Apostila INTRODUÇÃO AO CÁLCULO

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
BELO HORIZONTE / MG 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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SUMÁRIO 
1 RETOMANDO O CONCEITO DE FUNÇÃO .................................................................................... 4 
1.1 Ideia intuitiva de função .................................................................................................................4 
2 FUNÇÕES ...................................................................................................................................... 4 
2.1 A noção de função através de conjuntos .......................................................................................4 
2.2 Definição .......................................................................................................................................4 
2.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio de uma Função .....................................................................5 
2.3.1 Estudo do domínio de uma função .............................................................................................5 
2.3.2 Função sobrejetora, função injetora, função bijetora ...................................................................6 
3 FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE .................................................................................... 6 
3.1 Funções crescentes ......................................................................................................................7 
3.2 Função decrescente ......................................................................................................................7 
4 MÉTODO PARA OBTER EXTREMOS DE FUNÇÃO EM UM INTERVALO ..................................... 8 
5 FUNÇÃO LINEAR ........................................................................................................................... 9 
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2º GRAU .....................................................................10 
6.1 Definição ..................................................................................................................................... 10 
6.2 Gráfico ........................................................................................................................................ 11 
7 FUNÇÃO POLINOMIAL .................................................................................................................11 
7.1 Valor Numérico de um Polinômio ................................................................................................ 11 
7.2 Grau dos Polinômios ................................................................................................................... 11 
7.3 Gráficos da Função Polinomial .................................................................................................... 12 
7.4 Igualdade de Polinômios ............................................................................................................. 12 
7.5 Operações com Polinômios ......................................................................................................... 12 
8 FUNÇÃO LOGARITMA ..................................................................................................................13 
8.1 Gráfico de uma função logarítmica ............................................................................................. 13 
8.2 Características do gráfico da função logarítmica y = logax ........................................................... 13 
9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS .........................................................................................................14 
9.1 Propriedades da função exponencial ........................................................................................... 15 
10 LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ................................................16 
10.1 Limites e Continuidade: definição, propriedades e exemplos ..................................................... 16 
10.2 Limite: definição formal.............................................................................................................. 16 
10.3 Propriedades dos limites ........................................................................................................... 17 
10.4 Exemplos iniciais: exercícios resolvidos de Limites .................................................................... 18 
11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ......................................................................................19 
4.1 Cálculo 1: estuda limites, derivadas e integrais............................................................................ 19 
12 SISTEMAS LINEARES.................................................................................................................19 
12.1 Resolução de sistemas lineares ................................................................................................ 19 
12.2 Método da substituição.............................................................................................................. 20 
12.3 Classificação dos sistemas lineares .......................................................................................... 21 
13 LIMITES .......................................................................................................................................21 
13.1 Noção intuitiva de limites ........................................................................................................... 21 
13.2 Definição de limite ..................................................................................................................... 23 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 3 
 
13.3 Propriedades dos limites ........................................................................................................... 23 
14 DERIVADA ..................................................................................................................................24 
14.1 A Derivada de uma Função ....................................................................................................... 25 
14.2 Regras de Derivação ................................................................................................................. 25 
14.3 Derivada de uma Constante ...................................................................................................... 25 
14.4 Derivada do produto de uma constante por uma função ............................................................ 25 
14.5 Derivada de uma soma ............................................................................................................. 25 
14.6 Derivada de um produto ........................................................................................................... 25 
14.7 Derivada de um quociente ......................................................................................................... 25 
14.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) .................................................................... 26 
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ..............................................................................................................28 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR................................................................................................... 28INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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1 RETOMANDO O CONCEITO DE 
FUNÇÃO1 
O conceito de função é um dos mais 
importantes em toda a matemática. O conceito 
básico é o seguinte: toda vez que temos dois 
conjuntos e algum tipo de associação entre eles, 
que faça corresponder a todo elemento do 
primeiro conjunto um único elemento do 
segundo, ocorre uma função. 
 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-
funcao.htm 
O uso de funções pode ser encontrado 
em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela de 
preços de uma loja, a cada produto corresponde 
um determinado preço. Outro exemplo seria o 
preço a ser pago numa conta de luz, que 
depende da quantidade de energia consumida. 
1.1 Ideia intuitiva de função 
O conceito de função é um dos mais 
importantes da matemática. Ele está sempre 
presente na relação entre duas grandezas 
variáveis. Assim são exemplos de funções: 
• O valor a ser pago numa corrida de táxi é 
função do espaço percorrido; 
• A área de um quadrado é função da medida 
do seu lado; 
• O consumo de combustível de um automóvel 
é função, entre outros fatores, da velocidade. 
Observe que as relações que vimos a seguir 
têm duas características em comum: 
• A todos os valores da variável independente 
estão associados valores da variável 
dependente; 
• Para um dado valor da variável independente 
está associado um único valor da variável 
dependente. As relações que têm essas 
características são chamadas de funções. 
 
1 Extraído na íntegra: 
<http://pessoal.educacional.com.br/up/50280001
/1433969/.pdf> 
2 FUNÇÕES 
2.1 A noção de função através de 
conjuntos2 
Vamos agora, estudar função, usando a 
teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas na 
tabela do item anterior representam conjuntos 
numéricos. 
Veja o exemplo: 
 
Dados os conjuntos 
, seja 
a relação de A em B expressa pela fórmula f(x)= 
y+5 , com , 
2.2 Definição 
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e 
uma relação f de A em B, essa relação f é uma 
função de A em B quando a cada elemento x do 
conjunto A está associado um e somente um 
elemento y de B. 
Pode-se escrever: 
Observação: Podemos usar a seguinte 
notação para a lei de associação que define uma 
função: 
Y=x+5 ou F(x)= x+5 
A lei da função pode ser indicada de uma 
forma ou de outra, pois y e f (x) significam o 
mesmo na linguagem matemática. 
Exemplo: 
Observe os diagramas abaixo, que 
representam relações de A em R, assinale com F 
aquelas que são funções e com R as que não são 
funções: 
2 http://pessoal.educacional.com.br/pdf 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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2.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio 
de uma Função 
Sejam os conjuntos 
 ; vamos 
considerar a função f A B: → definida por 
 
Observando o diagrama da função, 
vamos definir: 
 
