Distribuições de Probabilidade Contínuas

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Distribuições de 
Probabilidade Contínuas
Uniforme Contínua
Exponencial
Normal
Variáveis Aleatórias Contínuas
Ocorrem quando a variável que está sendo medida é expressa em uma
escala contínua, como no caso de uma característica dimensional.
Ocorrem em experimentos que requerem medidas como por
exemplos: tensão elétrica, pressão (força/área), ...
Ex.-> Distribuição Normal.
As probabilidades são especificadas em termos de intervalos, pois a 
probabilidade associada a um número específico é zero. 
A Função Densidade de Probabilidade
• 𝐶1) 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ.
• 𝐶2) ׬ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
• OBS: Temos área zero sob qualquer valor individual, isto é:
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝑂 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 é 𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Para que f(x), seja fdp deve satisfazer
•𝑓 𝑥 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑥
∞−׬•
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = á𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑓 𝑥 = 1
Distribuição de Probabilidade ou 
densidade de probabilidade (fdp)
• Seja X uma variável contínua, então, uma função f(x) tal que, para
quaisquer dois números a e b com a≤b,
• A Probabilidade de X ter um determinado valor no intervalo [a,b] é a
área contida entre e abaixo da curva da função densidade.
Exemplo
• Arqueólogos estudam uma certa região e estabeleceram um modelo 
teórico para a V.a X: comprimento de fósseis da região (em cm), com 
a seguinte função.
• 𝑓 𝑥 = ൝
1
40
𝑥
10
+ 1 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 20
0 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• Dessa forma verifique se 𝑓 𝑥 é função densidade de probabilidade.
Se X é uma V.a contínua então:
1) 𝑓 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝐹(𝑥)
2) P(a < x < b) = ׬𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Ou seja :
Se X for uma V.a contínua 
com fdp f(x), então:
•FDA
•𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ∞−׬
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Exemplo
• Se X= comprimento de fósseis da região (em cm), com a seguinte 
função.
• 𝑓 𝑥 = ൝
1
40
𝑥
10
+ 1 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 20
0 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• Temos que analisar
Se x < 0 Se 0 ≤ 𝑥 < 20 Se 20 ≤ x
Assim temos 
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = න
−∞
𝒙
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
• Se 𝒙 < 𝟎
• Se 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐𝟎
• Se 𝒙 ≥ 𝟐𝟎
න
−∞
𝒙
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
න
−∞
𝟎
𝒇 𝒕 𝒅𝒕 + න
𝟎
𝒙
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
න
−∞
𝟎
𝒇 𝒕 𝒅𝒕 + න
𝟎
𝟐𝟎
𝒇 𝒕 𝒅𝒕 + න
𝟐𝟎
𝒙
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
Portanto
• 𝐹 𝑥 = ൞
0 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥
40
𝑥
20
+ 1 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 20
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 20
Distribuição Uniforme
• Uma variável contínua X é dita ter Distribuição Uniforme no intervalo 
[a, b] se a fdp X for :
•𝑓 𝑥; 𝑎, 𝑏 = ቐ
1
𝑏 −𝑎
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
A função distribuição acumulada
(fda) é dada por: 
Exemplo 1
• A direção de uma imperfeição em relação a uma linha de referência em um
objeto circular como um pneu, um rotor de freio ou um volante
normalmente apresenta alguma incerteza. Considere a linha de referência
que conecta a válvula do pneu até o ponto central e seja X: o ângulo
medido no sentido horário até o local da imperfeição. Uma (fdp) possível
de X é:
𝑓 𝑥 = ൝
1
360
0 ≤ 𝑥 ≤ 360
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• Qual é a probabilidade de o ângulo estar entre 90𝑜 𝑒 1800?
• Qual é a probabilidade de o ângulo de ocorrência estar dentro de 90𝑜 ?
