REVER E APRENDER_MAT_8ANO_PROFESSOR_REV7

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
8° ANO
M
A
TETM
Á
TIC
A
8° A
N
O
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 7CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 7 27/12/23 15:3327/12/23 15:33
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 1REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 1 18/12/2023 11:2618/12/2023 11:26
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
–
–
–
 
 
Uma produção
MATEMÁTICA | 8º ANO - PROFESSOR
Direção Editorial
Tiago Braga
Organização
Antonio Nicolau Youssef
Colaboradores 
Angel Honorato
Conceição Longo
Revisão
Ana Cristina Mendes Perfetti
Giovanna Petrólio
Miriam de Carvalho Abões
Victor Pugliese
Ilustrações
Dawidson França
Projeto Gráfico
Amplitude.PP
Diagramação
Fórmula Produções
Imagens
Adobe Stock
Shutterstock
Produção Executiva
Antonio Braga Filho
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 2REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 2 18/12/2023 11:2618/12/2023 11:26
3
MA
CATI
MÁTE
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 3REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 3 18/12/2023 11:2618/12/2023 11:26
4
Sumário
Números �������������������������������� 7
Múltiplos e divisores de um número natural ����������� 8
Mínimo múltiplo comum ����������������������� 8
Divisores ���������������������������������� 9
Números inteiros ������������������������������� 9
A reta numérica ������������������������������� 10
Oposto de um número inteiro ������������������ 10
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro ���� 11
Subtração de inteiros ������������������������ 12
Relação entre adição e subtração de inteiros ������� 12
Frações e seus significados ����������������������� 17
Fração equivalentes ���������������������������� 17
Propriedade fundamental das frações ������������ 17
Simplificação de frações ���������������������� 18
Operações com frações ������������������������� 19
Videoaula ����������������������������������� 19
Adição e subtração de frações ������������������ 20
Adição e subtração na forma mista �������������� 20
Multiplicação de frações ���������������������� 20
Divisão de frações ��������������������������� 21
Potenciação de frações ����������������������� 21
Radiciação de frações ������������������������ 21
Expressões numéricas com frações �������������� 21
Cálculo de porcentagens ������������������������ 26
Videoaula ����������������������������������� 26
Conjunto dos números racionais ������������������ 28
Videoaula ����������������������������������� 28
Representação geométrica dos números racionais ������ 30
Adição e subtração de racionais ������������������� 31
Multiplicação e divisão de racionais ���������������� 31
Geometria ������������������������������ 39
A circunferência como lugar geométrico ������������� 40
Lugar geométrico ��������������������������� 40
Ângulos em um triângulo ������������������������ 42
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 4REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 4 18/12/2023 11:2618/12/2023 11:26
5
Videoaula ����������������������������������� 42
Condições de existência de um triângulo ������������ 44
Videoaula ����������������������������������� 44
Ângulos alternos, colaterais e opostos �������������� 51
Videoaula ����������������������������������� 51
Transformações geométricas e simetrias ������������ 54
Polígonos regulares ���������������������������� 56
Álgebra �������������������������������� 65
Linguagem algébrica ���������������������������� 66
Equações do primeiro grau ���������������������� 67
Videoaula ����������������������������������� 67
Sequências e expressões algébricas ���������������� 69
Leis de formação de sequências numéricas �������� 70
Grandezas proporcionais ������������������������ 74
Razões ����������������������������������� 74
Proporcionalidade entre grandezas ���������������� 78
Videoaula ����������������������������������� 78
Regra de três simples ��������������������������� 79
Grandezas e medidas ���������������������� 87
Sistemas de medidas ��������������������������� 88
Quilograma �������������������������������� 88
Metro ������������������������������������ 89
Medidas de tempo �������������������������� 90
Cálculo de volume ����������������������������� 91
Área de figuras planas �������������������������� 92
Videoaula ����������������������������������� 92
Área do trapézio ��������������������������� 93
Área de um paralelogramo qualquer ������������� 94
Área do losango ���������������������������� 95
Medida do comprimento da circunferência ����������� 96
Probabilidade e estatística ����������������� 105
Eventos aleatórios ���������������������������� 106
Média e amplitude de um conjunto de dados �������� 109
Videoaula ���������������������������������� 109
Média aritimética �������������������������� 110
Gráficos de setores ��������������������������� 113
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 5REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7.indd 5 18/12/2023 11:2618/12/2023 11:26
6
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
Este é um material cuidadosamente desenvolvido para auxiliá-lo na recomposição de 
aprendizagem dos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental. Reconhecemos o desafio 
constante de proporcionar um ambiente educacional motivador, estimulando e criando 
oportunidade de aprendizagem eficaz numa sala de aula sempre muito heterogênea, 
principalmente quando nos reportamos ao ensino de conceitos e práticas matemáti-
cas, e é com esse propósito que este material foi concebido. Por isso, estamos felizes 
em estar com você nessa jornada de redescoberta e fortalecimento do conhecimento 
matemático dos seus alunos. Esperamos que o Rever e Aprender Matemática do 8º ano 
do Ensino Fundamental possa ser um aliado valioso para reforçar os alicerces da apren-
dizagem, fornecendo ferramentas práticas e estratégias pedagógicas para resgatar o 
interesse e a confiança dos alunos.
Sabemos que a Matemática, além de ser uma disciplina fundamental no currículo es-
colar, desempenha um papel essencial no desenvolvimento cognitivo e na formação 
integral das crianças. Ela não é apenas um conjunto de conceitos abstratos, mas uma 
linguagem que possibilita a compreensão e a relação diária com o mundo ao nosso 
redor. Ao dominar as habilidades matemáticas desde os primeiros anos escolares, os 
alunos não apenas adquirem competências técnicas, mas também desenvolvem o pen-
samento lógico, a resolução de problemas e a capacidade de raciocínio crítico.
O letramento matemático para alunos do 8º ano do Ensino Fundamental deve ser es-
truturado de acordo com as diretrizes estabelecidas pela Base Nacional Comum Cur-
ricular (BNCC). A BNCC propõe uma abordagem interdisciplinar, valorizando a contex-
tualização dos conteúdos e a aplicação prática dos conceitos. Nesse sentido, nosso 
material busca alinhar-se com tais princípios, apresentando atividades e recursos que 
promovem a aprendizagem significativa e conectada ao cotidiano dos estudantes.
Em matemática, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas, que orien-
tam a formulação de habilidades a serem desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamen-
tal. São elas: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e 
Estatística.
Uma palavra inicial
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 6REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 6 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
7
Números
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhorcompreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7º ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Múltiplos e divisores 
• Números inteiros 
• Fração e seus significados 
• Operações com frações 
• Cálculo de porcentagens 
• Números racionais 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 7REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 7 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
UNIDADE 1
PROFESSOR
O trabalho com os números consiste em apresentar aos estudantes a resolução de problemas envol-
vendo números naturais e a comparação e ordenação de números inteiros, bem como a resolução 
de problemas relacionados. Ainda nesta unidade temática, aprofundaremos a discussão sobre as 
frações, iniciada no ano anterior, criando e resolvendo problemas com o conceito. Trabalharemos 
também com o conceito de porcentagens, principalmente no contexto da educação financeira, e 
ampliaremos o conhecimento de conjuntos numéricos, entendendo as principais operações e o de-
senvolvimento de resolução de problemas envolvendo o conjunto dos números racionais. 
Vale dizer também que é bastante importante que os estudantes percebam uma evolução no con-
ceito de fração a partir da compreensão da natureza dos números racionais. Para tanto, é necessário 
que deixem de entender frações apenas como uma parte do todo para compreendê-las como ex-
pressão de um número. 
A unidade temática será desenvolvida a partir de 6 temas:
1. Múltiplos e divisores de um número natural
2. Números inteiros
3. Fração e seus significados
4. Operações com frações
5. Cálculo de porcentagens
6. Números racionais
Desenvolvimento 
em 6 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 10REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 10 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Tema 1: Múltiplos e divisores de um número natural
Uma atividade interessante para o desenvolvimento dos trabalhos com múltiplos e divisores é a 
tabela pitagórica. Para isso, seria importante cada aluno construir sua tabela e tê-la sempre em 
mãos.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 25 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 43 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Outra sugestão seria utilizar jogos digitais para treinar os múltiplos e divisores, disponíveis no link 
a seguir.
https://linkja.net/MultiplosEDivisores. Acesso em 14 out. 2023
Caso não haja possibilidade do uso de computador ou outro dispositivo, pode ser realizado o jogo 
de múltiplos em formato de papel, consultando uma tabela pitagórica com disposição aleatória dos 
números.
Exemplo: labirinto dos múltiplos de 6. Pintar o caminho dos múltiplos de 6.
12 19 8 60 18 30 36 48 24 5
48 27 45 42 47 46 33 17 12 54
18 9 24 12 11 26 2 21 21 18
42 21 48 58 37 37 12 6 48 30
36 54 6 51 20 54 60 31 56 34
57 7 58 24 36 30 37 18 54 24
17 40 57 48 50 10 48 36 27 6
11 53 54 6 2 60 30 37 30 12
35 27 60 28 27 42 34 35 42 17
1 44 36 24 18 6 47 43 18 36
Fonte: https://www.coquinhos.com/labirinto-de-multiplos-e-divisores/play/
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 11REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 11 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Tema 2: Números inteiros
É possível explorar os números inteiros de diversas maneiras, seja através da representação na 
reta numérica para operações matemáticas, seja por meio de um simulador. Veja como você pode 
realizar comparações entre números inteiros na reta numérica utilizando o simulador disponível no 
link: https://linkja.net/jogo2. Acesso em 13 out. 2023
Simplificar =
−Identificar Operação
Identificar Pontos
Marcas na Escala
−2 + −6
+ −6
-10 -9 -8
-8
-7 -6 -5 -4 -3 -2
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10 até 10
−6
−
+
Simplificar =
−Identificar Operação
Identificar Pontos
Marcas na Escala
−2 + −6
− −6
-10 -9 -8
-4
-7 -6 -5 -4 -3 -2
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10 até 10
−6
−
+
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 12REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 12 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
Tema 3: Fração e seus significados
A tabela pitagórica é excelente para o trabalho com frações equivalentes e simplificação de frações, 
pois pode ser feita em papel e, quando dobrada, pode-se encontrar as frações nas tabuadas de 1 a 
10 que se apresentem equivalentes. 
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 25 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 43 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tomemos como exemplo para encontrar as frações equivalentes a ela. Sendo , pegamos as tabuadas 
do 2 e do 5. Dobramos, fazendo um vinco na tabuada do cinco para chegar até a tabuada do 2, 
como na imagem:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 25 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 43 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Desta forma, teremos as frações: como equivalentes a Assim os alunos terão maior compreensão 
dessas equivalências.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 13REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 13 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 1
Tema 4: Operações com frações
Inicie o trabalho com o tema utilizando a videoaula “Operações com frações” disponibilizada no 
livro e, como complementação para treinar a visualização de números mistos, acesse um simulador 
que demonstra claramente, por meio de figuras e texto, a sua representação. Ele está disponível no 
link: https://linkja.net/simulador. Acesso em 13 out. 2023.
−
0 1
Máx
3
2 2
8
2 =
2
8
18
8
18
8
Número Misto
1
8
Tema 5: Cálculo de porcentagens
Inicie o trabalho com a videoaula “Cálculo de porcentagens”, disponível no livro. Em seguida, 
organize a classe em grupos de até 5 alunos e proponha uma pesquisa de diversas situações em 
que existam ofertas de descontos. 
A partir da identificação dos descontos em cada uma das situações pesquisadas, os alunos do 
grupo deverão realizar os cálculos das porcentagens, anotá-los e transcrevê-los para um cartaz 
onde devem estar também as promoções pesquisadas. Os cartazes devem fazer parte de um painel, 
criando um contexto em que cada grupo apresente seu trabalho, as dificuldades que encontrou e 
os diversos processos utilizados nos cálculos.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 14REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 14 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
Aula 6: Números racionais
Inicie o trabalho com a videoaula “Conjunto dos números racionais”, disponível no livro. Sugerimos 
que você acesse o link a seguir para ter acesso ao material elaborado pela UNESP, disponível 
gratuitamente para download, que traz dois jogos para serem utilizados em sala de aula (Rouba 
Monte e Trilha), implementando a aprendizagem de números racionais. Os jogos, suas regras e a 
forma de utilizá-los estão prontos para serem copiados e distribuídos para os alunos. 
https://linkja.net/jogosUnesp. Acesso em 11 out. 2023.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF07MA01) (EF07MA02) (EF07MA03) (EF07MA04) (EF07MA05) (EF07MA08) (EF07MA10) 
(EF07MA11) (EF07MA12) 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 15REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 15 10/01/2418:4710/01/24 18:47
8
Múltiplos e divisores 
de um número natural
Já conhecemos o conjunto dos números naturais, representado pelo símbolo N.
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Agora, vamos aprofundar o conhecimento sobre esses números.
• Múltiplos de um número
Quando dizemos que um número é divisível por outro, estamos dizendo que ele é múltiplo do 
outro. Por exemplo:
• 54 é divisível por 3 ñ 54 é múltiplo de 3.
• 1 024 é divisível por 2 ñ 1 024 é par.
• 35 é divisível por 7 ñ 35 é múltiplo de 7.
Observe nos exemplos que também podemos escrever:
• 54 = 18 × 3
• 1 024 = 512 × 2
• 35 = 5 × 7
Isso significa que um múltiplo é sempre o resultado de uma multiplicação de um número natural por 
um natural. Também podemos dizer que todo número natural tem um conjunto de múltiplos, assim 
como tem um conjunto de divisores.
Para obtermos, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 3, multiplicamos um a um os números 
naturais por 3:
3 × 0 = 0; 3 × 1 = 3; 3 × 2 = 6; 3 × 3 = 9; 3 × 4 = 12; ...
Veja como fica a sequência de todos os múltiplos de 3:
0, 3, 6, 9, 12, ...
Para o 7, a sequência de seus múltiplos será:
0, 7, 14, 21, 28, 35...
Já para o número natural zero, a sequência de múltiplos só terá um elemento, o próprio zero, pois 
multiplicando-se cada natural por zero, encontraremos sempre zero. Veja: 
0 × 0 = 0;  0 × 1 = 0;  0 × 2 = 0;  0 × 3 = 0;  0 × 4 =  0; ...
Por outro lado, você deve observar que o zero é múltiplo de qualquer número natural, pois 
multiplicando-se qualquer natural por zero, obtém-se zero:
0 × 0 = 0;  1 × 0 = 0;  2 × 0 = 0;  3 × 0 = 0;  4 × 0 = 0; ...
Mínimo múltiplo comum
Chamamos de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais diferentes de zero ao 
menor número não nulo que é múltiplo de todos eles.
EF07MA01
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 8REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 8 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
9
Para encontrarmos o mmc de dois ou mais números, decompomos simultaneamente esses números 
em fatores primos. O mmc deles será então o produto de todos os fatores primos encontrados.
Exemplos:
1. Para calcular o mmc (8, 10), decompomos simultaneamente 8 e 10 em fatores primos:
8, 10 2 
4, 5 2 mmc (8, 10) = 23 ? 5
2, 5 2 mmc (8, 10) = 40
1, 5
1, 1
5 
2. Vamos calcular o mmc (5, 6, 10):
5, 6, 10 2
5, 3, 5 3
5, 1, 5 5 mmc (5, 6, 10) = 2 × 3 × 5
1, 1, 1 mmc (5, 6, 10) = 30
Divisores
Vamos considerar dois números naturais, sendo o primeiro diferente de zero. Dizemos que o 
primeiro é divisor do segundo se este for divisível pelo primeiro.
Por exemplo:
• 4 é divisor de 28, pois 28 é divisível por 4.
• 5 é divisor de 35, pois 35 é divisível por 5.
Dizer que um número é divisor de outro é o mesmo que dizer que este segundo número é múltiplo 
do primeiro.
Máximo divisor comum
O máximo divisor comum (mdc) entre dois ou mais número é o maior número natural divisor de 
todos esses números.
Números inteiros
Se reunirmos, num só conjunto, os números naturais e seus correspondentes negativos, obteremos 
o conjunto dos números inteiros, indicado pelo símbolo Z.
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Lembrando que os símbolos ∈ e ∉ representam, respectivamente, pertence e não pertence, 
podemos escrever:
• 6 ∈ Z • −6 ∈ Z • 2
3
 ∉ Z • −0,5 ∉ Z 
EF07MA03 e EF07MA04
Se julgar pertinente, 
apresente aos estudantes 
algumas ferramentas 
digitais que possam 
ajudar no cálculo do 
mmc e do mdc, como 
aplicativos de celular ou 
calculadoras on-line na 
internet. Isso pode ser 
útil para eles conferirem 
as respostas das 
atividades.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 9REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 9 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
10
Note que todo número natural pertence a Z, pois reunimos os naturais a seus correspondentes 
negativos. Assim:
0 ∈ Z; 1 ∈ Z; 2 ∈ Z; 3 ∈ Z; 4 ∈ Z etc.
Portanto, podemos dizer que o conjunto N está contido no conjunto Z. Esse fato é indicado por N ⊂ Z, 
que significa “N está contido em Z”, e representado pela figura:
N
Z
O símbolo ⊂ (está contido), neste caso, relaciona o conjunto N com o conjunto Z. Em outras palavras, 
a figura indica que todo número natural é um número inteiro, mas nem todo inteiro é um número 
natural. Você consegue depreender isso da figura?
A reta numérica
O conjunto Z pode ser representado numa reta numérica:
–1 10 2 3 4–2–3–4
Observe que é possível comparar dois números inteiros a partir da posição que ocupam na reta 
numérica. Assim, um ponto à direita de um número é sempre maior que outro à esquerda desse 
número. 
Por exemplo:
0 > −3
−4 < 1
−2 > −3
Oposto de um número inteiro
Dizemos que dois números inteiros são opostos quando são representados por pontos que se 
encontram à mesma distância do zero. Isso equivale a dizer que dois números opostos estão sempre 
em lados opostos da reta, em relação ao ponto que representa o zero. 
Os números inteiros −3 e 3 são opostos. Veja as posições desses números em relação ao zero:
0 3–3
distância = 3distância = 3
Quando dois números inteiros são opostos, podem também ser chamados de simétricos. Por 
exemplo:
• O simétrico de 4 é −4.
• O simétrico de −8 é 8.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 10REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 10 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
11
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro
Módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero, na reta dos 
números inteiros. Veja na figura que o módulo de −3 é igual ao módulo de 3, pois ambos distam 3 do 
zero.
0 3–3
distância = 3distância = 3
Para representar o módulo de um número, utilizamos duas barras verticais. Assim:
• |+3| = 3
• |−3| = 3
• |−7| = 7
• |0| = 0
• |9| = 9
Como a distância é sempre um número positivo, o módulo de um número será sempre positivo. 
O módulo é, também, um importante elemento na comparação de dois números inteiros.
Se representarmos o conjunto Z em uma reta, podemos verificar que:
• entre dois números inteiros positivos, o maior é o que tem maior módulo.
5 > 2 e |5| > |2|
0 1 2 3 4 5 6–3–4–5–6 –2 –1
distância = 2
distância = 5
• entre dois números inteiros negativos, o maior é o que tem menor módulo.
– 4 > – 6 e |–4| < |–6|
0 1 2 3 4 5 6–3–4–5–6 –2 –1
distância = 4
distância = 6
Adição de números inteiros
Podemos, então, estabelecer uma regra para a adição de números inteiros:
a) Se dois números inteiros têm o mesmo sinal, sua soma será a soma dos módulos com o sinal dos 
dois números.
b) Se dois números inteiros têm sinais diferentes, sua soma será a diferença entre seus módulos, 
com o sinal do número de maior módulo.
Acompanhe os exemplos:
• (−3) + (−2) = −5
• (−7) + (+5) = −2
• (+50) + (70) = +120
• (+17) + (−9) = +8
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 11REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 11 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
12
Agora que já sabemos como nos comportar diante de uma adição de números inteiros, podemos 
simplificar a notação que utilizamos, lembrando que:
• O sinal de (+) na frente de um número positivo é desnecessário.
• Quando temos o sinal de (+) na frente de um número negativo, prevalece o sinal negativo.
Os exemplos que demos acima poderiam ser escritos da seguinte forma:
• (–3) + (–2) = −5 ñ −3 − 2 = −5
• (–7) + (+5) = −2 ñ −7 + 5 = −2
• (+50) + (+70) = +120 ñ 50 + 70 = 120
• (+17) + (−9) = +8 ñ 17 – 9 = 8
Subtração de inteiros
Sendo a e b dois números inteiros quaisquer, efetuar a − b é somar a com o oposto de b.
• Relação entre adição e subtração de inteiros
Considerando-se o conjunto dos números inteiros, podemos dizer que adição e subtração são 
operações inversas. Veja os exemplos:
a) Partindo de 13 e somando 4, obtém-se 17.
0 10 13 175–5–10
adicionamos 4
13 + 4 = 17
b) Partindo-se de 17 e subtraindo 4, obtém-se 13.
0 10 13 175–5–10
subtraímos 4
Considerando um número inteiro 13, somando-o com 4 e depoissubtraindo 4 do resultado, 
voltamos ao número 13.
Por essa razão, dizemos que adição e subtração são operações inversas. De maneira geral, se a e b 
são dois números inteiros, podemos escrever:
• se a + b = c então c − b = a
• se a − b = c então c + b = a
Ao estudar Matemática, essa relação entre adição e subtração será muito importante. Ela ajuda a 
resolver pequenos problemas, como o dos exemplos a seguir:
Que número inteiro devemos somar a 18 para obtermos 25? Vamos representar o número por “. 
Dessa forma, nosso problema pode ser escrito assim:
“ + 18 = 25
Como a operação inversa de somar 18 é subtrair 18, temos:
“ = 25 – 18 ñ “ = 7
Em Matemática, quando queremos encontrar um valor desconhecido, costumamos utilizar a letra 
x, simbolizando uma incógnita (valor desconhecido). Assim, utilizando-se x em vez de “, nosso 
problema fica:
x + 18 = 25 ñ x = 25 – 18 ñ x = 7
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 12REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 12 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
13
Atividades
1. Em cada caso, escreva o menor algarismo que pode ser colocado no lugar de para que o 
número assim formado seja:
a) 99 (  ) ñ múltiplo de 3.
b) 55 (  ) ñ múltiplo de 4.
c) 179 (  ) ñ múltiplo de 6.
d) 754 (  ) ñ múltiplo de 9.
2. Escreva a sequência dos dez primeiros números naturais que sejam múltiplos de:
a) 3 
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
b) 7 
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
c) 9
0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
d) 11
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
3. Escreva a sequência dos múltiplos de 2 e de 5 e determine o mmc (2, 5).
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ...
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ...
mmc (2, 5) = 10
4. A partir das sequências dos múltiplos de 3 e dos múltiplos de 6, determine o mmc (3, 6).
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 ...
0, 6, 12, 18, 24, ...
mmc (3, 6) = 6
0
2
4
2
EF07MA01, EF07MA03 e EF07MA04
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 13REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 13 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
14
5. Assinale verdadeiro ou falso:
a) 9 é divisor de 63. (  ) 
b) 12 é divisor de 94. (  ) 
c) 13 é divisor de 78. (  ) 
d) 20 é divisor de 90. (  ) 
6. Verifique se 4 é um divisor de:
a) 18  não
b) 36  sim
c) 55  não
d) 1 204  não
7. Analise os números 0, 1, 12, 36, 38, 108, 196 e 432 e diga quais deles são divisores de 108?
1, 12, 36, 108
8. Escreva a sequência de:
a) Todos os números naturais que são divisores de 18. 1, 2, 3, 6, 9, 18
b) Todos os números naturais que são divisores de 30. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
9. Determine o mdc (12, 16) a partir das sequências de divisores de cada um dos números. 
12 1, 2, 3, 4, 6
16 1, 2, 4, 8
mdc (12, 16) = 4
10. Escreva a sequência dos divisores de 21 e dos divisores de 35 e dê o mdc (21, 35).
21 1, 3, 7
35 1, 5,7
mdc (21, 35) = 7
11. Calcule:
a) mdc (27, 36)  mdc = 9
b) mdc (45, 75)  mdc = 15
c) mdc (20, 26)  mdc = 2
d) mdc (16, 21)  mdc = 1
12. Um serralheiro deseja cortar um paralelepípedo de 27 cm 3 45 cm 3 60 cm, obtendo o 
aproveitamento máximo ao dividir esse paralelepípedo em vários cubos de medidas iguais. 
Qual é a maior medida que os cubos podem ter?
9 cm · 15 cm · 20 cm
V
F
V
F
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 14REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 14 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
15
13. Uma pessoa tinha R$ 350,00 no banco e deu dois cheques de R$ 200,00 cada um. Essa 
pessoa ficou com saldo positivo, negativo ou nulo? Qual o valor do saldo?
Ficou com o saldo negativo. Saldo = − R$50,00
14. Diga quais das sentenças abaixo são verdadeiras:
a) 5 , 7
b) –5 , 7
c) –4 , –6
d) 2 , –3
e) 0 . –8
f) 0 , –7
g) –8 , –7
h) –9 . –7
15. Qual o módulo de cada um dos seguintes inteiros:
a) 8  8 b) –9  9 c) –23  23 d) 33  33
16. Responda:
a) Qual é o simétrico de –15?  15
b) Qual é o valor absoluto de –15?  15
c) Qual é o simétrico do simétrico de –15?  –15
d) Qual é o simétrico do valor absoluto de 18?  –18
17. Efetue as adições:
a) 7 + (–7)  0
b) 3 + (–7)  –4
c) (–12) + (–2)  –14
d) 10 + (–9)  1
e) (–8) + 11  3
f) 9 + 6  15
g) 0 + (–3)  –3
h) (–7) + 0  –7
18. Considerando que lucros são números positivos e prejuízos são números negativos, resolva 
os problemas a seguir:
a) Num final de semana, um vendedor ambulante teve um prejuízo de 30 reais no sábado e um 
lucro de 70 reais no domingo. Esse fim de semana deu lucro ou prejuízo? De quanto?
(–30) + 70 = +40 → lucro
b) Um cinema teve um prejuízo de 40 mil reais na festa de lançamento de um filme no início do 
mês. No restante do mês, acumulou um prejuízo de mais 8 mil reais nas vendas de ingresso, com 
exceção do último final de semana, em que conseguiu um lucro de 9 mil reais. Qual o resultado 
ao final deste mês?
(–40 000) + (–8 000) + 9 000 = –39 000 → prejuízo
a, b, e, g
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 15REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 15 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
16
19. Transforme cada subtração dada em uma adição de inteiros e, a seguir, calcule o resultado.
a) 12 – 15
12 – 15 = 12 + (–15) = –3
b) (–1) – (–10)
(–1) – (–10) = (–1) + 10 = 9
c) 18 – (–4)
18 – (–4) = 18 + 4 = 22
d) (–10) – 5
(–10) – 5 = (–10) + (–5) = –15
e) 15 – 6
15 – 6 = 15 + (–6) = 9
f) 0 – (–7)
0 – (–7) = 0 + 7 = 7
g) 0 – 7
0 – 7 = 0 + (–7) = –7
20. Considerando o térreo como andar zero, o primeiro subsolo como −1 e o segundo como −2, 
responda:
a) quantos andares sobe uma pessoa que vai do andar –2 ao andar 12? 
b) represente a resposta do item anterior com uma subtração.
21. Que número inteiro deve ser colocado no lugar de = para tornar as sentenças verdadeiras?
a) = – 15 = –21  –6
c) –36 + = = 26  –36
b) = + 15 = –21  62
d) –36 + = = –26  10
14
12 – (–2)
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 16REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 16 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
17
Fração e seus significados
• Frações equivalentes:
Observe que 1
2
 e 2
4
 representam a mesma a mesma área do retângulo a seguir.
1
2 2
4
Como 1
2
 = 2
4
 podemos dizer que 1
2
 e 2
4
 são frações equivalentes.
Duas ou mais frações são equivalentes quando representam a mesma parte do todo.
• Propriedade fundamental das frações:
Para compreender essa propriedade, observe a figura que representa 3
4
 do retângulo.
3
4
Vamos agora dividir cada uma das partes em duas partes iguais. Observe o que ocorre:
6
8
Se você observou corretamente, deve ter percebido que:
• o número de partes foi multiplicado por 2: passou de 4 para 8;
• o número de partes pintadas também foi multiplicado por 2: passou de 3 para 6;
• a parte pintada do retângulo continuou igual.
Considerando, agora, as frações que representam as duas figuras, podemos ver que, quando 
multiplicamos o numerador e o denominador de 3
4
 por 2, obtivemos a fração equivalente 6
8
.
De uma forma geral, podemos enunciar a propriedade fundamental das frações da seguinte forma:
Multiplicando o numerador e o denominador de qualquer fração pelo mesmo número natural, não 
nulo, sempre se obtém uma fração equivalente à inicial.
EF07MA05, EF07MA06, 
EF07MA07, EF07MA08 e 
EF07MA09
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 17REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 17 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
18
Simplificação de frações
Outra consequência importante da propriedade fundamental é que, para uma fração qualquer, 
existem outras infinitas frações equivalentes a ela. Veja:
= = = = =4
5
8
10
12
15
16
20
20
25
24
30
 = ...
Todas essas são equivalentes a 4
5
 e representam a parte do todo. A fração 4
5
 é a mais simples de 
todas as equivalentes, pois tem o menor numerador e o menor denominador.
Assim, você pode perceber que simplificar (ou reduzir)uma fração é encontrar uma equivalente que 
tenha o menor numerador e o menor denominador possíveis. Simplifica-se uma fração aplicando a 
propriedade fundamental das frações, isto é, dividindo seu numerador e seu denominador por um 
divisor comum, diferente de 1.
Vamos simplificar, por exemplo, a fração 
15
60
• Dividimos o numerador e o denominador por 5:
÷
÷
=15 5
60 5
3
12
• Ainda podemos simplificar mais dividindo o numerador e o denominador por 3:
÷
÷
=3 3
12 3
1
4
Encontramos a fração 1
4
, que é uma forma simplificada de 15
60
.
Quando uma fração não puder mais ser simplificada (ou reduzida), como no caso de 1
4
 dizemos 
que ela é uma fração irredutível. Em outras palavras, numa fração irredutível, não existe mais um 
divisor comum, diferente de 1, para o numerador e o denominador.
Comparar duas frações é dizer se elas são ou não iguais ou se uma delas é maior ou menor que 
a outra. Para isso, é necessário que tenhamos frações com mesmos denominadores, pois, assim, 
basta compararmos os denominadores. 
De forma geral, para comparar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao 
menor denominador comum calculando o mmc dos denominadores, encontrando, assim, frações 
equivalentes às iniciais. Caso o denominador seja o mesmo, basta comparar os numeradores. 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 18REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 18 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
19
Adição e subtração de frações
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
19
EF06MA03
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 19REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 19 10/01/24 18:4710/01/24 18:47
20
Adição e subtração de frações
No caso em que as frações têm mesmo denominador, basta conservá-lo e somar os numeradores. 
Veja o exemplo a seguir.
+ = + =5
7
1
7
5 1
7
6
7
O mesmo ocorre com a subtração quando os denominadores são iguais. Observe:
− = − =7
11
2
11
7 2
11
5
11
Quando as frações a serem somadas ou subtraídas têm denominadores diferentes, devemos fazer 
a redução ao mesmo denominador para depois realizar a adição ou subtração dos numeradores.
Como exemplo, vamos efetuar +1
2
1
3
mmc (2, 3) = 6
1
2
1
3
2
6
1
3
2
2
|||||||
6 6 v2 = 3 = =
1
2
1
2
3
6
1
2
3
3
|||||||
6
6 v2 = 3 = =
Então: + = + =1
2
1
3
3
6
2
6
5
6
Realizamos o mesmo procedimento numa subtração como −3
4
1
10
mmc (4, 10) = 20
Adição e subtração na forma mista
Para realizar as operações de adição e subtração com frações na forma mista, é necessário, em 
primeiro lugar, transformar as frações na forma simples. Observe o exemplo a seguir:
2 2
3
 + 1 1
2
 = 2 + 2
3
 + 1 + 1
2
 = 12
6
 + 4
6
 + 6
6
 + 3
6
 = 25
6
 = 4
1
6
Multiplicação de frações
A multiplicação de frações não depende da igualdade dos denominadores. Basta multiplicar 
os numeradores e os denominadores das duas frações para obter a fração produto. Observe 
o exemplo:
⋅ = ⋅
⋅
=2
3
5
7
2 5
3 7
10
21
Operações com frações
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 20REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 20 10/01/24 18:4810/01/24 18:48
21
Divisão de frações
Para compreendermos o que ocorre numa divisão de frações, vamos fazer a divisão de 2 inteiros 
pela fração 1
5
 Observe, na figura, que dividimos cada unidade em 5 partes, de tal maneira que 2 
tem 10 vezes a fração 1
5
.
1 1
2
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Assim, podemos dizer que 1
5
 cabe 10 vezes em 2. Essa constatação é o mesmo que fazermos a 
seguinte divisão:
2 ÷ 1
5
 = 10
Veja que a divisão por 1
5
 tem o mesmo resultado que a multiplicação pelo seu inverso:
2 + 1
5
 = 10 e 2 × 5
1
 = 10
Potenciação de frações
Você já conhece a potenciação de um número natural. Pois bem, a potenciação de frações é definida da 
mesma maneira: multiplica-se a base por ela mesma tantas vezes quantas o expoente natural indicar. 
Veja os exemplos a seguir
• 



= ⋅ ⋅ = =2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
8
125
3 3
3
• 




= ⋅ = =5
6
5
6
5
6
5
6
25
36
2 2
2
Radiciação de frações
A raiz quadrada é a operação inversa de elevar um número ao quadrado, a raiz cúbica é a operação 
inversa de elevar um número ao cubo, e assim sucessivamente. Vale a pena recordar, observado os 
exemplos:
9 3 3 9
8 2 2 8
256 4 4 256
2
3 3
4 4
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
   
9 3 3 9
8 2 2 8
256 4 4 256
2
3 3
4 4
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
   
9 3 3 9
8 2 2 8
256 4 4 256
2
3 3
4 4
= ↔ =
= ↔ =
= ↔ =
Com as frações, a radiciação ocorre da mesma forma.
• Expressões numéricas com frações
Vamos, agora, trabalhar com expressões numéricas envolvendo adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação e radiciação de frações. Para isso, lembre-se de que continua valendo a 
hierarquia das operações e dos sinais de associação:
• Operações
• Potenciações e radiciações 
• Multiplicações e divisões 
• Adições e subtrações
• Sinais de associação
• Parênteses ( )
• Colchetes [ ]
• Chaves { }
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 21REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 21 10/01/24 18:4810/01/24 18:48
22
Atividades
22. Quais das frações a seguir são equivalentes a 58 ?
( ) 10
16
( ) 1532 ( ) 60
64
( ) 80
128
23. Para que 5
8
 = 15 sejam equivalentes, que número deve ser colocado no lugar de Y?
Como o numerador foi multiplicado por 3, o denominador também deve ser 8 ⋅ 3 = 24, logo Y = 24.
24. Responda em seu caderno:
a) Um meio equivale a quantos oitavos?
b) Dois terços equivalem a quantos nonos?
25. Compare as frações a seguir, colocando os sinais >, < ou =.
a) 5
10
 > 3
10
b) 7
12
 < 11
12
c) 8
11
 > 5
11
d) 63
100
 > 53
100
26. Em seu caderno, reduza as frações de cada item ao menor denominador comum e compare 
as frações, preenchendo o espaço com ., , ou 5.
a) 5
8
< 7
9
b) 4
15
< 5
18
c) 7
12
> 11
20
d) 5
14
< 8
21
27. Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada.
a) +3
13
5
13
 
8
13
b) −9
10
7
20
 
18
20
7
20
11
20
− =
c) +2
9
6
9
 
8
9
d) −11
18
5
12
  22
36
15
36
7
36
− =
e) +5
16
3
16
  8
16
1
2
=
f) +4
21
1
14
  8
42
3
42
11
42
+ =
Y
1
2 equivale a 
4
8 pois 1 ⋅ 8 = 2 ⋅ 4
2
3 equivale a 
6
9 pois 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6
X
EF07MA05, EF07MA06, 
EF07MA07, EF07MA08 e 
EF07MA09
A fração 10/16, pois dividindo-se 
numerador e denominador por 2, 
obtém-se 5/8. O mesmo ocorre com 
a fração 80/128 que também resulta 
em 5/8 se dividirmos o numerador e o 
denominador por 16.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 22REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 22 10/01/24 18:4810/01/24 18:48
23
g) −6
7
2
7
  4
7
28. Faça as operações indicadas a seguir
a) 3 1
3
 + 2 1
3
b) 7 1
4
 – 3 1
3
c) 5 1
8
 + 1 1
2
d) 6
2
5
 – 4 2
5
29. Já li 3
5
 do livro e ainda faltam 80 páginas. Quantas páginas tem o livro?
Faltam 2
5
 do livro, que equivalem a 80 páginas. Logo, chamando de L o número de páginas, teremos 
2
5
 → L = 200 páginas.
30. Use o cancelamento para efetuar os seguintes produtos:
a) ⋅5
7
3
5
 
b) ⋅3
5
1
9
c) ⋅5
14
21
8
d) ⋅3
10
5
8
e) ⋅2
15
9
20
f) ⋅22
35
28
33
10
3
7
3
17
3
+ =
2
3
= 5
11
12
= 329
4
10
3
87
12
– =
40
12
–
1
42
= 340
8
3
2
40
8
+ =
12
8
52
8
13
2
+ = =
332
5
22
5
10
5
– = = 2
3
7
1
15
15
16
3
16
3
10
8
15
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 23REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 23 10/01/24 18:4810/01/24 18:48
24
31. Uma pesquisa com 1 200 pessoas apontou que 3
4
 delas praticam esportes e que 2
5
 dos quepraticam esportes fazem atletismo.
a) Que fração das pessoas pesquisadas pratica atletismo?
Chamando de P o número de pessoas pesquisadas e de A o das que praticam atletismo, temos: A = 2
5
3
4
⋅  p → A = 3
10 P
b) Quantas são as pessoas que não praticam nenhum esporte?
Se 3
4
 praticam esportes, 1
4
 não pratica. 
32. Calcule a divisão indicada em cada item apresentando como resultado uma fração 
irredutível.
a) ÷3
5
2
3
b) ÷1
10
10
3
c) ÷2
5
1
2
d) ÷7
8
14
9
33. Calcule o valor das expressões:
a) 
+1
8
7
40
12
5
b) 
+
+
1
3
1
4
1
2
1
3
34. Calcule as seguintes potências:
a) 



2
3
5
b) 



1
2
4
c) 



4
7
3
d) 



11
15
2
⋅ 9
10
3
5
3
2
= 
⋅
3
100
1
10
3
10
= 
⋅
4
5
2
5
2 = 
⋅
7
8
9
14
= 14
+
1
8
7
40
+
12
5
5
40
7
40
+
12
5
= ==
12
40
5
12
1
8
⋅
1
3
1
4
+
4
12
3
12
+
1
2
1
3
+ 3
6
2
6
+
= ==
7
12
6
5
7
10
25
35
32
243
=
14
24
1
16
=
43
73
64
343
=
112
152
121
225
=
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 24REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 24 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
25
e) 



14
101
1
f) 



37
98
0
35. Efetue as radiciações:
a) 4
25
b) 49
100
c) 27
64
3
d) 81
16
4
36. Calcule o valor das expressões.
a) +




⋅ −




1
2
2
7
7
3
2
3
2
b) 
−




⋅ +




2 3
2
5 1
5
1
7
2
37. Calcule o valor das expressões.
a) 2 – 16
81
4
b) + ⋅1
2
2
3
9
16
c) 1 – ⋅1
2
4
9
 
d) ⋅ +






25
16
2
3
64
27
3
e) ⋅ ⋅ −






1
121
11
5
4
3
1
27
3
2
f) 
+ ⋅




+




3 4
5
25
4
1
2
2
3
2 2
141
1011
14
101
=
370
980
= 1
4
25
= 2
5
49
100
= 7
10
27
64
= 3
4
3
3
81
16
= 3
2
4
4
9
14
7
3
– 4
9
= 63
12
– 4
9
= 189
36
– 16
36
= 173
36
⋅
1
2
512
35
=
1
4
12
7
= 1
4
7
12
= 7
48
2
⋅� � � �
2 – 2
3
= 4
3
1
2
+ 2
3
3
4
= 1
2
+ 1
2
=1⋅
1- 1
2
2
3
= 1- 1
3
= 2
3
⋅
5
4
2
3
+ 4
3
= 5
4
6
3
= 10
4
= 5
3
⋅
� �
1
11
11
5
4
3
– 1
3
= 1
5
3 = 9
5
2
2⋅ ⋅ ⋅
� �
3+4
5
5
2
1
4
+4
9
= 11
5
3+2
9
36
+ 16
36
= 5
25
36
= 36
5
⋅
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 25REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 25 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
26
Cálculo de porcentagens
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
26
EF07MA02
Chame a atenção ao pragmatismo desse tema no contexto 
da educação financeira. Questione os estudantes quanto 
aos contextos em que eles utilizam esses conceitos e 
quanto à importância do tema em nossa vida cotidiana.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 26REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 26 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
27
O cálculo com porcentagens baseia-se na ideia de transformar os numeradores das frações em 
100. Em outras palavras, as porcentagens são razões especiais, nas quais os denominadores são 
sempre iguais a 100.
O uso de porcentagens para quantificar grandezas é bastante conveniente, uma vez que se trata 
de uma razão com denominador 100, o que simplifica significativamente os cálculos. A aplicação 
de porcentagens baseia-se também na propriedade fundamental das proporções, a mesma que 
aplicamos na resolução de problemas com regras de três. Observe alguns exemplos:
434 é quantos por cento de 2 800?
Da mesma forma que no exemplo anterior, podemos fazer esse cálculo de três maneiras: 
• Por regra uma regra de três em que 2 800 representa 100%. 
porcentagem valor
x
100
434
2 800
x
100
434
2 800
= ñ x = 15,5%
• Fazendo com que 434 seja igual x% de 2 800.
434 = x% de 2 800 ñ 434 = x
100
 × 2 800x = 15,5% 
• Calculando diretamente a razão 434
2800 
e multiplicando o resultado por 100:
x
100
434
100
= ñ x = 0,15 ⋅ 100 ñ = 15,5%
Cálculo de porcentagens
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 27REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 27 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
28
Conjunto dos números racionais
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
28
EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 28REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 28 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
29
O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por uma 
expressão decimal finita ou periódica. Por exemplo, 3
8
 um número racional e é o mesmo que 0,375. 
Da mesma forma, uma dízima periódica como 1
9
 é um número racional e é igual a 0,111 111... 
Genericamente, podemos escrever que: 
p
pQ = x x = ; p = ∈ Z, q ∈ Z
A letra Q, utilizada para representar o conjunto dos racionais, é a primeira letra da palavra quociente.
Note que todo número inteiro é também um número racional, pois pode ser expresso na forma 
 (
p
1 ∈ Z). Isso nos permite dizer que Z ⊂ Q.
 
Da mesma forma que fizemos com os inteiros, podemos também utilizar os símbolos de exclusão 
para o conjunto dos números racionais. Assim:
Q+ = Conjunto dos números racionais positivos ou nulos;
Q− = Conjunto dos números racionais negativos ou nulos;
Q* = Conjunto dos números racionais não nulos (exclui-se o zero)
Os números racionais podem ser negativos, nulos (o zero também é um racional) ou positivos. 
Podem também ser representados na forma de fração, na forma decimal finita ou infinita (nesse 
caso é uma dízima periódica simples ou composta) ou ainda na forma mista.
Observe os exemplos:
• Vamos escrever o decimal 2,35 na forma fracionária:
235
100
47
20
–2,35 = =
 
• Vamos escrever a fração − 8
5
 na forma decimal.
Dividimos 8 por 5 e depois colocamos o sinal – no resultado:
8 5
 0 1,6
⇒ – 8
5
 = –1,6
• Vamos escrever a fração 11
4
 na forma mista.
Fazemos isso através da divisão de 11 por 4, com quociente inteiro:
11 4
 3 2
⇒ 11
4
 = 23
4
Conjunto dos números racionais
Chame a atenção para o diagrama de Venn-Euler, mostrando como 
um conjunto está dentro do outro de maneira sucessiva. No entanto 
é importante ressaltar a ideia da quantidade infinita de termos dentro 
de cada conjunto, pois a apresentação do diagrama pode passar a 
ideia de que os conjuntos são limitados. 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 29REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 29 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
30
Vamos determinar a fração geratriz da dízima 3,7777...
Chamamos x = 3,777... e 10x = 37,777...
10x − x = 37,777...− 3, 777... ñ 9x = 34 ñ x = 34
9
Representação geométrica 
dos números racionais
Quando representamos o conjunto dos números naturais e o dos inteiros, utilizamos a reta numérica. 
Para esses conjuntos, não existiam pontos associados a números entre dois números inteiros. No caso 
dos racionais, diversos pontos situados entre dois inteiros podem representar números racionais.
Veja as representações dos racionais −2,3 e 2,3 e observe que os pontos são simétricos em relação 
ao zero.
Observe, agora, as representações de outros números racionais na reta numérica:
Observando a representação de dois números racionais como 2,3 e −2,3, percebemos que eles 
são simétricos em relação ao zero. Em outras palavras, estão em lados opostos na reta numérica, a 
uma mesma distância do zero. Dois números racionais são chamados de opostos quando os pontos 
que os representam na reta são simétricos em relação ao zero. O oposto também é chamado de 
simétrico. Por exemplo, o simétrico de − 7
9
 é 7
9
 A distânciad de número racional até o zero é 
chamada de módulo do número racional. Por exemplo, o módulo de −2,3 é igual ao módulo de 2,3.
Como distância é sempre um número positivo, o módulo, ou valor absoluto de um número racional, 
será sempre positivo. Representa-se o módulo de um número por duas barras, Observe os exemplos:
• |25,45| = 25,45
− =5
3
5
3
• |0| = 0
Para realizar operações com racionais, valem os mesmos procedimentos operacionais que utilizamos 
nas operações com frações. Por meio de exemplos, vamos rever, inicialmente, as operações de 
adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 30REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 30 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
31
Adição e subtração de racionais 
Lembre-se de que, para essas operações, são fundamentais os conceitos de módulo e de redução 
de frações ao mesmo denominador.
• Observe a soma de −3,25 com −4,9.
Como os dois números têm o mesmo sinal, somamos seus módulos e mantemos o sinal, da mesma 
forma que fizemos com números inteiros:
−3,25 + (−4,9) = − (3,25 + 4,9) = −8,15.
• Veja agora a subtração 3,42 − (−2,78).
3,42 − (−2,78) = 3,42 + 2,78 = 6,2
• Vamos agora efetuar − 1
30
 + 5
4
mmc (30, 4) = 60
− + = − + = − + =1
30
5
4
2
60
75
60
2 75
60
73
60
Multiplicação e divisão de racionais
Observe nos exemplos os mesmos procedimentos que utilizamos com frações.
• Vamos calcular 3,5 × (−1,6).
Multiplicamos os módulos e colocamos o sinal negativo: 3,5 × (−1,6) = −5,1
• Vamos agora efetuar o produto −




⋅ −




6
25
10
21
Como os números têm o mesmo sinal, multiplicamos os módulos, fazemos as simplificações 
possíveis e colocamos o sinal positivo no produto obtido:
 
⋅ = ⋅ = ⋅ =6
25
10
21
6
25
10
21
2
5
2
7
4
35
2
5
2
7
• Observe a divisão ÷ −




3
25
2
15
Esse quociente é negativo. Por isso, colocamos o sinal − e, a seguir, efetuamos a divisão dos 
módulos:
÷ −




= − ÷




= −
/ /
⋅ / /








= −3
25
2
15
3
25
2
15
3
25
15
2
9
10
5
3
Lembre-se de que dividir uma fração pela outra é o mesmo que multiplicar a primeira pelo inverso 
da segunda.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 31REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 31 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
32
38. Substitua o símbolo __ em cada situação a seguir pelo valor correto correspondente.
a) um aumento de R$ 3,00 sobre um preço de R$ 30,00 é proporcional a um aumento de 
R$ 12,00 sobre o preço de R$120.
b) um aumento de R$ 10,00 sobre o preço de R$ 50,00 é proporcional a um aumento de 
R$ R$ 20,00 sobre o preço de R$ 100,00.
c) um aumento de R$ 60,00 sobre o preço de R$ 200,00 é proporcional a um aumento de 
R$ 30,00 sobre o preço de R$ 100,00.
39. Numa pequena empresa, dois sócios têm 40% da renda líquida cada um, e o terceiro tem 
20%. Quanto receberá cada sócio se a empresa teve renda líquida de R$1 240,00. 
1º sócio → 40% de 1 240 = 0,4.1 240 = R$ 496,00
2º sócio → 40% de 1 240 = 0,4.1 240 = R$ 496,00
3º sócio → 20% de 1 240 = 0,4.1 240 = R$ 248,00
40. A maioria dos bares e restaurantes adiciona na conta uma quantia a título de serviço. 
Quando não o fazem, os garçons calculam rapidamente esse serviço, dividindo o valor da conta 
por 10. Explique por que os garçons fazem esse cálculo? 
Dividir por 10 é o mesmo que multiplicar por 0,1, que equivale a 10% (valor do serviço).
41. Com o auxílio de uma calculadora, verifique que que um aumento de R$ 15,00 num preço 
de R$ 100,00 corresponde a um aumento de 15%. Pelo mesmo método, descubra a quantos por 
cento corresponde:
a) um aumento de R$ 8,00 sobre o preço de R$ 40,00. 20%
b) um aumento de R$ 12,00 sobre o preço de R$ 40,00. 30%
c) um aumento de R$ 18,00 sobre o preço de R$ 36,00. 50%
42. Resolva a seguir as situações envolvendo cálculo de porcentagens.
a) 31% de um certo número é 2 015. Qual é o número? 
Solução:
 
2 015
0,310,31x = 2 015 x = = 6 500
b) Calculei 1% de um número e obtive 99. Qual é o número? 
Solução:
 
99
0,01
0,01x = 99 x = = 9 900
c) 18% de que número vai resultar em 270? 
Solução: 
270
0,18
0,18x = 270 x = = 1 500
Atividades EF07MA02 , EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 32REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 32 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
33
43. Em cada caso, são dados dois números. O primeiro é uma certa porcentagem do segundo. 
Calcule essa porcentagem.
a) 4 200 e 7 000 
4 200
= 0,60 = 60%
7 000
b) 340 e 1 000 
340
= 0,34 = 34%
1 000
c) 78 e 2 600 
78
= 0,03 = 3%
2 600
d) 3 240 e 4 500 
3 240
= 0,72 = 72%
4 500
44. Um estudante recebeu um ajuste de 7% em sua mesada. Passado mais um ano, recebeu 
novamente 7% de reajuste sobre o último valor de sua mesada. Calcule a porcentagem de 
aumento que esse estudante teve no segundo ano, em relação à mesada de dois anos atrás.
0,15x = 36 → x = 36 x = R$ 240,00
0,15
45. Verifique se os números 183; −4; 8
5
 ; − 0,23 pertencem a N, Z ou Q.
183 N, Z ∈ Q 
−4 Z ∈ Q 
2,72 e 0,23 ∈ Q
8
5
 ∈ Q
46. Em cada divisão dada, o resultado é um número racional. Diga se esse número racional é 
positivo, negativo ou nulo:
a) (+2) ÷ (–7)   (+2) ÷ (–7) ñ negativo
b) (–11) ÷ (–12)  (–11) ÷ (–12) ñ positivo
c) (–5) ÷ (+8)  (–5) ÷ (+8) ñ negativo
d) (+7) ÷ (+3)  (+7) ÷ (+3) ñ positivo
e) 0 ÷ (–2)  0 ÷ (–2) ñ nulo
f) (+3) ÷ (–2)  (+3) ÷ (–2) ñ negativo
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 33REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 33 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
34
47. Determine os números racionais que resultam das divisões a seguir:
a) (–2) ÷ (+9) 
b) (–4) ÷ (–2) (–4) | (–2) = 2
c) (–14) ÷ (–11)
d) (+8) ÷ (–13)
e) (+12) ÷ (+13)
f) (–28) ÷ (+7)  (–28) | (+7) –4
g) (+6) ÷ (–6)  (+6) | (–6) = −1
h) (+14) ÷ (–11)
48. Efetue estas divisões e apresente o resultado na forma decimal:
a) (–4) ÷ (+5)  (–4) | (+5) = − 0,8
b) (–3) ÷ (–2)  (–3) | (–2) = 1,5
c) (–13) ÷ (–2)  (–13) | (–2) = 6,5
d) (–5) ÷ (+4)  (–5) | (+4) = − 1,25
49. Escreva na forma mista:
a) 5
4
b) – 5
4
 
c) –15
4
d) – 26
4
(–2) | (+9) = – 2
9
(–14) | (–11) = 14
11
(+8) | (–13) = – 8
13
(+12) | (+13) =
 
12
13
(+14) (–11) = – 14
11
5
4
11
4
=
–
5
4
11
4
= −
–
15
4
33
4
= −
–
26
4
62
4
61
2
= − = −
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 34REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 34 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
35
50. Escreva os números dados na forma de uma fração p
q
 com q ≠ 0. Lembre-se de que a fração 
p
q deve ser irredutível. 
a) –4,4
b) +5,5
c) –2
d) –0,04
e) 0
51. Efetue:
a) 5 + (–0,1)  5 + (–0,1) = 4,9
b) 5 + (- 9,75)  5 + (- 9,75) = −4,75
c) –8,8 – 0,008  –8,8 – 0,008 = 8,808
d) – +1
4
1
5
e) –2 + −




5
17
f) 1
3
 – 1
52. Um cliente de um banco tem um limite de cheque especial igual a R$ 2 000,00. O extrato de 
sua conta indica um saldo devedor de R$ 260,00. Responda:
a) Quanto tem ainda disponível em seu limite do cheque especial?
R$ 2 000,00 – R$ 260,00 = R$ 1 740,00
44
10
22
5
= − = −
55
10
11
2
= =
2
1
= −
4
100
1
25
= − = −
=
0
1
1
4
1
5
=– + –0,25 + 0,2 = 0,06
5
17
=–2 + – –2 – 0,2941 = –2,2941
1
3
– 1 = –0,666... 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 35REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 35 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
36
b) Caso desconte R$ 385,00, qual será o novo saldo?
R$ 1 740,00 – R$ 385,00 = R$ 1 355,00 de saldo disponível, o que equivale a um saldo devedor de 
R$ 1 355,00 − R$ 2 000,00 = − R$ 645,00
c) Supondo que tenha descontado R$ 385,00 e, no dia seguinte depositado o valor de R$ 915,00, 
qual será seu novo saldo?
Será de R$ 915,00 + (−R$ 645,00) = R$ 270,00 
53. Efetue as multiplicações:a) (–1) × 9,29  (–1) × 9,29 = − 9,29
b) (–6) × 3,18  (–6) × 3,18 = − 19,08
c) 0,3 × 0,02 
0,3 × 0,02 = 0,006
d) 4,15 × (–2,6) 4,15 × (–2,6) = −10,79
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 36REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 36 10/01/24 18:4910/01/24 18:49
37
54. Efetue as multiplicações:
a) ⋅ −




2
3
5
4  
 
2
3
5
4
10
12
5
6
⋅ − = − = −
b) 3
5
1
2
−




⋅ −




 
3
5
1
2
3
10
− ⋅ − =
c) ⋅4
15
5
8
  4
15
5
8
20
120
1
6
⋅ = =
d) (–2) × 3
10
 (–2) × 
3
10
6
10
3
5
= − = −
55. Efetue as divisões:
a) 32,7 + (–10) 32,7 | (–10) = − 3,27
c) 12,7 + (–1,27) 12,7 | (–1,27) = −10
b) (–11,28) + 0,2 (–11,28) | 0,2 = −56,4
d) 8,8 + 0,001 8,8 | 0,001 = 8 800
56. Efetue as divisões:
a) ÷1
3
1
2
  1
3
1
2
2
3
÷ =
b) 1
3
7
3
−




