ENGENHARIA ECONÔMICA. parte 3

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MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE 
DE INVESTIMENTOS 
SÉRIES PERIÓDICAS 
UNIFORMES 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• As séries periódicas uniformes podem ser divididas em: 
• i) Séries postecipadas: em que os pagamentos ocorrem no final de cada 
período e não na origem; Ex: fatura do cartão de crédito. 
• ii) Séries antecipadas: onde os pagamentos são feitos no início de cada 
período respectivo; ex: financiamento com pagamentos à vista. 
• iii) Séries diferidas: o período de carência constitui-se em um prazo que 
separa o início da operação do período de pagamento da 1ª parcela; ex: 
promoções do tipo “ compre hoje e comece a pagar só daqui a 40 dias” 
• Quando o 1° pagamento ocorre no início do primeiro período após o termino 
da carência, temos uma série diferida antecipada. 
• Quando ocorre no fim, temos uma série diferida postecipada 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Séries uniformes postecipadas 
• Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no final de cada período: 
 
 
• R 
 
• 0 1 2 3 4 n 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Séries uniformes antecipadas 
• Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período: 
 
 
• R 
 
• 0 1 2 3 n – 1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Séries uniformes diferidas 
• Série diferida antecipada: 
 
 
• R 
 
• 0 (carência) c c +1 c +2 c +3 c +n 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Séries uniformes diferidas 
• Série diferida postecipada: 
 
 
• R 
 
• 0 (carência) c c +1 c +2 c +3 c +n +1 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• 5.1 Valor presente de séries periódicas uniformes 
• O valor presente de uma série de parcelas uniformes e postecipadas (termos vencidos) 
representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0) 
• O diagrama de fluxo mostra o processo de desconto: 
 
  41  iR
  niR 1
  31  iR
  21  iR
  11  iR
0
1 2 3 4
n
P
R R R R R
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Valor presente dos termos da série: 
 
 
 
 
• O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma 
progressão geométrica finita. 
     
        n
n
iiiiRP
i
R
i
R
i
R
i
R
P










1....111
1
....
111
321
32
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Utilizando a fórmula conhecida da soma das progressões geométricas, 
podemos desenvolver a seguinte expressão para valor presente de uma série 
uniforme com n termo postecipados capitalizados à taxa efetiva i: 
 
 
• Onde: 
• é o 1°termo da série = 
• é o n – ésimo termo da série = 
• q é a razão da série = 
 
 









q
qaa
RP n
1
1
1a   11  i
  ni 1
na
  11  i
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Substituindo as respectivas expressões, temos as seguinte fórmulas para o 
cálculo do principal e das prestações: 
 
 
• Ou 
 
 
• E: 
 
     
 











1
11
11
111
i
iii
RP
n  
  %1
11
inn
n
aR
ii
i
RP 









 
  







ii
i
P
R
n
n
1
11
 





 


i
i
RP
n
11
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• As fórmulas anteriores permitem calcular o valor presente (P) das séries 
uniformes postecipadas e o valor unitário dos termos da série (R). A 
expressão matemática entre colchetes é conhecida como fator de valor 
presente de séries uniformes. 
• Internacionalmente a expressão recebe o símbolo onde n representa o 
n° de termos da série e i a sua taxa de capitalização. 
 
%ina 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.1 – Um bem é cujo o preço à vista é de $4000 será pago em oito 
prestações mensais iguais que vencem ao fim de cada mês. Considerando 
que o juros composto cobrado é de 5% a.m. Calcule o valor das prestações. 
• Dados: P= $4000; i = 5% a.m, n = 8,R = ? 
 
  
 
