Resumo P2

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1 (Y...) Física Quântica – P2 
Linhas espectrais 
 
Em 1665, Isaac Newton observou que quando a luz solar passava por um prisma 
ela formava um espectro com as cores do arco-íris. 
Em 1802, Willian Hyde Wollastone observou a formação de linhas escuras no 
espectro quando a luz passa por uma fresta formada por colimadores. 
 
 
 
Linhas de Fraunhoffer 
 
Até 1826, Joseph Von Fraunhofer já havia observado 574 linhas escuras no 
espectro solar. Essas linhas passaram a ser chamadas de linhas de Fraunhoffer. 
As linhas observadas por Fraunhofer sempre estavam posicionadas no mesmo 
local, sendo umas mais finas e outras mais grossas. 
 
 
 
Kirchhoff e Bunsen 
 
Em 1856, Robert Wilhelm inventou o bico de Bunsen. A chama do bico de 
Bunsen era incolor. 
A cor da chama sofria alterações quando elementos diferentes eram queimados 
nela, ou seja, cada elemento produzia uma cor de chama. A razão para a variação das 
cores está no fato de que cada elemento queima em uma temperatura, e, como já se 
sabe, cada temperatura corresponde a uma cor diferente no espectro visível. 
Neste ano, Gustav Robert Kirchhoff, sugeriu analisar a coloração das chamas 
através de um prisma colocado entre duas lunetas. Este aparato permitiria ajustar o foco 
e analisar somente a cor característica do elemento que está sendo queimado. 
A partir o seu experimento, Kirchhoff determinou a cor para alguns elementos: 
 
 Oxigênio: vermelho; 
 Sódio: amarelo; 
 Hidrogênio: verde; 
 Ferro: azul; 
 Cálcio: violeta. 
 
 
 
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A luz produzida pelas lâmpadas incandescentes produz espectros semelhantes ao 
do sol: 
 
 
 
Outro experimento pode ser executado trocando a fonte de emissão de luz: troca-
se a lâmpada incandescente por um tubo com H2. Para que o gás passe a emitir radiação 
eletromagnética, é necessário aplicar corrente no tubo do gás (ou então pode-se 
submeter o elemento a elevadas temperaturas). 
A radiação eletromagnética produzida é difratada no prisma. Em seguida, 
observam-se linhas no anteparo com cores diferentes da cor verde observada em 
experimentos sem o prisma. O conjunto de linhas espectrais produzidas pelo hidrogênio 
será característico deste elemento, servindo assim como uma impressão digital do 
elemento. 
A cor verde observada nos experimentos anteriores é produzida pela soma das 
cores das linhas espectrais. 
 
 
 
 
 
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Outra experiência 
 
Realizou-se outra experiência para observação de espectros, também utilizando 
gás hidrogênio. Neste experimento utilizou-se lâmpadas como fonte de radiação 
eletromagnética e colocou-se gás hidrogênio frio entre a fenda e o prisma. 
Os resultados produzidos pela difração eram linhas escuras exatamente nas 
mesmas posições das linhas coloridas observadas no experimento anterior. 
 
 
Obs: a tela aparece na cor roxa por problemas na imagem, na verdade deveria 
aparecer o espectro do arco íris. 
A partir destes resultados é possível explicar as 574 linhas obtidas por 
Frounhofer: quando Frounhofer realizou seu experimento entre o Sol (responsável por 
produzir a radiação eletromagnética em estudo) e o prisma de seu laboratório, existiam 
diversos gases no meio, cada um deles era responsável por produzir algumas das linhas 
escuras observadas. 
 
Leis de Kirchhoff 
 
A partir dos experimentos realizados com a radiação solar, com o gás aquecido e 
com o gás resfriado, Kirchhoff propôs 3 leis: 
 
Um corpo opaco quente, sólido, líquido ou gasoso, emite um espectro contínuo. 
Um gás transparente a baixa pressão e a temperatura suficientemente alta produz 
um espectro de linhas de emissão. O número e a posição das linhas dependem dos 
elementos químicos presentes no gás. Portanto, o uso de um gás quente produz um 
espectro de emissão. 
Se um espectro contínuo passar por um gás à temperatura mais baixa, o gás frio 
provoca o aparecimento de linhas escuras na tela. A quantidade e a posição destas linhas 
dependem dos elementos químicos presentes no gás. Portanto, o uso de um gás frio 
produz um espectro de absorção. 
 
 
 
5 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
A partir de avanços tecnológicos foi possível aperfeiçoar as medições das linhas 
espectrais, relacionando cada linha ao seu respectivo comprimento de onda. 
 
 
 
Padronizou-se que a linha observada no maior comprimento de onda, ou na de 
menor frequência seria chamada de Hα, a segunda de Hβ e assim por diante. 
A seguir, segue o espectro da radiação do hidrogênio na região do visível e 
ultravioleta próximo. 
 
 
 
6 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Hα apresenta comprimento de onda maior e menor frequência do que Hβ. 
 
No final do século XIX sabia-se que quando cargas negativas eram aceleradas 
estas produziam radiação, assim, ao observar a emissão de radiação por parte dos 
átomos supõe-se que os átomos possuíam cargas negativas, de modo que as cargas 
negativas seriam as responsáveis pelo padrão característico produzido pelos átomos. 
Em virtude desta análise, tornou-se fundamental estudar a estrutura atômica. 
 
Balmer 
 
Em 1885, Balmer numerou as linhas espectrais em 1, 2, 3 e etc., ou seja, cada 
linha correspondia um valor de n. 
Construindo um gráfico da frequência ν pelo inverso do número da linha 
espectral ao quadrado (1/n
2
) obtêm-se uma reta, como representado no gráfico abaixo: 
 
 
 
A fórmula obtida por Balmer é capaz de descrever as posições das linhas escuras 
produzidas por gás hidrogênio no espectro visível e ultravileta próximo. 
Observa-se que o menor valor de n é 3, isto é, a primeira linha do espectro do 
hidrogênio corresponde a n = 3, a segunda linha do espectro corresponde a n = 4, e 
assim, por diante. 
Analisando o espectro do hidrogênio, observa-se que as linhas escuras se tornam 
mais próximas quanto menores forem os comprimentos de onda e mais altas forem as 
frequências, a partir deste gráfico é possível efetuar a mesma análise, uma vez que os 
pontos 6 e 7 estão muito mais próximos que os pontos 3 e 4. 
 
 
 
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Matematicamente 
 
Dividindo a expressão de Balmer pela velocidade da luz: 
 
 
 
Sabendo que ν/c = 1/λ: 
 
 
 
Ao considerarmos valores muito grandes de n, tem-se: 
 
 
 
λ = 3.647Å 
 
O valor de 3.647Å corresponde ao limite da série, ou seja, este é o menor 
comprimento de onda que pode ser observado. 
 
Lyman e Paschen 
 
Em 1906 e 1908, Lyman e Paschen determinam séries equivalentes às 
observadas por Balmer para outras regiões do espectro (ultravioleta e infravermelho), 
utilizando-se de melhorias tecnológicas obtidas neste intervalo de tempo. 
 
 
 
Posteriormente, outras séries foram determinadas para outras regiões do 
espectro. 
 
Johannes Rydberg generalizou a fórmula de Balmer para qualquer região do 
espectro, chamando o valor de 109.680 como constante de Rydberg (RH), considerando 
n2 > n1. 
 
 
 
8 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Cada série existente para o espectro apresenta seus próprios valores de n1 e 
valores mínimos de n2, conforme tabela abaixo: 
 
 
 
Contudo, como já mencionado, estas observações foram realizadas para o átomo 
de hidrogênio. Para os demais átomos é possível obter valores razoáveis trocando o 
valor de RH, contudo, para melhores resultados, deve-se utilizar a fórmula abaixo: 
 
 
 
A fórmula foi obtida empiricamente. (m, α e β) é o nome do termo espectral, o 
número de onda de qualquer espectro atômico pode ser obtido pela diferença entre os 
dois termos espectrais.α e β são constantes características de cada átomo. 
 
Mosley 
 
Em 1913, Mosley descobriu a relação entre o número atômico e o inverso do 
comprimento de onda, a partir de experimentos utilizando Raios-X. 
Ao inverter o gráfico de Balmer, Mosley obteve um gráfico de n em função da 
raiz quadrada da frequência. 
 
 
9 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Cada valor de n representava um elemento. Moseley mediu 38 elementos, alguns 
valores de n não eram conhecidos, ou seja, representavam os elementos que seriam 
descobertos. 
A partir da observação desta periodicidade foi possível aperfeiçoar a tabela 
periódica proposta por Mendeleev, a qual baseava-se nas massas atômicas, fato que 
provocava inconsistências por exemplo, o argônio. 
 
 
 
 ni e nf são números quânticos inteiros; 
 σ é uma constante que depende da linha espectral; 
 RH é a constante de Rydberg; 
 Z é o número atômico. 
 
Modelos atômicos 
 
O primeiro modelo atômico foi proposto por Leucipo de Mileto, em 440 a.C., o 
qual considerava o átomo como uma estrutura indivisível e homogênea sem nenhuma 
estrutura interna. Os átomos se diferenciavam em tamanho, forma e peso. 
 