Exemplo 1
• Suponha que a variável aleatória x representa o tempo de
voo de um avião. Suponha que o tempo de voo possa ter
qualquer valor no intervalo de 120 a 140 min. A função
densidade de probabilidade, a qual define a distribuição de
probabilidade correspondente à variável aleatória “tempo de
voo”, é:
• 𝑓 𝑥 = ൝
1
20
𝑝𝑎𝑟𝑎 120 ≤ 𝑥 ≤ 140
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• Qual é a probabilidade de o tempo de voo situar-se entre 120 a 130
minutos?
• Qual é a probabilidade de o tempo de voo situar-se entre 128 a 136
minutos?
Valor Esperada e Variância
• Valor esperado.
• 𝐸 𝑥 =
𝑎+𝑏
2
• Variância.
• 𝑉𝑎𝑟 𝑥 =
(𝑏−𝑎)2
12
No R
rm(list=ls())
Uniforme <- function(x){
fx <- ifelse(x < 0, 0, 1/360)
return(fx)
}
plot(Uniforme, 0, 360)
polygon(x=c(90,seq(90,180,l=20),180), y=c(0,Uniforme(seq(90,180,l=20)), 0), col="Gold")
text(140,0.0020, expression(p[paste("(90<X<180)")]))
integrate(Uniforme, 90, 180)
Problema 1
• Seja X o tempo de uma reserva de duas horas, na biblioteca de uma
faculdade, é examinado por um estudante selecionado
aleatoriamente e suponha que X tenha função de densidades
• 𝑓 𝑥 = ቊ
0,5𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• Calcule a probabilidade
• A) P(X≤ 1) 0,25
• B) P(0,5 ≤X≤ 1,5) 0,5
• C) P(1,5< 𝑋) 0,4375
Problemas 2
• Suponha que o erro envolvido ao se fazer uma certa medida seja
uma variável contínua X com Fdp
• 𝑓 𝑥 = ቊ0,09375 4 − 𝑥
2 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
• A) Faça o gráfico de f(x).
• B) Calcule P(x > 0). 0,52
• C) Calcule P(-1< 𝑥 <1). 0,688
• D) Calcule P(x< −0,5 𝑜𝑢 𝑥 > 0,5). 0,36
Problemas 3
• O tempo entre chegada de clientes em um banco durante o horário
de meio-dia e uma hora da tarde apresenta uma distribuição
uniforme entre 0 e 120 segundos. Qual é a probabilidade de que o
tempo entre a chegada de dois clientes venha a ser:
• Menor que 20 segundos? 0,1667
• Entre 10 e 30 segundos? 0,1667
• Maior que 35 segundos? 0,7083
• Quais são os valores para a média aritmética e o desvio padrão do
tempo entre as chegadas. 60 e 34,641
Problema 4
• Quanto tempo é necessário para que você baixe um jogo em seu
iPod? De acordo com o portal de suporte técnico da Apple,
www.apple.com/supportqitunes, baixe um jogo no iPod
utilizando uma conexão da banda larga deve levar de 3 a 6
minutos. Suponha que os tempos necessários para baixar jogos
esteja distribuídos de maneira uniforme, entre 3 e 6 minutos. Se
você baixar um jogo, qual é a probabilidade de que o tempo
necessário para isso ser.
• Menor que 3,3 minutos? 0,1
• Menor que 4 minutos? 0,333
• Entre 4 e 5 minutos? 0,333
• Quais são os valores para a média aritmética e o desvio padrão
dos tempos necessários para baixar jogos? 4,5 e 0,866
http://www.apple.com/supportqitunes
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
Variável Aleatória
•Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é
definida como o número de ocorrências em
determinado período, sendo a média das
ocorrências no período definida como . Na
distribuição exponencial a variável aleatória é
definida como o tempo entre duas ocorrências,
sendo a média de tempo entre ocorrências igual
a 1/.
Esquema comparativo
X é a distância/tempo entre contagens sucessivas de um processo de Poisson.
Exemplos
Dado um experimento aleatório e, de acordo com a v.a. X:
•Seja X o tempo entre as avarias de um equipamento.
•Seja X o tempo entre as chegadas de táxis a uma interseção movimentada.
•Seja X o tempo entre as chegadas de aeronaves a um aeroporto específico.
•Seja X a distância entre duas falhas sucessivas em uma fita magnética.
•Seja X a distância entre grandes buracos em uma rodovia movimentada.
Exemplo
• Se a média de atendimentos no caixa bancário é de  = 6
atendimentos por minuto, então o tempo médio entre atendimentos
é 1/ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.
Condição de aplicação do 
modelo exponencial
•O número de ocorrências deve seguir uma
distribuição de Poisson.
•Considerarmos a distribuição de Poisson como o
modelo para o número de ocorrências de um
evento no intervalo de [0, t], teremos:
O modelo da distribuição 
exponencial (fdp) é 
o seguinte.
0,)(   tetf t
 > 0
0,)(   tetf t
A média e o desvio-padrão 
da distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial Acumulada
Exemplo
•Suponha que uma máquina falhe em média uma
vez a cada dois anos. Nesse caso, o número
médio de falhas é:  = 1/2 = 0,5. Calcule a
probabilidade da máquina falhar durante o
próximo ano.
Exemplo
Dada a variável aleatória T = tempo de resposta na consulta a um
banco de dados (em minutos) com função densidade de probabilidade
(fdp) dada por:
• Calcule a probabilidade da consulta demorar mais que 3 minutos.
• Calcule a probabilidade da próxima consulta ocorrer no intervalo de 2 
a 3 minutos.
• Por exemplo, suponha que uma máquina
falhe em média uma vez a cada doisanos l=1/2=0,5.
Calcule a probabilidade da máquina falhar
durante o próximo ano.
Exemplo no R
• Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com 𝜆 = 2. 
Determine:
• 𝑃(𝑋 ≤ 0)
• 𝑃(𝑋 ≤ 1)
• 𝑃(𝑥 ≥ 2)
• 𝑃(1 < 𝑋 < 2)
• Encontre o valor de x tal que 𝑃 𝑋 < 𝑥 = 0.05
Solução
Problema 1
•Suponha que clientes cheguem a um caixa
eletrônico de um banco a uma taxa de 20 por
hora. Se o cliente acabou de chegar, qual é a
probabilidade de que o próximo cliente chegue
dentro de um intervalo de 6 minutos (ou seja 0,1
hora)? 0,8647
Problema 2
•No problema que trata do caixa eletrônico do
banco, qual é a probabilidade de que o próximo
cliente chegue dentro do limite de um intervalo
de 3 minutos (ou seja 0,05 hora)? 0,6321
Problema 3
•Dada a distribuição exponencial com 𝜆 = 5. qual
é a probabilidade de que o tempo de chegada
seja:
•Menor que x=0,1? 0,3935
•Maior que x=0,1? 0,6065
• Entre x=0,1 e x=0,2? 0,2386
•Menor que x=0,1 ou maior que 0,2? 0,859
Problema 4
•Os clientes chegam a uma cabine de
atendimento de uma lanchonete, a uma taxa de
2 por minuto, durante o horário do almoço.
•Qual é a probabilidade de que a próxima cliente
chegue dentro de 1 minuto?
•Qual é a probabilidade de que a próxima cliente
chegue dentro de 5 minuto?