O conjunto A é denominado domínio da 
função, que indicamos por D. No exemplo acima 
O domínio da função também é 
chamado campo de definição ou campo de 
existência da função. 
O conjunto ,que é um 
subconjunto de B, é denominado o conjunto 
imagem da função e indicamos por Im 1,2,3 
O conjunto B, tal que Im B, é 
denominado contradomínio da função. No 
exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; 
f(0)=1 , 2 é a imagem de 1 pela função f(1) =2 ; 
3 é a imagem de 2 pela função; f(2)=3. 
2.3.1 Estudo do domínio de uma função 
Quando definimos uma função, o 
domínio D, que o conjunto de todos os valores 
possíveis da variável x, pode ser dado explícita 
ou implicitamente. Assim: 
Se dado , com 
 , está implícito que o domínio da 
função dada é 
Se dado apenas , sem 
explicitar o domínio, está implícito que x 
pode ser qualquer número real diferente 
de 2, com isso, 
Se é dado apenas , sem 
explicitar o domínio D, está implícito 
 Assim 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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2.3.2 Função sobrejetora, função 
injetora, função bijetora 
Vamos considerar os seguintes 
exemplos
 
Definida por 
 
 
 
Você observa que não há elemento de B 
que não seja imagem de um elemento de A, isto 
é, chegam flechas em todos os elementos de B. 
O conjunto imagem é igual ao contradomínio da 
função. Neste caso dizemos que a função f é 
sobrejetora. 
Definida por 
 
Você observa que não existe elemento 
de B que seja imagem de mais de um elemento 
de A, isto é, em cada elemento de B que é 
imagem de um elemento de A chega apenas uma 
flecha. Neste caso dizemos que a função é 
injetora. 
 
Definida por 
 
3 Extraído na íntegra: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-
crescentedecrescente.htm> 
 
Você observa que não existe um 
elemento de B que não seja imagem de um 
elemento de A (f é sobrejetora); cada elemento 
de B é imagem de um único elemento de A (f é 
injetora). Neste caso, quando a função f, é ao 
mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos 
que f é uma função bijetora. 
3 FUNÇÃO CRESCENTE E 
DECRESCENTE3 
A função crescente é aquela em que y 
aumenta toda vez que x é aumentado. 
A função decrescente é aquela em que y 
diminui toda vez que x é aumentado. 
 
O gráfico da função crescente está 
inclinado para cima, e o da função descrente está 
inclinado para baixo. 
Funções são regras que ligam cada 
elemento de um conjunto a um único elemento de 
outro conjunto. Quando se trata de conjuntos 
numéricos, essas funções assemelham-se a 
equações que relacionam os elementos de um 
conjunto a outro por meio de suas variáveis. Uma 
função é crescente quando, aumentando-se os 
valores atribuídos ao domínio, os valores do 
contradomínio ficam cada vez maiores; caso 
contrário, a função é decrescente. 
Para melhor compreender essas 
definições, veja alguns exemplos. Observe: 
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3.1 Funções crescentes 
Um exemplo de função crescente é a 
função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a 
tabela a seguir: 
 
Observe que o valor de x, a cada linha, é 
aumentado em uma unidade. 
Consequentemente, realizando-se os cálculos de 
y a partir da função dada, percebemos que, a 
cada linha, o valor dessa variável aumenta em 
quatro unidades. 
Assim, quando o valor de x aumenta, o 
valor de y também aumenta. Por essa razão, a 
função é crescente. Além disso, apenas 
observando o gráfico dessa função, é possível 
perceber que ela é crescente, pois, quanto mais 
à direita, mais alta a reta fica. 
 
Também é possível dizer que uma 
função é crescente quando, diminuindo-se os 
valores de x, os valores de y diminuem também. 
Exemplo: 
Mostre que a função y = 7x + 1 é 
crescente. 
 
Como o valor de y aumenta quando 
aumentamos o valor de x, a funçãoé crescente. 
Observe que essa é uma função do 
primeiro grau, portanto, o seu gráfico é uma 
reta. Em uma mesma reta, é impossível haver 
intervalos crescentes e decrescentes. Se em um 
intervalo a reta for crescente, então, ela será em 
toda a sua extensão. 
Dessa maneira, basta observar em dois 
valores de x que y aumenta para garantir que 
toda a reta seja crescente. 
3.2 Função decrescente 
Uma função decrescente é aquela em 
que o valor da variável y diminui sempre que a 
variável x aumenta. Um exemplo de função 
decrescente é a seguinte: y = – 3x + 3. Para 
perceber isso, observe a tabela a seguir: 
 
Observe que, cada vez que o valor de x 
aumenta uma unidade, o valor de y diminui três 
unidades. Dessa maneira, essa função é 
decrescente. 
Além de observar os valores na tabela, 
também é possível definir se uma função do 
primeiro grau é crescente ou decrescente a 
partir da análise do seu gráfico. Observe o gráfico 
decrescente da função acima: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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Exemplo: 
Mostre que a função y = – x é 
decrescente. 
Para tanto, basta mostrar que, 
aumentando-se o valor de x, o valor de y diminui. 
Escolheremos, para isso, os valores x = 0 e x = 
1. Observe: 
 
Observe que, aumentando-se uma 
unidade no valor de x, o valor de y cai uma 
unidade; logo, a função é decrescente. 
Como identificar funções crescentes e 
decrescentes sem cálculos 
Existe uma maneira de dizer se uma 
função do primeiro grau é crescente ou 
decrescente sem fazer qualquer cálculo. Para 
isso, basta observar o valor do coeficiente “a” da 
função. Esse coeficiente é proveniente da forma 
geral da função do primeiro grau: 
y = ax + b 
“a” é o número que multiplica a variável, 
e b é uma constante. A regra para identificar se 
funções do primeiro grau são crescentes ou não 
é a seguinte: 
Se a > 0, a função é crescente; 
Se a < 0, a função é decrescente. 
Vamos determinar se as funções a seguir 
são crescentes ou decrescentes. 
a) y = 2x 
Crescente, pois a = 2 > 0. 
b) y = – x 
Decrescente, pois a = – 1 < 0. 
c) y = – 4x + 7 
Decrescente, pois a = – 4 < 0. 
d) y = 4x – 7 
Crescente, pois a = 4 > 0. 
Quando uma função não é crescente 
nem decrescente, ou seja, quando a = 0, ela é 
uma função constante. Sempre que 
aumentamos ou diminuímos o valor de x, y 
permanece constante. O gráfico de um exemplo 
de função constante é o seguinte: y = 2 
 
4 MÉTODO PARA OBTER EXTREMOS DE 
FUNÇÃO EM UM INTERVALO 
1. Calculamos a derivada de 𝑓, e resolvemos a 
equação 𝑓 0 (𝑥) = 0 para obter a lista dos 
pontos críticos de 𝑓 . 
2. Excluímos todos os pontos críticos que estão 
fora do intervalo [a,b]. 
3. Anexamos à lista as extremidades a e b do 
intervalo, e os pontos onde a função não é 
contínua ou não tem derivada. 
4. Aplicamos a função f em cada ponto da lista, 
sendo que o maior valor é o valor máximo de 
𝑓 , e o menor valor é o valor mínimo de 𝑓 . 
Exemplo: 
Para obter os mínimos e máximos da 
função 𝑓 (𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 sobre o intervalo [−1, 
3], primeiro, derivamos a função e fazemos a 
derivada igual a zero para obter os pontos 
críticos, isto é: 
4x3 −16x = 0 
Dividimos a equação por 4 para obter x3 
−4x = 0, fatorando a mesma como: 
x(x −2)(x +2) = 0 
• Os pontos críticos são -2, 0 e 2. 
Como o intervalo não inclui -2, nós 
retiramos este ponto da lista. 
Acrescentamos as extremidades do 
intervalo: -1 e 3 à lista. 
Desse modo, a lista de números que 
podem ser mínimos ou máximos, é formada por: 
{−1, 0, 2, 3} 
Aplicando a função a estes valores, 
obtemos (nesta ordem) 𝑓 (−1) = −2, 𝑓 (0) = 5, 𝑓 
(2) = −11, 𝑓 (3) = 14. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑓 (3) = 14 é o máximo 
e 𝑓 (2) = −11 é o mínimo. 
Neste exemplo, o máximo não ocorre em 
um ponto crítico, mas em uma extremidade do 
intervalo [a,b]. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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Exemplo: 
Temos 200 metros de arame para cercar 
um jardim retangular com a maior área possível. 
Qual devem ser as dimensões do jardim? 
Solução: 
Seja x a medida da largura e y a medida 
do comprimento do jardim. 
A área retangular é dada por 𝐴 = 𝑥 𝑦. 
Como o perímetro é 200 metros, 
sabemos que 2𝑥 + 2𝑦 = 200, e extraindo o valor 
de y nesta relação obtemos 𝑦 = 100 − 𝑥. Agora, 
podemos reescrever a função que fornece a área 
usando apenas a variável x, na forma: 
𝐴(𝑥) = 𝑥 𝑦 = 𝑥(100 − 𝑥) = 100𝑥 – 𝑥 2. 
A derivada desta função com respeito à 
variável 𝑥 é 𝐴 0 (𝑥) = 100 − 2𝑥. 
Tomando a expressão da derivada igual 
a zero, obtemos: 
100 − 2𝑥 = 0 
 
Resolvendo esta equação, obtemos 
apenas um ponto crítico 𝑥 = 50. 
• Qual é o intervalo que representa o domínio 
desta função? 
• Quais são as extremidades deste intervalo? 
Aqui, vamos considerar x ≥ 0 e y ≥ 0 para 
podermos calcular a área. 
Como 𝑦 = 100 − 𝑥, devemos ter que x ≤ 
100. 
Assim, o intervalo é [0, 100]. 
Calculando a função 𝐴(𝑥) = 𝑥(100 − 𝑥) 
nos pontos 0, 50 e 100, obtemos A(0) = 0, A(50) 
= 2500, A(50) = 0. 
Assim, temos 𝑦 = 100 − 50 = 50, e a área 
máxima é A(50) = 50(50) = 2500 
 
4 Extraído na íntegra: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao-
crescentedecrescente.htm> 
5 FUNÇÃO LINEAR4 
A função linear é um caso particular de 
função afim que apresenta a lei de formação do 
tipo f(x) = ax, em que a é real e diferente de zero. 
 
Confira o que é uma função linear e como é o 
seu gráfico! 
Uma função afim ou função do 1° grau é 
caracterizada por apresentar uma lei de 
formação do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏, na qual os 
coeficientes a e b são números reais, além de, 
necessariamente, a ser diferente de zero (a ≠ 0). 
O gráfico de uma função afim é uma reta que 
pode tocar o eixo x do plano cartesiano em um 
único ponto, que é chamado de zero da função. 
Agora que relembramos a função do 1° 
grau, vamos falar sobre um tipo muito especial, a 
função linear. Essa função apresenta uma lei de 
formação em que b = 0, restando apenas a 
relação 𝑓(𝑥) = 𝑎 · 𝑥, com a e a ≠ 0. 
Como é uma função do 1° grau, o gráfico 
da função linear é também uma reta. A diferença 
é que essa reta sempre intercepta a origem do 
sistema de coordenadas, isto é, o ponto (0, 0). 
Vejamos algumas funções lineares 
acompanhadas de seus gráficos: 
Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 𝑥 
Essa é uma função linear porque seus 
coeficientes são: a = 1 e b = 0. A função 
𝑓(𝑥) = 𝑥 é ainda chamada de função 
identidade, um caso particular da função linear. 
Podemos ainda dizer que essa função é 
crescente, pois o coeficiente a é positivo. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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Gráfico da função linear e função identidade 
Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = – 2𝑥 
Essa também é uma função linear, pois 
seus coeficientes são a = – 2 e b = 0. 
Podemos ainda dizer que essa função é 
decrescente, uma vez que a < 0. 
 
Gráfico da função linear f(x) = – 2x 
Exemplo 3: 
Temos aqui uma função linear com 
coeficientes a = 3/2 e b = 0. Essa é umafunção 
crescente, pois a > 0. 
 
5 Extraído na íntegra: 
https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.p
hp 
 
Gráfico da função linear f(x) = 3/2 x 
Exemplo 4: 
A função f(x) é linear, pois seus coeficientes são 
a = – 1/3 e b = 0, e decrescente, já que a < 0. 
 
Gráfico da função linear f(x) = 3/2 
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO 
DO 2º GRAU5 
6.1 Definição 
Chama-se função quadrática, ou função 
polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em 
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, 
onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos 
alguns exemplos de funções quadráticas: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
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f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 
f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
6.2 Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 2º 
grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva 
chamada parábola. 
Por exemplo, vamos construir o gráfico 
da função y = x² + x: 
Primeiro atribuímos a x alguns valores, 
depois calculamos o valor correspondente de y e, 
em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. 
 
 
Observação: 
Ao construir o gráfico de uma função 
quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre 
que: 
 
6 Extraído na íntegra: 
https://www.todamateria.com.br/funcao-polinomial/ 
• se a > 0, a parábola tem a concavidade 
voltada para cima; 
• se a < 0, a parábola tem a concavidade 
voltada para baixo; 
7 FUNÇÃO POLINOMIAL6 
As funções polinomiais são definidas por 
expressões polinomiais. Elas são representadas 
pela expressão: 
 
onde: 
n: número inteiro positivo ou nulo 
x: variável 
 
coeficientes 
 
termos 
Cada função polinomial associa-se a um 
único polinômio, sendo assim chamamos as 
funções polinomiais também de polinômios. 
7.1 Valor Numérico de um Polinômio 
Para encontrar o valor numérico de um 
polinômio, substituímos um valor numérico na 
variável x. 
Exemplo: 
Qual o valor numérico de 
p(x) = 2x3 + x2 - 5x - 4 para x = 3? 
Substituindo o valor na variável x temos: 
2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44 
7.2 Grau dos Polinômios 
Dependendo do expoente mais elevado 
que apresentam em relação à variável, os 
polinômios são classificados em: 
• Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6 
• Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x 
- 2 
• Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 
10x2 - 6x + 15 
• Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 - 
15x3+ 5x2 + x - 10 
• Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 
12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1 
Obs: o polinômio nulo é aquele que 
possui todos os coeficientes iguais a zero. 
Quando isso ocorre, o grau do polinômio 
não é definido. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 12 
 
7.3 Gráficos da Função Polinomial 
Podemos associar um gráfico a uma 
função polinomial, atribuindo valores a x na 
expressão p(x). 
Desta forma, encontraremos os pares 
ordenados (x,y), que serão pontos pertencentes 
ao gráfico. 
Ligando esses pontos teremos o esboço 
do gráfico da função polinomial. 
Veja alguns exemplos de gráficos: 
Função polinomial de grau 1 
 
Função polinomial de grau 2 
 
Função polinomial de grau 3 
 
7.4 Igualdade de Polinômios 
Dois polinômios são iguais se os 
coeficientes dos termos de mesmo grau são 
todos iguais. 
Exemplo: 
Determine o valor de a, b, c e d para que 
os polinômios p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 10)x2 - c e 
h(x) = (d + 4)x3 + 3bx2 + 8. 
Para os polinômios serem iguais é 
necessário que os coeficientes correspondentes 
sejam iguais. Então, a = 0 (o polinômio h(x) não 
tem o termo x4, sendo assim seu valor é igual a 
zero) 
 b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5 
- c = 8 → c = - 8 d + 4 = 7 → d = 7 – 4 
 → d = 3 
7.5 Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações 
entre polinômios: 
Adição 
(- 7x3 + 5x2 - x + 4) + (- 2x2 + 8x -7) 
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 – 7 
- 7x3 + 3x2 + 7x -3 
Subtração 
(4x² - 5x + 6) - (3x - 8) 
4x² - 5x + 6 - 3x + 8 
4x² - 8x + 14 
Multiplicação 
(3x² - 5x + 8) . (- 2x + 1) 
- 6x³ + 3x² + 10x2 - 5x - 16x + 8 
- 6x³ + 13x² - 21x + 8 
Divisão 
 
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos 
o método chave. Primeiramente realizamos a 
divisão entre os coeficientes numéricos e depois 
a divisão de potências de mesma base. Para 
isso, conserva-se a base e subtraia os 
expoentes. 
A divisão é formada por: dividendo, 
divisor, quociente e resto. divisor . quociente + 
resto = dividendo 
Teorema do Resto 
O Teorema do Resto representa o resto 
na divisão dos polinômios e possui o seguinte 
enunciado: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 13 
 
O resto da divisão de um polinômio f(x) 
por x - a é igual a f(a). 
8 FUNÇÃO LOGARITMA 
Toda função definida pela lei de 
formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é 
denominada função logarítmica de base a. Nesse 
tipo de função o domínio é representado pelo 
conjunto dos números reais maiores que zero e o 
contradomínio, o conjunto dos reais. 
Exemplos de funções logarítmicas: 
• f(x) = log2x 
• f(x) = log3x 
• f(x) = log1/2x 
• f(x) = log2(x – 1) 
8.1 Gráfico de uma função logarítmica 
Para a construção do gráfico da função 
logarítmica devemos estar atentos a duas 
situações: 
a > 1 
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte 
forma: 
 
0 < a < 1 
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da 
seguinte forma: 
 
 
8.2 Características do gráfico da função 
logarítmica y = logax 
 
O gráfico está totalmente à direita do eixo 
y, pois ela é definida para x > 0. 
Intersecta o eixo das abscissas no ponto 
(1,0), então a raiz da função é x = 1. 
Note que y assume todos as soluções 
reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. 
Através dos estudos das funções 
logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é 
uma função inversa da exponencial. Observe o 
gráfico comparativo a seguir: 
 
 
Podemos notar que (x,y) está no gráfico 
da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está 
na função exponencial de mesma base. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 14 
 
9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Função exponencial ocorre quando 
temos uma variável no expoente e o número é 
determinado como base. 
 
 
Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
Veja dois exemplos de gráficos de 
funções exponenciais: 
 
Gráfico de função exponencial (Foto: Colégio Qi) 
Temos os gráficos de f(x) = 2x (azul) e 
g(x) = 2 - x (vermelho). Observando esses dois 
gráficos poderemos entabular algumas 
propriedades gerais importantes, 
Vejamos: Os gráficos estão passando 
pelo ponto (0,1);Para quaisquer valores de x os valores 
de f(x) serão positivos. Denomina-se o eixo dos x 
como “assíntotas horizontais”; Obs.: Reta 
assíntota (ou assintótica) é uma reta tal que a 
distância de um ponto de uma curva a essa reta 
tende para zero quando o ponto se afasta ao 
infinito sobre a curva. A reta assintótica e a curva 
ficam arbitrariamente próximas conforme se 
afastam da origem do sistema de coordenadas. 
 
