Calculo 1 -Unidade 3

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Funções
UNIDADE 1
Cálculo Diferencial e 
Integral
UNIDADE 1
Cálculo Diferencial e 
Integral 
UNIDADE 2
APÊNDICE
UNIDADE 3
APÊNDICE
UNIDADE 3
LIVRO
Gabriela Faria Barcelos Gibim
Regras de Derivação
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Sumário
Unidade 3 | Regras de Derivação
Seção 3.1 - Derivada do produto e quociente
Seção 3.2 - Regra da Cadeia
Seção 3.3 - Derivada Exponencial e Logarítmica
Seção 3.4 - Derivadas Trigonométricas e Derivadas Sucessivas
5
7
19
31
43
Unidade 3
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Com a introdução do estudo de derivadas na unidade anterior, você 
aprendeu que a derivada se refere à taxa de variação instantânea e à 
inclinação da reta tangente num ponto. Também viu que a definição de 
derivadas usa a noção de limite e pode ser calculada por esse meio, mas 
como foi visto, os cálculos de derivadas podem ser simplificados com o 
uso de fórmulas já estabelecidas. Portanto, é fundamental conhecer as 
funções e as regras de derivação existentes para aplicá-las corretamente. 
Afinal, as derivadas são muito usadas em áreas como engenharia, ciência, 
economia, medicina e ciência da computação para, por exemplo: calcular 
a velocidade e a aceleração, explicar o funcionamento de máquinas, 
estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora 
de um tanque, prever as consequências de erros cometidos durante 
as medições, dentre outras situações. Ou seja, o conhecimento das 
regras de derivação é importante para facilitar a resolução de situações-
problema em várias áreas. Aperfeiçoe-se! Bons estudos! A partir deste 
estudo, você irá: 
Convite ao estudo
Competência a ser desenvolvida:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do profissional da área 
de exatas.
Objetivos:
Ŕ� $POIFDFS�BT�SFHSBT�EF�EFSJWB£ŸP��QSPEVUP
�RVPDJFOUF
�SFHSB�EB�DBEFJB
�
derivada exponencial e logarítmica e trigonométrica.
Ŕ� $POIFDFS�F�BQMJDBS�BT�SFHSBT�EF�EFSJWB£ŸP�OB�EFTDSJ£ŸP�EF�GFO°NFOPT�F�
situações-problema.
Para auxiliar no desenvolvimento da competência acima e atender aos 
objetivos específicos do tema em questão, Regras de Derivação, vamos 
relembrar a situação hipotética apresentada nas UNIDADES 1 e 2. Esta situação 
visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática. Vamos relembrar!
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá participar de um 
processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como 
estagiário. Para tanto, precisa realizar um teste a fim de mostrar que é 
capaz de compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. 
A empresa entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, 
pode atuar em diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a 
Matemática é fundamental, principalmente no que diz respeito ao estudo, 
agora, de derivadas. Portanto, João terá que resolver situações-problema 
que tratam de entender a interdependência de várias coisas ao nosso 
redor, das mais simples às mais complexas, como valor de despesas 
de uma família, número de indivíduos de uma população, cálculo de 
velocidade e aceleração etc.
Regras de Derivação
U3
7
Seção 3.1
Derivada do Produto e Quociente
Diálogo aberto
Ei, aluno! Vamos para mais uma seção de autoestudo? 
No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivadas já percebeu que é 
possível calcular a derivada de uma função tanto por meio de sua definição (o 
cálculo que envolve limites) quanto por uma forma mais simplificada, que é por 
meio do uso de fórmulas definidas.
Na unidade anterior foram apresentados o conceito e as regras de 
derivadas: de uma função constante, de uma função potência com 
expoente real, de uma função multiplicada por constante e quando 
há soma ou subtração de duas funções deriváveis. Se necessário, 
reveja as SEÇÕES 2.3 e 2.4. Veja também o link disponível em: <http://
pt.numberempire.com/derivativecalculator.php>. Acesso em: 29 jul. 2015.
Dica
A utilização das regras de diferenciação irá facilitar ainda mais as 
SFTPMV£±FT� EBT� EFSJWBEBT� EF� EJGFSFOUFT� QPMJO°NJPT�� 7PD¦� QSFDJTB� UFS�
atenção, pois aprendemos que a derivada da soma será a soma das 
derivadas e o mesmo no caso da subtração, mas isso não ocorre para 
o produto e quociente das derivadas. Vamos ver como é?
Lembre-se
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi o seguinte: 
6NB�DPNQBOIJB�UFMFG°OJDB�RVFS�FTUJNBS�P�O¶NFSP�EF�OPWBT�MJOIBT�SFTJEFODJBJT�
Regras de Derivação
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que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro tinha 100.000 assinantes, 
cada um com 1,2 linhas, em média. A companhia estimou o crescimento das 
assinaturas a uma taxa mensal de 1000. Pesquisando os assinantes existentes, 
EFTDPCSJV� RVF� DBEB� VN� QSFUFOEJB� JOTUBMBS� VNB�N¥EJB� EF� �
��� MJOIB� UFMFG°OJDB�
nova até o final daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia 
deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas 
no começo do mês.
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conceito de derivada e regras de derivação.
Reflita
Não pode faltar 
A derivada de um produto entre duas funções é o produto da primeira função 
pela (vezes) derivada da segunda, somando como o produto da segunda pela 
(vezes) derivada da primeira. A regra só será válida se as funções f e g forem 
diferenciáveis:
 [f(x).g(x)]= f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)]
Ou seja, considere que f(x) seja a primeira função e g(x) seja a segunda.
Assimile
Usando a notação linha, pode-se escrever a mesma regra de derivação 
do produto de duas funções como: 
[f(x).g(x)]’ = f(x).g’(x) + g(x).f’(x).
É importante perceber que é possível utilizar muitas notações distintas 
para tratar de derivadas, sendo que significam a mesma coisa, como foi 
Reflita
Regras de Derivação
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comentado anteriormente. Verifique que é possível chegar a essa fórmula 
para calcular a derivada do produto de duas funções diferenciáveis 
partindo da definição da derivada.
Vamos relembrar! Uma função f(x) é diferenciável se existir o limite em x quando:
Ao aplicar essa definição na regra do produto, tem-se:
Exemplificando
Encontre as derivadas de y= (4x² -1). (7x³+x)
1º método 
Exemplificando!
Encontre as derivadas de y= (4x² -1). (7x³+x)
Considerando como f = (4x² -1) e g=(7x³+x), vamos substituir na fórmula: 
Regras de Derivação
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 [f(x).g(x)]= f(x) [g(x0] + g(x) [f(x)]
 [f(x).g(x)]= (4x² -1). [g(7x³+x)] + (7x³+x). [(4x² -1)]
 [f(x).g(x)]= (4x2 -1). [g(7x3+x)] + (7x³+x). [(4x² -1)]
 [f(x).g(x)]= [(4x² -1).(21x² + 1)] + [(7x³+x).(8x)]
 [f(x).g(x)]= [84x4 + 4x² - 21x² -1]+ [56x4 + 8x²]
 [f(x).g(x)]= 140x4 - 9x² - 1
Mas seria essa a única forma de resolver a derivada dessa função? O que você 
acha? Não. Afinal, antes de resolver a derivada é possível efetuar as multiplicações 
entre os fatores apresentados na função e então resolver a derivada. 
Exemplificando
Existe outro método para realizar o produto entre as derivadas, que 
consiste primeiramente em multiplicar f(x) = (4x² -1) e g(x)=(7x³+x), 
f(x) e g(x) = (4x²-1).(7x³+x) = 28x5 + 4x³-7x³ - x = 28x5 -3x³ - x
Depois de realizada a derivada, teremos:
 = (28x5 -3x³ - x) = 140x4 - 9x² - 1
Portanto, os dois métodos são válidos para a derivação de produtos.
Regra do quociente
Ao derivar a função na forma Q(x) = f(x)/g(x), queremos uma fórmula para Q’ 
em função de f’ e de g’, supondo que Q seja diferençável, poderemos usar a regra 
do produto para f(x) = Q(x)g(x). 
A derivada de um quociente é o denominador pela (vezes) derivada do 
numerador menos o numerador pela (vezes) derivada do denominador sobre 
(divididos) quadrado do denominador.
 [ ] = 
Regras de Derivação
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Ou seja, considere que f(x) seja o numerador da fração e g(x) seja o denominador 
(diferente de zero).
Usando a notação linha (f/g)', pode-se escrever a mesma regra de derivação do 
quociente de duas funções como:
Como foi apresentado para a regra do produto, observe como é possível chegar 
a esse resultado ao usar a definição de derivadas.
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Exemplificando
Calcule a derivada da função y = x-1.
Solução: Observe que essa função pode ser resolvida de duas formas: 
uma considerando o expoente negativo e derivando pela regra da 
potência; e a segunda considerando a regra do quociente de duas 
funções, pois y = x-1 = 1/x, sendo 1 uma função (constante) e x outra. 
Vamos ver como ficam os resultados executando as duas regras.
Aplicando a regra da potência, tem-se:
Aplicando a regra do quociente, tem-se:
O resultado para ambas as regras é o mesmo: derivada de y = x-1 é y’ = -x-2 . 
Mas certamente você observou que é mais fácil resolver uma derivada com a regra 
da potência do que com a regra do quociente. Portanto, cada vez que precisar 
resolver a derivada de um quociente, não vá direto à regra do quociente, tente 
primeiro colocar a função de uma forma mais fácil para diferenciá-la.
Regras de Derivação
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Exemplificando
Determine a derivada da função y = 
Vamos considerar f(x) = x² + x – 2 e g(x) = x³ + 6, o próximo passo será 
substituir na fórmula: 
 [ ] = 
 [ ] = 
 [ ] = 
 [ ] = 
Para saber mais sobre a regra do produto e quociente, você pode acessar 
o link: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/regras_derivacao/regras_
derivacao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2015. Nesta página você encontrará 
exemplos sobre cada uma das propriedades. Vale a pena conferir!
Pesquise mais
Faça você mesmo
Calcule a derivada da função f(x)= .
O presente conteúdo desenvolveu a regra do produto e quociente de derivadas. 
Vamos agora praticar? Chegou a hora de aplicar os conteúdos aprendidos na 
resolução de problemas!
Regras de Derivação
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Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a 
João? Vamos relembrar! 
6NB�DPNQBOIJB�UFMFG°OJDB�RVFS�FTUJNBS�P�O¶NFSP�EF�OPWBT�MJOIBT�SFTJEFODJBJT�
que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro tinha 100.000 assinantes, 
cada um com 1,2 linhas, em média. A companhia estimou o crescimento das 
assinaturas a uma taxa mensal de 1000. Pesquisando os assinantes existentes, 
EFTDPCSJV� RVF� DBEB� VN� QSFUFOEJB� JOTUBMBS� VNB�N¥EJB� EF� �
��� MJOIB� UFMFG°OJDB�
nova até o final daquele mês. Estime o número de novas linhas que a companhia 
deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas 
no começo do mês.
Solução:
Seja s(t) o número de assinantes e n(t)�P�O¶NFSP�EF�MJOIBT�UFMFG°OJDBT�QPS�BTTJOBOUF�
em um instante t, sendo que t é medido em meses e t = 0 corresponde ao início 
de janeiro. Então o número total de linhas (L(t)) é dado pelo número de assinantes 
multiplicado pelo número de linhas por assinante, ou seja, L(t) = s(t). n(t).
O problema pede para estimar o número de novas linhas que a companhia 
deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no 
começo do mês, que consiste em calcular o L’(0). Lembre-se de que a derivada é 
uma taxa de variação num dado instante!
Dados do problema:
assinantes em janeiro ⇒ s(0) = 100.000
número de linhas por assinantes em janeiro ⇒ n(0) = 1,2
taxa de crescimento mensal de assinantes ⇒ s’(0) ≅ 1.000
taxa de crescimento de novas linhas por assinante ⇒ n’(0) = 0,01
Como a função L(t) = s(t).n(t) é o resultado do produto de duas funções, 
sabemos que a derivada de L(t) pode ser calculada pela regra do produto como:
L’(t) = s(t). n’(t) + s’(t). n(t).
Substituindo os dados na equação da derivada, tem-se:
L’(0) = s(0). n’(0) + s’(0). n(0)
L’(0) = 100000 x 0,01 + 1000 x 1,2
Regras de Derivação
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L’(0) = 1000+1200 
L’(0) = 2200 ∴ A companhia precisou instalar aproximadamente 2200 novas 
MJOIBT�UFMFG°OJDBT�OP�N¦T�EF�KBOFJSP�
Veja que nesse exemplo não havia uma função definida, mas números 
estimados, e por isso foi possível resolver o problema. Além disso, perceba que 
os dois termos que aparecem na regra do produto vêm de fontes diferentes: os 
antigos e os novos assinantes. Portanto, L’ é o resultado do número de assinantes 
existentes vezes a taxa na qual eles ordenam novas linhas mais o número médio de 
linhas por assinante vezes a taxa de crescimento dos assinantes.
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas 
situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois 
compare-as com as de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.
Equação da reta tangente
1. Competências técnicas Não se aplica.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o estudo das funções na descrição de 
GFO°NFOPT�F�TJUVB£±FT�
3. Conteúdos relacionados Regra do produto e do quociente.
4. Descrição da Situação-Problema
Encontre a equação da reta tangente e da reta 
normal ao gráfico de    no ponto de 
abscissa 2.
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5. Resolução da Situação-Problema
A equação da reta tangente à curva   no 
ponto de abscissa 2 é dada por:
Observemos, inicialmente, que f(2)=10.
Para encontrar o coeficiente angular da reta no 
ponto de abscissa x=2, temos:
Derivando o quociente, obtemos:
e, portanto,
Assim, a equação da reta tangente procurada é:
Para encontrar a equação da reta normal à curva 
no ponto (2,10), lembramos que ela é perpendicular 
à reta tangente nesse ponto.  Logo, o coeficiente 
angular da normal é o oposto do inverso do 
coeficiente angular da reta tangente.
Assim a reta normal tem equação:
Faça valer a pena
1. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função y = (1)/(5x – 3) 
no ponto x = 1.
a) y’= 5/4.
b) y’= -4/5.
c) y’= -1.
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d) y’= -4/5.
e) y’= -5/4.
2. Apresente o cálculo da derivada de f(x)= 3 e g(x)= + 2.
3. Apresente o cálculo da derivada de 
4. Para simplificar ou facilitar o processo de derivação foram desenvolvidas 
regras de diferenciação ou de derivação de diferentes tipos de 
funções: polinomiais, racionais, algébricas, exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas e inversas trigonométricas. Ao utilizar a regra de produto 
derivação da função y = (2x-3). (x²- 5x), foi encontrada a derivação: 
a) 6x² - 26x + 15.
b) 12x²-26x+ 15.
c) 24x² - 26x.
d) 32x² - 26x.
e) 64x² - 26.
5. Quando queremos simplificar o processo de derivação de uma função 
na forma Q(x) = f(x)/g(x), podemos usar a regra do produto para f(x) = Q(x). 
g(x). Ao aplicar a fórmula do quociente da função y = , foi encontrada 
a seguinte derivada: 
a) y’= 
b) y’ = 
c) y’= 
d) y’= 
e) y’ = 
6. A derivada da função f(x) = tx é:
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a) t.
b) x.
c) tx.
d) 0.
e) 1.
7. A derivada da função y = x-1 pode ser resolvida de duas formas: uma 
considerando o expoente negativo e derivando pela regra da potência; e a 
segunda considerandoa regra do quociente de duas funções, pois y = x-1 
= 1/x, sendo 1 uma função (constante) e x outra. Assim, a alternativa que 
contém a derivada da função y é:
a) y’= -x2.
b) y’= -x-2.
c) y’= 1.
d) y’= x-2.
e) y’= 0.
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Seção 3.2
Regra da Cadeia
Diálogo aberto
A partir de agora iremos ampliar nossos estudos sobre as regras de derivação. 
Veremos, nesta seção, conhecimentos sobre regra da cadeia, pois as regras de 
derivação discutidas na seção anterior não são suficientes para calcularmos as 
derivadas de todas as funções na prática. 
Vimos que o estudo das derivadas, além de proporcionar uma visão sobre o 
comportamento da função num determinado instante, prevê o entendimento e 
a correta aplicação das regras de derivação. É por isso que o estudo do cálculo 
diferencial passa primeiro pelo estudo de funções. Afinal, as regras de derivação 
devem ser usadas levando-se em consideração o tipo de função a ser derivada, 
existindo, inclusive, regras específicas para determinadas funções.
Vamos lá! Bons estudos!
A regra da cadeia é uma das regras mais utilizadas em cálculo, 
especialmente quando se está trabalhando com funções 
trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, como será visto nas 
próximas seções. Portanto, aproveite e aprofunde seus estudos!
Dica
Nesta seção você aprenderá sobre a regra da cadeia que é usada para 
diferenciar funções compostas. Mas isso não significa que toda função 
composta só possa ser diferenciada pelo uso da regra da cadeia – e isso 
você verificará na seção a seguir.
Lembre-se
Regras de Derivação
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Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
4VQPOIB� RVF� VN� FOHFOIFJSP� EB� FNQSFTB� UFOIB� VN� DBSSP� FDPO°NJDP� RVF�
faça 20 km por litro de combustível. Sabe-se que a quilometragem que pode ser 
alcançada sem reabastecer é uma função do número de litros que há no tanque 
de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 reais no posto favorito 
do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real gasto em combustível? 
Considere que a quantidade de combustível disponível no tanque é uma função 
da quantia de dinheiro gasto no abastecimento. 
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema? 
Conhecer e aplicar a regra da cadeia.
Reflita
Não pode faltar!
Regra da Cadeia
Como já dissemos, as regras de derivação estudadas na seção anterior não são 
suficientes para calcular as derivadas de todas as funções que surgem na prática. 
Você, aluno, poderá certificar-se desse fato tentando calcular a seguinte derivada 
da função . Imagine também que para derivar a função y= (x8+ 7)20, você 
UJWFTTF�RVF�FYQBOEJS�FTTB�QPU¦ODJB�CJOPNJBM�QBSB�PCUFS�VN�QPMJO°NJP�EF�HSBV������
Esses e outros casos são resolvidos por meio da Regra da Cadeia. 
Desse modo, o processo de derivação chamado Regra da Cadeia é aplicado 
quando há a necessidade de derivar uma função composta. Mas, afinal, você 
lembra o que é uma função composta? 
Assimile
Como podemos derivar a função f(x)= ? Note que esta função 
é considerada como função composta, e para desenvolver a derivada 
precisaremos adotar alguns passos:
Regras de Derivação
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y = f(u) = e que u = g(x) = (x² + 1), que sabemos como derivar.
Agora poderemos escrever de maneira simplificada: y = f(u) = f(g(x)). 