Exercício 5
•Considere a seguinte função densidade de
probabilidade exponencial. 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟖
𝒆− Τ
𝒙
𝟖
•A) Encontre P(x≤6). 0,5276
•B) Encontre P(x≥6). 0,4724
•C) Encontre P(x≤ 4). 0,3935
•D) Encontre P(4 ≤x ≤ 6). 0,1341
Distribuição de Probabilidade 
Normal
Introdução
A distribuição Normal
Teorema Central do limite
Distribuição Normal Padrão
Cálculo de probabilidades da distribuição normal padrão
Função de distribuição Acumulada
Aplicações da Distribuição normal
Introdução
• Os itens produzidos em massa devem estar em
conformidade com uma dada especificação. Geralmente,
uma média é destinada, devido a erros aleatórios no
processo de produção, uma tolerância é estabelecida nos
desvios da média. Por exemplo, se produzirmos anéis de
pistão que têm um diâmetro interno médio de 45 mm, então
esperamos que o diâmetro se desvie apenas ligeiramente
deste valor. Os desvios do valor médio são frequentemente
modelados muito bem pela distribuição normal. Suponha
que nós decidimos que os diâmetros na faixa de 44,95 a
45,05 mm são aceitáveis, então qual proporção da saída é
satisfatória?
A distribuição normal
• A distribuição normal é o modelo mais amplamente utilizado para a
distribuição de uma variável aleatória. Há uma razão muito boa para
isso. Experimentos práticos envolvem medições e medições que
envolvem erros. No entanto, medidas imprecisas de todos os tipos
podem ocorrer. Por exemplo, se você estiver medindo um
comprimento usando um dispositivo bruto, como uma régua, poderá
encontrar erros decorrentes de:
• a calibração da régua em si;
• erros de arredondamento;
• erros de "adivinhação" se uma medição estiver entre dois
comprimentos marcados na régua.
• entre outros.
O teorema central do limite
• Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes 𝑋𝑖, 𝑖 = 1, 2,. . .
𝑛 cada um tendo uma distribuição com média 𝜇𝑖 e variância 𝜎𝑖
2 (𝜎𝑖
2
<∞), respectivamente, então a distribuição de X tem expectativa e
variância dada pelas expressões
• O teorema central do limite nos diz que, à medida que aumentamos o
tamanho desta amostra, a média amostral se aproximará cada vez
mais da média populacional.
Observe 
• Seja a variável aleatória X= "resultado de um dado não viciado", que 
pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sabemos que sua esperança 
populacional é
• ou seja, o resultado médio de se jogar o dado é 3,5. Sabemos 
também que a variância populacional é
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A2ncia
Função densidade
• A função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal
com média µ e variância 𝜎2 é dado pela fórmula
• Esta curva é sempre em forma de sino com o centro do sino
localizado no valor de µ. A altura do sino é controlada pelo valor de σ.
Como em todas as curvas normais de distribuição, é simétrico sobre o
centro e decai como x → ± ∞. Como em qualquer função de
densidade de probabilidade a área sob a curva é igual a 1.
Curvas normais para diferentes
valores de µ e σ
Descrição
• Uma distribuição normal é completamente definida especificando sua
média (o valor de µ) e sua variância (o valor de 𝜎2 ). A distribuição
normal com média µ e variância 𝜎2 pode ser escrita por
• Consequentemente a distribuição N (20, 25) tem uma média de 20 e
um desvio padrão de 5; lembre-se que o segundo parâmetro é a
variância que é o quadrado do desvio padrão.
• Uma variável aleatória X seguindo essa distribuição é geralmente
denotado por N (µ, 𝜎2 ) e muitas vezes escrevemos
Tabulação
• É notório que tanto µ como 𝜎2 podem variar,
assumindo infinitas distribuições normais. Também é
possível perceber que a integral para calcular a área
sob a curva normal é intratável. O fato é que acaba
por ser impossível tabular todas a distribuições
normais. Assim é tabulada uma única distribuição a
“normal padrão”.
A forma
•A distribuição normal é caracterizada por uma função
de probabilidade, cujo gráfico descreve uma curva em
forma de sino. Essa forma de distribuição evidencia
que há maior probabilidade de a variável aleatória
assumir valores próximos do centro.