89,618$
46321,6
4000
05,005,1
105,1
4000
8
8
%58












a
P
R
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Exercício 1 – Nas lojas Fast Shop uma Tv de Plasma de 42 “ Panasonic Viera está 
sendo oferecida com preço à vista de R$2.230,67. Descubra o valor de sua prestação à 
prazo se a tx de jrs anunciada é de 1,99% a.m e o prazo é de 12 meses. 
• Exercício 2 – Considere que a pessoa ao comprar esta TV deu uma entrada de 35% 
sobre o valor à vista, calcule o valor das prestações. 
• Exercício 3 – As Lojas Magazine Luiza e Americanas .com oferecem o cooktop 
Brastemp por indução por R$1.999,90 e R$ 2650,35, respectivamente,assim como suas 
respectivas taxas de juros por este produto à prazo são de 2,99% a.m e 1,99%a.m para 
compras em 10 meses. Calcule em qual das lojas o valor pago total sairá mais caro na 
compra à prazo. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• TV Monitor Plasma 42" HD (1.024 x 768) / Tempo de Resposta 1 ms / 2 Entradas 
HDMI / Leitor de cartão SD - Viera Panasonic - TCP42X10B 
• 
 De: R$ 2.899,00 
Por: R$ 2.203,67 à vista 
Ou 12x de R$ 208,25 iguais 
com juros de 1,99% a.m. e 26,68% a.a. 
Total a prazo: R$ 2.499,00 
Cooktop Elétricos 
Vitrocerâmico 4 Bocas 
- Brastemp BDF60AESNA 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.4 – No ex 5.1considerando que no ato da compra foi paga uma entrada 
de 20% juntamente com a 1ª prestação (prestações antecipadas),calcular o 
valor das prestações. 
• Dados: P = $4000, i = 5%, n = 8, Entrada(E) = R + $800, R =? 
• As prestações são calculadas com base no financiamento efetivo (valor à 
vista menos a entrada e menos a 1ª prestação, pagas no ato da compra): 
 
 
 
 
 
53,471$
78637,5
3200
05,0
05,11
8004000
05,005,1
105,1
8004000efetivo toFinaciamen
7
7
7
%57%1








 



















R
R
R
RR
a
EP
a
R
in
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.6 – A juros efetivos de 3% a.m, determinar o tempo necessário pra 
liquidar um financiamento de $842,36 por meio de prestações mensais 
postecipadas de $120. 
• Dados: i =3% a.m, R = $120, P = 842,36,n = ? 
 
 
 
 
    meses 826677,1log03,1log
26677,103,1
03,0
03,11
03,003,1
103,1
12036,842
%3







 











nn
aRP
n
n
n
n
n
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.8 – Quanto se deve aplicar hoje em um investimento para poder retirar 
$100.000 no fim de cada mês, durante os próximos 20 meses, considerando 
uma taxa de juros nominal de 120% a.a cap. mensal.?• Dados:R = $100.000, n = 20 meses, j = 120%a.a. k = 12, P = ? 
• Taxa efetiva ao mês: 
 
 
• Valor da aplicação: 
 
  
35,851$
10,0
10,11
000.100
20
%1020







 



P
aRP
  amii mm %10
12
20,1
11 






MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Calcular o valor das prestações mensais postecipadas iguais e consecutivas 
que liquidam um débito de $200.000 no prazo de 6 meses, sendo a taxa de 
juros efetiva de 18% a.m para os primeiros 3 meses e de 20% para os demais. 
Dados:P = 200.000, i1-3 = 18%am, i4-6 = 20%am, R = ? 
 
   
 
73,864.57$
1,18
1
 
20,0
20,11
 
18,0
18,11
000.200
3
33












 





 


R
RR
 
  

6-4 PRESTAÇÕES DAS VP
3%203
3-1 PRESTAÇÕES DAS VP
%183
1,18
1
 





 aRaRP
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Exercício 4 – Com uma taxa de juros de 2,4%a.m, calcule o valor das 7 prestações 
postecipadas pagas para liquidar um empréstimo de $4.583,20. 
• Exercício 5 – Um eletrodoméstico no valor de $5030,00, pode ser financiado a taxa de 
0,8125% a.m caso esse financiamento seja divido em até 10 prestações mensais 
postecipadas . Se um indivíduo der 20% de entrada no ato da compra,qual o valor a ser 
pago? 
• Exercício 6 – Determine o valor das prestações mensais postecipadas iguais e 
contínuas que liquidam um débito de $28.800, no prazo de 12 meses, sendo a taxa 
efetiva de 7%a.m do 1° ao 4°mês, 5%a.m do 5° ao 8° mês e 6%a.m do 9° ao 12° mês. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.15 – Uma compra no valor de $50.000 foi financiada em 12 prestações mensais 
antecipadas. Considerando juros efetivos de 8% am, calcular o valor das prestações. 
Dados: P = $50.000,n = 12, i = 8%am, R = ? 
• 0 1 2 3 4 5.............................................11 
 
• R =? 
• Calculo das prestações: 
• As prestações são calculadas sobre o financiamento efetivo ($50.000 menos a 
prestação paga no ato): 
 
 
 
 
29,143.6$
13896,7
000.50
08,0
08,11
000.50efetivo ntoFinanciame
11
%1








 






R
RR
a
R
in
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.17 – Uma empresa aplica juros efetivos de 12% a.m nas vendas a prazo e 
exige a quitação em 7 prestações mensais antecipadas. Considerando que em 
determinada venda realizada o valor de cada uma das quatro prestações foi de 
$4.000 e das 3 últimas, de $10.000, calcular o valor do financiamento efetivo. 
Dados: n= 7, R =$4000 e $10000, i = 12% am, Financiamento efetivo =? 
• P 0 1 2 3 4 5 6 
 
• $4.000 $10.000 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Cálculo do principal: 
 
 
 
 
 
 
 
• Financiamento efetivo: 
• Financiamento efetivo = P – 4000 = 30.703,09 – 4000 = 26.703,09 
 
   
 
     
09,703.30$
71178,040183,2000.1040183,2000.4000.4
12,1
12,0
12,11
000.10
12,0
12,11
000.4000.4
3
33















 














 



P
P
    
    
6-4 PRESTAÇÕES DAS VP
3
%123
3-0 PRESTAÇÕES DAS VP
%123 12,1000.10000.4000.4

 aaP
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.20 – Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 4 
alternativas de pagamento: 
• A) Pagamento à vista de $2.300 
• B) Pagamento de 8 prestações mensais de $431,12 cada; 
• C) Pagamento de 4 prestações mensais de $965,75 cada, sendo a 1ª paga 
daqui a 4 meses. 
• D) Um único pagamento de $4.930,26 daqui a 8 meses. 
• Considerando juros efetivos de 10% a.m,qual será o melhor esquema de 
pagamento? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Cálculo dos valores presentes dos planos de pagamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Do ponto de vista financeiro, as quatro alternativas são equivalentes, visto que, à taxa de 
juros de 10% a.m, os respectivos VP´s são iguais a $2300. A escolha do melhor plano será 
feita considerando a situação particular da pessoa. Se ela dispor de recursos necessários 
($2300) e não vislumbra alternativas p/ aplicar seu dinheiro no mercado financeiro, obtendo 
no mínimo 10% a.m, nesse caso talvez a melhor compra seja à vista. 
 
 
    
 
 
300.2$46651,0930.4
10,1
1
930.4d)
300.2$75131,016987,375,965
10,1
1
1,0
10,11
75,9651,175,965c)
2300$33493,512,431
1,010,1
110,1
12,43112,431$b)
300.2$ a)
8
3
8
3
%104
8
8
%108



















 













P
aP
aP
P
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Séries diferidas 
• Ex 5.22 – Um financiamento de $50.000 será pago em 12 prestações mensais a 
juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado em período de 
carência de 3 meses, calcular o valor das prestações antecipadas e 
postecipadas. Dados: P =50.000, n = 12, c =3, i = 8%a.m, R =? 
• A) Prestações antecipadas: 
• Nesse caso, a 1ª parcela será paga no início do 1° mês que se segue ao 
término da carência 
• P = $50.000 ------ carência ------ 
• 0 1 2 3 4 5 14 mês 
 
• R = ? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Durante a carência, os juros são capitalizados e incorporados ao principal, logo 
as prestações devem ser calculadas sobre o principal capitalizado ‘ c – 1’ 
períodos, onde c é a carência: 
 
• P= $50.000 P2= 50000(1,08)
2 = 58.320 
• 0 1 2 3 4 5 14 mês 
 
• R = ? 
 
 
 
   
 
77,738.7$
53608,7
320.58
08,0
08,11
08,1500001
12
2
%812
1
%812
2 





 








a
iP
a
P
R
c
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• B) Prestações postecipadas: 
• Nesse caso, o pagamento da 1ª parcela ocorrerá no fim do 1° mês que se 
segue após o término da carência. Logo as prestações deverão ser 
calculadas sobre o principal capitalizado durante ‘c’ períodos, onde c é a 
carência: 
 
 
• P= $50.000 P3= 50000(1,08)3 = 62.985,60 
• 0 1 2 3 4 5 6 15 mês 
 
• R = ? 
 