Sabemos que quando derivamos estamos encontrando a taxa de 
variação de y em relação a x. Vamos considerar du/dx como a taxa de 
variação de u em relação a x, dy/du como a taxa de variação de y em 
relação a u.
Quando u variar duas vezes mais rápido que x e y variar três vezes mais 
rápido que u, então, pela lógica, percebemos que y irá variar seis vezes 
mais rápido que x.
Reflita
Definição de Função Composta
Dadas duas funções f e g, a função composta f∘g (também chamada de 
composição de f e g) é definida por (f∘g)(x) = f(g(x)).
O domínio de f∘g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que g(x) está 
no domínio de f. Em outras palavras, (f∘g)(x) está definida sempre que tanto g(x) 
quanto f(g(x)) estiverem definidas.
Em geral, f∘g ≠ g∘f. Lembre-se de que a notação f∘g significa que a função g 
(interna) é aplicada primeiro e depois a função externa (f) é aplicada. Verifique o 
exemplo a seguir.
Exemplificando
Considere f(x) = x2 e g(x) = x-3. Encontre as funções compostas f∘g e g∘f.
Solução: 
Para f∘g então f(g(x)), logo, (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x-3)2 = (x-3)2.
Para g∘f então g(f(x)), logo, (g∘f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2-3.
Observe que no primeiro caso (f bola g) a função resultante é obtida por 
subtrair 3 de x para então elevar ao quadrado. No segundo, primeiro x 
é elevado ao quadrado para então ser subtraído 3.
Regras de Derivação
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Definição da Regra da Cadeia
A regra da cadeia é a regra de derivação mais utilizada. Usamos essa regra 
quando a função a ser derivada é resultante da composição de outras funções. 
Dessa forma, a função composta f(g(x)) com f sendo a função de fora e g a função 
de dentro. Ou ainda,
z = g(x) e y = f(z), logo y = f(g(x)).
Lembre-se: Quando falamos em derivadas, é imediato lembrar que estamos 
tratando da taxa de variação num ponto. Em funções compostas podemos verificar 
que uma pequena variação em x, ∆x, gera uma pequena variação em z, ∆z, pois 
z=g(x), certo? Continuando a análise na função composta, essa variação em z gera 
uma pequena variação em y, ∆y, mais uma vez porque temos y = f(z). Sendo ∆x≠0 
e ∆y≠0, é possível escrever:
O que isso significa? Mostra a variação que ocorre em y com relação à variação 
ocorrida em x. Mas como estamos trabalhando com uma função composta, a 
variação que ocorre em x primeiro afetará a função z para então afetar a função y. 
Além disso, essa notação leva diretamente à regra da cadeia, afinal, como foi visto 
nas seções anteriores, a derivada é a inclinação da reta tangente num ponto, logo:
Temos então: 
= . 
= . , desde que os limites existam
= . 
Isso é o mesmo que escrever:
= . 
Quando a variação de z tende a zero, a variação de x também tende a zero, 
portanto a função g é contínua.
A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é o produto das 
Regras de Derivação
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derivadas das funções de fora e de dentro, lembrando que a função de fora precisa 
ser calculada com a função de dentro. 
A regra de cadeia poderá ser representada pela expressão matemática: 
Ŕ�<G	H	Y
>ō���Gō	[
�Hō	Y
�OPUB£ŸP�EF�MJOIB�
Ŕ� = . notação de Leibniz.
Atenção!
A regra da potência combinada com a Regra da Cadeia:
Se n for qualquer número real e u=g(x) for derivável, então:
Assim temos:
Exemplificando
Determine a derivada da função y = (x² + 2) 100
Vamos considerar:
 f(x) = (x² + 2) 100 e a sua derivada f(u) = u100
 g(x) = x² + 2 e a sua derivada g’(x) = 2x
Aplicando a Regra de Cadeia, teremos:
(f.g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)
(f.g)’(x) = 100(x² +2) 99. 2x
(f.g)’(x) = 200x (x² +2) 99. 2x
Regras de Derivação
U3
24
Exemplificando
Determine a derivada da função y = e (2x² -1)
Vamos considerar:
f(x) = e (2x² -1) a sua derivada f(u) = eu
 g(x) = 2x² - 1 e a sua derivada g’(x) = 4x
Aplicando a Regra de Cadeia, teremos:
(f.g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)
(f.g)’(x) = e (2x² -1). 4x
(f.g)’(x) = 4xe(2x² -1)
Exemplificando
Considere o sistema de rodas dentadas indicado na Figura 3.1. Quando 
a engrenagem A dá x voltas completas, a B dá u voltas e a C dá y voltas. 
Comparando as circunferências ou contando os dentes, nota-se que y 
= u/2 (C dá meia volta a cada volta inteira de B) e u = 3x (B dá 3 voltas 
a cada volta inteira de A). Calcule a variação de y com relação a x, ou 
seja, quanto varia a engrenagem C com relação à engrenagemA.
Figura 3.1 | Diagrama de rodas dentadas.
Fonte: extraído de Weir (2009, p. 188)
Solução - regra da cadeia: 
Regras de Derivação
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25
:
Solução 2 – cálculo da função:
Ao considerar que a derivada é uma taxa de variação, é possível 
observar que essa relação da derivada encontrada é razoável, pois se 
y = f(u) varia com a metade da rapidez de u, e u = g(x) varia três vezes 
mais rápido que x, espera-se que y varie 3/2 mais rápido que x.
Exemplificando
Encontre f'(u) se f(u) = .
Solução:
f'(u)= u-1/2 = e g'(x)= 2x
F'(x)= f'(g(x)). g'(x)
= . 2x 
= 
Regras de Derivação
U3
26
Lembre-se: É importante você simplificar a função a ser derivada toda vez que 
for possível, pois nem sempre apenas a regra da cadeia resolve a derivada - outras 
técnicas podem ser utilizadas, deixando o processo mais simples. 
Para saber mais sobre Função Composta e Regra da Cadeia, você 
pode acessar os links abaixo:
9	Boa explicação sobre funções compostas, utiliza exemplos 
simples. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/
FuncaoComposta.aspx>. Acesso em: 12 jun. 2015. 
9	Videoaula com boa explicação sobre a Regra da Cadeia. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=IQitdam5vi8&index=14&li
st=PL918074FE0AD0458B>. Acesso em: 12 jun. 2015. 14min 20seg. 
Vale a pena conferir!
Pesquise mais
Encontre f'(x) se f(x) = .
