Função Exponencial

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
Prof(a): Angeline Muniz 
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POTENCIAÇÃO 
 
● Ampliando a definição de potência para expoente 
real 
 
 A extensão da definição para expoentes inteiros, 
fracionários e até mesmo irracionais é feita de modo que 
conserve as propriedades já válidas para potências de 
expoente natural. 
 Considerando um número real 𝑎 positivo, vamos 
definir, então a potência 𝑎𝛼, com 𝛼 sendo um número real 
qualquer. 
 
→ Se 𝛼 = 𝑛, natural maior do que 1, vem: 
 
𝑎𝛼 = 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎⏟ 
𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
 
 
→ Se 𝛼 = 1, vem: 𝑎𝛼 = 𝑎𝑛 = 𝑎1 = 𝑎. 
 
Exemplo: 
(−
𝟏
𝟓
)
𝟏
= −
𝟏
𝟓
 
 
→ Se 𝛼 = 0, vem: 𝑎𝛼 = 𝑎𝑛 = 𝑎0 = 1 (𝑎 ≠ 0) 
 
Exemplo: 
(
𝟕
𝟑
)
𝟎
= 𝟏 
 
→ Se 𝛼 = 𝑛, inteiro negativo, vem: 𝑎𝛼 = 𝑎𝑛 =
1
𝑎−𝑛
 
 
Exemplo: 
(I) 
(
𝟑
𝟓
)
−𝟏
=
𝟏
(
𝟑
𝟓)
−(−𝟏)
=
𝟏
(
𝟑
𝟓)
𝟏 =
𝟓
𝟑
 
(II) 
(
𝟏
𝟑
)
−𝟐
=
𝟏
(
𝟏
𝟑)
−(−𝟐)
=
𝟏
(
𝟏
𝟑)
𝟐 =
𝟏
𝟏
𝟗
= 𝟗 
 
 
→ Se 𝛼 =
𝑚
𝑛
, racional não inteiro, com 𝑚. 𝑛 ∈ ℤ e 𝑛 > 1, 
vem: 𝑎𝛼 = 𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
 
Exemplo: 
(𝟖)
𝟏
𝟑 = √𝟖
𝟑
= √𝟐³
𝟑
= 𝟐 
 
→ Se 𝛼 é irracional, podemos obter 𝑎𝛼 por aproximações 
de expoentes racionais. 
 
Exemplo: 
(𝟐)√𝟑 ≅ (𝟐)𝟏,𝟕 ≅ (𝟐)𝟏,𝟕𝟑 ≅ (𝟐)𝟏,𝟕𝟑𝟐, já que 1,7, 1,73 e 1,732 
são algumas aproximações de √3. Numa aproximação por 
excesso, (2)√3 ≅ 22 ≅ 4. 
 
● Propriedade da potenciação 
 
→ Multiplicação de potências de mesma base 
 
Considere os números 𝑎, 𝑥 e 𝑦, com 𝑎 > 0. Então: 
 
𝑎𝑥. 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 
Exemplo: 
 
(−𝟑)𝟑. (−𝟑)𝟓 = (−𝟑). (−𝟑). (−𝟑)⏟ 
𝟑 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
(−𝟑)𝟑
. (−𝟑). (−𝟑). (−𝟑). (−𝟑). (−𝟑)⏟ 
𝟓 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
(−𝟑)𝟓
 
 
(−𝟑)𝟑. (−𝟑)𝟓 = (−𝟑)𝟖 
 
→ Divisão de potências de mesma base 
 
Considere os números 𝑎, 𝑥 e 𝑦, com 𝑎 > 0. Então: 
 
𝑎𝑥
𝑎𝑦
= 𝑎𝑥−𝑦 
 
Exemplo: 
(I) 
(−
𝟏
𝟑
)
𝟑
÷ (−
𝟏
𝟑
)
𝟐
=
(−
𝟏
𝟑) . (−
𝟏
𝟑) . (−
𝟏
𝟑)
(−
𝟏
𝟑) . (−
𝟏
𝟑)
= −
𝟏
𝟑
 
 
(II) 
(−
𝟏
𝟑
)
𝟑
÷ (−
𝟏
𝟑
)
𝟐
= (−
𝟏
𝟑
)
𝟑−𝟐
= (−
𝟏
𝟑
)
𝟑−𝟐
= −
𝟏
𝟑
 
 
 
 
 
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→ Potência de potência 
 
Considere os números 𝑎, 𝑥 e 𝑦, com 𝑎 > 0. Então: 
 
(𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥.𝑦 
Exemplo: 
 
[(−𝟕)𝟑]𝟐 = (−𝟕)𝟑×𝟐 = (−𝟕)𝟔 
 
→ Distributiva da potenciação em relação à 
multiplicação e à divisão 
 
Considere os números 𝑎, 𝑏 e 𝑥, com 𝑎 𝑒 𝑏 > 0. Então: 
 
(𝑎. 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥. 𝑏𝑥 
e 
(
𝑎
𝑏
)
𝑥
=
𝑎𝑥
 𝑏𝑥
 
 
Exemplo: 
 
(𝟕𝒂)𝟑 = 𝟕𝟑. 𝒂³ = 𝟑𝟒𝟑𝒂³ 
(
𝟕
𝒂
)
𝟐
=
𝟕²
𝒂²
=
𝟒𝟗
𝒂²
 
 
Ex1: 
Simplifique a expressão 
10𝑛+2−10𝑛−1
10𝑛−10𝑛−3
. 
 
Resolução: 
10𝑛+2 − 10𝑛−1
10𝑛 − 10𝑛−3
=
10𝑛−1(103 − 1)
10𝑛−3(103 − 1)
= 
10𝑛−1
10𝑛−3
= 10² = 100 
 
 
Ex6: 
Dada a expressão (
1
3
)
4𝑥−𝑥²
, em que 𝑥 é um número real 
qualquer, podemos afirmar que: 
 
a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3. 
b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3. 
c) o menor valor que a expressão pode assumir é 1/81. 
d) o maior valor que a expressão pode assumir é 1/27. 
e) o menor valor que a expressão pode assumir é 1/9. 
 
Resolução: 
A expressão (
1
3
)
4𝑥−𝑥²
admite seu valor mínimo 
quando o expoente 4𝑥 − 𝑥² for máximo. Dessa 
forma, para 4𝑥 − 𝑥² ser máximo, 𝑥𝑉 =
−𝑏
2𝑎
= 2. A 
expressão em seu valor mínimo admitirá o seguinte 
valor, para 𝑥 = 2: 
 
(
1
3
)
4(2)−(2)²
= (
1
3
)
4
=
1
81
 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
São equações que apresentam a incógnita no 
expoente de pelo menos uma potência. Um método usado 
para resolver equações exponenciais consiste em reduzir 
ambos os membros da equação a potências de mesma 
base 𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1) e, daí, aplicar a propriedade: 
 
𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 → 𝑥1 = 𝑥2 
 
Quando isto é possível, a equação exponencial é 
facilmente resolvida. 
 
Ex1: 
Observe as equações exponenciais resolvidas a seguir: 
 
1) 7𝑥 = 75 ∴ 𝑥 = 5 
2) 2𝑥 = 512 ∴ 2𝑥 = 29 ∴ 𝑥 = 9 
3) 9𝑥 = 27 ∴ 32𝑥 = 33 ∴ 2𝑥 = 3 ∴ 𝑥 =
3
2
 
4) 5𝑥 = 1 ∴ 5𝑥 = 50 ∴ 𝑥 = 0 
5) 4𝑥−1 = 1 ∴ 4𝑥−1 = 40 ∴ 𝑥 − 1 = 0 ∴ 𝑥 = 1 
6) 2. 2𝑥 = 22 ∴ 2𝑥+1 = 22 ∴ 𝑥 + 1 = 2 ∴ 𝑥 = 1 
7) 8𝑥 =
1
4
∴ 23𝑥 =
1
22
∴ 23𝑥 = 2−2 ∴ 3𝑥 = −2 ∴ 𝑥 = −
2
3
 
8) 
(0,01)2𝑥−1 = 1 
(
1
100
)
2𝑥−1
= 100 
(10−2)2𝑥−1 = 100 
(10)−4𝑥+2 = 100 ∴ −4𝑥 + 2 = 0 ∴ 𝑥 =
1
2
 
 
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9) 
(
5
7
)
𝑥²
= (
25
49
)
𝑥
 
(
5
7
)
𝑥²
= (
5²
7²
)
𝑥
 
(
5
7
)
𝑥2
= (
5
7
)
2𝑥
 
𝑥² = 2𝑥 ∴ 𝑥² − 2𝑥 = 0 
𝑥. (𝑥 − 2) = 0 → {
𝑥 = 0
𝑥 = 2
 
 
𝑆 = {0,2} 
 
Ex2: 
Resolva, em ℝ, as equações: 
 
a) 24𝑥+1. 8−𝑥+3 =
1
16
 
b) (
1
5
)
3𝑥
÷ 252+𝑥 = 5 
c) (√10)
𝑥
. (0,01)4𝑥−1 =
1
1000
 
 
 
Resolução: 
a) 
24𝑥+1. 8−𝑥+3 =
1
16
 
24𝑥+1. (2³)−𝑥+3 =
1
24
 
24𝑥+1. 2−3𝑥+9 = 2−4 
24𝑥+1+(−3𝑥+9) = 2−4 
24𝑥+1−3𝑥+9 = 2−4 
2𝑥+10 = 2−4 ∴ 𝑥 + 10 = −4 ∴ 𝑥 = −14 
 
𝑆 = {−14} 
 
b) 
(
1
5
)
3𝑥
÷ 252+𝑥 = 5 
(5−1)3𝑥 ÷ (52)2+𝑥 = 5 
5−3𝑥 ÷ 54+2𝑥 = 5 
5−3𝑥−(4+2𝑥) = 5 
5−3𝑥−4−2𝑥 = 5 
5−5𝑥−4 = 5 ∴ −5𝑥 − 4 = 1 ∴ 𝑥 = −1 
 
𝑆 = {−1} 
 
c) 
(√10)
𝑥
. (0,01)4𝑥−1 =
1
1000
 
(10
1
2)
𝑥
. (10−2)4𝑥−1 =
1
10³
 
(10)
𝑥
2. (10)−8𝑥+2 = 10−3 
(10)
𝑥
2
+(−8𝑥+2) = 10−3 
𝑥
2
− 8𝑥 + 2 = −3 
𝑥 − 16𝑥 + 4 = −6 
−15𝑥 = −10 ∴ 𝑥 =
2
3
 
 
𝑆 = {
2
3
} 
 
Ex3: 
Resolva, em ℝ, as equações: 
 
a) 2𝑥+1 + 2𝑥−1 = 20 
b) 5𝑥−2 + 5𝑥+1 = 126 
c) 4𝑥+1 + 4𝑥+2 − 4𝑥−1 − 4𝑥−2 = 315 
 
Resolução: 
a) 
2𝑥+1 + 2𝑥−1 = 20 
 
Colocando 2𝑥 em evidência, teremos: 
2𝑥 (2 +
1
2
) = 20 
2𝑥 (
5
2
) = 20 
 
2𝑥
2
= 4 ∴ 2𝑥 = 8 ∴ 2𝑥 = 2³ ∴ 𝑥 = 3 
𝑆 = {3} 
 
b) 5𝑥−2 + 5𝑥+1 = 126 
 
Colocando 5𝑥−2 em evidência, teremos: 
 
5𝑥−2(1 + 5³) = 126 
5𝑥−2(1 + 125) = 126 
5𝑥−2(126) = 126 
5𝑥−2 = 1 ∴ 5𝑥−2 = 50 
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𝑥 − 2 = 0 ∴ 𝑥 = 2 
𝑆 = {2} 
 
c) 
4𝑥+1 + 4𝑥+2 − 4𝑥−1 − 4𝑥−2 = 315 
22𝑥+2 + 22𝑥+4 − 22𝑥−2 − 22𝑥−4 = 315 
 
Colocando 22𝑥−4 em evidência, teremos: 
 
22𝑥−4(26 + 28 − 22 − 1) = 315 
22𝑥−4(64 + 256 − 4 − 1) = 315 
22𝑥−4(315) = 315 
22𝑥−4 = 1 
22𝑥−4 = 20 ∴ 2𝑥 − 4 = 0 ∴ 𝑥 = 2 
 
𝑆 = {2} 
 
 
Ex4: 
Resolva, em ℝ, as equações: 
 
a) 32𝑥 − 4. 3𝑥 + 3 = 0 
b) 3𝑥+1. 2𝑥+1 + 36𝑥 = 72 
 
Resolução: 
a) Aplicando a propriedade de potência de potência, 
na equação: 
 
32𝑥 − 4. 3𝑥 + 3 = 0 
(3𝑥)2 − 4. 3𝑥 + 3 = 0 
 
fazendo 3𝑥 = 𝑦: 
 
(𝑦)2 − 4. 𝑦 + 3 = 0 
𝑦′ = 3 e 𝑦′′ = 1 
como 3𝑥 = 𝑦, 
 
para 𝑦′ = 3, 3𝑥 = 3 ∴ 𝑥 = 1 
para 𝑦′′ = 1, 3𝑥= 1 ∴ 3𝑥 = 30 ∴ 𝑥 = 0 
 
𝑆 = {0,1} 
 
 
b) 
3𝑥+1. 2𝑥+1 + 36𝑥 = 72 
 
(3.2)𝑥+1 + (62)𝑥 = 72 
(6)𝑥+1 + 62𝑥 = 72 
6.6𝑥 + (6𝑥)2 = 72 
 
fazendo 6𝑥 = 𝑦: 
6𝑦 + 𝑦2 = 72 
𝑦2 + 6𝑦 − 72 = 0 
 
𝑦′ = 6 e 𝑦′′ = −12⏟ 
6𝑥 𝑛ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 
como 6𝑥 = 𝑦, 
 
para 𝑦′ = 6, 6𝑥 = 6 ∴ 𝑥 = 1 
 
𝑆 = {6} 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Dado um número real 𝒂, tal que 0 < 𝑎 ≠ 1, 
chamamos função exponencial de base 𝒂 a função 
𝑓: ℝ → ℝ, tal que 𝑥 → 𝑎𝑥: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
 
● Gráficos da função exponencial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
 Por meio da substituição de alguns valores reais 
de 𝑥 na lei de formação da função exponencial, definida 
por: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, serão encontrados os respectivos valores 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e consequentemente, os pares ordenados de 
alguns pontos do gráfico da função exponencial. Observe 
os exemplos a seguir: 
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Ex1: 
Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 
 
Resolução: 
Lembre – se que podemos escolher quaisquer 
valores de x para substituir na lei de formação. Logo: 
 
• Para 𝑥 = 2: 
𝑦 = 22 ∴ 𝑦 = 4 
• Para 𝑥 = 1: 
𝑦 = 21 ∴ 𝑦 = 2 
• Para 𝑥 = 0: 
𝑦 = 20 ∴ 𝑦 = 1 
• Para 𝑥 = −1: 
𝑦 = 2−1 ∴ 𝑦 =
1
2
 
• Para 𝑥 = −2: 
𝑦 = 2−2 ∴ 𝑦 =
1
4
 
 
 
Valores 
de x 
Valores 
de y 
Par 
ordenado 
x = 2 y = 4 A(2,4) 
x = 1 y = 2 B(1,2) 
x = 0 y = 1 C(0,1) 
x = -1 y = 1/2 D(-1,1/2) 
x = -2 y = 1/4 E(-2,1/4) 
 
Substituindo estes pontos encontrados no plano 
cartesiano, obtém – se o seguinte gráfico: 
 
 
 
Ex2: 
Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥
. 
 
Resolução: 
Lembre – se que podemos escolher quaisquer 
valores de x para substituir na lei de formação. Logo: 
 
• Para 𝑥 = 2: 
𝑦 = (
1
2
)
2
∴ 𝑦 =
1
4
 
• Para 𝑥 = 1: 
𝑦 = (
1
2
)
1
∴ 𝑦 =
1
2
 
• Para 𝑥 = 0: 
𝑦 = (
1
2
)
0
∴ 𝑦 = 1 
• Para 𝑥 = −1: 
𝑦 = (
1
2
)
−1
∴ 𝑦 = 2 
• Para 𝑥 = −2: 
𝑦 = (
1
2
)
−2
∴ 𝑦 = 4 
 
Valores 
de x 
Valores 
de y 
Par 
ordenado 
x = 2 y = 1/4 A(2,1/4) 
x = 1 y = 1/2 B(1,1/2) 
x = 0 y = 1 C(0,1) 
x = -1 y = 2 D(-1,2) 
x = -2 y = 4 E(-2,4) 
 
 Substituindo estes pontos encontrados no plano 
cartesiano, obtém – se o seguinte gráfico: 
 
 
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♯ Curiosidade: 
 
Assíntota: Nome dado a uma reta que limita uma 
determinada curva. Há assíntota horizontal que 
intercepta o eixo x, e assíntota vertical, que 
intercepta o eixo y. 
 Perceba que nos exemplos anteriores o eixo ox 
(reta 𝑦 = 0) é a assíntota horizontal dos gráficos das 
funções exponenciais definidos por: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥
. Dizemos que o gráfico da função (curva 
forma pelos pontos que satisfazem a função) 
assintota a reta que o limita (assíntota). 
 
 
● Propriedades da função exponencial cuja lei de 
formação é: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
1) Para a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é verdade que: 
para 𝑥 = 0 → 𝑦 = 𝑎0 ∴ 𝑦 = 1 (𝑓(0) = 1), ou seja, o ponto 
(0,1), faz parte do gráfico da função, sendo o ponto de 
intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas. 
 
2) Através dos gráficos anteriores, observamos que para: 
 
→ 𝑎 > 1, a função exponencial é crescente. Note que à 
medida que os valores de domínio aumentam, as 
respectivas imagens aumentam também (característica 
fundamental de funções crescentes). Veja a figura a 
seguir: 
 
 
𝑥2 > 𝑥1 → 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) 
ou 
𝑥2 > 𝑥1 → 𝑦2 > 𝑦1 
 
 
 
→ 0 < 𝑎 < 1, a função exponencial é decrescente. Note 
que à medida que os valores de domínio aumentam, as 
respectivas imagens diminuem. 
 
 
 
𝑥2 > 𝑥1 → 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) 
ou 
𝑥2 > 𝑥1 → 𝑦2 < 𝑦1 
 
 
 
3) Para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é verdade que: 
 
Se 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2, então 𝑥1 = 𝑥2 
 
4) Como a base da potência na lei de formação da função 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, definida em ℝ → ℝ, sempre admite os valores 
𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, tal função nunca admitirá imagens 
negativas, portanto o conjunto imagem desta função será 
sempre o conjunto ℝ+
∗ , dessa forma, seu gráfico não estará 
abaixo do eixo das abscissas. Quando o contradomínio 
desta função for ℝ+
∗ , a mesma será sobrejetora e como é 
injetora, será dita bijetora. 
 
Ex1: 
Verifique quais das funções abaixo são funções crescentes 
ou decrescentes. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) = 10−𝑥 
 
 
Resolução: 
a) É uma função crescente, pois a base da potência é 
um número maior que 1. 
b) É uma função decrescente, pois a base da 
potência é um número maior que zero e menor que 1. 
c) Se aplicarmos a propriedade de potência 
encontraremos que a base da potência é um número 
maior que zero e menor que 1, veja: 
 
𝑓(𝑥) = 10−𝑥 ∴ 𝑓(𝑥) = (10−1)𝑥 ∴ 𝑓(𝑥) = (
1
10
)
𝑥
 
 
então, tal função é uma função decrescente. 
 
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♯ EXERCICIOS SALA 
 
01) Observe a figura: 
 
 
 
Nessa figura, está representado o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥, 
sendo 𝑘 e 𝑎 constantes positivas. Determine a lei de 
formação da função. 
 
02) O gráfico da função tipo exponencial f, definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑎𝑥 foi construído utilizando-se o programa de 
geometria dinâmica gratuito GeoGebra 
(http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a 
seguir: 
 
 
 
Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, 
pertencem ao gráfico de f. Determine: 
 
a) os valores das constantes 𝑎 e 𝑘; 
b) 𝑓 (0) e 𝑓 (3). 
03) 
 
 
 
Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, 
respectivamente, às funções 𝑦 = 𝑎𝑥, 𝑦 = 𝑏𝑥e 𝑦 = 𝑐𝑥. 
Então, está correto afirmar que: 
 
a) 0 < a < b < c 
b) 0 < b < c < a 
c) a < 0 < b < c 
d) 0 < a < c < b 
e) a < 0 < c < b 
 
♯ EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
01) Resolva a equação: 
 
a) 3𝑥 =
1
27
. b) 7𝑥²−10𝑥+16 = 1 c) { 2
𝑥+𝑦 = 4
3𝑥−𝑦 = 81
 
 
02) Sejam 𝑥1 e 𝑥2 as soluções da equação exponencial 
(
4
3
)
𝑥²−3𝑥+2
= (
3
4
)
𝑥²−2𝑥
. O valor da soma 𝑥1 + 𝑥2 é: 
 
a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 e) 9/2 
 
03) Resolva, em ℝ, a equação 3𝑥+2 − 10.3𝑥 + 9 = 0. 
 
04) A soma das raízes da equação 
22𝑥+1 − 2𝑥+4 = 2𝑥+2 − 32 é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 
 
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05) Identifique as seguintes funções como crescentes ou 
decrescentes: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = (
2
3
)
−𝑥
 
 
06) Considerando-se o gráfico e a equação a seguir 
relacionados à decomposição de uma substância, onde, K 
é uma constante, t indica tempo (em minutos) e Q(t) indica 
a quantidade de substância, (em gramas) no instante t. 
Determine os valores de K e a. 
 
 
 
 
GABARITOEXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) 
a) x = -3 
b) x = 2 ou x = 8 
c) x = 3 ou x = -1 
04) C 
 
02) C 05) 
a) Crescente 
b) Decrescente 
c) Decrescente 
d) Crescente 
03) 02 06) 04