Livro de inferência Bolfarine - parte 2

Prévia do material em texto

Neste capitulo apresentamos a teoria de testes de hipoteses em urn nivel bas-
tante introdutorio. Testes otimos, como os testes mais poderosos para hipotese
mila simples contra alternativa. simples e testesuniformemente mais poderosos
para hipoteses compostas, SaDobtidos utilizando 0 conhecido Lema de Neyman-
Pearson. Situac;6es mais complexas, como 0 caso de hipoteses bilaterais, SaD
tratadas utilizando-se a estatistica da razao de verossimilhanc;as generalizada
que, apesa~ de nao apresentar propriedades otimas, tern urn cOP1portamento
bastante satisfatorio.
Em muitas situac;6es temos interesse em tomar a decisao de aceitar ou rejeitar
determinada afirmac;ao baseando-se em urn conjunto de evid€mcias. Urn exem-
plo comum e 0 caso em que urn individuo esta sendo julgado por determinado
delito. Com base nas evid€mcias (testemunhas, fatos, etc.), 0 juri tera que de-
cidir pela culpa ou inocencia do individuo. Podemos, entao, conduir que 0 juri
formula duas hipoteses: "Ho : 0 individuo e inocente" e a alternativa "HI: 0
individuo e culpado". Com base nas evidencias apresentadas, 0 juri tera que
se decidir por Ho ou porHI. Ao tomar, por exemplo, a decisao de aceitar HI
(entao rejeitar Ho) como verdadeira, 0 juri pode estar cometendo urn erro, pois,
apesar das evidencias, 0 individuo pode ser inocente. 0 mesmo pode acontecer
com relac;ao a aceitac;ao da hipotese Ho como verdadeira. Nesse caso, 0 juri
estaria considerando como inocente urn individuo culpado.
Urn problema mais proximo da area de atuac;ao da estatistica (apesar de
que muita estatistica tern sido utilizada em problemas juridicos), e 0 problema
de se decidir sobre a eficiencia ou nao de certa vacina utilizada no combate
a determinada doenc;a. Os pesquisadores formulam entao as hipoteses "Ho : a
vacina nao e eficiente" e "HI: a vacina e eficiente". Nesse caso, urn experimento
e planejado, envolvendo urn grupo possivelmente grande de individuos em que
uma parte (escolhida ao acaso) recebe a vacina e o rest ante recebe uma sub-
stancia inoqua. Com base nos resultados desse experimento, os pesquisadores
terao entao que se decidir por Ho ou HI' Novamente, nao esta descartada a pos-
sibilidade de que erros sejam cometidos ao se considerar, por exemplo, a vacina
eficiente (Ho falsa) quando, na verdade, ela nao 0 e (Ho e verdadeira), 0 que
seria bastante prejudicial a populac;:ao. 0 estatistico envolvido na pesquisa deve
procurar utilizar tecnicas que tornem minima a probabilidade de se cometer
erros.
6.2 Formulac;;ao Estatistica
Nesta sec;:aoos principios basicos da teoria saD estecificados. Formalizamos a
seguir a noc;:aode hipotese estatistica.
Defini«;ao 6.2.1. Chamamos de hipotese estatistica qualquer afirma{:iio acerca
da distribuir;iio de probabilidades de uma ou mais variaveis aleatorias.
Denotamos por Ho (hipotese nula) a hipotese de interesse. Caso Ho seja re-
jeitada, aceitamos como verdadeira a hipotese alternativa HI. Sendo a variavel
aleatoria X distribuida de acordo com a func;:aode densidade (ou de probabi-
lidade) f(xIB), com B E 8, dizemos que a distribuic;:ao de X est a totalmente
especificada quando conhecemos f(xIB) e B. A distribuic;:ao de X sera dita estar
parcialmente especificada quando conhecemos a func;:ao de densidade (ou de
probabilidade) f(xIB), mas nao B. Associados as hipoteses Ho e HI, definimos
os conjuntos 80 e 01, ou seja, Ho afirma que B E 80 (notac;:ao: Ho : B E 80) e
HI afirma que BE 81 (notac;:ao: HI : B E 81), No caso em que 80 = {Bo} dize-
mos que Ho e simples. Caso contrario, dizemos que Ho e composta. 0 mesmo
vale para a hipotese alternativa HI'
Defini«;ao 6.2.2. Chamamos de teste de uma hipotese estatistica a fun{:iio
d~ decisiio d : X -l: {ao, ad, em que ao corresponde a ar;iio de considerar a
hipotese Ho como verdadeira e al corresponde a a{:iio de considerar a hipotese
HI como verdadeira.
Na definic;:ao acima, X denota 0 espac;:o amostral associado a amostra
Xl, ... ,Xn. A func;:aode decisao d divide 0 espac;:oamostral X 'em dois conjun-
tos
Al = {(Xl, ... , Xn) EX; d(XI,"" Xn) = ad,
onde Ao U Al = X e Ao nAl = 0. Como em Ao temos os pontos amostrais
x = (Xl,,'" Xn) que levam a aceitac;:ao de Ho, vamos chamar Ao de regiao de
aceita{:iio e, por analogia, Al de regiao de rejeir;iio de Ho, tambem chamada de
regiiio crztica.
Exemplo 6.2.1. Vma caixa contem duas moedas. Vma apresenta cara com
probabilidade p = 0,5 (equilibrada) e a outra apresenta cara com probabili-
dade p = 0,6. Vma moeda e escolhida aleatoriamente e lan~ada tres vezes.
Suponhamos que as hip6teses de interesse san Ho : p = 0,5 e HI : p = 0,6.
Seja Xi a variavel de Bernoulli que assume 0 valor 1 se ocorre cara no i-esimo
lan~amento e 0 caso contrario, i = 1,2,3. Nesse caso,
Ao = {(Xl,X2,X3);Xl +X2 +X3 < 2}.
Notemos que Ao U Al = X e Ao nAl = 0.
No caso em que Ho : 8 = 80 (simples) e HI : 8 = 81 (simples), considerando
a funl;ao de perda l(8, d) = 0 ou 1, se a decisao correta ou incorreta, respecti-
vamente, e tomada, a fun~ao de risco e, entao, dada por
R(81,d) = E[l(81,d)] = O.P[X E Al181] + l.P[X E Aol8d
= P[X E Aol8d = /3 = PH, [aceitar Ho].
Os riscos a e /3 saD conhecidos na literatura como probabilidades dos erros dos
tipos I e II, respectivamente. Mais precisamente, 0 erro do tipo I ocorre quan-
do rejeitamos Ho, sendo Ho verdadeira, enquanto que 0 erro do tipo II ocorre
quando aceitamos Ho, sendo Ho falsa. A situa~ao descrita acima esta ilustrada
na Tabela 6.1 dada abaixo.
Decisao
Aceitar Ho
Rejeitar Ho
Ho e verdadeira
Decisao correta
Erro do tipo I
Ho e falsa
Erro do tipo II
Decisao correta
Definic;iio 6.2.3. 0 poder do teste com regiiio critica Al para testar Ho : 8 = 80
contra HI : 8 = 81 e dado por
Notemos de (6.2.1) que ?f(Od = 1 - (3, onde (3 e a probabilidade de se cometer
o erro do tipo II.
