ELEMENTOS DE MECANISMOS - UNIDADE 3

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ELEMENTOS DE MECANISMOSELEMENTOS DE MECANISMOS
ENGRENAGENS CÔNICAS EENGRENAGENS CÔNICAS E
PARAFUSO SEM-FIM E COROAPARAFUSO SEM-FIM E COROA
Au to r ( a ) : M e . C r i s t i a n Pa d i l h a Fo n to u ra
R ev i s o r : J a i ro M u l l e r Wo l f
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Introdução
Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a)!
Se você está lendo esta introdução, provavelmente, já teve contato com diversos tipos de elementos
de mecanismos e está pronto para embarcar em uma nova jornada de aprendizado. Você já deve ter
um bom conhecimento de engrenagens cilíndricas, tanto as de dentes retos quanto as helicoidais,
e alguma noção de como são as engrenagens cônicas.
Agora, chegou a sua vez de ser o projetista e entender em detalhes que tipos de problemas e
situações serão encontrados quando estivermos tratando de mecanismos com engrenagens
cônicas. Você verá que, apesar da complexidade das engrenagens cônicas, o caminho para
entendê-las já está iniciado. Além disso, você estudará um pouco sobre como o parafuso e a coroa
sem-fim funcionam, em um tópico introdutório do assunto.
Bons estudos!
De acordo com Mott (2015), as engrenagens cônicas são utilizadas para transferir movimento entre
eixos não paralelos, geralmente, a 90º um do outro. Os tipos de engrenagens cônicas são definidos
pela norma ANSI/AGMA 2005-C96, sendo eles: cônicas retas, cônicas espirais, cônicas com ângulo
de espiral zero e hipoides. A superfície na qual os dentes da engrenagem cônica são usinados é
parte inerente de um cone. As diferenças ocorrem na forma específica dos dentes e na orientação
do pinhão em relação à engrenagem.
Geometria das
Engrenagens Cônicas
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Engrenagens Cônicas de Dentes Retos
Ainda de acordo com Mott (2015), os dentes de uma engrenagem cônica reta são retos e dispostos
ao longo de um elemento de superfície cônica. Linhas ao longo da face do dente até o círculo de
passo se encontram na ponta do cone primitivo. A Figura 3.1, a seguir, ilustra como as linhas de
centro do pinhão e da engrenagem se encontram na ponta dos vértices do cone.
Figura 3.1 - Engrenagem cônica reta
Fonte: Mott (2015, p. 336).
#PraCegoVer: a figura ilustra um par de engrenagens cônicas de dentes retos, com o pinhão e a coroa à
esquerda. Os dentes são perpendiculares à forma cônica das engrenagens. À direita, é possível observar
uma visão lateral em corte das engrenagens, mostrando o cone primitivo do pinhão e as linhas de centros
intersectantes das engrenagens.
O ângulo de pressão ϕ é, normalmente, de 20º, mas 22,25º e 25º são comumente usados para evitar
interferência. O número mínimo de dentes para engrenagens cônicas retas é, tipicamente, 12. A
norma não limita um número máximo de dentes, pois o valor depende da razão de engrenamento
que se busca.
Engrenagens Cônicas Espirais
Os dentes de uma engrenagem cônica espiral são curvados e inclinados em respeito à superfície do
cone primitivo, diferentemente das engrenagens cônicas retas, cujos dentes estão a 90º graus do
cone primitivo. A inclinação dos dentes é definida pelo ângulo de espiral, que equivale ao ângulo de
hélice das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais e corresponde ao ângulo entre o dente e o
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cone primitivo ou de referência. Ângulos de espiral ψ de 20º a 45º são utilizados, sendo que o
ângulo de 35º é o mais comum.
Figura 3.2 - Engrenagem cônica espiral
Fonte: Mott (2015, p. 336).
#PraCegoVer: a figura ilustra um par de engrenagens cônicas espirais, com o pinhão e a coroa à esquerda.
Os dentes das engrenagens são inclinados em um ângulo de hélice não especificado. À direita, é possível
observar uma visão lateral, em corte, das engrenagens, mostrando o cone primitivo do pinhão e as linhas
de centros intersectantes das engrenagens.
O contato entre pinhão e engrenagem inicia-se em uma extremidade do dente e se move ao longo
desse dente até a outra extremidade. Para uma geometria qualquer de engrenagem cônica espiral
com um número de dentes N, há um número maior de dentes em contato simultâneo, em
comparação com uma engrenagem cônica reta. A transferência gradual de cargas e o número
maior de dentes em contato tornam as engrenagens cônicas espirais mais suaves.
Podemos fazer a seguinte analogia entrePodemos fazer a seguinte analogia entre
as engrenagens cilíndricas de dentes retosas engrenagens cilíndricas de dentes retos
e as de dentes helicoidais: os dentese as de dentes helicoidais: os dentes
helicoidais fornecem um engrenamentohelicoidais fornecem um engrenamento
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O ângulo de pressão ϕ é, normalmente, de 20º para engrenagens cônicas espirais, e o número
mínimo de dentes é, tipicamente, 12, a fim de evitar interferência. Engrenagens cônicas espirais não
padronizadas, ou seja, aquelas não encontradas em tabela ou fornecidas por fornecedores de
engrenagens, permitem pinhões com até 5 dentes, se os dentes forem aparados, a fim de evitar
interferências. O número de dentes em contato (alta razão de contato, definida como um valor
acima de 2) relativamente alto permite que essa abordagem seja aplicada e resulte num projeto
bastante compacto.
Engrenagens Cônicas com Ângulo de Espiral Zero
Os dentes de uma engrenagem cônica com ângulo de espiral zero são curvadas mais ou menos
como na engrenagem cônica espiral, mas o ângulo de espiral é zero. As engrenagens cônicas
espirais têm a mesma funcionalidade das engrenagens cônicas retas, entretanto, naquelas, a
operação ocorre com maior suavidade. Dessa forma, as engrenagens cônicas com ângulo de
espiral zero são uma espécie de engrenagem intermediária entre as engrenagens cônicas retas e as
espirais.
helicoidais fornecem um engrenamentohelicoidais fornecem um engrenamento
mais suave.mais suave.
