Conjuntos Numéricos

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ITPAC - INSTITUTO TOCANTINENSE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS LTDA.
 FAHESA – Faculdade de Ciências Humanas, Econômicas e da Saúde de Araguaína
 1º Período – Farmácia Aula 05/08/2013
 Profª Evilane Leão Cordeiro 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
INTRODUÇÃO
Damos o nome de conjuntos numéricos a certos conjuntos importantes cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum.
Tais conjuntos possuem os elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, serão estudados os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, dos números reais. 
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros conjuntos, em geral, foram surgindo, também por necessidade, como ampliações daqueles até então conhecidos. 
Exemplo: 
Conjunto dos números naturais:
Conjunto dos números inteiros:
Conjunto dos números racionais:
Conjunto dos números irracionais: é o outro subconjunto dos reais, formado por todos os números que não são racionais e, portanto, que não podem ser expressos na forma de uma fração com numerador e denominador inteiro. 
Conjunto dos números reais: é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e o conjuntos dos irracionais. 
A relação entre os conjuntos numéricos citados é: 
CONJUNTO 
É o conjunto dos números naturais: 
Em que n representa o elemento genérico do conjunto.
Um subconjunto importante de é o conjunto , obtido excluindo o zero de :
= ou 
Os números naturais são usados nas contagens, nos códigos e nas ordenações. Em sempre é possível a adição e a multiplicação, ou seja a soma e o produto de dois números naturais nem sempre é um número natural; a subtração , por exemplo, não é possível em . Daí a necessidade de ampliar o conjunto introduzindo os números negativos 
O CONJUNTO 
É o conjunto dos números inteiros: 
O símbolo usado para representar o conjunto dos números inteiros é a letra Z. 
Inteiros negativos: São abscissas de pontos que estão à esquerda do pontos de abscissa zero. 
Zero é inteiro: Não é positivo e não é negativo. 
Inteiros positivos: São abscissas de pontos que estão à direita do ponto de abscissa zero. 
NÚMEROS OPOSTOS: Dois números inteiros são opostos ou simétricos quando são representados, na reta numerada, por pontos:
Que estão à mesma distância do ponto de abscissa zero. 
Localizados em sentidos opostos. 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO: A soma de dois números inteiros com sinais iguais é um número inteiro com:
Valor absoluto (ou módulo) igual à soma dos valores absolutos (ou módulos) das parcelas;
Sinal igual ao das parcelas. 
Exemplo: 
A soma de dois números inteiros com sinais diferentes é um número inteiro com:
Valor absoluto (ou módulo) igual á diferença dos valores absolutos (ou módulos) das parcelas;
Sinal igual ao sinal da parcela de maior valor absoluto (ou módulo).
Observação:A soma de números inteiros opostos é zero.
Exemplos:
SIMPLIFICAÇÃO DA ESCRITA
Uma soma de números inteiros pode ser simplificada. Fazemos essa simplificação eliminando os parênteses e deixando de escrever o sinal de adição. 
Exemplo:
Simplifique a escrita e calcule a soma 
A SOMA DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS
Exemplo: 
Qual é o valor de 
 Transformando em soma algébrica. 
 = -105 - 76 + 17 = 
 = -181 + 17 = -164
Observação: Em somas algébricas que possuem termos opostos (ou simétricos) como neste exemplo, esses termos podem ser cancelados porque a soma deles é zero. 
Exemplo: 
 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A adição de números inteiros tem as mesmas propriedades que a adição de números naturais.
FECHAMENTO: A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Exemplo: 
COMUTATIVA:A ordem das parcelas não altera a soma.
Exemplo: 
ASSOCIATIVA
Numa adição de três ou mais parcelas, podemos associar as parcelas de formas diferentes, que os resultados serão iguais.
Exemplo: 
 
ELEMENTO NEUTRO
O zero é o elemento neutro da adição.
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
A diferença de dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o oposto do segundo. 
Exemplo: 
Calcule a diferença 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Produto com sinais diferentes
Exemplo: 
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao produto dos valores absolutos dos fatores:
Sinal: - (negativo) 
Produto de dois números inteiros com sinais iguais
Exemplo: 
O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao produto dos valores absolutos dos fatores:
Sinal: + (positivo) 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação de números inteiros tem as mesmas propriedades que a multiplicação de números naturais.
COMUTATIVA: A ordem dos fatores não altera o produto. 
Exemplo: 
ASSOCIATIVA: Num produto de três ou mais fatores podemos associá-los de formas diferentes que os produtos serão iguais. 
Exemplo: 
ELEMENTO NEUTRO: O elemento neutro da multiplicação é +1 ou 1.
DISTRIBUTIVA: O produto de um número inteiro por uma soma algébrica pode ser transformado na soma algébrica dos produtos desse número pelas parcelas da soma. 
Exemplo: 
DIVISÃO EXATA DE NÚMEROS INTEIROS
Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes 
Exemplo: 
 O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero é sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos;
Sinal: - (negativo) 
Quociente de dois números inteiros com sinais iguais
Exemplo: 
O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos;
Sinal: + (positivo) 
OBSERVAÇÕES:
Não existe divisão por zero. 
Exemplo: não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 
Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
O cálculo do valor de uma expressão com números inteiros em que aparecem divisões, multiplicações e somas algébricas segue as mesmas regras que já vimos para números naturais.
As divisões e multiplicações são calculadas antes das adições e subtrações;
as divisões e multiplicações, numa única expressão, são efetuadas na ordem em que aparecem. 
Exemplo:
O CONJUNTO 
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto , obtemos o conjunto dos números racionais . Assim, por exemplo, são números racionais 
, -1, 
Assim, escrevemos: 
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA 
Adição e subtração com denominadores iguais
Exemplo:
Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores. 
2. Adição e Subtração com denominadores diferentes
Exemplo: 
 
 Reduz-se ao menor denominador comum, em seguida soma-se ou subtrai-se os numeradores e conservamos o denominador. 
Multiplicação com frações 
Exemplo: 
O produto de dois números na forma de fração tem como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos denominadores. 
Divisão com frações 
Exemplo: 
Multiplica-se a 1ª fração pelo inverso da 2ª fração. 
Expressões Numéricas
Exemplo: Qual o valor da expressão:
CONJUNTODOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
Como vimos, há números decimais que podem ser escritos na forma fracionária com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente de zero) são os números racionais. Mas há também números decimais que não admitem essa representação: são os decimais infinitos e não periódicos. Esses números são chamados números irracionais. 
Exemplos: 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Da reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais .
Como vimos, os números racionais não bastam para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os pontos da reta correspondentes aos números , , etc. não são alcançados com os números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta. 
Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de comprimento. 
OBSERVAÇÃO: 
São reais: 
Os números naturais; 
Os números inteiros;
Os números racionais;
Os números irracionais; 
EXERCÍCIO 1
Item 1. Números Naturais 
Questão 01. Responda sim ou não. Quando a resposta for não, justifique-a.
Todo número natural tem um único sucessor?
Números naturais diferentes podem ter sucessores iguais?
Existe algum número natural que não é sucessor de nenhum outro?
Todo número natural tem antecessor em |N ?
A soma de dois números naturais é sempre um número natural?
ITEM 2. Números Inteiros 
Questão 01. Que número é?
a) b) c) d) 
Questão 02. Qual temperatura é maior?
a) ºC ou 4 ºC?
b) ºC ou ºC?
Questão 03. Determine as seguintes somas:
1
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Questão 04. Calcule o valor das seguintes somas algébricas:
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 05. Considere , e 
Qual é o valor de 
Qual é o valor de 
Qual é o valor de 
Qual é o valor de 
Dentre e , qual deles e menor?
Entre e , qual deles é maior/
Questão 06. Simplifique a escrita e calcule as diferenças:
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 07. Calcule o valor das seguintes expressões:
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 08. Determine os produtos:
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
l) 
m) 
Questão 09. Efetue as divisões:
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Item 3. Números Racionais 
Questão 01. Qual é a soma?
a) b) 
c) d) 
e) f) 
 Questão 02. Qual é o valor da expressão 
Questão 03. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) 
b) 
Questão 05. Qual é o valor de 
Questão 06. Se A representa um número e , então responda: 
Qual é o valor de A?
Qual é o valor de – 27 . A?
Qual é o valor de ?
Questão 07. Determine o valor de 
Questão 08. As letras x e y representam números racionais. Se e responda:
Qual é o valor de x?
Qual é o valor de x – y ?
Qual é o valor de – x + y ?
Qual é o valor de