Exemplo 6.2.2. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleat6ria de tamanho n da
distribui<;ao da variavel aleat6ria X '" N(f-L, 1). Consideremos as hip6teses Ho :
fJ, = 0 e HI : fJ, = 1. Consideremos 0 teste com regiao crftica Al = {x;x ~ c},
onde, como nos capftulos anteriores, x = hI + ... + xn)/n. Suponhamos que
n = 16 e que temos interesse em fixar 0: = 0,05. Entao, para determinar c,
temos que resolver a equa<;ao 0: = PHo[X ~ c], ou seja,
onde Z = X.jn '" N(O, 1). Entao, c.jn = 1,64, pois na distribui<;ao N(O, 1),0
valor 1,64 e 0 percenti195%. Logo c = 0,41, de modo que Al = {x,x ~ 0,41}.
6.3 Hipotese Nula Simples contra Alternativa Simples.
Testes Mais Poderosos
Nesta se<;ao, fixada a probabilidade do erro do tipo I, 0:, tambem conhecida
como nfvel do teste, procuramos a regiao crftica A~ que tenha a menor pro-
babilidade de erro do tipo II, ou seja, maior poder dentre todos os testes com
nfvel menor ou igual a 0:. Enfatizamos que, no caso discreto,
o:(Ad = PHo [X E AI] = L f(xIOo)
xEA1
e (3(Ad = L f(xIOd,
xEAo
Exemplo 6.3.1. Consideremos 0 problema de se testar Ho : 0 = 00 versus HI :
.0 = 01, com uma unica observa<;ao da variavel aleat6ria X, com distribui<;ao
de probabilidade dada na Tabela 6.2 abaixo.
Tabela 6.2. Fun<;ao de probabilidade da variavel aleat6ria
X sob Ho e HI
X 0 1 2 3 4 5
f(xIOo) 0,02 0,03 0,05 0,05 0,35 0,50
f(xlOd 0,04 0,05 0,08 0,12 0,41 0,30
Notemos que as possfveis regi6es crfticas Al de nfvel o:(Ad
respectivos (3= (3(Ad sao dadas na Tabela 6.3 abaixo.
Al a Ao (3
{O,l} 0,05 {2,3,4,5} 0,91
{2} 0,05 {0,1,3,4,5} 0,92
{3} 0,05 {0,1,2,4,5} 0,88
Portanto, dentre todas as regioes crfticas de nfvel a = 0, 05, a mais poderosa
(menor (3)fe dada por Al = {3}.
o result ado que segue apresenta 0 teste que minimiza uma combina<;ao
linear dos erros, do tipo aa + b(3, com a e b conhecidos.
A * _ { . LI (x) ~}
I - X, Lo(x) 2: b '
onde a e b sao especificados e b > O. Entao, pam qualquer outro teste com
regiao critica AI, temos que
n n
LI (x) = IIf(XilBd e Lo(x) = IIf(XiIBo).
i=1 i=1
Prova. Conforme visto acima,para qualquer teste com regiao critica AI, temos
que
a(Ad = L f(xIBo) e (3(Ad = L f(xIBd,
xEA, xEAo
aa(Ad + b(3(Ad = a L f(xIBo) + b L f(xlBd
xEA, xEAo
= a L f(xIBo) + b (1 - L f(X1BI)). = b+ L [af(xIBo) - bf(xIBd]·
xEA, xEA, xEA,
Portanto a soma aa(AI) + b(3(Ad sera mfnima quando a regiao critica incluir
somente os pontos amostrais x tais que af(xIBo) -bf(xIBI) :S 0, ou seja, quando
_f(_x_I BI_)= _LI_(x_)> ~
f(xIBo) Lo(x} - b'
Para 0 caso em que X e uma vanavel aleatoria continua, a demostra<;ao e
analoga, bastando substituir as somas por integrais correspondentes.
Exemplo 6.3.2. Consideremos 0 Exemplo 6.3.1 novamente. Temos que 0 teste
com a + f3 (a = b = 1) minimo tern regiao critica dada por A~ = {O,1,2,3, 4},
de modo que a = 0,5 e (3 = 0,3 sendo a + f3 = 0,80.
o result ado que apresentamos a seguir consider a 0 teste mais poderoso
(M.P.) de nivel a para testar Ho : e = eo contra Hi : e = el.
Lema 6.3.2. (Lema de Neyman-Pearson) Consideremos 0 teste com regiao
critica
(6.3.2) A~ = {x; ~~~:; ~ k} .
em que Lo(x) e LI (x) sao dados em (6.3.1). Entao A~ e a melhor regiao
critica de nivel a = a(A~) pam testar Ho : e = eo contm HI : e = eI! isto e,
f3(An ~ (3(Ad pam qualquer outro teste Al com a(Ad ~ a.
para qualquer outra regiao critica AI. Como a(Ad ~ a(An, a desigualdade
(6.3.3) implica que (3(An ~ f3(Ad, 0 que conclui a prova.
o teste com regiao critica (6.3.2) e tambem conhecido como teste da razao
de verossimilhan<;as. Calculando a fun<;ao de verossimilhan<;a dada em (3.1.1)
sob Ho (Lo(x)) e sob Hi (Ll(x)), 0 teste mais poderoso rejeita Ho quando
Ll(x)/Lo(x) ~ k, ou seja, quando a evidencia em favor de Hi (expressa par
Ll (x)) e maiar que a evidencia em favor de Ho (expressa por Lo(x)). Portanto,
a seguir, quando nos referimos ao teste M.P., nos referimos a regiao critica A~.
Exemplo 6.3.3. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria de tamanho n da
distribui<;ao de X ~ N(p" 1). 0 objetivo e encontrar 0 teste M.P. para testar
Ho : p, = 0 contra Hi : p, = 1. Nesse caso, a fun<;ao de verossimilhan<;a e dada
por
L(p,; x) = (vb) n e- l:~=l(Xi ;1')2 ,
de modo que 0 teste M.P. rejeita Ho quando
(
1 )n _"'~ (Xi-l)2/2L
l
(x) '72,;' e L..,=l
Lo(x) (_I_)ne-l:~=lX7/2 ~k,
,j2;
""n n
eL...i=l Xi -"2 > k- ,
que e equivalente a rejeitar Ho quando 2:~1 Xi ~ log k + n/2 = c. Portanto a
regiao critica do teste M.P. e dada por
A~ = {x,tXi ~ c}.
t=1
0,05 = PHo [tXi ~ c] .