Fonte: Norton (2010).Fonte: Norton (2010).
Fonte da imagem: piko72 / 123RF.
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Figura 3.3 - Engrenagem cônica com ângulo de espiral zero
Fonte: Mott (2015, p. 336).
#PraCegoVer: a figura ilustra um par de engrenagens cônicas com ângulo de espiral zero, com o pinhão e
a coroa à esquerda. Os dentes das engrenagens são, ligeiramente, curvados, mas são perpendiculares à
superfície do cone, sem a inclinação em hélice. À direita, é possível observar uma visão lateral, em corte,
das engrenagens, mostrando o cone primitivo do pinhão e as linhas de centros intersectantes das
engrenagens.
A Figura 3.3 ilustra como um par de engrenagens cônicas com ângulo de espiral zero se engrena, e
o perfil ao lado mostra como os vértices dos cones se intersectam. Comercialmente, esse tipo de
engrenagem é chamado de engrenagem Zerol®, o nome comercial e registrado.
Engrenagens Hipoides
A principal característica que difere as engrenagens hipoides das demais é o fato de que a linha de
centro do pinhão é distanciada por um deslocamento (também chamado de offset, termo em inglês
para deslocamento), acima ou abaixo da linha de centro da engrenagem.
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Figura 3.4 - Engrenagem hipoidal (hipoide)
Fonte: Mott (2015, p. 336).
#PraCegoVer: a figura ilustra um par de engrenagens do tipo hipoide, com o pinhão e a coroa à esquerda.
A geometria desseengrenamento é muito similar ao engrenamento das engrenagens espirais, porém o
pinhão está deslocado da linha de centro da coroa. À direita, é possível observar uma visão lateral, em
corte, das engrenagens, mostrando o cone primitivo do pinhão e as linhas de centros das engrenagens, o
que possibilita visualizar como ocorre o deslocamento entre o pinhão e a coroa nas engrenagens hipoides.
A Figura 3.4 ilustra como um par de engrenagens hipoides se acopla. O perfil ao lado mostra como
o deslocamento da linha de centro do pinhão se dá em relação à linha de centro da engrenagem.
Uma vantagem desse tipo de engrenagem é um projeto mais compacto, especialmente quando
aplicado a trens de acionamento e máquinas-ferramentas.
O Quadro 3.1, a seguir, resume as principais propriedades das engrenagens cônicas.
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Quadro 3.1 - Comparação entre os tipos de engrenagens cônicas
Fonte: Adaptada de Norton (2010), Norton (2013) e Mott (2015).
#PraCegoVer: o quadro traz dados comparativos para os tipos de engrenagens cônicas. As
engrenagens cônicas espirais e espirais de ângulo zero estão juntas na mesma coluna. A
primeira coluna indica que parâmetros são avaliados. A segunda coluna é reservada para as
engrenagens cônicas retas. A terceira coluna é reservada para as engrenagens cônicas espirais
ou espirais de ângulo zero. A quarta e última coluna é reservada para as hipoides. Para as
cônicas retas, a tabela nos diz que: o arranjo dos eixos se dá com eixos cruzados; a razão de
engrenamento se dá entre 3:2 e 5:1; a eficiência fica entre 93 e 97%; a aplicação se dá no
diferencial e em prensas móveis; a resistência é média; a durabilidade é baixa; o nível de ruído é
médio e menor do que em ECDRs; e o custo é baixo. Para as cônicas espirais e Zerol, a tabela
nos diz que: o arranjo dos eixos se dá com eixos cruzados; a razão de engrenamento se dá
entre 3:2 e 4:1; a eficiência fica entre 95 e 99%; a aplicação se dá em tratores e em caixa de
redução; a resistência é alta, com uma ressalva para as engrenagens Zerol, cuja resistência é
média; a durabilidade é alta; o nível de ruído é baixo e menor do que em cônicas retas; e o custo
é médio. Por fim, a tabela nos diz que, para as hipoideis: os eixos são não cruzados e não
paralelos; a razão de engrenamento se dá entre 10: e 200:1; a eficiência fica entre 80-95%; a
aplicação se dá em caminhões de grande porte; a resistência é alta, bem como a durabilidade;
o ruído e a vibração são baixos e menores do que em engrenagens cônicas espirais; e o custo é
médio.
Parâmetro Cônicas Retas Cônicas Espirais e Zerol Hipoides
Arranjo dos eixos Eixos cruzados Eixos cruzados
Eixos não cruzados, não
paralelos
Razão de
engrenamento
3:2 a 5:1 3:2 a 4:1 10:1 a 200:1
Eficiência 93-97% 95-99% 80-95%
Aplicação
Diferencial,
prensa móvel
Tratores, caixa de
redução
Caminhões de porte
grande
Resistência Médio Alta e Normal (Zerol) Alta
Durabilidade Baixa Alta Alta
Ruído e Vibração
Médio, menor
do que nas
ECDRs
Baixo, menos que as
cônicas retas
Baixo, menos ruídos que
as cônicas espirais
Custo Baixo Médio Médio
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É função do projetista saber escolher a engrenagem adequada a ser aplicada, pois, muitas vezes o
custo de um mecanismo mais sofisticado não justifica o uso de tal mecanismo. Deve-se levar em
conta custos com manutenção, o tipo de carga a ser transmitida, dentre outros parâmetros. Por
exemplo, uma caixa de engrenagens hipoidais transmite torques elevados, porém não funciona em
altas velocidades, ou, ainda, as engrenagens cônicas têm um custo baixo, porém a durabilidade
delas também é baixa.
Nomenclatura
A nomenclatura das engrenagens cônicas segue algumas convenções já vistas para as ECDRs e
ECDHs, embora um novo ângulo seja introduzido, que é o ângulo do cone primitivo, representado
pela letra grega alfa (α). Engrenagem e coroa continuam sendo termos intercambiáveis e se referem
à engrenagem maior. A engrenagem menor continua sendo chamada de pinhão.
A Figura 3.5, a seguir,
[...] mostra a seção transversal de duas engrenagens cônicas acopladas. Seus ângulos de
cone de referência são denotados por αp e αg para o pinhão e a engrenagem,
respectivamente. Os diâmetros de referência são definidos nas extremidades maiores, na
parte detrás do cone. O tamanho e o formato do dente são definidos no cone detrás e são
similares a um dente de engrenagem reta com um pinhão de adendo longo para
minimizar a interferência e o adelgaçamento. A razão de adendos varia com a razão de
engrenamento, desde adendos iguais (dentes de profundidade completa) para uma razão
de engrenamento 1:1 a adendos de pinhão, cerca de 50% mais longos para razões de
engrenamento acima de 6:1 (NORTON, 2013, p. 761).
Outra característica geométrica das engrenagens cônicas é que elas raramente são fabricadas com
adendos iguais no pinhão e na engrenagem. Um pinhão de adendo alongo é usado com a
porcentagem de aumento variando de zero, na razão 1:1, até mais de 50%, em razões de
engrenamento mais elevadas. O dente do pinhão, por consequência, acaba sendo mais forte do que
o da engrenagem.
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Figura 3.5 - Geometria e nomenclatura da engrenagem cônica — dados extraídos da norma AGMA
2005-B88
Fonte: Norton (2013, p. 761).
#PraCegoVer: a figura ilustra um par de engrenagens cônicas visto em corte e apresentando as suas
principais característica geométricas. As engrenagens estão a um ângulo de 90º entre si. Linhas
pontilhadas delimitam os cones de referência, tanto para a engrenagem quanto para o pinhão. As
dimensões, como o diâmetro de referência, também são mostradas em cada um dos componentes, bem
como a largura do dente (chamada de F) e um comprimento (L), que vai da base do dente até o centro dos
cones de referência. Além disso, os ângulos dos cones são mostrados e representados pela letra alfa,
com os subscritos p para o pinhão e g para a engrenagem.
A largura da face (F) é, geralmente, limitada a L/3, com L definido na Figura 3.5 e sendo
equacionado da seguinte forma:
               (1)
Por exemplo, podemos aplicar essa equação se sabemos que a largura da face é L/4, que o
diâmetro do pinhão é 20 mm e que o ângulo de cone primitivo do pinhão é 18º. Podemos, assim,
obter tanto L quanto F. Veja como:
 e, por consequência, .
A razão de engrenamento m para um par de engrenagens cônicas a 90º pode ser definida, em
termos dos ângulos de cones de referência, como:
L = = =
rp
sen( )αp
dp
2sen( )αp
dg
2sen( )αg
L = = = 32, 36 mm
dp
2sen( )αp
20 mm
2⋅sen(18)
F = = 8, 09 mmL
4
G
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              (2)
A razão de engrenamento, por sua vez, representa a redução na velocidade (ou aumento, se for o
caso) e é afetada diretamente pela geometria das engrenagens cônicas. Se o número de dentes no
pinhão é 15, e o número de dentes na engrenagem é 60, terremos uma razão de engrenamento igual
a:
.
Essa razão representa uma redução de velocidade igual a 4.
Ainda, podemos calcular o diâmetro primitivo para o pinhão da seguinte forma:
          (3)
E para a engrenagem:
           (4)
Digamos que o módulo escolhido para as engrenagens citadas anteriormente foi de m = 3.
Podemos obter, respectivamente, o diâmetro do pinhão e da engrenagem com:
 e .
A montagem com eixo biapoiado é preferida para que o eixo suporte melhor os carregamentos
axiais em engrenagens cônicas. Esse tipo de montagem é difícil, tanto no pinhão quanto na coroa,
ficando, geralmente, o eixodo pinhão em balanço, e o da coroa, biapoiado.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Considere um par de engrenagens cônicas retas com os seguintes parâmetros: N = 18; N = 72; m
= 2,25; ϕ = 20º. Com os seus conhecimentos em geometria de engrenagens cônicas, analise as
hipóteses de I a V, a seguir, as quais dizem respeito à geometria do par engrenado.
I. A razão de engrenamento é igual a 4.
II. O ângulo de cone de referência do pinhão é igual a 14,03º.
III. O ângulo de cone de referência da engrenagem é igual a 75,96º.
= = = = tg ( ) = cotg ( )mG
ωp
ωg
Ng
Np
dg
dp
αg αp
= = = 4mG
Ng
Np
60
15
= = m ⋅dp
Np
pd
Np
= = m ⋅dg
Ng
pd
Ng
= m ⋅ = 3 mm ⋅ 15  =  45 mmdp Np = m ⋅ = 3 mm ⋅ 60 = 180 mmdg Ng
p g
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IV. Os diâmetros no pinhão e na engrenagem são, respectivamente, 72 mm e 288 mm.
V. O comprimento mínimo das linhas de contato é 167 mm.
MOTT, R. L; VAVREK, E. M; WANG, J. Machine Elements in Mechanical Design. Nova York:
Pearson, 2018.
Está correto o que se afirma em:
a) I, II, III, IV e V.
b) I, II e III, apenas.
c) II, III e IV, apenas.
d) II e III, apenas.
e) IV e V, apenas.
Assim como para as engrenagens helicoidais, existem componentes de força tangencial, radial e
axial agindo na engrenagem cônica. Para a engrenagem cônica reta, as componentes de força axial,
radial e a resultante podem ser obtidas por:
        (5)
         (6)
                                  (7)
Já para uma engrenagem cônica espiral, as componentes de força axial e radial são,
respectivamente:
           (8)
            (9)
Carregamentos nas
Engrenagens Cônicas
= ⋅ tg (ϕ) ⋅ sen (α)Wa Wt
= ⋅ tg (ϕ) ⋅ cos (α)Wr Wt
=W
Wt
cosϕ
= (tg( ) sen (α) ∓ sen (ψ) cos (α))Wa
Wt
cos(ψ)
ϕn
= (tg( ) cos (α) ± sen (ψ) sen (α))Wr
Wt
cos(ψ)
ϕn
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De acordo com Norton (2013), os sinais de e são usados para um pinhão motor com uma
espiral de hélice à direita rodando no sentido horário, vista desde sua extremidade maior, ou para
um pinhão motor com uma espiral de hélice à esquerda rodando no sentido anti-horário, vista desde
sua extremidade maior, e o sinal inferior usado para as condições opostas. Nas Equações 7 e 8,
devemos usar os ângulos para o pinhão e para a engrenagem no lugar de , a fim de obter
as forças em cada membro. A carga tangencial pode ser obtida pelo torque aplicado em qualquer
membro em combinação com um diâmetro de referência (primitivo) médio (ou, ainda, o raio
médio, que é o diâmetro dividido por 2).
          (10)
          (11)
A Equação 11 é uma equação genérica, podendo ser utilizada para calcular o raio médio tanto para
o pinhão quanto para a engrenagem. Por convenção, chamamos de raio médio do pinhão, e 
de raio médio da engrenagem.
± ∓
αp αg α
dm
= =Wt
2⋅T
dm
T
rm
= − ( ) sen (α)rm
d
2
F
2
rm Rm
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Figura 3.6 - Forças atuantes nas engrenagens cônicas
Fonte: Adaptada de Mott (2015).
#PraCegoVer: a figura está dividida em três seções: a, b e c. Na parte a, é possível observar o pinhão e a
engrenagem conjugados, com apenas a superfície do cone primitivo sendo mostrada. A linha de
intersecção do cone do pinhão e da engrenagem é chamada de vértice. Entre a linha de centro do pinhão
(no eixo x) e a superfície do cone, está o ângulo alfa, que é o ângulo do cone primitivo. A parte a da figura
informa, ainda, que a engrenagem tem 48 dentes, e o pinhão tem 16 dentes, além de mostrar que a
equação para o ângulo alfa é o arco tangente da razão entre o número de dentes no pinhão e o número de
dentes na engrenagem. A parte b mostra o diagrama de corpo livre do pinhão, com uma vista de topo, no
plano formado pelos eixos y-z e no qual atuam as forças Wrp e Wtp; mostra, ainda, uma vista lateral, no
plano formado pelos eixos x-y, no qual atuam as forças Wap e Wrp. A parte c da figura mostra os mesmos
planos para a engrenagem, sendo que no plano y-z atuam as forças Wtg e Wrg, e no plano x-y atuam as
forças Wag e Wrg. Ao lado, uma observação ressalta que a área sombreada é a superfície do cone
primitivo, e as seguintes magnitudes são consideradas: Wtp é igual a Wtg; Wap é igual a Wrg; e Wrp é igual
a Wag.
A tensão de flexão em engrenagens cônicas retas ou espirais pode ser encontrada pela mesma
equação que é utilizada para as engrenagens retas e helicoidais. A principal diferença é o fator
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geométrico J, que dependerá do número de dentes de ambas as engrenagens do par, conforme
mostrado a seguir.
       [psi] (12)
           [MPa] (13)
Os fatores geométricos J são parâmetros predefinidos e tabelados pelas normas AGMA. Devido à
geometria cônica das engrenagens cônicas, não podemos usar os mesmos fatores J que são
usados para ECDRs e ECDHs.
A carga aplicada é expressa em termos do torque no pinhão, ao invés de W , como visto
anteriormente para as ECDRs. O diâmetro de referência é o diâmetro do pinhão. Os fatores K , K , K
 e K podem ser considerados os mesmos que os fatores para as ECDRs, embora a norma AGMA
deva ser consultada sempre que um projeto de engrenagens cônicas for realizado, a fim de garantir
precisão nos cálculos. O fator K = 1 para engrenagens cônicas retas é uma função do raio cortador
para as engrenagens espirais ou Zerol, fator esse que, para os últimos dois casos, deve ser
aproximado a K = 1,15.
A tensão de superfície, ou de contato, para engrenagens cônicas retas ou espirais é, também,
calculada seguindo uma equação similar àquela para as ECDRs e ECHD, embora alguns fatores
adicionais estejam incluídos. Bem como para a tensão de flexão, também para a tensão de
superfície, a carga aplicada é expressa como o torque do pinhão T , ao invés da carga tangencial W
.
  (14)
Para fins de cálculos, consideramos que os fatores C , C , C , C , C e C   podem ser
considerados os mesmos que os vistos para ECDRs e ECDHs. Novamente, a norma AGMA pode ser
consultada, caso busque-se uma precisão maior nos cálculos do projeto, pois há uma pequena
diferença nas definições: C é uma constante de ajuste de tensão, definida como 0,634 pela norma
atual da AGMA; já C é um fator de coroação, definido como 1,0 para dentes não coroados e como
1,5 para dentes coroados. O expoente z é 0,667 quando T15/40
d = 63,5 mm (calculado a partir do nº de dentes e do módulo
.
T = 28,48 N⋅m (fornecido no enunciado).
T = 39,26 N⋅m (fornecido no enunciado).
z = 0,667 pois T71,21 N⋅m.
V. A carga transmitida W no pinhão é de, aproximadamente, 2655,11 N.
Está correto o que se afirma em:
a) II, IV e V, apenas.
b) I e II, apenas.
c) II, III e V, apenas.
p g
t
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d) II e V, apenas.
e) I, II, III, IV e V.
Devido ao sistema de forças tridimensionais que agem em engrenagens cônicas, o cálculo de
forças nos rolamentos dos eixos pode ser complicado. Para entendermos melhor como funcionam
esses cálculos, um exemplo será resolvido, de acordo com Mott (2015).
Observe a Figura 3.7, a seguir. Ela mostra um par de engrenagens cônicas, e a localização dos
rolamentos é fornecida em relação ao vértice dos cones primitivos, onde os eixos se cruzam. Tanto
o pinhão quanto a engrenagem possuem montagem aberta, isto é, cada engrenagem é posicionada
entre os rolamentos de apoio.
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Engrenagens Cônicas
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Figura 3.7 - Montagem do pinhão e da engrenagem para um par de engrenagens cônicas
Fonte: Adaptada de Mott (2015).
#PraCegoVer: a figura ilustra duas engrenagens cônicas acopladas, cada uma em um eixo disposto a 90
graus do outro. O pinhão é a menor das engrenagens cônicas; e a engrenagem, a maior. Um ponto que une
os cones primitivos de cada engrenagem está centralizado e é chamado de vértice. No eixo do pinhão,
existem dois rolamentos: A, acoplado na porção interna do par engrenado; e B, na parte externa do par
engrenado. No eixo da engrenagem, existem dois rolamentos, sendo que C está na parte superior interna
do engrenamento, e D na parte inferior e externa do engrenamento. A medida do eixo da engrenagem até o
rolamento A equivale a 38,10 milímetros. A medida do eixo da engrenagem até o rolamento B equivale a
120,5 milímetros. A medida do eixo do pinhão até o rolamento C equivale a 44,45 milímetros. A medida do
eixo do pinhão até o rolamento D equivale a 76,20 milímetros. A distância entre os rolamentos A e B é
denominada Lp. A distância entre os rolamentos C e D é denominada Lg.
Essa é a disposição de preferência, pois ela fornece a maior rigidez e mantém o alinhamento dos
dentes na transmissão de potência. Deve-se procurar fornecer fixações rígidas e eixos formes
quando são empregadas engrenagens cônicas.
Consideraremos, para esse exemplo, alguns parâmetros, dispostos na sequência.
Número de dentes no pinhão N = 48.
Número de dentes na engrenagem N = 16.
p
g
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Módulo m = 3,175 mm.
Diâmetro primitivo do pinhão d = 50,8 mm.
Ângulo de pressão ϕ = 20º.
Ângulo primitivo do pinhão = 18,43º.
Ângulo primitivo da engrenagem = 71,57º.
Largura da face F = 25,4 mm.
Velocidade angular do pinhão n = 600 rpm.
Velocidade angular do pinhão n = 200 rpm.
Potência transmitida P = 1864,25 W.
Na Figura 3.7, o rolamento do lado direito resiste à carga axial sobre o pinhão, e o rolamento inferior,
à carga axial sobre a engrenagem. Calcularemos as forças de reação sobre os rolamentos que
sustentam os eixos do par de engrenagens cônicas, considerando que as forças atuantes nas
engrenagens são as mesmas da Tabela 3.1, a seguir.
Tabela 3.1 - Valores de forças para o par engrenado
Fonte: Mott (2015, p. 455).
#PraCegoVer: a tabela mostra os valores de força tangencial, radial e axial para o pinhão e para
a engrenagem. As forças tangencial, radial e axial no pinhão são, respectivamente: 1393
Newtons, 480 Newtons e 160 Newtons. As forças tangencial, radial e axial na engrenagem são,
respectivamente: 1393 Newtons, 160 Newtons e 480 Newtons.
É necessário visualizar as direções nas quais essas forças atuam por causa do sistema de força
tridimensional. Na Figura 3.8, há um esboço isométrico dos diagramas de corpo livre do pinhão e da
engrenagem, esboço este simplificado para representar as forças concorrentes que atuam na
interface pinhão/engrenagem e nos locais dos rolamentos. Embora os diagramas de corpo estejam
separados para pinhão e engrenagem, para maior clareza, é possível uni-los movendo o ponto do
vértice em cada um dos esboços, pois é nesse ponto que os cones primitivos estão no mesmo
local. Para montar as equações de equilíbrio estático, que são precisas para resolver as reações nos
rolamentos, precisa-se obter as dimensões a, b, c, d, L e L indicadas na Figura 3.8. As equações
de equilíbrio também requerem as dimensões designadas por x e y: x = R = 64.262 mm e y = r =
21,336 mm.
p
p
g
Força Pinhão Engrenagem
Tangencial W = 1393 N W = 1393 N
Radial W = 480 N W = 160 N
Axial W = 160 N W = 480 N
tp tg
rp rg
ap ag
p g
m m
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Figura 3.8 - Diagrama de corpo livre para os eixos do pinhão e da engrenagem
Fonte: Adaptada de Mott (2015).
#PraCegoVer: a figura está dividida em duas partes. A primeira parte, acima da figura, mostra o diagrama
de corpo livro simplificado para o eixo do pinhão. As coordenadas em y estão na vertical; em z, na
horizontal, a 90º de y; e em x, na diagonal, entre esses dois eixos. O ponto que indica o rolamento A está
sobre o eixo x, e o rolamento B está deslocado 82,55 milímetros de A, no mesmo eixo, que é a distância
Lp. No ponto do rolamento A, existem duas componentes de força: Ay e Az. Em B, existem três
componentes de força: Bx, By e Bz. Um ponto entre A e B é chamado de E; ele está a uma distância a do
rolamento A, que é igual a 26,162 milímetros, e a uma distância b do rolamento B, que é igual a 56,388
milímetros. Abaixo do ponto E, a uma distância em y igual a 21,366 milímetros, encontra-se um local
chamado ponto do passo da engrenagem, onde três forças atuam: Wap, Wrp e Wtp. A distância do
rolamento B ao vértice é igual a 120,65 milímetros. A segunda parte da figura, abaixo, refere-se ao
diagrama de corpo livre simplificado para o eixo da engrenagem. As coordenadas seguem as mesmas
direções para a primeira parte. Uma linha maior vertical representa o eixo. O rolamento C é indicado logo
no topo da linha, e nele encontram-se as forças Cx e Cz. Do rolamento C ao rolamento D, existe uma
distância de 120,65 milímetros. Do rolamento C a um ponto chamado F, existe uma distância c, que é igual
a 65,786 milímetros. Do rolamento D ao mesmo ponto F, existe uma distância d que é igual a 54,864
milímetros. No ponto F, segue uma linha diagonal no eixo x por 64,262 milímetros, e na extremidade dessa
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linha, encontra-se um ponto chamado de ponto do passo da engrenagem, que contém as forças Wag, Wrg
e Wtg. O ponto denominado vértice está a uma distância rm, igual a 21,366 milímetros do ponto F.
O arranjo da Figura 3.7 é projetado para que o rolamento à direita (B) resista à carga de axial no
pinhão, e o rolamento inferior (D) resista à carga axial na engrenagem. É por isso que o diagrama de
corpo livre mostra apenas duas reações — no rolamento A e no rolamento C. Note, também, que a
montagem é do tipo encavalada, ou seja, cada engrenagem está posicionada entre os rolamentos
de apoio. Essa é a disposição de preferência, pois fornece mais rigidez ao sistema e mantém os
dentes alinhados durante a transmissão de potência. Os torques T e T vistos nos diagramas de
corpo de livre apenas ilustram o sentido de rotação de ambos os eixos. Veja, no elemento interativo
a seguir, as reações dos rolamentos, o eixo do pinhão e os rolamentos A e B.
1. Passo 1: Para encontrar B e A : no plano x-z, somente W atua.Somando-se os
momentos de A, temos que:
Dessa forma, é possível calcular a reação B :
Somando os momentos de B, temos que:
E, na sequência, é possível isolar e obter a reação A :
2. Passo 2: Para encontrar B e A : no plano x-y, onde W e W atuam. Somando-se os
momentos de A, temos que:
g p
z z tp
0 = (a) − ( ) = 1393 N (26, 162  × m) − (82, 55  ×Wtp Bz Lp 10−3 Bz 10−3
z
=Bz
1393 N (26, 162  × m)10−3
(82, 55  × m)10−3
= 441, 47 NBz
0 = (b) − ( ) = 1393 N (56, 388 × m) − (82, 55  × mWtp Az Lp 10−3 Az 10−3
z
=Az
1393 N (56, 388  × m)10−3
(82, 55  × m)10−3
= 951, 53 NAz
y y rp ap
0 = (a) + ( ) − ( )Wrp Wap rm By Lp
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O que resulta, ao isolarmos B , na reação:
E, somando os momentos de B, temos que:
Sendo que A isolado é a reação igual a:
3. Passo 3: Para encontrar B : somando-se as forças na direção x, temos que:
A força axial no rolamento B é 160 N.
4. Passo 4: Para encontrar a força radial total em cada rolamento, calcula-se o resultante
das componentes de força y e z.
Como você deve ter notado, as reações no ponto A exercem um momento no ponto B, bem como as
reações em B exercem um momento no ponto A. Lembre-se de que o momento é o resultado de
uma força vezes a distância dela até o ponto no qual ela está agindo; dessa forma, a partir dos
somatórios de momento, é possível obter as reações, fazendo uso das distâncias fornecidas no
exemplo.
0 = 480 N (26, 162  × m) + 160 N   (21, 366  × m) − (82, 55 10−3 10−3 By
y
= 193, 53 N .By
0 = (b) − ( ) − ( )Wrp Wap rm Ay Lp
0 = 480 N (56, 388 × m) − 160 N (21, 366  × m) − (82, 55  ×10−3 10−3 Ay
y
= 286, 46 N .Ay
x
= = 160 N .Bx Wap
A = = 991, 56 N+ =A2
Y
A2
z
− −−−−−−−−
√ 268, 46 + 951, 532 2
− −−−−−−−−−−−−−−
√
B = = 482, 03 N+ =B2
Y
B2
z
− −−−−−−−−
√ 193, 53 + 441, 472 2
− −−−−−−−−−−−−−−
√
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Figura 3.9 - Diagramas de corpo livre para o eixo do pinhão
Fonte: Adaptada de Mott (2015).
#PraCegoVer: a figura é dividida em duas partes: a e b. Na parte a, há o diagrama de corpo livre para o eixo
do pinhão no plano horizontal x-z. O primeiro esboço mostra uma linha reta horizontal indicando o ponto A,
no qual uma reação perpendicular à linha indica ser a reação Az = 951,53 Newtons. A uma distância a
igual a 26,162 milímetros, está o ponto E, no qual atuam a força Wap = 160 Newtons, que passa
tangencialmente à linha reta horizontal, e a carga Wrp = 1393 Newtons, no sentido vertical,
perpendicularmente à linha. A uma distância b de 53,388 milímetros, está o ponto B. No ponto B, uma
reação perpendicular à linha é denominada Bz = 441,47 Newtons, e na mesma direção e no mesmo
sentido da linha horizontal, está a reação Bx = 160 Newtons. Paralelo ao primeiro esboço, está um
diagrama de força cortante em Newtons; ele mostra uma linha reta horizontal equivalente à do esboço
acima. No diagrama de força cortante, é possível ver os valores de força cortante iniciando em -951,53 até
o ponto E. Há uma linha contínua de -951,53 que passa por E e vai até 441,47. O valor segue constante até
o final da linha reta, que coincide com o ponto B. Abaixo, no gráfico de momento fletor (em Newtons-
metro), o valor inicial de zero desce até -24,89, denominado MEz no ponto E, e depois sobe até zero
novamente. Na parte b, há o diagrama de corpo livre para o eixo do pinhão no plano vertical x-y. O primeiro
esboço mostra uma linha reta horizontal, indicando o ponto A, no qual uma reação perpendicular à linha
indica ser a reação Ay = 286,46 Newtons. A uma distância a igual a 26,162 milímetros, está o ponto E, no
qual, a partir de 21,336 milímetros abaixo, atua a força Wap = 160 Newtons. No mesmo sentido da linha
reta horizontal e perpendicularmente no sentido vertical, atua a força Wrp = 1393 Newtons. A uma
distância b de 53,388 milímetros, está o ponto B. No ponto B, há uma reação perpendicular à linha,
chamada de By = 193,53 Newtons; e na mesma direção e no mesmo sentido da linha horizontal, está a
reação Bx = 160 Newtons. Paralelo ao primeiro esboço, está um diagrama de força cortante em Newtons;
ele mostra uma linha reta horizontal equivalente à do esboço acima. No diagrama de força cortante, é
possível ver os valores de força, iniciando em -286,46 até o ponto E. Há uma linha contínua de -286,46 que
passa por E e vai até 193,53. O valor segue constante até o final da linha reta, que coincide com o ponto B.