 
 
87,8357$
53608,7
60,985.62
%812
3 


a
P
R
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.23 – Um financiamento de $40.000 será pago em 8 prestações mensais de 
$6.413,44. O iníciodo pagamento das prestações será logo ao término de determinado 
período de carência. Considerando juros efetivos de 3%a.m, determinar o período de 
carência. Dados: P = 40.000, n =8, i = 3% a.m, R = 6.413,44, c= ? 
• Dada a carência,as prestações devem ser calculadas com base no principal 
capitalizado por c -1 meses: 
 
 
 
 
 
 
 
  51
03,1ln
12550937,1ln
12550937,1ln03,1ln1
12550937,103,1
019692,7
03,1000.40
03,0
03,11
03,1000.40
44,413.6
1
1
1
8
1
%38
1









 










cc
a
iP
R
c
cc
c
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.25 – Um bem cujo o valor à vista é de $10.000 será pago por meio de uma entrada 
de 20%, mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e um pagamento final 
junto com a última prestação. Considerando juros efetivos de 4% a.m e um período de 
carência de 3 meses, calcular o valor do pagamento final. Dados: P=10.000, entrada 
(E)=2.000, R = 800, i = 4%a.m,q = ? 
• P =10.000 
• 0 1 2 3 4 5 15 mês 
• carência 
• E =2.000 R = 800 q= ? 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Como as prestações são antecipadas, seu pagamento começa no início do 1° 
mês após término da carência. Pelo princípio de equivalência de capitais, o 
valor à vista é igual ao valor presente do fluxo de pagamentos de alternativa 
compra parcelada, logo: 
 
   
08,106.1$
80094,108160,1
98565,9800
8000
04,104,1
800
2000000.10
152
%413






q
q
qa
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• 5.2 – Montante de séries periódicas uniformes 
• O valor futuro ou montante de uma série de pagamentos ou recebimentos 
uniformes será igual à soma dos montantes de cada prestação em 
determinada data futura, calculados pela mesma taxa de juros. 
Considerando-se uma série postecipada com n termos uniformes, seu valor 
presente é: 
• ou 
 
• P S =? 
• 0 1 2 3 n 
• 
• R 
 





 


i
i
RP
n
11  
 









ii
i
RP
n
n
1
11
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Uma expressão p/o montante pode ser obtida se capitalizarmos por n 
períodos os valor presente da série: 
 
 
 
 
 
 
 
  %
%
11
11
1
1
11
1
in
n
in
n
n
n
n
n
s
S
i
i
S
R
sR
i
i
RS
i
ii
i
RiPS







 






 










MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• As fórmulas apresentadas permitem o cálculo do montante e do valor dos termos da 
série postecipada. A expressão entre colchetes é conhecida como fator de valor futuro 
de séries uniformes. 
• Internacionalmente, é representado pelo símbolo . Para entender melhor o 
processo de capitalização implícito nas fórmulas de cálculo de séries de pagamentos 
uniformes, mostramos no quadro a seguir os cálculos necessários para chegar ao 
montante de cinco depósitos mensais iguais, aplicados a juros efetivos de 10%a.m. 
 
%ins 
Mês Depósito Períodos de 
capitalização 
Cálculo Montante no 5° mês 
1 360 4 360 x (1,1)4 $527,08 
2 360 3 360 x (1,1)3 $479,16 
3 360 2 360 x (1,1)2 $435,60 
4 360 1 360 x (1,1)1 $396,00 
5 360 0 360 x (1,1)0 $360,00 
Total $2.197,84 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• No quadro acima,cada depósito foi capitalizado até o quinto mês de modo 
que possamos calcular o montante.Podemos também usar diretamente a 
fórmula para o cálculo do montante dos cinco depósitos ao término do 5° 
mês: 
• 
 
• È claro que o modo mais simples é calcular diretamente por meio da fórmula. 
 
84,197.2$1051,6360
1,0
11,1
360
5
% 




 
 insRS
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.26 – Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse 
a cada final de mês $350 em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% 
a.m? Dados: n =15meses,R = 350, i= 5%a.m, S =? 
 
