Conceitos_Basicos_Matematica_2013

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CONCEITOS BÁSICOS PARA FÍSICA 
1- PITÁGORAS. 
1)Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indique, justificando, 
aqueles que são retângulos: 
a) a = 6; b = 7 e c = 13; 
b) a = 6; b = 10 e c = 8. 
Resolução: 
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se 
concluir que o triângulo é retângulo". 
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem 
ou não o Teorema de Pitágoras. 
a) 
 
logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras. 
b) 
 
logo o triângulo é retângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 Universidade São Judas Tadeu 
 
 
 
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2)Calcule o valor de x em cada um dos triângulos retângulos: 
a) 
 
b) 
 
Resolução: 
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
 
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
 
3)Calcule as áreas das seguintes figuras. 
a) 
 
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b) 
 
Resolução: 
a) 
 
 
b) 
 
4) a) Qual era a altura do poste? 
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Resolução: 
 
h = 4 + 5 = 9 
Resposta: A altura do poste era de 9 m. 
b) Qual é a distância percorrida pelo carro. 
 
Resolução: 
 
Resposta: A distância percorrida pelo carro é de: 
265 cm = 2,65 m. 
 
5) O Pedro e o João estão brincando de gangorra, como indica a figura: 
 
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A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. 
Qual o comprimento da gangorra? 
Resolução: 
Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus 
com a "linha" do chão. 
Então vem: 
1,8 m = 180 cm 
 
Resposta: O comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m. 
6) A figura representa um barco à vela. 
 
Determine, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y. 
Resolução: 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
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2- Notação Científica e Algarismos Significativos: 
Chama-se de notação cientifica a maneira de escrevermos números muito pequenos ou muito 
grandes de forma a podermos operá-los rapidamente e precisamente, ou avaliarmos a ordem de 
grandeza de um resultado de cálculos numéricos sem dificuldades. 
O numero assim escrito fica dividido nas seguintes partes: 
 
 
 
1) Passe os número abaixo para notação científica fazendo os arredondamentos necessários para 
duas casas após a vírgula: 
a) 8.240,004 b) 0,5806 c) 9.001 d) 0,00009008x103 e) 6980x10-6 
 
2) Efetue as operações abaixo observando as regras de arredondamento: 
a) 5,42 + 3,2 b) 0,680 + 96,0000 c) 42,310 – 22,6 
 
d) 10,5 x 3,072 e) 9,8012 / 0,94 f) 62,58 x 876,0002 
 
3) Entre os números abaixo, responda qual a quantidade de algarismos significativos em cada 
um deles: 
a) 0,0025801 b) 568,000 c) 0,20004 d) 63,00014 e) 6548,0 
 
4) Faça as devidas alterações para que os valores se apresentem em unidades do Sistema 
Internacional (S.I.) 
a) 50 g b) 230 cm c) 2 ml d) 3,6 h 
 
e) 4300 mm f) 4 cm2 g) 25 dm3 h) 45 min 
 
5) Passe os valores abaixo para unidades do Sistema Internacional (S.I.) e utilize notação 
científica: 
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a) 518 km b) 2 g c) 5780 ml d) 40 cm e) 154,23 mm f) 0,048 dm 
g) 5 T h) 657 m 
 
6) De acordo com o que foi visto em sala de aula efetue os cálculos abaixo: 
a) 90,004 + 2,01 – 6,206 b) (3,24 / 5,2) x 0,1738 
 
7) Reescreva os tempos abaixo apresentando-os em horas, minutos e segundos. 
a) 5,15 h b) 0,75 h c) 3,45 h d) 32,50 min 
 
8) Efetue as seguintes operações respeitando o (S.I.) e faça os devidos arredondamentos caso 
necessário: 
a) 92,8 m + 0,0036 km b) 24,43 kg / 312,040 g c) 105,87 cm – 0,5 m 
 
d) 45,92 dam x 2,152 m 
GABARITO: 
1) A) 8,24 x 103 
 
B) 5,81 x 10-1 
C) 9,00 x 103 
D) 9,01 x 10-2 
E) 6,98 x 10-3 
 
2) A) 8,6 
B) 96,680 
C) 19,7 
D) 32,3 
E) 10,43 
F) 54.820,09 
 
3) A) 5 
B) 6 
C) 5 
D) 7 
E) 5 
 
4) A) 0,05 kg 
B) 2,30 m 
C) 0,002 L D) 12.960 s E) 4,3 m F) 0,0004 m2 G) 0,025 m3 H) 2.700 s 
 
