O nível socioeconômico dos residentes em um bairro de Ipatinga 
t) ( ) Tempo de vida de uma lâmpada 
u) ( ) Profissão 
v) ( ) Número de ações negociadas diariamente na bolsa de valores 
w) ( ) Volume de água contida numa piscina 
x) ( ) A classificação dos alunos no último vestibular 
 
08 
 
 
03) O método aplicado por um Instituto de Pesquisa, nas prévias eleitorais, 
pertence ao ramo da: 
a) Estatística Descritiva 
b) Estatística Indutiva 
c) Estatística Aplicada 
d) Estatística Geral 
e) Estatística Dedutiva 
 
04) Ao nascer,os bebês são pesados e medidos para saber se estão dentro das 
tabelas padrão. Estas duas variáveis são: 
a) Qualitativas 
b) Discretas 
c) Contínuas 
d) Contínuas e Discretas, respectivamente 
e) Quantitativas 
 
05) Parcela da População convenientemente escolhida para representá-la: 
a) Variável 
b) Rol 
c) Dados 
d) Amostra 
e) Atributo 
 
06) População ou Universo é: 
a) Conjunto de Pessoas 
b) Conjunto de Indivíduos que apresentam características especiais 
c) Conjunto de elementos que apresentam uma característica comum 
d) Subconjunto confiável para um estudo qualquer 
e) N.D.A 
 
07) Numere a segunda coluna, de acordo com a primeira, e registre a opção 
 correta: 
 
1) Estudo de números associados a fenômenos. 
2) Parte da população observada. 
3) Denominação dada a atributos ou a quantidades, que variam quanto à 
grandeza. 
4) Grupo de indivíduos ou coisas cujas características são estudadas em 
forma de um todo, não interessando um elemento em particular. 
5) Cada valor observado de uma variável. 
 
 
 
09 
 
( ) Amostra 
( ) Estatística 
( ) População 
( ) Variável 
( ) Dado 
 
 
 
 
 
 
GABARITO: 
 
01 a) 3000 b) 30 
 
02 a) QN b) QO c) QC d) QC e) QD f) QN 
 g) QN h) QN i) QN j) QC k) QC l) QN 
 m) QD n) QN o) QN p) QN q) QC r) QN 
 s) QN t) QD u) QN v) QD w) QC x) QN 
 
 03 B 
 
04 C 
 
05 D 
 
06 C 
 
07 E 
a) 5 -1 -4 -3 -2 
b) 2 -3 -4 -1 -5 
c) 3 -1 -4 -2 -5 
d) 2 -1 -4 -5 -3 
e) 2 -1 -4 -3 -5 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
OU 
DEDUTIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
10 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ou DEDUTIVA (Parte II) 
 Definição: 
 Refere-se a organização dos dados a serem estudados de uma população. 
 
Possibilita a construção de planilhas, tabelas e gráficos, os quais serviram como 
fatores determinantes para explicações do comportamento das variáveis numa 
distribuição estatística, dando assim consistência aos nossos estudos. 
 
OBS: Para obtermos uma análise final da estatística descritiva devemos seguir algumas 
 etapas, tais como: 
 
1º) Distribuição de Frequência; 
 
2º) Medidas; 
 
3º) Análise. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Definição: 
 
 É uma série estatística, na qual as variáveis quantitativas são divididas em 
 classes e categorias, conforme as frequências correspondentes. 
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
1º) Relação de Valores (ROL) : É o arranjo dos dados em ordem crescente. 
 
Ex: Seja o ROL: 2,3,4,5,6 ( Esta distribuição esta na ordem crescente) 
 
2º) Amplitude Total (AT): É a diferença entre o maior (>) e o menor (<) valor observado 
 no ROL. 
 
Ex: 6 – 2 = 4. Portanto, AT = 4 
 
3º) Classes: São as divisões nas variações apresentadas na distribuição de frequência. 
 
 
 
11 
 
 
4º) Frequência Simples (fi):. É o número de observações ocorridas em cada Classe. 
 
5º) Limite de Classes: São os valores extremos de cada classe. São divididos em: 
 
 li = Limite inferior 
 ls = Limite superior 
 
6º) Intervalo de Classes: É um mecanismo de representação das classes, 
 podendo ser representado das seguintes maneiras: 
 
a) li ___ ls : Todos os valores serão considerados, menos os seus 
 extremos (li e ls). 
 
b) li __ ls: Todos os seus valores serão considerados. 
 
c) li ls: Todos os valores serão considerados, excluindo o ls. 
 
d) li ls: Todos os valores serão considerados, excluindo o li. 
 
Ex: Seja x Є |N, onde x é o intervalo de classes de { 2,3,4,5,6 }; temos então: 
 
a) li ___ ls ► 2 __6 = { 3,4,5} 
 
b) li __ ls ► 2 __ 6 = {2,3,4,5,6} 
 
c) li __ ls: ► 2 ___6 = {2,3,4,5} 
 
d) li __ ls: ► 2___ 6 = {3,4,5,6} 
 
 
7º) Ponto Médio (Xi): É o número que representa uma classe. 
 
 Fórmula: 
 Xi = li + ls 
 2 
 
8º) Números de Classe: . É a quantidade de classes referente a uma 
 distribuição de frequência. 
 
Fórmula de Sturges: 
 K = 1 + 3,3.log N ; onde: 
 
K = números de classe 
N = números de elementos observados.12 
 
 
 
9º) Tipos de Frequência: São os valores distribuídos em uma tabela de estatística. 
 Elas podem ser divididas em: 
 
 
a) Frequência Relativa Simples (fri): É o quociente entre a frequência simples e 
 o número de elementos observados. 
 
b) Frequência Acumulada Crescente (Fi↓): É a soma das frequências simples 
 de cada classe com as suas anteriores. 
 
 
OBS: Para tornarmos o estudo mais didático, usaremos a simbologia (Fac.) ou 
 invés de (Fi↓), facilitando assim, uma melhora significativa na assimilação 
do 
 conteúdo. 
 
c) Frequência Acumulada Decrescente (Fi ↑) : É a soma das frequências simples 
 de cada classe com as suas 
 posteriores. 
 
 
OBS: Para tornarmos o estudo mais didático, usaremos a simbologia (Fad) ou 
 invés de (Fi↑),facilitando assim,um melhora significativa na assimilação do 
 conteúdo. 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 
Devemos obedecer a ordem dos seguintes critérios: 
 
1º) Fazer o Rol: ( colocar os números na ordem crescente.) 
 
Ex: 15,20,10,11,30,28,10,13,23,19,13,29,19,15,24,17,19,28,24,29,24,25,11,27 
Temos então: 
 
 ROL= 10,10,11,11,13,13,14,15,15,17,19,19,19,20,22,23,24,24,25,27, 
 28,28,29,29,30 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2º) Encontrar a Amplitude Total. (AT) 
 
 Temos então: AT = Xmáx – Xmín AT = 30 – 10 AT = 20 
 
3º). Calcular o número de Classes. (Utilizar a fórmula de Sturges: K = 3,3.logN) 
 
 Temos então: N = 25 e K = 3,3Log25; logo fica: 
 
 K= 3,3.(1,40) K = 4,62 K = 5 
 
4º) Calcular a Amplitude do Intervalo de Classe. (h): (Utilizar a fórmula: h = AT) 
 K 
 Onde: 
 AT = Amplitude Total 
 K = Número de Classes 
 
 Logo temos: h = 20 h = 4 
 5 
 
5º) definir os limites de Classe( __ ) 
 
 Será obtido através do valor inferior do ROL com um intervalo do valor da 
Amplitude Total e sucessivamente; finalizando o limite de classe no valor 
superior do ROL. 
 