A distribuição normal padrão
• Por simplicidade, devemos considerar o que é conhecido
como uma distribuição normal padrão que é obtido
escolhendo valores particularmente simples para µ e σ.
• A distribuição normal padrão tem uma média zero e uma
variância um.
• A Figura mostramos o gráfico da distribuição normal padrão
que tem função densidade de probabilidade
Variável normal padronizada 
• Se o comportamento de uma variável aleatória contínua X é
descrito pela distribuição N (µ, σ2) então o comportamento
da variável aleatória
é descrito pela distribuição normal padrão N (0, 1). E
chamamos Z a variável normal padronizada, a qual
escrevemos
Exemplo 1
• Se a variável aleatória X é descrita pela distribuição N (45,
0,000625), então. Qual é a transformação necessária para
obter a variável normal padronizada?
Exemplo 2
• Quando a variável aleatória X ∼ N (45, 0,000625) assume
valores entre 44,95 e 45,05, entre quais valores a variável
aleatória Z se encontra?
Exemplo 3
• A variável aleatória X segue uma distribuição normal com média igual
a 1000 e variância 100. Quando X aceita valores entre 1005 e 1010,
entre quais valores a variável normal padronizada Z está?
Probabilidades e a distribuição 
normal padrão
• Como a distribuição normal padrão é usada com tanta frequência,
uma tabela de valores foi produzida para nos ajuda a calcular as
probabilidades . Baseia-se no seguinte diagrama:
• Como a área total sob a curva é igual a 1, ela se segue da simetria da
curva que a área sob a curva na região Z > 0 é igual a 0,5. A área
sombreada é a probabilidade de que Z tome valores entre 0 e z1.
Quando "procuramos" um valor na tabela, obtemos o valor da área
sombreada.
A função de distribuição
acumulativa
• Sabemos que a função de densidade de probabilidade normal f (x) é
dada pela fórmula
e assim a função de distribuição cumulativa F (x) é dada pela fórmula
No caso da distribuição cumulativa para a curva normal padrão,
usamos a notação especial Φ(𝑧) e, substituindo 0 e 1 por µ e 𝜎2, nós
obtemos
A Forma
• A forma da curva é essencialmente em forma de 'S', conforme
mostrado na Figura. Observe que a curva é executada de −∞ para
+ ∞ . Como você pode ver, a curva se aproxima do valor 1
assintoticamente.
Comparação
• Comparando as integrais
• Veja que 
• e F(x) pode ser escrito como
• Já sabemos a partir da definição básica de uma função de
distribuição acumulada, que
• para que possamos escrever a declaração de probabilidade
acima em termos de Φ(𝑧) como
• O valor de Φ(𝑧) é medido de z = −∞ para qualquerordenada z = z1 e representa a probabilidade P (Z < z1)
Exemplo 4
• Qual é a probabilidade de Z ter valores entre 0 e 1,96?
pnorm(1.96, mean = 0, sd = 1)
0.9750021
0.9750021 - 0.5 = 0.4750021
Exemplo 5 
• Qual é a probabilidade de Z ter valores entre 0 e 1.9? (Consulte a
tabela probabilidades normais).
• A linha que começa com '1,9' e a coluna '0' é a escolha apropriada e
sua entrada é 0.9713. Essa é a probabilidade acumulada, mas
sabemos que a área contida de −∞ a 0 corresponde a 0.5, então
basta calcular 0.9713 – 0.5 = 0.4713 A interpretação é que a
probabilidade de Z ter valores entre 0 e 1.9 é 0,4713.
Exemplo 6 
• Qual é a probabilidade de Z ter valores entre 0 e 1.965?
• Não há entrada correspondente a 1.965, por isso tomamos a média
dos valores para 1,96 e 1,97.
• (Esta interpolação linear não é estritamente correta, mas é aceitável.)
• Os dois valores são 4750 e 4756 com uma média de 4753. Portanto, a
probabilidade exigida é de 0,4753.
No R
(0.9750+0.9756)/2-0.5
0.4753
Exercícios
• Quais são as probabilidades de Z ter valores entre:
• a) 0 e 2
• B) 0 e 2.3
• C) 0 e 2.33
• D) 0 e 2.333
• Solução
Calculando outras probabilidades
• Agora, vemos como calcular probabilidades representadas por outras 
áreas além daquelas anteriores:
• Caso 1) A região sombreada pode ser representada pela diferença 
entre duas áreas sombreadas.
Exemplo 7 
• Encontre a probabilidade de Z ter valores entre 1 e 2.
Caso 2)
• O diagrama a seguir ilustra o procedimento a ser seguido ao
encontrar probabilidades do tipo P (Z > z1).
• Desta vez, a área sombreada é a diferença entre a metade
direita do total área e uma área que pode ser lida da Tabela
1.
Exemplo 8
• Qual é a probabilidade de Z > 2.
No R
1-pnorm(2)= 0.02275013
Caso 3
• Aqui nós consideramos o procedimento a ser seguido no
cálculo das probabilidades da forma P (Z < z1). A área
sombreada é a soma da metade esquerda da área total e de
uma área "padrão".
• Exemplo 9: Qual é a probabilidade de que Z < 2?
Caso 4
• Aqui nós consideramos o que precisa ser feito ao calcular as 
probabilidades de P (−z1 < Z < 0 ).
• Exemplo 10: Qual é a probabilidade P (− 2 < Z < 0 ).
No R
0.5 -pnorm(-2)
0.4772499
Caso 5
• Quando consideramos probabilidades da forma P (−z2 < Z < z1).
• Exemplo 11 : Qual é a probabilidade de Z estar entre -1 e 2. 
Exercícios 
• Encontre as seguintes probabilidade:
Exercícios
• 1) Se uma variável aleatória X tiver uma distribuição normal padrão, 
encontre a probabilidade de que ela ter um valor:
• A) menor que 2.00;
• B) maior que 2.58;
• C) entre 0 e 1.00;
• D) entre -165 e 0.84;
• 2) Se X tiver uma distribuição normal padrão, encontre k em cada um 
dos seguintes casos:
Solução
Aplicações da distribuição normal
• Sabemos que a função de densidade de probabilidade de
uma variável aleatória X que segue um distribuição normal é
• Com curva sempre "em forma de sino" com o centro do sino
localizado no valor de µ. A altura do sino é controlado pelo
valor de σ.
• Vamos analisar agora, como as probabilidades relacionadas a
uma distribuição normal de X são determinadas. Vamos ver
que ser capaz de calcular as probabilidades de uma
distribuição normal padrão Z é crucial para as aplicações a
seguir.
Exemplo de aplicação 1
• Os dados de uma pesquisa mostram algumas informações sobre o
tempo de cirurgias para reconstrução ACL em hospitais com alto
volume de cirurgia. A partir dos dados foram calculados, o tempo
médio de 129 minutos com um desvio padrão de 14 minutos.
• a) Qual é a probabilidade de uma cirurgia ACL, em um hospital com
alto volume de cirurgias, requerer um tempo maior do que dois
desvios-padrão acima da média?
• b) Qual é a probabilidade de uma cirurgia ACL, em um hospital com
alto volume de cirurgias ser completada em menos de 100 minutos?
• c) Em qual tempo a probabilidade de uma cirurgia ACL em um
hospital com alto volume de cirurgias é igual a 0.95?
• d) Se uma cirurgia requer 199 minutos, o que você conclui sobre o
volume de tais cirurgias em um hospital? Explique.
Solução a)
• a) Qual é a probabilidade de uma cirurgia ACL, em um hospital com
alto volume de cirurgias, requerer um tempo maior do que dois
desvios-padrão acima da média?
Solução b)
• b) Qual é a probabilidade de uma cirurgia ACL, em um hospital com
alto volume de cirurgias ser completada em menos de 100 minutos?
Solução c)
• c) Em qual tempo a probabilidade de uma cirurgia ACL em um
hospital com alto volume de cirurgias é igual a 0.95?
Exemplo
• Numa ilha existem três modelos de automóveis disponíveis para compra, um de
cada uma das seguintes marcas: A, B e C. Segundo os fabricantes, e tendo em
conta as características da rede de estradas local, o consumo dos referidos
automóveis (em litros aos cem km) é caracterizado pelas seguintes distribuições:
• A∼N(10,12) B∼N(11,1.52) C∼N(8,1.252)
• a) Um determinado Senhor, residente da ilha, possui um automóvel da marca C,
dois da marca A e três da marca B. O referido Senhor tem por costume escolher
na segunda-feira de manhã o automóvel que vai utilizar ao longo da semana.
• b) Sabendo que na última semana o automóvel utilizado gastou em média mais
de 10 litros (aos cem km), calcule a probabilidade de ter sido um automóvel da
marca A o escolhido.
• c) Qual a probabilidade de o consumo de um automóvel da marca C ser pelo
menos 1 litro inferior ao consumo de um automóvel da marca A?
Exemplo
• Numa ilha existem três modelos de automóveis disponíveis para compra, um de
cada uma das seguintes marcas: A, B e C. Segundo os fabricantes, e tendo em
conta as características da rede de estradas local, o consumo dos referidos
automóveis (em litros aos cem km) é caracterizado pelas seguintes distribuições:
• A∼N(10,12) B∼N(11,1.52) C∼N(8,1.252)
• a) Um determinado Senhor, residente da ilha, possui um automóvel da marca C,
dois da marca A e três da marca B. O referido Senhor tem por costume escolher
na segunda-feira de manhã o automóvel que vai utilizar ao longo da semana.
• b) Sabendo que na última semana o automóvel utilizado gastou em média mais
de 10 litros (aos cem km), calcule a probabilidade de ter sido um automóvel da
marca A o escolhido.
• c) Qual a probabilidade de o consumo de um automóvel da marca C ser pelo
menos 1 litro inferior ao consumo de um automóvel da marca A?
Exemplos
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X
a sua altura, em centímetros. Representar o evento:
“o estudante selecionado ter 180 cm ou mais” (X ≥
180) e a probabilidade deste evento: P(X ≥ 180).
Exemplo 2
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um
estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura,
em centímetros. Admitindo que nesta universidade os
estudantes têm altura média de 170 cm com desvio-padrão
de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter
altura superior a 185 cm?
Com base na tabela da normal padronizada, 
calcular: 
Exemplo
Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão.
Vamos utilizar a Tabela Z para encontrar as seguintes
probabilidades:
A) P(Z < 0,42).
b) P(Z < -0,42). 
c) P(-0,42 < Z < 0,42) 
Na distribuição normal padrão, qual é o valor de z,
tal que P(-z < Z < z) = 0,95? 
• Dados indicam que o tempo necessário para download de um vídeo é
distribuído nos moldes de uma distribuição normal, com uma média
aritmética µ = 7 segundos e um desvio padrão 𝜎 = 2 segundos. Toda a
medição X tem uma medição padronizada correspondente Z.
• Um tempo de download de 9 segundos é equivalente a 1 unidade
padronizada, acima da média aritmética.
Problema 1
• A produção em gramas de um processo de fabricação de corante tem
distribuição normal com média 1500 e desvio padrão 50. A produção
de um determinado período é 1568 gramas. Determine Z.
