Distribuição Normal I: Propriedades e Padronização

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Prof.: Duarte
Aula 11
Distribuição Normal
I Introdução
De todas as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, a mais importante é a distribuição normal. Ela abrange um grande número de fenômenos e oferece base para se relacionar com estatística clássica devido à sua afinidade com o teorema do limite central.
Seja uma variável aleatória X que varia de , e assume os valores x1, x2. x3, .... , xn.
No caso de a distribuição ser normal a função de densidade da probabilidade (fdp) é:
Distribuição Normal
I Introdução
Onde: x são os pontos da função, variam de ;
 m é a média aritmética e s é o desvio padrão.
Felizmente, não precisamos usar esta fórmula, uma vez que podemos trabalhar com padronização de dados, usando apenas uma tabela para calcular a integral de f(x).
Distribuição Normal
I Introdução
O gráfico da função de densidade da probabilidade será: 
II Propriedades de uma distribuição normal
1. A média aritmética, a mediana e a moda são iguais.
2. Graficamente, a distribuição tem a forma de um sino, simétrico em torno da média. A curva recebe o nome de curva normal ou curva de Gauss.
3. Você aprenderá em Cálculo II que a integral de uma função f(x) fornece a área sob a curva. A equação 1 é a função de densidade de probabilidade e, portanto, a área total sob a curva tem valor 1, ou seja, a probabilidade é 100%. Devido a simetria da curva, cada lado da média aritmética vale 0,5.
4. A medida que x se afasta da média aritmética a curva aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-la.
5. Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos: 
II Propriedades de uma distribuição normal
6. Na distribuição normal temos:.
a) o intervalo ]m – s , m + s[ contém aproximadamente 68,27% dos valores da série.
II Propriedades de uma distribuição normal
b) o intervalo ]m – 2s , m + 2s[ contém aproximadamente 95,45% dos valores da série.
c) o intervalo ]m – 3s , m + 3s[ contém aproximadamente 99,73% dos valores da série.
7. Numa distribuição normal temos dois pontos de inflexão (onde a curva inverte a concavidade), um quando m – s e outro quando m + s.
II Propriedades de uma distribuição normal
Para cada valor de m e de s temos um gráfico diferente. Na figura abaixo temos três exemplos.
III Padronização da Distribuição Normal.
Como dependendo do valor de m e de s temos infinitos gráficos teríamos de calcular a integral da equação 1 para cada um dos casos, ou seja, não daria para fazer uma única tabela que resolveria todos os cálculos da probabilidade.
III Padronização da Distribuição Normal.
Para facilitar vamos padronizar, tomando a média aritmética como 0 e o desvio padrão 1. Com isso teremos um único gráfico e podemos fazer uma única tabela de integral, que será usada para todos os exercícios.
Vamos substituir a variável x por outra z, tal que: 
III Padronização da Distribuição Normal.
O gráfico da distribuição de z será:
A área em baixo desse gráfico, que dá a probabilidade, também será igual a 1.
III Padronização da Distribuição Normal.
Agora tendo a média aritmética fixa em 0 e o desvio padrão fixo em 1 teremos um único gráfico e podemos, então, fazer uma tabela que nos dê o resultado da integral, que é a probabilidade P(Z), para vários intervalos de z. Veja essa tabela, ela está impressa no final da aula.
Se integramos a fdp de 0 a z teremos a probabilidade de Z estar entre 0 e z, ou seja: 
IV Exercícios:
1) Na figura abaixo a área A1 é a probabilidade de Z estar entre 0 e 2, ou seja, 
IV Exercícios:
Para calcularmos essa probabilidade basta olhar na tabela, que está impressa no final desta aula. Devemos encontrar onde está 2,00. Procuramos na primeira coluna da esquerda (z) onde está a unidade e a primeira casa decimal, ou seja, 2,0. 
z
0
1
2
3
4
......
.
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
.