Faça você mesmo
Sem medo de errar
Após o estudo da Regra da Cadeia, vamos resolver a situação-problema 
apresentada a João? Vamos relembrar! 
4VQPOIB� RVF� VN� FOHFOIFJSP� EB� FNQSFTB� UFOIB� VN� DBSSP� FDPO°NJDP� RVF�
faça 20 km por litro de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 reais 
no posto favorito do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real gasto em 
combustível? Considere que a quantidade de combustível disponível no tanque é 
uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento. 
Regras de Derivação
U3
27
Solução:
9 Sabe-se que a quilometragem que pode ser alcançada sem reabastecer é uma 
função do número de litros que há no tanque de combustível. Em símbolos, se 
Z�GPS�P�O¶NFSP�EF�RVJM°NFUSPT�RVF�QPEF�TFS�BMDBO£BEP�F�V�GPS�P�O¶NFSP�EF�
litros de combustível disponíveis, então y é uma função de u, ou y= f(u). 
9 Considerando que a quantidade de combustível disponível no tanque é uma 
função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento, se x for o número de 
reais pagos no abastecimento, então u=g(x). 
9	���RVJM°NFUSPT�QPS�MJUSP�¥�B�UBYB�EF�WBSJB£ŸP�EB�RVJMPNFUSBHFN�FN�SFMB£ŸP�BP�
combustível gasto, logo: f'(u) = �����RVJM°NFUSPT�QPS�MJUSP�
9	Como o combustível custa 4 reais por litro, cada real fornece ¼ de litro de 
combustível, e g'(x) = = 
 
litro por real.
9	0�O¶NFSP�EF�RVJM°NFUSPT�RVF�QPEF�TFS�QFSDPSSJEP�UBNC¥N�¥�VNB�GVO£ŸP�EP�
número de reais que foram gastos com combustível. Assim, temos: y=f(u)= 
f(g(x)).
9	A quilometragem obtida por real gasto em combustível é . 
 Logo, temos que: = . substituindo, temos: . = = 
5 km por real
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas 
situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois 
compare-as com as de seus colegas e com o gabarito disponibilizado no apêndice do livro.
Epidemia
1. Competências técnicas Não se aplica.
2. Objetivos de aprendizagem
Aplicar o estudo da regra da cadeia na descrição de 
GFO°NFOPT�F�TJUVB£±FT�
3. Conteúdos relacionados Regra da Cadeia.
Regras de Derivação
U3
28
4. Descrição da Situação-
Problema
Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. 
Os setores de saúde calculam que o número de 
pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t 
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, 
aproximadamente, dado por:
N(t)= 64(t2+1)2 - + . 
Qual é a função que descreve a taxa de variação com 
que essa epidemia cresce em função dos dias?
5. Resolução da Situação-
Problema
N’(t) = 64.2(t2+1).2t – .1+ . (t+1)-1/3.1
N’(t) = 256t(t2+1) – (t+1)2 + 
Faça valer a pena
1. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função y = √10x + 6.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. Dadas as funções f(x) = x4 e g(x) = 2x - 1, marque a alternativa correta que 
apresenta y = f(g(x)) e y’, respectivamente.
Regras de Derivação
U3
29
a) y = (2x -1)3 e y’= 4(2x-1)3.
b) y = (2x -1)4 e y’= 8(2x-1)3.
c) y = (2x -1)4 e y’= 8(2x-1)3.
d) y = (2x -1)4 e y’= 4(2x-1)3.
e) y = (2x -1)2 e y’= 2(2x-1)3.
3. Calcule, pela regra da cadeia, a derivada de y = (5x3-x4)7.
4. (WEIR, 2009, p. 192) Mostre que o coeficiente angular de qualquer reta tangente 
à curva y = 1/(1-2x)3 é positivo.
5. O desenvolvimento da Regra de Cadeia foi considerado pelos matemáticos 
um método simples para realizar derivações de funções compostas, o que facilita 
ainda mais a análise e entendimento das taxas de variações. Ao aplicar a regra de 
cadeia na função composta f(x) = e 3x foi encontrada derivada igual a: 
a) 9e 2x.
b) 3.e 3x.
c) e 3x.
d) e 2x.
e) e x.
6. Complete a afirmativa com a alternativa correta.
A regra da cadeia afirma que a derivada composta de duas funções é a derivada 
da função de _____________calculada na função de _________________vezes 
a derivada da função de_________________. 
a) de fora; de dentro; de dentro.
b) de dentro; de fora; de dentro.
c) de fora; de fora; de dentro.
d) de dentro; de dentro; de fora.
e) de fora; de fora; de fora.
Regras de Derivação
U3
30
7. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva x= y2-4y nos pontos 
onde a curva cruza o eixo y. 
Regras de Derivação
U3
31
Seção 3.3
Derivada Exponencial e Logarítmica
Diálogo aberto
Nesta seção você irá aprender a derivar as funções exponenciais e logarítmicas.
Vale lembrar que os logaritmos e exponenciais são extremamente úteis para 
resolver problemas que ocorrem em situações diversas, como na economia, 
previsão de enchentes, crescimento populacional, abalos sísmicos, entre várias 
outras. Portanto, o estudo dessas funções é muito importante e aparece em 
diversas análises que um engenheiro, por exemplo, precisa fazer. Agora observe 
que saber derivar as funções é fundamental em engenharia, afinal, em quantas 
situações um engenheiro não precisa encontrar a taxa de variação instantânea? 
Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos! Bons estudos! 
Este livro apresenta um bom conteúdo sobre o assunto, sendo 
importante referência para o estudo e concretização do aprendizado. 
Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas!
Dica
Lembre-se de que os logaritmos são as funções inversas das funções 
exponenciais e é por isso que suas derivadas “chamam” umas às outras.
Lembre-se
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. 
Suponha que tomando amostras da população em certos intervalos, determina-
Regras de Derivação
U3
32
se que ela duplica a cada hora. Considere que a população inicial é de n0= 100 
bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?
Fonte: <http://revistagalileu.globo.com/Revista/Common/0,,EMI320284-17579,00-EM+DEFESA+DAS+BACTERIAS.
html>. Acesso em: 29 jul. 2015.
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conhecer e calcular derivada de funções exponenciais e logarítmicas.