• Qual é a probabilidade de a quantidade em gramas ser menor que
1568 gramas?91,3%
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
Problema 2
• Qual é a probabilidade de que o tempo de download de umvídeo na
Web venha a ser maior que 9 segundos. Sabendo que a média é 7
segundos e que o desvio padrão seja 2. 15,8%
Problema 3
• Qual é a probabilidade de que o tempo de download de um
vídeo na web esteja abaixo de 7 segundo ou acima de 9
segundos? 65,9%
Problema 4
• Qual é a probabilidade de que o tempo de download de um vídeo na
Web esteja entre 5 segundo e 9 segundos. 68,2%
Problema 5
•Os depósitos efetuados no Banco XX durante o mês de
janeiro são distribuídos normalmente, com média de
R$ 10.000,00 e desvio padrão de R$ 1.500,00. Um
depósito é selecionado ao acaso dentre todos os
referentes ao mês em questão. Encontrar a
probabilidade de que o depósito seja:
•A) R$ 10.000,00 ou menos. 50%
•B) pelo menos R$ 10.000,00. 50%
•C) Um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00.
Problema 6
•As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm
distribuição aproximadamente normal, com média
170 cm e desvio padrão 5 cm.
•A) Qual é o número esperado de alunos com altura
superior a 165 cm? 84,13% e 8413 alunos.
Problema 7
• Suponha que a força que age sobre uma coluna que
ajuda a suportar um edifício tenha distribuição normal
com média 15,0 kips desvio padrão 1,25 kips. Qual é a
probabilidade de a força:
•A) Ser no máximo 18 kips? 0,9918
•B) Estar entre 10 e 12 kips?
•C) Diferir de 15 por no máximo 2 desvios padrão?
0,9544
#====== Normal ========= Exemplo 4
fn <- function(x){
fx <- (1/sqrt(2*pi*1)) * exp((-1/2) * (x - 0)^2)
return(fx)
}
x <- seq(-4, 4, l=200)
Px <- fn(x)
plot(x,Px, type = "l",xlab = "Z")
polygon(x=c(-4,seq(-4,1.9,l=20),1.9), y=c(0,fn(seq(-4,1.9,l=20)), 0), col="Gold")
text(0, 0.2, expression(p[paste("(Z<1.9)")]))
polygon(x=c(0,seq(0,1.9,l=20),1.9), y=c(0,fn(seq(0,1.9,l=20)), 0), col="rosybrown4")
text(0.7, 0.15, expression(p[paste("(0 < Z<1.9)")]))
#====== Normal ========= Exemplo 5
fn <- function(x){
fx <- (1/sqrt(2*pi*1)) * exp((-1/2) * (x - 0)^2)
return(fx)
}
x <- seq(-4, 4, l=200)
Px <- fn(x)
plot(x,Px, type = "l",xlab = "Z")
polygon(x=c(-4,seq(-4,1.96,l=20),1.96), y=c(0,fn(seq(-4,1.96,l=20)), 0),
col="Gold")
text(0, 0.2, expression(p[paste("(Z<1.96)")]))
polygon(x=c(0,seq(0,1.96,l=20),1.96), y=c(0,fn(seq(0,1.96,l=20)), 0),
col="rosybrown4")
text(2.7, 0.15, expression(p[paste("(0 < Z<1.96)")]))
(#============== Analise das curva ============================
# variando a média e o desvio
x <- seq(-5,10,length.out = 10000)
fx <- dnorm(x,2,2)
plot(x, fx, ylab=expression(paste(f(x))), type = "l", ylim=c(0,0.5), xlim=c(-5,10), axes=FALSE)
axis(1,-5:10); axis(2)
segments(2,0,2,dnorm(2,2,2), lty=3)
fz <- dnorm(x,0,1)
lines(x,fz,col="blue")
segments(0,0,0,dnorm(0), lty=3, col="blue")
fy <- dnorm(x,2,3)
lines(x,fy,col="red")
segments(2,0,2,dnorm(2,2,3), lty=3, col="red")
legend("topright", c(expression(N(2,4),N(0,1),N(2,9))), col=c("black", "blue", "red"), lty=c(1,1,1), bty="n", inset=0.05)