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* * * * * * Unidade 4 – Vetores no Plano e no Espaço * * * * * * GRANDEZAS VETORIAIS SEMPRE ESTÃO ASSOCIADAS AO: MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO Grandezas Escalares Comprimento (mm, m, ...) Forças físicas: Peso, normal, velocidade, aceleração, ... Massa (g, Kg...) Grandezas Vetoriais * * * Um vetor é uma matriz A que contém uma única coluna ou uma única linha. A = [ a1 a2 ... an ] ou A = [ a1 a2 ... an ] t * * * * * * Dado um segmento orientado (A, B) o seu vetor correspondente é representado por AB. Quando não há o interesse na origem e extremidade do vetor podemos representar o vetor com uma letra minúscula, v. 1.1 Soma de Ponto com Vetor * * * 1.2 Adição de Vetores * * * Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC. AD = AB + AC II. Quando os dois vetores possuem a mesma origem: A soma é obtida utilizando a REGRA DO PARALELOGRAMO. * * * Observações Importantes: I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema. II. Quando os vetores não possuem as origens e as extremidades especificadas por letras, a soma dos vetores pode ser feita por qualquer um dos casos mostrados. III. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor AB, pode-se também representar BA = -AB. * * * Se o interesse é aumentar ou diminuir um vetor, multiplicamos tal vetor por um número maior que 1 ou por um número entre 0 e 1, respectivamente. Obs: Se multiplicarmos o vetor por um número negativo, o sentido do vetor é invertido. Ex: 1.3 Multiplicação de um número real por um vetor. * * * Vetores paralelos, colineares 1.4 Vetores Colineares Dois ou mais vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo: Vetores coincidentes, colineares, “ mesma linha” * * * 1.5 Vetores Coplanares São vetores presentes no mesmo plano. Observações 2 vetores são sempre coplanares 3 vetores são sempre coplanares no R2 4 vetores são sempre coplanares no R3 n (n Z) vetores são sempre coplanares no Rn - 1 Nº de vetores maior que a dimensão do espaço Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores. * * * Vamos mostrar dois exemplos com relação a observação anterior: I) Dados u e v vetores no R2 Combinação linear nada mais é que a soma dos vetores ponderados por coeficientes. w é combinação linear de u e v w = u + v * * * II) Dados u, v e w vetores no R3 K = a1u + a2v + a3w , k é combinação linear de u, v e w ponderados pelos coeficientes a1, a2, a3. Portanto u, v e w são coplanares. * * * Um vetor v = (x1, y1) é representado no plano (R2) conforme a figura abaixo. Basta marcar os pontos dados no plano e traçar o vetor v, partindo da origem do sistema. 1.6 Representação de um Vetor no Plano * * * u + v = (1, 1) + (3, 1) = Obs: Quando a origem do vetor não é indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado como ponto inicial. 1.6.1 Operações com Vetores no Plano Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v. A idéia é somar coordenada com coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”. (1 + 3, 1 + 1) = (4, 2) * * * * * * Vetor u = (a, b) 2u = (2a, 2b), ½u = (½a, ½b) Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir. * * * Dados 3 vetores u, v e w dizemos que estes vetores são L.D se u = a1v + a2w, caso não exista a1 e a2 os vetores são L.I. Geometricamente vetores colineares (ou paralelos) são linearmente dependentes (L.D.), caso contrário são L.I. Algebricamente vetores colineares são múltiplos , ou seja, Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são L.D, caso contrário são L.I. * * * * * * www.matematiques.com.br engenharia
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