Parte 6 Distribuição de Probabilidade Conjunta Discreta

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Profa. Lidia Rodella 
UFPE-CAA 
S 
s 
X(s) X 
Y(s) 
Y 
Atribuímos a um mesmo ponto amostral os valores de duas 
(bidimensional) ou mais (multidimensional) variáveis aleatórias. 
 Ex1: (variável discreta) 
 Xavier e Yvette são agentes imobiliários. X 
representa o número de casas vendidas por Xavier 
em um mês, e Y o número de casas vendidas por 
Yvette em um mês. Analisando a performance 
deles nos meses passados temos a seguinte 
distribuição de probabilidade: 
 
 
 
0 1 2 
0 0,12 0,42 0,06 
1 0,21 0,06 0,03 
2 0,07 0,02 0,01 
X 
Y 
Probabilidade Conjunta 
P(X=0, Y=1) = P(0,1) = 0,21 
P(1,2) = 0,02 
1),(0  ji yxP
 1),( ji yxP
i) 
ii) 
),( yx
x
y
Ex1: (variável discreta) 
)( YXP  )2,2()1,2()0,2()1,1()0,1()0,0( pppppp 
01,003,006,006,042,012,0 
%70
  2YXP )0,2()1,1()0,1()2,0()1,0()0,0( pppppp 
06,006,042,007,021,012,0  94,0
* Estamos interessados em apenas uma variável. 
* Fornece a probabilidade de que uma variável assuma determinado 
valor para quaisquer valores da outra. 

j
jiii yxPxXPxp ),()()(

i
jij yxPyq ),()(
Ex1: 
)0(p
)1(p
)2(p
 )2,0()1,0()0,0( PPP
 )2,1()1,1()0,1( PPP
 )2,2()1,2()0,2( PPP
4,007,021,012,0 
5,0
1,0
X p(x) 
0 0,4 
1 0,5 
2 0,1 
Distribuição de probabilidade marginal de X. 
)0(q
)1(q
)2(q
 )0,2()0,1()0,0( PPP
 )1,2()1,1()1,0( PPP
 )2,2()2,1()2,0( PPP
6,006,042,012,0 
3,0
1,0
y q(y) 
0 0,6 
1 0,3 
2 0,1 
Distribuição de probabilidade marginal de Y. 
 
 Seja (X,Y) uma variável aleatória discreta 
bidimensional. Diz-se que X e Y são independentes 
se, e somente se, para 
quaisquer i e j. 
)()(),( jiji yqxpyxP 
0 1 2 
0 1/8 2/8 1/8 
1 1/8 2/8 1/8 
X 
Y 
Ex3: 
)( ixp
)( iyq
1/4 1/2 1/4 
1/2 
1/2 
1 
)0,0(P 8/1
)0()0( qp 8/12/14/1 
)1,0(P
8/1 )1()0( qp 8/12/14/1 
)0,1(P
8/2 )0()1( qp 4/12/12/1 
)1,1(P
8/2 )1()1( qp 4/12/12/1 
)0,2(P
8/1 )0()2( qp 8/12/14/1 
)1,2(P
8/1
)1()2( qp 8/12/14/1 
X e Y são independentes. 
 Teorema 1: 
 
 
 Teorema 2: 
 Se X e Y são independentes, 
 
)()()( YEXEYXE 
)()()( YEXEXYE 
Atenção: A recíproca do Teorema 2 não é verdadeira. A 
equação pode ser válida mas X e Y serem dependentes. 
 Ex3: 
0 1 2 
0 1/8 2/8 1/8 
1 1/8 2/8 1/8 
X 
Y 
)( ixp
)( iyq
1/4 2/4 1/4 
1/2 
1/2 
1 
X e Y são independentes. 
?)( XE
?)( YE
?)( YXE
?)( XYE
 
i
ii xpxXE )()( 14
1
2
4
2
1
4
1
0 
 
j
jj yqyYE )()( 2
1
2
1
1
2
1
0 
 )( YXE )()( YEXE 
2
3
2
1
1 
)(XYE
)()( YEXE
2
1
2
1
1 
 Ex3: 
0 1 2 
0 1/8 2/8 1/8 
1 1/8 2/8 1/8 
X 
Y 
)( ixp
)( iyq
1/4 1/2 1/4 
1/2 
1/2 
1 
 
i j
jiji yxPyxYXE )()()(

8
1
0 
8
1
1 
8
2
1 
8
2
2

8
1
2 
8
1
3
2
3
8
12

 Ex3: 
0 1 2 
0 1/8 2/8 1/8 
1 1/8 2/8 1/8 
X 
Y 
)( ixp
)( iyq
1/4 1/2 1/4 
1/2 
1/2 
1 

i j
jiji yxPyxXYE )()(

8
1
0 
8
1
0 
8
2
0 
8
2
1

8
1
0 
8
1
2
2
1
8
4

)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov 
De uma forma mais simples: 
)()()(),( YEXEXYEYXCov 
Se X e Y são independentes, então: 
)()()( YEXEXYE 
0),( YXCov
Obs: Podemos 
ter Cov(x,y)=0 
e as variáveis 
não serem 
independentes. 
Ex1: Agentes imobiliários 
 
 
0 1 2 q(y) 
0 0,12 0,42 0,06 0,6 
1 0,21 0,06 0,03 0,3 
2 0,07 0,02 0,01 0,1 
p(x) 0,4 0,5 0,1 1 
X 
Y 
?),( YXCov
)()()(),( YEXEXYEYXCov 
7,01,025,014,00)( XE
5,01,023,016,00)( YE
)07,0)(2)(0()21,0)(1)(0()12,0)(0)(0( 

i j
jiji yxPyxXYE )()(
)02,0)(2)(1()06,0)(1)(1()42,0)(0)(1( 
)01,0)(2)(2()03,0)(1)(2()06,0)(0)(2(  2,0
15,0)5,0)(7,0(2,0 
Ex1: Agentes imobiliários 
 
 
0 1 2 q(y) 
0 0,12 0,42 0,06 0,6 
1 0,21 0,06 0,03 0,3 
2 0,07 0,02 0,01 0,1 
p(x) 0,4 0,5 0,1 1 
X 
Y 
)07,0)(5,02)(7,00()21,0)(5,01)(7,00()12,0)(5,00)(7,00( 
15,0
)]}()][({[),( YEYXEXEYXCov 
 
i j
jiji yxPyyxx ),())((
)02,0)(5,02)(7,01()06,0)(5,01)(7,01()42,0)(5,00)(7,01( 
)01,0)(5,02)(7,02()03,0)(5,01)(7,02()06,0)(5,00)(7,02( 
7,01,025,014,00)( XE
5,01,023,016,00)( YE
Ex7: 
 
 
1 2 3 q(y) 
0 0 1/3 0 1/3 
1 1/3 0 1/3 2/3 
p(x) 1/3 1/3 1/3 1 
X 
Y 
?),( YXCov
X e Y são independentes? 
)()(),( iiii yqxpyxP 
)1,1(P
3/1
)1()1( qp
9/23/23/1 
X e Y não são independentes. 
)()()(),( YEXEXYEYXCov 
3
2
2
3
4

0
A independência é condição suficiente, mas não necessária 
para a covariância zero. 
),(2)()()( YXCovYVXVYXV 
Para duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer, temos 
Prova: 
2)]([)( XEXEXV 
2)]()[()( YXEYXEYXV  2)]}([)]({[ YEYXEXE 
})]([)]()][([2)]({[ 22 YEYYEYXEXXEXE 
22 )]([)]}()][({[2)]([ YEYEYEYXEXEXEXE 
)(),(2)( YVYXCovXV 
Se X e Y forem independentes: 
)()()( YVXVYXV 
)()()( YEXEXYE 
0),( YXCov
Então: 
 A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y. 
1 2 3 
0 0,1 0,1 0,1 
1 0,2 0 0,3 
2 0 0,1 0,1 
X 
Y 
a) Verifique se X e Y são independentes; 
b) Calcule E(X+Y) e E(XY); 
c) Calcule Cov(X,Y) e 
d) Calcule V(X+Y). 
 
);,( YX