IV Exercícios:
A seguir devemos achar na primeira linha de cima (z) onde está a segunda casa decimal, ou seja, 0. Na intersecção entre a linha 2,0 e a coluna 0 teremos a resposta. Nesse caso o resultado é 0,4772. 
z
0
1
2
3
4
......
.
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
.
IV Exercícios:
Tendo-se esse número basta multiplicá-lo por 100 e teremos a probabilidade:
z
0
1
2
3
4
......
.
1,5
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
1,6
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
1,7
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
1,8
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
1,9
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
2,0
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
2,1
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
2,2
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
.
IV Exercícios:
2) Na mesma figura a área A2 é a probabilidade de Z estar entre – 2 e 0 , ou seja:
IV Exercícios:
Como a área está do lado negativo de z devemos calcular a área correspondente do lado positivo, por simetria elas são iguais, na figura A2 = A1. Deste modo temos: 
IV Exercícios:
Como já calculamos , então, ficamos com: 
IV Exercícios:
Como você deve ter observado é simples, achamos a probabilidade sem ter de calcular nenhuma integral.
Mas usamos a distribuição normal padronizada, onde a média aritmética é zero e o desvio padrão é um. Vamos fazer alguns exercícios onde a média aritmética não é 0 e nem o desvio padrão é 1.
IV Exercícios:
Para resolver o problema devemos transformar para a distribuição normal padronizada, convertendo a variável x na variável z.
Quando
Quando
3) Uma marcenaria fabrica blocos de madeira com com-primento médio m = 20,0 cm e desvio padrão s = 0,4 cm.
Sendo a distribuição normal determine a probabilidade de um bloco ter de 20,0 cm até 20,5 cm.
IV Exercícios:
A probabilidade a ser calculada será: 
Agora calculamos 
Quando
Quando
3) Uma serralheria fabrica blocos de madeira com com-primento médio m = 20,0 cm e desvio padrão s = 0,4 cm.
Sendo a distribuição normal determine a probabilidade de um bloco ter de 20,0 cm até 20,5 cm.
IV Exercícios:
Temos z = 1,25. Procuramos na tabela 1,2 na primeira coluna da esquerda e 5 na primeira linha de cima, na intersecção encontramos o valor da área. Multiplicamos o resultado por 100 teremos a resposta do problema.
z
...
4
5
6
...
1,0
...
0,3508
0,3531
0,3554
...
1,1
...
0,3729
0,3749
0,3770
...
1,2
...
0,3925
0,3944
0,3962
...
1,3
...
0,4099
0,4115
0,4131
...
1,4
...
0,4251
0,4265
0,4279
...
IV Exercícios:
4) Funcionários de uma fábrica montam uma peça em um tempo médio de 45,2 s com um desvio padrão de 0,6 s. Sabendo que a distribuição é normal calcule a probabilidade de uma peça ser montada num tempo de 44,3 s até 45,2 s
;
Devemos calcular:
IV Exercícios:
A solução do exercício é a área A1 da figura.
Como a área está do lado negativo de z devemos calcular a área correspondente do lado positivo (A2), por simetria elas são iguais. Deste modo temos: 
Na tabela vemos que a resposta está na intersecção da linha 1,5 com o coluna 0 e é 0,4332. Multiplicando por 100 temos a resposta: 
IV Exercícios:
5) Em uma
turma de 400 estudantes a altura tem média aritmética de 1,75 m com um desvio padrão de 0,15 m. Supondo a distribuição normal calcule quantos desses alunos tem altura de 2 m ou mais.
IV Exercícios:
Agora temos um problema, a tabela nos fornece a probabilidade de 0 até 1,67 (A2 na figura) enquanto a resposta é a probabilidade de ser igual ou maior que 1,67 (A1 na figura).
Sabemos que a soma das áreas A1 e A2 é igual a metade da área total sob a curva, ou seja, 0,5 (50%), portanto temos:
Devemos primeiro calcular A2, para isso vamos localizar na tabela 1,67. Vendo na tabela temos que é a intersecção da linha 1,6 com a coluna 7. O resultado encontrado é 0,4525. Substituindo temos:
IV Exercícios:
Concluímos que 4,75% dos estudantes têm altura igual ou maior que 2 m. Agora basta calcular 4,75% dos 400 estudantes.