,=1
Como, sob Ho, 2::~1 Xi"" N(O, n), temos que c = 1, 64yn. Sendo n = 9, temos
que c = 4,92, de modo que, de (6.3.4),
A~ = {x; tXi ~ 4,92}.
t=1
j3= P [~X' 4 92] = P [2:~=1Xi - n 4,92 - n]H, L...J t < , H, yn < yn ,. n n
t=1
e como n = 9, j3 = P [z:s _4,~8] = 0,09, on de Z ~ N(O,l). 0 poder do
teste e, entao, dado por 71'(Bd = 1 - j3 = 0,91. Sendo as hip6teses de interesse
Ho : J-i = J-io e HI : J-i = J-il > J-io, 0 teste M.P. tern regiao critica dada por
(6.3.4) com c dado por
Exemplo 6.3.4. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleat6ria de tamanho n da
variavel aleat6ria X ~ N(f-1,0'2), onde J-i e conhecido. Queremos 0 teste M.P.
para testar Ho : 0'2 = 0'6 contra HI : 0'2 = 0';(> 0'6). De acordo com 0 Lema
6.3.2, temos que 0 teste M.P. rejeita Ho quando
(
1 ) n - 2:~=,(·~:t)2-- e ,V21TO"i
= ----------- 2- k,
(
1 ) n - 2:~=,(·~:t)2
-- e· 0V21TO"5
L1 (x)
Lo(x)
~ (Xi - /1)2 2
~ 2 '" Xn,
i=l ao
entao, sendo a = 0,05, n = 10 e a3 = 8, temos
0,05 = P [xio 2: ~]
onde xio e a variavel aleat6ria com distribui<;ao quiquadrado com 10 graus de
liberdade. Portanto temos que a regiao critica e dada por
10 ( )2
"" Xi - /1 2~ 10 '" XlO'
i=l
Assim, associ ado a regiao critica (6.3.7) temos 0 poder ?T(af) = 1 -/3 = 0,15.
Exemplo 6.3.5. Sejam Xl, ... , Xn uma amostra aleat6ria de tamanho n da
distribui<;ao da variavel aleat6ria X com distribui<;ao Binomial(n, e). Consi-
deremos 0 problema de testar Ho : e = eo contra HI : e = e1 (e1 > eo). De
acordo com 0 Lema de Neyman-Pearson e a fun<;;aode verossimilhan<;;a dada
em (3.1.1), a regiao crftica do teste M.P. rejeita Ho quando
n log[k( i:::~~)n]l:= Xi::::: 1 01 (1-00) = C.
i=l og[Oo{1-0d]
Portanto a regiao crftica do teste M.P. e dada por
A~ = {x;t Xi :::::C} .
,=1
Sob Ho, L:~lXi '" Binornial(n,Oo), entao sendo a = 0,055, 00 = 0,5, 01
0,6 e n = 10, temos que'
A1 = {x;f Xi :::::8} .
1=1
Portanto 0 poder associado a regiao crftica (6.3.8) e dado por 1l'(0,6) = 1 -
0,833 = 0,167. Sendo n grande (maior que 20, pelo menos), podemos usar a
aproxima<;;ao normal, ou seja,
L~l Xi - nO ~ N(O, 1).
y'nO(l- 0)
Dado a, podemos obter 0 valor de c na regiao critica (6.3.8), como soluc;ao da
equac;ao
Definimos a seguir nivel descritivo que esta associado ao valor efetivamente
observado da estatistica do teste.
Defini<;;ao 6.3.1. Consideramos como nivel descritivo, que denotamos por ii,
como 0 menor nivel de significancia a para 0 qual a hipotese nula Ho seria
Tejeitada.
Notemos que, se a > ii, rejeitamos Ho e, se a < ii, nao rejeitamos Ho, onde
a eo nivel de significancia adotado.
Exemplo 6.3.6. Consideremos novamente 0 Exemplo 6.3.3 e suponhamos que
para uma amostra de n = 9 observac;6es, x = 0,68. Portanto
Na sec;ao anterior consideramos testes 6timos (M.P.) para testar hip6teses nu-
las simples contra alternativas simples. Nesta sec;ao generalizamos os resultados
da Sec;ao 6.3 para 0 caso de hip6teses mais complexas. A Sec;ao 6.4.1 apresenta
testes 6timos para 0 caso em que temos hip6tese nula simples e alternativas com-
postas. Na Sec;ao 6.4.2, discutimos brevemente 0 caso em que as duas hip6teses
sao compostas.
Defini<;;ao 6.4.1. Um teste Ai Ii dito ser unifoTmemente mais poderoso
(U.M.P.) para testar Ho : 8 = 80 contra HI : 8 E 81, se ele Ii M.P. de
nivel a para testar Ho : 8 = 80 contra HI : 8 = 81, qualquer que seja 81 E 81.
De acordo com a Definic;ao 6.4.1, a regiao critica Ai nao pode depender
particularmente de 81, para qualquer 81 E 81.
Exemplo 6.4.1. Sejam X" ... ,Xn uma amostra aleat6ria de tamanho n da
distribuic;;ao N(j..t, 1). Consideremos as hip6teses Ho : j..t = 0 contra HI : j..t > O.
Neste caso, 81 = {j..t; j..t > O}. Para testar Ho : j..t = 0 contra HI : j..t = /-ll > 0,
temos do Exemplo 6.3.3 que 0 teste M.P. tern regiao critica dada por Ar =
{x; I:~l Xi ::::::c}. Como Ar nao depende do particular /-ll especificado acima,
segue da Definic;;ao 6.4.1 que Ar e a regiao critica do teste V.M.P. para testar
Ho : j..t = 0 contra HI : j..t > o.
Exemplo 6.4.2. Sejam Xl, ... , Xn uma amostra aleat6ria de tamanho n da
distribuic;;ao Binomial(n,8). Consideremos as hip6teses Ho : 8 = 0,5 contra
HI : 8 < 0,5. Para testar Ho : 8 = 0,5 contra HI : 8 = 81 < 0,5, temos que 0
teste M.P. tern regiao critica dada por Ar = {x, I:~l Xi :::; c}. Como Ar nao
depende do particular valor de 81 especificado em HI, temos que Ar e a regiao
critic a do teste V.M.P. para testar Ho : 8 = 0,5 contra HI : 8 < 0,5.
Exemplo 6.4.3. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria
X ~ N(j..t,1). Consideremos as hip6teses Ho : j..t = 0 contra HI : j..t =I O.
Para testar Ho : j..t = 0 contra HI : j..t = 1, 0 teste M.P. e dado por Ar =
{x, I:7=1 Xi ::::::c}. Por outro lado, para testar Ho : /-l = 0 contra HI : j..t = -1,
o teste M.P. tern regiao critica dada por Ar = {x; I:7=1 Xi :::; c}. Portanto a
regiao critica do teste M.P. depende do particular valor de j..t1 escolhido para
HI, ou seja, a regiao critica nao e unica. Portanto nao existe teste V.M.P. para
testar Ho : j..t = 0 contra HI : j..t =I O.
Defini«;ao 6.4.2. A funr;ao de poder 7r(8) com regiao critica Ar para testar
Ho : 8 = 80 contra HI : 8 E 81 e dada par
au seJa, e a probabilidade de rejeitar Ho para 8 E 8. Notemos que 7r(80) = Q.
Exemplo 6.4.4. Sejam Xl, ... , Xn, uma amostra aleat6ria de tamanho n da
distribuic;;ao N(j..t,1). Consideremos 0 problema de testar Ho : j..t = 0 contra
HI : j..t > O. Conformevis to no Exemplo 6.4.1, a regiao critica do teste V.M.P.
e dada por Ai = {x, I:7=1 Xi ::::::c}. Sendo n = 9 e Q = 0,05, temos, como
no Exemplo 6.3.3, que c = 1, 64V9 = 4,92, de modo que Ar = {x; I:7=1 Xi ::::::
4, 92}. A func;;ao de poder e, entao, dada por
onde <I>(.) denota a func;;ao de distribuic;;ao acumulada da distribuic;;ao N(O, 1).
Entao,
De modo similar, n(0,5) = 1 - p(0,14) = 0,44 e n(l,O) = 0,91 e n(O,O) =
0,05 = a. Graficamente, temos a Figura 6.1 que representa a fun<;ao poder do
teste.
1t(Il)~
i1 , .
•
I0.51
...................................... ~
//
~/'--
0.05 ~.~
o
Nesta se<;ao consideramos brevemente testes V.M.P. para situa<;6es onde as
hipoteses nula e alternativa sao compostas. Mais especificamente, consideramos
o problema de se testar as hipoteses Ho : () E 80 contra HI : () E 81, 0
resultado apresentado a seguir estabelece condi<;6es para que se tenha 0 teste
V.M.P. para testar as hipoteses compostas acima. A demonstra<;ao pode ser
vista em De Groot (1975).
Teorema 6.4.1. No caso em que Xl, ... ,Xn seguem uma distribui9iio da
famz1ia exponencial (Se9iio 2.4), temos que 0 teste U.M.P. para testar Ho :
() = ()o contra HI : () > ()o e tambem UM.P. para testar Ho : () ~ ()o contra
HI : () > ()o· Tambem 0 teste U.M.P. para testar Ho : () = ()o contra HI : () < ()o
e U.M.P. para testar Ho : () 2: ()o contra HI : () < ()o.
Exemplo 6.4.5. Sejam Xl,'" ,Xn uma amostraaleatoria de tamanho n da
variavel aleatoria X '" N(ji-, 1). De acordo com 0 Teorema 6.4.1, temos do
Exemplo 6.4.1 que 0 teste V.M.P. para testar Ho : ji- ~ 0 contra HI : ji- > 0
tem regiao crftica dada por Ai = {x; 2::1 Xi 2: c} .
Exemplo 6.4.6. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria
X '" Binomial(n, ()). De acordo com 0 Teorema 6.4.1 e Exemplo 6.4.2, segue
que 0 teste U.M.P. para testar Ho : B ~ 0,5 contra H1 : B < 0,5 e dada por
Ai = {x, L:7=1 Xi ~ c}.
A func;ao de poder do teste U.M.P., nesta situac;ao mais geral, e tambem
como na Definic;ao 6.4.2, ou seja, 7f(B) = Po [X E Ai], B E 8.
Na Sec;ao 6.4 vimos que os testes UMP existem apenas em situac;6es especiais ..
Essas situac;6es compreendem 0 caso das familias exponenciais unidimensionais.
Vimos tambem que, em geral, nao existem testes UMP para testar Ho : B = Bo
versus H1 : B t= Bo· Tambem nao existe teste UMP na maioria dos casos em que
a distribuic;ao envolve mais de urn parametro desconhecido como, por exemplo,
a N(p" ()2) com p, e ()2 desconhecidos. Urn procedimento que produz testes
razoaveis e que pode ser utilizado em muitos casos, sem muita dificuldade, e 0
Teste da Razao de Verossimilhanc;as Generalizada (TRVG).
Consideremos uma situac;ao bastante geral onde as hipoteses de interesse
sao
Ho : B E 80 versus H1: B E 81
onde 8 = 80 U 81, 80 n 81 = 0, 80 t= 0 e 81 t= 0.
o TRVG pode ser definido como 0 teste com regiao critica dada por (ver
Bickel e Doksum(1976))
A* { SUPOEGl L(B; x) }1 = x; --~~~- ~ c .
supoEGoL(Bj x)
Podemos notar que, quando as hipoteses sao simples, ou seja, 80
81 = {Bd, 0 TRVG coincide com 0 LNP dado em (6.3.2).
SUPBEGL(B;x) {SUPOEG1L(B;X)}------=max 1,------ ,
supoEGoL(Bj x) supoEGoL(Bj x)
por facilidades computacionais 0 TRVG pode tambem ser definido como
Ai = {Xi '\(x) = sUPOEGoL(B; x) ~ c}.
supOEGL(B; x)
Observemos que ° ~ ,\(x) ~ 1, pois 0 numerador e 0 supremo com relac;ao a B
pertencente a urn subconjunto de 8 (80 E 8), enquanto que 0 denominador e
o supremo sobre todo conjunto 8. Se a hipotese Ho for verdadeira, esperamos
que '\(x) esteja "proximo" de 1, e se a hipotese Ho for falsa, esperamos que 0
denominador seja grande em relac;ao ao numerador, e, portanto, '\(x) deve ser
"proximo" de zero.
Para isso, precisamos da distribui<;ao da estatistica '\(X) que, em geral, nao e
simples de ser obtida, ou, entao, podemos encontrar uma fun<;ao h estritamente
crescente no dominio de '\(x) tal que h('\(X)) tenha uma forma simples e uma
distribui<;ao conhecida e tabelada sob a hipotese Ho.
Para implementa<;ao do TRVG, os seguintes passos devem ser seguidos:
1) obter 0 estimador de maxima verossimilhan<;a (EMV) e de OJ
2) obter 0 EMV eo de 0, quando 0 E 80;
3) 1 1 '\(X) - L(Bo;X).ca cu ar - L(B;X) ,
4) encontrar a fun<;ao h;
Exemplo 6.5.1. Consideremos a Exemplo 6.3.3 novamente, mas agora a in-
teresse e testar Ho :.p, = P,o versus H1 : p, t= P,o· Conforme vimos no Exemplo
6.4.3 nao existe teste UMP nesse caso. Pelo Exemplo 3.1.1, temos que a EMV
de p, e dado par p, = X. Como a hipotese Ho so especilica urn tinico valor para
p" a numerador de ,\(x) em (6.5.1) e L(P,oj x) de modo que
(27r)-n/2e-! L:(Xi-J.LO)2 1 ['" 2 2'\(x) = ---------= e-2 6(x,-J.LO) -L:(x,-x)]
(27r)-n/2e -!L:(x, _X)2
Podemos simplificar '\(x) usando a fato de que
a = PHohlTi"IX - f.Lol ~ a)
Como sob Ho, vn(X - f.Lo) ~ N(O, 1), temos que a = zex/2' Sendo a = 0,05
temos que Ai = {x; vnlx - f.Lol ~ 1,96}. Considerando f.Lo = 0, n = 9,
L:7=1 Xi = 3,4, nao rejeitamos Ho pois J913,4/9 - 01 < 1,96. Nesse caso,
a fun<;ao de poder do teste e
7r(f.L) = PIL(vnIXI ~ 1,96) = I-P(-1,96-vnf.L:S vn(X -f.L):S 1,96-vnf.L)
= P(I, 96 - vnf.L) - p( -1,96 - vnf.L),
pois temos que vn(X - f.L) ~ N(O,I) quando f.L e 0 verdadeiro valor do
parametro. A Figura 6.2 apresenta 0 grafico dessa fun<;ao poder para os da-
dos acima. Notemos que 7f(0) = 1- P(-1,96 :S Z :S 1,96) = 0,05, onde
Z ~ N(O, 1). De maneira similar, 7f(0,3) = 7f(-0,3) = 0,15, e assim par di-
ante.