5) A) 5,2 x 105 m 
B) 2,0 x 10-3 kg C) 5,8 L D) 4,0 x 10-1 m E) 1,5 x 10-1 m F) 4,8 x 10-3 m G) 5 x 103 kg H) 6,6 x 
102 m 
 
6) A) 85,8 
B) 0,1 
 
7) A) 5 h , 9 min , 0 s 
B) 0 h , 45 min , 0 s C) 3 h , 27 min , 0 s D) 0 h , 32 min , 30 s 
 
8) A) 96,4 m 
B) 78,29 kg 
C) 0,6 m D) 988,2 m 
 
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OPERAÇÕES COM NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
As regras básicas para operações com notação cientifica são as mesmas usadas para operações 
com potencias de mesma base, devendo somente ter o cuidado para que o coeficiente do 
resultado seja sempre maior que um e menor que dez. 
Se acontecer do coeficiente ser igual a um (1) então o coeficiente não é escrito. 
 
a) multiplicação 
bm . bn = bm + n 
 
Ou seja, produto de potencias de mesma base é igual à base tendo como expoente a soma dos 
expoentes envolvidos. 
Assim: 
 
 
103 . 102 = 10 3 + 2 = 105 
107 . 10-3 = 10 7 + ( -3) = 104 
10-1 . 10-8 = 10 -1 + (-8) = 10-9 
 
Os coeficientes são operados normalmente: 
 
5,21 . 1013 . 8,33 .10-2 = 5,21 . 8,33 .10 13 + ( -2 ) = 4 . 1012 
Simplificando para zero casa após a vírgula. 
 
7,29 . 103 . 1,11 .10 -4 = 7,29 . 1,11 .10 3 + ( -4 ) = 8,1 . 10-1 
Simplificando para uma casa após a vírgula. 
 
4,25 . 10-6 . 3,92 .10-1 = 4,25 . 3,92 .10 -6 + ( -1 ) = 1,67 . 10-6 
Simplificado para duas casas após a vírgula. 
 
Escrevendo-se os coeficientes de acordo com as regras temos dois casos quando da 
multiplicação de dois coeficientes: 
 
1) o produto dos coeficientes é menor que dez; 
 
2) o produto dos coeficientes é igual ou maior que dez. 
no primeiro caso o expoente de dez do resultado é somente a soma das potencias de dez 
envolvidas. 
 
Ex.: 
2 . 107 x 4 .10-2 = 2 x 4 .10 7 + (-2 ) = 8 . 105 
No segundo caso devemos considerar que “sobra um dez” no coeficiente e 
que, por conseguinte, temos que somar um (1) ao expoente da potência de dez final. 
Ex: 
5 . 10-1 . 7 .10-2 = 5 . 7 .10 -1 + (-2 ) = 35 . 10-3 
 
Que é um resultado onde o coeficiente não esta escrito corretamente e para 
tal devemos desmembrar o dez contido, assim: 
35 . 10-3 = (3,5 .10) . 10-3 = 3,5 . 10-2 
 
Com a prática tais arranjos se fazem automaticamente dispensando a forma 
como foi demonstrada. 
 
 
 
 
 
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Ex.: 
5 . 104 . 2 .103 = 5 . 2.10 4 + 3 = 108 
 
6 . 10-12 . 3 .10-1 = 6 . 3 .10 -12 + ( -1 ) = 1,8 . 10-12 
 
b) divisão 
 
bm . bn = b m-n 
 
Ou seja, o cociente da divisão de potência de mesma base é igual à base tendo como expoente a 
diferença entre os expoentes envolvidos. Nota-se, que podemos transformar uma divisão de 
bases em produto somente trocando o sinal do expoente da base divisora. 
 
Assim: 
108 . 105 = 10 8 – ( + 5 ) = 103 
102 . 10-3 = 10 2 – ( -3 ) = 105 
10-4 102 = 10 -4 – ( -2 ) = 10-6ou: 
105/104 = 105 . 10-4 = 10 5 – ( -4 ) = 10 
107 / 10-6= 107 . 106 = 10 7 + (+ 6 ) = 1013 
10-2/10-8 = 10-2 . 108 = 10 -2 +( +8 ) = 106 
 
 
Exercícios: 
Resolver dando o resultado em notação cientifica: 
a)4.10-2 . 5.103 = 
b)7.104 . 3.10-3 = 
c)6.10-1 . 8.10-2 = 
d)2,4.10-2 . 9.10-10 = 
e)1,01.107 . 1,02 .106 = 
f)7,28.10-11 . 4,89.105 = 
g)4.10 . 4.10-7 = 
h)5.104 . 2.10-5 = 
i)4.10-2 ¸ 5.103 = 
j)7.104 ¸ 3.10-3 = 
k)6.10-1 ¸ 8.10-2 = 
l)2,4.10-2 ¸ 9.10-10 = 
m)1,01.107 ¸ 1,02 .106 = 
n)7,28.10-11 ¸ 4,89.105 = 
o)3,56.102 ¸ 3,33 .108 = 
p)1,602.10-19 ¸ 1,257.10-6 = 
 
c) Potenciação 
(bm )n = b m´n 
Ou seja, quando uma potência é elevada a um expoente a base fica elevada ao produto dos dois 
expoentes. 
 
Exemplos: 
 
( 105 )2 = 1010 
( 10-4)3 = 10-12 
 
Exercícios: 
 
a)( 10-4 )2 = 
b)( 103 )2 = 
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c)( 5.102 )3 = 
d)( 7,2.103 )2 = 
e)( 3,45.10-8 )3 = 
f)( 6,08.10-7 )2 = 
g)( 0,0000729 )3 = 
 
d) soma e subtração 
Para somar ou subtrair números sob a forma de potência de dez, deve-se posicionar os 
coeficientes no mesmo valor relativo. 
 
Ex.: 
3,8.103 - 4.102 
 
Notamos que o primeiro coeficiente é da classe dos milhares enquanto o segundo é das 
centenas. 
Posicionam-se os coeficientes sempre tomando por base o coeficiente com a menor ordem de 
grandeza e usando o procedimento visto em radiciação. 
No exemplo dado a menor ordem de grandeza é 102 e para que o coeficiente da primeira parcela 
tenha esta ordem de grandeza, basta posicioná-lo usando a regra 
já descrita, ou seja: 
 
( 3,8 x 10 ) . (10 3/10) = 38.102 => 
Finalmente: 
38.102 - 4.102 = 34.102 = 3,4.103 
 
Exemplos: 
4.105 + 5.104 = 40.104 + 5.104 = 45.104 = 4,5.105 
 
5,3.10-3 + 6.10-2 = 5,3.10-3 + 60.10-3 = 65,3.10-3 = 6,53.10-2 
 
7,2.10-8 + 9,7.10-7 = 7,2.10-8 + 97.10-8 = -89,8.10-8 = -8,98.10-7 
 
Exercícios: 
6,73.10-18 - 8,91.10-19 = 
5,02.104 + 7,15.106 = 
9,92.107 - 8,66.10-9 = 
3,04.10-2 + 7,06.10-1 = 
 
 
3- Algarismos significativos 
 
Qual é o comprimento de AB? 
 
 
Coloca-se uma régua ao lado de AB, de forma que o zero da régua coincida com uma das 
extremidades do segmento, e verifica-se com qual divisão da régua a outra extremidade do 
segmento coincide. 
 
O mais provável é que a extremidade B caia entre 2 divisões da régua,sem coincidir com 
nenhuma! Dizer que AB = 1,7 cm não está correto... Que AB = 1,8 cm também não! 
Então, qual é o comprimento de AB? 
 
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Comprimento de AB – a solução! 
Para resolver a dificuldade foi convencionado que a pessoa que realiza a medição deve avaliar a 
posição em que a extremidade B caiu, e acrescentar mais um algarismo à medida. 
A pessoa que realiza a medição imagina o espaço entre 1,7 e1,8 subdividido em 10 partes 
iguais... 
 
...e opina com qual subdivisão ela acha que a extremidade B coincide. 
Se ela acha que B coincide com a sexta subdivisão ela escreve... 
 
 
 
 
Algarismos corretos e algarismo duvidoso (1 de 2) 
 
 
 
É claro que os algarismos da medida 1,76 não merecem a mesma confiança. Qualquer pessoa 
que medir o comprimento AB irá concordar que o primeiro algarismo é 1, e que o segundo é 7 – 
eles foram mostrados pelo instrumento. Quando ao 6, uma outra pessoa poderia fazer uma 
avaliação diferente... 
 
Algarismos corretos e algarismo duvidoso (2 de 2) 
 
Por isso dizemos que em toda medida existem 2 tipos de algarismos: 
Algarismos corretos: são aqueles sobre os quais temos certeza, porque foram mostrados pelo 
aparelho de medida; 
Algarismo duvidoso: É aquele (único!) que foi avaliado. É sempre o último algarismo da 
medida. 
 
 
Algarismos significativos 
 
Chamamos de algarismos significativos de uma medida ao conjunto constituído por todos os 
seus algarismos corretos, mais o (único) algarismo duvidoso. 
 
