AULA12REVISAOa196712

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Prof. Duarte - Aula 12 página 1 
 Probabilidade e Estatística – Aula 12 Prof.: Duarte 
 
 
REVISÃO 
 
Basicamente uma estatística pode ser feita com variáveis discretas (números) ou variáveis contínuas (intervalos). 
 
I – Variáveis discretas 
 
Neste caso os dados estatísticos xi são números. 
 
Suponha que num estudo da idade de estagiários de uma fábrica, você obteve dados estatísticos e fez os cálculos, 
encontrando a tabela abaixo. 
 
Idade em anos (xi) Número de estagiários (fi) xi . fi Fi 
ix
 
ii fx 
 
i
2
i f)x( 
 
18 5 90 5 1,9 9,5 18,05 
19 7 133 12 0,9 6,3 5,67 
20 8 160 20 0,1 0,8 0,08 
21 6 126 26 1,1 6,6 7,26 
22 4 88 30 2,1 8,4 17,64 
 30 597 # # 31,6 48,7 
 
 
Depois de completar a tabela sempre começamos calculando a média aritmética . 
 



n
f.x ii

30
597 anos 90,19
 
 
De posse desses dados podemos, simplesmente aplicando as fórmulas correspondentes, calcular: Desvio Médio 
Simples (DMS), Variância (
2
), o Desvio Padrão () e o Coeficiente de Variação (CV). 
 




n
fx
DMS
ii

30
6,31
DMS
anos 05,1DMS
 
 
 




n
fx i
2
i2

30
7,482
22 (anos) 62,1
 
 
 2  62,1 anos 27,1
 
 



CV 
9,19
27,1
CV
 Devemos multiplicar por 100 para ficar em porcentagem 

 
%38,6CV 
 
 
Para calcularmos a Moda Mo ou qualquer medida de posição (Mediana, Quartil, Decil. Percentil) devemos antes 
determinar em que linha (classe) ela se encontra. 
 
A moda é o mais simples, ela está na classe (linha) de maior frequência. A moda é o xi dessa linha. 
 
No exemplo a maior frequência é 8, que está na terceira linha (terceira classe) e corresponde a 20. 
anos 20Mo 
 
 
Para calcular qualquer medida de posição (Mediana, Quartil, Decil. Percentil) devemos primeiro determinar qual a 
respectiva Frequência Acumulada (Fi) e, com ela, localizamos em que classe (linha) ele está. 
 
 
 
 
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Vamos calcular o Q3. O terceiro quartil corresponde a 75%. 
 
 
 
Devemos determinar em que classe (linha) ele está. Para isso calculamos 75% dos dados estatísticos usando a 
fórmula: 



100
ni
F75 


100
3075
F75
5,22F75 
 
Olhando a tabela vemos que a frequência acumulada 22,5 está na quarta classe (linha) que vai de F = 21 até 26. O 
valor de xi nessa classe é 21 anos, portanto temos: 
anos 21Q3 
 
 
 
Vamos calcular o D6. Como sempre começamos vendo, pela frequência acumulada, em que classe está. O Decil 6 
corresponde a 60%. 
 
 
Calculamos: 



100
ni
F60 


100
3060
F60
18F60 
 
Olhando a tabela vemos que a frequência acumulada 18 está na terceira classe (linha) que vai de F = 13 até 20. O 
valor de xi nessa classe é 20 anos, portanto temos: 
anos 20D6 
 
 
 
Vamos calcular o P40. Como sempre começamos vendo, pela frequência acumulada, em que classe está. O Percentil 
40 corresponde a 40%. 
 
 
Calculamos: 



100
ni
F40 


100
3040
F40
12F40 
 
Olhando a tabela vemos que a frequência acumulada 12 está na segunda classe (linha) que vai de F = 6 até 12. O 
valor de xi nessa classe é 19 anos, portanto temos: 
anos 20P40 
 
 
 
A Mediana divide os dados estatísticos ao meio, portanto corresponde ao Percentil 50%. 
Calculamos: 



100
ni
FF 50MEDIAN 


100
3050
F50
15F50 
 
Olhando a tabela vemos que a frequência acumulada 15 está na terceira classe (linha) que vai de F = 13 até 20. O 
valor de xi nessa classe é 20 anos, portanto temos: 
anos 20MMEDIANA 
 
 
Observação: 



100
n50
FMEDIANA 2
n
FMEDIANA 
. Também poderíamos determinar F usando essa fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II – Variáveis contínuas 
 
Neste caso os dados estatísticos xi são intervalos de classes. 
 
Suponha que você fez um estudo das notas de P&E de 40 alunos de uma sala e, fazendo os cálculos, chegou a 
tabela: 
 
Classe Notas fi xi xi . fi Fi 
ix
 
ii fx 
 
i
2
i f)x( 
 
1 0  2 5 1 5 5 3,85 19,25 74,11 
2 2  4 8 3 24 13 1,85 14,80 27,38 
3 4  6 15 5 75 28 0,15 2,25 0,38 
4 6  8 9 7 63 37 2,15 19,35 41,60 
5 8  10 3 9 27 40 4,15 12,45 51,67 
 40 # 194 # # 68,10 195,1 
 
Começamos calculando a média aritmética . 
 



n
f.x ii

40
194 pontos 85,4
 
 
De posse desses dados podemos, simplesmente aplicando as fórmulas correspondentes, calcular: Desvio Médio 
Simples (DMS), Variância (
2
), o Desvio Padrão () e o Coeficiente de Variação (CV). 
 




n
fx
DMS
ii

40
1,68
DMS
pontos 70,1DMS 
 
 
 




n
fx i
2
i2

40
1,1952
22 (pontos) 88,4
 
 
 2  88,4 pontos 21,2
 
 



CV 
85,4
21,2
CV
 Devemos multiplicar por 100 para ficar em porcentagem 

 
%57,45CV 
 
 
Para calcularmos a Moda Mo ou qualquer medida de posição (Mediana, Quartil, Decil. Percentil) devemos antes 
determinar em que classe ela se encontra. 
 
A Moda é o mais simples, ela está na classe de maior frequência. Nesse caso a Moda está na classe 3, sendo um 
valor entre 4 e 6. Lembre que o resultado tem de estar entre 4 e 6. 
Calculamos usando a fórmula: 


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM
   



 2
915815
815
4MO
pontos 08,5MO 
 
 
Para calcular qualquer medida de posição (Mediana, Quartil, Decil. Percentil) devemos primeiro determinar qual a 
respectiva Frequência Acumulada (Fi) e, com ela, localizamos em que classe (linha) ele está. Observe que para 
calcular qualquer medida de posição usamos sempre a mesma fórmula: 
i
i
ANTi
ii h
f
FF
IF 


 
 
Vamos calcular o Q3. O terceiro quartil corresponde a 75%. Calculamos a frequência acumulada para achar a classe. 



100
ni
F75 


100
4075
F75
 30F75
Está na quarta classe o que significa que é um valor entre 6 e 8 e, portanto, o 
resultado tem de estar nesse intervalo. Com os dados dessa classe calculamos Q3. 


 i
i
ANTi
i3 h
f
FF
IQ 

 2
9
2830
6Q3
pontos 44,6Q3 
 
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Vamos calcular o D6. Como sempre começamos vendo, pela frequência acumulada, em que classe está. O Decil 6 
corresponde a 60%. 



100
ni
F60 


100
4060
F60
 24F60
 Está na terceira classe o que significa que é um valor entre 4 e 6 e, portanto, 
o resultado tem de estar nesse intervalo. Com os dados dessa classe calculamos D6. 
 


 i
i
ANTi
i6 h
f
FF
ID 

 2
15
1324
4D6
pontos 47,5D6 
 
 
 
Vamos calcular o P40. Como sempre começamos localizando, pela frequência acumulada, em que classe está. O 
Percentil 40 corresponde a 40%. 
F40. 



100
ni
F40 


100
4040
F40
16F40
 Está na terceira classe o que significa que é um valor entre 4 e 6 e, 
portanto, o resultado tem de estar nesse intervalo. Com os dados dessa classe calculamos P40. 
 


 i
i
ANTi
i40 h
f
FF
IP 

 2
15
1316
4P40
pontos 4,4P40 
 
 
 
A Mediana divide os dados estatísticos ao meio, portanto corresponde ao Percentil 50%. 



100
ni
FF 50MEDIAN 


100
4050
F50
 20F50
 Está na terceira classe o que significa que é um valor entre 4 e 6 
e, portanto, o resultado tem de estar nesse intervalo. Com os dados dessa classe calculamos MMEDIANA.

 i
i
ANTi
iMEDIANA h
f
FF
IM 

 2
15
1320
4MMEDIANA
pontos 93,4MMEDIANA 
 
 
Observação: 



100
n50
FMEDIANA 2
n
FMEDIANA 
. Também poderíamos determinar F usando essa fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolva os exercícios 
 
1) Uma escola tem matriculado nas quatro primeiras séries do ensino fundamental 240 crianças. Abaixo temos a 
distribuição dessas crianças conforme a sua idade. 
 
xi (anos) fi (n
o
 crianças) Fi xi.fi 
ix
 
ii fx 
 
7 21 
8 46 
9 50 
10 56 
11 38 
12 29 
 
 
a) Qual a média aritmética; b) Qual a mediana; c) Qual a moda; d) Qual o desvio médio simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Abaixo temos a tabela com o número de faltas cometidas por 240 jogadores em uma rodada (10 jogos) do 
campeonato brasileiro (dados fictícios). Complete a tabela e calcule: 
a) A média aritmética; b) A moda; c) A mediana; 
d) O valor correspondente Q2; e) O valor correspondente D5; f) O P50; 
g) O DMS h) A variância; i) O desvio padrão; 
j) O coeficiente de variação. 
 
xi f i fr (%) Fi Fr (%) xi
 
fi 
ix
 
ii fx 
 
i
2
i f)x( 
 
0 25 
1 47 
2 64 
3 65 
4 33 
5 6 
 # # # 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) A tabela abaixo refere-se ao comprimento em cm de 250 barras metálicas. 
Classe comp. em cm fi (n
o
 de barras) xi Fi xi.fi 
ix
 
i
2
i f)x( 
 
1 2  4 10 
2 4  6 20 
3 6  8 50 
4 8  10 80 
5 10  12 70 
6 12  14 20 
 # # # 
 
Calcule: 
a) A média aritmética; b) A moda; c) A mediana; 
d) O valor correspondente terceiro quartil; e) O valor correspondente sexto decil; f) A variância; 
g) O desvio padrão; h) O coeficiente de variação. 
i) Pegando-se uma barra ao acaso qual a probabilidade de ela ter mais de 10 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A tabela a seguir representa os gastos por pessoa num fim de semana no bar “Bidê, onde tudo ser vê”. Complete a 
tabela e calcule: 
a) A média aritmética; b) A moda; c) A mediana; 
d) O valor correspondente Q1; e) O valor correspondente D4; f) O P90; 
g) O DMS; h) A variância; i) O desvio padrão; 
j) O coeficiente de variação; k) Qual média de gasto por pessoa dos 84 que mais gastaram? 
 
 
 
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Classe R$ fi (pessoas) xi xi.fi Fi 
ix
 
ii fx  i2i f)x(  
1 10  20 28 
2 20  30 30 
3 30  40 34 
4 40  50 54 
5 50  60 60 
6 60  70 24 
 # # # 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma indústria de bebidas engarrafa cervejas. Cada garrafa contém em média 600 cm
3
 com um desvio padrão de 5 
cm
3
. Se a distribuição é normal determine: 
a) A probabilidade de uma garrafa ter de 600 cm
3
 até 608 cm
3
. 
b) A probabilidade de uma garrafa ter de 590 cm
3
 até 600 cm
3
. 
c) A probabilidade de uma garrafa ter de 604 cm
3
 até 610 cm
3
. 
d) A probabilidade de uma garrafa ter de 585 cm
3
 até 595 cm
3
. 
e) A probabilidade de você comprar uma garrafa com mais de 610 cm
3
. 
f) A probabilidade de você comprar uma garrafa com menos de 594 cm
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÂO 
 
1) 
xi (anos) f i fr (%) Fi Fr (%) xi
 
fi 
ix
 
ii fx 
 
7 21 9 21 9 147 2,54583 53,4625 
8 46 19 67 28 368 1,54583 71,1083 
9 50 21 117 49 450 0,54583 27,2917 
10 56 23 173 72 560 0,45417 25,4333 
11 38 16 211 88 418 1,45417 55,2583 
12 29 12 240 100 348 2,45417 71,1708 
 240 100 # # 2291 # 303,7250 
 
a) 


240
2291
n
f.x ii anos 55,9
 b) 


 classe quarta 120
100
24050
FF 50Mediana
anos 10MD 
 
 
c) 
 56fModa anos 10MO 
 d) 



240
725,303
n
fx
DMS
ii anos 27,1DMS 
 
 
2) 
xi f i fr (%) Fi Fr (%) xi
 
fi 
ix
 
ii fx 
 
i
2
i f)x( 
 
0 25 10,4 25 10 0 2,217 55,417 122,840 
1 47 19,6 72 30 47 1,217 57,183 69,573 
2 64 26,7 136 57 128 0,217 13,867 3,004 
3 65 27,1 201 84 195 0,783 50,917 39,885 
4 33 13,8 234 98 132 1,783 58,850 104,949 
5 6 2,5 240 100 30 2,783 16,700 46,482 
 240 100 # # 532 # 252,933 386,733 
 
a) 


240
532
n
f.x ii faltas 22,2
 b) 
 65fModa faltas 3MO 
 
 
c) 


 classe terceira120
100
24050
FF 50Mediana
faltas 2MD 
 d) 


 120
100
24050
F50
faltas 2Q2 
 
 
e) 


 120
100
24050
F50
faltas 2D5 
 f) 


 120
100
24050
F50
faltas 2P50 
 
 
g) 



240
933,252
n
fx
DMS
ii faltas 05,1DMS 
 
 
h)  




240
73,386
n
fx i
2
i2 22 (faltas) 61,1
 i) 
 61,12 faltas 27,1
 
 
j) 



 573,0
22,2
27,1
CV
% 3,57CV 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) 
Classe comprimento fi (n
o
 barras) xi (cm) xi.fi Fi 
ix
 
i
2
i f)x( 
 
1 2  10 3 30 10 5,92 350,46 
2 4  20 5 100 30 3,92 307,33 
3 6  50 7 350 80 1,92 184,32 
4 8  80 9 720 160 0,08 0,51 
5 10  70 11 770 230 2,08 302,85 
6 12  20 13 260 250 4,08 332,93 
 250 # 2230 # # 1478,40 
 
a) 


250
2230
n
f.x ii cm 92,8
 
 
b) 
 4 Classe 80fModa


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 2
)7080()5080(
5080
8MO
cm 5,9MO 
 
 
c) 


 4 Classe 125
100
25050
FF 50MEDIANA 

 50
50
ANT50
50D h
f
FF
IM 

 2
80
80125
8MD
cm 13,9MD 
 
 
d) 


 5,187
100
25075
FF 75i 



 2
70
1605,187
10h
f
FF
IQ i
i
ANTi
i3
cm 79,10Q3 
 
 
e) 


 4 Classe 150
100
25060
F60 



 2
80
80150
8h
f
FF
ID i
60
ANT60
606
cm 75,9D6 
 
 
f)  




250
4,1478
n
fx i
2
i2
22 cm 91,5
 g) 
 51,92 cm 43,2
 
 
h) 



 273,0
92,8
43,2
CV
% 3,27CV 
 
 
i) Temos 90 barras maiores ou iguais a 10 cm e 250 barras no total. A Probabilidade de ser maior que 10 cm é: 
 36,0
250
90
Pr
% 36Pr 
 
 
4) 
Classe gasto em R$ fi (pessoas) xi xi.fi Fi 
ix
 
ii fx 
 
i
2
i f)x( 
 
1 10  20 28 15 420 28 26,957 754,78 20346,31 
2 20  30 30 25 750 58 16,957 508,70 8625,71 
3 30  40 34 35 1190 92 6,957 236,52 1645,37 
4 40  50 54 45 2430 146 3,043 164,35 500,19 
5 50  60 60 55 3300 206 13,043 782,61 10207,94 
6 60  70 24 65 1560 230 23,043 553,04 12744,05 
 230 # 9650 # 90,000 3000,00 54069,57 
 
a) 


230
9650
n
f.x ii 96,41 R$
 
 
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b) 
 5 Classe 60fModa


 MOD
21
1
MODO h
DD
D
IM 


 10
)2460()5460(
5460
50MO
43,51 R$MO 
 
 
c) 


 4 Classe 115
10023050
F50 

 i
i
ANTi
iD h
f
FF
IM 

 10
54
92115
40MD
26,44 R$MD 
 
 
d) 


 2 Classe 5,57
100
23025
F25 



 10
30
285,57
20h
f
FF
IQ i
i
ANTi
i1
83,29 R$Q1 
 
 
e) 


 3 Classe 92
100
23040
F40 



 10
34
5892
8h
f
FF
ID i
i
ANTi
i4
00,40 R$D4 
 
 
f) 


 6 Classe 207
100
23090
F90 



 10
24
206207
8h
f
FF
IP i
i
ANTi
i90
42,60 R$P90 
 
 
g) 



230
3000
n
fx
DMS
ii 04,13 R$DMS
 
 
h)  




230
57,54069
n
fx i
2
i2 09,235 R$
22 
 i) 
 09,2352 33,15 R$
 
 
j) 



 365,0
96,41
33,15
CV
% 5,36CV 
 
 
k) As 84 pessoas que mais gastaram estão na classe 5 e 6. As da classe 5 gastam um total de R$ 3300,00 e as da 
classe 6 um total de R$ 1560,00. A média dos gastos (Mg) entre elas será: 



84
15603300
Mg
86,57 R$Mg
 
 
 
5) a) 
     4452,0A6,1Z0P608X600P 1,6 até 0
  % 52,44608X600P 
 
 
b) 
     4772,0A0Z2P600X590P 2 até 0  % 72,47600X590P 
 
 
c) 
     2881,04772,0AA0,2Z8,0P610X604P 0,8 até 02,0 até 0
  % 91,18610X604P 
 
 
d) 
     3413,04987,0AA1Z3P595X585P 1 até 03 até 0  % 74,15595X585P 
 
 
e) 
     4772,05,0A5,02ZP610XP 2 até 0  % 28,2610XP 
 
 
f) 
     3849,05,0A5,02,1ZP594XP 1,2 até 0
  % 51,11594XP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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  AzZ0P 
 
 
 
 
 
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000