Reflita
Não pode faltar 
Derivada de Função Logarítmica
Segundo Anton et al. (2007), estabelece-se que f(x) = ln x é diferenciável para 
x > 0 (ou seja, possui derivada em todos os pontos de x > 0). Para calcular o limite 
resultante, considera-se ofato de que a função ln x é contínua em x > 0 (isto é, 
para cada valor de x existe um valor de y = ln x correspondente) e o limite a seguir:
Dessa forma, aplicando-se a definição de derivada a partir de limites, tem-se:
Regras de Derivação
U3
33
Assimile
A derivada do logaritmo natural é dada por:
Desse resultado segue que a derivada do logaritmo é dada por:
Exemplificando
Calcule a derivada da função y=ln (x2+1).
Solução: Para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da 
Cadeia estudada na seção anterior. Então vamos escrever a função y 
em termos de uma função composta:
Dessa construção podemos dizer que y = f(g(x)), sendo 
z=g(x) e y= f(z) e a derivada pela regra da cadeia é: 
.
Regras de Derivação
U3
34
Derivada de função exponencial
A derivada da função f(x) = ax pode ser definida de algumas formas. Observe 
como fica ao escrever x como logaritmo.
No caso especial em que a base “a” é igual a “e” (a = e), e sabendo-se que ln e 
= 1, então a derivada de f(x) = ex é f’(x) = ex.1 = ex.
Outra forma de verificar a derivada de f(x) = ax é usar a definição de derivada 
usando limites. Tem-se, então:
Regras de Derivação
U3
35
A função exponencial f(x)= ex tem a propriedade de ser sua própria 
derivada. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta 
tangente à curva y=ex é igual à coordenada y do ponto (STEWART, 2013).
Reflita
Derivada da função exponencial composta: 
Se u(x) é uma função derivável, aplicando a regra da cadeia podemos 
generalizar as proposições:
i) y= au (a>0, a≠1) →y'=au. lna. u'
ii) y=eu → y'= eu. u'
iii) y= loga u → y'= loga e
iv) y= lnu →y'=
v) y= uv →y'= v.uv-1.u'+uv.lnu.v', u>0.
Exemplificando
Calcule a derivada da função y=(1/2)√x.
Solução: Para resolver essa derivada será necessário usar a Regra da 
Cadeia, como ocorreu no Exemplo 1. Então, vamos separar as funções 
menores que compõem a função y.
Regras de Derivação
U3
36
Substituindo os valores na fórmula da Regra da Cadeia:
Faça você mesmo
Calcule f'(0), se f(x)= e-x.cos3x.
Regras de Derivação
U3
37
Inversa: proposição em que os termos se apresentam de modo inverso 
(virado no sentido contrário).
Vocabulário 
Página que apresenta a teoria e exercícios sobre as derivadas de funções 
exponenciais e logarítmicas. Disponível em: <http://www.somatematica.
com.br/superior/logexp/logexp9.php>. Acesso em: 14 de out. 2014.
Pesquise mais
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a 
João? Vamos relembrar! 
Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. 
Suponha que tomando amostras da população em certos intervalos, determina-
se que ela duplica a cada hora. Considere que a população inicial é de n0= 100 
bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?
Solução:
Se a população inicial for n0 e o tempo for medido em horas, então 
f(1)= 2 f(0)= 2 n0
f(2)= 2 f(1)= 22n0
f(3)= 2 f(2) = 23n0 
e em geral, a função da população é n= n0 2
t. 
Portanto, a taxa de crescimento da população de bactérias no tempo t é: 
= (n02
t) = n02
tln2
Considerando a população n0=100 bactérias, a taxa de crescimento depois de 
4 horas será de: 
t=4 = 100. 2
4 ln2 = 1600 ln2 ≈ 1.109
Regras de Derivação
U3
38
Assim, depois de 4 horas, a população de bactérias está crescendo a uma taxa 
de aproximadamente 1.109 bactérias por hora. 
Atenção!
Você pode rever os conceitos de função exponencial e logarítmica 
apresentados no livro didático para lembrar algumas propriedades e 
regras. Veja também o link: <http://www.infoescola.com/matematica/
definicao-e-propriedades-dos-logaritmos/>. Acesso em: 29 jul. 2015.
Podemos dizer que se  f(x)=aX, então sua derivada 
será  f′(x)=ax⋅ ln(a). Mas se fizermos  a=e, obtemos: 
f′(x)=ex⋅ ln(e)= ex .1= ex
Lembre-se
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas 
situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois 
compare-as com as de seus colegas.
Boato
1. Competência técnica Não se aplica.
2. Objetivos de aprendizagem Aplicar conceitos das derivadas exponenciais e logarítmicas.
3. Conteúdos relacionados Derivadas exponenciais e logarítmicas.
4. Descrição da Situação-
Problema
Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo 
com a equação p(t)= 1+ , onde p(t) é a proporção 
da população que já ouviu o boato no tempo t e a e k são 
constantes positivas. 
Regras de Derivação
U3
39
5. Resolução da Situação-
Problema
p’(t)= 1+ utilizando a regra da cadeia teremos:
p’(t)= 
Usamos esta regra quando a função a ser derivada é resultante da 
composição de outras funções. Assim temos:
Lembre-se
Faça você mesmo
Encontre uma equação da reta tangente à curva y= 
 
no 
ponto (1, ½ e).
Faça valer a pena
1. Determine a derivada de 
2. Calcule a derivada de f(x) = log3(x
2-5).
3. Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x?
a) (ln2, 2).
b) (2, ln2).
c) (x, lnx).
d) (lnx, x).
Regras de Derivação
U3
40
e) (e, ln2).
4. Uma reta cujo coeficiente angular m passa pela origem é tangente à 
curva y=lnx. Qual é o valor de m?
a) 1/e.
b) e.
c) 1.
d) 0.
e) 1e.
5. Dada a função f(x) = loga x = , marque a alternativa correta que 
apresenta a derivada f'(x). 
a) u. ln a.
b) 1/x. ln a.
c) ln a.
d) a/ ln x.
e) x/ ln a.
6. Marque a alternativa correta:
a) 3x = 3. ln3.
b) e3x = e3x.
c) log3 x= .
d) x.log x = e. log (e.x).
e) x2.log5 x = log5 (e.x
2)x.
Regras de Derivação
U3
41
7. Considerando f(x)= x4 – lnx o valor de f'(1) será:
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) ¼.
Regras de Derivação
U3
42
Regras de Derivação
U3
43
Seção 3.4
Derivadas Trigonométricas e Derivadas Sucessivas
Diálogo aberto
"T�GVO£±FT�USJHPOPN¥USJDBT�TŸP�VTBEBT�FN�NPEFMPT�EF�GFO°NFOPT�EP�NVOEP�
real. Em particular: as vibrações, ondas, movimentos elásticos e outras grandezas 
que variem de maneira periódica podem ser descritos utilizando-se as funções 
trigonométricas.
Assim, nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo da derivada das 
funções trigonométricas e também das derivadas sucessivas. Apresentaremos os 
seus conceitos e aplicações. Então aproveite a oportunidade e aprofunde seus 
conhecimentos! Bons estudos! 
O livro didático da disciplina apresenta um bom conteúdo sobre o 
assunto, sendo importante referência para o estudo e concretização 
do aprendizado. Avalie seu aprendizado e faça as atividades propostas!
Dica
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Uma das 
situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver foi a seguinte: 
Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para tanto, pendura um peso 
em uma mola que é puxado para baixo a 5 unidades da posição de repouso e 
liberado no instante t=0 para que a oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a 
posição do peso em qualquer instante t posterior é:
s= 5 cos t
Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a velocidade 
e a aceleração do peso no instante t. E agora, como João poderá resolver esse 
problema? Ajude-o a encontrar a velocidade e a aceleração do peso no instante t. 
Regras de Derivação
U3
44
Fonte: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/ensinomedio/elasticidade/experimento/>. Acesso em: 29 jul. 2015.
O que eu preciso para ser capaz de resolver a situação-problema?
Conhecer e calcular derivada de funções exponenciais e logarítmicas.
Reflita
Não pode faltar 
Derivada das Funções Trigonométricas: sen x e cos x
Quando falamos sobre a função f definidapara todo número real x por f(x)= sen 
x, entende-se que sen x significa o seno do ângulo cuja medida em radianos é x. 
Uma convenção similar é adotada para as outras funções trigonométricas cos, tg, 
cossec, sec e cotg. 
Todas as funções trigonométricas são contínuas em todo número em seus 
domínios. 
Para calcular a derivada da função sen x, com x medido em radianos, vamos 
precisar das definições dos limites a seguir. 
Se y= sen x, então y’= cos x.
y’= lim∆x→0
Aplicando a fórmula trigonométrica 
sen p- sen q= 2 sen .cos .
Então, 
Regras de Derivação
U3
45
y’=
y’= 
y’=lim∆x→0 . lim∆x→0
=1.cos x
= cos x
Assimile
De forma análoga é possível chegar à derivada da função 
y = cos x é y'= - sem x.
Desse modo, a derivada para a função y = sen x é y’ = cos x.
Derivada das demais Funções Trigonométricas 
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e 
cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. 
Todas essas fórmulas podem ser demonstradas através da utilização da definição 
de derivadas ou podem ser demonstradas por meio das regras do produto ou do 
quociente, aplicando as regras às relações:
tg x = ; cotg x = ; sec x = ; cossec x = 
Exemplificando
Se y= tg x= , então y'=sec2x.
Regras de Derivação
U3
46
Usando a regra do quociente, obtemos:
y'= 
=
= = = sec2x
De modo análogo, podemos encontrar:
Função Derivada
y= cotg x y’= - cosec2x
y= sec x y’= sec x. tg x
y= cosec x y’= - cossec x. cotg x
Usando a regra da cadeia, obtemos as formas gerais das derivadas. 
Função Derivada
y= senx y= cos x. x’
y= cosx y= -sem x. x’
y= tgx y =sec2x. x’
y= cotgx y= -cossec2x. x’
y= cotgx y’= -cosec2x
y= secx y’= sec x. tg x. x’
y= cosecx Y’= - cossec x. cotg x. x’
Derivadas Sucessivas 
A derivada é considerada como função, por isso é possível considerar a sua 
derivada. Para uma função f, a derivada da sua derivada é chamada “Derivada 
Segunda” e denotada por f”, que pode ser lida como “f duas linhas”. Para representar 
a derivada segunda, poderemos utilizar a notação: , que representa o mesmo 
que .( ).
Regras de Derivação
U3
47
A derivada de uma função indica a ocorrência de variações em um certo 
intervalo e se este está apresentando um crescimento ou decrescimento:
Ŕ� Quando f’ for maior que zero em um certo intervalo, então f será crescente 
neste intervalo.
Ŕ� Quando f’ for menor que zero em um certo intervalo, então f será decrescente 
neste intervalo. 
E para a derivada segunda dessa função, o crescimento ou decrescimento 
seguirá a mesma tendência da primeira derivada, ou seja:
Ŕ� Quando f” for maior que zero em um certo intervalo, então f’ será crescente 
neste intervalo.
Ŕ� Quando f” for menor que zero em um certo intervalo, então f’ será decrescente 
neste intervalo.
A derivada de uma função representa a taxa de variação, então a derivada 
segunda será a taxa da variação da variação. Quando a derivada segunda 
é positiva, a sua taxa de variação de f será crescente e quando a derivada 
segunda é negativa, a sua taxa de derivação será decrescente.
Reflita
Exemplificando
Se f(x)= 4x2 +7x +1, então
f'(x) = 8x + 7
f"(x)= 8
Se f" é uma função derivável, sua derivada, representada por f’’’(x), é chamada 
derivada terceira de f(x). A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, 
representada por f(n)(x), é obtida derivando-se a derivada de ordem n-1 de f. 
Regras de Derivação
U3
48
Exemplificando
Se f(x)= 2x5 +3 x2, então 
f’(x) = 10x4 + 6x
f’’(x) = 40x3 + 6
f’’’(x)= 120x2 
f(4) (x) = 240x
f(5) (x)= 240
Para ampliar seus estudos sobre derivadas, veja o material que apresenta 
o conceito e exercícios resolvidos sobre esse tema em: <http://
wp.ufpel.edu.br/kiesow/files/2012/11/aulas-parte2.pdf>. Acesso em: 
29 de jun. 2015.
Pesquise mais
Derive y= 
Faça você mesmo
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresentada a 
João? Vamos relembrar! 
Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para tanto, pendura um peso 
em uma mola que é puxado para baixo a 5 unidades da posição de repouso e 
liberado no instante t=0 para que a oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a 
posição do peso em qualquer instante t posterior é:
s= 5 cos t
Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a velocidade e 
Regras de Derivação
U3
49
a aceleração do peso no instante t.
Solução: 
Temos:
Posição s= 5cos t
Velocidade: v= = = - 5 sen t
Aceleração: a= = (- 5 sen t)= -5 cos t
Atenção!
