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Apostila Calculo II

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Solução
Consideremos a decomposição
u = senx ; du = cos xdx,
v = ex ; dv = exdx.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
42 2. EXEMPLOS
Usando a expressão (2) obtemos∫
ex sen x dx = ex sen x−
∫
ex cosx dx. (5)
O problema se �reduz� a calcular
∫
ex cosx, que NÃO é mais simples de
calcular do que a integral original. Dado que a derivada da função cosseno
é a função seno, se usarmos novamente o método de integração por partes
para calcular
∫
ex cosx dx, veríamos aparecer novamente a integral, o que
pareceria ser um círculo vicioso. No entanto, vejamos que não é: decompondo
a função ex cosx da seguinte maneira
u = cos x ; du = senxdx,
v = ex ; dv = exdx.
temos ∫
ex cosx dx = ex cosx−
∫
ex(− sen x) dx. (6)
Aplicando a expressão (6) em (5), obtemos∫
ex sen x dx = ex sen x− ex cosx−
∫
ex(sen x) dx.
Logo, passando a integral do lado direito para o lado esquerdo e, posterior-
mente, dividindo por 2, temos∫
ex sen x dx =
1
2
[ex sen x− ex cosx] + C.
�
Exemplo 3
Calcule
∫
lnx dx .
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 43
Solução
Em geral, se estamos querendo calcular a integral de uma função f cuja
derivada parece ser mais simples de integrar do que a própia função, pode-
mos considerar a decomposição
u = f(x) ; du = f ′(x)dx,
v = x ; dv = dx.
No nosso caso particular, esta decomposição ficaria
u = ln x ; du =
1
x
dx,
v = x ; dv = dx.
Usando a expressão (2), obtemos∫
lnx dx = x lnx−
∫
x
1
x
dx.
Logo, ∫
lnx dx = x lnx− x+ C.
�
Exemplo 4
Calcule
∫
sec3 x dx.
Solução
Consideremos a decomposição
u = secx ; du = secx tg xdx,
v = tg x ; dv = sec2 dx.
Usando a expressão (2), obtemos∫
sec3 x dx = secx tg x−
∫
tg2 x sec x dx.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
44 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Usando a identidade tg2 x = sec2 x− 1, temos
∫
sec3 x dx = secx tg x−
∫
sec3 x dx+
∫
sec x dx.
Passando a integral de sec3 x do lado direito para o lado esquerdo da igual-
dade acima, e dado que
∫
sec x dx = ln | sec x+ tg x|, obtemos
∫
sec3 x dx =
1
2
[sec x tg x+ ln | sec x+ tg x|] + C.
�
Observação 2
No exemplo anterior, poderíamos ter considerado a seguinte decomposição:
u = sec2 x ; du = 2 sec2 x tg xdx,
v = ln | sec x+ tg x| ; dv = sec dx.
Esta escolha nos leva a calcular
∫
ln | sec x+ tg x| sec2 x tg x dx,
que é mas difícil de ser feito do que com a integral original. Logo, fazer uma
escolha adequada da decomposição é indispensável para que o método seja
útil.
3 Exercícios de revisão
Calcule as seguintes integrais.
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 5. INTEGRAÇÃO POR PARTES 45
1.
∫
arctg x dx; 2.
∫
(lnx)3 dx ;
3.
∫
cossec3 x dx; 4.
∫
sen(ln x) dx ;
5.
∫
x sec2 x dx; 6.
∫
x3x dx;
7.
∫
tg2 x sec3 x dx; 8.
∫ pi
2
0
√
cosx sen3 x dx.
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
46 3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
Aula 6
Integrais de Funções
Trigonométricas
1 Introdução
Nesta aula vamos calcular integrais envolvendo produtos de potências
de funções trigonométricas. Integrais desse tipo aparecem, com frequên-
cia, em aplicações físicas ou dentro de outra técnica chamada substitui-
ção trigonométrica, portanto, vamos abordá-las nesse capítulo. Para tal,
na maioria dos casos, o uso de identidades trigonométricas será fundamen-
tal, portanto, listaremos a seguir as principais identidades trigonométricas
necessárias.
cos2 x+ sen2 x = 1 (1)
tg2 x+ 1 = sec2 x (2)
cos2 x =
1 + cos 2x
2
(3)
sen2 x =
1− cos 2x
2
(4)
senmx cosnx =
sen(m− n)x+ sen(n+m)x
2
(5)
47
48 1. INTRODUÇÃO
Nos exemplos a seguir, calcule as integrais dadas.
Exemplo 1∫
cos3 x dx
Solução
Usando a identidade (1) anterior, escrevemos cos3 x = cos2 x cosx = (1−sen2 x) cos x
e mudamos a variável u = senx, donde du = cos xdx. Então,∫
cos3 x dx =
∫
cos2 x cosx dx =
∫
(1− sen2 x) cos x dx
=
∫
(1− u2) du = u− u
3
3
+ C = senx− sen
3 x
3
+ C .
�
Exemplo 2∫
cos3 x sen2 x dx
Solução
Vamos separar uma potência do cosseno para formarmos o du, como no
exemplo anterior. A ideia é usar a identidade (1) para escrever o integrando
como cos3 x sen2 x = cos2 x sen2 x cosx = (1 − sen2 x) sen2 x cosx e usar a
mudança u = senx. Assim, obtemos∫
cos3 x sen2 x dx =
∫
(1− sen2 x) sen2 x cosx dx =
∫
(1− u2)u2 du
=
∫
u2 − u4 du = u
3
3
− u
5
5
+ C =
sen3 x
3
− sen
5 x
5
+ C .
�
Exemplo 3∫ pi
0
sen2 x dx
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 6. INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 49
Solução
Pela identidade (4) temos∫ pi
0
sen2 x dx =
∫ pi
0
1− cos 2x
2
dx =
1
2
∫ pi
0
1− cos 2x dx .
Usando o Teorema 1 da Aula 4, para u = 2x, obtemos
1
2
∫ pi
0
1− cos 2x dx = 1
2
∫ 2pi
0
1− cosu du
2
=
1
4
(u− senu)
∣∣∣2pi
0
=
pi
2
.
�
Exemplo 4∫
cos4 x dx
Solução
Usando a identidade (3) anteriormente descrita, temos
∫
cos4 x dx =
∫ (
1 + cos 2x
2
)2
dx =
1
4
∫
1 + 2 cos 2x+ cos2 2x dx
=
x
4
+
1
2
∫
cos 2x dx+
1
4
∫
cos2 2x dx .
Mudando a variável u = 2x, de forma análoga ao que foi feito no exemplo
anterior, obtemos
1
2
∫
cos 2x dx =
1
4
∫
cosu du =
1
4
senu+ C =
1
4
sen 2x+ C .
A terceira integral será calculada, utilizando a identidade (3) para 2x, no
lugar do x. Assim, obtemos
1
4
∫
cos2 2x dx =
1
4
∫
1 + cos 4x
2
dx =
x
8
+
1
8
∫
cos 4x dx
=
x
8
+
1
32
∫
cosu du =
x
8
+
1
32
senu+ C =
x
8
+
1
32
sen 4x+ C .
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
50 1. INTRODUÇÃO
Observe que nos cálculos anteriores usamos a substituição u = 4x com
du = 4dx. Logo,∫
cos4 x dx =
3x
8
+
1
4
sen 2x+
1
32
sen 4x+ C .
�
Exemplo 5∫
sen6 x dx
Solução
Reescrevemos o integrando e usamos (4) para reduzir potências da seguinte
forma ∫
sen6 x dx =
∫
(sen2 x)3 dx =
∫ (
1− cos 2x
2
)3
dx
=
1
8
∫
1− 3 cos 2x+ 3 cos2 2x− cos3 2x dx .
Fazendo a mudança u = 2x com du = 2dx, obtemos integrais que já foram
calculadas nos exemplos 1 e 4 anteriores. Assim,∫
sen6 x dx =
1
16
∫
1− 3 cosu+ 3 cos2 u− cos3 u du
=
u
16
+
3u
32
+
3 senu
64
− 1
16
senu+
1
48
sen3 u+ C
=
5x
16
− 1
64
sen 2x+
1
48
sen3 2x+ C .
�
Exemplo 6∫
cos2 x sen4 x dx .
Solução
Usando a identidade (1) reduzimos a integral dada a duas, que já sabemos
Cristiane R. R. Argento-Freddy Hernández
CÁLCULO 2A
AULA 6. INTEGRAIS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 51
calcular, ∫
cos2 x sen4 x dx =
∫
sen4 x− sen6 x dx .
A segunda integral é a do exemplo 5 e a primeira é feita de forma análoga à
do exemplo 4. Assim, obtemos∫
cos2 x sen4 x dx =
3x
8
− 1
4
sen 2x+
1
32
sen 4x− 5x
16
+
1
64
sen 2x− 1
48
sen3 2x+ C
=
x
16
− 15
64
sen 2x+
1
32
sen 4x− 1
48
sen3 2x+ C .
�
Exemplo 7∫
sen 3x cos 7x dx .
Solução
Basta usar a identidade (5) para m = 3 e n = 7. Então,∫
sen 3x cos 7x dx =
1
2
∫
sen−4x+ sen 10x dx = cos 4x
8
− cos 10x
20
+ C .
�
Exemplo 8∫ pi/4
−pi/4
sec4 x dx
Solução
Agora, a estratégia é usar (2) para depois fazer a substituição na integral
definida u = tg x, onde du = sec2 xdx. Então,∫ pi/4
−pi/4
sec4 x dx =
∫ pi/4
−pi/4
sec2 x sec2 x dx =
∫ pi/4
−pi/4
(1 + tg2 x) sec2 x dx
=
∫ 1
−1
(1 + u2) du = (u+
u3
3
)
∣∣∣1
−1
=
8
3
.
�
CÁLCULO 2A GMA-IME-UFF
52 2. EXERCÍCIOS DE REVISÃO