Exemplo 6.5.2. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria
X ~ N(f.L, (72) com f.Le (72 desconhecidos. 0 interesse e testar Ho : f.L= f.Loversus
HI : f.L:f. f.Lo· Nesse caso,
80 = {(f.Lo, (72); (72 > O} e 8 = {(f.L, (72), -00 < f.L< 00, (72 > O}
De acordo com 0 Exemplo 3.4.1, 0 EMV de (f.L, (72) em 8 e dado por P = X
e a2 = L:(Xi - X)2 In e em 80 e dado por Po = f.Lo e a5 = L:(Xi - f.LO)2In.
Logo a estatistica do TRVG e dada por
(2 )-n/2("2)-n/2 - 2~5 L(Xi-ILO)2>.(x) = 1r ao e
(21r) -n/2 (0-2)-n/2e - 2.h- L(Xi _x)2
Usando (6.5.2), temos que 0 TRVG rejeita Ho quando
(
1+ n(~-ILo)2 ) n/2 ~ C
2:(Xi-X)2
que e equivalente a rejeitar Ho quando
}nIx - /101 ~ V(c-2/n _ l)(n '- 1)
L(Xi-X)2
n-I
A* = {x. }nlx-/1ol > a}
1 , S -
L(Xi-X)2 . , v'n(X- ) _
onde s = n-I . Sob a hIpotese Ho, s ILO '" tn-I e, entao, dado a =
0,05 e n = 9 obtemos, usando a tabela da distribui<;ao t com 8 graus de
liberdade, a = 2,306. Se /10 = 0, x = 0,68 e s = 1,2, entao v'n(:-ILO) = 1,7 de
modo que nao rejeitamos Ho.
Exemplo 6.5.3. Consideremos novamente 0 Exemplo 6.5.2, mas sendo que 0
interesse e testar Ho : a2 = a5 versus HI : a2 i- a5. Nesse caso,
e = {(/1, (2), -00 < /1 < 00, a2 > O}
Pelo Exemplo 3.4.1., 0 EMV de (/1, (2) em e e dado por P = X e 0-2 =
L(Xi - X)2 In, enquanto que em eo e dado por Po = X e 0-5 = a5. Logo, a
estatfstica do TRVG e dada por
Notemos que se g(y) = yn/2e-y/2, y > a entao a func;ao log g(y) (e tambem
g(y)) e crescente para y < n, atingindo 0 ponto de maximo em y = nee
decrescente para y > n, logo g(y) :::;c se e somemte se y :::;CI ou Y 2: C2 com
g(cd = g(C2)' Portanto 0 TRVG e equivalente a rejeitar Ho quando
Sob a hip6tese Ho, L(X;2-
X)2 ~ X;-l e, entao, dado a = 0, 05 e n = 90btemos,
o '.
usando a tabela da distribuic;ao quiquadrado com 8 graus de liberdade, CI =
2,180 e C2 = 17,534 se considerarmos, como na Sec;ao 5.2, probabilidades iguais
para as duas caudas.
Exemplo 6.5.4. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleat6ria da variaval aleat6ria
X com func;ao densidade de probabilidade dada por
{
-(X-e)
f(xI8) = e ,
0,
x2:8
x<8
{
e- LXi+ne
L(8;x) = 0," , 8 :::;X(l)
8> X(l)
Suponhamos que 0 interesse seja testar Ho : 8 :::; 80 versus HI : 8 > 80 onde Bo
e urn valor especificado. Podemos verificar que L(B; x) e uma func;ao crescente
em 8 no intervalo -00 < 8 < x(l)' Logo, em e, 0 EMV de B e B = X(1) e em
eo e dado por (j = Bo se X(l)> Bo e (j = x(1) se X(l) :::; 80. Portanto a estatistica
do TRVG e dada por
X(1) :::; Bo
X(l) > 80 .
{ lOgc}Al = x, X(l) 2: 80 - --;- .
Como mencionado anteriormente, a forma e a distribuic;ao de A(X) po-
dem ser complicadas e nem sempre podemos encontrar uma func;ao h. com
distribuic;ao conhecida. 0 Teorema a seguir fornece a distribuic;ao assint6tica
da estatistica do TRVG, resolvendo esse problema pelo men os para 0 caso de
amostras grandes. A prova desse resultado envolve conhecimentos avanc;ados
de probabilidade e pode ser encontrada em Sen e Singer (1993).
Teorema 6.5.1. Sejam Xl,.' ., Xn uma amostra a(eatoria cia variave( a/eatort"a
X com f.d.p. f(xI8). Sob as condir;oes de regularidade, se 8 E 80, entao a
distribuir;ao da estatistica -2log)..(X) converge para a distribuir;ao quiquadrado
quando 0 tamanho da amostra n tende ao infinito. 0 numero de graus de
tiberdade da distribuir;ao limite e a diferenr;a entre 0 numero de parametros
nao especificados em 8 e 0 numero de parametros nao especificados em 80,
Exemplo 6.5.5. Sejam Xl,' .. ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria
X '" Poisson(8). 0 interesse e testar Ho : 8 = 5 versus HI : 8 =1= 5. Pelo
Exemplo 3.2.5 temos que 0 EMV de 8 e dado por i} = X. Como a hipotese Ho
so especifica urn unico valor para 8,0 numerador de )..(x) em 6.5.1 e L(5,x) de
modo que
e-5n5LXi
)..(x) = 11,'x •.
-2log)..(x) = -2 {-n(5 - x) +L xilog(5/x)} .
A~ = {-2[-n(5 - x) +L xilog5/x] ~ c}
onde urn valor aproximado para c e obtido de modo que p(Xr ~ c) = 0,05, que
requer a utilizac;ao da tabela da distribuic;ao quiquadrado.
A seguir apresentamos alguns exemplos onde 0 interesse e a comparac;ao de
duas populac;6es. .
Exemplo 6.5.6. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria
X '" N(/LX, a2) e YI, ... , Ym uma amostra aleatoria da variavel aleatoria Y '"
N(/LY, a2). Suponhamos que as amostras SaDindependentes e que 0 interesse e
testar Ho : /Lx = /LY versus HI : /Lx =1= /l-Y· Nesse caso
8 = {(/l-x, /LY, a2), -00 < /Lx < 00, -00 < /LY < 00, a2 > O}
Em 8 os EMVs SaDdados por
·2 L(Xi - X)2 + L(Yi - Y)2a = -----------
n+m
Logo a estatfstica do TRVG pode ser escrita como
(2 )-(n+m)/2 (. 2)-(n+m)/2 - q{L(Xi -ilO)2+ L(Yi -il~)}),(x ) = 1r ao e
,y (21r)-(n+m)/2(a2)-(n+m)/2e-~{L(Xi-X)2+ L(Yi-y)2}
= (:;)(n+m)/2.
onde 82 = L)Xi-X)2+ L(Yi-y)2 Mp n+m-2 . as
m
X - Po = -- (x - y)
n+m
n
y- Po = --(y-x),
n+m
portanto a regiao crftica do TRVG e dada por
• { x-yAI= (x,y); J
8 (1.+.1..)