Ŕ� Com o passar do tempo, o peso se desloca para cima e para baixo 
entre s= -5 e s= 5 no eixo s. A amplitude do movimento é 5. O 
período do movimento é 2π, o período da função cosseno. 
Ŕ� A velocidade v= -5 sen t atinge sua maior magnitude, 5, quando cos 
t=0. Assim, o módulo da velocidade do peso |v|= 5 |sen t|, é o máximo 
quando cos t=0, isto é, quando sen t=0. Isso ocorre quando s= 5 cos t, 
t= ±5, nas extremidades do intervalo do movimento (THOMAS, 2012).
Ŕ� O valor da aceleração é sempre o oposto exato do valor da posição. 
Quando o peso está acima da posição de repouso, a gravidade o puxa 
para baixo, quando o peso está abaixo, a mola o puxa para cima. 
Ŕ� A aceleração, a= -5 cos t, é zero na posição de repouso, em que 
cos t=0 e a força da gravidade anula a força da mola. Quando o 
peso está em qualquer outro lugar, as duas forças são desiguais e a 
aceleração é diferente de zero. A aceleração é máxima em magnitude 
nos pontos mais distantes da posição de repouso, em que cos t= ± 1 
(THOMAS, 2012).
Lembre-se
Regras de Derivação
U3
50
Avançando na prática
Pratique mais!
Instrução
Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas 
situações que pode encontrar no ambiente de trabalho. Realize as atividades e depois 
compare-as com as de seus colegas.
Velocidade e Aceleração
1. Competência técnica Não se aplica.
2. Objetivos de 
aprendizagem
Aplicar conceitos das derivadas trigonométricas e sucessivas.
3. Conteúdos 
relacionados
Derivada trigonométrica e sucessiva.
4. Descrição da Situação-
Problema
Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma 
superfície lisa. Sua equação de movimento é x(t)= 8 sen t, 
onde t está em segundos e x, em centímetros. Encontre a 
velocidade e a aceleração do corpo na posição de equilíbrio 
t= . 
Fonte: <http://www.alunosonline.com.br/fisica/forca-elastica.html>. 
Acesso em: 29 jul. 2015.
5. Resolução da Situação-
Problema:
v’(2π/3)= 8 cos (2π/3) = -4
a’(2π/3)= - 8 sen (2π/3)= -4
Faça você mesmo
Encontre uma equação da reta tangente à curva y= 2x sen x no ponto 
( , π).
Regras de Derivação
U3
51
Faça valer a pena
1. Para a função y = sen (x2) marque a alternativa que mostra a derivada 
dessa função.
a) y’ = 2 sen x.
b) y’ = -2 cos (x).
c) y’ = 2x cos (x2).
d) y’ = x cos (x2).
e) y’ = 2x cos (x).
2. Para a função y = cos (x2+2x-1) – 3 sen (x) marque a alternativa que 
mostra a derivada dessa função.
a) y’ = (-2x-2).cos(x2+2x-1)-3 cos (x).
b) y’ = (-2x-2).sen(x2+2x-1)-3 cos (x).
c) y’ = (-2x-2).sen(x2+2x-1)-3 sen (x).
d) y’ = (2x+2).sen(x2+2x-1)-3 cos (x).
e) y’ = (2x+2).cos(x2+2x-1)-3 cos (x).
3. Mostre que a derivada de y = tg(x) é y’ = sec2(x). Dica: use a relação 
tg(x)= .
O enunciado abaixo refere-se às questões 4 e 5:
Um problema que envolve taxas de variação de variáveis relacionadas é 
denominado de problema de taxas relacionadas, assim a taxa de variação 
de x em relação ao tempo é expressa por dx/dt. Uma função é usada 
para expressar o deslocamento de uma partícula em movimento retilíneo 
através da função: x(t) = 7,8 + 9,2t – 2,1t³.
4. A velocidade dessapartícula no instante t = 1s é:
a) 2,9 m/s.
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b) 1,9 m/s.
c) 5 m/s.
d) 2m/s.
e) 1 m/s.
5. A taxa de aceleração para t = 1s será:
a) 12,6 m/s2.
b) -12,6 m/s2.
c) 10 m/s2.
d) 2,6 m/s2.
e) -2,6 m/s2.
6. Se f(x)= 3x4- 2x3+ x2 - 4x +2, então f'(4) será igual a:
a) 0.
b) 72.
c) 1.
d) 72x-12.
e) 36x2 -12x + 2.
7. Suponha que uma massa presa na ponta de uma mola seja espichada 3 
cm além de seu ponto de repouso e largada no instante t=0. Supondo que 
a função posição do topo da massa presa à mola seja s=- 3 cos t, onde 
s está em centímetros e t em segundos, encontre a função velocidade e 
discuta o movimento dessa massa (ANTON et al., 2007). 
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Referências
ANTON, Howard. Cálculo – volume I. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos, 2009. PLT 178.
Referências Complementares:
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8. ed. São Paulo: Bookman, 
2007. Disponível em: <http://books.google.com.br/books?id=Bk_HEUqubpIC&pr
intsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo+i&hl=ptR&sa=X&ei=UImDU9bcBPDJsQT
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Acesso em: 3 mar. 2015.
ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. Cálculo: ilustrado, 
prático e descomplicado.  São Paulo: LTC, 2012. Disponível em: <http://online.
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HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.  Cálculo: um curso moderno e 
suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. São Paulo: LTC, 2010. Disponível em: 
<http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-2666-4/epubcfi/6/2>. 
Acesso em: 3 mar. 2015.
HUGHES-HALLET, Deborah; MCCALLUM, William G.; GLEASON, Andrew M. et 
al. Cálculo – A: uma e a várias variáveis - Vol. 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. Disponível 
em: <http://online.minhabiblioteca.com.br/books/978-85-216-1955-0>. Acesso 
em: 3 mar. 2015.
MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio; LOPES. Hélio. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio 
de Janeiro: PUC-RIO, 2007. Vol. II. Disponível em: <http://books.google.com.
br/books?id=MbxCf9v3z78C&printsec=frontcover&dq=c%C3%A1lculo&hl=pt-
BR&sa=X&ei=IJyDU-fBHrjfsASI2ILoDw&ved=0CEcQ6AEwBA#v=onepage&q=c%
C3%A1lculo&f=false>. Acesso em: 3 mar. 2015. 
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, 
economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
STEWART, J. Cálculo I. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
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