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Cálculo I (2015/1) � IM � UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chama- remos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno, além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e a Internet. Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de gráficos (uma sugestão é fooplot, que é um site que plota gráficos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra system) que faz manipulações algébricas (sugerimos maxima, que tem versão para Linux e Windows). Tópicos do Pré-Cálculo 1. Aritmética e Álgebra. (a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas. (b) Racionalizar expressões algébricas envolvendo raízes. (c) Divisão de polinômios. (d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x− a. (e) Significado de somatórios, como por exemplo 3∑ i=1 (i2−5i) = (12−5·1)+(22−5·2)+(32−5·3). (f) Produtos notáveis: (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 e (a+ b)(a− b) = a2 − b2. 2. Funções. (a) Domínio e imagem de função. (b) Funções definidas por palavras, por gráficos, por tabelas e por fórmulas explícitas. Função definida por partes. (c) Composição de funções. (d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente. (e) Gráficos de funções. Translação de gráfico de funções (horizontal e vertical). (f) Quando uma curva no plano é o gráfico de uma função? Teste da reta vertical. Dado o gráfico de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal. (g) Função par/impar: definição e simetrias no gráfico. (h) Função inversa e seu gráfico, obtido por reflexão em torno da reta y = x. Exemplos impor- tantes: arcsen, arctan, log x e √ x (não é verdade que arsen x é igual a 1 senx !). (i) Sinal de funções racionais, função da forma f(x) = p(x) q(x) , onde p e q são polinômios. Técnica: Quadro de sinais. (j) Máximo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre- mos). (k) Funções logaritmo e exponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Uma inversa da outra. Observação: loge = ln. Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log10. Ao longo do Cálculo será explicado porque utilizamos e como base do logaritmo. 1 (l) Funções Trigonométricas. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade con- veniente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculo trigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ângulo qualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Proprieda- des básicas: sen(−x) = − senx, cos(−x) = cosx. sen(a ± b) = . . ., cos(a ± b) = . . . etc. sen2(x) + cos2(x) = 1. 3. Geometria Analítica no Plano Básica. (a) Equação da reta no plano: significado geométrico do coeficiente angular (incluindo como determinar que 2 retas são perpendiculares entre si pelo coeficiente angular), saber calcular equação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo coeficiente angular (b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do 2o grau; duas equações do 2o grau. (c) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância. √ x2 = |x| (não é x). Exercícios • Aritmética e Álgebra. 1. Determine k e m se 27 · 322 = 3−k e 25 · 5 2m+1 5−3 = 5−2. 2. Escreva 27 4 √ 413915 na forma 2x3y. 3. Determine p, q inteiros tais que 811/4 9−1/2 × 3 −3 30 = p q . 4. Escreva expressão equivalente a 3 √ x+ 1 1 + √ x sem raiz no denominador (racionalize). 5. Determine o quociente e o resto da divisão de x4 − 3x2 + x+ 1 por x2 − 1. 6. (Verifique o Teorema de D'Alambert.) Verifique que −2 é raiz de x3 + 4x2 − 11x − 30. Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes. 7. Determine o valor de 5∑ i=2 (2i+ 1). 8. Calcule (a+ b)2 − (a− b)2. • Funções. 1. Determine imagem da função g(x) = (3− x)2 − 5. 2. Determine o domínio da função g(x) = log(1− x) 1−√x+ 2 . 3. Dado x ∈ R, defina f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(pi) e f(−pi). Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem? 4. Esboce o gráfico de f(x) = { x2, se x < 1, 4− 3x, se x ≥ 1. 5. Se f(x) = 3x− 1 e g(x) = 5x2 − 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)). 6. Determine o maior intervalo contendo −10 onde f(x) = (x+1)2+1 é injetiva. Esta função é sobrejetiva? 7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente: (a) f(x) = 9 − x2. (b) f(x) = 6− 2x. (c) f(x) = log(x)− 4. (d) f(x) = 3x− 7. (e) f(x) = sen(x)− 4. (f) f(x) = e−x. 2 8. Baseado no gráfico de f(x) = x2, esboce o gráfico de g(x) = (x+ 2)2 − 3. 9. Esboce os gráficos de f(x) = 1 x e f(x) = 1 x2 . Elas são funções par ou impar? 10. Esboce o gráfico de f(x) = √ x e, fazendo translações, de g(x) = 3 + √ x+ 4. 11. Determine intervalos onde a curva abaixo pode representar o gráfico de uma função. 2 x y 12. Considere o gráfico de g da figura abaixo. (a) Determine intervalos onde g é injetiva. (b) Nestes intervalos pode-se defina uma função inversa g−1. Determine o domínio de g−1 associado a estes intervalos. 2 g(x) −1 2 x y 13. Esboce o gráfico de f(x) = x3 e f(x) = x4 (são semelhantes ao de x e x2 respectivamente). Baseado nestes gráficos, esboce o gráfico das inversas 3 √ x, 4 √ x (reflexão em torno da reta y = x). 14. Baseado no gráfico de f(x) = ex, esboce o gráfico da sua inversa log x (reflexão em torno da reta y = x). 15. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaixo. (a) f(x) = x2 + 5x+ 6 1− x2 . (b) g(x) = x(x+ 2) 1− x2 . 16. Determine o máximo e mínimo de f(x) = (x− 1)2+2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3]. 17. Determine a ∈ R se log10(1003a · 10) = 9. 18. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5). 19. Determine o valor de: (a) sen(3pi/2). (b) cos(3pi). (c) tan(3pi/4). (d) cos(5pi/4). 20. Expresse log5 30 utilizando ln. 21. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico fica o ângulo (em radianos): (a) 32pi/3. (b) 13pi/4. (c) −21pi/5. 22. Determine o sinal de seno e cosseno de β = pi − 1 e θ = 1 + 3pi/2. 23. Sabendo que senβ = −2/3, determine valores possíveis para cosβ. 24. Sabendo que tan γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ. 25. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+b) e cos(a+b)): cos(3a) e sen(−4a). • Geometria Analítica no Plano Básica. 1. Ordene as retas de acordo com seu coeficiente angular: 3y − 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0. 2. Determine a equação da reta que passa em (1, 2): (a) e em (−2, 3). (b) com coeficiente angular 2. (c) perpendicular à reta 3y + 2x = 1. 3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o gráfico de y = x2 + x − 2 e o gráfico de: (a) 2y − x+ 1 = 0. (b) y + x2 − x = 0. 4. Determine a distância entre os pontos do plano (−2, 1) e (4,−1). 5. Determine todo a, x ∈ R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x− 2| < |x+ 1|. 6. Verifique se √ x4 + x2 = x √ x2 + 1 para todo x ∈ R. 3 Respostas dos Exercícios • Aritmética e Álgebra. 1. k = −25, m = −4. 2. x = 13/2, y = 21/2. 3. p = 1, q = 3. 4. −3x+ 2√x+ 1 1− x , obtida multiplicando numerador e denominador por 1− √ x. Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x))); 5. Quociente: x2 − 2, resto: x− 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1); 6. Raizes: −2,−5, 3. Como −2 é raiz, divida polinômio por (x − (−2)) = x + 2. Obtenha polinômio do 2o grau e determine suas raizes. 7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5); 8. 4ab. • Funções.1. (−5,∞) pois g(x) ≥ −5 para todo x (note que (3− x)2 é sempre não-negativo). 2. Resposta: os intervalos [−2, −1) e (−1, 1). Como existe logaritmo somente de números positivos, 1−x deve ser positivo, ou seja, 1−x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Além disso o denominador não pode se anular: 1−√x+ 2 6= 0, o que implica x 6= −1. Assim 1 > x > −1 ou −1 > x ≥ −2. 3. f(pi) = 3 e f(−pi) = −4. Não é injetiva pois f(pi) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é somente os inteiros: Imagem de f : Z. 4. 1−1 x y 5. g(f(x)) = 45x2 − 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 − 13. Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x))); 6. (−∞, −1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para x < −1. Basta ver que seu vértice é em x = −1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ∞). 7. (a) (−∞, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ∞). (d) (−∞, ∞) = R. (e) Em (−pi/2, pi/2) é crescente. De forma geral em (2kpi − pi/2, 2kpi + pi/2) para todo k ∈ Z. (f) Sempre decrescente. 8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente �para baixo� e 2 unidades para �esquerda�. Veja gráficos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modificar o 2 e 3 para ver efeito no programa. 9. Faça um tabela de valores e verifique o que ocorre quando x fica próximo de 0 (por exemplo 1/100, 1/103, 1/105 e −1/100, −1/103, −1/105,−1/1000) e também muito grande em módulo � �próximo� de ±∞ (por exemplo 102, 103, 105 e −102, −103, −105). Depois (somente após tentar pela tabela) veja os gráficos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/x é impar e 1/x2 é par. Veja que são similares 1/x3, 1/x4, . . .. 10. Partindo do gráfico de x2, reflita o gráfico na reta y = x para obter gráfico de √ x. Depois faça translações para obter o gráfico de g(x) = 3 + √ x+ 4. Veja os gráficos de y = x2, y = √ x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reflexão. 11. (−∞, 2) ou (0, 2) ou (0, ∞) dependendo de qual parte do gráfico será utilizada. 12. (a) (−∞, −1), (−1, 2) e (2, ∞). (b) Pelo gráfico pode-se ver que a imagem destes intervalos são, respectivamente, os intervalos: (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Logo domínios possíveis para g−1 (não será a mesma função!): (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Comprove a existência de mais de uma inversa observando que existem três possibilidades para g−1(1): aproximadamente −2, 1 e 3 pelo gráfico. 13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja os gráficos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por reflexão. Veja os gráficos de y = x3, y = x1/3 = 3 √ x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reflexão. 4 14. Verifique com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x. 15. (a) Positiva nos intervalos (−3, −2) e (−1, 1). Negativa em x < −3 ou −2 < x < −1 ou x > 1. (b) Positiva nos intervalos (−2, −1) e (0, 1). Negativa em x < −2 ou −1 < x < 0 ou x > 1. Com maxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2)<0); 16. O vértice da parábola tem coordenada x = 1. (a) Mínimo em x = 1, com f(1) = 2, máximo em x = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos extremos (o vértice não pertence ao intervalo): Mínimo em x = 2, f(2) = 3, máximo em x = 3, f(3) = 6. 17. a = 4/3. 18. (a) e0 = 1. (b) log 0 não existe. Mas quando x se aproxima de 0 pela direita (isto é x > 0), log x se aproxima de −∞. Veja gráfico de log próximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1. (e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5. 19. (a) sen(3pi/2) = −1. (b) cos(3pi) = −1. (c) tan(3pi/4) = −1. (d) cos(5pi/4) = −√2/2. 20. Por propriedade do logaritmo, log5 30 = ln 30 ln 5 . 21. (a) 2o quadrante pois 32pi/3 = 2pi/3 + 5 · 2pi e 2pi/3 está no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois 13pi/4 = pi + pi/4 + 2pi. (c) 4o quadrante −21pi/5 = −2 · 2pi − pi/5. 22. Como β está no 2o quadrante e θ no 4o, senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0. 23. cosβ = −√5/3 ou cosβ = √5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);. 24. sen γ = −5/√26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x. 25. cos(3a) = cos3 a− 3 cos a sin2 a e sen(−4a) = 4 cos a sin3 a− 4 cos3 a sin a. No maxima: trigexpand(cos(3*a)). • Geometria Analítica Básica. 1. Maior coeficiente para menor: 3y − 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (−3/2) e 5x+ 3y = 0 (−5/3). 2. (a) y = 7/3− x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2. 3. (a) x = 1, y = 0 e x = −3/2, y = −5/4. (b) x = −1, y = −2 e x = 1, y = 0. No maxima: algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);. 4. 2 √ 10. 5. (a) R: a = −6 ou a = 2. Dica: distância de a até −2 deve ser 4. (b) R: x > 1/2. Dica 1: Separe em casos: se x − 2 > 0 . . . e se x − 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2 subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma. Dica 2: Em termos de distância, x deve estar mais perto de 2 do que de −1. Faça uma figura. 6. Errado. O correto é √ x4 + x2 = |x|√x2 + 1 pois √ x2 = |x|. Para x > 0 é correto, mas para x < 0 não (verifique!). 5
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