 
10 (Y...) Física Quântica – P2 
Contudo, os experimentos de Balmer comprovava que o átomo era composto por 
partículas menores: partículas carregadas negativamente. 
Thomson propôs um modelo que ficou conhecido como pudim com passas, o 
qual consistia de uma gelatina positiva, na qual cargas negativas estavam incrustadas. 
Contudo, a partir das características descritas para este modelo, todos os elétrons seriam 
iguais, e, portanto, quando o átomo fosse aquecido seus elétrons emitiriam radiações 
exatamente iguais, o que provocaria somente uma linha espectral. Como já mencionado, 
os átomos apresentavam mais de uma linha espectral, significando que seus elétrons não 
eram equivalentes, derrubando assim o modelo proposto por Thomson. 
 
Modelo de Rutherford 
 
Em 1911, Ernest Rutherford realizou experimentos que visavam analisar o 
modelo proposto por Thomson. 
O experimento consistia em incidir radiação α (núcleo de átomos de He, 
portanto, carregadas positivamente) emitida por elementos radioativos, em folhas de 
ouro (a escolha do ouro se deveu ao fato de ser dúctil, o que possibilitou a produção de 
folhas finas). 
Segundo o modelo de Thomson a radiação α atravessaria o átomo: 
 
 
 
Assim, seria possível observar apenas pequenas variações na trajetória das 
partículas α, em virtude da interação entre as partículas negativas do átomo e a carga 
positiva da radiação. 
Porém, os resultados obtidos no experimento diferiam-se do esperado, 
esquematicamente, observou-se: 
 
 
 
Rutherford observou que algumas partículas eram ricocheteadas de volta, outras 
sofriam grandes desvios e a maioria atravessa as folhas de ouro sem sofrer qualquer 
alteração em sua trajetória. 
 
 
 
11 (Y...) Física Quântica – P2 
Hipóteses de Rutherford 
 
 O fato do espalhamento das partículas alfa ocorrer somente acima de 
alguns graus eliminava a possibilidade do espalhamento por elétrons; 
 O espalhamento ocorria principalmente devido a interação coulombiana 
entre partículas e o átomo; 
 Os átomos considerados são átomos pesados, isto é, suas massas são tão 
grandes em relação às massas do elétron que durante o espalhamento não 
ocorre o recuo do átomo. 
 
Modelo proposto 
 
O modelo consistia de um núcleo denso carregado por partículas positivas, em 
torno do qual, partículas negativas com massa muito menor realizavam movimentos na 
forma de órbitas: 
 
 
O deslocamento das partículas alfa obedece a seguinte expressão: 
 
 
 
 N: número de partículas desviadas; 
 t: espessura do alvo (quanto mais átomos, mais espessa seria o alvo); 
 ρ: número de núcleos por centímetro quadrado (quanto mais denso, mais 
alvos); 
 I: número de partículas alfa incidentes (quanto mais partículas, maiores 
as chances de ocorrerem espalhamentos); 
 θ: ângulo de espalhamento; 
 ze: carga das partículas alfa 
 M: massa das partículas alfa; 
 v: velocidade das partículas alfa; 
 Ze: carga do núcleo. 
 1/4πεo: constante de permissividade elétrica (considerada porque a 
interação é coulombina); 
 Mv2: relacionada a energia cinética, quanto mais rápida a partícula alfa, 
menor será a interação. 
 
 
12 (Y...) Física Quântica – P2 
A partir deste experimento, foi determinado o raio atômico como igual a 3x10
-
14
m. Baseando-se nos valores atuais, observa-se que este valor difere um pouco do valor 
correto. A diferença foi provocada pelo fato de que as partículas alfas não se chocam 
com os núcleos (a interação coulombica provoca repulsão antes do choque), assim, a 
interação ocorre a uma distância maior do que o tamanho do diâmetro do núcleo. 
 
O modelo atômico proposto por Rutherford era estável do ponto de vista 
mecânico, mas o modelo não estava completamente correto: o fato do elétron estar 
acelerado em torno do núcleo implicava no fato de que o elétron deveria emitir radiação 
(segundo a teoria clássica eletromagnética), provocando perda de energia, de modo que 
a aceleração centrípeta diminuiria, reduzindo assim a órbita do elétron até que este 
caísse no núcleo, portanto, o modelo apresentava uma inconsistência com a teoria 
eletromagnética. 
 
 
 
Modelo atômico de Bohr 
 
O modelo proposto por Bohr, em 1913, combinava ideias de Planck, Einstein e 
Rutherford: consistia em um núcleo massivo de carga positiva, em torno do qual 
estavam os elétrons em órbitas não radiantes, chamadas de estados estacionários. 
A introdução da ideia de estados estacionários visava eliminar a ideia de que, 
pelo fato dos elétrons se moverem ao redor do núcleo, estes emitiriam radiação e 
consequentemente perderiam energia, assim, ao propor estados estacionários tem-se um 
modelo no qual os elétrons não emitem radiação, e, portanto, não perdem energia, 
consequentemente não se aproximam do núcleo. 
A ideia de estados estacionários é um dos postulados de Bohr. 
A energia dos elétrons só seria alterada quando este mudassem de estado 
estacionário, sendo que: 
 Emite fóton quando migra de um estado estacionário mais longe do 
núcleo para um estado estacionário mais perto (quando migra de um 
estado excitado para um estado menos excitado); 
 Absorve fóton, quando migra de um estado estacionário mais perto do 
núcleo para um estado mais longe (quando migra de um nível menos 
excitado para um nível mais excitado). 
 
 
13 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Aplicação do modelo de Bohr na explicação das linhas espectrais 
 
Incide-se radiação composta por todas as cores sobre um átomo. Experiências 
anteriores, e já mencionadas, geravam espectros de cores com linhas escuras em 
algumas regiões do espaço. Este resultado decorre do fato de que o átomo que recebeu 
radiação tinha um elétron que possuía uma determinada energia, por exemplo, energia 
correspondente a comprimento de onda de cor verde, assim, a radiação da cor verde era 
absorvida por este elétron e não atingia o anteparo, no seu lugar formava-se uma linha 
preta. 
Ao incidir a radiação com todas as cores sobre o átomo, o elétron será excitado 
pela radiação de cor verde e mudará de estado estacionário absorvendo energia daquele 
comprimento de onda, como consequência, o espectro obtido apresentará uma faixa 
escura na região verde. 
Pelo fato do elétron absorver energia desta radiação, tem-se o espectro de 
absorção. 
 
 
 
 
 
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Para que ocorra a mudança de estado estacionário é necessário que seja 
fornecido a quantidade exata de energia ao elétron, da mesmaforma, a luz emitida por 
um dado elétron terá sempre a mesma quantidade de energia. 
A excitação dos elétrons pode ocorrer através do fornecimento de energia (já 
mencionado), pela variação de temperatura ou por descarga elétrica. 
 
A seguir a representação de alguns espectros de absorção: 
 
 
 
O espectro da estrela é estudado para descobrir qual é a sua composição. 
 
Emissão x absorção 
 
A partir do modelo atômico de Rutherford- Bohr foi possível explicar as leis de 
Kirchhoff: 
 
 Gás quente: São espectros que são emitidos pelas substâncias após absorver 
determinada radiação. São espectros com fundo preto e riscas coloridas no caso 
de se tratar dum espectro de emissão descontínuo (são emitidos pelos átomos de 
substâncias elementares, no estado gasoso e a pressão reduzida, quando sujeitos 
a descargas eléctricas de alta voltagem) e no caso de não apresentar qualquer 
risca preta denomina-se espectro de emissão contínuo é o caso do espectro da 
luz branca, e da luz emitida por sólidos, líquidos e gases incandescentes a alta 
pressão. 
 
 
 
15 (Y...) Física Quântica – P2 
 Gás frio: Ao incidir luz sobre um átomo, ou seja, fótons sobre elétrons, ocorre a 
absorção de energia dos fótons por parte dos elétrons produzindo as linhas 
escuras no espectro. Sabe-se que o elétron excitado poderá voltar ao seu estado 
estacionário original, contudo, a linha preta será formada da mesma maneira, 
isso ocorre porque o fóton emitido com o regresso do elétron é emitido em todas 
as direções, e dificilmente será emitido na mesma direção colimada e analisada 
no prisma. 
 
Matematicamente 
 
A energia do elétron é dada como a soma da energia cinética com a energia 
potencial, sendo esta igual a energia potencial eletrostática. 
 
 
 
No elétron a força atrativa eletrostática será igual a força centrípeta (necessária 
para que o elétron se mova em um círculo de raio r com velocidade v). 
 
 
 
Portanto, a energia cinética é igual a metade do módulo da energia potencial: 
 
 
 
Portanto a energia total (soma da energia cinética com a energia potencial) será 
de: 
 
 
 
 
 
De acordo com a física clássica, à medida que o elétron perde energia por 
radiação, o raio da órbita se torna cada vez menor e a frequência da radiação emitida 
cada vez maior, o processo termina somente quando o elétron atinge o núcleo. O tempo 
para esta colisão é de cerca de alguns microsegundos. Assim, à primeira vista, o modelo 
de Bohr prevê que o átomo irradia um espectro contínuo (já que a frequência de 
radiação varia continuamente enquanto o elétron se aproxima do núcleo). 
Bohr resolveu esse problema ao propor dois postulados: 
 
 
 
16 (Y...) Física Quântica – P2 
 Os elétrons se movem em certas órbitas sem irradiar energia. Tais órbitas 
são os estados estacionários. 
 Os átomos irradiam quando um elétron sofre uma transição de estado 
estacionário para outro e a frequência da radiação emitida está 
relacionada às energias das órbitas através da equação (conhecida como 
condição de frequência de Bohr): 
 
hν = Ei -Ef 
 
 h: constante de Planck; 
 Ei: Energia do estado inicial; 
 Ef: Energia do estado final. 
 
O segundo postulado, que equivale a aplicar a lei de conservação de energia à 
emissão de um fóton, está em total desacordo com a teoria clássica, segundo a qual a 
frequência da radiação deve ser igual à frequência de movimento da partícula 
carregada. 
 
Ao inserir a energia total na condição de frequência de Bohr, tem-se: 
 
 
 
Semelhante a expressão proposta por Rydberg: 
 
 
 
Principio de correspondência: No limite de grandes órbitas e altas energias, os 
resultados quânticos devem coincidir com os resultados clássicos. 
 
Quantização do momento angular 
 
Só alguns estados estacionários são possíveis. Em seu primeiro artigo, em 1913, 
Bohr observou que uma das consequências do seu modelo era que o momento angular 
do elétron do átomo de hidrogênio podia assumir apenas valores que fossem múltiplos 
de inteiros da constante de Planck dividida por 2π, em concordância com sugestão feita 
no ano anterior por J. W. Nicholson, ou seja, o momento angular é quantizado; pode 
apenas assumir valores iguais a nh/2π, onde n é um número inteiro. 
Se a carga do núcleo é +Ze e a carga do elétron é –e, a força centrípeta 
necessária para que o elétron se mova em uma órbita circular é a força de Coulomb 
kZe
2
/r. Lembrando que: 
 
 
 
 
17 (Y...) Física Quântica – P2 
A velocidade é dada como: 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a hipótese de quantização do momento angular L, 
 
 
 
Sendo n = 1, 2, 3... 
 
 n é chamado de número quântico principal; 
 h: h/2π 
 
O raio orbital é obtido combinando as expressões abaixo: 
 
 
 
 
 
L = mvr = nh/2π 
 
mvr = nh/2π 
r = nh/2πmv 
r = n /mv 
 
 
 
Elevando os dois lados da equação ao quadrado, tem-se: 
 
 
 
Simplificando: 
 
 
 
Esta última expressão relaciona r com n
2
. Considerando n = 1, e substituindo os 
valores, tem-se: 
 
 
 
 
 
18 (Y...) Física Quântica – P2 
 ao é uma constante denominada raio de Bohr, representando o menor 
valor possível para a órbita do átomo de hidrogênio, uma vez que n = 1. 
As demais órbitas também podem ser calculadas, considerando diferentes 
valores de n. 
 
Estas equações não se aplicam somente ao átomo de hidrogênio, mas também a 
qualquer átomo de carga nuclear +Ze com um único elétron em órbita, como hélio 
monoionizado e o lítio duplamente ionizado, sendo que, quanto maior o número 
atômico Z, menor será o valor de r. 
A energia total do elétron pode ser obtida combinando as duas equações abaixo: 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
Assim, a energia do elétron também é quantizada, isto é, os estados estacionários 
correspondem a valores específicos da energia total. Isso significa que as energias Ei e 
Ef que aparecem na condição de frequência do segundo postulado de Bohr devem 
pertencer ao conjunto de energias permitidas En: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta expressão pode ser escrita na forma da equação de Rydberg, considerando 
que ν = c/λ e dividindo ambos os membros da equação por c: 
 
 
 
Sendo R o valor teórico obtido por Bohr para a constante de Rydberg. 
 
 
 
19 (Y...) Física Quântica – P2 
Usando os valores de m, k, e, c e h/2π conhecidos em 1913, Bohr calculou o 
valor de R e constatou que o resultado estava de acordo com os valores obtidos pelos 
espectroscopistas. 
De acordo com o modelo de Bohr, os valores possíveis da energia do átomo de 
hidrogênio são dados pela expressão abaixo, considerando Z = 1: 
 
 
 
Eo = 13,6 eV. 
 
Assim, o valor de 13,6 eV representa o valor absoluto de En para n = 1. O estado 
no qual E = E1 = -Eo é chamado de estado fundamental. 
 
Diagrama de níveis de energia 
 
Gráfico que relaciona as energias dos estados estacionários. Várias séries de 
transições entre os estados estacionários estão indicadas neste diagrama por setas 
verticais. 
 
 
 
De acordo com a condição de frequência, a frequência da radiação emitida é 
igual à diferença de energia entre os níveis envolvidos, dividida pela constante de 
Planck. 
A energia necessária para remover o elétron do átomo, 13,6 eV, é chamada de 
energia de ionização ou energia de ligação do elétron. 
 
 
 
20 (Y...) Física Quântica – P2 
Nota-se que a energia necessária para a retirada de diferentes elétrons apresenta 
diferentes valores, isto pode ser justificado pelo efeito de blindagem do núcleo: quando 
um elétron estádistante do núcleo ele sofre atração eletrostática do núcleo, porém, esta 
atração é inferior a atração sofrida por elétrons localizados nas proximidades do núcleo, 
pois entre os elétrons distantes e o núcleo existem outros elétrons, que blindam os 
elétrons da atração total que o núcleo poderia exercer. Em decorrência disso, os elétrons 
podem ser classificados em duas formas distintas: elétrons fortemente atraídos ou de 
caroço e os elétrons fracamente ligados ou elétrons de valência. 
Os elétrons de valência são mais facilmente retirados, sendo os responsáveis 
pelas ligações químicas e pelas características ópticas no espectro do visível. 
Para a retirada dos elétrons mais próximos do núcleo é necessário incidir muito 
mais energia, tal energia pode ser fornecida por raios-X. 
 
Mosley 
 
Quando um elétron próximo ao núcleo é retirado, o elétron mais distante do 
núcleo pode ocupar o seu lugar, a transição deste elétron é responsável pela produção de 
raios-X. Podem ocorrer casos em que os elétrons que ocupe o lugar vago provenham de 
níveis estacionários mais internos, contudo, tais transições não serão medidas no 
experimento de Moseley, pois ele empregou um detector de radiação de raios-X e estas 
transições não seriam capazes de produzir raios-X. 
 
Experimento de Frank-Hertz 
 
O experimento consistia em construir um tubo de raios catódicos para a 
produção de elétrons acelerados. Um pequeno filamento aquece o cátodo. Elétrons são 
ejetados do cátodo aquecido e acelerados na direção de uma grade, que é mantida a um 
potencial Vo em relação ao cátodo. 
Alguns elétrons passam pela grade e chegam à placa P que está a um potencial 
ligeiramente menor. A movimentação de elétrons era responsável pela formação de 
corrente. 
 
 
 
Adicionou-se gás mercúrio no interior do tubo a baixa pressão. Atualmente, 
também são inseridos outros elementos. 
 
 
21 (Y...) Física Quântica – P2 
O experimento consiste em medir a corrente de placa em função de Vo. Ao 
aumentar a diferença de potencial observava-se aumento na corrente. Contudo, em 
certos momentos a corrente diminuía. Ao trocar o gás do tudo, as mesmas observações 
eram feitas. Ao aumentar ainda mais a tensão a corrente voltava a subir. 
No caso do mercúrio a corrente começava a diminuir quando a tensão assumia 
valores iguais a 4,9 V. 
 
 
 
A explicação desse comportamento é mais fácil de visualizar se imaginarmos 
que o tubo contém átomos de hidrogênio em vez de mercúrio. Os elétrons acelerados 
pelo potencial Vo que colidem com elétrons do átomo de hidrogênio não podem 
transferir energia para esses elétrons a menos que tenham adquirido energia cinética eVo 
= E2 – E1 = 10,2 eV, já que o elétron de hidrogênio, de acordo com o modelo de Bohr, 
não pode ocupar estados energéticos intermediários. Assim, qualquer colisão entre um 
elétron incidente com uma energia menor do que 10,2 eV e um elétron de hidrogênio 
deve ser elástica: a energia cinética do elétron incidente continua a mesma após a 
colisão e, portanto, o elétron pode vencer o potencial e contribuir para a corrente I. Se, 
por outro lado, eVo > 10,2 eV, o elétron incidente pode transferir 10,2 eV para o elétron 
do hidrogênio, que se encontra no estado fundamental, ou seja, n = 1, enviando-o para n 
= 2. Com isso, a energia do elétron incidente sofre uma redução de 10,2 eV; o 
espalhamento é, portanto, inelástico. Com energia insuficiente para vencer o pequeno 
potencial negativo, os elétrons deixam de contribuir para a corrente da placa I, por esse 
motivo observa-se redução nas correntes medidas. 
O valor observado de potencial crítico para o mercúrio é de 4,9 eV porque neste 
elementos existem 80 elétrons. Assim, os elétrons com energia menor do que este valor 
não podem perder energia para os átomos de Hg, mas os elétrons com uma energia 
maior do 4,9 eV podem sofrer uma colisão inelástica e perder 4,9 eV. Quando isso 
acontece, os elétrons não conseguem ganhar energia suficiente para superar a pequena 
tensão negativa e chegar à placa, de modo que a corrente diminui. Se a explicação 
estiver correta, os átomos de Hg que forem excitados para um nível de energia 4,9 eV 
acima do estado fundamental voltarão a esse estado emitindo fóton com comprimento 
de onda igual a: 
 
λ = c/ν 
λ = hc/hν 
λ = hv/eVo 
λ = 253 nm. 
 
 
22 (Y...) Física Quântica – P2 
De fato existe uma linha com esse comprimento de onda no espectro do 
mercúrio, desde que Vo seja maior do que 4,9V. 
Novas quedas de corrente são observadas com o aumento de Vo, isso pode ser 
resultante de dois mecanismos: 
 
 Promoção de elétrons do estão fundamental para outros níveis mais 
excitados do átomo de Hg (o segundo nível mais excitado do Hg está 6,7 
eV acima do estado fundamental); 
 Excitações múltiplas causadas pelo mesmo elétron (como por exemplo, o 
mesmo elétron perdendo 4,9 eV mais de uma vez). 
 
No caso do mercúrio a corrente cai a cada 4,9 V. 
O experimento de Franck-Hertz foi uma importante confirmação da ideia de que 
as linhas discretas do espectro de emissão dos átomos estão associadas à existência de 
níveis de energia quantizados. 
 
Somerfield 
 
Para corrigir falhas do principio de incerteza, deve-se adotar que as órbitas dos 
estados estacionários não são circulares e sim elípticas. A velocidade nos extremos é 
muito maior do que a velocidade do elétron quando está mais próximo do núcleo. 
As diferentes linhas espectrais observadas tinham relação com as diferentes 
excentricidades das orbitas elípticas. 
A constante de estrutura fina vale 1/137, sendo proporcional a separação das 
raias. 
Estrutura fina: quando são observadas em espectroscopia de alta resolução, as 
linhas do hidrogênio (e para a maioria dos outros elementos) se desdobram em várias 
linhas muito próximas, que constituem a chamada estrutura fina. 
 
Propriedades ondulatórias da matéria 
 
A matéria tem propriedades ondulatórias. 
 
Experimentos motivadores 
 
Espalhamento de raios-X 
 
Laue: o espalhamento de elétrons por cristais ocorre devido a interferência. 
 
Os raios X são usados para identificas minerais: incide-se raios X sobre uma 
amostra, os raios X são espalhados, cada material tem uma assinatura característica. 
 
Lei de Bragg 
 
Incide raios x sobre cristais. Em virtude de diferentes caminhos ópticos os raios 
X espalhados podem formar interferências destrutivas ou construtivas. O ângulo de 
incidência deve ser igual ao ângulo de reflexão da onda espalhada. 
 
 
 
23 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Utilizando a lei de Bragg é possível determinar o espaçamento inter atômico de 
um cristal, isso é possível porque o comprimento de onda dos raios X tem a mesma 
dimensão do espaçamento. 
 
 
 
Espalhamento de elétrons 
 
Em 1926, G. P. Thomson, filho de J. J. Thomson, incidiu um feixe de elétrons 
sobre SnO2 e observou um espalhamento semelhante ao observado ao espalhamento de 
raios X, ou seja, os elétrons estavam se difratando. 
A hipótese de que os elétrons estavam se difratando não poderia ser justificada 
considerando os elétrons como partículas, uma vez que a difração é uma característica 
ondulatória. Caso os elétrons apresentassem comportamento corpuscular (o que era 
esperado), estes deveriam se chocar com SnO2, sofrendo deslocamentos, assim como 
ocorrera no modelo de Ruhterford. 
Davisson e Germer observaram a difração de elétrons por átomos de níquel, 
resultados também compatíveis com os resultados da difração de raios X. 
Assim, foram obtidas evidências de que os elétrons se comportavam também 
como ondas. 
 
Louis Victor de Broglie 
 
Louis V. de Broglie questionou: “Se a luz pode se comportarcomo uma 
partícula, por que as partículas não podem se comportar como onda?” 
 
Ou seja, segundo sua tese de 1923, as partículas que possuem massa também 
devem ter propriedades semelhantes às ondas eletromagnéticas. 
A energia pode ser escrita como: 
 
E = hν = pc 
 
pc: expressão da relatividade, onde p indica o momento. 
 
E = hν = pc = pλν 
 
Assim, toda partícula de massa m e momento p, tem a ela associada uma onda, 
cujo comprimento de onda é determinado por: 
 
 
24 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento de onda associado à matéria é chamado de comprimento de 
onda de Broglie. 
Por exemplo, supondo um corpo de massa 100kg, se movendo a 100km/h 
(utilizando um valor para a constante de Planck que tenha somente a mesma grandeza 
do número correto), tem-se: 
 
λ = 10-34/(102 x 102) ≈ 10-38m 
 
Assim, para corpos de massa igual a 100kg o comprimento de onda associado 
esta na ordem de 10
-38
m. Este comprimento é muito pequeno para ser observado. 
 
Realizando o mesmo cálculo para um elétron, cuja massa é extremamente 
menor; sua velocidade é maior (utilizando um valor para a constante de Planck que 
tenha somente a mesma grandeza do número correto), tem-se: 
 
λ = 10-34/(10-28 x 104) ≈ 10-10m 
 
Para os elétrons o comprimento de onda é muito maior, de modo que possa ser 
observado. 
 
Voltando ao modelo de Bohr 
 
Aplicando a ideia de de Broglie ao modelo atômico proposto por Bohr, é 
possível explicar a quantização que foi postulada por Bohr (naquela época sem 
comprovação), ou seja, após 10 anos a ideia do átomo de hidrogênio de Broglie 
complementou o modelo a partir de uma ideia de simetria da natureza, isto é, se a 
radiação apresenta comportamento dual, a matéria também obedece as relações duais, 
ou seja, a matéria também comporta-se como onda. 
O raciocínio se desenvolveu a partir de duas expressões: 
 
E = hν 
 
e 
 
p = hλ 
 
Ao associar o elétron a uma onda, tem-se, portanto, uma órbita que ondula. Se a 
órbita é estacionária, ela tem de se fechar, tendo assim um número inteiro de 
comprimentos de onda (ideia de acordo com a concepção ondulatória à partícula 
elétron). 
 
 
25 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
Considerando comprimento de onda λ e raio da órbita r: 
 
Deve existir um número inteiro de comprimentos de onda (nλ) que estão em 
volta do perímetro da órbita (2πr), tem-se: 
 
2πr = nλ 
 
Se o comprimento de onda pode ser expresso em função do seu momento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rp: em uma órbita circular representa o momento angular (l), ou seja, é o 
produto do momento linear pelo raio da órbita. 
 
l = nh 
 
Ou seja, tem-se a quantização de Bohr. A partir da ideia de de Broglie inicia-se a 
mecânica quântica. 
 
Descrição matemática de uma onda periódica 
 
Equação geral da onda: 
 
 
 
A solução típica de uma equação de onda é função de cosseno: 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
26 (Y...) Física Quântica – P2 
Representação de um elétron por uma função de onda 
 
Deve haver uma função que represente o elétron. 
Função delta de Dirac: é a somatória de funções de onda cosseno. A forma 
como as várias funções cossenos são utilizadas em conjunto possibilita a construção de 
gráficos para qualquer função. 
A somatória de infinitas funções de cosseno possibilita a construção do gráfico 
abaixo: 
 
 
 
A função que representa a posição do elétron é a que estamos interessados, ela se 
apresenta da seguinte forma: 
 
 
 
A partir da função delta de Dirac é possível somar funções cosseno e obter uma 
função com o aspecto da última curva apresentada. 
 
y = yo cos (kx – wt) 
 
 yo: amplitude da curva. 
 
A expressão acima relaciona o elétron com uma posição (k) e um determinado 
tempo (w), pois uma onda está localizada em um determinado lugar em um determinado 
instante. Podem existir infinitos valores de k e de w. 
 
Infinitos k: 1 ponto 
 
 
 
 
 
27 (Y...) Física Quântica – P2 
Muitos k: Curva representada acima 
 
 
 
1k: gráfico comum de cosseno 
 
 
 
Se o valor de ∆k for pequeno, tem-se uma curva espalhada; se só existe um valor 
de k a posição é desconhecida, pois a função será muito esticada. 
A partir da análise de k, sabe-se que para localizar o elétron é necessário que o 
valor de k seja muito elevado. 
Como a onda se move, a posição no tempo também muda, assim, para se saber 
onde o elétron estará em um determinado momento é necessário um elevado valor de w. 
 
Pacote de ondas ou conjunto de ondas. 
 
 
 
 Ao somar muitas funções cossenos tem-se a corcova desejada; 
 Ao somar infinitas funções, tem-se incerteza. 
 
Esta análise é válida para todos os tipos de onda, ou seja, um grupo ou pacote de 
ondas representa a corcova. 
 
O produto de ∆x∆k é limitado, porém, não se sabe o valor exato, por convenção 
utiliza-se o resultado igual a 1. Assim, ao aumentar ∆x diminui ∆k, se aumenta ∆k 
diminui ∆x. O mesmo é observado para a relação entre ∆w∆t. 
 
Heinsenberg 
 
Em seu trabalho, de 1927, uniu ∆x∆k e ∆w∆t, em seu trabalho sobre o princípio 
de incerteza. O valor de k provêm do momento: 
 
 
 
28 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde, k = 2π/λ 
 
∆k provoca ∆p. 
 
