Módulo 07b - Circuitos Combinatórios Blocos Básicos II

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© Andrade, Corrêa, Gomi e Margi 2.013 < Circ. Combinatórios, Bl. Básicos II> PCS 2215 Sistemas Digitais I 1
PCS 2215
Sistemas Digitais I
Módulo 07b – Circuitos Combinatórios
Blocos Básicos – II
Somadores; Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead); 
Somadores Decimais; Comparadores; Subtratores;;    ULA’s.  
Andrade, Marco Túlio Carvalho de
Saraiva, Antonio Mauro
Professores Responsáveis
versão: 2.0 (setembro de 2.013)
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Conteúdo
1. Somadores Binários
1.1. Meio somador;
1.2 Somador completo;
1.3. Somador de n bits;
1.4. Cálculo Antecipado do 
Vai-um (Carry Look-
ahead);
2. Somadores Decimais ou 
BCD
2
Circuitos Combinatórios – Blocos básicos II
3. Comparadores
3.1. Circuito iterativo;
3.2. Comparador iterativo;
3.3. Comparador de magni-
tude;
3.4. Projeto de um Compa-
rador;
4. Subtratores Binários
5.  ULA’s
6. Exercícios
7. Bibliografia Adicional
8. Apêndice
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1. Somadores Binários
 Soma binária
– É a operação aritmética mais comum em sistemas 
digitais
– Somador Binário combina dois operandos 
aritméticos usando as regras da soma binária
– Regras da soma são as mesmas para números sem 
sinal e para números em Complemento de 2
– Um somador pode realizar uma subtração como a 
“soma  do  Minuendo  com  o  complemento  do  
Subtraendo”
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1.1. Meio Somador
 Meio-somador
– Soma de dois operandos 
de 1 bit produz uma 
soma de 2 bits
– Se não se considera a 
propagação de vai-um 
entre dígitos, a soma 
pode ser realizada com o 
chamado  “meio-somador.
Ai Bi Si Ci+1
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
4
Tabela da Verdade
do Meio-Somador
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3
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1.1. Meio somador
Ai Bi Si Ci+1
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
5
Si = Ai’.Bi+ Ai.Bi’=  Ai  Bi
Ci+1 = Ai.Bi
Tabela da Verdade 
do Meio-Somador
Circuito do Meio-Somador
Ai Si
Bi Ci+1
Ci+1
Si
Ai
Bi
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1.2. Somador completo
 Para se realizar a soma de operandos com 
mais de um bit é necessário ter o vai-um entre 
as posições.
 O bloco funcional que realiza essa operação é 
chamado  “somador  completo”.
 Além das duas parcelas Ai e Bi, ele tem como 
entrada  um  “vem-um”,  ou  vai-um de entrada, 
Ci.
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4
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1.2. Somador completo
Ai Bi Ci Si Ci+1
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
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Tabela da Verdade do 
Somador Completo
Si = Ai’.Bi’.Ci+ Ai’.Bi.Ci’ + 
Ai.Bi’.Ci’ + Ai.Bi.Ci
Ci+1 = Ai’.Bi.Ci+ Ai.Bi’.Ci+ 
Ai.Bi.Ci’+  Ai.Bi.Ci
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1.2. Somador completo
Si = Ai’.Bi’.Ci+ Ai’.Bi.Ci’ + Ai.Bi’.Ci’ + Ai.Bi.Ci
Si = Ai  Bi  Ci
Ci+1 = Ai’.Bi.Ci+ Ai.Bi’.Ci+ Ai.Bi.Ci’+  Ai.Bi.Ci
Ci+1 = (Ai’.Bi + Ai.Bi’) .Ci+ Ai.Bi.(Ci’+Ci) 
Ci+1 = (Ai  Bi ) .Ci+ Ai.Bi
Ci+1 = (Ai + Bi ) .Ci+ Ai.Bi
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1.2. Somador completo
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Ai Si
Bi Ci+1
Meio 
Somador Ai Si
Bi Ci+1
Meio 
SomadorCi
Ai
Bi
Ai  Bi
Ai . Bi
Si =Ai  Bi  Ci
(Ai  Bi). Ci
Ci+1
Somador  Completo  a  partir  de  dois  “meios-somadores”
Somador 
Completo
Ai
Si
Bi
Ci+1Ci
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1.2. Somador completo
Si = Ai  Bi  Ci
Ci+1 = (Ai  Bi ) .Ci+ Ai.Bi
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1.3. Somador de n bits
 Somadores binários de n bits podem ser 
obtidos pela associação de n somadores 
completos em série (em cascata).
 São chamados somadores com propagação de 
vai-um, ou ripple adders:
– Cada somador completo trata um bit da soma
– O  “Vai-um”  de  um  estágio  se  conecta  ao  “Vem-
um”  do  estágio  seguinte.
– O  “Vem-um”  do  estágio  menos  significativo  
normalmente fica em 0.
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1.3. Somador de n bits
Somador binário de n bits com propagação 
de  “vai-um”
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Ai
Si
Bi
Ci+1 Ci
Ai
Si
Bi
Ci+1 Ci
Ai
Si
Bi
Ci+1 Ci
C0
S0
C1C2Cn
S1Sn
. . .
B0A0B1A1Bn-1An-1
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1.3. Somador de n bits
13Somador binário de 1 bit com dois níveis AND / OR
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
 Da Tabela da Verdade para o Somador Comple-
to obteve-se a expressão da saída Ci+1, que pode 
ter a seguinte interpretação:
14
Ci+1 = Ai.Bi + Ci . (Ai  Bi )
O Ci+1 tem
duas origens
Possíveis!
O Ci+1 foi gerado na-
quela fatia! Fator
de Geração (Gi).
= Gi = Pi
Ou
O Ci foi propagado por
aquela fatia! Fator
de Propagação (Pi).
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
Generalizando-se este resultado:
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C1 = G0 + P0 . C0
A0.B0 = = A0  B0 
 Prosseguindo-se com a generalização:
C2 = G1 + P1 . C1 = G1 + P1 . (G0 + P0 . C0)
C2 = G1 + P1 . G0 + P1 . P0 . C0
Geração Propagação
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
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 Prosseguindo-se com a generalização:
C3 = G2 + P2 . C2 = G2 + P2 . (G1 + P1 . G0
+ P1 . P0 . C0)
C3 = G2 + P2 . G1 + P2 . P1 . G0 + 
P2 . P1 . P0 . C0 Geração: Nas fatias 0, 1 ou 2
Propagação: Nas fatias 0, 1 ou 2
9
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
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 Prosseguindo-se com a generalização:
C4 = G3 + P3 . C3 = G3 + P3 . (G2 + 
P2 . G1 + P2 . P1 . G0 + P2 . P1 . P0 . C0)
C4 = G3 + P3 . G2 + P3 . P2 . G1 + 
P3 . P2 . P1 . G0 + P3 . P2 . P1 . P0 . C0)
Geração: Nas fatias 1, 2 ou 3
Geração (fatia 0) Propagação (fatias 0,1,2ou3)
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
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CBLOCO = GBLOCO + PBLOCO . C0
Onde:
PBLOCO = P3 . P2 . P1 . P0 
GBLOCO = G3 + P3 . G2 + P3 . P2 . G1
+ P3 . P2 . P1 . G0
 Finalmente:
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1.4. Cálculo Antecipado do Vai-um (Carry Look-ahead)
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E, também:
G0 = A0 . B0 ; P0 = A0  B0 
G1 = A1 . B1 ; P1 = A1  B1
G2 = A2 . B2 ; P2 = A2  B2 
G3 = A3 . B3 ; P3 = A3  B3
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2. Somador BCD ou Decimal
Código BCD – Binary-Coded Decimal:
– 4 bits, representação direta binária de 0 a 9
 Soma BCD
– Usa a adição binária (com operandos de 4 
bits)
– Demanda correção dos valores inválidos
» Acima de 9
– Demanda  correção  do  “vai-um  decimal”
» Diferente do vai-um hexadecimal
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2. Somador decimal
Comparação entre Soma Binária (4bits) e BCD
Faixa 
de valor 
da soma
Soma
Hexa
Vai-um
Hexa
Soma 
BCD
Vai-um 
BCD Correção
0 a 9 0 a 9 0 0-9 0 -
10 - 15
10-15
(A-F)
0 0-5 1 Soma 6 CBCD=1
16-19 0-3 1 6-9 1 Soma 6 CBCD=Chexa
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2. Somador BCD
Necessidade de correção da soma BCD 
em relação ao resultado Hexadecimal:
– Se resultado da soma Hexa entre A e F
ou
– Se Vai-umhexa=1
Ação a tomar
– Somar 6 (0110) à soma Hexa
– Vai-umBCD=1
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12
12
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2. Somador BCD
Obter um Somador BCD a partir de um 
Somador Binário (4 bits)
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2. Somador BCD
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Somador 
Binário
Somador 
Binário
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13
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3. Comparadores
Comparação entre palavras binárias é uma 
operação comum em sistemas digitais.
Comparadores realizam essa função e 
podem indicar igualdade (= , ≠), e em 
alguns casos, relação aritmética (> , <).
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A3A2A1A0 B3B2B1B0
A>B A=B A<B
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3. Comparadores 
OU-exclusivo, NOU-exclusivo
– São comparadores de 1 bit
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Y= a  b = Dif
Dif = 1, se entradas são diferentes
Y= (a  b)’  =  Eq
Eq = 1, se entradas são iguais
14
14
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3. Comparadores
Comparador (paralelo) de n bits
– Compara bit a bit, duas palavras de n bits,
– Sumariza o resultado 
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B1
B2
B3
Dif
A3
A2
A1
B0
A0
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3.1.  Circuitos  “iterativos”
Circuitos  “iterativos”:
–Circuitos combinatórios que contém n
módulos idênticos.
–Módulos possuem:
»Entradas e saídas primárias;
»Entradas e saídas para associação em 
cascata.
–Adequados para problemas que podem 
ser resolvidos com algoritmos iterativos.
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15
15
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3.1.  Circuitos  “iterativos”
 Algoritmo
1. Faça C0 = valor inicial, e i=0
2. Use Ci e PIi para determinar POi e Ci+1
3. Incremente i
4. Se i < n, retorne ao passo 2
 Num circuito iterativo o Passo 2 é reali-
zado por um módulo combinatório para 
cada valor de i.
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3.1.  Circuitos  “iterativos”
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PI
PO
COCI
C0 C1
PI0
PO0
PI
PO
COCI
C2
PI1
PO1
. . .
Módulos combinatórios
. . .
16
16
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3.2.  Comparador  “iterativo”
 Módulo combinatório básico do comparador
A B
EQ in
EQ out
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A B
EQoutEQin
1
EQ1
A0 B0 
Comp
A B
EQoutEQin
EQ2
A1 B1 
Comp
. . .
 Módulos associados do comparador
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3.3. Comparador de magnitude
 Indicam relação aritmética entre as palavras 
de dados comparadas
 Regra: analisar a desigualdade a partir do 
mais significativo
 A>B se
– A3>B3 ( i.e. A3=1 e B3=0)
– Ou se A3=B3 e A2>B2
– Ou se A3=B3 e A2=B2 e A1>B1 
– Ou se A3=B3 e A2=B2 e A1=B1 e A0>B0
32
17
17
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3.3. Comparador de magnitude
 A=B se
– A3=B3 e
– A2=B2 e
– A1=B1 e
– A0=B0
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A3A2A1A0 B3B2B1B0
A>B A=B A<B
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3.3. Comparador de magnitude
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A > B
A = B
B1
B2
B3
A3
A2
A1
B0
A0
18
18
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3.3. Comparador de magnitude
Como obter as demais relações?
A
B
A >= B
A < B
A <= B
A dif. B
A > B
A = B
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
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(A<B)iOUT (A=B)iOUT (A>B)iOUT
(A<B)iIN
(A=B)iIN
(A>B)iIN
Ai Bi
CiIN – Informação proveniente da fatia 
menos significativa 
CiIN
A>B
A=B
A<B
(A>B)i (A=B)i (A<B)i
1
1
1
0
00
00
0
19
19
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
37
Comparação (CiOUT) 
depende do valor
de entrada (CiIN). 
Ai Bi
CiIN 0 0
A>B
A<B
A<B
A=B
A>BA<B
A<BA<B
A=B
A>B
A>B
A>BA>B 
A=B 
A<B 
0 1 1 01 1
Ai Bi Ai Bi Ai Bi
CiIN =
= Ci-1OUT
= CiOUT = Ci+1IN
Comparação (CiOUT) 
independe do valor
de entrada (CiIN). 
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
38
Ai Bi(A>B)iIN
0
1
0 0 0 1 1 01 1
0
0
0
1
1
1
0
1
(A>B)iOUT = Ci+1IN
(A>B)iOUT = 
= Ai . Bi + (A>B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
= (A=B)iInterno
20
20
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
39
Ai Bi(A=B)iIN
0
1
0 0 0 1 1 01 1
0
0
0
1
0
0
0
1
(A=B)iOUT = Ci+1IN
(A=B)iOUT = (A>B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
= (A=B)iInterno
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
40
Ai Bi(A<B)iIN
0
1
0 0 0 1 1 01 1
1
1
0
1
1
1
0
1
(A<B)iOUT = Ci+1IN
(A<B)iOUT = 
= Ai . Bi + (A<B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
= (A=B)iInterno
21
21
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
41
(A>B)iOUT = Ai . Bi + (A>B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
(A=B)iInterno
Cálculo do
(A=B)iIntern
o
(A>B)iIN
Ai Bi
Ai . Bi
(A=B)iInterno (A>B)iOUT
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
42
(A<B)iOUT = Ai . Bi + (A<B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
(A=B)iInterno
Cálculo do
(A=B)iIntern
o
(A<B)iIN
Ai Bi
Ai . Bi
(A=B)iInterno (A<B)iOUT
22
22
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
43
(A=B)iOUT = (A>B)iIN . [Ai . Bi + Ai . Bi ] 
= (A=B)iInterno
EquivalentesCálculo do
(A=B)iIntern
o
(A=B)iIN
Ai Bi
Ai . Bi
(A=B)iInterno (A=B)
iOUT
Ai Bi
Ai . Bi
(A>B)iInterno (A<B)iInterno
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3.4. Projeto de um Comparador de Magnitude
44
(A=B)iIN
(A=B)iInterno
(A=B)iOUT
Ai Bi
Ai . Bi
(A>B)iInterno
Ai Bi
Ai . Bi
(A<B)iInterno
(A<B)iIN
(A>B)iIN
(A<B)iOUT
(A>B)iOUT
= (A>B)i+1IN
= (A=B)i+1IN
23
23
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4. Subtratores Binários
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Mi Si Bi Ri Bi+1
0 0 0 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Tabela da Verdade do 
Subtrator Completo
Ri = Mi’.Si’.Bi + Mi’.Si.Bi’+
+ Mi.Si’.Bi’+ Mi.Si.Bi
Bi+1 = Mi’.Si + Bi.Mi’+ 
+Bi.Si
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4. Subtratores Binários
Ri = Mi’.Si’.Bi + Mi’.Si.Bi’  +  Mi.Si’.Bi’+ Mi.Si.Bi
Ri = Mi  Si’ Bi’
Si = Ai  Bi  Ci
Bi+1 = Mi’.Si + Bi.Mi’+ Bi.Si = 
[Bi+1]’  =  [Mi’.Si + (Mi’+ Si) . Bi]’  =
Bi+1’  =  Mi . Si’  +  (Mi + Si’)  .  Bi’  =
Bi+1’  =  Mi . Si ’  +  Mi . Bi’  +  Si’  .  Bi’  
Ci+1 = Ai . Bi + Ai . Ci + Bi . Ci
46
Comparando
com somador
Comparando
com somador
24
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4. Subtratores Binários
Ri = Mi  Si’ Bi’
Si = Ai  Bi  Ci
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Bi+1’  =  Mi . Si ’  +  Mi . Bi’  +  Si’  .  Bi’  
Ci+1 = Ai . Bi + Ai . Ci + Bi . Ci
Somador Completo
Ai Bi Ci
Si Ci+1
Mi Si’ Bi’
Ri Bi+1’
Subtrator Completo
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4. Subtratores Binários
 Para obter-se a operação de subtração a 
partir de uma operação de adição em um 
somador completo deve-se [1/2]:
1-) Complementar bit a bit o Subtraendo (Si) 
– Gerando-se Si’;
2-) Adicioná-lo ao Minuendo (Mi) – Por 
meio do Somador Completo;
3-) Lembrar de fazer C0 = 1, isto é, B0’  =  1, 
pois sabe-se que C0 = B0’;
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4. Subtratores Binários
 Continuando [2/2]:
4-) O resultado da operação é:
Mi Minus Si = Mi Plus Si’  Plus  1
Porém ...
Si’  Plus  1  =  <Complemento2(Si)>
Finalmente ...
Mi Minus Si=Mi Plus<Complemento2(Si)>
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5.  Unidades  Lógicas  Aritméticas  (ULA’s)
Unidade Lógica Aritmética (ULA) – É 
um Bloco Lógico Funcional que dispõe 
de um repertório básico e limitado de 
operações Lógicas e/ou Aritméticas.
 Existem vários CI’s no mercado que, 
embora não tenham a capacidade de 
ULA’s  de  computadores (pessoais ou 
de grande porte), proporcionam diversas 
operações sobre dados binários de en-
trada.
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5.  Unidades  Lógicas  Aritméticas  (ULA’s)
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Extraído de [Tocci-2.007]
ALU 74LS382/74HC382
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5.  Unidades  Lógicas  Aritméticas  (ULA’s)
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Extraído de [Tocci-2.007]
ALU 74LS382/74HC382
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6. Exercícios
 6.1. Se utilizar um somador binário de quatro 
bits para fazer soma em Complemento de 2, 
o que falta implementar? Implemente!
 6.2. Como implementar um subtrator em C2 a 
partir do somador abaixo? Implemente!
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Lição de Casa
Leitura Obrigatória:
–Capítulo 6 do Livro Texto, 
ênfase em 6.9, 6.10, 6.11.
Exercícios obrigatórios:
–Capítulo 6 do Livro Texto.
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7. Bibliografia Adicional
 Fregni, Edson; Saraiva, Antonio Mauro 
Engenharia do Projeto Lógico Digital. Editora 
Edgard Blücher Ltda. São Paulo, SP, Brasil, 
1.995; 
 Tocci, Ronald J.; Widmer, Neal S.; Moss, 
Gregory L. Sistemas Digitais – Princípios e 
Aplicações. Pearson Prentice Hall, 10a edição, 
São Paulo, SP, Brasil, 2.007.
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8. Apêndice
 Exemplos de descrição de blocos combinató-
rios em HDL.
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