Fórmulário - Calculo de várias variáveis

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Formulário - Cálculo de várias variáveis 
 
 
Derivação 
𝑆𝑒 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) : → 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 
 
𝑆𝑒 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒 𝑥 = 𝑔(𝑡) e 𝑦 = ℎ(𝑡): → 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 +
𝜕𝑧
 𝜕𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
𝑆𝑒 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)e 𝑥 = 𝑔(𝑠, 𝑡) e 𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡) : → 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
𝜕𝑥
𝜕𝑠
 +
𝜕𝑧
 𝜕𝑦
 
𝜕𝑦
𝜕𝑠
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
𝜕𝑥
𝜕𝑡
 +
𝜕𝑧
 𝜕𝑦
 
𝜕𝑦
𝜕𝑡
 
 
 
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
 
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= −
𝐹𝑦
𝐹𝑧
 
 
 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑎 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑏 𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑎 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑏 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 〈𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)〉 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 
 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 〈𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)〉 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
 
 
 
𝐷 = 𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏) − [𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)]
2 
 
 
𝐷 = |
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
| 
 
 
Tabela Básica de Integrais 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐹´ = 𝑓 ∫ 𝐹´(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
𝑉 = ∫ 𝜋𝑟2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 𝑜𝑢 𝑉 = ∫ 𝜋𝑟2
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 𝑓𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
 + 𝑐 𝑛 ≠ −1 ∫ 𝑒
𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 ∫ sec2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 
∫ 𝑐𝑜𝑠 sec2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫ sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝒙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝒙 𝑑𝑥 
= −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐 
∫
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 ∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 ∫
1
𝑥. √1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐 
∫
−1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐 ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ln|sec (𝑥)| + 𝑐 
∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥| + 𝑐 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥| + 𝑐 
 
 
 
Formulário - Cálculo de várias variáveis 
 
 
Integração de Funções de Várias Variáveis 
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
𝑉 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
𝑓𝑚é𝑑 =
1
𝐴(𝑅)
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑} 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
∬ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) 𝑑𝐴 =
𝑅
∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 . ∫ ℎ(𝑦)
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥)} 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)/𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦)} 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑏
𝑎
𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)
ℎ2(𝜃)
ℎ1(𝜃)
𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝛽
𝛼
 
 
𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 
�̅� =
𝑀𝑦
𝑚
=
1
𝑚
∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 �̅� =
𝑀𝑥
𝑚
=
1
𝑚
∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 
𝐼𝑥 = ∬ 𝑦
2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 𝐼𝑦 = ∬ 𝑥
2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 𝐼0 = ∬(𝑥
2 + 𝑦2)𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝐵
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝑏
𝑎
𝑑
𝑐
𝑠
𝑟
 
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝐸
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑢1(𝑥,𝑦)
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑏
𝑎
 ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝐸
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑢2(𝑥,𝑦)
𝑢1(𝑥,𝑦)
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
𝑑
𝑐
 
Formulário - Cálculo de várias variáveis 
 
 
 
 
𝑚 = ∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐸
 
𝑀𝑦𝑧 = ∭ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐸
 𝑀𝑥𝑧 = ∭ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐸
 𝑀𝑥𝑦 = ∭ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉
𝐸
 
�̅� =
𝑀𝑦𝑧
𝑚
 �̅� =
𝑀𝑥𝑧
𝑚
 𝑧̅ =
𝑀𝑥𝑦
𝑚
 
 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =
𝐸
∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧) 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑢2(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑢1(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)
ℎ2(𝜃)
ℎ1(𝜃)
𝛽
𝛼
 
 
𝑥 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑏
𝑎
𝛽
𝛼
𝑑
𝑐
𝐸
 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙) 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