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Abaixo, no gráfico de momento fletor (em Newtons-metro), o valor inicial de zero desce até -7,49, e uma
linha contínua localizada em E desce até -10,91, ponto chamado de MEz. Logo em seguida, a linha segue
em direção ao zero, onde termina o gráfico na extremidade B. Ao lado, está calculado o momento fletor
resultante, com base nos valores de MEy MEz encontrados para ambos os planos, igual a 27,17 Newtons-
metro.
Como há forças agindo em dois planos em engrenagens cônicas, também há flexão em dois
planos. A análise dos diagramas de força cortante (ou de cisalhamento) e do momento fletor para
os eixos das engrenagens precisa considerar isso. Note que a carga axial em cada uma das
engrenagens proporciona um momento concentrado ao eixo, que é igual à carga axial vezes a
distância deslocada dele. O momento fletor máximo para o eixo é o resultado dos momentos nos
dois planos. No eixo do pinhão, o momento máximo é em E, onde as linhas de ação para as forças
radiais e tangenciais cruzam esse eixo.
Os cálculos para esses tipos de solicitações podem se tornar bastante complexos. Por isso, revise
conteúdos necessários, com os cálculos de somatórios de momentos e forças, além da construção
dos diagramas de força cortante e de momento fletor.
praticar
Vamos Praticar
SAIBA MAIS
Como a montagem do diagrama de força cortante e do momento
fletor surgiu nesta unidade, o vídeo do link disponibilizado a seguir
pode auxiliá-lo(a) a relembrar como eles são feitos. Trata-se de
uma videoaula de resistência dos materiais, no canal do Professor
Paulo Castelo Branco, na qual ele resolve um exemplo, passo a
passo. Para saber mais, assista ao vídeo a seguir:
A S S I S T I R
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De forma similar, podemos encontrar as reações dos rolamentos C e D no eixo da engrenagem. A
partir da Figura 3.8, podemos obter os dados necessários e realizar os cálculos para essa
condição.
Obtenha as resultantes radiais e axiais, caso houver. Faça, também, os gráficos de força cortante e
momento fletor para o eixo da engrenagem, como a Figura 3.9 mostra o eixo do pinhão.
Budynas (2011) auxilia, na Figura 3.10, a identificar e classificar as engrenagens cônicas espirais.
Na figura, é possível observar o engrenamento de três variedades de engrenagens cônicas (pinhão)
e seu alinhamento com a linha de centro da engrenagem maior (coroa). Podemos observar,
também, a configuração com uma engrenagem cônica espiral alinhada com a coroa, uma hipoide,
deslocada para logo acima e uma variação pouco usual de engrenagem cônica (espiroide), que
começa a parecer um parafuso sem-fim em formato de cone. Alinhado de forma totalmente
perpendicular à engrenagem, está o parafuso sem-fim.
Introdução a Parafuso e
Coroa Sem-Fim
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Figura 3.10 - Comparação de engrenamentos de eixos intersectantes e reversos do tipo cônico
Fonte: Budynas (2011, p. 794).
#PraCegoVer: a figura ilustra somente o perfilde uma engrenagem em forma de anel. Acoplada na
engrenagem, estão vários tipos de pinhões cônicos espirais, para demonstrar a evolução desse tipo de
engrenamento, conforme a geometria dos eixos intersectantes é alterada. Alinhado com a linha de centro
da engrenagem, está uma engrenagem cônica espiral. Deslocada acima da linha de dentro da
engrenagem, está acoplada uma hipoide. Deslocada mais acima da linha de centro e com um formato
cônico mais definido, está uma engrenagem do tipo espiroide. O engrenamento totalmente perpendicular
à engrenagem mostra um fuso do tipo sem-fim.
O engrenamento sem-fim é um termo que serve para descrever um par que consiste em um
parafuso ou rosca sem-fim acoplado (ou somente sem-fim) a uma roda ou coroa sem-fim (também
chamada de engrenagem sem-fim). Norton (2013) traz um breve resumo sobre os conceitos que
definem esses tipos de engrenagem.
SEM-FINS E ENGRENAGENS SEM-FIM conectam eixos não paralelos e sem interseção. O
sem-fim é similar a uma rosca de parafuso, tem um ou alguns dentes enrolados ao redor
de si no que é, na verdade, um ângulo de hélice muito grande. O sem-fim se acopla com
uma engrenagem especial chamada de engrenagem sem-fim, coroa ou roda sem-fim que
é análoga a uma porca sendo avançada pela rosca de um sem-fim. Os eixos dessas
engrenagens estão geralmente a 90° um do outro. O par de sem-fins pode produzir razões
(ou relações, termo equivalente) de engrenamento muito grandes (até cerca de 360:1) em
um pacote compacto por causa do pequeno número de dentes no sem-fim. Se o ângulo
de avanço do sem-fim for pequeno o suficiente (
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é mais parecida com aquela de mancais de deslizamento do que com a de rolamento, devido às
velocidades dominantes de deslizamento. A porcentagem elevada de deslizamento torna os sem-
fins menos eficientes que os engrenamentos convencionais.
Configuração bastante comum, em termos de seleção de materiais, para engrenagens sem-fim é ter
a coroa feita de bronze fundido (liga metálica de cobre e estanho) e o parafuso feito de aço, pois a
coroa de bronze é projetada para ser “sacrificada” e é mais fácil de ser reposta do que o parafuso
sem-fim.