 Como temos o Xmín = 10 e Xmáx = 30 e h = 4 ; então os limites de classe 
 ficam da seguinte maneira : 
 
 
 10 14 
 
 14 18 
 
 18 22 
 
 22 26 
 
 26 30 
 
 
6º) Calcular o Ponto Médio(Xi): Devemos somar o limite inferior com o limite 
 superior de cada classe e dividir por 2. 
 
 
Ex: 10 14 10 + 14 = 24 = 12 e assim sucessivamente. 
 2 2 
 
 
14 
 
7º). Devemos calcular a frequência relativa simples (fri) para cada classe,conforme a 
 seguinte fórmula: 
 
 
 fri = fi onde: fi = frequência simples e 
 N N = Número de elementos observados 
 
 
1º Classe: fri = 6 fri = 0,24 
 25 
 
2º Classe: fri = 4 fri = 0,16 e assim sucessivamente ! 
 25 
 
 
 Devemos calcular a fri (%) em porcentagem, isto é, multiplicamos cada fri por 
 100%,temos: 
 
 
 1º Classe: 0,24 x 100% = 24% 
 
 2º Classe: 0,16 x 100% = 16% 
 
 
OBS: A ∑fri(%) de todas as classes deverá dar o valor de 100%,caso contrário,os 
 cálculos estarão errados. 
 
 
8º). Devemos calcular a frequência acumulada crescente (Fac) e a frequência 
acumulada decrescente (Fad) de cada classe, sendo: 
 
 
 
Fac: 1º Classe: 6 
 2º classe: 6 + 4 = 10 e assim por em diante! 
 
 
 
Fad: 1º Classe: 25 
 2º classe: 25 - 6 = 19 e assim por em diante ! 
 
 
 
9º). Devemos montar a Planilha com todos os dados já apresentados: 
 
 
 
15 
 
 
 fi Xi fri fri(%) Fac Fad 
10 14 6 12 0,24 24% 6 25 
14 18 4 16 0,16 16% 10 19 
18 22 4 20 0,16 16% 14 15 
22 26 5 24 0,20 20% 19 10 
26 30 6 28 0,24 24% 25 4 
TOTAL: 25 100% 
 
________________________________\\______________________________ 
Exercício: 
Uma sala de aula possui 30 alunos, sendo que a idade do mais novo é de 18 anos e do 
mais velho é 50 anos. Estes alunos estão dispostos em uma tabela, referente a sua 
idade, da seguinte maneira: (Utilize log 30= 1,48) 
28,25,19,22,44,50,22,25,33,20, 
18,19,21,35,48,24,32,26,33,40, 
42,22,30,40,45,19,20,25,32,21 
 
1º) Passo: Organizar o ROL de Maneira crescente. 
 
18,19,19,19,20,20,21,21,22,22 
22,24,25,25,25,26,28,30,32,32 
33,33,35,40,40,42,44,45,48,50 
 
2º) Passo: Encontrar a Amplitude Total (AT);então temos: 
 
AT = Xmáx – Xmín 
AT = 50 – 18 
AT = 32 
 
3º) Passo: Calcular o número de classes, temos: 
 
K = 3,3.logN , fica: 
K = 3,3log30 
K = 3,3.(1,48) 
K = 4,884 
K = 5 
 
 
 
 
16 
 
4º) Passo: Calcular a Amplitude do Intervalo (h) 
 
 Temos: h = AT h = 32/5 h = 6,4 h = 6 
 K 
 
5º) Passo: Definir os limites de classes, portanto temos: 
 
 (18 | 22) ; ( 22| 26) ; (26 | 30) ; ( 30 | 34) ; (34 | 38) ; ( 38 | 42) 
 (42| 46) ; ( 46 | 50). 
 
6º) Passo: Construir a montagem da distribuição. 
 
 
Idade fi Xi fri Fri(%) Fac Fad 
18 | 22 8 
22| 26 7 
26 | 30 2 
30 | 34 5 
34 | 38 1 
38 | 42 2 
42| 46 3 
46 | 50 2 
TOTAL 30 
 
7º) Ponto Médio (Xi) 
 
 Xi = li + ls Xi = 18 + 22 Xi = 40 Xi = 20 
 2 2 2 e assim 
 sucessivamente! 
 
Portanto, temos: 
 
Idade fi Xi fri Fri(%) Fac Fad 
18 | 22 8 20 
22| 26 7 24 
26 | 30 2 28 
30 | 34 5 32 
34 | 38 1 36 
38 | 42 2 40 
42| 46 3 44 
46 | 50 2 48 
TOTAL 30 
 
 
17 
 
8º) Passo: Calcular a frequência relativa simples (fri),temos: 
 
 Fri = fi fri = 8/30 fri = 0,27 (1º classe) e assim por em diante! 
 N 
 Calculando fri (%),temos: fri (%) = 0,27 x 100% = 27% . Portanto, temos: 
 
Idade fi Xi fri Fri(%) Fac Fad 
18 | 22 8 20 0,27 27% 
22| 26 7 24 0,23 23% 
26 | 30 2 28 0,06 7% 
30 | 34 5 32 0,17 16% 
34 | 38 1 36 0,03 3% 
38 | 42 2 40 0,06 7% 
42| 46 3 44 0,10 10% 
46 | 50 2 48 0,06 7% 
TOTAL 30 100% 
 
 
9º) Passo: Calcular a Frequência Acumulada Crescente (Fac) e a frequência 
 Acumulada Decrescente (Fad). 
 
Fac: 1º Classe: 8 
 2º classe: 8 + 7 = 15 e assim por em diante! 
 
 
Fad: 1º Classe: 30 
 2º classe: 30 - 8 = 22 e assim por em diante! 
 
Portanto, temos: 
 
Idade fi Xi fri Fri(%) Fac Fad 
18 | 22 8 20 0,27 27% 8 30 
22|26 7 24 0,23 23% 15 22 
26 | 30 2 28 0,06 7% 17 15 
30 | 34 5 32 0,17 16% 22 13 
34 | 38 1 36 0,03 3% 23 8 
38 | 42 2 40 0,06 7% 25 7 
42| 46 3 44 0,10 10% 28 5 
46 | 50 2 48 0,06 7% 30 2 
TOTAL 30 100% 
 
 
 
 
 
18 
 
 
CONCLUSÕES DA PESQUISA: 
 
 Metade dos alunos da sala (50%) estão entre 18 à 26 anos. 
 
 Apenas 3% dos alunos da sala estão na faixa etária de 34 a 38 anos. 
 
 73% dos alunos da sala estão abaixo dos 34 anos. 
______________________________\\_________________\\______________________ 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Responda às questões de 1 a 6, sabendo que log 40 vale aproximadamente 1,6. Foi 
feito uma pesquisa em uma sala de aula com 40 alunos, referente ao peso de cada um. 
A Tabela abaixo representa esses pesos em kg, desses alunos.Portanto, 
 responda: 
 
 
 
 
 
 
 
1) De acordo com a fórmula de Sturges, qual o número recomendável de classes 
 para uma distribuição de frequências contínua? 
 
2) Qual a amplitude total da amostra? 
 
3) Qual a amplitude a ser usada para a distribuição? 
 
4) Qual a amplitude de cada um dos intervalos? 
 
5) Qual o limite inferior da primeira classe? 
 
6) Qual o limite superior da última classe? 
 
07) Preencha a 2º coluna,conforme as respostas apresentadas na 1º coluna: 
 
 (A) frequência relativa ( ) É o ponto central de um intervalo de classe. 
 
 (B) frequência absoluta ( ) É o valor do extremo superior de um intervalo. 
 
 (C) limite de intervalo ( ) Simbologia: f / _f 
 
 (D) ponto médio ( ) Número de observações de cada dado. 
 
44,5 62 72 72 39,5 41,6 58 73,5 
73,5 52,5 40 58,5 42 42 50,4 40 
69 58 58 56 42 65 87 47,5 
55 55 65 56,5 46,8 65 62 39,5 
60 45,7 66,5 63,5 44,5 60 55,9 68 
 (E) população observada ( ) Simbologia: _f i 
19 
 
 
 Uma escola apresenta as matrículas efetuadas no começo do ano (Mês:Fevereiro) e 
 no final do ano (Mês: Dezembro) faz uma pesquisa para verificar a permanência dos 
 alunos em sala de aula. A tabela abaixo apresenta a quantidade de alunos 
 matriculados em cada série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As questões 08, 09 e 10 serão baseadas na tabela acima. 
 
08) Qual a taxa de evasão escolar da primeira série? 
 a) 2,34 % 
 b) 4,35 % 
 c) 1,45 % 
 d) 1,04 % 
 e) 3,23 % 
 
09) Qual é o coeficiente de evasão escolar, com aproximação a milésimos, da terceira 
 série? 
 a) 0,014 
 b) 0,14 
 c) 0,14 % 
 d) 0,013 
 e)1,3% 
 
10) Qual a taxa de evasão escolar da escola ? 
 a) 0,75 % 
 b) 0,71 
 c) 0,72 % 
 d) 1,2 % 
 e) 0,15 % 
 
 
 
 
 
 
 
SÉRIES FEVEREIRO DEZEMBRO 
1º 480 475 
2º 458 456 
3º 436 430 
4º 420 420 
TOTAL 1794 1781 
 
20 
 
 
GABARITO 
 
01) 6 classes 
 
02) 47,5 
 
03) 48 
 
04) 8 
 
05) 39,5. 
 
06) 87,5 
 
07) D – C – A – B – E 
 
08) D 
 
09) A 
 
10) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3 (PARTE 01) 
MEDIDAS DE 
POSICIONAMENTO 
ou POSIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
21 
 
MEDIDAS DE POSICIONAMENTO ou POSIÇÃO 
 
Definição: 
 As Medidas de posicionamento ou de posição são valores estatísticos que 
determinam a localização das premissas que estudamos em uma distribuição de 
frequência, para análise e conclusão de uma pesquisa. Essas medidas são 
classificadas em: 
 
 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL; 
 SEPARATRIZES. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
Definição: 
 As medidas de tendência central são números que determinam o 
 posicionamento dos valores presentes na distribuição de frequência. 
 
Elas são divididas em: 
 Média Aritmética (X); 
 Mediana (Md) 
 Moda (Mo) 
 
MÉDIA ARITMÉTICA ( X ) 
 Definição: 
 É a medida que corresponde ao grau de concentração 
 dos valores de uma distribuição. 
 
22 
 
FÓRMULAS: 
 
 I) X = ∑Xi II) X = ∑Xi.fi 
 N N 
 
Ex: Determine a média aritmética da seguinte distribuição numérica: 
 { 3,2,7,5,10,8} 
 
SOLUÇÂO: 
 
 X = ∑Xi , onde: ∑Xi = 35 e N = 6 ,logo fica: 
 N 
 X = 3+2+7+5+10+8 X = 35 X = 5,83 
 6 6 
 
MEDIANA (Md) 
 
 Definição: 
 É o valor do elemento do meio de uma distribuição,se 
 “ n” for ímpar, ou é a média dos valores do meio se “n” 
 for par. 
 
Ex:1 N =7, onde temos: { 2 ,4, 6, 8, 10, 12, 16} Md = 8 ,pois este número é o 
 valor central ! 
 
 
Ex2: N = 4,onde temos: {2, 4, 6, 8} Md = 5 , pois 4 + 6 = 10 = 5 
 2 2 
 
 
 
 
Média aritmética para uma 
distribuição de frequência. 
23 
 
 
FÓRMULA DA MEDIANA: 
 
Uma vez descoberta qual a Classe Mediana da Distribuição de Frequências, 
restará apenas aplicar a Fórmula da Mediana: 
 
 
 Md = li + Emd - Facant . h e Emd = N 
 fmd 2 
 
Onde: 
 
li = Limite inferior da classe mediana; 
Emd = Elemento mediano; 
Facant = Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
fmd = Frequência simples da classe mediana; 
h = Amplitude do intervalo de classe. 
 
 
 
Exemplo: Calcular a Md do conjunto abaixo: 
 
Xi fmd 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
 n=60 
 
 
24 
 
 
1o Passo) Calculamos o n e h. Neste caso, temos que n=60.e h = 10 
 
2o Passo) Calculamos (n/2), que será: (60/2)=30, logo temos: Emd = 30 
 
3o Passo) Construiremos a coluna da Facant : 
 
Xi fmd Facant 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
40 !--- 50 
50 !--- 60 
60 !--- 70 
70 !--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 n=60 
 
4o Passo) Compararemos os valores da Facant com nosso valor de referência 
 Emd= 30. 
 
Xi fmd Facant 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 3 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 9 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 20 é maior ou igual a 30 ? NÃO! 
 40 é maior ou igual a 30 ? SIM! 
 n=60 
 Encontramos a Classe Mediana: (40 |--- 50). 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: Facant = 20 e fmd = 20 
5o Passo) Devemos preencher os dados da distribuição na fórmula da Mediana: 
 
 Md = li + Emd - Facant . h 10
20
203040 

 Md Md = 45 
 fmd 
 
 
OBS: Quando existir uma frequência acumuladaexatamente igual a (∑fi) : 2, a 
 mediana será o limite superior da classe correspondente. 
 
Ex2: Numa pesquisa realizada por um órgão de fiscalização tributária, foi 
 coletado o seguinte número de reclamações por dia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º) Passo: Determinar o elemento mediano(Emd). 
 
 Temos: Emd = N/2 Emd = 60/2 Emd = 30º elemento. 
 
Xi Fi Fac 
10 |--- 20 
20 |--- 30 
30 |--- 40 
40 |--- 50 
50 |--- 60 
60 |--- 70 
70 |--- 80 
2 
7 
11 
20 
11 
7 
2 
2 
9 
20 
40 
51 
58 
60 
 
 
 Classe Anterior! 
 Classe Mediana! 
 n=60 
RECLAMAÇÕES Fi(dias) 
100|---180 8 
180|---260 12 
260|---340 16 
340|---420 10 
420|---500 9 
500|---580 5 
TOTAL 60 
26 
 
 
2º) Passo: Devemos utilizar a tabela de distribuição de frequência para 
 determinarmos a Facant , para verificar qual classe pertence o Emd. 
 Portanto,temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3º) Passo: Utilizamos a fórmula da Mediana: 
 
 Md = li + Emd - Facant . h; onde: 
 fmd 
 
 li = 260 
 Emd = 30 
 Facant = 20 
 fmd = 16 
 h = 80 
 
QUANDO UTILIZAR A MEDIANA ? 
 Quando desejarmos obter o ponto que divide a distribuição em partes 
iguais; 
 Quando existirem valores extremos que afetem de maneira acentuada a 
média, 
 Quando a variável em estudo for o salário. 
 
Classe Reclamações Fi(dias) Facant 
1º 100|---180 8 8 
2º 180|---260 12 20 
3º 260|---340 16 36 
4º 340|---420 10 46 
5º 420|---500 9 55 
 6º 500|--580 5 60 
3º classe (36 elementos 
observados).Portanto, o 
Emd Є 3º classe,pois 
compreende os elementos 
do 21º a 36º 
+ 
60 
 
Md = 260 + 30 - 20 .80 Md = 260 + 10 .80 
 16 16 
 
Md = 260 + 800 Md = 260 + 50 Md = 310 
 16 
 Portanto,ocorreu 310 Reclamações ! 
27 
 
PROPRIEDADES DA MEDIANA: 
 
A Mediana será, assim como a Média, influenciada pelas quatro operações 
básicas da matemática(Adição,Subtração,Multiplicação e Divisão) 
 
1º) Se somarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova 
Mediana será (a Mediana anterior) também somada àquela mesma constante; 
 
2º) Se subtrairmos todos os elementos de um conjunto de uma constante, a 
nova Mediana será (a Mediana anterior) também subtraída daquela mesma 
constante; 
 
3º) Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a 
nova Mediana será (a Mediana anterior) também multiplicada àquela mesma 
constante; 
 
4º) Se dividirmos todos os elementos de um conjunto por uma constante, a nova 
Mediana será (a Mediana anterior) também dividida por aquela mesma 
constante. 
 
MODA (Mo) 
 
 Definição: 
 É a medida que determina o valor de maior frequência na 
 distribuição, isto é, o valor que mais aparece na distribuição. 
 
 Ex: { 3,6,6,6,7,8,8,9,10}; então Mo = 6 ; pois o nº 6 aparece mais vezes 
 na distribuição. 
 
 
 
 
28 
 
 
OBS1: Quando dois números aparecem na mesma quantidade em uma 
 distribuição, teremos então uma distribuição BIMODAL. 
 
 Ex: { 3,6,6,6,7,7,7,2}; temos Mo = 6 e Mo = 7 
 
OBS2: Quando não ocorre nenhuma repetição de número na frequência, 
 teremos uma distribuição AMODAL. 
 
 Ex: {2,3,4}; logo Mo = ᴓ ( Conjunto Vazio ! ) 
 
 
FÓRMULA DA MODA 
 
 
 Mo = li + d1 .h ; onde: 
 d1 + d2 
 
 
Ex: Utilizando o exercício anterior,temos: 
 
 
Classe Reclamações Fi(dias) 
1º 100|---180 8 
2º 180|---260 12 
3º 260|---340 16 
4º 340|---420 10 
5º 420|---500 9 
6º 500|---580 5 
 
 
li = limite inferior da classe que contém o valor da 
 moda; 
 
d1 = Diferença entre o valor da moda com o valor 
 anterior; 
 
d2 = Diferença entre o valor da moda com o valor 
 posterior; 
 
h = Amplitude do intervalo de classe. 
 60 
Temos: 
li = 260 fica: Mo = 260 + 4 . 80 
d1 = (16-12) = 4 4 + 6 
d2 = (16-10) = 6 Mo = 260 + 32 
h = 80 Mo = 292 
 Portanto, o dia que houve + reclamações, 
tivemos 292 pessoas reclamando. 
29 
 
SEPARATRIZ 
 Definição: 
 São os valores que dividem uma distribuição em 
 partes iguais. 
A Separatriz se divide em: 
 
 Quartil; 
 Decil; 
 Percentil. 
 
QUARTIL 
 Definição: 
 É quando a distribuição é dividida em 4(quatro) partes 
 iguais e cada parte corresponde a 25% dos valores. 
 
Ex: Em uma empresa de contabilidade, temos 16 funcionários,onde os mesmos 
 ocupam o cargo de Auxiliar Administrativo, Técnico Contábil, Analista 
 Financeiro e Serviço Gerais. 
 
 
 
 
Com isso, podemos afirmar que 25% dos funcionários ocupam cada cargo 
mencionado anteriormente. 
 
 
Quartil ! 
30 
 
NOTAÇÃO: 
 
Por extensão do conceito da mediana, podemos dividir um conjunto em 4 partes 
iguais. Cada parte representará 25% do conjunto, surgindo assim a designação 
de quartil. 
Veja a figura abaixo: 
 
Na figura, visualiza-se com facilidade que: 
1. O primeiro quartil: o Q1 é um número onde abaixo dele se situam 25% dos 
casos e acima, é óbvio, se situam 75%. 
2. O segundo quartil: o Q2 = Md, pois abaixo ou acima dele se situam 50% dos 
casos. 
3. O terceiro quartil: o Q3 é um número onde abaixo dele se situam 75% dos 
casos e acima 25%. 
Para calcular os três quartis: Q1, Q2 e Q3 de dados não agrupados, o método 
mais prático é o de utilizar o princípio do cálculo da mediana para os três quartis. 
Na realidade serão calculadas "três medianas" em uma mesma série ordenada. 
FÓRMULA: 
 Pq = p.n 
 q 
 
 
 
 
OBS: A fórmula usada para o Decil e Percentil é a mesma,somente com a 
 referência de decil(10) e Percentil (1oo) no denominador. 
Temos: 
Pq = posição do quartil 
p = posição desejada 
n= quantidade de elementos 
q = quartil(4) 
31 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO: 
 
 
01) Calcule Q1, Q2 e Q3 para o seguinte conjunto de valores: 
A = { 4,1,8,0,11,10,7,8,6,2,9,12 } 
1º) Passo: Colocar os valores em ordem (rol),então temos: 
A ={ 0,1,2,4,6,7,8,8,9,10,11,12 } 
2º) Passo: Calcular a posição do 1º Quartil; 
 quartildoposiçãoPQ 1 34
121
1  
 OBS1: Valor do 1º Quartil esta na posição 3 ! 
 
 
 
 OBS2: O valor do 1º Quadril é 2, isto é, o número que corresponde a 
 25% no Rol é 2. 
 
3º) Passo: Calcular a posição do 2º Quartil;quartildoposiçãoPQ 2 64
122
2  
 OBS1: Valor do 2º Quartil esta na posição 6 ! 
 
 
 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
Posição 
32 
 
 OBS2: O número que corresponde a 50% do rol é o valor 7 ! 
4º) Passo: Calcular a posição do 3° quartil: 
 quartildoposiçãoPQ 3 94
123
3  
 OBS1: Valor do 3º Quartil esta na posição 9 ! 
 
 
 OBS2: O número que corresponde a 75% do rol é o valor 9 ! 
 
DECIL 
 Definição: 
 A distribuição é dividida em 10 partes iguais,sendo que a 
 cada parte corresponde a 10% dos valores. 
Temos: 
 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 
 
OBS: D1: É o primeiro decil, corresponde à separação dos primeiros 10 % de 
 elementos da série. 
 
 D5: É o quinto decil, coincide com a mediana (D5 = Md). 
 
 D9: É o nono decil, corresponde à separação dos últimos 10% 
 elementos da série. 
 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 
0 1 2 4 6 7 8 8 9 10 11 12 
33 
 
CÁLCULO DE DECIS 
1º) Cálculo do Decil para o Rol: 
 Os passos são os mesmos que foram utilizados para o cálculo do 
quartil para o Rol; 
Exemplo: Calcular D1 e D8 do conjunto dado: 
 A = { 7,12,15,20,2,4,6,18,10,24 } 
a) Inicialmente vamos colocar o conjunto em ordem crescente: 
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
 2 4 6 7 10 12 15 18 20 24 
 
b) Calcular D1 
 )( 1
10
101
10
1
1 posição
nPD  
OBS: O valor do D1=2 que corresponde a 10% do Rol 
 
b) Calculo do D8 
 
 )( 8
10
108
10
8
8 posição
nPD  
 OBS: O valor do D8=18 que corresponde a 80% do Rol 
2º) Cálculo do Decil para tabela sem Intervalo de Classe.: 
 Os procedimentos são os mesmos utilizados para o cálculo dos quartís. 
 Exemplo: 
 A Tabela retrata a quantidade de filhos dos funcionários de uma pequena 
 empresa.Calcule então D3 e D7 desta tabela. 
34 
 
filhos f fa 
0 18 18 
1 35 53 
2 46 99 
3 28 127 
4 25 152 
5 10 162 
6 5 167 
7 3 170 
  170f 
 
a) Cálculo do D3: 
 D3 = 3∑ f = 3.170 = 51ª (posição) 
 10 10 
OBS1: A posição do D3 está na 2° classe (fa 53) 
OBS2: O valor da variável na segunda classe é 1 filho, que corresponde a 
 30% da pesquisa. 170-----100% 
 51------x% 
 
b) Cálculo do D7 
 D7 = 7∑ f = 7.170 = 119ª (posição) 
 10 10 
 
OBS1: A posição do D7 está na 4° classe (fa 127) 
OBS2: O valor da variável na quarta classe são 3 filhos, que corresponde a 
 70% da pesquisa. 170-----100% 
 119------x% 
 
 
30% 
70% 
35 
 
3º) Cálculo do Decil para tabela com Intervalo de Classe 
 
 Devemos determinar primeiramente a classe que contém o valor do Decil a 
ser calculado pela seguinte expressão: 
 
K∑ f , (Para K = 1,2,3,...,9) 
 10 
Esse termo está localizado numa classe que recebe o nome de classe Decil. 
Para o cálculo dos decis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo dos 
quartis. 
 
 FÓRMULA DO DECIL 
 K. K∑ f i _ Fant 
 Dx = lDx + 10 . hDK 
 fDK 
Sendo: 
lDx = Limite inferior da classe de Decil considerado; 
Fant = Frequência acumulada da classe anterior à classe de Decil considerado; 
hDK = Amplitude do intervalo de classe do Decil considerado; 
fDK = Frequência simples da classe do Decil considerado; 
hDx = Amplitude do Decil considerado. 
 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo: Calcule os Decis (D1,D2,...),utilizando a tabela abaixo,sendo que a 
mesma organiza as estaturas de adolescentes, colhidas durante o período em 
que participaram de um acampamento, durante as férias. 
 
 Estaturas dos participantes de um acampamento! 
i Estaturas (cm) Frequência (fi) Frequência acumulada (Fa) 
1 120 ├ 128 6 6 
2 128 ├ 136 12 18 
3 136 ├ 144 16 34 
4 144 ├ 152 13 47 
5 152 ├ 160 7 54 
  54 
OBS: Calculam-se os decis D1, D2, ...D7, ..., de forma semelhante ao 
 cálculo dos quartis. 
a) Primeiro decil (K=1): 
4,5
10
54
10
1  if (O primeiro Decil pertence à 1º Classe). 
 Logo temos: 
 1. K∑ f i _ Fant 
 D1 = lD1 + 10 . hDK = 120 + 5,4 –0 .8 = D1= 127,5 cm 
 fDK 6 
 
 37 
 
b) Segundo Decil (K=2): 
8,10
10
542
10
2  if (O segundo decil pertence à 2º Classe). 
 2. K∑ f i _ Fant 
 D2 = lD2 + 10 . hDK = 128 + 10,8 – 6 .8 = 
 fDK 12 
 D2 = 131,2 cm 
 E assim por em diante! 
 
PERCENTIL 
O Percentil (ou Centil) dividirá o conjunto em cem partes iguais. Por analogia, já 
podemos concluir que a fração do numerador da fórmula para o Primeiro Centil 
será (n/100)! E para os demais Percentis, teremos que: 
 
2º Parte = P2 = 2n/100 
3º Parte = P3 = 3n/100 
E assim por em diante. 
 
OBS: Percentis de ordem 25, 50 e 75 são denominados quartis e, mais 
 especificamente, primeiro, segundo e terceiro quartis. Os símbolos 
 usuais são Q1, Q2 e Q3 respectivamente. 
 
OBS2: Percentis de ordem 10, 20, 30 ... 90 são denominados decis e 
 simbolizados por D1 (primeiro decil), D2 (segundo decil), etc. 
 
38 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 Definição: 
 São os valores que complementam as informações fornecidas 
 pelas medidas de posição e caracterizam o grau de variação 
 existentes em um conjunto de valores. 
As Medidas de Dispersão se dividem em : 
 
 Amplitude Total (AT); 
 Variância (S2); 
 Desvio- padrão (S) 
 Coeficiente de Variação (CV). 
 
AMPLITUDE TOTAL (AT) 
 
 Definição: 
 Refere-se à diferença entre o maior e o menor valor observado 
 na Amostra. 
 
 FÓRMULA: 
 AT = X máx - X mín 
Exemplo: 
 A altura de 5 alunos estão entre os seguintes medidas: 
 
 B = { 160 cm, 170 cm, 180 cm, 190 cm, 200 cm } 
 Então, temos: 
 AT = X máx - X mín 
 AT = 200cm – 160 cm 
 AT = 40 cm 
Portanto, o intervalo da Amostra corresponde a 40. 
 
39 
 
VARIÂNCIA (S2) 
 
 Definição: 
 Refere-se a dispersão dos valores em uma distribuição,isto é, 
 determina o quanto essesvalores estão distante da própria 
 média aritmética. 
 FÓRMULA: 
 S2 = ∑ ( x - x )2 ou S2 = ∑x2 – (∑x)2 
 n - 1 2 
 n - 1 
 
Onde: 
 x = Valor da Amostra; 
 x = Valor médio da Amostra ; 
 n = Número de elementos observados . 
 
Exemplo: 
 Em uma Amostra de 5 residências de uma determinada rua, foram 
 registrados os seguintes números de moradores: 
Com isso, calcule a variância desta pesquisa. 
Solução: 
 
 1º) x = ∑x 20 = 4 (Valor médio da Amostra); 
 n 5 
 2º) Usamos a fórmula: 
 S2 = ∑ ( x - x )2 , temos: 
 n - 1 
 
 CASA A CASA B CASA C CASA D CASA E 
 
Nº MORADOES 
 
3 
 
6 
 
2 
 
7 
 
2 
40 
 
S2 = (3 - 4)2 + (6 - 4)2 + (2 – 4)2 + (7 - 4)2 + (2 – 4)2 = 1 + 4 + 4 + 9 + 4 = 
 5 - 1 4 
S2 = 22 S2 = 5,5 
 4 
 
OBS: O valor da variância é um referencial para analisarmos os elementos 
 presentes na distribuição. 
 
DESVIO – PADRÃO (S) 
 
 Definição: 
 É o valor que representa um intervalo de valores que estão 
 dispostos em um distribuição. 
 
 FÓRMULA: S = √S2 
 Utilizando o exercício anterior, temos: 
 
 S = √ 5,5 S = 2,34 
OBS1: O valor do desvio-padrão indica a variabilidade dos valores à volta da 
 Média,em outras palavras,..., “Indica a dispersão dos dados; quanto 
 mais dispersos, maior o desvio padrão”. 
 
OBS2: Se o desvio-padrão for igual a zero,isso indica que não há variabilidade, 
 isto é, todos os valores seriam igual a média. 
 
OBS3: Existe uma variável que mede a precisão da média,a qual identificamos 
 por: Erro-Padrão da Média 
 FÓRMULA: 
 S(x) = Sx 
 
 n 
41 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 Definição: 
 É o valor que representa o percentual de valores dispersos em 
 uma distribuição. 
FÓRMULA: 
 CV = S x 100 
 x 
 onde: 
 CV < 30% Série estatística homogenia e x é representativa. 
 CV ≥ 30% série estatística heterogênea e Md é representativa. 
 
Ex: Seja o Desvio – padrão (S) no valor de 215 e o ponto médio ( x ) igual a 
 300, então temos: 
 Solução: 
 Cv = 215. 100 = 71,67% 
 300 
Portanto, a Série Estatística é heterogênea. 
 
OBS: O coeficiente de variação é útil para compararmos a variabilidade 
 (dispersão) de dois conjuntos de dados de ordem de grandezas 
 Diferentes. 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA (As) 
 Definição: 
 É o coeficiente assimétrico que demonstra o posicionamento 
 dos valores na distribuição. 
 
Ex: 2 | 1 | 3 | | 8 | 10 | 4 | 7 | 8 | 9 | 6| 
 
 ESQUERDA DIREITA 
 
42 
 
OBS: 
 Os valores concentrados à direta da distribuição, são os números 
Maiores. 
 
 Os valores concentrados à esquerda da distribuição, são os números 
Menores. 
FÓRMULA: 
 As = x - Mo ou As = 3 ( x – Md) 
 S S 
Onde: 
 As = Medida de Assimetria; 
 x = Média; 
 Mo = Moda; 
 S = Desvio – padrão; 
 Md = Mediana. 
 
OBS2: Se As = 0, isto implica que a distribuição será simétrica !!! 
 
MEDIDAS DE ACHATAMENTO OU CURTOSE (K) 
 
 Definição: 
 É a medida que proporciona o grau de achatamento de uma 
 distribuição de valores. 
 
 Essas Medidas se dividem em 3 situações: 
 
 Distribuição de Frequência Mesocúrticas; 
 
 Distribuição de Frequência Platicúrticas; 
 
 Distribuição de Frequência Leptocúrticas 
43 
 
GRAU DE CURTOSE 
 
 Para calcular a medida de achatamento utilizamos o grau de curtose, através do 
coeficiente da própria curtose: 
 
FÓRMULA: 
 K = Q3 - Q1 
 2(P90 - P10) 
Onde: 
 Q3 = 3º Quartil 
 Q1 = 1º Quartil 
 P90 = 90º Percentil 
 P10 = 10º Percentil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
01) ( AFRF-2002.1): 
 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse 
exercício produziu a tabela de frequência abaixo. A coluna Classes representa 
intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa 
acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Leptocúrticas 
Mesocúrticas 
Platicúrticas 
44 
 
Classes P(%) 
70 |– 90 
90 |– 110 
110 |– 130 
130 |– 150 
150|– 170 
170 |– 190 
190 |- 210 
5 
15 
40 
70 
85 
95 
100 
Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral 
medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo 
quociente k = Q / (P90-P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e 
P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale 
a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X. 
a) 0,263 
b) 0,250 
c) 0,300 
d) 0,242 
e) 0,000 
 
Solução: 
 
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da 
fórmula do índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar 
de Decis. Todavia, sabemos perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o 
mesmo que Primeiro Decil (D1), e que Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma 
coisa que Nono Decil (D9). 
 Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o 
Índice Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos: 
 K = Q3 - Q1 
 2(P90 - P10) 
 
45 
 
Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os 
Decis (D1 e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos 
aqui a resolução desta questão. 
Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser 
realizado, que era exatamente o de chegarmos à coluna da frequência absoluta 
simples – fi. 
Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho 
das Pedras para chegar às frequências desejadas, expomos a seguir o resultado 
destas operações e, finalmente, a coluna da fi. 
 
 
Classes Fac Fi fi 
70 – 90 5%5% 10 
90 – 110 15% 10% 20 
110 – 130 40% 25% 50 
130 – 150 70% 30% 60 
150 – 170 85% 15% 30 
170 – 190 95% 10% 20 
190 – 210 100% 5% 10 
 
 
Cálculo do Primeiro Quartil – Q1: 
1º Passo: Encontraremos n e calcularemos (n/4) 
 
 
46 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
 90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
Temos então: n=200, portanto, (n/4)=50 
2º Passo: Construiremos o Fac ( Frequência Acumulada Crescente) 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
 
47 
 
3º Passo: Comparamos os valores de Fac com o valor de n/4 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 50? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 50? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 50? SIM! 
 n=200 
 
Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe 
correspondente (110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro 
Quartil. 
 
4º) Passo: Aplicaremos a fórmula do Primeiro Quartil,tomando como referência 
 a Classe do Q1. Portanto, temos: 
 
  20
50
30501101 

 Q  E: Q1=118,0 
 
 
hfi
facn
lQ
ANT








 


 4inf1
48 
Cálculo do Terceiro Quartil: Q3 
1º Passo: Devemos calcular 3n/4 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 Temos então: n=200, portanto, (3n/4)=150 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
49 
 
3º) Passo: Comparamos os valores da Fac com os valores de 3n/4 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 140 é maior ou igual a 150? NÃO! 
 170 é maior ou igual a 150? SIM! 
 
 
 n=200 
 
Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que 
esta será nossa Classe do Terceiro Quartil. 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Q3,com os dados da Classe do Q3. 
 hfi
facn
lQ
ANT








 


 4
3
inf3  20
30
1401501503 

 Q 
 Logo, temos: Q3=156,6 
 
 
 
50 
 
Cálculo do Primeiro Decil (D1) 
 1º Passo: Devemos calcular n/10 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
 Temos: n=200 e, portanto, (n/10)=20 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac: 
Xi fi Fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
51 
 
3º) Passo: Comparamos os valores do Fac com os valores de n/10. 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 20? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 20? SIM! 
 
 n=200 
 
 Portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe 
 do Primeiro Decil! 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Primeiro Decil 
 hfi
facn
lD
ANT








 


 10inf1  20
20
1020901 

 D  E: D1=100,0 
 
Calculo do Nono Decil (D9): 
1º Passo) Devemos calcular (9n/10): 
 
 
52 
 
Xi fi 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
 n=200 
Portanto,temos: n=200 e (9n/10)=180 
2º) Passo: Devemos calcular o Fac 
Xi fi Fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 n=200 
 
 
53 
3º) Passo: Comparamos os valores do Fac com os valores do 9n/10. 
Xi fi fac 
70 !--- 90 
90 !--- 110 
110 !--- 130 
130 !--- 150 
150 !--- 170 
170 !--- 190 
190 !--- 210 
10 
20 
50 
60 
30 
20 
10 
10 
30 
80 
140 
170 
190 
200 
 10 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 30 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 80 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 140 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 170 é maior ou igual a 180? NÃO! 
 190 é maior ou igual a 180? SIM! 
 n=200 
 
 Portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do 
 Nono Decil. 
 