IV Exercícios:
6) As médias do 1o bimestre, de uma turma de 64 alunos de Probabilidade e Estatística, tiveram uma distribuição normal, sendo o valor médio aritmético 5,8 e o desvio padrão 1,5. Determine:
a) quantos alunos tiveram nota igual ou menor que 3,5?
b) qual a Moda e a Mediana?
IV Exercícios:
a) Por simetria A1 = A2.
Do gráfico tiramos que: 
Devemos começar calculando A3, para isso devemos encontrar 1,53 na tabela. Na intersecção da linha 1,5 com a coluna 3 encontramos 0,4370. Substituindo na equação anterior temos: 
Portanto 
Agora vamos calcular 6,3% de 64 alunos: 
Temos aproximadamente 4 alunos com nota bimestral igual ou menor que 3,5.
IV Exercícios:
b) Quanto vale a média, a moda e a mediana?
Como é uma distribuição normal a média é igual a moda e a mediana: 
IV Exercícios:
7) Joãozinho, aquele mesmo das piadas, teve de fazer um estágio na Oceania, onde ficaria por um ano. 315 dias após o último “contato” com sua mulher ele recebe um e-mail de um “amigo” relatando que sua esposa deu a luz naquele dia. Sabendo que os prazos de gravidez têm distribuição normal, com média aritmética de 268 dias e desvio padrão de 15 dias, você acha que Joãozinho deve ficar preocupado?
Devemos calcular a probabilidade de uma criança nascer em 315 dias ou mais de gestação ou seja: 
IV Exercícios:
Sabemos que a soma das áreas A1 e A2 é igual a metade da área total sob a curva, ou seja, é 0,5 (50%), portanto temos:
Vamos calcular A2, para isso vamos localizar na tabela 3,13. Olhando na tabela vemos que a intersecção da linha 3,1 com a coluna 3 é 0,4991. Substituindo temos:
A probabilidade da criança nascer com 315 dias ou mais de gravidez é 0,09%.
É ... Joãozinho deve ficar muito preocupado .....
IV Exercícios:
8) Sabe-se que uma bateria de automóvel dura em média de 3 a 4 anos. Suponha que a distribuição desse tempo de vida útil seja normalmente distribuída, com uma média aritmética de 42 meses e um desvio padrão de 6 meses. Determine a probabilidade da bateria de seu carro durar de 30 meses até 50 meses.
A variação é de x1 = 30 meses a x2 = 50 meses. Devemos trocar ambos pela variável z.
IV Exercícios:
Observando a figura vemos que A1 está na parte negativa de z enquanto A2 está na positiva. Vamos ter de separar as áreas.
Como vimos 
Para calcular de A1 vamos procurar 2,00 na tabela. Na intersecção linha 2,0 com a coluna 0 temos 0,4772: A1 = 0,4772.
Para calcular de A2 vamos procurar 1,33 na tabela. Na intersecção linha 1,3 com a coluna 3 temos 0,4082: A2 = 0,4082.
IV Exercícios:
9) No exercício anterior qual a probabilidade de uma bateria durar de 48 meses até 50 meses?
A variação é de x1 = 48 meses até x2 = 50 meses. Devemos trocar ambos pela variável z.
Observe na figura que área A é igual a área para z variando de 0 até 1,33 (A1) menos a área para z variando de 0 até 1 (A2). Temos: 
IV Exercícios:
Para calcular de A1 vamos procurar 1,33 na tabela. Na intersecção linha 1,3 com a coluna 3 temos 0,4082: A1 = 0,4082.
Para calcular de A2 vamos procurar 1,00 na tabela. Na intersecção linha 1,0 com a coluna 0 temos 0,3413: A2 = 0,3413.
Portanto: