Arranjos Simples - Probabilidade e Estatística

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- Probabilidade e Estatística – Aula 3 Prof.: Duarte 
 
 
IV. Arranjos simples 
 
O número de arranjos simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural 
indicado por An,p, que corresponde ao número total de sequências de p elementos distintos, que podem ser 
construídas com n elementos dados. Observamos que como se trata de sequências, a ordem dos elementos 
diferencia duas sequências entre si, ou seja, a sequência 12 é diferente da sequência 21. 
 
(n-p)!
n!
A p,n 
 
 
Exemplos: 
 
1) Num baralho de 52 cartas, 4 cartas são tiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas 
são possíveis? 
 
Neste caso temos: n = 52 e p = 4. 
 
   






 49505152A
!48
!4849505152
A
!452
!52
A
!pn
!n
A 4,524,524,52p,n
 
 
sequências 6497400A 4,52 
 
 
2) Seis times sub-20 de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os dois primeiros se 
classificavam para as Olimpíadas. Quantas são as possibilidades para os dois primeiros lugares na classificação final? 
 
São 6 times (n = 6) para duas posições (p = 2). 
Importa a ordem, o primeiro lugar é o campeão. É arranjo! 
 
 




 56A
!4
!456
A
!26
!6
A 2,62,62,6
adespossibilid 30A 2,6 
 
 
3) Quantos são os números compreendidos entre 5000 e 6000 por algarismos distintos escolhidos entre 
{1,2,3,4,5,6,7}? 
 
O primeiro algarismo certamente é 5. Sobram 6 (n = 6) para 3 posições (p = 3). 
 
 




 456A
!3
!3456
A
!36
!6
A 3,63,63,6
números 120A 3,6 
 
 
4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
sem os repetir, de modo que: 
a) Os números comecem por 6. 
b) Os números comecem por 1 e terminem por 7. 
c) Os números comecem por 6 e sejam impares. 
 
a) Tem de começar por 6, logo sobram somente 9 algarismos (n = 9) para duas posições (p = 2). A ordem importa, 
então é Arranjo. 
 
   






 89A
!7
!789
A
!29
!9
A
!pn
!n
A 2,92,92,9p,n
algarismos 72A 2,9 
 
 
 
 
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b) Tem de começar por 1 e terminar por 7, logo sobram somente 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). 
 
   







!7
!78
A
!18
!8
A
!pn
!n
A 1,81,8p,n
algarismos 8A 1,8 
 
 
c) Tem de começar por 6 e ser impar, sobram 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). Teremos 
1,8A
para cada 
um dos cinco números ímpares (1,3,5,7,9), portanto o resultado será: 
1,8
A5R 
 
 




 85R
!7
!78
5R
!18
!8
5RA5R 1,8
algarismos 40R 
 
 
Pense ...... como ficaria este item se os números tivessem de começar por 5? 
 
5) “Seo” “Arnesto”, que mora no Brás, é um brilhante pintor de paredes. Ele foi convidado por “dona” Clementina para 
pintar uma sala, que tem 6 paredes. Para tal tarefa “dona” Clementina forneceu 8 latas de tintas de cores diferentes e 
queria que cada parede fosse pintada de uma cor, não podendo repetir a mesma cor em paredes diferentes. De 
quantas maneiras diferentes “seu” “Arnesto” pode cumprir a tarefa? 
 
Tintas de 8 cores diferentes, n = 8; 6 paredes diferentes, p = 6. 
 
 




 345678A
!2
!2345678
A
!68
!8
A 6,86,86,8
maneiras 20160A 6,8 
 
 
6) Sueca é um popular jogo de cartas, introduzido pelos portugueses no Brasil, onde duas duplas se enfrentam 
usando um baralho de 40 cartas, com os naipes de Ouros, Espadas, Copas e Paus, cada um deles contendo as 
cartas: A (Ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, V (Valete), D (Dama), R (Rei). Em cada “mão” da sueca os jogadores recebem dez 
cartas cada um. Quantas sequências de cartas são possíveis para um jogador? 
 
Temos: n = 40 e p = 10. 
 





!30
!3031323334353637383940
A
!1040
!40
A 10,4010,40
 
 
 31323334353637383940A 10,40
sequências 1008,3A 1510,40 
 
 
7) Tiago, o neto do Duarte, resolve brincar com seus carrinhos. Numa caixa A ele tem dez carrinhos diferentes e, em 
outra caixa B, cinco diferentes. Tiago pegou quatro carrinhos da caixa A e três da caixa B e fez uma fila com os sete 
carrinhos. Quantas possibilidades existem no total? 
 
Por ser uma fila a ordem importa, mudar a ordem seria mudar a fila, então é Arranjo. 
 
Caixa A temos: n = 10 e p = 4: 
 
5040A78910A
!6
!678910
A
!410
!10
A 4,104,104,104,10 




 
 
Caixa B temos: n = 5 e p = 3: 
 
60A345A
!2
!2345
A
!35
!5
A 3,53,53,53,5 




 
 
Tem de tirar carrinhos da caixa A E da caixa B, portanto o total será o produto dos Arranjos: 
 
 605040TAAT 3,54,10
adespossibilid 302400T 
 
 
Observação: se fosse simplesmente tirar carrinhos a ordem não iria importar, seria Combinação. 
 
 
 
 
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8) Um cadeado possui três discos distintos, todos eles marcados com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. Para abrir o 
cadeado devemos alinhar os discos, formando um número de 3 algarismos. Se uma pessoa tentar abrir o cadeado, 
quantas tentativas, no máximo, deverá fazer para conseguir abri-lo? 
 
Os três discos são distintos. 
No primeiro disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
No segundo disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
No terceiro disco temos n = 10 e p = 1: 
 





!9
!910
!110
!10
A 1,10
10A 1,10 
 
 
Tem de acertar o primeiro número E o segundo E o terceiro, portanto o número máximo de tentativas será: 
 
 101010T tentativas 1000T 
 
 
 
 
 
V. Combinações simples 
 
O número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n  p, é um número natural 
indicado por Cn,p ou 






p
n
, corresponde ao número total de subconjuntos de p elementos, escolhidos dentre os n 
elementos dados. É calculado por: 
p!p)!(n
n!
p!
A
p
n
C
p,n
p,n








 
 
Observamos que com se trata de subconjuntos, a ordem dos elementos não é considerada para a contagem das 
combinações distintas, ou seja, o subconjunto AB é o mesmo que BA. 
 
Essa é a diferença entre Arranjo e Combinação. No Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação 
não importa a ordem. 
 
 
Exemplos: 
 
9) Um grupo de 10 jogadores de truco quer fazer um campeonato. Quantas duplas diferentes podem ser formadas? 
 
Não importa a ordem, a dupla jogador A e B é a mesma jogador B e A. É Combinação. 
 
n = 10 e p = 2 
 











12
910
C
!2!8
!8910
C
!2)!210(
!10
C
p!p)!(n
n!
C 2,102,102,10p,n
duplas 45C 2,10 
 
 
10) Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com 6 alunos? 
 
Formar uma comissão significa escolher 4 pessoas não importando a ordem, portanto é Combinação. n = 6 e p = 4. 
 











12
56
C
!4!2
!456
C
!4)!46(
!6
C
p!p)!(n
n!
C 4,64,64,6p,n
comições 15C 4,6 
 
 
 
 
 
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11) Uma empresa tem 7 engenheiros e 5 engenheiras. O diretor da empresa pediu que formassem uma comissão 
com 4 engenheiros e 3 engenheiras, para discutirem qual o índice de aumento do dissídio. Calcule quantas comissões 
poderiam ser formadas. 
 
Engenheiros: de 7 (n = 7) pode escolher 4 (p = 4). 
 
 










123
567
!4!3
!4567
!4!47
!7
C
p!p)!(n
n!
C 4,7p,n
35C 4,7 
 
 
Engenheiras: de 5 (n = 5) pode escolher 3 (p = 3). 
 
 
 











12
45
!3!2
!345
!3!35
!5
C
p!p)!(n
n!
C 3,5p,n
10C 3,5 
 
 
Tem de escolher 4 engenheiros E 3 engenheiras, portanto é o produto. 
 
 1035T comições 350T 
 
 
12) Um clube tem 21 garotos atletas, sendo que 10 jogam futsal e 11 jogam voleibol. Como o clube vai participar de 
um torneio de futsal (cinco jogadores) e outro de voleibol (seis jogadores) deve formar um time de cada. Sabendo que 
no de futsal deve ter 3 reservas e no de voleibol 4 reservas, determine quantos times diferentes poderão ser 
formados. 
 
Futsal: n = 10 e p = 8. 
 









12
910
!8!2
!8910
!8!810
!10
C 8,10
45C 8,10 
 
 
Voleibol: n = 11 e p = 10. 
 
 






1
11
!10!1
!1011
!10!1011
!11
C 10,11
11C 10,11 
 
 
Tem de formar o time de Futsal E o de Voleibol, o total T vai ser o produto dos dois. 
 1145T times 495T 
 
 
13) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria 
escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões 
entre todos os alunos da turma. Logo, qual o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir? 
 
Temos: n = 7 e p = 5. 
 
 









12
67
!5!2
!567
!5!57
!7
C 5,7
alunos 21C 5,7 
 
 
14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 
bolas sejam pretas? 
 
1
o
 caso 6 bolas pretas e 1 branca. 
6 Pretas – 
 





1
1
!6!0
!6
!6!66
!6
C 6,6
1C 6,6 
 
1 Branca – 
 






1
10
1!9
!910
!1!110
!10
C 1,10
10C 1,10 
 
 
Total 1 (T1): 
 101T1 10T1 
 
 
 
 
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2
o
 caso 5 bolas pretas e 2 brancas. 
5 Pretas – 
 






1
6
!5!1
!56
!5!56
!6
C 5,6
6C 5,6 
 
2 Brancas – 
 








2
910
!2!8
!8910
!2!210
!10
C 2,10
45C 2,10 
 
 
Total 2 (T2): 
 456T2 270T2 
 
 
3
o
 caso 4 bolas pretas e 3 brancas. 
4 Pretas – 
 






2
30
!4!2
!456
!4!46
!6
C 4,6
15C 4,6 
 
 3 Brancas – 
 









123
8910
!3!7
!78910
!3!310
!10
C 3,10
120C 3,10 
 
 
Total 3 (T3): 
 12015T3 1800T3 
 
 
Acontece o 1
o
 caso OU o 2
o
 caso OU o 3
o
 caso, portanto é a soma dos três: 
 
 180027010TTTTT 321
modos 2080T 
 
 
15) Em um jogo de truco, usando um baralho de 40 cartas (sem os 8, 9 e 10), foram dadas 3 cartas a um jogador. De 
quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás? 
 
Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 3. 
 
 









123
383940
!3!37
!37383940
!3!340
!40
C 3,40
9880C 3,40 
 
 
Número de combinações que não tem Ás. Total das cartas menos os Ases: n = 36 e p = 3. 
 
 









123
343536
!3!33
!33343536
!3!336
!36
C 3,36
7140C 3,36 
 
 
Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não 
aparece pelo menos um Ás. 
 
 3,363,40 CCR
 71409880R formas 2740R 
 
 
 
 
Resolva os exercícios: 
 
16) Seis times de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os quatro primeiros se 
classificam para o Campeonato Mundial. Quantas são as possibilidades para os quatro primeiros lugares na 
classificação final? 
 
Importa a ordem, portanto é Arranjo. São 6 times (n = 6) para quatro posições (p = 4). 
 
 




 3456A
!2
!23456
A
! 46
!6
A 4,64,64,6
possib. 360A 4,6 
 
 
 
 
 
 
 
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17) Quantos conjuntos com 3 letras diferentes, podemos fazer usando as letras da palavra HANDEBOL? 
 
Não importa a ordem, é Combinação. Temos 8 letras diferentes (n = 8) e 3 posições (p = 3). 
 
 









123
678
!3!5
!5678
!3!38
!8
C 3,8
conjuntos 56C 3,8 
 
 
18) Quantos números de 4 algarismos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8 ? 
 
Importa a ordem, é Arranjo. n = 5 e p = 4 
 
 




 2345A
!1
!12345
A
!45
!5
A 4,54,54,5
algarismos 120A 4,5 
 
 
19) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 
1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? 
 
Importa a ordem, é Arranjo. O primeiro número é 2, então, n = 9 – 1 = 8 e p = 3. 
 
 




 678A
!5
!5678
A
!38
!8
A 4,54,53,8
números 336A 3,8 
 
 
20) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 4 rapazes e 3 moças? 
 
Não importa a ordem, é Combinação. Para os rapazes temos n = 7 e p = 4 
 
 









123
567
!4!3
!4567
!4!47
!7
C 4,7
35C 4,7 
 
 
Para as moças n = 6 e p = 3. 
 
 









123
456
!3!3
!3456
!3!36
!6
C 3,6
20C 3,6 
 
 
A resposta será o produto. 
 
 2035R comições 700R 
 
 
21) Você vai a uma festa onde são oferecidas 6 bebidas diferentes. Para não ficar digamos, alterado, resolve tomar 
uma só, de 3 bebidas diferentes. De quantas maneiras diferentes você pode combinar as bebidas? 
 
Não importa a ordem, é Combinação. Temos n = 6 e p = 3 
 
 









123
456
C
!3!3
!3456
C
! 3! 36
! 6
C 3,63,63,6
maneiras 20C 3,6 
 
 
22) Em uma sacola há 20 balas de mesma dimensão: 4 são de café e as restantes de morango. Uma criança retira 4 
balas. Calcule o número de maneiras que se pode extrair um conjunto de 4 balas desta sacola de modo que haja pelo 
menos uma de café dentre elas. 
 
Número total de combinações: Todas as balas: n = 20 e p = 4 
 
 









1234
17181920
!4!16
!1617181920
!4!420
!20
C 4,20
4845C 4,40 
 
 
 
 
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Número de combinações que não tem nenhuma bala de café. Total das balas menos as de café: n = 16 e p = 4 
 
 









1234
13141516
!4!12
!1213141516
!4!416
!16
C 4,16
1820C 4,16 
 
 
Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não 
aparece pelo menos uma bala de café. 
 4,164,20 CCR
 18204845R maneiras 3025R 
 
 
23) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres formando um fila, de modo que não fiquem juntos 2 
homens e 2 duas mulheres. 
 
Entres os homens e as mulheres importa a ordem (lugar na fila), é Arranjo. Tanto para os homens como para as 
mulheres temos n = 4 e p = 4. 
 
Nesse caso, Arranjo com n = p, podemos fazer tanto por Arranjo como por Permutação. 
 
 1234P!4P 44 24P4 
 Tanto para os homens como para as mulheres. 
 
A princípio podemos achar que a resposta é 
5762424 
. Mas essa resposta não está correta, porque a primeira 
pessoa da fila pode ser homem ou ser mulher. Para obtermos todas as maneiras possíveis devemos multiplicar por 2. 
 
      576224242PP2R 44
maneiras 1152R
 
 
24) De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 40 cartas (Copas, Ouros, Espadas e Paus sem 
os 8, 9 e 10), não levando em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos uma carta de 
Copas? 
 
Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 4 
 
 









1234
37383940
!4!36
!3637383940
!4!440
!40
C 4,40
91390C 4,40 
 
 
Número de combinações que não tem nenhuma carta de Copas. Total das cartas menos as de Copas: n = 30 e p = 4 
 
 









1234
27282930
!4!26
!2627282930
!4!430
!30
C 4,30
27405C 4,30 
 
 
Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não 
aparece pelo menos uma copa de Copas. 
 
 4,304,40 CCR
 2740591390R formas 63985R 
 
 
25) As placas de automóveis e caminhões no Brasil são formadas por 3 letras (de um total de 26 letras) e 4 
algarismos. Lembrando que pode haver repetição de símbolos, quantas placas diferentes podem ser formadas? 
 
1
a
 Letra 2
a
 Letra 3
a
 Letra 1
o
 Num. 2
o
 Num. 3
o
 Num. 4
o
 Num. 
26 26 26 10 10 10 10 
 
 10101010262626R 175760000R placas 107576,1R 8