P n m
x-y
8PJ(~ + !;J
Sob a hipotese Ho, ~ '" tn+m-2. Os valores de CI e C2 sao obtidos
sp ';i"+~
utilizando a tabela da distribui<;ao t com n +m - 2 graus de liberdade.
Exemplo 6.5.7. Sejam Xl, .. " Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria
X '" N(f.LX, a1J e YI, ... ,Ym uma amostra aleatoria da variavel aleatoria Y '"
N(p,y,u~). Suponhamos que as amostras sac independentes e que 0 interesse
e testar Ha : u3<-= u~ versus Hl : u3<-f:- u~. Nesse caso
e = {(p,x,p,y,u3<-,u~),-oo < P,X,p,y < 00, uk > o,u~ > O}
Em e os EMV s dos parametros sac dados por
Logo a estatlstica do TRVG e
(21r )-(n+m)/2 (0-2) -(n+m)/2e - ~ {'L(Xi _X)2+ L(Yi _y2}
(21ro-k )-n/2e -q- L(Xi-X)2 (21r0-~ )-m/2e -~ L(Yi-jf)2
(0-3<-)n/2(0-~ )m/2
(0-2)(n+m)/2
(m-l F)m/2
g(F) = n-l ~ C
(1+ m-l F)n+m/2n-l
onde F = ti~ii-=-~)22j~:=~i. Mas g(F) ~ C se e somente se F ~ Cl ou F ;:::C2,
portanto a regiao critica do TRVG e dada por
Sob a hip6tese Ha, F rv Fm-l,n-l e, entao, dado a = 0,10, n = 9 e m = 8,
obtemos usando a tabela da distribuir;ao F com 8 e 7 graus de liberdade que
Cl = 0,27 e C2 = 3,5.
Exemplo 6.5.8. Sejam Xl, ,Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria
X rv Bernoulli(Bd e Yl, ,Ym uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria
y ~ Bernoulli(B2). Suponhamos que as amostras saG independentes e que 0
interesse e testar Ho : B1 = B2 versus H1 : B1 =J- B2• Nesse caso
e = {(B1,B2);0 < B1 < 1,0 < B2 < I}
Em e os EMV s saG dados por
B1 = X e B2 = Y,
(j = LXi + L Yi .
n+m
B(LXi+LYi)(I_ B)(n+m-Lxi-LYi)
A(X,y) = ------------iF Xi(1_ Bdn- LXi epY2(1 _ B
2
)m- LYi
Como nao conseguimos explicitar a regiao crftica atraves de uma estatfstica
com distribui<;ao conhecida, entao pelo Teorema 6.5.1, temos que
-21ogA(x,y) = -2( (l:Xi + l:Yi) 10gB
+ (m + n -l:Xi -l:Yi) 10g(l- B)
- l:XilogBl - (n -l:Xi) 10g(l- ed
-l:Yi 10gB2 - (m - l:Yi) log(1 - e2))
tern distribui<;ao aproximadamente xi- Logo, quando -21og A(X, y) 2: c rejeita-
mos Ho. Suponhamos que n = 400, LXi = 60, m = 225, LYi = 40. Assim,
B = 100/625 de modo que -2logA(X, y) = 0,82. Tomando a = 0,05, temos que
c = 3,841, portanto nao rejeitamos Ho.
Exemplo 6.5.9. Consideramos neste exemplo uma extensao do modelo bino-
mial consider ado no exemplo anterior. Suponhamos que os indivfduos em uma
popula<;ao podem ser de tres tipos, que rotulamos por tipos 1, 2 e 3. No caso
de preferencia eleitoral, por exemplo, urn indivfduo e do tipo 1 se ele for eleitor
do partido A; do tipo 2 se for eleitor do partido B e do tipo 3 se for eleitor
de urn outro partido, que nao 0 A e ou 0 B. Suponhamos que a propor<;ao de
indfviduos do tipo i seja Bi, i = 1,2,3, de modo que B1 + B2 + B3 = 1. Para uma
amostra de n indivfduos observados na popula<;ao suponhamos que ni seja do
tipo i, i = 1,2,3, de modo que nl + n2 + n3 = n. A fun<:;aode verossimilhan<:;a
pode entao ser escrita como
onde x = (Xl"," Xn), com Xi represent an do 0 r6tulo (1, 2 ou 3) do i-esimo
individuo observado na amostra. Portanto, como no Exemplo 3.5.1, nl, n2 e n3
representam 0 numero de elementos de {Xl, ... , Xn} iguais a 1, 2 ou 3, respec-
tivamente. Derivando-se 0 logaritmo da verossimilhan<:;a (6.5.4) com rela<:;aoa
(}l e a (}2, temos os estimadores de maxima verossimilhan<:;a
de modo que 0 estimador de maxima verossimilhan<:;a de (}3 e dado por
{h = n3/n (veja 0 Exercicio 6.13). A extensao para 0 caso geral (caso multino-
mial, com k tipos diferentes de individuos) pode ser feita de maneira similar.
Suponhamos agora que queremos testar a hip6tese de que os individuos na po-
pula<:;aoseguem 0 equilibrio de Hardy-Weinberg, isto e, que Ho : (}l = p(l; (}) =
(}2, (}2 = p(2; (}) = 2(}(1 - (}), (}3 = p(3; (}) = (1 - (})2, para 0 < (} < 1. Sob 0
modelo geral, ou seja, em 8 = {((}l, (}2, (}3); (}i > 0, (}l + (}2 + (}3 = I} os es-
timadores de maxima verissimilhan<:;a de (} = ((}l, (}2, (}3) SaG como dados em
(6.5.4). Sob a hip6tese Ho, ou seja em 80 (escreva!), tern os que 0 estimador
de maxima verossimilhan<:;a de (} e obtido no Exemplo 3.5.1, ou seja, e da-
do por {j = (2nl + n2)/2n. Temos, portanto, que a razao de verossimilhan<:;as
generalizada e dada par
que tern, aproximadamente, distribui<:;ao xi.
Vma estatistica assintoticamente (em grandes amostras) equivalente (veja
Bickel e Doksun, 1977) a estatistica da razao de verossimilhan<:;as generalizada,
calculada acima, e dada pela estatistica quiquadrado de Pearson, que no caso
do modelo do equilibrio de Hardy-Weinberg, e dada por
3 '. A 2
Q =L (ni - n~(:,B))
i=i np(z;O)
(ni - ne2)2 (n2 - n2e(1 - 19))2 (n3 -n(1 - 19)2)2
A + , ,+ ,
.nB2 n2B(1 - 0) n(1 - 0)2
que, para n grande, tern a mesma distribuir;ao que -210g ).(x), ou seja, xi-
Notemos que a estatistica Q dada em (6.5.7) e, em geral, interpretada como
a soma do quadrado da diferenr;a entre 0 numero observado (dado por ni) e
o numero esperado (sob Ho) de individuos do tipo i haarriostra, que e dado
por ngi(e), dividido pelo numero esperado (sob Ho) de indivfduos do tipo i na
amostra, para todos os tipos de individuos na popular;ao. No caso do equilibrio
de Hardy-Weinberg, temos que p(l; 0) = B2, p(2; 0) = 20(1 - B) e p(3; B) =
(1 - B)2. A estatistica Q pode tambem ser generalizada para situar;6es mais
complexas que aquela considerada acima. Entre outras, citamos sua utilizar;ao
em testes de independencia em tabelas de contigencia, discutido em textosbasicos de estatistica como, por exemplo, em Bussab e Morettin (1987):
Vamos discutir brevemente as relar;6es entre testes de hip6teses e intervalos
de confianr;a. Consideremos 0 Exemplo 6.5.1 novamente. Nesse exemplo temos
que, para urn nivel a fixado, a hip6tese Ho e aceita se Ix - J.LoI :::;zOI/d {ii, ou
equivalentemente, se
Z /2 . Z /2_ 01 < <_+ 01
x- yTi _J.Lo _x yTi'
Como 0 teste tern nivel a, a P(Ho ser aceitalJ.L= J.Lo) = I-a, entao podemos
escrever que
(
- za/2 - ZOI/2 )
P X - yTi :::;J.Lo :::; X + yTi IJ.L = J.Lo = 1 - a.
P (X - ZOI/2 < /I < X + ZOI/2) = 1- a.
yTi _t"_ yTi
Portanto 0 intervalo [x - zft; X + z'Ji!] obtido a partir da regiao de aceitar;ao
do teste de nivel a, e urn intervalo de 100(I-a)% de confianr;a para J.L e coincide
com 0 intervalo (5.3.2).
Por outro lado, a partir do intervalo de confianr;a, podemos construir urn
teste bilateral (Ho : B = 00 versus Hi: B i:- (0) onde
aceitamos Ho se 80 E I.C.
Esse teste tern nfvel a, pois
Conc1ufmos, entao, que podemos obter urn intervalo de confianc;a a partir de
urn teste de hipotese e vice e versa.
o problema de testes de hipoteses tambem pode ser formulado do ponto de
vista Bayesiano. Nesse caso, 0 teste sera baseado na distribuic;ao a posteriori.
Como vimos na sec;ao anterior existe uma relac;ao entre testes de hipoteses e
intervalos de confianc;a, entao uma maneira de se construir urn teste Bayesiano
e atraves da obtenc;iio de urn intervalo de confianc;a Bayesiano.
Suponhamos que 0 interesse seja testar Ho : e, = eo versus HI : 8 :j:. 80.
Para isso, construfmos 0 intervalo Bayesiano para 8 e, se 80 estiver contido no
intervalo, entao aceitamos Ho e, se eo estiver fora do intervalo, entao rejeitamos
Ho·
Exemplo 6.6.1. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria
X "'"N(/1, 1), e consideremos uma priori N(O, 1).0 interesse e testar Ho : /1 = a
versus HI : /1 :j:. O. Do Exemplo 4.4.3 temos que a distribuic;ao a posteriori de
, 7\T (nx I) ./1 e 1V n+l' n+l ' ou seJa,
8 _ nx
n+l
jn~l
P ( -2a/' oS eIt 9a/') ~ 7
de modo que 0 intervalo Bayesiano (intervalo de credibilidade) com probabili-
dade ! e dado pOI'
[
nx fl nx fl]
n+1 -za/2V~'n+1 +Za/2V~
Suponhamos que n = 8, I:~=lXi = 0,57 e a = 0, 05. Logo 0 intervalo de
confianc;a Bayesiano e [-0,09;1,23]. Como 0 zero esta contido no intervalo, nao
rejeitamos a hipotese Ho, ao nfvel de a = 5%.
6.1. Seja X uma variavel aleat6ria com func;iio de densidade f(xIB) = B2xe-ex,
x > 0, B > O. queremos testar Ho : B = 1 versus HI : B = 2.
i) Qual e a regiiio critica se n = 5 e a = 0, 05?
ii) Se n = 1, qual e 0 teste que minimiza a + j3? Equal 0 valor de a + j3?
6.2. Sejam Xl,"" Xn uma amostra aleat6ria da
N(p,1). Queremos testar Ho : p = 0 versus HI
produz 0 teste mais poderoso com a = j3 = 0,05.
variavel aleat6ria X
p = 1. Encontre n que
6.3. Sejam Xl,"" Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria X com
func;iio de densidade dada por
i) Mostre que 0 teste mais poderoso para testar Ho : B = 1 versus HI : B = 2,
rejeita Ho, se e somente se, 2:7=1 -logxi :S a, onde a e uma constante.
ii) Sendo n = 2 e a = (1 -log2)/2, qual a regiiio critic a?
Queremos testar Ho : B = 0 versus HI : B = 1.
i) Obtenha 0 teste mais poderoso com nivel de significancia a.
ii) Se a = 0,05 e x = 0,8, qual a sua conclusiio?
6.5. Sejam Xl, ... , Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria X '"
Poisson( B).
i) Encontre 0 teste UMP para testar Ho : B = Bo versus HI : B > Bo.
ii) Seja a = 0,05, fac;a 0 grafico da func;iio poder para Bo = 1 e n = 25 (use 0
Teorema do limite central).
6.6. Sejam Xl, ... , Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria X '"
N (pX, 1) e sejam YI, ... ,Ym uma amostra aleat6ria da varia vel aleat6ria
Y '" N(py, 4) sendo as amostras independentes.
i) Determine 0 teste mais poderoso para testar
ii) Sendo n = 9, 2: Xi = 3,95; m = 4; 2: Yi = 2,03. Qual a sua conclusiio ad
nivel de significancia de 5%? Equal 0 poder do teste?
6.7. Sejam XI, ... ,Xn uma amostra aleat6ria da variavel aleat6ria X com
f.d.p. dada por
f(XI8) = ~x(l-O)/O, a < x < 1, 8 > o.
Queremos testar Ho : 8 ~ 80 versus Hl : 8 > 80.
i) Encontre 0 teste UMP de nivel 0: (se existir).
ii) Se n = 2, 80 = 1 e 0: = 0, 05, encontre a regiao critica.
6.8. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria X ,.....,
N(0,0"2).
i) Encontre 0 teste UMP para testar Ho : 0"2 = 0"5 versus Hl : 0"2 > 0"5.
ii) Seja 0: = 0, as, n = 9 e 0"5 = 9, fac:;a0 grafico da func:;aopoder.
6.9. Sejam Xl, ... , Xn umaamostraaleatoriada variavel aleatoriaX ,.....,exp(8).
i) Encontre 0 teste da razao de verossimilhanc:;as generalizada para testar
ii) Se voce observar n = 5;Xl = 0,8;X2 = 1,3jx3 = 1,8;x4 = 0,ge X5 = 1,0,
qual a sua decisiio ao nivel de 5%?
6.10. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria X
N (/-LX, 9) e seja Yl, ... ,Yn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria Y
N(/-LY, 25), sendo as amastras independentes.
i) Determine a teste da RVG para testar
ii) Sendo n = 9, LXi = 3,4, m = 16, L Yi = 4,3. Qual a sua conclusao a urn
nivel de significancia de 5%?
6.11. Sejam Xl, ... , Xn uma amastra aleatoria da variavel aleatoria X ,.....,
Poisson(8d e sejam Yl, ... , Ym uma amastra aleatoria da variavel aleatoria
Y ,.....,Poisson(82) sendo as amastras independentes.
i) Encontre a teste da RVG(aproximada) para testar Ho : 81 = 82 versus Hl:
81 =f. 82.
ii) Senda n = 5, LXi = 3,8; m = 8; LYi = 4,8, qual a sua conclusaa a urn
nivel de significancia de 5%?
6.12. Sejam Xl, ... ,Xn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria X
exp(8d e sejam Yl, ... , Yn uma amostra aleatoria da variavel aleatoria Y
exp( (2), senda as amastras independentes.
i) Determine a teste mais paderaso para testar
iii) Se voce observar n = 5, x = 1,1; fj = 0,8, qual a sua decisao ao nfvel de
5%?
iv) Determine 0 teste da RVG para testar Ho : fh = 8z versus HI : 81 i- 8z.
v) Mostre que 0 teste acima e equivalente a urn teste F exato.
6.13. Discuta a obten<;ao dos estimadores de maxima verossimilhan<;a dados
em (6.5.5). Suponha que em uma popula<;ao com tres tipos de indivfduos, temos
para uma amostra de n = 100 indivfduos, nl = 24 do tipo 1, nz = 47 do tipo
2 e n3 = 24 do tipo 3. Verifique ao nfvel de 5% se a distribui<;ao dos tipos de
indivfduos na popula<;ao segue 0 equilibrio de Hardy-Weinberg.
6.14. Discuta a implementa<;ao de urn procedimento (teste) para verificar se
urn dado e equilibrado, ou seja, para testar Ho : 81 = ... = 86 sendo que n
lan<;amentos do dado apresenta ni ocorrencia da face i, i = 1, ... ,6. Sendo
n = 120, nl = 23, n2 = 18, n3 = 15, n4 = 21, n5 = 27 e n6 = 16, qual sua
decisao ao nfvel de 5%?
6.15. Urn modelo genetico para a distribui<;ao dos tipos de sangue 1, 2, 3 e 4,
especifica as propor<;6es 81 = p(1;8) = (2 + 8)/4,82 = p(2;8) = (1- 8)/4 =
83 = p(3;8) e 84 = p(4;8) = 8/4. Uma amostra de n = 100 indivfduos da
popula<;ao apresenta nl = 65, n2 = 6, n3 = 8 e n4 = 21. Verifique se os dados
obtidos suportam 0 modelo genetico acima para a distribui<;ao dos tip os de
sangue na popula<;ao de onde foi selecionada a amostra.
6.16. Desenvolva 0 teste da razao de verossimilhan<;as generalizada para testar
Ho : /3 = /30 versus HI : /3 i- /30 no modelo de regressao descrito no Exercfcio
2.12.
6.17.0 teste t pareado. Sejam (X1,Yd, ... ,(Xn,Yn) uma amostra aleat6ria
da variavel aleat6ria bidimensional (X, Y) com distribui<;ao normal bivariada
como dada no Exemplo 2.4. Mostre que para testar Ho : J.Lx = J.Ly versus
HI: J.Lx i- J.Ly, 0 teste da razao de verossimilhan<;as generalizado apresenta
regiao crftica dada por
A* = {d' Jnldl > c}
, Sd '
- n 2 ",n - 2onde d = Li=l ddn e Sd = L..-i=l(di - d) /(n - 1).
1. BICKEL, P.J. e DOKSUM, K.A. (1977). Mathematical Statistical. Basic Ideas
and Selected Topics. Holden-Day.
2. BUSSAB, W.O. e MORETTIN, P.A. (1987). Estatistica Basica. Siio Paulo: Atual.3. DEGROOT, M.H. (1989). Probability and Statistics. New York: Addison-Wesley.
4. FELLER, W. (1976). Probabilidades. Siio Paulo: Edgard Blucher.
5. JAMES, B.R. (1981). Probabilidade: Um Curso em Nivel Intermediario. Rio de
Janeiro: Livro Tecnico.
6. LEHMANN, E.L. (1986). Testing Statistical Hypotheses. Wiley: New York.
7. SEN, P.K. e SINGER, J.M. (1993). Large Sample Methods in Statistics. An In-
troduction with Applications. Chapman and Hall.
Amostra aleat6ria, 4
Amostras independentes, 40
Coeficiente de correlagao de Pearson, 29
Coeficiente de confianga, 76
Criterio da fatoragao de Neyman, 22, 24
Condig5es de regularidade, 16
Desigualdade da informagao, 18
Distribuigao assint6tica, 45
Distri buigao
beta, 67
binomial, 2
binomial negativa, 66
quiquadrado, 73
exponencial, 1
F,83
gama,67
poisson, 2
normal, 1
normal bivariada, 28
t de Student, 73
uniforme,3
Distribuic,;ao a priori, 61
Distribuic,;ao a posteriori, 63
Eficiencia, 15
Equac,;ao de verossimilhanc,;a, 36
Equilibrio de Hardy-Weinberg, 112
Erro quadnitico medio, 6
Erro do tipo I, 93
Erro do tipo II, 93
Espac,;o parametrico, 5
Espac,;o das ac,;6es,57
Estatistica, 5
Estatisticas equivalentes, 24
Estatistica quiquadrado de Pearson, 112
Estatistica suficiente, 20,23
Estimador, 6
Estimador assintoticamente nao viciado, 6
Estimador inadimissivel, 7, 59
Estimador linear, 8
Estimador de maxima verossimilhanc,;a, 36
Estimador nao viciado, 6
Estimador nao viciado e de variancia uniformemente minima, 30
Estimadores consistentes, 52
Familias exponenciais, 25, 27, 49
Func;ao de densidade de probabilidade, 4
Func;ao escore, 16
Func;ao geradora de momentos, 74
Funcao de perda, 57
Func;ao de perda quadnitica, 58, 63
Func;ao de perda do valor absoluto, 58
Func;ao de poder, 101
Func;ao de probabilidade, 4
Func;ao de risco, 58
Func;ao de verossimilhanc;a, 5
Hipotese alternativa, 94, 100, 102
Hipotese estatistica, 92
Hipotese nula, 92, 94
Inferencia estatistica, 4
Informac;ao de Fisher, 17
Interpretac;ao frequentista, 80
Intervalo de confianc;a bayesiano, 85, 114
Intervalo de densidade a posteriori maxima, 86
Intervalo simetrico, 80
Media amostral, 5
Multiplicador de Lagrange, 9
Metodo dos momentos, 50
Nivel de significancia, 100
I'Jfvel deseritivo, 100
Poder de urn teste, 93
Popula<;ao, 4
Principio da invariancia, 43
Principio de Bayes, 61
Principio minimax, 60
Procedimento iterativo de Newton-Rapson, 40
Regiao de aceita<;ao, 92
Regiao cri tica, 92
Regiao de rejei<;ao, 92
Risco de Bayes, 58
Suporte de uma distribuiQao, 1
Serie de Taylor, 40
Teorema de Lehmann-Scheffe, 31
Teorema de Rao-Blackwell, 30
Teoria das decisoes, 58
Teoria dos jogos, 58
Testes de hipoteses, 4, 91
Testes mais poderosos, 94
Testes uniformemente mais poderosos, 100
Variancia amostral, 5
VerossimilhanQa perfil ada, 47