4º) Passo: Usaremos a fórmula do Nono Decil: 
 hfi
facn
lD
ANT








 


 10
9
inf9  20
20
1701801709 

 D =: D9 = 80 
 Utilizando a fórmula de Curtose,temos: 
 
 K = Q3 - Q1 K = (156,6 – 118) K = 0,242 
 2(P90 - P10) 2(180 – 100) 
 
Portanto: Letra D 
 
 54 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
01) Determinar a moda dos seguintes conjuntos: 
a) 1, 6, 9, 3, 2, 7, 4 e 11 
b) 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 6, 3, 4 e 5 
c) 8, 4, 4, 4, 4, 6, 9, 10, 10, 15, 10, 16 e 10 
d) 23, 28, 35, 17, 28, 35, 18, 18, 17, 18, 18, 18, 28, 28 e 18 
 
02) Determinar a mediana dos seguintes conjuntos: 
a) 9; 14 ; 2 ; 8; 7; 14; 3; 21; 1 
b) 0,02; 0,25; 0,47; 0,01; -0,30; -0.5 
c) 1/2 ; 3/4 ; 4/7 ; 5/4 ; -2/3 ; -4/5 ; -1/5 ; 3/8 
 
03) Para os conjuntos abaixo, determinar com aproximação centesimal, as 
seguintes medidas: 
A= { 0,04 ; 0,18 ; 0,45 ; 1,29 ; 2.35} e 
B = {-7/4 ; -1/3 ; 3/5 ; 7/20 ; 1 4/3 } 
 
a) A amplitude (AT) 
b) A variância (S2) 
c) O desvio padrão (S) 
d) O coeficiente de variação. (CV) 
 
04) Dados os seguintes conjuntos de valores: 
 A = { 1, 3, 7, 9, 10 } 
 B = {20, 60, 140 ,180, 200} 
 C = {10, 50, 130, 170 ,190} 
 
Calculando a média e o desvio padrão do conjunto em A, determinar, 
através das propriedades, a média e o desvio padrão dos conjuntos em 
B e C. 
55 
 
Gabarito: 
01 
 a) Amodal 
 b) 5 
 c) 4 e 10 
 d) 18 
 
02 
 a) 8 
 b) 0,02 
 c) 7/16 
 
03 
 Conjunto A 
 AT = 2,31 
 S2 = 0,74 
 S = 0,86 
 CV = 99,90% 
 
 Conjunto BAT = 37/12 = 3,08 
 S2 = 1,03 
 S = 1,02 
 CV = 508,01% 
04 
 Observe que o conjunto em B é igual ao conjunto em A multiplicado 
 por 20 e o conjunto em C é igual ao conjunto em A multiplicado por 
 20 e subtraído de 10 unidades.Logo,temos: 
 Conjunto A: X = 6 S = 3,87 
 Conjunto B: X = 120 S = 77,4 
 Conjunto C: X = 110 S = 67,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3 (PARTE 02) 
AMOSTRAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
 56 
 
AMOSTRAGEM 
 
Definição: 
 É a técnica de seleção de uma Amostra, que possibilita o estudo das 
 características de uma população. 
 
 
 Para compreendermos melhor o princípio da Amostragem, devemos 
estudar a distribuição de valores. Esta distribuição esta dividida em 2 
partes fundamentais para estatística,as quais são: 
 
 Distribuição Normal; 
 Distribuição Amostral. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 Definição: 
 É uma distribuição contínua,a qual possui dois parâmetros 
 estatísticos fundamentais: 
 
 1º) Média; (Parâmetro de localização) 
 2º) Desvio-padrão (Parâmetro de dispersão) 
 
OBS1: A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade ! 
 
OBS2: Os resultados da probabilidade(posicionamento dos valores),são 
 obtidos por meio de uma tabela de escore,denominada de Tabela Z. 
 
OBS3: A curva da distribuição normal é conhecida como a Curva de Gauss. 
 
57 
 
Veja: Curva de Gauss 
 
 
 50% 50% 
 
 Md = X = Mo 
 
FÓRMULA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 Z = X - µ onde: 
 σ 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DA CURVA DE GAUSS 
 
 Sua Média, Mediana e Moda são iguais. 
 Tem forma de Sino e é simétrica em torno da média. 
 A área total sob a curva é de 100% 
 
Fonte: <http://www.tomcoelho.com.br/index.aspx/s/Artigos_Exibir/221/ 
 O_mal_da_mediocridade> 
 
Z = Valor da tabela Z 
X = Valor aleatório 
µ = Média aritmética 
σ = Desvio-padrão 
 
58 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 VALORES DE Z 
 
 
 
 
59 
 
OBS1: Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área 
 entre −∞ e z das curvas probabilísticas,devemos somar o valor de 
 0,5 aos valores da tabela. 
 
OBS2: No caso de valores acima de 3,9 considera-se que o valor é 
 praticamente 1 pelo que não esta tabelado. 
 
ALGUNS EXEMPLOS DE USO DA TABELA 
 
1º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ 1,53: 
 Na interseção da linha 1,5 com a coluna 0,03 há o valor 0,4370. Precisa-se 
 somar 0,5 porque, conforme visto, a tabela dá valores a partir de zero. 
 Assim, P( Z ≤ 1,53 ) ≈ 0,4370 + 0,5 = 0,9370. 
 
2º) Exemplo: 
 Probabilidade de Z ≤ −1,53: 
 A simetria da curva permite deduzir a fórmula para valores negativos de z: 
 P( Z ≤ v ) = 1 − P( Z ≤ |v| ) para v < 0 
 Portanto, P( Z ≤ −1,53 ) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630. 
 
3º) Exemplo: 
Probabilidade de −1 ≤ Z ≤ 0,5: 
A ideia gráfica permite concluir que é igual à diferença entre os valores 
calculados para cada extremo. 
P( Z ≤ 0,5 ) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915. P( Z ≤ −1 ) = 1 − P( Z ≤ 1 ) = 
 1 − (0,5 + 0,3413) = 0,1587. 
Portanto o resultado é dado por P( −1 ≤ Z ≤ 0,5 ) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328. 
 
 
 
 
60 
 
Ex: Um estudo dos aumentos percentuais dos preços, no atacado de produ- 
 tos industrializados, mostrou que ha distribuição normal com media de 
 50% e desvio- padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que: 
 a) Sofreram aumentos superiores a 75%? Resposta: (0,62%) 
 b) Sofreram aumentos entre 30% e 80%? Resposta: (97,59%) 
Solução: 
 Dados: 
 µ = 50% (média) 
 σ = 10% (Desvio-padrão) 
 X = modificações percentuais de preços (valor aleatório) 
a) Superiores a 75% 
 P (x>75) = P(z > 2,5) 
 Para: x= 75, Temos: z: x - µ = z: 75 - 50 = z: 25 = 2,5 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(z > 2,5) = 0,5- 0,4938 = 0,0062 ou 0,62 % 
 
b) Entre 30% e 80% 
 P ( 30 < x < 80) = P(-2 < z < 3) 
 
 Para: x= 30 , Temos: z: x - µ = z: 30 - 50 = z: - 20 = -2 
 σ 10 10 
 Para: x= 80, Temos: z: x - µ = z: 80 - 50 = z: 30 = 3 
 σ 10 10 
 Portanto: 
 P(-2 < z < 3) = - 0,4772 –0,4987 = - 0,9759 ou 97,59% 
 
 
 
 
 
61 
 
 
Portanto,a representação da curva Gaussiana fica: 
 
 
 
 
 
 
 0,62% 12% 25% 50% 97,59% 
 
OBS1: Os valores 0,4772 foi retirado da Tabela Z; para Z = 2 ! 
 
OBS2: O valor negativo de – 0,4772 e -0,9759 devem ser ignorados! 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 
 
 Definição: 
 É a distribuição de probabilidade de uma medida estatística, 
 baseada em uma amostra aleatória, a qual é determinada o 
 posicionamento dos valores dentro dos parâmetros da média 
 e do Desvio-padrão. 
 
OBS: Para estudarmos uma população, necessitamos de uma amostra, a qual 
 necessita de uma fundamentação específica para validar os seus dados. 
 Portanto essa validação é reconhecida por Inferências Estatísticas. 
 
 
 
 
 
62 
 
INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS: 
 
 Definição: 
 É o processo estatístico que se refere-se à possibilidade de 
 obtermos informações sobre a população por meio de resultados 
 amostrais. 
 
 As Inferências estatísticas são divididas em 2 áreas: 
 
 Os Testes de Hipótese (Veremos mais adiante !) 
 Estimação de Parâmetros. 
 
Estimação de Parâmetros: 
 É o valor retirado diretamente da Amostra para 
 medir e comprovar a eficácia dos possíveis 
 resultados da pesquisa. 
 
OBS1: Os parâmetros utilizados na População e na Amostra,são: 
 
 População: µ (Média) Amostra: X = Média 
 ρ 2 (Variância) S2 = Variância 
 
OBS2: A variância Amostral das médias é igual à razão da variância 
 populacional pelo número de elementos da Amostra. Então temos: 
 
 S2x = ρ 2 
 n 
 
 
 
 
Nesta fórmula a variância amostral é menor 
que a variância populacional! S2 < ρ 2 
 63 
 
DICA: 
 Na página 106 do livro a variância populacional esta sendo representada 
pela letra σ, para não confundirmos com Desvio-padrão,o qual utiliza a 
mesma letra Sigma,trocamos esta pela letra grega (Rho) = ρ. 
Então: 
 σ2 = ρ2 (Variância) 
 
 
TIPOS DE AMOSTRAGEM 
 
Temos 2 tipos de amostragem com as suas características bem definidas, as 
quais se apresentam como: 
 
 Amostragem Probabilística; 
 Amostragem Não probabilística; 
 
1º) AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA: 
 
 Todos os elementos da população tem a mesma chance de fazer parte 
da Amostra. 
 
 Ela se divide em: 
 
a) Aleatória Simples: Escolhe os elementos sem utilizar nenhum critério. 
 
b) Sistemática: Escolhemos os elementos por processo de repetição. 
 
c) Proporcional: Escolhemos os elementos por proporção pré 
 estabelecida. 
 
 
64 
 
2º) AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA 
 Os elementos da população são escolhidos de forma aleatória. 
Ela se divide em: 
a) Por conveniência: Escolhe os elementos, conforme a distribuição mais 
 favorável e facilitada. 
 
b) Intencional: Escolhemos os elementos, conforme a sua vontade. 
 
c) Por Tráfego: Escolhemos os seus elementos,conforme a 
 concentração, volume ou tráfego contidos na população. 
 
d) Por Quotas: Escolhemos os seus elementos, seguindo um critério 
 específico. 
 
CÁLCULO DO TAMANHO DA AMOSTRA 
 Para determinarmos um estudo estatístico por meio de uma amostra, 
devemos ter uma quantidade mínima de elementos que possibilite 
realizar uma cálculo estatístico,o qual dará uma perspectiva confiável ao 
resultado apresentado do que queremos pesquisar.Para isso,temos que 
utilizar a seguinte fórmula: 
 n = Z2.p.q 
 e2 
Onde: 
n = Número de indivíduos da Amostra; 
Z = Nível de confiança Z; 
p = proporção favorável; 
q = proporção desfavorável; 
e = Erro máximo provável (Erro-padrão) 
α = Limite de confiança 
65 
 
OBS: Quando não for mencionado em um exercício o valor da 
 proporção,subentendemos que elas serão iguais,isto é, 50% para 
 cada lado,logo podemos concluir que p = q, e que p e q = R,onde 
 temos: 
 2 
 n = Z2.R2 n = Z.R 
 e2 e 
 
OBS: Para aplicarmos esta fórmula,devemos seguir o nível de limite de 
 confiança para o tamanho de cada Amostra. Estes limites estão 
 expressos na tabela à seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Com as informações sobre o tipo de amostragem e o tamanho da 
 amostra,podemos fornecer informações extremamente relevantes 
 para a parte administrativa de uma empresa. 
Exemplo: 
 
01) Uma assistente social, deseja saber o tamanho da amostra necessário 
para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de 
Saúde,a qual pertence ao Município de São José dos Pinhais, região 
metropolitana de Curitiba - Pr. Não foi feito um levantamento prévio da 
proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 
90% de confiança e estima um o erro máximo de 5% . Quantas pessoas 
necessitam ser entrevistadas? 
 
 
Limite de 
Confiança 
Valor Z 
80% 1,28 
90% 1,65 
95% 1,96 
99% 2,58 
66 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dados: 
e= 5% = 0,05 (Erro máximo) 
α = 90% (Limite de Confiança) 
Z = 1,65 (Nível de Confiança,verificar tabela !) 
p = q =R = 50% = 0,5 ( Proporção favorável e desfavorável) 
n = ? (Nº de Indivíduos da amostra) 
Temos: 
 2 2 
 n = Z.R n = 1,65. 0,5 (16,5)2 = 272,25 
 e 0,05 n = 272 pessoas 
 
Portanto, precisamos uma Amostra de 272 pessoas para determinar a 
proporção da população atendida na Unidade de Saúde. De São José 
dos Pinhais. 
 
OBS: Caso a população seja finita,isto é, N< 100.000 elementos, 
 devemos utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 n = Z2.p.q.N Com N = População ! 
 (N-1).e2 + Z2.p.q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
01) Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta. 
 
 
 
 (I) (II) (III) 
a) a curva I é simétrica - x > med > mo; 
b) a curva II é assimétrica positiva - mo > > x 2 ; 
c) a curva I é simétrica x = med = mo ; 
d) a curva III é simétrica positiva x = med = mo ; 
e) a curva II e III são aasimétricas: x = med = mo 
 
02) A vida média útil de um aquecedor elétrico é de 1,5 anos, com um desvio –
padrão de 0,3 anos. Se são vendidos 12.000 unidades por uma empresa 
fabricante ao mês, quantos aquecedores necessitarão de conserto antes 
que expire o período de um ano de garantia ? 
a) 510 aquecedores 
b) 530 aquecedores 
c) 550 aquecedores 
d) 570 aquecedores 
e) 590 aquecedores 
 
 
68 
 
03) Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas 
e com desvio-padrão de 0,01 polegada. Os canos com diâmetro de mais de 
0,03 polegadas acima da média, são considerados defeituosos. Em uma 
produção de 10.000 canos, quantos canos estariam com defeito ? 
a) 20 
b) 27 
c) 32 
d) 36 
e) 44 
 
04) Um pesquisador deseja estimar a proporção de ratos nos quais se 
desenvolve um certo tipo de tumor quando submetidos a radiação. Ele 
deseja que sua estimativa não se desvie da proporção verdadeira por mais 
de 0,02 com uma probabilidade de pelo menos 90%.Portanto,quantos 
animais ele precisa examinar para satisfazer essa exigência? 
a) 1285 
b) 1302 
c) 1447 
d) 1528 
e) 1681 
 
05) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em 
estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato. Determine o 
tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação 
seja de, no máximo 0,01, com probabilidade de 80%. 
a) 3942 eleitores 
b) 4096 eleitores 
c) 4595 eleitores 
d) 5029 eleitores 
e) N.D.A 
 
69 
 
Gabarito: 
 
01 - C 
02 - D 
03 - B 
04 - E 
05 - B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
Disciplina: MÉTODOS QUANTITATIVOS VOLTADOS PARA 
PESQUISA EM CONTABILIDADE 
 
Professor: ALAN CARTER KULLACK 
70 
 
INTERVALO DE CONFIANÇA (IC) 
 
Definição1: 
 É um intervalo (espaço) estimado de um parâmetro estatístico,o qual 
 possibilita o cálculo deste parâmetro estatístico desconhecido. 
 
Definição2: 
 É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores 
 possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional. 
 
 Em outras palavras: 
“O intervalo de confiança é um intervalo matemático que 
mede a confiabilidade de uma amostra retirada de uma 
determinada população.” 
 Profº Alan Carter Kullack