 
50,552.7$57856,21350
05,0
105,1
350
15
%515 




 
 sRS
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.28 – Calcular o capital formado daqui a 5 meses mediante cinco 
aplicações mensais e consecutivas de $100 cada. Considere que os depósitos 
são realizados: a) 1° daqui a 30 dias; b) o 1° hoje. Os juros são calculados à 
razão de 10% a.m. Dados: R =100, n = 5, i = 10%, S5 = ? 
• A) 1° depósito daqui a um mês (postecipado): 
 
• S5 =? 
• 0 1 2 3 4 5 mês 
 
• R = $100 
 
 
51,610$10510,6100
1,0
11,1
100
5
%105 




 
 sRS
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• B) 1° pagamento no ato ( antecipado): 
 
• 
• S5 =? 
• S4 
• 0 1 2 3 4 5 mês 
 
• R = $100 
• Atenção: 
• Na série postecipada, o produto do valor da prestação vezes o fator representa o 
montante da série ao fim do 5° mês (coincide com o período em que ocorre o último 
termo da série). 
• No caso antecipado, esse produto representa o montante ao fim do 4° (coincide com o 
período em que ocorre o último termo da série), sendo necessário capitalizá-lo por mais 
um período (do 4° ao 5° mês), pois o exemplo pede calcular o montante no 5° mês. 
 
 
        56,671$1,110510,61001,145  SS
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.30 – Uma pessoa deseja comprar um bem cujo valor à vista é de $3.480. 
Para tanto, resolve começar hoje e efetuar 4 depósitos trimestrais iguais em 
uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 12,55% a.a. 
Considerando que a compra será efetuada um trimestre após o últimos 
depósito, calcular o valor das aplicações trimestrais de modo que seja 
possível efetuar a compra com valor de resgate do investimento. 
• Dados: S4= 3.480, n = 4, ia = 12,55%a.a, R =? 
• Taxa de juros efetiva trimestral: 
 
   
      taii
ii
tt
ta
.%31255,11255,1
11
4/14
4


MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Calculo das prestações: 
• Podemos calcular o valor dos depósitos trimestrais considerando que o 
montante da aplicação ao final do 4° trimestre (S4) deve ser igual ao valor à 
vista do bem: 
 
 
 
 
 
• S4 = $3.840 
• S3 
• 0 1 2 3 4 trim. 
 
• R = ? 
   
       
13,891$
03,118363,4
840.3
03,1
03,0
103,1
03,1840.3
1
4
%34
34


















 


R
RsR
iSS
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex 5.31 – Inicialmente uma pessoa deveria pagar pela compra de um 
eletrodoméstico 4 prestações mensais de $80 cada (a 1ª p/ 30 dias), mais 3 
prestações de $60. Entretanto, a loja oferece outro esquema de pagamento 
em que o cliente faz um único pagamento daqui a 5 meses. Considerando-se 
uma taxa de juros de 6%a.m, qual é o valor desse pagamento único? 
 
• 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 
 
• R =$60 
• R = $80 x = ? 
 
• Para serem equivalentes, os dois planos devem ter o mesmo valor ao fim do 
5° mês. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Valor do pagamento único = valor do plano inicial ao fim do 5° mês 
 
   
   
   
97,540$
83339,1606006,137462,480
606006,180
06,0
06,11
606006,1
06,0
106,1
80
%62%64
24
















 














 


X
X
as
X
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.32 – Uma pessoa pretende depositar todo final de ano, durante 20 
anos,$10.000 em um fundo que rende juros efetivos de 15%a.a. O montante 
acumulado deverá ser resgatado a partir do 21° ano por meio de 3 saques 
anuais iguais e consecutivos. Calcular o valor dos saques. 
• R = $10.000 
 
• 0 1 2 3 20 21 22 23 anos 
 
• R = ? 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• No 20° ano o montante dos depósitos deverá ser igual ao valor descontado 
dos 3 saques: 
 
   
 
29,679.448$
2832,24438,102000.10
15,015,1
115,1
15,0
115,1
000.10
000.10
3
320
%153%1520















 


R
R
R
aRs
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.34 – Uma poupança que paga juros efetivos de 1% a.m foi aberta com 
um depósito de $6.500. Efetuando depósitos mensais de $442,37, o 1° p/30 
dias depois de aberta a poupança, em quantos meses acumula-se um 
montante de $80.000? Dados: R =$442,37, S =$80.000, deposito in. = $6.500, 
i =1% a.m, n= ? 
• O montante acumulado deve ser igual ao depósito de abertura capitalizado n 
períodos mais o montante correspondente a n depósitos mensais: 
 
 
 
 
 
 
 
90
01,1log
4486,2log
4486,201,1
01,0
101,1
37,44201,1500.6000.80
1500.6 %1







 


n
sRiS
n
n
n
n
n
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex. 5.40 – A juros efetivos de 2% a.m, quantos depósitos mensais de $400 são 
necessários p/acumular um capital de $4.000? Dados: S = $4.000, i = 2%am, R = 400, 
n =? 
 
 
 
 
 
• Devem ser efetuados 9 depósitos mensais de $400 e um último, no 10° mês, de valor 
inferior.Para calcular o depósito final considera-se que o valor desse depósito (q) mais 
o montante dos nove depósitos capitalizados até o 10° mês deve ser igual a $4.000: 
 
 
 
 
 
 
 
206,9
02,1ln
20,1ln
20,102,1
02,0
102,1
400000.4
%2






 


n
sRS
n
n
n
 
  11,20$02,1
02,0
102,1
4004000
9





 
 qq
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• 5.3 - Cálculo da taxa de juros em séries periódicas uniformes. 
• 5.3.1 – Taxa aproximada: interpolação linear. 
• Muitas vezes não é possível calcular a taxa de juros exata implícita em uma 
série de pagamentos/recebimentos, pois na maioria das vezes o cálculo 
requer a resolução de um polinômio de enésimo grau. 
• Contudo, a taxa pode ser aproximada usando-se um processo de interpolação 
linear que fornece um valor aproximado. 
• A mecânica do processo de interpolação será mostrada com alguns exemplos 
a seguir. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.42 – Um equipamento é vendido a prazo por meio de uma entrada de 20% mais 9 
prestações mensais de $17.337,75. Considerando o valor à vista de $120.000, calcular 
a taxa de juros efetiva cobrada. Dados: P =$120.000, entrada = $24.000, R = 
$17.337,75, n = 9, i = ? 
• Levando em conta que as prestações devem ser calculadas a partir do financiamento 
efetivo, podemos destacar o fator de VP das séries uniformes da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
• Encontramos este número na tabela financeira do apêndice, em que n = 9 e i =11% o 
fator financeiro é 5,53705. 
 
 
53705,5
53705,5
000.24000.120
75,337.17$
entradaefetivo ntofinanciame
%119
%9
%9
%9%















a
a
a
a
P
a
R
i
i
iin
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Ex.5.43 – Calcular a taxa de juros mensal efetiva à qual foi tomado um 
financiamento de $300.000 que será liquidado em 18 prestações mensais de 
$37.758,88. Dados: P = $300.000,n = 18, R = 37.758,88, i = ? 
• Fator de VP de série uniformes: 
 
 
 
 
• A seguir, o fator = 7,94515 será aproximado por meio de uma 
interpolação linear, a fim de se estimar a incógnita i. 
• 
 
 
%18 ia 
94515,7
000.300$
88,758.37$ %18
%18
%





i
i
in
a
a
a
P
R
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Interpolação Linear: 
• Embora o fator seja uma função exponencial, podemos admitir que,em 
intervalos pequenos, o comportamento dessa função é linear. 
• Isso nos conduz a um erro desprezível, pois estamos trabalhando com 5 
casas decimais em um intervalo pequeno. 
• Podemos começar calculando o fator p/diversos valores de taxas de 
juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear: 
 
%18 ia 
%18 ia 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
• Gráfico – interpolação linear 
 

 

9451,7
A
D
C
B
polinômio do curva
linear oaproximaçã
juros de taxa
%10 *i i% %11
i%a 18
2014,81018  %a
7016,71118  %a
ãointerpolaç pela aproximada taxa
exata taxa
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
• A taxa exata deve satisfazer o polinômio representado pela 
curva, enquanto a taxa aproximada é o valor da interpolação. Observando a 
figura, podemos estabelecer a seguir, a seguinte relação proporcional entre 
os triângulos: 
i% 
9% 8,75563 
10% 8,20141 
11% 7,70162 
94515,7%18 ia
 
  ii
i
a i



18
18
%18
1
11
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANALISE DE INVESTIMENTOS 
 
 
 
 
• Logo: 
 
• Observe que a interpolação foi realizada entre as taxas de 10% e 11%, pois 
o fator procurado pode ser obtido p/alguma taxa de juros 
aproximada entre 10% e 11%. 
i




11
70162,794515,7
1011
70162,720141,8
C
D
B
A

  mai .%51,10%10%11
70162,720141,8
70162,794515,7
%11 








94515,7%18 ia