 
 
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Quantidade de significativos de uma medida 
Se a medida foi realizada corretamente: 
Os algarismos de 1 a 9, sempre que aparecem numa medida, são significativos; 
 
O zero: 
 
Antes de algarismo diferente de zero não é algarismo significativo 
Depois de algarismo diferente de zero é significativo. 
 
Quantos significativos tem cada uma das medidas abaixo? 
 
 
Arredondamento 
 
Operação que permite reduzir a quantidade de significativos de uma medida. 
Corresponde a jogar informação fora. Por isso deve ser evitada sempre que possível. 
 
Como arredondar: 
 
Identificar o último algarismo que vai ser conservado. 
Observar o algarismo seguinte: 
Menor que 5: simplesmente desprezamos ele e todos que o seguem. 
5 ou maior que 5: desprezamos ele e todos que o seguem, mas acrescentamos 1 unidade no 
último que vai ser conservado. 
 
Arredonde para 3 significativos 
 
 
 
 
Operações com significativos 
 
Quando se realizam operações matemáticas com medidas de precisões diferentes, a pior medida 
determina a precisão do resultado. 
Se queremos um resultado mais preciso, precisamos melhorar as piores medidas. 
 
Exemplo: Somar 27,8 + 1,324 + 0,66 = 29,7 
Arredondar todas as parcelas para a quantidade de casas decimais da parcela que tiver menor 
número de casas decimais. 
Efetuar a operação. Todos os algarismos do resultado serão significativos. 
Multiplicação: 
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Efetuar normalmente a operação 
Arredondar o resultado para a quantidade de casas decimais da parcela que tiver menor número 
de casas decimais. 
Divisão: 
Efetuar a operação, continuando a divisão até obter uma casa decimal a mais do que a parcela 
que tem menor número de casas decimais. 
Arredondar o resultado para o número de casas decimais da parcela que tem menor número de 
casas decimais. 
 
 
Mudança de unidades: 
A operação não pode alterar a precisão da medida! 
3 cm = 0,03 m 
3 km = 3 x 103 m (e não 3.000 m) 
Relações trigonométricas no triângulo retângulo 
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias 
envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento 
adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a 
distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a 
trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar 
alguns conceitos. 
 
Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo. 
 
Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A 
hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois 
ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo 
retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações. 
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O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. 
 
O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. 
 
A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto 
adjacente. 
 
Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo 
abaixo: 
 
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Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo 
abaixo. 
 
Solução: Temos que 
 
 
 
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1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14) 
 
 
 
2. Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas. 
 
 
3. Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y 
indicadas no triângulo retângulo. 
 
 
 
4. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas. 
 
 
5. Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30cm. Determine a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
 
 
 
6. A diagonal de um quadrado mede 26 cm, conforme nos mostra a figura. 
Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado? 
 
 
 
 
 
 
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7. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo. 
O comprimento do fio é 80m. Determine a altura da pipa em relação ao solo. 
Dado 2 = 1,41 
 
8. Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura quando o 
sol está 30º acima do horizonte? Dado 3= 1,73 
 
 
9. Determine a altura do prédio da figura seguinte: 
 
 
 
10. Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se 
a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, 
conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir 
do solo horizontal. Dado 3= 1,73 
 
11. Observe a figura e determine: 
a) Qual é o comprimento da rampa? 
 
b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco? 
 
12. A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo α , 
como mostra a figura. Determine a altura h da torre se α = 30º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências	
  Bibliográficas	
  	
  
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  Ramalho,	
  Francisco	
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  al.	
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  Fundamentos	
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  Física,	
  Vol	
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Ed.	
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  Paulo:	
  Moderna,	
  2003.	
  	
  
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  2007.	
  	
  
	
  
Disponível	
  em	
  www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf	
  	
  
•	
  Halliday,	
  David;	
  Resnick,	
  Robert	
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  Walker,	
  Jearl.	
  Fundamentos	
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  Física,	
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  4.	
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  Ed.	
  Rio	
  de	
  Janeiro:	
  LTC,	
  
1996.	
  	
  
	
  
Notas	
  de	
  aulas	
  do	
  Professor	
  Dulceval	
  Andrade	
  de	
  Santana-­‐	
  Dulceval_andrade@yahoo.com.br	
  
 
Universidade de Brasília (UnB) 
http://www.unb.br/portal 
Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) 
http://www.unicamp.br 
Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (Unesp) 
http://www.unesp.br 
Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) 
http://www.uerj.br 
Universidade de São Paulo (USP) 
http://www.usp.br 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) 
http://www.ufrj.br 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) 
http://www.ufrn.br 
 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) 
http://www.ufrgs.br/ufrgs 
 
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar) 
http://www.ufscar.br 
 
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) 
http://www.ufsm.br