Ao incidir uma fonte de luz em um anteparo, tem-se uma figura de interferência, 
parte da luz bate no obstáculo e é difratada. O mesmo ocorre quando se incide feixes de 
elétrons (como nas TVs de tubo), ou seja, quando um elétron passa por um experimento 
de fenda dupla observa-se o mesmo que ocorre com a luz. Assim, tem-se fortes 
evidências que os elétrons se comportam como a luz. Para que os resultados da fenda 
dupla alcance os resultados desejados, é necessário que os orifícios do anteparo tenham 
as dimensões do comprimento da onda. 
Ao realizar um experimento de fendas duplas com armas de fogo, os projeteis 
atingirão o anteparo posicionado atrás das fendas sempre na mesma posição. Pois não é 
possível construir orifícios com as dimensões necessárias para se observar o fenômeno 
de difração. 
Neste ponto, tem-se uma situação inversa a da luz, ou seja, neste momento 
histórico observou-se que a luz comporta-se como onda, e observou-se que o elétron 
também apresenta características ondulatórias, como a difração, que representam 
comportamentos coletivos. 
A dualidade onda partícula é muito ampla, pois tudo apresenta este 
comportamento, tanto as ondas eletromagnéticas e a matéria apresentam este 
comportamento. As duas condições são necessárias e complementares para explicar 
tudo. 
 
Experimento de Young 
 
Consistiu em incidir luz com intensidade baixa. 
Resumidamente: A partir de um experimento de fenda dupla, com o passar do 
tempo, mais pontos (contadores) chegam à tela, depois de muito tempo é possível 
observar a formação de figuras de interferência formadas por muitos contadores. 
A interação da luz com os detectores é um fenômeno quântico. Quando 
iluminamos os detectores por um tempo muito curto, usando uma fonte luminosa de 
baixa intensidade não é possível observar uma versão mais fraca da figura de 
interferência (pois não houve tempo suficiente para isso); em vez disso observa-se 
somente alguns pontos resultantes da detecção individual dos fótons. Nos locais onde as 
ondas passam pelas duas fendas e ocorre interferência destrutiva não se observa nenhum 
ponto e nos locais onde as ondas interferem construtivamente são observados os pontos. 
Quando a exposição é suficientemente longa para que muitos fótons atinjam os 
detectores,a natureza quântica da luz (comportamento de partícula) não é mais 
observada. A figura de interferência é formada independentemente do tempo de 
exposição, mas sim em função do número de fótons que atingem a superfície. 
 
Por onde o elétron passa? 
 
A análise de qual fenda é utilizada pelo elétron para ultrapassar o anteparo é 
feita colocando-se um medidor após a fenda, o qual emite luz, caso o elétron passe por 
 
 
29 (Y...) Física Quântica – P2 
esse medidor haverá um intervalo na emissão da luz, de modo a saber que o elétron 
passou por aquela fenda. Contudo, ao ligar o detector, observa-se que a figura de 
interferência é destruída. 
 
 
 
Assim, conclui-se que não é possível observar o caráter de partícula e de onda do 
elétron ao mesmo tempo, pois a análise do comportamento individual do elétron impede 
a analise do comportamento coletivo (interferência), pois a luz interfere no elétron. 
A interferência deixa de ser observada porque ao incidir luz (fóton) sobre o 
elétron, o memento do elétron muda (o fóton transfere momento ao elétron). Quando o 
momento do elétron muda, ocorre alteração em seu comprimento de onda (uma vez que 
p =h/λ). Para que a interferência ocorra é necessário que o orifício do anteparo tenha as 
mesmas ordens de grandeza do comprimento de onda do elétron, assim, se o 
comprimento de onda do elétron muda, o orifício não atenderá mais a dimensão 
necessária para que a interferência seja observada. 
Utilizando o principio de incerteza, Heisenberg explicou este fenômeno. 
 
A dualidade onda partícula 
 
Niels Bohr propôs o princípio da complementaridade, no qual os modelos 
corpuscular e ondulatório são complementares; se uma medida prova o caráter 
ondulatório da radiação ou da matéria, então é impossível provar o caráter corpuscular 
na mesma medida, e vice-versa. A compreensão sobre radiação ou matéria só estará 
completa se forem considerados as medidas que revelam os aspectos ondulatórios eos 
aspectos corpusculares, ou seja, a radiação e a matéria não são somente ondas ou 
somente partículas. 
A ligação entre os modelos corpuscular e ondulatório é feita por meio de uma 
interpretação probabilística da dualidade onda-partícula. 
 
Principio da incerteza ou principio da indeterminação 
 
Na física clássica as leis básicas (como as de Newton) são determinísticas, e a 
análise estatística é apenas um artifício prático para tratar sistemas muito complexos. Na 
mecânica quântica, a análise probabilística é fundamental, de modo que a análise 
determinística deve ser abandonada. 
Na mecânica clássica, as equações de movimento de um sistema, conhecidas as 
forças que atuam sobre ele, podem ser resolvidas de forma a dar a posição e o momento 
 
 
30 (Y...) Física Quântica – P2 
da partícula para todos os valores do tempo, para isso, basta saber qual é a posição e o 
momento inicial, assim, é possível determinar as condições futuras. 
No processo de observar o observador interage com o sistema. A magnitude na 
interferência do observador é inversamente proporcional ao tamanho do sistema 
observado, por exemplo, ao determinar a posição da lua, a perturbação ao sistema é 
muito pequena, podendo ser ignorada. Os físicos clássicos afirmavam que seria possível 
determinar a posição e o momento de sistemas microscópicos de maneira precisa 
através de observações, contudo Heisenberg e Bohr questionaram esta hipótese. 
A teoria quântica afirma que a precisão máxima com que se consegue observar a 
posição e o momento no mesmo instante da matéria ou da radiação deve equivaler a 
precisão permitida pelo princípio da incerteza de Heisenberg. 
O princípio da incerteza ou da indeterminação é dividido em duas partes: 
 
A primeira parte refere-se a determinação simultânea de posição e momento, isto 
é, não é possível determinar ao mesmo tempo o valor exato do momento px e também o 
valor exata da coordenada correspondente x. 
A limitação da medição destas duas variáveis é limitada pelo processo de 
medida em si, (ou seja, a incerteza não tem relação com deficiências experimentais, 
assim, melhorias nos instrumentos que possam nos dar melhores determinações 
simultâneas de px e x não seriam suficientes para dirimir a incerteza) de tal forma que: 
 
∆px∆x ≥ 
 
A expressão acima indica que o momento px é conhecido com uma incerteza de 
∆px e a posição x é conhecida com uma incerteza ∆x. 
O símbolo de ≥ representa que este é o limite inferior teórico para a incerteza. 
O princípio afirma que, mesmo que existam instrumentos ideais nunca 
poderemos obter resultados melhores do que: ∆px∆x ≥ h/2, este resultado não depende 
do experimento, e sim da natureza da partícula. 
Deve-se observar também que o princípio está baseado no produto dos dois 
aspectos analisados, assim, ao aprimorar os métodos para aperfeiçoar as medições dos 
momentos estaremos diminuindo a precisão das medições das posições, assim, se 
conhecemos o momento com precisão, nada saberemos de x, assim, a restrição não é em 
relação à precisão com que px ou x podem ser medidos, mas em relação ao produto 
numa medida simultânea de ambos. 
Desta forma, não é possível determinar a posição x e o momento p iniciais, 
assim, não pode-se determinar precisamente o comportamento futuro do sistema (com é 
efetuado na física clássica). 
 
A segunda parte do princípio da incerteza está relacionada com a medida da 
energia E e do tempo t necessário à medida. Por exemplo, o intervalo ∆t durante o qual 
um fóton com incerteza ∆E é emitido de um átomo. 
 
∆E∆t ≥ h/2 
 
De maneira análoga à primeira parte o ∆E e ∆t referem-se às incertezas das 
medições da energia e do tempo, respectivamente. Para que a energia seja medida com 
precisão de 100% é necessário um intervalo de tempo infinito. 
As incertezas em experiências cotidianas não são observadas, pois o valor de h é 
muito pequeno. 
 
 
31 (Y...) Física Quântica – P2 
A impossibilidade de efetuar projeções futuras sobre o sistema implica na 
impossibilidade de fazer previsões determinísticas, em vez disso, é possível afirmar 
somente os possíveis resultados de uma observação, assim, obtêm-se as probabilidades 
relativas de sua ocorrência. 
No sistema quântico todas as observações geram interferências significativas nos 
resultados. 
 
Origem física do princípio da incerteza 
 
A partir do experimento proposto por Bohr. Ao tentar “ver” um elétron é preciso 
incidir luz sobre esta partícula, pois será o fóton espalhado pelo elétron que será visto 
pelo observador. Neste momento surge o princípio da incerteza, pois o ato de observar o 
elétron é responsável por causar uma perturbação neste. 
No momento em que o elétron é iluminado, ele recua em função do efeito 
Compton. Porém, se o elétron não for iluminado não será possível observá-lo. 
Portanto, o princípio de incerteza diz respeito ao processo de medida em si, e 
expressa o fato de que sempre existe uma interação não determinável ente o observador 
e o que é observado, de modo que não é possível fazer nada para diminuir ou eliminar 
esta interferência. 
 
Diminuição na imprecisão medida 
 
Para atenuar os efeitos da observação, pode-se utilizar uma fonte luminosa muito 
fraca, que possibilite o espalhamento de um único fóton pelo elétron. 
O elétron pode ser espalhado em qualquer direção dentro da região angular 2θ’. 
 