7 Texto Adaptado de: www.educacao.globo.com 
O gráfico de f(x) = 2x é nitidamente 
crescente, isso vai ocorrer toda e qualquer vez 
que a > 1, já o gráfico de g(x) = 2 - x tem o aspecto 
de uma função decrescente e isso vai ocorrer 
toda e qualquer vez em que 0 < a < 1; 
O domínio das duas funções é o conjunto 
dos números reais, porém a imagem será 
determinada por ]0,+∞[ 
Observe agora o gráfico ao lado e note 
as funções f(x) = 2 
 
 
Função exponencial (Foto: Colégio Qi)7 
Uma função exponencial é utilizada na 
representação de situações em que a taxa de 
variação é considerada grande, por exemplo, em 
rendimentos financeiros capitalizados por juros 
compostos, no decaimento radioativo de 
substâncias químicas, desenvolvimento de 
bactérias e micro-organismos, crescimento 
populacional entre outras situações. As funções 
exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se 
necessário, as regras envolvendo potenciação. 
Vamos apresentar alguns exemplos 
envolvendo o uso de funções exponenciais. 
Exemplo 1 
Uma determinada máquina industrial se 
deprecia de tal forma que seu valor, t anos após 
a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em 
que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, 
a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, 
determine o valor que ela foi comprada. Temos 
que v(10) = 12 000, então: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 15 
 
 
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 
48 000,00. 
Exemplo 2 
Suponha que, em 2003, o PIB (Produto 
Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de 
dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma 
cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, 
dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80. 
Temos a seguinte função exponencial: 
P(x) = P0 * (1 + i)t 
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20 
P(x) = 500 * 1,0320 
P(x) = 500 * 1,80 
P(x) = 900 O PIB do país no ano de 2023 será 
igual a R$ 900 bilhões. 
9.1 Propriedades da função exponencial 
As propriedades da função exponencial 
resultam das potências e podem facilitar os 
cálculos com esse tipo de função que possui uma 
variável no expoente. 
1ª Propriedade: Se x = 0, então f(x) = 1 
Isso acontece por causa das 
propriedades de potências. Observe o que ocorre 
à função f(x) = 2x quando x = 0: 
f(x) = 2x 
f(0) = 20 
f(0) = 1 
No entanto, esse resultado vale para 
todo a pertencente aos números reais, pois 
qualquer número elevado a zero será igual a um. 
2ª Propriedade: Se a > 1, então, a função 
exponencial será crescente 
Uma função é considerada crescente 
quando dados os dois valores distintos do 
domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) < f(x2). 
Assim, na função exponencial, podemos 
observar os expoentes x1 e x2. Toda vez que x1 < 
x2, e que a > 1, teremos como consequência ax1 
< ax2. 
Por exemplo: f(x) = 2x. Observe que a = 
2, que é maior que 1. Assim, essa função é 
crescente. Por isso, tomando x1 = 1 e x2 = 2, 
teremos: 
ax1 < ax2 
21 < 22 
2 < 4 
3ª Propriedade: Se “a” for menor que 1 e 
maior que zero, então, a função 
exponencial será decrescente. 
Uma função é considerada decrescente 
quando dados os dois valores distintos do 
domínio x1 e x2, com x1 < x2: f(x1) > f(x2). 
Assim, na função exponencial, 
podemos observar os expoentes x1 e x2. Toda 
vez que x1 < x2, e que 0 < a < 1, teremos como 
consequência ax1 > ax2. 
Por exemplo: f(x) = 0,5x. Nesse 
exemplo, a = 0,5 e está no intervalo referente a 
essa propriedade. Como essa função é 
decrescente, se x1 = 1 e x2 = 2, teremos: 
x1 < x2 
ax1 > ax2 
0,51 > 0,52 
0,5 > 0,25 
Observe que “a” é obrigatoriamente 
diferente de 1 por definição da função e, se for 
igual a zero, a função será contemplada pela 
primeira propriedade. Por isso, o intervalo aberto 
0 < a < 1. 
4ª Propriedade: Sempre que ax1 = ax2, 
teremos x1 = x2. 
Isso acontece para todo valor de x, desde 
que a ≠ 1 e a > 0. 
Por exemplo: na função f(x) = 7x. Se 
f(x1) = 49 e f(x2) = 49, teremos: 
 
Como o resultado das duas potências, no 
exemplo, é igual a 49, então, x1 e x2 só podem 
ser iguais a 2 
x1 = x2 = 2 
 
5ª Propriedade: O gráfico da função 
exponencial sempre estará localizado 
acima do eixo x. 
Isso acontece porque, por definição, “a” 
sempre será maior que zero em toda função 
exponencial. Como “a” é base de uma potência, 
o resultado dessa potência sempre será maior 
que zero. Isso significa que, no plano cartesiano, 
os valores de f(x) correspondentes a y nunca 
serão negativos, ou seja, nunca ficarão abaixo do 
eixo x. 
Quando a função é decrescente, os 
valores de y no plano cartesiano aproximam-se 
de zero sempre que o valor de x aumenta. Caso 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 16 
 
contrário, a função afastar-se-ia de zero com o 
aumento de x. 
10 LIMITES E CONTINUIDADE DE 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 
10.1 Limites e Continuidade: definição, 
propriedades e exemplos8 
Inicia-se o estudo de Limites 
apresentando uma noção intuitiva para que você 
possa se familiarizar ao conteúdo. O limite de 
uma função descreve o valor em que uma função 
assume em um determinado ponto quando 
aproxima-se cada vez mais deste ponto. 
Por exemplo, queremos saber o limite de
 no ponto x = 2. 
Vamos atribuir valores para x de modo 
que se aproxime cada vez mais de x = 2, tanto 
pela direita como pela esquerda. 
 
 
Ao analisar o limite desta função no ponto 
f(2) observa-se que o valor da função aproxima-
se cada vez mais de 6 por ambos os lados. 
Assim, pode-se dizer que a função f(x) 
tende a 6 tanto pela direita como pela esquerda, 
ou seja, o Limite desta função no ponto indicado 
é 6. 
Matematicamente, o cálculo do limite é 
representado da seguinte forma: 
 
onde diz-se: limite de f(x) quando x tende a “a”. 
De modo geral, calcula-se o limite nos 
pontos na qual a função possui alguma 
particularidade, como: assíntotas, degrau, ou 
também em e . 
 
8 Extraído na íntegra: 
https://www.dicasdecalculo.com.br/conteudos/limites-e-
continuidade/ 
Caso os limites laterais no ponto a sejam 
diferentes, o limite neste ponto não vai existir. 
Mas isso, veremos mais adiante nas 
propriedades do limite e no teorema de 
existência. 
10.2 Limite: definição formal9 
Cabe ressaltar que, em matemática, o 
conceito de limite é usado para descrever o 
comportamento de uma função à medida que o 
seu argumento se aproxima de um determinado 
valor. Assim como o comportamento de uma 
sequência de números reais, à medida que o 
índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende 
para infinito. Os limites são usados no cálculo 
diferencial e em outros ramos da análise 
matemática para definir derivadas e a 
continuidade de funções. 
 
Em outras palavras, pode-se dizer que 
uma função possui limite em a se os pontos em x 
presentes em um pequeno intervalo entorno de
produzemvalores de em um pequeno 
intervalo entorno de . 
Gráfico 
9 
https://www.dicasdecalculo.com.br/limite-
definicao-formal/ 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 17 
 
 
A noção de limite é fundamental no início 
do estudo de cálculo diferencial. O conceito de 
limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo 
menos parcialmente. 
Quando falamos do processo limite, 
falamos de uma incógnita que “tende” a ser um 
determinado número. Ou seja, no limite, esta 
incógnita nunca vai ser o número. Entretanto, vai 
se aproximar muito, de tal maneira que não se 
consiga estabelecer uma distância que vai 
separar o número da incógnita. Em poucas 
palavras, um limite é um número para o qual y = 
f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o 
valor de x difere de x0 arbitrariamente muito 
pouco também. 
Então, no limite é como se pudéssemos 
substituir o valor de x para resolvermos o 
problema. Na verdade, não estamos substituindo 
o valor. Porque para o cálculo não importa o que 
acontece no ponto x, mas sim o que acontece em 
torno deste ponto. Por isso, quando falamos que 
um número “tende” a ser n, por exemplo, o 
número nunca vai ser n, mas se aproxima muito 
do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, 
a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai 
de analisar a função que está ocorrendo apenas. 
10.3 Propriedades dos limites 
Apresentam-se as principais 
Propriedades dos Limites, entretanto sem fazer 
sua demonstração. Além do mais, estas 
propriedades são muito úteis na resolução de 
problemas envolvendo cálculo de limites. 
1) Propriedade da unicidade do Limite 
 
2) Propriedade do Limite de uma função 
constante 
 
 
3) Propriedade de soma ou da subtração dos 
Limites 
 
4) Propriedade da multiplicação por escalar 
do Limite 
 
 
Obs.: O sinal, x simboliza simplesmente uma 
multiplicação entre dois termos e não o 
operador rotacional. 
5) Propriedade da multiplicação de Limites 
 
6) Propriedade da divisão de Limites 
 
7) Propriedade da potência de Limites 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 18 
 
8) Propriedade do exponencial do Limite 
 
 
9) Propriedade do logaritmo do Limite 
 
10) Propriedade da raiz do Limite 
 
 
11) Propriedade do confronto (sanduiche) dos 
Limites 
 
 
12) Propriedade dos polinômios 
 Esta propriedade é uma combinatória 
das propriedades 3 e 4. Então seja
um polinômio qualquer, onde os bn são 
constantes arbitrárias. Logo tem-se: 
 
 
Portanto 
13) Propriedade da divisão de polinômios 
 Nos limites da forma em 
que p(x) e q(x) são polinômios em x, prevalecem 
os termos de menor grau em ambos os 
polinômios quando for calcular o limite, ou seja, 
se
 
Então 
 
10.4 Exemplos iniciais: exercícios 
resolvidos de Limites 
Exemplo 1 
 
Obs: Toda vez que se calcula um limite deve-se 
iniciar aplicando o valor na qual deseja-se saber 
o limite. Somente se der alguma indeterminação 
deve-se recorrer a outros métodos e técnicas. 
Ou seja, a ideia é literalmente substituir o 
valor para o qual x está tendendo dentro do limite. 
Então, isso é possível porque temos um 
polinômio e um teorema que garante que 
 
onde p(x) é um polinômio de ordem n. 
Embora não seja nosso intuito entrar 
nessa parte mais teórica que foge do escopo, 
cabe ressaltar que podemos aplicar esse 
teorema para todas as funções que forem 
analíticas, ou seja, que tenham uma expansão 
local em série de Taylor. Como função seno, 
cosseno, Raiz de qualquer ordem, função 
exponencial, etc. 
Em outras palavras, para praticamente 
todas as funções mais conhecidas podemos usar 
esse teorema e simplesmente substituir o valor 
de x dentro do limite. 
Assim, aplicando as propriedades 2, 3 e 
4 tem-se: 
Exemplo 2 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 19 
 
 
Da mesma forma, como no exemplo 
anterior, deve-se abrir em vários limites aplicando 
as propriedades 2, 3, 4 e 6. Assim, tem-se: 
Exemplo 3 
 
 
Resolve-se este exemplo da mesma 
forma que os anteriores, porém necessitase 
também da propriedade 10 da raiz. 
11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
O Cálculo Diferencial e Integral nada 
mais é que uma ferramenta de análise de 
funções, que pode ser utilizado nas mais 
variadas formas para resolver problemas simples 
e complexos. 
 
4.1 Cálculo 1: estuda limites, derivadas e 
integrais 
Este estudo começa com o conceito de 
Limites. O Limite é uma forma de avaliar o 
comportamento de uma função na medida que 
chegamos próximo a um valor. Por exemplo, 
sabemos que não podemos dividir qualquer 
número por zero. Mas podemos avaliar como 
uma função (1/x) se comporta na medida que x 
TENDE a zero, ou seja, que x seja muito próximo 
de zero. E isso é muito útil para resolver uma 
série de problemas. 
Partindo deste conceito estudamos as 
Derivadas, que nada mais são do que uma 
aplicação específica de limites. O conceito de 
derivada estuda a variação das funções, como 
uma dada função varia na medida que variamos 
o seu valor de x. Com isso podemos saber se a 
função cresce e qual a taxa de crescimento dela. 
Um uso muito comum serve para identificar 
pontos máximos e mínimos de uma função. 
Como sabemos que nesse ponto a variação da 
função é igual a zero (devido a uma mudança de 
sentido), podemos facilmente identificar em que 
ponto a função tem seu valor máximo ou mínimo. 
Por último chegamos no conceito de 
Integrais. As integrais são a operação inversa 
das derivadas. A integral pode ser considerada 
uma somatória infinita dos pontos de uma função 
e tem diversas aplicações. Um exemplo simples 
de aplicação é para o cálculo de áreas. Uma vez 
sabendo a função que determina as 
extremidades de uma região, é possível 
identificar a área interna da curva muito 
facilmente. 
12 SISTEMAS LINEARES 
Um sistema de equações lineares 
(sistema linear) é um conjunto finito de equações 
lineares da forma: 
 
 
12.1 Resolução de sistemas lineares 
Método da adição 
Exemplo: 
 
O método da soma consiste em eliminar 
uma das incógnitas “x” ou “y” e desta forma 
trabalhar com a solução primeiro de uma 
incógnita e depois da outra. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 20 
 
Para eliminarmos a incógnita “x”, por 
exemplo, devemos multiplicar os valores da 
primeira equação por (-2) e depois somar o 
resultado com a segunda equação. 
12.2 Método da substituição 
Exemplo: 
 
Substituindo y= 22 na equação x + 2y 
=100 obtemos o valor de x 
 
Resolver o sistema anterior pelo método 
da substituição: 
 
O objetivo do método é o mesmo do 
método da adição, porém devemos isolar uma 
das incógnitas da adição, porém devemos isolar 
uma das incógnitas da primeira equação e 
substituí-la na segunda equação. 
 
Representaçãográfica 
Vamos Praticar? 
Atividades 
1- João gosta muito de animais de estimação e 
de charadas. Certo dia um amigo perguntou-
lhe quantos cachorros e quantos gatos ele 
tinha. Prontamente João respondeu com o 
seguinte enigma: “A soma do dobro do 
número de cachorros e do triplo do número de 
gatos é igual a 17. E a diferença entre o 
número de cachorros e de gatos é apenas 1”. 
Será que você consegue desvendar esse 
enigma e descobrir quantos cachorros e 
quantos gatos João possui? 
2- Em sua rua, André observou que havia 20 
veículos estacionados, dentre motos e carros. 
Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 
rodas. Qual é a quantidade de motos e de 
carros estacionados na rua de André? 
3- A soma das idades de Joaquim e Lúcio é 60 
anos. Sabendo que a idade de Joaquim é o 
triplo da idade de Lúcio, qual é a idade de 
cada um deles? 
4- João cria 60 animais em sua fazenda. Alguns 
deles eram vacas, outros eram galinhas. 
Sabendo que o total de patas registradas em 
uma inspeção foi de 220, quantas vacas João 
cria? 
5- Uma fábrica produz 240 peças de metal, 
algumas delas medindo 30 e outras medindo 
40 centímetros. Sabendo que o comprimento 
total das peças produzidas é igual a 7600 
centímetros, quantas peças de 30 centímetros 
foram produzidas? 
6- Qual é o par ordenado que resolve o sistema 
a seguir? 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 21 
 
 
Gabarito 
1- 3 gatos e 4 cachorros 
2- 13 motos e 7 carros 
3- 15 e 45 anos 
4- 50 vacas 
5- 200 peças 
6- (10,40) 
12.3 Classificação dos sistemas lineares 
Os sistemas lineares podem ser 
classificados quanto a obtenção de soluções, 
dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas 
devem ser resolvidos. 
• Sistema possível e determinado: são os 
sistemas que possuem apenas uma solução 
• Sistema impossível: são os sistemas que não 
tem soluções. Geralmente formado por 
equações que se contradizem 
13 LIMITES 
O conceito de limite é fundamental no 
cálculo diferencial, um campo da Matemática que 
teve início no século XVII e é bastante fértil em 
resultados e aplicações em várias áreas do 
conhecimento, como a Física, a Engenharia, a 
Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, 
entre outras. 
 
 Fonte: noticias.universia.pt 
13.1 Noção intuitiva de limites 
Vamos analisar alguns casos em que 
aparece a ideia informal e intuitiva de limite. 
Exemplos: 
a) Vamos considerar una região quadrada de 
área igual a 1. Num primeiro momento vamos 
colorir a metade do quadrado 
 
Parte Colorida: ½ da figura. 
 
No momento seguinte, colorimos metade 
da região e mais metade do que restou: 
 
No próximo, colorimos o que havia sido 
colorido e mais metade do que restou: 
 
E assim, sucessivamente e 
indefinidamente, a área da região colorida 
resultante vai tendendo a 1. Dizemos, então, que 
o limite desse desenvolvimento, quando o 
número de momentos tende ao infinito, é colorir 
a figura toda, ou seja, obter uma área colorida 
igual a 1. 
b) Seja a função f (x) = 2x +1. Vamos dar valores 
de x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 22 
 
Notemos que à medida que x se 
aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, 
quando x tende a 1 (x→1), y tende para 3 (y→3), 
ou seja: 
 
Observamos que quando x tende para 1, 
y tende para 3 e o limite da função é 3. 
Esse é o estudo do comportamento de f 
(x) quando x tende para 1 ( x →1 ). Nem é preciso 
que x assuma o valor 1. Se f (x) tende para 3 ( f 
(x) → 3 ), dizemos que o limite de f (x) quando x 
→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que 
para x =1 o valor de f (x) não seja 3. 
De forma geral, escrevemos: 
 
se, quando x se aproxima de a (x → a ), f (x) se 
aproxima de b ( f (x) → b ) 
c) Estudaremos agora o comportamento de uma 
função f nas proximidades 
de um ponto. Seja: 
 
Para x diferente de 1, f pode ser 
simplificada e reescrita na forma mais simples: 
 
Vamos analisar o comportamento desta 
função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este 
que não pertence ao domínio de f. 
 
 
 
Portanto quando nos aproximemos de x 
= 1, pela esquerda e pela direita, o valor desta 
função se aproxima de 2. 
Neste caso dizemos que: 
 
Vamos Praticar? 
 
 
1) Considere a região do plano limitada pelo 
triângulo retângulo de base fixa e igual a 4cm. 
Faça a altura ir se aproximando de 3, mas 
sem nunca atingir 3, isto é, faça a altura tender 
a 3. Complete a tabela dada e verifique para 
que valor está tendendo a área dessa região. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 23 
 
 
 
 
2) O que ocorre, no limite, com a medida da 
hipotenusa de um triângulo retângulo se 
mantivermos a medida de um cateto 
constante e a do outro cateto for diminuindo, 
tendendo a 0 (mas nunca 0)? 
Gabarito 
1) A área tende a 6 quando a altura tende a 3. 
2) Se h tende a 0, então a tende a b. 
13.2 Definição de limite 
Dizemos que o limite da função f (x) 
quando x tende a “a” é igual ao número real L se, 
e somente se, os números reais f (x) para os 
infinitos valores de x permanecem próximos a L, 
sempre que x estiver muito próximo de “a”. 
Indica-se: 
 
13.3 Propriedades dos limites 
1°) Limite de uma constante. 
O limite de uma constante é a própria 
constante. 
 
2°) Limite da soma e diferença 
 
O limite da soma é soma dos limites. 
O limite da diferença é a diferença dos 
limites. 
 
3°) Limite do produto 
O limite do produto é o produto dos 
limites 
4°) Limite do quociente 
O limite do quociente é o quociente dos 
limites desde que o denominador não seja zero. 
 
 
5°) Limite de uma potência 
O limite de uma potência enésima de 
uma função é igual à potência enésima do limite. 
 
 
6°) Limite da raiz 
O limite da raiz enésima de uma função 
é igual a raiz enésima do limite dessa função. 
 
Vamos Praticar? 
1) Calcule o limite justificando cada passagem 
com as propriedades dos limites que foram 
usadas. 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 24 
 
 
 
 
 
2) Calcule o limite, caso existir. 
 
Gabarito 
 
14 DERIVADA 
Derivadas: por definição as derivadas 
representam a taxa de variação de uma função... 
Derivadas (individual, obtida 
empiricamente): como o próprio nome indica 
"derivada" traduz de onde provêm uma função 
qualquer ou de onde ela deriva/ou, o que lhe deu 
origem, etc. 
Assim a adopção deste segundo 
conceito pode levar a escolha certa do cálculo em 
causa, dependendo, da interpretação que lhe é 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO25 
 
atribuída. 
 
Fonte: pythondiario.com/2017/12/calculo-de-derivadas-
integrales-y.html 
14.1 A Derivada de uma Função 
Dizemos que uma função é derivável (ou 
diferençável) quando existe derivada em todos os 
pontos de seu domínio. 
 A derivada de uma função y=f(x) é a 
função denotada por f’ (x) tal que seu valor em 
qualquer x ∈ D(f) é dado por 
, se este limite 
existir. 
Outras anotações podem ser usadas no 
lugar de y’= f’ (x): 
 
14.2 Regras de Derivação 
As regras de derivação permitem 
determinar as derivadas das funções sem o uso 
da definição. 
14.3 Derivada de uma Constante 
 Se c é uma constante e f(x)= c, para todo 
x ∈ R, então f’ (x) = 0 
Demonstração: 
 
Regra da Potência (expoente positivo) 
 Se n é um número positivo e f(x)= xn, 
então f’(x)= nxn-1 
 
Demonstração: 
 
 
14.4 Derivada do produto de uma 
constante por uma função 
 Sejam f e g duas funções e s a função 
definida por s(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x). 
Se f’(x) e g’(x) existem, então s’(x)= f’(x) 
+ g’(x). 
14.5 Derivada de uma soma 
 Sejam f uma função, c uma constante e 
g a função definida por g(x)= cf(x). 
Se f’ (x) existe, então g’(x) = cf’(x) 
Demonstração: 
 
Exemplos: 
 
14.6 Derivada de um produto 
Demonstração: 
 
 
14.7 Derivada de um quociente 
Sejam f e g duas funções e p a função 
definida por . 
Se existe, então 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 26 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Então 
 
 
Então 
 
 Sejam f e g duas funções e q a função 
definida por , onde g 
(x)≠ 0. 
Se existem, então 
. 
Regra da potência (expoente negativo) 
Se , onde n é um número 
inteiro positivo e x≠0, então 
Demonstração: 
 
 
14.8 Derivada da Função Composta 
(Regra da Cadeia) 
Teorema: 
Sejam funções 
deriváveis, com . 
Então a composta é derivável e 
vale a regra da cadeia: 
 
Ou seja 
 
Exemplos: 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
 
 27 
 
 
Vamos Praticar? 
Calcule a derivada das funções abaixo: 
 
Gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALA DE RECUSOS MULTIFUNCIONAIS 
 
 
 28 
 
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
CONNALLY E.; HUGHES-HALLETT, D.; GLEASON, A. M. Funções para modelar variações: uma 
preparação para o cálculo. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
MEDEIROS, V.; CALDEIRA, A.; SILVA, L.; MACHADO, M.; Pré-cálculo. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2006 
THOMAS, G. B.; WEIR, M.D.; HASS, J. Cálculo 1: volume 1. 1. ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2009. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: volume 3. 8. ed. São Paulo: 
Atual, 2004. 
LIMA, E. L. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1994. (Coleção do Professor de Matemática). 
LIMA, E.; CARVALHO, P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. Matemática do ensino médio: volume 1. Rio 
de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do Professor de Matemática). 
MEDEIROS, S. Cálculo básico para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2004. 
TROTTA, F.; IMENES, L.; JAKUBOVIC, J. Matemática aplicada: volumes 1, 2 e 3. 
São Paulo: Moderna, 1941.