Para o parafuso sem-fim, recomendam-se materiais de baixo teor de carbono, como AISI 1020,
1117, 8620 e 4320, ou de médio carbono, como AISI 4140 ou 4150, que são endurecidos a HRC 58-
62. O acabamento superficial deve ser de 0,4 μm na rugosidade Ra.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Vimos, até agora, uma grande variedade de engrenagens, cada qual com suas particularidades em
termos de geometria, transmissão e eficiência. Para relembrar alguns conceitos, analise as
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afirmativas a seguir.
I. Os componentes da figura a seguir representam um conjunto pinhão-cremalheira.
Fonte: flash198704 / 123RF.
#PraCegoVer: a figura possui fundo branco e mostra dois componentes em tons metálicos
acoplados, sendo que um deles é uma engrenagem cilíndrica, com os dentes dispostos ao
longo de sua circunferência, e o outro é uma engrenagem linear, com os dentes dispostos ao
longo de uma superfície plana.
II. Os componentes na figura a seguir formam um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos.
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Fonte: flash198704 / 123RF.
#PraCegoVer: a figura possui fundo branco e mostra duas engrenagens cilíndricas acopladas.
A menor delas possui uma única furação central para encaixe do eixo, e a maior delas possui,
além do furo central para encaixe do eixo, furos equidistantes ao longo da superfície. Os dentes
de ambas são dispostos ao longo de suas circunferências e possuem inclinações de sentidos
opostos.
III. Os componentes na figura a seguir formam uma composição de parafuso e coroa sem-fim.
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Fonte: flash198704 / 123RF.
#PraCegoVer: a figura possui fundo branco e apresenta dois componentes acoplados. Um
deles é um cilindro que possui geometria similar a de um parafuso, com um dente único que
envolve sua superfície ao longo de seu comprimento. O outro elemento é uma engrenagem
cilíndrica com furação para eixo e chaveta centralizados, com dentes dispostos ao longo de
sua circunferência e com uma coloração dourada que remete a materiais como o bronze em
renderizações.
IV. No par da figura a seguir, é possível observar duas engrenagens cônicas.
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Fonte: flash198704 / 123RF.
#PraCegoVer: a figura possui fundo branco e apresenta duas engrenagens acopladas. Uma
delas é menor do que a outra, mas sua forma é bastante similar. Ambos os componentes
possuem seus dentes dispostos ao longo de um formato cônico e furação centralizada para
encaixe de um eixo. As duas engrenagens estão engrenadas de forma cruzada.
V. Duas engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais podem ser vistas na figura a seguir.
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Fonte: sorapol1150 / 123RF.
#PraCegoVer: a figura possui um fundo claro e mostra a vista frontal de duas engrenagens
acopladas. Um dos componentes é levemente menor do que o outro, possuindo um único furo
centralizado. A engrenagem maior possui, além do furo, outros locais por onde é vazada, o que
é, provavelmente, uma característica de projeto para diminuir seu peso.
Está correto o que se afirma em:
a) I e III, apenas.
b) I, II e V, apenas.
c) I, IV e V, apenas.
d) I, III e IV, apenas.
e) IV e V, apenas.
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Material
Complementar
WEB
Como funciona um Diferencial?
Ano: 2020
Comentário: Em automóveis e outros veículos com rodas, o diferencial
permite que a roda motriz externa gire mais rápido do que a roda motriz
interna durante uma curva, controlando a rotação em dois semi-eixos. Isso é
necessário quando o veículo faz uma curva, permitindo que a roda que está
circulando do lado de fora da curva percorra uma maior distância e role mais
rápido que a outra. O vídeo indicado explica como esse dispositivo
mecânico funciona e como as engrenagens cônicas são empregadas.
Acesse o vídeo no link disponível em:
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18/05/2025, 15:34 E-book
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LIVRO
Cinemática e Dinâmica de Engrenagens: teoria e
exercícios de aplicação
Editora: Publindústria
Autores: Paulo Flores e José Gomes
ISBN: 978-9897231360
Comentário: Esse livro é indicado, pois vai além dos aspectos teóricos
relacionados ao uso de engrenagens em mecanismos. O livro tem seis
capítulos e explora o conteúdo com vários exercícios resolvidos. Tais
exercícios podem auxiliar a revisar os conteúdos e a expandir os
conhecimentos em elementos de mecanismos.
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Conclusão
Caro(a) estudante, você chegou ao final de mais uma unidade sobre os elementos de mecanismos. Foi a
vez de estudarmos um pouco mais a fundo sobre as engrenagens cônicas, focando a geometria e os
carregamentos mecânicos. Analisamos a respeito de esforços aplicados a eixos que contêm esse tipo de
engrenamento e, assim, estimamos alguns parâmetros de dimensionamento para rolamentos. Por fim,
ficamos familiarizados com os engrenamentos do tipo sem-fim, que consistem em um parafuso de rosca
sem-fim e em uma coroa ou roda. Ficamos a par de que tipo de benefícios podemos obter com o uso
desses mecanismos, e vimos que eles são muito especiais quando altas relações de transmissão são
visadas. Por enquanto, é só!
Bons estudos e até breve!
Referências
AULA 18 - CORTANTE e momento fletor carga distribuída e
concentrada. [S. l.: s. n.], 2015. 1 vídeo (26 min.). Publicado
pelo canal Mecânica Geral - Prof Paulo Castelo Branco.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=OPFasUfVM_o. Acesso em: 24 set. 2021.
BUDYNAS, R. Elementos de máquinas de Shigley. Porto
Alegre: AMGH, 2011.
COMO FUNCIONA um diferencial. [S. l.: s. n.], 2015. 1 vídeo (4 min.). Publicado pelo canal Lesics
português. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=8AYt0sNHjHs. Acesso em: 27 set. 2021.
FLORES, P.; GOMES, J. Cinemática e Dinâmica de Engrenagens: teoria e exercícios de aplicação. Porto:
Publindústria, 2015.
MOTT, R. L. Elementos de máquinas. São Paulo: Pearson, 2015.
MOTT, R. L; VAVREK, E. M; WANG, J. Machine Elements in Mechanical Design. Nova York: Pearson, 2018.
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre: AMGH, 2010.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. Porto Alegre: Bookman, 2013.
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