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1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS I PROF: EDUARDO MOURA LIMA CAPÍTULO 5 Torção Simples Solução de Exercícios Observação: Referente ao capítulo VIII da apostila teórica Versão 01/02/2015 2 1) Determinar a tensão tangencial máxima ocorrente na peça cilíndrica sujeita ao momento torçor MT = 10.000 kgf.cm, tendo 1m de comprimento e diâmetro de 5 cm. Determinar, também, a rotação máxima e o DTT na seção do engaste. Dado: G = 1 x 106 kgf/cm2 JP = π . 54/ 32 = 61,4 cm4 τmax = (10000 x 2,5) / 61,4 = 407 kgf/cm2 φmax = (10000 x 100) / (1 x 106 x 61,4) = 0,0163 rad 2) Um eixo oco de aço tem 3 m de comprimento e transmite o momento torçor MT = 250 tf.cm. O valor de φ correspondente ao comprimento total do eixo não deve exceder 2,5º. A tensão tangencial admissível é τ = 840 kgf/cm2. Sendo G = 0,84 x 106 kgf/cm2, quais os diâmetros externo e interno? 2,5 º = 0,043 rad JP = π (D4 – d4) / 32 L MT L MT d D DTT 407 kgf/cm2 3 ϕmax = (250.000 x 300) / (0,84 x 106 x JP) = 0,043 JP = 2.076 cm4 τmax = (250000 x (D/2)) / 2076 = 840 D = 13,95 cm JP = π (D4 – d4) / 32 = 2076 d = 11,37 cm 3) Determinar o momento torçor máximo que pode ser aplicado ao eixo. Dados: φmáximo = 1º Cilindro 1 G = 0,35 x 106 kgf/cm2 Τ = 2.000 kgf/cm2 Cilindro 2 G = 0,28 x 106 kgf/cm2 Τ = 3.100 kgf/cm2 Usar coeficiente de segurança (η) = 4,0 para os dois cilindros. φmax = 1º = 0,02 rad JP = π.64/32 = 127,2 cm4 Estabilidade dos cilindros: Cilindro 1: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 2000/4 MT ≤ 21.200 kgf.cm Cilindro 2: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 3100/4 MT ≤ 32.860 kgf.cm φmax = (MT . 60)/(0,35 x 106 x 127,2) + (MT . 60)/(0,28 x 106 x 127,2) ≤ 0,02 MT ≤ 6.596 kgf.cm A resposta que satisfaz a todas as condições é MT ≤ 6.596 kgf.cm 60 cm 1 6 cm MT 2 60 cm 4 4) Determinar MT máximo. Dados: φmáximo = 2º G = 0,40 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 Τ = 2.000 kgf/cm2 D = 6 cm (diâmetro) G = 0,60 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 Τ = 3.000 kgf/cm2 D = 4 cm (diâmetro) Usar coeficiente de segurança (η) = 4,0 para os dois cilindros. φmax = 2º = 0,0349 rad JP1 = π.64/32 = 127,2 cm4 JP2 = π.44/32 = 25,1 cm4 Estabilidade dos cilindros: Cilindro 1: τmax = MT . 3 / 127,2 ≤ 2000/4 MT ≤ 21.200 kgf.cm Cilindro 2: τmax = MT . 2 / 25,1 ≤ 3000/4 MT ≤ 9.429 kgf.cm φmax = (MT . 100)/(0,4 x 106 x 127,2) + (MT . 60)/(0,6 x 106 x 25,1) ≤ 0,0349 MT ≤ 5.866 kgf.cm A resposta que satisfaz a todas as condições é MT ≤ 5.866 kgf.cm 1 m 1 MT 2 0,6m 5 5) Determinar o coeficiente de segurança relativo às tensões tangenciais. Determinar, também, o φmáximo. Dados: D = 8 cm (diâmetro externo) d = 4 cm (diâmetro interno) G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 Τ = 900 kgf/cm2 L = 4 m G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 Τ = 900 kgf/cm2 L = 4 m Resposta: coeficiente de segurança do cilindro 1 = 1,7 coeficiente de segurança do cilindro 2 = 1,7 φmáximo = 0,0796 rad 6) A tensão tangencial máxima despertada em toda a peça vale 256 kgf/cm2. Determinar MT máximo e φmáximo, e traçar DTT nas seções A e C. Dados: G = 8 x 105 kgf/cm2 (para os dois cilindros) 4 m 1 50.000 kgf.cm 2 4 m 40 cm 1 MT 2 60 cm 2 cm 4 cm A B C 6 Resposta: MT = 3016 kgf/cm2 e φmáximo = 0,0156 rad 7) Determinar as tensões tangenciais máximas nos trechos 1 e 2, para MT = 4.000 π kgf.cm. Resposta: τmax1 = 1000 kgf/cm2 τmax2 = 1067 kgf/cm2 8) Determinar as reações nos engastes, bem como a rotação máxima. Dados: G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 D = 4 cm (diâmetro) G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 D = 2 cm (diâmetro) JP1 = 8π JP2 = 0,5π Estática: T1 + T2 = 8.000 Deformações angulares: φ1 = φ2 (T1 . 60) / (1 x 106 x 8π) = (T2 . 20) / (2 x 106 x 0,5π) 40 cm 1 MT 2 60 cm 2 cm 4 cm A B C 60 cm 1 2 20 cm 8.000 kgf.cm 7 T1 = 8 T2 / 3 T1 = 5820 kgf.cm T2 = 2180 kgf.cm φ1 = (5820 . 60) / (1 x 106 x 8π) = 0,0139 rad 9) Determinar a tensão tangencial máxima e a rotação máxima. Dados: G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 D = 6 cm (diâmetro) G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 D = 4 cm (diâmetro) JP1 = π.64/32 = 127,2 cm4 JP2 = π.44/32 = 25,1 cm4 Estática: T1 + T2 = 50.000 Deformações angulares: φ1 = φ2 (T1 . 60) / (2 x 106 x 127,2) = (T2 . 30) / (1 x 106 x 25,1) T1 = 81 T2 / 16 T1 = 41.752,6 kgf.cm T2 = 8.247,4 kgf.cm φ1 = (41752,6 . 60) / (2 x 106 x 127,2) = 0,0098 rad τmax1 = 41752,6 x 3 / 127,2 = 984,5 kgf/cm2 60 cm 1 30 cm 50.000 kgf.cm 2 8 τmax2 = 8247,4 x 2 / 25,1 = 656,3 kgf/cm2 10) Determinar a tensão tangencial máxima. Dados: G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 D = 4 cm (diâmetro) G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 D = 4 cm (diâmetro externo) d = 2 cm (diâmetro interno) JP1 = π.44/32 = 25,1 cm4 JP2 = π.(44 – 24) /32 = 23,6 cm4 Estática: T1 + T2 = 40.000 Deformações angulares: φ1 = φ2 (T1 . 50) / (1 x 106 x 25,1) = (T2 . 40) / (2 x 106 x 23,6) T2 = 2,34 T1 T1 = 11.976 kgf.cm T2 = 28.024 kgf.cm τmax1 = 11.976 x 2 / 25,1 = 953 kgf/cm2 τmax2 = 28.024 x 2 / 23,6 = 2.378 kgf/cm2 50 cm 1 2 40 cm 40.000 kgf.cm 9 11) Determinar a e b para que as tensões tangenciais máximas ocorram com a mesma intensidade nos dois trechos cilíndricos. as reações nos engastes, bem como a rotação máxima. Dados: Diâmetro do cilindro 1 = 4 cm Diâmetro do cilindro 2 = 2 cm G1 = G2 Fazer o mesmo exercício para o caso de a tensão tangencial máxima no trecho 1 ser o dobro da tensão tangencial máxima no trecho 2. JP1 = π.44/32 = 25,1 cm4 JP2 = π. 24 /32 = 1,6 cm4 Estática: MT1 + MT2 = MT Deformações angulares: φ1 = φ2 (MT1 . a) / (G x 25,1) = (MT2 .b) / (G x 1,6) MT1 . a = 16 MT2 .b (equação 1) Questão 1: τmax1 = τmax2 MT1 . 2 / 25,1 = MT2 . 1 / 1,6 MT1 = 8 MT2 Substituindo na equação 1: 8 MT2 . a = 16 MT2 .b a = 2b a = 40 cm b = 20 cm Questão 2: τmax1 = 2 .τmax2 MT1 . 2 / 25,1 = 2 MT2 . 1 / 1,6 MT1 = 16 MT2Substituindo na equação 1: 16 MT2 . a = 16 MT2 .b a = b a = 30 cm b = 30 cm a 1 2 b MT 60 cm 10 12) Determinar o momento torçor em cada trecho 1, 2 e 3. O cilindro é feito de um único material. Ação de 60 kgf.cm: T1 + T3 = 60 (T1 . 20) / (G JP) = (T3 . 80) / (G JP) T1 = 4 T3 T1 =48 kgf.cm T3 = 12 kgf.cm Ação de 20 kgf.cm: T’1 + T’3 = 20 (T’1 .50) / (G JP) = (T’3 . 50) / (G JP) T’1 = T’3 T’1 =10 kgf.cm T’3 = 10 kgf.cm Trecho 1 : - 58 kgf.cm Trecho 2 : + 2 kgf.cm Trecho 3 : +22 kgf.cm 13) Determinar as reações nas paredes. O cilindro é feito de um único material. 20 cm 1 2 30 cm 60 kgf.cm 3 20 kgf.cm 50 cm 20 cm 1 2 40 cm 2.000 kgf.cm 8.000 kgf.cm 20 cm 3 11 14) Determinar a e b para que as tensão tangencial máxima em 1 seja igual ao dobro da tensão tangencial máxima em 2. G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 D = 5 cm (diâmetro externo) d = 1 cm (diâmetro interno) G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 D = 2 cm (diâmetro) 15) Calcular MT máximo. Dados: G = 1 x 106 kgf/cm2 Cilindro 1 Τ = 500 kgf/cm2 D = 6 cm (diâmetro externo) d = 2 cm (diâmetro interno) G = 2 x 106 kgf/cm2 Cilindro 2 Τ = 700 kgf/cm2 D = 4 m (diâmetro) a 1 2 b 52 cm MT 30 cm 1 2 60 cm MT
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