 
 
Observa-se que a componente x do momento do fóton pode variar de +p senθ até 
–p senθ e a incerteza gerada na determinação do momento é dada por: 
 
∆px = 2p senθ = (2h/λ)senθ 
 
A lei de conservação do momento exige que o elétron receba um momento na 
direção x igual em modulo à variação da componente x do momento do fóton (por issoa análise do momento do fóton espalhado é válida). 
Para reduzir a incerteza do momento, pode-se aumentar o comprimento da onda 
da luz (analisar a equação acima), ou usar um microscópio com uma objetiva que 
permita um menor ângulo. 
Porém, a imagem de um objeto pontual vista através de um microscópio não é 
um ponto, mas uma figura de difração; a imagem do elétron é difusa. O poder de 
 
 
32 (Y...) Física Quântica – P2 
resolução de um microscópio determina a precisão máxima com a qual o elétron pode 
ser localizado. Uma expressão conhecida para o poder de resolução de um microscópio 
nos dá: 
 
∆x = λ/senθ 
 
A partir desta fórmula é possível concluir que para diminuir a incerteza com 
relação a posição x, pode-se usar luz com comprimentos de onda mais curtos, ou um 
microscópio cuja objetiva subtenda um ângulo maior. 
Assim, as condições para aprimoramento de ∆p e de ∆x são contrárias, por 
exemplo, ao utilizarmos uma luz com pequenos comprimentos de onda (como os raios 
γ), a incerteza com relação a posição diminui, pois é possível obter uma melhor 
resolução do microscópio, porém, aumenta-se o recuo de Compton, e, 
consequentemente, aumento a incerteza de momento. 
 
Ao multiplicar as incertezas de posição e de momentos analisadas acima, tem-se: 
 
 
 
O resultado 2h concorda razoavelmente com o limite mínimo do princípio da 
incerteza. Na prática, uma experiência dá resultados piores do que o sugerido na 
equação acima, pois esse resultado se baseia nas condições mais favoráveis possíveis. 
 
Interpretação probabilística da função de onda ou de 
Copenhagem 
 
Assim como existe uma função de onda para a luz (y = yo cos (kx – wt)), existe 
uma função para a matéria. A função que associa a probabilidade de localizar uma 
partícula é ψ(x,t). A função ψ não tem significado físico, ao elevar a função ψ ao 
quadrado, isto é ψ2, tem-se a probabilidade de localizar uma partícula em uma 
determinada posição em um dado instante. A amplitude de ψ2 em qualquer ponto está 
relacionada à probabilidade de que uma partícula seja encontrada neste ponto. Assim, a 
posição mais provável do elétron é o valor de x para o qual a função ψ2 apresentar valor 
máximo. 
A probabilidade que ondula, ou seja, a movimentação desta onda representa a 
movimentação da probabilidade de se encontrar uma partícula em uma determinada 
posição em um determinado instante de tempo. 
A função ψ ao quadrado, ψ2, é calculada como o produto da função ψ pelo seu 
complexo conjugado: ψ* ψ. Em uma dimensão ψ2dx é a probabilidade de que um 
elétron seja encontrado no intervalo dx. A amplitude é um número complexo, com uma 
parte real e outra parte imaginária. Não é possível medir ou interpretar diretamente 
números complexos no mundo de números reais. 
A função |ψ(x,t)|2 representa a probabilidade de localizar o elétron por toda a 
função, isto é, existe probabilidade de localizar o elétron ao longo de toda a função, 
contudo a probabilidade pode ser nula em alguns pontos e diferente de zero em outros 
diversos pontos. Como o elétron pode estar ao longo de toda função, existe uma 
indeterminação ou incerteza sobre a posição do elétron. 
 
 
33 (Y...) Física Quântica – P2 
Se o pacote de ondas for estreito, a indeterminação com relação a posição será 
pequena, porém as ondas harmônicas que formam um pacote de onda estreito possuem 
muitos valores de k. Como o momento está relacionado ao número de onda através da 
equação p = hk, o pacote estreito também apresentará elevado número de momentos. A 
relação entre estas duas variáveis é dada por: 
 
∆x∆k ~1 
 
Da mesma forma, existe uma relação entre a duração de um pacote ∆t e a faixa 
de frequências das ondas que contém ∆w: 
 
∆w∆t ~ 1 
 
Utilizando as relações de de Broglie: 
 
p = hk 
E = hw 
 
∆x∆p ~h 
 
e 
 
∆E∆t ~ h 
 
Estas duas últimas equações são a expressão matemática do principio de 
indeterminação ou princípio de incerteza, formulado em 1927, por Werner K. 
Heisenberg. 
Ao considerar as funções distribuição de posição e de momento como 
gaussianas, o produto de seus desvios padrões é ½, assim, o valor mínimo do produto 
das duas grandezas será de h/2. 
 
∆x∆p ≥ h/2 
 
E analogamente, 
 
∆E∆t ≥ h/2 
 
Introdução à mecânica quântica 
 
Em 1926, Erwin Schrödinger publicou sua hoje famosa equação de onda, que 
governa a propagação das ondas a matéria, incluindo elétrons. Alguns meses antes, 
Werner Heisenberg havia proposto uma teoria aparentemente distinta para explicar 
fenômenos atômicos. A teoria de Heisenberg incluía apenas grandezas mensuráveis, 
como energia, posição e movimento, eram representadas por matrizes; os elementos 
diagonais dessas matrizes representavam os resultados possíveis das medidas. 
Embora as teorias de Schödinger e Heisenberg pareçam diferentes, o próprio 
Schödinger mais tarde provou que são na verdade eram equivalentes. 
A teoria resultante, hoje conhecida como mecânica ondulatória ou mecânica 
quântica foi uma das teorias mais bem sucedidas de todos os tempos. 
 
 
 
34 (Y...) Física Quântica – P2 
Equação de Schrödinger 
 
A equação de onda que governa o movimento de elétrons e outras partículas com 
massa de repouso diferente de zero, que é análoga a equação de onda clássica foi 
proposta por Schrödinger no final de 1925. 
A teoria de Schrödinger possibilita a análise do comportamento ondulatório de 
sistemas mais complexos do que aqueles possíveis a partir dos postulados de de Broglie. 
Assim como a função de onda clássica, a função de onda de Schrödinger 
relaciona as derivadas da função de onda em relação ao tempo e em relação ao espaço. 
A equação de onda de Schrödinger pode ser aplicada em situações não 
relativísticas, uma equação de onda relativística foi obtida somente em 1928, por Dirac. 
Comecemos a análise da equação de onda de Schröndiger a partir de uma 
equação de onda de um fóton: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma onda desse tipo pode ser representada de várias formas diferentes, 
exatamente como uma onda clássica: 
 
E (x,t) = Eo cos (kx – wt); 
E (x,t) = Eo sen (kx – wt); 
E (x,t) = Ae
i(kx – wt)
. 
 
Adotemos E (x,t) = Eo cos (kx – wt). Ao derivar esta equação duas vezes em 
função de t e de x, tem-se: 
 
 
 
 
 
Ao retornar estes valores na equação de onda clássica: 
 
-k
2
 cos (kx – wt) = 1/c2 x (-w2 cos (kx – wt) 
-k
2
 = 1/c
2
 x (-w
2
) 
k = w/c 
w = kc 
 
Esta expressão relaciona a frequência angular com o número de onda. 
 
Utilizando as relações de de Broklie: 
 
w = E/h; 
p = hk. 
 
 
35 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
 
 
E = pc 
 
Expressão que relaciona a energia e o momento de um fóton. 
 
A energia total de uma partícula (não relativística) de massa m é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é, a energia total será igual a somatória da energia cinética com a energia 
potencial. 
Combinando as relações de de Broglie com a expressão acima, é possível chegar 
a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
Equação de Schrödinger: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentre as três alternativas propostas como solução de uma onda clássica a 
função cosseno não é válida porque ao derivar uma vez em função do tempo ter-se-á 
uma função seno, apesar do fato da derivada segunda em função do tempo retornar um 
cosseno como resultado. Uma análise análoga pode ser feita ao considerar o seno como 
resposta. 
A única alternativa que poderá ser escolhida é a formaexponencial da função de 
onda harmônica satisfaz a equação. Além disso, ao considerar o potencial como 
constante, é possível chagar na expressão abaixo: 
 
 
 
 t)] 
 
Ao derivar a expressão acima em função do tempo e em função da posição, 
obtêm-se os seguintes resultados: 
 
 
 
36 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
e 
 
 
 
 
Assim, substituindo na equação de Schrödinger e considerando V(x,t) = Vo, tem-
se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 )ψ 
 
Cortando ψ de todos os termos e multiplicando i por (i) = -1, tem-se: 
 
 
 
 
 
Exatamente a equação obtida anteriormente. Contudo, a equação de onda 
clássica se diferencia da equação de onda proposta por Schrödinger porque na equação 
de Schrödinger aparece o número imaginário i. 
O numero imaginário i aparece porque a equação de Schrödinger relaciona uma 
derivada primeira em relação ao tempo e uma derivada segunda em relação ao espaço. 
No caso da equação de onda clássica, a relação é entre a derivada segunda em relação 
ao tempo e a derivada segunda em relação ao espaço. Em consequência, a função ψ(x,t) 
é uma função complexa, enquanto a função y(x,t) é uma função real. Isso significa que a 
função de onda ψ(x,t) que satisfaz a equação de Schrödinger não é uma função 
diretamente mensurável como a função de onda clássica. 
A probabilidade P(x)dx de que o elétron seja encontrado no intervalo entre x e x 
+ dx é definida como | ψ|2dx. Como ψ(x,t) é uma função complexa, devemos modificar 
ligeiramente a interpretação da função de onda para que a probabilidade de encontrar o 
elétron no intervalo dx seja um número real. A probabilidade pode ser definida através 
da equação: 
 
 
 
Onde ψ* é o complexo conjugado de ψ, é obtido substituindo i por –i na função 
ψ. 
A expressão representa uma densidade de probabilidade, pois é 
necessário multiplicar este valor pelo comprimento (dx) para que se obtenha um 
resultado de probabilidade. 
 
Obs: Embora os resultados das medições sejam números reais, a parte 
imaginária de ψ contribui para esses resultados. Todo número complexo pode ser escrito 
na forma z = a +bi, onde a e b são números reais e . O módulo ou o valor 
absoluto de z é definido através da expressão |z| = . Como o complexo 
conjugado de z é z* = a – bi, zz* = (a - bi)(a + bi) = |z|2, assim o cálculo de |ψ| inclui 
uma contribuição da parte imaginária. 
 
 
37 (Y...) Física Quântica – P2 
 
O fato de que ψ é uma função complexa apenas reforça a ideia de que é inútil 
tentar responder a perguntas como: 
 
O que está oscilando em uma onda de matéria? 
Em que tipo de meio as ondas de matéria se propagam? 
 
A função de onda não passa de um artifício matemático; o que tem significado 
real é o produto ψ* ψ = | ψ|2, que representa uma probabilidade P(x,t) ou como também 
é frequentemente chamada, de amplitude de densidade de probabilidade, ou amplitude 
de densidade de probabilidade ou ainda amplitude de probabilidade. 
 
A soma das probabilidades de localizar um elétron em todas as posições 
possíveis deve ser igual a um: 
 
 
 
 
 
 
A expressão acima é conhecida como condição de normalização. Esta condição 
implica que a função ψ(x,t) deve tender a zero com rapidez suficiente para que a 
integral permaneça finita quando x → ± ∞. 
 
Separação das funções do tempo e do espaço 
 
Nos problemas em que a energia potencial não varia com o tempo (existem 
diversos exemplos, como o potencial gravitacional, o potencial eletrostático, o 
movimento do pêndulo), as funções do tempo e do espaço na equação de onda podem 
ser separadas, o que permite escrever a equação de Schrödinger em uma forma mais 
simples, através do método da separação de variáveis, isto é: 
 
V(x,t) ≡ V(x) 
 
ψ (x,t) = ψ(x) ψ(t) 
ψ (x,t) = ψ(x) ϕ(t) 
ψ (x,t) = ψ(x) e-iwt 
 
Assim, tem-se uma equação em função do tempo e uma constante, que na 
equação de Schrödinger poderá ser retirada da derivada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível encontrar a equação acima com o expoente de e sendo (-iEt/h), pois ω 
= E/h. 
Sabendo-se que i
par
 = -1 e i
ímpar
 = 1 é possível simplificar a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
 
 
Pela relação de de Broglie E = ωh (outra importante relação é p = hk, mas esta 
não é utilizada nesta passagem): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é a equação de Schröndiger independente do tempo. A forma compacta para 
esta equação é: 
 
Hψ = Eψ 
 
Sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições que uma função de onda deve satisfazer 
 
1-) A função deve respeitar a condição de normalização, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Esta condição implica que a função ψ(x,t) deve tender a zero com rapidez 
suficiente para que a integral permaneça finita quando x → ± ∞. 
 
2-) A função ψ(x,t) deve existir e ser contínua. Fisicamente, isto significa que a 
probabilidade de encontrar uma partícula não pode variar descontinuamente de um 
ponto para um ponto vizinho. Isso significa que ψ(x,t) em função de x não deve 
apresentar variações bruscas. 
 
3-) A derivada primeira de ψ(x,t) deve ser contínua, pois a equação de 
Schrödinger envolve a derivada segunda. 
 
4-) ψ(x) e dψ/dx devem ser finitas e unívocas. Como nenhuma partícula pode ter 
energia potencial infinita, ψ(x) deve ser nula nas regiões onde V(x) é infinita, pois 
grandezas mensuráveis jamais são infinitas ou plurívocas. 
 
O poço do quadrado finito ou problema da partícula em uma 
caixa 
 
Problema clássico de 1926. Este problema considera somente uma dimensão e é 
independente do tempo. 
Macroscopicamente este problema pode ser exemplificado como uma conta 
pendurada em um fio sem atrito e limitada a mover-se entre dois obstáculos 
 
 
39 (Y...) Física Quântica – P2 
impenetráveis. O confinamento de um elétron pode ser obtido utilizando eletrodos com 
elevados potenciais. A energia potencial terá o seguinte aspecto: 
 
 
 
Nesse problema, a energia potencial é da forma: 
 
 V(x) = 0 quando 0 < x < L; 
 V(x) = ∞ quando x < 0 e x > L 
 
Embora o potencial definido seja claramente artificial, a solução deste problema 
é interessante, pois: 
 
 O problema está relacionado com o problema da corda vibrante da física 
clássica; 
 O problema pode ser usado para ilustrar muitos aspectos gerais dos 
problemas da mecânica quântica; 
 O potencial utilizado constitui uma forma aproximada a encontrada em 
algumas situações reais, como um elétron confinado em um metal. 
 
Como a energia potencial é infinita fora do poço, a função de onda é 
necessariamente nula nessa região (não tem função de onda), isto é, a probabilidade de 
encontrar um elétron fora do poço é nula, a probabilidade de encontrar um elétron só 
existe no interior do poço. Esta condição implica no fato de que a resolução da equação 
de Schröndiger deve se limitar a região do poço, isto é, para 0 < x < L. 
Desta forma, chegamos a duas equações para este problema: 
 
Dentro do poço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fora do poço: 
 
ψ(x) ≡ 0 
 
Segundo as condições de contorno, deve-se ter em mente que a função de onda 
deve ser contínua, portanto o valor da função deveser zero quando x = 0 e quando x = 
L. 
Na física clássica o problema da corda vibrante é semelhante, pois a corda é fixa 
nas duas extremidades. Assim como no caso das cordas vibrantes, no interior do poço 
existe um número inteiro de meios de comprimentos de onda. 
 
 
 
40 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
Como o comprimento de onda está relacionado ao momento da partícula através 
da relação de de Broglie p = h/λ e a energia total da partícula no interior do poço é igual 
à energia cinética p
2
/2m, esta quantização do comprimento de onda implica que a 
energia é quantizada e que os valores permitidos são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a energia depende de um número inteiro n, costuma-se representar a 
energia como En. Em termos de h a energia é expressa como: 
 
 
 
 
 
 
n = 1, 2, 3... 
 
A menor energia possível ocorre quando n = 1, neste caso, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
É possível chegar a essa quantização através da equação de Schrödinger com 
potencial nulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação acima possui soluções como ψ(x) = A sem(kx) ou ψ(x) = B cos(kx). 
Ao analisar as condições de contorno, verifica-se que para x = 0 a função 
também deve vale zero, o que exclui a possibilidade de utilização da solução na forma 
de cosseno, uma vez que cos (0) = 1. A outra condição de contorno, isto é, ψ(x) = 0 em 
x = L fornece: 
 
ψ(L) = A sen (kL) = 0 
 
L é o tamanho da corda. O valor de k não pode ser arbitrário, ele deve ser igual 
ao produto de um número inteiro (n) por (lembrando do círculo trigonométrico), 
assim: 
 
 
41 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
Os níveis de energia ou autovalores de energia podem ser obtidos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo, 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
Desta forma, comprova-se que a energia está quantizada. A quantização foi 
obtida a partir das condições de contorno e pode ser comprovada pelo fato de que n é 
um número inteiro. 
A constante da função de onda proposta como solução do problema do poço 
quadrado infinito é determinado pela condição de contorno relacionada a normalização. 
A determinação da constante a partir da normalização deve considerar o intervalo entre 
0 e L, uma vez que fora desta região não há função de onda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as funções de onda normalizadas que representam as soluções deste 
problema são dadas por: 
 
ψ(L) = A sen (kx) = 0 
 
Sendo 
 
 
 e 
 
 
, tem-se: 
 
 
 
42 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, n = 1, 2, 3... 
 
Caso queira incluir a variável t na solução esta ficará da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a identidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise gráfica da probabilidade 
 
As funções de onda e as distribuições de probabilidade Pn(x) são mostradas 
abaixo: 
 
O estado de menor energia, n = 1, denominado estado fundamental, e para os 
dois primeiros estados excitados, n = 2 e n = 3. Os valores máximos de ψn(x) e Pn(x) são 
diferentes, valendo, respectivamente, 
 
 
 e 2/L. 
O número n que aparece nas equações acima é chamado de número quântico e 
especifica tanto a energia como a função de onda. Nestes casos existe somente um 
número quântico porque o problema tradado é unidimensional. 
Quando o número quântico é muito grande (os picos estarão muito próximos e 
como consequência a região ∆x é muito pequena), a probabilidade de localizar um 
elétron é igual em todos os pontos do poço, situação em que se verifica o princípio de 
correspondência, ou seja, toda distribuição quântica deve tender para a distribuição 
clássica correspondente quando n →∞, isto é, para altas energias. 
 
O poço quadrado finito 
 
Diferentemente do caso anterior, o potencial não vale infinito, por essa razão a 
função de onda para a energia potencial é mais geral. 
As soluções das equações de Schrödinger para este tipo de potencial são muito 
diferentes se o valor se a energia total é maior ou menor do que o potencial Vo. 
No interior do poço, o valor do potencial é zero, e a equação de Schrödinger 
independe do tempo, assim, é possível utilizar a mesma equação obtida a partir do 
problema do poço quadrado infinito: 
 
 
 
43 (Y...) Física Quântica – P2 
 
 
 
 
 
Diferentemente do caso do poço quadrado infinito, não é necessário que ψ(x) 
seja nula nos limites da região central. A exigência é que ψ(x) e ψ’(x) sejam contínuas 
nestes pontos. 
Do lado de fora do poço, a partir da equação de Schrödinguer tem-se a seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
 
 
 
 
 
 
O método mais direto para determinar as funções de onda e as energias 
permitidas consiste em resolver a equação do lado de fora do poço, respeitando as 
condições de contorno. 
A solução para a equação é da forma: 
 
 
 
para x positivo. 
 
O aspecto mais importante da equação 
 
 
 
 é 
que a segunda derivada (ψ”(x)), que está associada a curvatura da função de onda, tem o 
mesmo sinal que ψ, ou seja, se ψ é positiva ψ” também será, e a função de onda se 
afastará do eixo x. Se ψ é negativa, ψ” também será e da mesma forma se afastará do 
eixo x. Esse comportamento é diferente do observado no interior do poço. 
Graças ao comportamento observado do lado de fora do poço, para a maioria dos 
valores da energia a função de onda tende para o infinito quando x → ∞; em outras 
palavras, a função ψ(x) não é bem comportada, assim apesar destas funções não 
poderem ser normalizadas elas ainda atendem a equação de Schrödinger. 
 
As funções de onda de problemas de poços finitos resultam na possibilidade 
finita de que a partícula seja observada do lado de fora do poço. Nessas regiões a 
energia total é menor do que a energia potencial e, portanto, tem-se a impressão que a 
energia cinética seria negativa. A que se deve a existência da função de onda do lado de 
fora da barreira de potencial? Pode-se recorrer ao principio de indeterminação ou de 
incerteza para explicar o que acontece: 
 
Considere a região x>L: a função de onda é proporcional a e
-αx
, a densidade de 
probabilidade ψ2 = e-2αx é muito pequena a uma distância da barreira da ordem de ∆x ≈ 
α-1. Supondo que ψ(x) ≈ 0 para valores de x maiores que L + α-1, podemos dizer que 
 
 
44 (Y...) Física Quântica – P2 
encontrar a partícula na região x > L equivale aproximadamente encontrá-la em uma 
região ∆x ≈ α-1. 
Essa restrição introduz uma indeterminação no momento de ordem ∆p ≈ h/∆x = 
hα e uma energia cinética mínima da ordem de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O suficiente para evitar que a energia cinética se torne negativa. A existência da 
função de onda em uma região classicamente proibida é responsável pelo fenômeno do 
tunelamento. 
 
Valores esperados para os operadores 
 
Operadores são observáveis físicos da mecânica quântica. Todo operador 
interferena função de onda. 
Na mecânica clássica, as soluções teóricas quase sempre envolvem o cálculo da 
posição de uma ou mais partículas em função do tempo. Nos sistemas microscópicos, 
porém, efeitos ondulatórios tornam isso impossível, ou seja, não é possível determinar o 
valor exato de um operador, isto porque a determinação do valor do operador se baseia 
em dados estatísticos, de modo a se obter um valor médio para este operador. 
Assim, é necessário se contentar com o cálculo da função de onda ψ(x,t) e da 
função distribuição de probabilidade |ψ(x,t)|2, e o máximo que pode-se conhecer a 
respeito da posição de uma partícula é a probabilidade de que uma medida forneça o 
valor exato de x. 
O valor esperado, isto é, o valor médio, de um operador é determinado da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
O valor médio do operador x é representado como <x>. 
Para os casos em que a distribuição de probabilidade independa do tempo, a 
expressão se reduz a: 
 
 
 
 
 
 
Retornando ao problema do poço quadrado infinito, é possível determinar o 
valor médio de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto x = L/2 corresponde ao centro do poço. O resultado de uma medida não 
tem necessariamente uma alta probabilidade de ser igual ao valor esperado. No caso de 
um elétron em um poço quadrado infinito em um estado com n par, por exemplo, a 
probabilidade de que x = L/2 é nula porque a função de onda sen(nπx/L) é nula para x/2. 
Mesmo assim <x> = L/2, já que a função de probabilidade ψ*ψ é simétrica em relação 
 
 
45 (Y...) Física Quântica – P2 
ao centro do poço. Não se esqueça que o valor esperado é o valor mais provável da 
medida de muitas medições. 
Os valores médios importantes são: <x>, <x
2
> (relacionado com a incerteza da 
posição ∆x), <p> e <p2> (relacionado com a incerteza do momento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operador momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, é possível mostrar que o valor esperado do momento, <p>, é 
determinado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso do poço quadrado infinito, o valor do momento será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a probabilidade de que a partículas esteja se movendo no sentido positivo 
do eixo x é igual a probabilidade de que esteja se movendo no sentido oposto, o 
momento médio é nulo. 
 
O valor esperado para o quadrado do momento é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O nome operador decorre do fato de que ao introduzi-lo na função de onda ψ ele 
operará a função de onda, uma vez que participa da derivada nela contida. 
 
Postulado de Bohr 
 
De acordo com o eletromagnetismo clássico, quando uma carga com movimento 
oscilatório é acelerada ela emitirá radiação com a mesma frequência que seu movimento 
oscilatório produz. Contudo, não se observa esta emissão nos átomos, daí a introdução 
do postulado de Bohr que afirma que os elétrons orbitam os núcleos em estados 
estacionários. 
 
 
46 (Y...) Física Quântica – P2 
A probabilidade de localizar um elétron é dada pela multiplicação da carga pela 
função distribuição de probabilidade: 
 
 
 
Desta forma se mede a densidade de carga (ρ). 
Os vários estados possíveis para o elétron são definidos por diferentes valores de 
n, assim, cada função de onda pode ser denominada como ψn. 
Consideremos dois estados estacionários: n = 1 e n = 2. Chamemos as funções 
de onda para estes dois estados de ψn e ψm: 
 
Estado estacionário 1: ψn 
Estado estacionário 2: ψm 
 
Lembrando que os valores de n foram atribuídos de maneira aleatória, isto é, 
poder-se-ia considerar quaisquer valores. 
A função de onda que descreve a mudança de estado estacionário para um 
elétron é igual a soma das funções de onda de cada estado estacionário isolado: 
 
 
 
 Se a = 0, então a função de onda do estado n é nula, de modo que o 
elétron estará no estado estacionário m; 
 Se b = 0, então a função de onda do estado m é nula, de modo que o 
elétron estará no estado estacionário n; 
 Se a ≠ 0 e b ≠ 0, então o elétron está em uma posição intermediária ao 
estado n e m. Assim, ψmn não é uma probabilidade de onde o elétron 
estará, e sim uma mistura de estados. A probabilidade de localizar um 
elétron entre as órbitas m e n é dada pela multiplicação da função de 
onda pelo seu complexo conjugado, isto é: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos primeiramente os termos em que aparecem a
2
 e b
2
: 
 
 
 
 
 
 
Nesta parte da função de onda, não há interferência do tempo. 
Se a carga estiver parada sobre um estado, seja ele a ou b, não haverá emissão de 
radiação, assim como Bohr postulou. Assim, se a carga estiver em repouso em um 
estado estacionário, o outro estado será zero, isto é, se a carga estiver em a, b = 0, ou se 
a carga estiver em b, a = 0, para ambos os casos o termo cruzado da equação de onda 
será também será zero. 
 
 
 
47 (Y...) Física Quântica – P2 
Misturas de estados 
 
Imaginemos que o elétron esteja entre o estado a e o b, isto é, na equação de 
onda a e b são diferentes de zero. 
Nesta situação a e b tem dependência temporal, assim, da equação de onda de 
Schröndiger com dependência do tempo insere uma exponencial na equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Pela relação de de Broglie: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao somar 
 com 
 temos a soma de e
ix
 com e
-ix
: 
 
 
 
Portanto, a probabilidade |ψnm(x,t)|
2
 é igual a: 
 
 
 
 
 
 
A função de onda constituída pela mistura de dois estados de energia leva a uma 
distribuição de carga que oscila com frequência de Bohr (ωnmt): 
 
hν = hωnm = En - Em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 (Y...) Física Quântica – P2 
Reflexão e transmissão de ondas 
 
Na mecânica clássica é bem conhecido os fenômenos ondulatórios, como 
refração, difração e reflexão, de tal modo que é sabido que quando um feixe de luz 
passa por uma barreira que separa dois meios diferentes é de se esperar que o feixe seja 
difratado e parte seja refletido, em função das características do meio. 
Como o elétron comporta-se como onda, estes mesmos fenômenos podem ser 
observados no elétron. 
Este tipo de analise é feita a partir de problemas como Potencial Degrau ou 
Potencial Poço Quadrado. 
 
Potencial degrau 
 
O fenômeno da refração será observado nos casos em que o elétron apresentar 
energia cinética maior do que a energia potencial da barreira. 
 
 
 
A função degrau pode ser descrita como: