Teoria da Produção e do Custo

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Teoria da Produção e do Custo 
Tratamento Algébrico
Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a função de produção 
descreverá a maior produção que pode ser obtida com as combinações destes insumos
Produto Marginal do Capital
Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes
Produto Marginal do Trabalho
Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o trabalho, w, e o capital, r
Problema da minimização do custo
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano do problema é
Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos
Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange
Medem o custo do insumo adicional para a produção de uma unidade adicional de produto
Taxa Marginal de Substituição Técnica
Reordenando a equação 7, definimos a TMST
Reescrevendo a equação 5 como 
observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos insumos
Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5
que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitário de cada insumo
Dualidade na Teoria da Produção e do Custo
A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual
Combinação ótima de K e L
Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente à isoquanta de produção
Escolha da mais alta isoquanta de produção tangente a uma determinada linha de isocusto
Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à maximização da produção
sujeito à restrição
O lagrangiano é
Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemos
que é exatamente a condição de minimização de custo
Função Cobb-Douglas de Custo e Produção
ou, em logaritmos,
Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por 
Supondo que a função de produção de uma empresa é
Mantendo o capital fixo em 9 unidades
a produtividade marginal do trabalho será 
podemos verificar que a produtividade marginal do trabalho é decrescente
Plan1
		L		PMgL
		0		-
		1		14.9487712754
		2		9.8625109771
		3		7.7327281797
		4		6.5068306272
		
				9
Plan2
		
Plan3
		
rendimentos constantes de escala
rendimentos crescentes de escala
rendimentos decrescentes de escala
Exemplos
Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb-Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano é
A partir da equação 14, temos
Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos
ou então
Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16
Reescrevendo esta equação, temos
Assim, encontramos a quantidade ótima de capital
e a quantidade ótima de trabalho
Agora vamos determinar a função de custo da empresa
Esta função de custo informa
 como o custo total da produção aumenta à medida que o nível de produção Q aumenta
 como o custo varia quando variam os preços dos insumos
Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição