Prova 2 - Com Gabarito

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CM005 - A´lgebra Linear - Prova 2
1) Suponha que un subconjunto B de um espac¸o vetorial V tem dois elementos,
B = {~b1,~b2}.
1a) (1 ponto) Se B gera V e W = {~w1, ~w2, ~w3} e´ um subconjunto de V com
3 elementos, mostre que W e´ lineramente dependente.
Escrevemos a equac¸a˜o de dependeˆncia linear
c1 ~w1 + c2 ~w2 + c3 ~w3 = ~0
Escrevendo ~w1, ~w2, ~w3 em termos de ~b1,~b2 (e´ poss´ıvel fazer ja´ que eles geram)
c1(a11~b1 + a21~b2) + c2(a12~b1 + a22~b2) + c3(a13~b1 + a23~b2) = ~0
Agrupando em termos de ~b1,~b2
(a11c1 + a12c2 + a13c3)~b1 + (a21c1 + a22c2 + a23c3)~b1 = ~0
Mas o sistema
a11c1 + a12c2 + a13c3 = 0
a21c1 + a22c2 + a23c3 = 0
Sendo um sistema homogeˆneo com mais incognitas do que equac¸o˜es, possui in-
finitas soluc¸o˜es. Consequeˆntemente admite uma soluc¸a˜o na˜o nula e W e´ liner-
amente dependente.
1b) (1 ponto) Se B e´ linearmente independente e W = {~w1} e´ um subcon-
junto de V com 1 elemento, mostre que W na˜o pode gerar V .
Se W gerase, existiriam c1, c2 ∈ R tais que ~b1 = c1 ~w1 e ~b2 = c2 ~w1. Se c1
ou c2 e´ zero, enta˜o algum ~b1,~b2 e´ zero e B e´ dependente (exerc´ıcio: qualquer
conjunto que contenha zero e´ dependente). Se nenhum c1, c2 e´ zero, enta˜o
c2~b1 − c1~b2 = (c1c2 − c2c1)~w1 = ~0
mais c1c2 6= 0, o que mostra que B e´ linearmente dependente.
1c) (1 ponto) Mostre que toda base de R2 conte´m exatamente dois elementos.
A base padra˜o {(1, 0), (0, 1) tem exatamente dois elementos. Qualquer outra
base tem que ser l.i., enta˜o no pode ter mais do que 2 elementos (por (1a)), e
tem que gerar enta˜o por (1b) na˜o pode ter nem um nem zero elementos.
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COMENTA´RIO: lembremos dos primeiros exerc´ıcios da lista 4: “* Enten-
der a demostrac¸a˜o do fato que “Uma base qualquer de Rn tem n elementos”
* Entender a demostrac¸a˜o do fato que “Se V e´ um espao vetorial e f1,...,fn e´
uma base de V com n elementos, enta˜o toda outra base tem n elementos” (O
entendimento destes fatos sera testado na prova)”
2) Considere os vetores em R3
~v1 =
 21
−1
 , ~v2 =
10
1
 , ~v3 =
 11
−2
 , ~v4 =
 32
−3

2a)(1 ponto) Decida se o conjunto {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} e linearmente dependente
ou independente. Escrevendo o sistema c1vecv1 + c2 ~v2 + c3 ~v3 + c4 ~v4 = ~0 e
reduzindo por Gauss-Jordan, vemos que tem infinitas soluc¸o˜es. Enta˜o e´ lin-
earmente dependente. Poderia ser feito tambe´m sem ressolver, por exemlpo
notando que vecv1 − ~v2 = ~v3.
2b) (1 ponto) De uma base do espac¸o gerado pelos vetores. {~v1, ~v2, ~v3, ~v4}.
Eles geram todo R3? Como foi mostrado em va´rios exemplos na aula, para en-
contrar um base do espac¸o gerado por estes vetores colocamos eles como linhas de
uma matriz e aplicamos o processo de Gauss-Jordan. As linhas que sobrevivam
na forma em escada reduzida sera˜o uma base. Temos
2 1 −1
1 0 1
1 1 −2
3 2 −3
 

1 0 1
0 1 −3
0 0 0
0 0 0

Assim, uma base do espac¸o gerado por {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} e´ {(1, 0, 1), (0, 1,−3)}.
Se gerase todo R3 seria uma base de R3 com dois elementos, o qual na˜o pode
acontecer.
COMENTA´RIO: vejam os exerc´ıcios 4.8, 18 e 19 da lista.
3) Considere a transformac¸a˜o linear P : R2 → R2 que e´ a projec¸a˜o sobre a
reta x = y.
3a)(1 ponto) Enconte uma base γ de R2 tal que a matriz de P nesta base e´
[P ]γγ =
(
1 0
0 0
)
Para isto, so´ precisamos encontrar uma base {γ1, γ2} cujo primeiro elemento ~γ1
satisfac¸a P~γ1 = ~γ1 e Pγ2 = ~0. Isto e´ simples de encontrar pegando ~γ1 na reta
x = y (por exemplo, ~γ1 = (1, 1)) e ~γ2 perpendicular a esta reta (por exemplo
~γ2 = (1,−1). Assim, uma base e´ {(1, 1), (1,−1)}.
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3b) (1 ponto) De uma fo´rmula para P . Tem duas maneiras de fazer. A
primeira e´ encontrar qual e´ a matriz de P na base padra˜o E, para o qual usamos
a matriz de mudanc¸a de base da base {(1, 1), (1,−1)} para a base padra˜o. Enta˜o
[P ]EE = [P ]
E
γ [P ]
γ
γ [P ]
γ
E =
(
1 1
1 −1
)(
1 0
0 0
)(
1/2 1/2
1/2 −1/2
)
=
(
1/2 1/2
1/2 1/2
)
Assim, a matriz de P na base padra˜o e´
(
1/2 1/2
1/2 1/2
)
e consequeˆntemente
T (x, y) = 12 (x+ y, x+ y).
A outra maneira e´ usando a simetria da situac¸a˜o para encontrar a matriz
de P na base padra˜o, observando que P (1, 0) = (1/2, 1/2) = P (0, 1). Veja o
desenho q3.pdf neste mesmo direto´rio do site.
COMENTA´RIO: vejam os exerc´ıcios 5.6, 5, 25, 26, 27 da lista. O exerc´ıcio
27 foi feito na aula de revisa˜o.
4) (2 pontos) Considere a transformac¸a˜o linear T : R4 → R3 cuja fo´rmula e´
T (x, y, z, t) = (2x+ y + z + 3t, x+ z + 2t,−x+ y − 2z − 3t) .
Encontre bases de Im(T ), Nuc(T ) e determine as respectivas dimenso˜es.
Temos
Nuc(T ) = {(x, y, z, t) : T (x, y, z, t) = 0}
Que leva ao sistema de equac¸o˜es
2x+ y + z + 3t = 0
x+ z + 2t = 0
−x+ y − 2z − 3t = 0
Cuja matriz de coeficientes e forma em escada reduzida e´ 2 1 1 31 0 1 2
−1 1 −2 −3
 
1 0 1 20 1 −1 −1
0 0 0 0

Ou seja o nu´cleo de T e´ dado por z, t arbitra´rias, x = −z − 2t, y = z + t, e um
base e´ obtida alternando z = 1, t = 0 e z = 0, t = 1 nas equac¸o˜es acima,
−1
1
1
0
 ,

−2
1
0
1

Como a base tem dois elementos, a dimensa˜o do nu´cleo de T e´ dois.
A imagem de T e´ mais fa´cil calcula-la da maneira feito na aula, como o
espao¸ gerado pelas colunas da matriz de T na base padra˜o. Mas este espac¸o e´
o mesmo que na questa˜o (2b), e temos que uma base e´ {(1, 0, 1), (0, 1,−3)}, e
a dimensa˜o da imagem e´ dois. Isto e´ consistente com o teorema do Nu´cleo e a
Imagem, dim(R4) = 4 = 2 + 2 = dim Im(T ) + dimNuc(T ).
COMENTA´RIO: vejam o exerc´ıcio 5.6, 19 da lista.
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