Av3_CET147_2012_2

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UFRB
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral II CURSO:
PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / /
NOME: TURMA: NOTA:
Terceira Avaliação
Atualizada em 8 de julho de 2013
INSTRUÇÕES:
• Desligue o celular. Não será permitido usá-lo durante a prova;
• Não será permitido sair da sala durante a avaliação, exceto em situações de emergência;
• O uso de calculadora ou qualquer aparelho eletrônico não será permitido durante a avaliação;
• A interpretação de cada questão é parte integrante da prova;
• Só serão validadas as questões devidamente justificadas com todos os cálculos nas folhas de respostas.
Questões:
1. (Valor: 2,0) Calcule, se existir, o valor de cada um dos seguintes limites. Justifique a sua
resposta.
(a) lim
(x,y)→(0, 1
2
)
sen(5x+ 4piy)− sen(4piy)
xy
(b) lim
(x,y)→(2,−1)
(x− 2)4 − (x− 2)2(y + 1)2 + (y + 1)4
(x− 2)4 + (y + 1)4
2. (Valor: 2,0) Em cada um dos itens a seguir, responda se a afirmação é verdadeira ou falsa,
justificando sua resposta.
(a) f(x, y) =
8
>
<
>
:
2x2y2 − 2xy3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
é contínua.
(b) ϕ(x, y) =
8
>
<
>
:
4x2(y − 1)3
x2 + y2 − 2y + 1, se (x, y) 6= (0, 1)
0, se (x, y) = (0, 1)
é contínua no ponto (0, 1).
3. (Valor: 2,0) (a) Sendo f(x, y) = x3y2−xy4+arctg(x2y)+√2, determine fx(x, y) e fy(x, y).
(b) Sendo f(x, y) =
È
x2 + 3y − 1 − 1, usando a definição de derivada parcial, determine
fx(1, 3).
4. (Valor: 2,0) Sabe-se que a equação 2x2−y2+ z3− z−xy sen z = 1 define implicitamente uma
função z = f(x, y) cujo gráfico passa pelo ponto P (1, 1, 0). Determine a equação do plano
tangente ao gráfico de f no ponto P .
5. (Valor: 2,0) Considere o triângulo ao lado. Num dado
instante, temos que x = 50 cm, y = 40 cm e θ =
pi
3 rad. Se neste instante o comprimento x e o ângulo
θ aumentam a uma taxa de 1√
3
cm/s e 0, 01 rad/s,
respectivamente, e o comprimento y diminui a uma
taxa de 2
5
√
3
cm/s, determine a taxa de variação da
área deste triângulo em relação ao tempo.
x y
θ
“Nas coisas pequenas, mais que nas grandes, muitas vezes reconhecemos o valor dos
homens. Talvez eu represente apenas mais um que parte, mas na partida levarei
saudades, deixando o meu agradecimento a todos pela ajuda e dedicação.”
Artista Desconhecido
Terceira Avaliação # Cálculo Diferencial e Integral II 2