÷ −




1
3
7
3
1
7
− ÷ − =  
c) −




÷ −




81
25
9
5
 
 
81
25
9
5
9
5
− ÷ − =
d) ÷ −




32
27
4
3
 
 
32
27
4
3
8
9
÷ − = −
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 37REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 37 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
38
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 38REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 38 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
39
Geometria
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 7° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• A circunferência como lugar geométrico
• Triângulos
• Ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma 
transversal
• Transformações geométricas e simetrias
• Polígonos regulares
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 39REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 39 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
PROFESSOR
UNIDADE 2
Nesta unidade temática, trabalharemos com a construção da circunferência, analisando suas carac-
terísticas e explorando o conceito de lugar geométrico. Também aprofundaremos o conhecimento 
sobre triângulos, seus lados, ângulos e segmentos internos importantes, além da resolução de pro-
blemas envolvendo essas figuras e suas aplicações no dia a dia, chamando a atenção para as estru-
turas de construção que exploram sua rigidez geométrica.
O trabalho com a unidade temática apresentará também as transformações de polígonos, explo-
rando suas características para o estudo dessas figuras planas. Em especial, o estudo das figuras 
simétricas e a elaboração de figuras congruentes utilizando técnicas de simetria permitirão o desen-
volvimento dos estudos futuros de congruência e semelhança. Além disso, estudaremos as relações 
entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. A unidade é estruturada 
a partir de 6 temas:
1. A circunferência como lugar geométrico
2. Triângulos
3. Condições de existência de um triângulo
4. Ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal
5. Transformações geométricas e simetrias
6. Polígonos regulares
Desenvolvimento 
em 6 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 42REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 42 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Tema 1: A circunferência como lugar geométrico
Uma atividade que chamará a atenção dos alunos no intuito de mostrar a eles os elementos consti-
tuintes da circunferência é a atividade com barbante e cilindro, que enfatiza os conceitos de diâme-
tro, raio e comprimento. Oriente-os a contornar a base de um cilindro para posteriormente medir 
o comprimento da circunferência. Em seguida, já com o valor do comprimento da circunferência, 
dividi-lo pelo diâmetro dela, obtendo aproximadamente o valor de π.
Corda
Centro
Raio
Diâmetro
Arco da
Circunferência
Circunferência
Tema 2: Triângulos
Inicie esse tema com a videoaula “Ângulos em um triângulo”, disponível no livro. Uma sugestão 
de atividade é usar um Tangram para comparar diferentes tipos de triângulos e relacioná-los às 
imagens de telhados. Os telhados frequentemente possuem essa forma devido à estabilidade pro-
porcionada pelos triângulos, o que garante segurança às construções. Veja os exemplos a seguir: 
Desenvolvimento em 6 temasUNIDADE 2
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 43REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 43 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Com as imagens analisadas e também outros triângulos que possam existir na própria sala de aula, 
aproveite para relembrar os diferentes tipos de triângulos quanto aos lados e ângulos.
TIPOS DE TRIÂNGULOS
Equilátero Isósceles Escaleno
Retângulo Acutângulo Obtusângulo
3 lados iguais 2 lados iguais 0 lados iguais
1 ângulo reto
(ângulo de 90°)
3 ângulos agudos
(menor que 90°)
1 ângulo obtuso
(maior que 90°)
Tema 3: Condições de existência de um triângulo
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Condições de existência de um triângulo”, disponível no 
livro. Para complementar esse tema, distribua canudinhos para que os alunos cortem e, com uma 
linha passada por dentro deles, formem um triângulo e um retângulo ou quadrado. Com as figuras 
prontas, é possível mostrar que o triângulo permanece rígido ao ter suas arestas pressionadas para o 
centro, enquanto o quadrilátero ou quadrado não, deslizando para os lados. Uma atividade adicional 
que complementa o tema envolve a distribuição de palitos de diferentes tamanhos para verificar se 
é possível formar um triângulo com essas arestas. Conclui-se, assim, que em qualquer triângulo, cada 
lado deve ser maior que a diferença entre os outros dois lados e menor do que a sua soma.
Para finalizar, indicamos o simulador “Valor do Ângulo” como reforço da atividade sobre ângulos 
em triângulos. Ele está disponível no link: https://linkja.net/jogotriangulo. Acesso em 12 out. 2023.
a?
A
140°a
36°
57°
B
87°
Pontuação x2
50:50
Tempo extra
C
100°
D
40°
Tema 4: Ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Ângulos formados por paralelas e uma transversal”. 
Depois, forme grupos de até 3 alunos e distribua 10 canudinhos para cada grupo. Os alunos irão 
representar duas retas paralelas que estejam cortadas por uma transversal, possibilitando a visuali-
zação dos ângulos formados, sua identificação e em quais locais eles se repetem.
UNIDADE 2 Desenvolvimento em 6 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 44REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 44 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Tema 5: Transformações geométricas e simetrias
Para esse tema, distribua uma folha quadriculada para cada aluno, que fará um desenho simples na 
folha. Após todos terem desenhado, as folhas são trocadas para que um colega faça a simetria do 
desenho que está na folha do outro.
Para complementar a atividade, pode-se usar o simulador para treinar a simetria a partir da malha 
quadriculada onde são desenhadas as figuras. Ele está disponível no link: https://linkja.net/simula-
dorSimetria. Acesso em 12 out. 2023.
Tema 6: Polígonos regulares
Antes de trabalhar com esse tema, peça para que os alunos façam uma pesquisa sobre mosaicos e 
levem modelos para a sala de aula. Com a réplica dos mosaicos em mãos, os alunos irão verificar se 
neles existem polígonos regulares, ou seja, que tenham quantidade de lados e vértices iguais e que 
os ângulos opostos aos lados tenham o mesmo valor.
Outra atividade que ajuda no entendimento de polígonos regulares é otrabalho com os blocos 
lógicos. Cada aluno escolhe um bloco para contornar as faces na folha de papel, verificando se 
possuem as características de polígonos regulares.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF07MA19) (EF07MA20) (EF07MA21) (EF07MA22) (EF07MA23) (EF07MA24) (EF07MA25) 
(EF07MA26) (EF07MA27) (EF07MA28) 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 45REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 45 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
40
A circunferência como 
lugar geométrico
A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que estão a uma mesma distância de 
um ponto dado chamado de centro. Essa distância é denominada raio r da circunferência.
O comprimento da circunferência é dado em função de seu raio. É fácil perceber que, quanto maior 
o raio, maior será o comprimento total da circunferência. 
Considere a circunferência de raio r e suponha que “cortamos” a circunferência em P e “esticamos” 
a circunferência. O segmento obtido será o perímetro ou comprimento dessa circunferência.
r
PP
C
O comprimento C da circunferência é dado pelo produto de seu diâmetro, 2r, pelo número irracional 
p, cujo valor é, aproximadamente, 3,14.
C = 2r · p ñ C = 2r
• Lugar geométrico
Todos os pontos da semicircunferência de extremidades A e B têm a propriedade de “enxergar” 
o diâmetro AB sob um ângulo de 90°. Quando uma figura geométrica é formada por pontos que 
possuem todos a mesma propriedade, dizemos que esta figura é um lugar geométrico.
Assim, a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que são vértices de ângulos inscritos 
de 90°. Na figura a seguir, os triângulos com vértices em P1, P2, ...,Pn e nos extremos A e B da 
circunferência são retângulos.
O
BA
P2
P3
P4
P5P1 Lugar Geométrico
EF07MA22
ste tema pode ser mais bem aproveitado 
com uma atividade prática. Solicite aos 
estudantes que, se possível, levem compasso 
para a aula e oriente a construção de 
circunferências, ressaltando que essa figura 
é um lugar geométrico.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 40REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 40 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
41
A partir do conceito de lugar geométrico, podemos também dizer que uma circunferência é o lugar 
geométrico dos pontos que mantêm a mesma distância de outro ponto chamado centro. Você já 
deve ter percebido que essa distância é o raio da circunferência de centro O.
O
r
r
r
r
r
P
2
P
3
P
4
P
1
P
5
P
n
Assim, para construir uma circunferência com um compasso, basta fixar a agulha no que será o 
centro da circunferência e circundar pontos equidistantes em torno dele:
 
Construção de circunferência com compasso.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 41REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 41 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
42
Ângulos em um triângulo
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
42
EF07MA24, EF07MA25 e EF07MA26
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 42REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 42 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
43
Considere o triângulo ABC da figura seguinte:
B
C
A
z
x
a
b
y
c
Vamos recordar os principais elementos desse triângulo:
• Lados: são os segmentos AB, BC e AC. 
• Vértices: são as extremidades A, B e C dos lados do triângulo. 
Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos. Os ângulos internos 
do BAC, de medida a, ABC de medida b e ACB de medida c.
• Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do triângulo e pelo prolongamento 
do lado a ele consecutivo. Os ângulos externos do triângulo têm medidas x, y e z.
Já sabemos também que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Assim, 
podemos escrever:
a + b + c = 180°
Também podemos observar que um ângulo interno de um triângulo é sempre suplementar ao 
ângulo externo adjacente a ele.
a + x = 180°
b + y = 180°
c + z = 180°
Conhecendo os elementos de um triângulo, 
podemos facilmente construir triângulos com 
ferramentas como régua, compasso e transferidor.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
Ângulos em um triângulo
Para dar continuidade à parte 
prática, peça aos estudantes que 
construam triângulos com esquadros 
e outras ferramentas, observando as 
propriedades dessa figura.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 43REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 43 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
44
Condições de existência 
de um triângulo
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
44
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 44REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 44 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
45
Sabemos que um triângulo é formado por três lados cujas medidas não podem ser escolhidas 
aleatoriamente como, podemos fazer com os lados de um quadrado ou de um retângulo. Esse fato 
está diretamente ligado à condição de rigidez que estudamos. 
Só irá existir um triângulo se os seus lados obedeceram à seguinte condição:
Qualquer um de seus lados deve ser maior que a diferença entre os outros dois lados e menor 
que a soma desses outros dois lados. Quando comparamos um lado com a diferença dos outros 
dois, devemos nos preocupar com o valor absoluto dessa diferença, pois estamos trabalhando com 
medidas de segmentos. Assim, para um triângulo de lados a, b e c, podemos escrever:
b – c < a < b + c 
a – c < b < a + c 
a – b < c < a + b
Veja, por exemplo, que, com três segmentos medindo 5 cm, 10 cm e 9 cm, podemos formar um 
triângulo. Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para todos os lados:
10 – 9 < 5 < 10 + 9 1 < 5 <19 (Verdadeiro) 
9 – 5 < 10 < 9 + 5 4 < 10 < 14 (Verdadeiro)
5 – 10 < 9 < 10 + 5 5 < 9 < 15 (Verdadeiro)
Os triângulos são muito utilizados no cotidiano, como nas fundações e estruturas de construções 
diversas, pois, devido à sua rigidez geométrica, formam estruturas fortes.
Na estrutura de uma casa de madeira, podemos notar diversos triângulos formados com as vigas.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
Condições de existência
de um triângulo
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 45REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 45 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
46
1. Calcule a medida do raio de uma circunferência de comprimento igual a 1 m.
C + 2πr
1 m + 2πr
r + 
1m
2π
 ≈ 0,159 m
r ≈ 15,9 cm
2. No seu caderno, utilizando um compasso, faça uma composição artística utilizando 
circunferências. Depois, compartilhe com seus colegas.
Resposta pessoal.
3. Calcule o valor de x em cada triângulo a seguir.
a) 
78º
x
b) 
x
c) 
21º28’
x
x + 180° – 78° ñ x + 102° 
 
x + 180°– 90° ñ x + 90°
 
 
x + 180° – 21°28’ ñ x + 158°32’
 
Atividades EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25 e EF07MA26
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 46REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 46 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
47
4. Calcule o valor de x.
a) 
48º 78º
x
A
CB
b) 
32º
68º x
A
CB
c) 
2x
x
G
H
B’
d) 
2x
x = 20º
B
C
A
x
5. Resolva os seguintes problemas.
a) Um dos lados de um triângulo equilátero mede 4,5 cm. Qual é o perímetro desse triângulo?
2p = 3 × 4,5 ñ 2p = 13,5 cm
b) Num triângulo isósceles ABC, as medidas dos lados iguais AB e AC são, respectivamente, 
representadas pelas expressões 3x e x + 8. Se o perímetro desse triângulo é igual a 26 cm, qual é a 
medidado lado BC?
3x = x + 8 ñ x = 4 ñ AB = 12 cm e AC = 12 cm ñ 2p = 26 ñ AC = 2
c) Num triângulo ABC, AB = 8,2 cm e BC = 6,4 cm. Considerando que o perímetro desse triângulo 
é igual a 33 cm, calcule a medida do lado AC e, depois, classifique esse triângulo quanto à medida 
de seus lados.
AB + AC +BC = 33 ñ AC = 23 − 8,2 − 6,4 ñ AC = 8,4 (triângulo escaleno) 
x + 48° + 78° = 180° ñ x = 54° 
 
 
x + 68° + 32° = 180° ñ x = 80° 
 
 
2x + x + 90° = 180° ñ x = 30° 
 
 
2x + x + 20° + x = 180° ñ x = 40° 
 
 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 47REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 47 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
48
6. Determine o valor de x para cada triângulo a seguir.
a) 
58º
65º x
C
B
A
b) 
42º
98º
x
c) 
3x
x
d) 
x
x + 31º
149º
B C
A
7. Determine o valor de x para cada triângulo a seguir:
a) 
x
2x – 56º
144º
b) 
x
28º
142º
x + 65° + 58° ñ x + 123° 
 
 
98° + 42° + x ñ x + 56° 
 
149° = x + 31° + x ñ x = 59°
 
3x = x + 90° ñ x = 45° 
 
 
x + 180° – (2x – 56°) = 144° ñ x = 41° 
 
 
142° = 28° + 180° – x ñ x = 66°
 
 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 48REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 48 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
49
8. Na figura, BH é perpendicular ao lado BC. Determine x e os ângulos internos dos triângulos 
ABH e BHC.
x
H
A
CB
45º
45º
9. Lembrando-se das relações existentes entre os ângulos formados quando duas paralelas são 
cortadas por uma transversal, e considerando-se que r//s, determine x e y nas figuras:
a) 
xy
118º
40º
r
s
b) 
x
y
42º
132º
r
s
10. Em cada figura a seguir, determine o valor de x.
a) 
2x
CA B
D
48º
b) 
x
CD
A
B140º
c) 
3x
x x
B
A
D
C
x = 90° + 45° ñ x = 135° 
Logo: ABC ñ 90°, 45°, 45° e BHC ñ 90°, 45°, 45°
 
x = (180° – 118°) + 180° – y ñ x = 242° – y ñ y = 242° – x 
 
 
Como x = 180° – 40° = 140° ñ y = 242° – 140° ñ y = 102°
 
48° + 2x = 180° ñ x = 66° 
 
x = 180° – 140° ñ x = 40° 
 
4x = 180° ñ x = 45° 
 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 49REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 49 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
50
d) C
A
B
E
D
50º
x
11. Em cada figura a seguir, determine o valor de x, considerando as informações dadas em 
cada caso.
a) 
CA
B
D
x
b) ED
H
F
x
12. Responda a cada pergunta a seguir e justifique sua resposta. 
a) É possível construir um triângulo com lados medindo 6 cm, 9 cm e 4 cm? 
Sim, pois valem as condições: 6 – 4 < 9 < 6 + 4 e 9 – 6 < 4 < 9 + 6 
b) É possível construir um triângulo com lados medindo 4 cm, 3 cm e 7 cm? 
Não, pois 7 = 4 + 3
c) É possível construir um triângulo com lado medindo12 cm,12 cm e 25 cm? 
Não, pois 25 > 12 + 12
13. Na figura, AB é o menor lado do triângulo ABC, e BC é o maior. Sabendo que a medida do 
lado x é um número inteiro, que valores ele pode assumir?
 
C
8 cm
A
2 cm
B
x
14. As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros. O maior lado mede 10 cm e o 
menor lado 6 cm. Que valores pode ter o terceiro lado?
6 – x < 10 ñ Logo, x pode ter apenas o valor 3, pois com 4 temos 6 + x = 10 e com 2 temos 6 + 2 < 10. Assim, o 
terceiro lado é 3.
x = 180° – (90° – 50°) ñ x = 140°
 
x = 
740
2 ñ x = 37° 
 
x = 
900
2 ñ x = 45° 
 
8 – 2 < x < 8 + 2 ñ Logo, x pode ser 7, 8 ou 9 
 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 50REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 50 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
51
Ângulos alternos, 
colaterais e opostos
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
51
EF07MA23
Ao abordar esse tema, talvez seja 
interessante solicitar aos estudantes 
que observem ângulos nos objetos 
a sua volta ou mesmo em imagens 
dos livros, verificando se conseguem 
identificar e classificar os tipos de 
ângulos que encontrarem.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 51REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 51 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
52
Antes de estudarmos os ângulos formados por duas retas paralelas que são cortadas por uma 
transversal, vamos entender e classificar os ângulos formados por duas retas quaisquer corta-
das por uma transversal.
Observe o que ocorre na figura a seguir, na qual r, s e t são coplanares. Nessa situação, dizemos 
que a reta t é transversal às retas r e s e que a reta t corta a reta r no ponto P e a reta s em Q, 
formando oito ângulos.
t
r
s
8
5
6
3
4
2
1
7
P
Q
As retas r e s dividem o plano em regiões internas ou externas em relação a elas.
t
r
s
8
5
6
3
4
2
1
7
Região externa
Região interna
Região externa
P
Q
Note que os ângulos 3, 4, 5 e 6 estão na região interna. Por essa razão, são denominados ângulos 
internos. Os ângulos 1, 2, 7 e 8, por sua vez, são chamados ângulos externos.
Se considerarmos, agora, a transversal t, veremos que ela divide o plano em duas partes.
t
r
s
8
5
6
3
4
2
1
7
P
Q
Os ângulos 1, 4, 5 e 8 são chamados colaterais, pois estão do “mesmo lado” do plano em relação à 
rela t. Também são chamados colaterais os ângulos 2, 3, 6 e 7.
Cada um dos pares de ângulos formados pela transversal t ao cortar as retas r e s recebe uma 
denominação. Verifique essas denominações nas figuras mostradas:
Ângulos alternos, colaterais e opostos
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 52REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 52 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
53
• 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 são ângulos correspondentes;
• 4 e 5, 3 e 6 são ângulos colaterais internos;
• 1 e 8, 2 e 7 são ângulos colaterais externos;
• 3 e 5, 4 e 6 são ângulos alternos internos;
• 2 e 8, 1 e 7 são ângulos alternos externos;
• 1 e 3, 5 e 7, 2 e 4, 6 e 8 são ângulos opostos pelo vértice.
Vamos verificar agora o que ocorre com os pares de ângulos se r e s forem paralelas.
t
r
s
8
5
6
3
4
2
1
7
Note na figura as relações existentes entre os pares de ângulos formados pela transversal t ao 
cortar as paralelas r e s:
• Os ângulos 1 e 2 são suplementares, ou seja, somam 180°. O mesmo ocorre com 3 e 4, 5 e 6, 7 
e 8;
• Os ângulos 1 e 3 são iguais, pois são opostos pelo vértice. Também são iguais 2 e 4, 5 e 7, 6 e 8;
• Os ângulos correspondentes são iguais;
• Também são iguais os alternos internos 4 e 6, 3 e 5;
• Os alternos externos 2 e 8, 7 e 1 também são iguais.
Observe bem o exemplo a seguir e verifique as relações entre os ângulos:
t
r
t
40°
40°
40°
40°
140°
140°
140°
140°
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 53REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 53 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
54
Transformações geométricas 
e simetrias
a identificação das simetrias existentes numa figura é extremamente útil para a resolução de 
diversos problemas geométricos. Algumas importantes figuras geométricas admitem um ou mais 
eixos de simetria: 
• O segmento AB tem como eixo de simetria a mediatriz M, que o divide em dois segmentos iguais 
(AM e MB), e o ângulo AÔB tem como eixo de simetria a bissetriz b:
M B O
B
b
A
A
• O triângulo isósceles e o trapézio isósceles também admitem eixos de simetria. Nos dois casos, 
o eixo é a mediatriz M de suas bases: 
A B
CD
vértice
base
eixo de simetria
eixo de simetria
ponto médio
da base
ponto médio
da base
• O losango e o retângulo possuem dois eixos de simetria. No losango, os eixos são as retas 
suportes das diagonais e, no retângulo, as mediatrizes dos lados:
90°
EF07MA19, EF07MA20 e 
EF07MA21
Reforce como as 
transformações 
geométricas e as simetrias 
podemser utilizadas 
na criação de obras de 
arte que só dependem 
da imaginação de seu 
criador. Se possível, após 
as explicações, peça aos 
estudantes que elaborem 
algumas figuras artísticas 
utilizando essas técnicas.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 54REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 54 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
55
• O triângulo equilátero tem três eixos de simetria. Cada um deles é a mediatriz dos lados do 
triângulo:
As simetrias são também utilizadas na produção artística e na arquitetura. Observe alguns casos a 
seguir.
• As figuras dos dois F a seguir são simétricas em relação ao ponto O. Neste caso, dizemos que 
elas possuem simetria central.
A
A’
B’
C’
D’
E’
F’ G’
J’
I’H’
J
I H
O
BC
D
G
E
F
• A fachada o edifício do Banco Central em Brasília é simétrica em relação ao eixo r. Quando existe 
um eixo de simetria, dizemos que ocorre simetria axial.
• Os triângulos ABC e A’B’C’ são simétricos em relação ao eixo r, e a gravura do artista gráfico 
holandês Maurits C. Esher (1898-1972) é simétrica em relação aos eixos r e s que passam pelo 
centro do círculo.
r
C
B
A A’
B’
C’
Simetria axial entre triângulos
Circle Limit IV - M. C. Escher
s
r
Sh
utt
er
st
oc
k
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 55REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 55 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
56
Polígonos regulares
Já vimos que o ângulo de 360° é chamado de ângulo de uma volta e que o ângulo de 180° é 
denominado de ângulo raso. Assim, se tivermos uma circunferência dividida em quatro partes, 
teremos os ângulo de 0°, 90° (reto), 180° (raso), 270° e 360° (uma volta).
180º 270º 360º90º
Vamos investigar algumas propriedades dos ângulos que nos permitem determinar medidas sem o 
uso do transferidor. 
As abelhas organizam suas colmeias utilizando o formato de hexágonos para os favos de mel. Há 
mais de 15 séculos, sabemos que elas constroem as colmeias dessa forma para poder armazenar a 
maior quantidade de mel possível com o menor gasto de cera.
Alguns matemáticos dedicaram-se a comprovar este fato a partir das propriedades geométricas das 
figuras planas e provaram matematicamente a eficiência dos hexágonos em relação a qualquer forma 
curva, como as circunferências, que apresentam perda de espaços quando colocadas lado a lado.
Espaços perdidos
Ad
ob
e 
St
oc
k 
EF07MA27 e EF07MA28
Se possível, mostre 
algum vídeo de abelhas 
construindo sua colmeia, 
pedindo aos estudantes 
que prestem atenção aos 
formatos que encontram 
nas colmeias e que 
comparem com a imagem 
do livro. Aproveite 
também para comentar a 
importância das abelhas 
para a natureza por 
serem polinizadoras.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 56REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 56 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
57
Da geometria hexagonal dos favos de mel, vamos destacar um hexágono regular e calcular o valor 
de seu ângulo interno î. Lembre-se: um hexágono regular é um polígono de seis lados iguais e, 
portanto, seis ângulos internos iguais.
Î
Î Î
Î Î
Î
Para calcular a medida do ângulo interno î do hexágono regular ABCDEF, traçamos as diagonais, 
que se cruzam no ponto O, determinando seis triângulos equiláteros, cujos ângulos internos serão .
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2
Î
2Î
2
Î
2
Î
2Î
2
Î
2
B
E
D F
C A
O
Assim, na figura, temos seis ângulos de medida , com vértice comum em O. Note que esses seis 
ângulos formam um ângulo de uma volta. Logo:
1
2
6 = 360° ñ 3î = 360° ñ î = 120°
Como cada ângulo interno do hexágono regular mede 120°, os ângulos internos de cada um dos 
triângulos equiláteros mede 60°.
Vamos agora calcular a medida do ângulo externo ê do hexágono regular. Para isso, prolongamos 
o lado CD:
EB
A F
C D
Î
ê
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 57REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 57 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
58
Note que î + ê somam 180° e que o ângulo interno î é igual a 120°. Assim:
î + ê = 180° ñ 120° + ê = 180° ñ ê = 60°
Quando dois ângulos têm a soma de suas medidas igual a 180°, são chamados de ângulos 
suplementares, e cada um será o suplemento do outro. Por isso, podemos dizer que, em qualquer 
polígono, o ângulo interno é o suplemento do ângulo externo. 
Î
ê
Î
ê
Î ê Î ê
Quando dois ângulos adjacentes têm soma igual a 90° eles serão chamados de ângulos 
complementares. Observe dois ângulos complementares na figura a seguir.
V
â
b̂
â e b̂ são ângulos complementares pois somam 90°.
Os ângulos de 60° e 30° são exemplos de ângulos complementares, pois somam 90°. Note que os 
ângulos de 60° e 30° e 90° estão presentes num dos esquadros que utilizamos em nossas aulas, 
e os ângulos de 45°, 45° e 90° estão presentes no outro esquadro. Observe também que os dois 
esquadros representam triângulos retângulos.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 58REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 58 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
59
Nos dois esquadros, a soma dos ângulos internos em cada triângulo será 180°.
60° + 30° + 90° = 45°+ 45° + 90° = 180°
De maneira geral, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é 180°. Confirme isso fazendo 
individualmente a seguinte atividade.
Os ângulos î e ê internos e externos dos polígonos que estudamos, assim como os ângulos e 
complementares, são também chamados de ângulos adjacentes, pois têm um lado comum. De 
forma mais geral, ângulos adjacentes sempre estão lado a lado e têm vértice V comum. 
V
â
ê
â e ê são ângulos adjacentes.
Veja, agora, o que ocorre quando dois ângulos têm lados que são prolongamentos dos lados do 
outro. Esses ângulos são chamados opostos pelo vértice.
â
c
b̂
ˆ
d̂
Note que a e c são suplementares e o mesmo ocorre com c e b. Assim:
a + c = 180° e c + b = 180° → a + c = c + b → a = b
De maneira análoga, podemos provar que c = b. De forma geral, podemos dizer que:
Dois ângulos opostos pelo vértice são iguais.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 59REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 59 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
60
15. Na malha quadriculada da figura, desenhe o simétrico do triângulo ABC, em relação à reta 
suporte do lado AC.
B C
A
Temos:
B B’C
A
B B’C
A
16. Sabendo-se que C e C’ são equidistantes da reta r, descreva as duas simetrias utilizadas para 
encontrarmos o triângulo A’B’C’.
r
A
B C C’ B’
A’
Construímos o triângulo simétrico a ABC em relação ao eixo r e, em seguida, o simétrico do triângulo obtido, em relação 
ao lado B’C’.
Atividades EF07MA19, EF07MA20, EF07MA21, 
EF07MA23, EF07MA27 e EF07MA28
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 60REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 60 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
61
r
A
B C C’ B’
A’
17. Sem o auxílio do transferidor, escreva a medida dos ângulos de vértices B, E e O, 
considerando que os esquadros são de 30°, 60° e 90° e de 90° e 45°.
a) 
CB
A
b) 
D E
F
c) 
G
O H
18. Determine o valor do ângulo AÔB na figura.
O
C
B
55ºA
19. Sem usar o transferidor, dê a medida dos ângulos abaixo, sabendo que a circunferência foi 
dividida em 8 partes iguais.  
a) Med (AÔB)  45°
b) Med (AÔB)  135°
c) Med (AÔB)  90°
B = 120°
E = 120°
Ô = 165°
AÔB = 180° – 55° = 125° 
AE
D
C
G
B
F H
O
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 61REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 61 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
62
20. A seguir são apresentados dois mosaicos. O primeiro é formado por triângulos equiláteros, 
e o segundo por hexágonos regulares. 
z
y
x
Sem utilizar nenhum instrumento, determine:
a) O ângulo x x = 60° 
b) O ânguloz z = 120°
c) A soma x + z x + z = 180°
d) A medida de 2x+ y – z 2x + y – z = 60°
21. O mosaico abaixo é formado por quadrados e octógonos regulares.
x
Determine o valor do ângulo interno x do octógono regular.
x + x + 90° = 360° ñ x = 135° 
22. A figura a seguir é formada por dois quadrados, um triângulo equilátero e um hexágono. 
Determine a medida do ângulo x.
x 60º
x + 90° + 60° + 90° = 360° ñ x = 120° 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 62REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 62 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
63
23. Ao traçarmos linhas que se cruzam no centro de uma flor e dividem suas pétalas ao meio, 
conforme mostra a figura, obtemos 8 ângulos aproximadamente iguais. Se fizermos o mesmo 
com uma estrela do mar, obteremos 5 ângulos.
Calcule o valor de cada ângulo determinado na flor e na estrela do mar.
Flor ñ 360° : 8 = 45°
Estrela do mar ñ 360° : 5 = 72°
24. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) ( V ) Dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo raso.
b) ( V ) O suplemento de um ângulo reto é um ângulo reto.
c) ( F ) Dois ângulos agudos podem ser suplementares.
d) ( V ) O suplemento do ângulo raso é o ângulo nulo.
25. Calcule a medida dos três ângulos desta figura:
x
4x 5x
26. Determine x, y e z e o valor dos ângulos da figura:
z
y
3x + 2° x + 16°
5x + 4x + x = 180° ñ Os ângulos são 18°, 72° e 90°
x + 16 = 3x + 2 ñ x = 7
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 63REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 63 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
64
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 64REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 64 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
65
Álgebra
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 8° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Linguagem algébrica 
• Equações polinomiais de 1º grau
• Sequências e expressões algébricas 
• Grandezas proporcionais 
• Regra de três simples
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 65REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 65 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
PROFESSOR
UNIDADE 3
A unidade temática de álgebra procura apresentar a ideia de variável e diferenciá-la de incógnita, 
além de apresentar sequências e suas leis de formação. A compreensão da lei de formação como 
expressão de um padrão de uma sequência é fundamental para o desenvolvimento do raciocínio 
lógico dos estudantes do ensino fundamental. Na unidade há ainda uma introdução às equações 
polinomiais de 1° grau, com foco na resolução de problemas que podem ser resolvidos com repre-
sentações de equações desse tipo. Dessa forma, amplia-se e aprofunda-se o conhecimentos dos 
estudantes sobre temas algébricos, buscando sempre deixar o conteúdo próximo à realidade deles. 
Assim, apresentamos diversas situações reais para que o estudante entenda como trabalhar com a 
resolução de problemas que envolvam proporcionalidade direta ou inversa entre duas grandezas, 
aplicando razões, proporções e regra de três simples. A unidade é desenvolvida por meio de 5 temas:
1. Linguagem algébrica
2. Equações polinomiais de 1º grau
3. Sequências e expressões algébricas
4. Grandezas proporcionais
5. Regra de três simples
Desenvolvimento 
em 5 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 68REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 68 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Tema 1: Linguagem algébrica
O trabalho com o tema linguagem algébrica utiliza bastante a interpretação e a transformação para 
a linguagem matemática. Uma atividade possível para complementar esse trabalho é trazer uma 
lista de situações-problemas somente para realizar a transformação em linguagem algébrica, como 
por exemplo: um número subtraído por quinze é igual a trinta e cinco, o que significa dizer que 
x – 15 = 35.
Dessa maneira os alunos irão entender que a linguagem usual pode ser transformada em linguagem 
matemática e também estarão treinando um olhar diferenciado para a interpretação matemática.
Tema 2: Equações polinomiais de 1º grau
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Equações do primeiro grau”. Após a videoaula, para 
estabelecer a noção de igualdade dos membros de uma equação pode-se utilizar uma balança, que 
pode ser de papelão ou de papel, para completar equações com o número faltante. Confeccione 
cartões para colocar em cada lado da balança para os alunos completarem. Desta forma, os alunos 
irão verificar como a balança ficará equilibrada, entendendo qual número deve estar no espaço para 
obter os valores finais sempre iguais dos dois lados da balança.
Exemplo:
8 + 25
Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 3
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 69REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 69 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Tema 3: Sequências e expressões algébricas
No trabalho do tema de sequências e expressões algébricas enfatize o uso da palavra variável nas 
expressões, para que os alunos se familiarizem com a linguagem matemática. Para complementar 
esse trabalho, utilize o simulador de expressões algébricas, que permite formar a expressão e já 
apresentar ao lado sua interpretação. Ele está disponível no link: https://linkja.net/jogoExpressoes. 
Acesso em 11 out. 2023.
− −
−
Total Minha Coleção
Variáveis
x =
32
4
y = 5
z = 10
4x + 2x + x + x
x
x x x x
x x x x
x
y z
Valores das Variáveis
Todos os Coeficientes
Tema 4: Grandezas proporcionais
Inicie o trabalho do tema com a vídeoaula “Grandezas proporcionais”, que aborda a revisão do 
conceito de proporcionalidade. Convide os alunos a analisar situações-problemas, a fim de indicar 
especificamente se a relação entre as grandezas é diretamente proporcional ou inversamente 
proporcional.
Exemplos: 
1) Em uma papelaria personalizada uma pessoa produz 50 calendários por dia. Quantos calendários 
seriam produzidos em 3 dias por essa pessoa?
Nesta situação percebe-se claramente que, ao aumentar a quantidade de dias, por consequência 
cresce a produção de calendários, sendo então diretamente proporcional.
2) Um motorista precisa sair de Curitiba e ir para São Paulo. Ele demora seis horas para chegar em 
São Paulo dirigindo a 80 km/h. Se ele aumentar a velocidade para 100 km/h, quantas horas levará 
para chegar em São Paulo?
Nesta outra situação-problema também fica claro que, aumentando a velocidade do carro, diminui-
se o tempo de viagem.
Com a análise das situações-problemas, os alunos conseguirão relembrar da proporcionalidade e as 
implicações de ser direta ou inversamente proporcional.
Desenvolvimento em 5 temasUNIDADE 3
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 70REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 70 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
Tema 5: Regra de três simples
Para o trabalho deste tema, prepare situações-problemas que permitam utilizar a regra de três 
simples. Forme grupos de até 3 alunos para fazer um passo a passo de como resolver a situação-
problema recebida utilizando a regra de três. Ao término da atividade, os alunos devem apresentar 
aos outros grupos como foi feita a resolução.
Como atividade complementar, é possível utilizar a calculadora de regra de três para formular esses 
exercícios de forma mais rápida. O link está disponível em: https://linkja.net/regrade3. Acesso 13 
out. 2023.
Calculadora de Regra de Três Simples
A calculadorade regra de três simples permite descobrir um 
número em proporção a outros dois que são conhecidos.
Opções:
ESTÁ PARA
ASSIM COMO
A B
ESTÁ PARAC X
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF07MA13) (EF07MA14) (EF07MA15) (EF07MA16) (EF07MA18) (EF07MA17) 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 71REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 71 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
66
Linguagem algébrica 
Chamamos de equação a toda sentença matemática na qual encontramos:
• uma ou mais letras que indicam valores desconhecidos, que denominamos incógnitas;
• um sinal de igualdade, representado pelo símbolo = (igual);
• uma expressão à esquerda, denominada 1° membro, e uma à direita, denominada 2° membro. 
Observe alguns exemplos:
• 3 ⋅ x + 4 = 12
• n − 8 = 2 ⋅ n − 12
• 3 ⋅ (x + 1) = 4 ⋅ x − 1
Quando indicamos multiplicações de números por x, ou por qualquer letra que represente um 
número, podemos omitir o sinal de vezes. Por exemplo:
3x indica 3 ⋅ x
2n indica 2 ⋅ n
Vamos trabalhar inicialmente com equações que possuem apenas uma letra. Essa letra, como 
dissemos, é a incógnita da equação. Por exemplo, na equação 3x + 4 = 12, a incógnita é x. 
Veja no exemplo a seguir os dois membros de uma equação de incógnita x: 
5x + 2 = 12
1° membro 2° membro
Resolver uma equação com uma incógnita é encontrar o valor dessa incógnita que satisfaz a 
igualdade. Esse valor é denominado de solução ou raiz da equação.
Veja, por exemplo, a equação 5x + 2 = 12. Observe o que acontece quando substituímos a incógnita 
x por 2, que é a solução da equação, ou por 3, que não é a solução da equação:
Substituindo x por 2
em 5x + 2 = 12
Substituindo x por 3
em 5x + 2 = 12
1° membro 2° membro 1° membro 2° membro
5 × 2 + 2
 10 + 2
12
12
5 × 3 + 2
 15 + 2
12
12
12 = 12 17 ≠ 12
2 é a solução da equação 3 não é a solução 
da equação
EF07MA13
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 66REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 66 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
67
Equações do primeiro grau
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
67
EF07MA18
Em alguns casos, aos estudantes pode parecer que a linguagem algébrica é abstrata, mas 
isso deve ser contornado com algumas expressões contextualizadas. Nas redes sociais, 
por exemplo, é comum surgirem “desafios” que podem ser resolvidos com expressões 
algébricas, mesmo que não entendam que estão fazendo isso, pois muitas vezes são 
utilizadas imagens para representar as incógnitas. Se possível, após explicar as defnições, 
apresente um desses desafios.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 67REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 67 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
68
Chamamos de equação de 1° grau com incógnita x a toda equação do tipo ax = b, em que a e b são 
números reais e a ≠ 0.
Para resolver uma equação de 1° grau, usaremos a ideia de operação inversa. Observe os exemplos:
• 3x = –18
Como a incógnita está multiplicada por três, podemos encontrá-la dividindo os dois membros da 
equação por 3:
x = (–18) | 3
x = –6
• x =
2
3
–
2
3
–
x = −




÷ −




5
6
2
3
 ñ x = −




⋅ −




5
6
3
2
 ñ x = 15
12
 ñ x = 5
4
• Vamos resolver a equação 2x – 5 = 1
Primeiramente, aplicamos a operação inversa da subtração:
2x – 5 = 1 ñ 2x = 1 + 5 
2x = 6 ñ equação de 1° grau
Em seguida, aplicamos a operação inversa da multiplicação:
2x = 6 ñ x = 3
Quando aplicamos a operação inversa da adição, estamos, na realidade, subtraindo um mesmo 
valor dos dois membros da equação. Suponha, por exemplo, uma balança que está equilibrada com 
dois corpos em cada prato, um de 1 kg e outro de 500 g:
1 Kg
500 g
1 Kg
500 g
1 Kg 1 Kg
Retirando-se 500 g de cada prato, a balança permanecerá equilibrada. O mesmo acontece quando 
subtraímos ou adicionamos um mesmo valor aos dois membros de uma equação.
Se tivermos a balança equilibrada com 1 kg em cada prato e multiplicarmos esse peso por 3 nos 
dois pratos da balança, ela irá se manter equilibrada:
1 Kg 1 Kg 1 Kg1 Kg1 Kg 1 Kg1 Kg1 Kg
Equações do primeiro grau
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 68REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 68 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
69
De maneira geral, para resolver equações utilizando a operação inversa, podemos
somar um mesmo número aos dois membros;
subtrair um mesmo número dos dois membros;
multiplicar os dois membros por um mesmo número diferente de zero;
dividir os dois membros por um mesmo número diferente de zero.
Veja mais dois exemplos:
• Vamos resolver a equação: 2x − 7 = 8 − x.
Somamos x aos dois membros.
2x + x − 7 = 8 − x + x
3x − 7 = 8 ñ 3x = 15 ñ x = 5
• Vamos resolver a equação: 5 ⋅ (−x − 7) = 6 − 4x + 8.
Lembrando que, quando uma multiplicação tem uma expressão entre parênteses, com um fator 
multiplicando-a, podemos omitir o sinal de vezes. Assim, a equação pode ser escrita como:
5(−x − 7) = 6 − 4x + 8
Em primeiro lugar, eliminamos os parênteses utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação:
5(−x − 7) = 6 − 4x + 8 ñ −5x − 35 = 6 − 4x + 8
Em seguida, somamos 4x aos dois membros:
−5x − 35 + 4x = 6 – 4x + 8 + 4x ñ − x − 35 = 14 ñ −x = 49
Multiplicando, agora, os dois membros por – 1, obtemos a raiz da equação:
−x = 49 ñ (−x)(−1) = (−1) ⋅ 49 ñ x = −49
Sequências e expressões algébricas
Chamamos de sequência as relações de elementos que podem tanto ser finitas quanto infinitas 
Tais elementos são ordenados de certa forma e podem ser números, letras, figuras, palavras, entre 
outros. Por exemplo:
• (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), sequência infinita dos números naturais pares;
• (janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, 
dezembro), sequência finita dos meses do ano.
Algumas dessas sequência podem ter padrões de regularidade, ou seja, repetir-se sob determinadas 
condições. A sequência dos meses se repete a cada ano (ou a cada 12 meses). A regularidade é uma 
propriedade importante na Matemática.
Observe, por exemplo, a sequência de figuras a seguir.
3º termo1º termo 2º termo 6º termo4º termo 5º termo 7º termo
Olhando com atenção, você poderá notar que a regularidade da sequência de figuras é dada pela repetição 
do retângulo, do triângulo e do círculo a partir do quarto termo. Assim, o 8º termo seria o triângulo.
EF07MA14, EF07MA15 e EF07MA16
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 69REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 69 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
70
Em Arte, existe um recurso chamado Efeito Droste, no qual uma imagem é produzida por uma 
imagem que aparece dentro dela mesma. Nesse tipo de situação, temos uma recursividade, conceito 
muito presente em sequências matemáticas. Observe um exemplo artístico:
Efeito Droste usando imagem de um notebook.
Na Matemática, chamamos uma sequência de recursiva quando é possível calcular um termo 
qualquer em função de termos antecessores. Se isso não acontecer, a sequência é classificada como 
não recursiva. Esse recurso é utilizado não só em Arte e Matemática, mas também na Literatura, 
principalmente no chamado movimento concretista que aconteceu na década de 1950 na Europa. 
No Brasil, esse movimento surgiu por volta de 1956, sendo consolidado na Exposição Nacional 
de Arte Concreta. Os poemas concretos usam a própria estrutura para comunicar; alguns deles 
utilizam a recursividade.
Leis de formação de sequências numéricas
em Matemática, conhecendo-se a regularidade de uma sequência, pode-se definir uma expressão 
algébrica ou a lei de formação da sequência para obter qualquer termo dela.
Por exemplo, na sequência de númerosnaturais pares (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), note que o termo 
posterior é sempre igual ao anterior adicionado a 2, então, podemos descrever qualquer elemento 
por meio da lei de formação 2 × n.
Construindo a sequência dessa forma, não é necessário saber o termo anterior para obter outro 
termo, portanto essa é uma forma não recursiva de obter a sequência. Entretanto, considerando 
essa mesma sequência, podemos, por meio de uma fórmula de termo geral, utilizar o termo anterior 
para calcular o posterior, deixando-a, assim, como uma sequência recursiva. Portanto, dependendo 
da forma que construímos uma sequência, ela pode ser tanto recursiva quanto não recursiva.
Pensando nas leis de formação, vamos considerar mais um exemplo de sequência numérica:
(1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, ...)
Analisando a sequência, podemos perceber que, para obter o termo seguinte, devemos considerar 
a sequência de números naturais, elevar cada um ao quadrado e somar 1. Por exemplo: 22 + 1 = 5; 
32 + 1 = 10; 42 +1 = 17, e assim por diante. Desse modo, a lei de formação dessa sequência pode 
ser dada por:
n2 + 1
sendo n um número natural.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 70REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 70 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
71
É importante destacar que uma mesma sequência pode ter mais de uma lei de formação, mas, 
nesse caso, as leis serão todas equivalentes. Por exemplo, considere a sequência de figuras a seguir:
Há uma regularidade nessa sequência de figuras: a primeira tem 7 quadrinhos, a segunda 9 e a terceira 
11. Dessa maneira, podem-se formular duas possíveis expressões para cálculo da quantidade de 
quadrinhos da sequência:
• 2n + 5;
• 2(n + 1) + 3.
Note que ambas dão o número correto de quadrinhos para qualquer figura da sequência (teste em 
seu caderno), então essas duas expressões são equivalentes.
Atividades
1. Escreva uma equação para cada um dos problemas a seguir (utilize x como incógnita):
a) Dois trabalhadores em um mesmo cargo têm o mesmo salário. Qual o valor deste salário se a 
soma dos dois é R$ 2 800,00?
2x = 2 800
x = 1 400
R$ 1 400,00
b) Qual é o número que somado a seu dobro resulta 15?
x + 2x = 15 
3x = 15
x = 5
c) A soma de dois números consecutivos é 11. Quais são esses números? (dica: se x é um dos 
números, o outro será x + 1).
x + (x + 1) = 11 
2x = 10
x = 5
números: 5 e 6
EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15 e EF07MA16
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 71REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 71 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
72
2. Escreva a equação para o cálculo do lado de um quadrado de perímetro 28 cm.
Perímetro = 4 L
4L = 28
L = 7
3. Identifique o primeiro e o segundo membros das equações a seguir:
a) 3x – 1 = x + 5
1º = 3x – 1
2º = x + 5
b) −9x – 3 = 18
1º = –9x – 3
2º = 18
c) 4x = 2(x + 1)
1º = 4x
2º = 2(x + 1)
4. Assinale V para verdadeiro ou F para falso em cada afirmação a seguir:
a) x = 2 é raiz da equação 2x – 4 = 0 ( V, pois 22 – 4 = 0
)
b) x = −1 é solução da equação 3x + 2 = x – 1 ( F, pois 3(–1) + 2 ≠ –1 – 1
)
c) x = 0 é raiz da equação 2x + 1 = 4 + x ( F, pois 20 + 1 ≠ 4 + 0
)
d) x = 3 é solução da equação 2x + 1 = 4 + x ( V, pois 2 × 3 + 1 = 4 + 3
)
5. Resolva as equações aplicando o princípio da operação inversa:
a) 2x = 40
b) −3x = − 18
c) 5x − 




= −




1
3
2
3
6. Num prato de uma balança, uma pessoa colocou 2 maçãs e 6 bananas. Elas se equilibraram 
com 7 laranjas colocadas no outro prato. Cada laranja tem 50 gramas e cada banana, 40 gramas. 
a) Chamando o peso das maçãs de m, o das bananas de b e o das laranjas de l, escreva a expressão 
que representa o equilíbrio da balança;
m = maçã  b = banana  ℓ = laranja    2 m + 6b = 7 ℓ
2x = 40   x = 20
– 3x = – 18   x = 6
5x − 5 2
1
3
2
3� � � �   5x 5 2 1
2
3
1
3
  5x 5 2
1
3
  x = 5 2
1
15
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 72REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 72 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
73
b) Substitua os valores dos pesos de cada laranja e de cada banana na expressão e calcule quanto 
pesa uma maçã.
2 m + 6 × 40 = 7 × 50   2 m = 350 – 240   2 m = 110   m = 55 g
7. Encontre a solução das seguintes equações:
a) 5x + 15 = 10
b) 4x – 40 = 60
c) 7x + 17 = 16
d) 3x – 49 = –100
e) 3x + 17 = 11
f) 6x – 18 = –6
g) 5x – 9 = –8
h) 9x – 2 = –11
8. Encontre a raiz das seguintes equações, em que a incógnita é m:
a) 3m + 1 = 4
b) 5m – 12 = –2
c) 10m – 7 = –1
d) 2m + 4 = 5
9. Resolva as equações.
a) 2x + x + 5x = 128
b) 2x + 3x + 4 = 89
c) 5x – 4 – 3x = –16
10. Elimine os parênteses utilizando a propriedade distributiva da multiplicação e resolva as 
equações:
a) 4x + (7x + 11) = –11
b) 5x – (–x + 22) = –4
c) 11x + (–3x + 10) = 4x + 2
d) 11x – (–3x − 10) = 4x + 20
5x + 15 = 10  5x = – 5   x = – 1
4x – 40 = 60  4x = 100  x = 25
7x + 17 = 16  7x = – 1  x = – 1
7
3x – 49 = –100  3x = – 51  x = – 17
3x + 17 = 11  3x = – 6  x = – 2
6x – 18 = – 6  6x = 12  x = 2
5x – 9 = – 8  5x = 1  x = 1
5
9x – 2 = – 11  9x = – 9  x = –1
3 m + 1 = 4  3 m = 3  m = 1
5 m – 12 = – 2  5 m = 10  m = 2
10 m – 7 = – 1  10 m = 6  m = 6
10
 = 0,6
2 m + 4 = 5  2 m = 1  m = 1
2
2x + x + 5x = 128  8x = 128  x = 16
x = – 6
x = 17
4x + 7x + 11 = – 11  11x = – 22 = – 2
5x + x – 22 = – 4  6x = 18  x = 3
11x – 3x + 10 = 4x + 2  4x = –8  x = –2
11x + 3x + 10 = 4x + 20  10x = 10  x = 1
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 73REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 73 10/01/24 18:5010/01/24 18:50
74
11. Observe a sequência de figuras a seguir.
1 2 3 4
.... ....
n
a) Quantas bolinhas terão as duas próximas figuras (5 e 6) dessa sequência?
11 e 13.
b) Das expressões algébricas apresentadas a seguir, quais são equivalentes e representam a 
sequência?
i. 2n + 1
ii. 3n – n + 1
iii. 2n – 1
iv. n + 1 + n
Grandezas proporcionais
Em nosso cotidiano, estamos acostumados a usar expressões como “o dobro de”, “metade de”, 
“o triplo de” etc. Quando usamos expressões assim, estamos comparando grandezas, valores, 
medidas ou quantidades. A aplicação mais comum dos números racionais é esta: comparar 
grandezas. 
Sabemos que comparar grandezas é uma forma tradicional de medi-las. Afinal, medir alguma coisa 
é comparar o que medimos com algo cuja medida conhecemos, não é mesmo? Porém, como fazer 
para comparar duas grandezas entre si? Qual o procedimento para estabelecermos relações entre 
duas grandezas? É possível entender e fazer previsões entre o comportamento de grandezas 
comparando-as entre si?
Razões
Suponha que você esteja diante de um edifício de 48 m de altura e, em frente a esse edifício, exista 
uma árvore de 3 m de altura. Se desejarmos comparar a altura do edifício com a da árvore, fazemos 
uma divisão: 48 m : 3 m = 16. 
Veja que obtivemos um número sem unidade de medida. Esse número traduz “quantas vezes” o 
edifício é mais alto que a árvore: 16 vezes. 
Poderíamos, também, fazer a divisão inversa: 3 m : 48 m = 11
1166
 Nesse caso, estamos fazendo a 
mesma comparação e podemos dizer que a altura da árvore é 16 vezes menor que a do edifício.
Quando comparamos duas grandezas por meio de uma divisão, estamos determinando a razão 
entre elas. O termo razão significa divisão e vem do latim ratio (rateio). No caso da árvore e do 
edifício, 16 e 
1
16 são chamadas razões inversas.
Em linguagem matemática, podemos dizer:
Para dois racionais a e b, com b ≠ 0, a razão de a para b é o quociente da divisão a
b
i, ii e iv
EF07MA17
No desenvolvimento dos conceitos de proporcionalidade, é importante destacar que, 
apesar de algumas grandezas estarem associadas, nem sempre são proporcionais. Um 
exemplo cotidiano é o tempo de estudo e a nota obtida em um exame: estudar 2 horas 
em vez de 1 hora não garante que a nota vai ser maior, embora isso possa ocorrer.REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 74REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 74 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
75
Sendo assim, podemos indicar uma razão de três maneiras diferentes:
• pela fração a
b
;
• pela indicação da divisão a : b;
• pelo quociente da divisão.
Exemplos:
• a razão de 3 para 48 pode ser indicada por 3 : 48 ou 3
48
1
16
= ou por 0,0625.
• a razão de 25 para 2 pode ser indicada por 25 : 2 ou 25
2
 ou por 12,5.
Razões inversas
Quando escrevemos uma razão, a ordem em que ela é calculada determina seu valor. Por exemplo, 
se desejarmos calcular a razão entre as populações de uma cidade A, com 4 500 000 habitantes e 
de uma cidade B com 3 000 000, fazemos:
pop. A
pop. B
4 500 000
3 000 000
45
30
3
2
= = =
2
3
A razão inversa será:
pop. B
pop. A
3 000 000
4 500 000
30
45
3
2
= = =
3
2
Note que o produto de uma razão pela razão inversa será sempre 1, pois, ao calcularmos uma razão 
inversa, estamos invertendo o numerador e o denominador da razão direta. 
Acompanhe a seguir algumas situações em que aplicamos o cálculo de razões.
• Um trabalhador executa um serviço muito pesado. Por esse motivo, seu contrato de trabalho 
estabelece que a razão entre as horas de trabalho e de descanso é de 
4
5 . Isso significa que a cada 
4 horas trabalhadas, ele tem direito a 5 horas de descanso. Se num determinado dia ele trabalhou 
6 horas, a quantas horas de descanso terá direito?
Vamos chamar de x as horas de descanso a que ele tem direito. Sabemos que a razão entre horas 
de descanso e de trabalho é de 4
5
 Isso significa que:
= ñ4
5
6
x 4x = 30 ñ x = 7,5 horas
O trabalhador acumulou o direito de descansar 7,5 horas.
• Um pacote de comida para cães contém 3,5 kg de ração e custa R$ 32,00. Na mesma loja, um 
pacote de 10 kg da mesma marca de ração custa R$ 81,90. Qual é mais vantajoso para o comprador?
Vamos calcular, primeiramente, a razão entre as quantidades de ração no pacote maior e no pacote 
menor:
à10,0
3,5 2,86
Agora, vamos ver a razão entre os preços:
à81,90
32,00 2,56
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 75REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 75 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
76
Veja que o pacote maior custa 2,56 vezes o preço do outro, porém contém 2,86 o peso de ração do 
pacote menor. Assim, se o consumidor tiver disponibilidade para pagar o preço pedido pela loja, o 
pacote de 10 kg é relativamente mais vantajoso. 
• Proporções
A torre Eiffel, edificada em Paris no ano de 1889, é um dos monumentos mais conhecidos do 
mundo. Contando a antena em seu topo, ela tem 324,0 m de altura e 124,5 m em sua base. 
324,0 m
124,5 m
4,3 cm
A razão entre a altura e a base da torre Eiffel é 
324
124,5 = 2,6. Se tirarmos uma fotografia frontal 
da torre Eiffel e, nessa foto, a altura da torre medir 4,3 cm, quanto medirá a base na fotografia? 
Se a foto não for distorcida, a razão 2,6 entre a altura e a base deverá ser mantida na fotografia. 
Logo:
= ñ4,3 cm
x
2,6 x = 1,65 cm
Quando temos uma igualdade de razões, temos uma proporção.
Proporção é uma igualdade entre duas razões. A proporção a
b
c
d= deve ser lida da seguinte 
maneira: a está para b assim como c está para d.
Observe alguns exemplos de proporção:
• 
2
3
200
300= ñ 2 está para 3 assim como 200 está para 300
• 
18
54
6
18= ñ 18 está para 54 assim como 6 está para 18
• Observe que no último exemplo, 54 é o triplo de 18 e 18 é o triplo de 6. Essa proporção poderia 
ser lida assim: 18 está para seu triplo assim como 6 está para 18 que é seu triplo.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 76REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 76 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
77
Se uma proporção é a igualdade 
a
b
c
d= temos como consequência a propriedade fundamental 
das proporções: 
a
b
c
d= ñ a × d = b × c
Como essa propriedade deve existir em toda proporção, podemos utilizá-la para verificar se certos 
números são ou não proporcionais.
• 6 e 10 são proporcionais a 15 e 25, isto é, =6
10
15
25
 → ⋅� ��� ���6 25
150
 = ⋅� ��� ���10 15
150
• 4 e 9 são proporcionais a 12 e 27, isto é, =4
9
12
27
 → ⋅� ��� ���4 27
108
 = ⋅�9 12
108
A propriedade fundamental das proporções é 
extremamente útil nas mais diversas situações 
do cotidiano. Veja a seguir alguns exemplos em 
que sua aplicação nos permite resolver alguns 
problemas práticos.
Ao perguntarem a um ajudante de pedreiro 
qual a “receita” para se fazer uma boa massa 
de cimento, ele respondeu:
“Eu misturo1 parte de cimento para 6 de areia 
e coloco água suficiente para formar a massa”.
Assim, se ele colocar 24 medidas de areia, deverá adicionar 4 de cimento, pois:
4
24
1
6=
Numa refinaria, de acordo com a legislação 
vigente, é permitido misturar álcool anidro 
(etanol) à gasolina em quantidades propor-
cionais a 1 e 4. Dispondo de uma produção 
de 158 000 litros de álcool, quantos litros de 
gasolina deverão ser misturados para que a 
legislação seja atendida?
Vamos indicar por x a quantidade necessária 
de litros de gasolina. Assim, utilizando a pro-
priedade fundamental das proporções, temos:
158 000
x
1
4= ñ x = 632 000
Deverão ser misturados 632 000 litros de gasolina a 158 000 litros de álcool, originando uma 
produção de 790 000 litros a serem enviados aos postos de abastecimento.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
Ad
ob
e 
St
oc
k 
Aproveite o momento para 
mostrar aos estudantes a 
necessidade da Matemática no 
contexto da construção civil. 
Verifique se algum deles tem 
algum conhecido que trabalha 
nessa área e se já houve 
oportunidade de acompanhar um 
pouco do seu trabalho. Peça-
lhes que compartilhem com os 
colegas suas experiências.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 77REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 77 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
78
Grandezas proporcionais
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
78
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 78REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 78 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
79
Você já sabe que chamamos de grandeza tudo aquilo que pode ser medido ou quantificado, como 
área e volume.
Considerando o conceito de proporcionalidade, duas grandezas distintas podem ser classificadas em 
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais a partir da relação existente entre elas.
• Duas grandezas são chamadas de diretamente proporcionais quando a variação de uma provoca 
a variação da outra na mesma razão, ou seja, se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra 
triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade. Observe o exemplo:
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Ao dobrarmos o número 
de cadernos, o preço também dobrará. Se comprarmos o triplo de cadernos, pagaremos o triplo 
do preço. Enfim, quanto mais cadernos comprarmos, maior será o preço pago.
Cadernos R$
3 8,00
6 16,00
12 32,00
24 64,00
Observe também que as grandezas mantêm entre si uma razão constante:
8
3
16
6
32
12
64
24= = =
• Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando a variação de uma provoca 
a variação da outra na razão inversa. Assim, se dobramos uma das grandezas, a outra fica dividida 
por 2, se triplicamos uma, a outra fica divida por três, e assim sucessivamente. 
Regra de três simples
O que denominamos de regra de três simples é o processo de resolução de problemas envolvendo 
grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais, mediante aplicação 
da propriedade fundamental das proporções.
Vamos estudar como fazer a aplicação da propriedade nosdois casos, utilizando o seguinte exemplo:
• Suponha uma indústria montadora de automóveis na qual exista apenas dois turnos de 
funcionamento de sua linha de montagem. 
Ad
ob
e 
St
oc
k 
Grandezas proporcionais
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 79REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 79 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
80
Se a fábrica ampliar o número de turnos para três, o número de unidades montadas por dia também 
irá aumentar. Nesse caso, estamos lidando com duas grandezas diretamente proporcionais, pois, 
quando uma aumenta, a outra também aumenta. 
Se com dois turnos a linha produz 128 automóveis por dia, com 3 turnos quantos automóveis 
produzirá? Dispondo a situação numa tabela, temos:
Turnos Carros montados
2 128
3 x
2
3
128
x
2x 384 x 192= → = → =
Passando a operar em três turnos, a fábrica montará 192 automóveis por dia.
O processo que utilizamos no exemplo anterior deve ser empregado na resolução de problemas de 
regra de três simples e pode ser resumido da seguinte forma:
• Montamos uma tabela contendo as grandezas descritas no problema e o valor a ser calculado.
• Identificamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
• No caso de serem diretamente proporcionais, mantém-se a proporção indicada na tabela e 
calcula-se o que se pede.
• Caso as grandezas sejam inversamente proporcionais, monta-se a proporção com um das 
razões invertidas e calcula-se o que se pede.
Atividades
12. A razão entre a quantidade de livros que um brasileiro lê por ano e a que um alemão lê é de 
2
13
. Se um alemão lê, em média, 8 livros por ano, quantos livros lê um brasileiro?
Chamando de b o número de livros lidos por um brasileiro e de a o número lido por um alemão, temos: 
b
a
2
13= b
8
2
13=→ → b > 1,2 livros
13. Para cada R$ 5,00 de seu salário, um trabalhador gasta R$ 0,75 com alimentação. Se o gasto 
com alimentação em determinado mês foi R$ 128,00, qual o salário do trabalhador? 
Temos: 640
0,75
5
0,75
s
128= = s → s > R$ 853,33
14. Qual a população de uma cidade, sabendo-se que a razão entre essa população e a do Brasil 
é 2
191 e que o último censo indicou que temos 191 milhões de habitantes em nosso país?
Chamando de P a população da cidade, temos: 
P
191 milhões
2
191= → p = 2 milhões
EF07MA17
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 80REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 80 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
81
15. Dê a razão inversa de:
a) 5
7
  7
5 b) 
13
5  
5
13
16. Na minha conta poupança deposito mensalmente uma quantia cuja razão para meu salário 
é de 2 para 15. Se este mês depositei R$ 80,00, quanto é meu salário? 
Chamando o salário de s: 1 200
2
2
15
80
s= = s ñ s = R$ 600,00
17. Duas marcas A e B de sabão em pó têm embalagens com 550 g e 600 g, respectivamente. 
O preço do sabão A é R$ 8,90 e do B é R$ 9,10. 
a) Qual é a razão entre os preços de A e B?
preço de A
preço de B
8,90
9,10
89
91= =
b) Qual é a razão entre as quantidades de A e B em cada embalagem.
quantidade A
quantidade B
550
600
11
12= =
c) Relativamente, qual deles é o mais barato, se eles se equivalem em qualidade?
Como 89
91
11
12> o sabão A é proporcionalmente mais caro em preço do que em quantidade, o que significa que B é relativa-
mente mais barato.
18. Identifique como verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proporções.
a) =6
8
9
12
  V
b) =8
20
14
35
  V
c) =5
6
8
10   F
d) =3
7
4
8   F
19. Que número deve ser colocado no lugar de |||| para verificar as proporções?
a) 15
5
||||
5
=   30
b) 5
11
15
||||
=   2
c) 0,02
0,03
||||
3
=   33
d) 1
5
||||
8
=   1,6
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 81REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 81 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
82
20. Para fazer determinado refresco, misturamos o suco concentrado com água, na proporção 
de 2 para 6. Se utilizamos meio copo de suco concentrado, quantos copos de água devemos 
adicionar?
Temos: 3
2
0,5
c
2
6
= 1,5 copos= === c c
21. Responda e justifique cada pergunta:
a) 1 e 9 são proporcionais a 10 e 90?
b) 7,5 e 4 são proporcionais a 30 e 16?
c) 17,5 está para 6 assim como 175 está para 600?
d) 40 está para 23 assim como 10 está para 8? 
22. Esta tabela relaciona o número de pintores com o tempo necessário para eles pintarem 
um edifício:
Número de pintores Tempo (dias)
8 9
16 4,5
24 3
a) Verifique se as razões se mantêm constantes quando o número de pintores passa de 8 para 16.
Não, pois 8
9
 ≠ 16
4,5
b) Faça o mesmo quando número de pintores passa de 8 para 24.
Não, pois 8
24
 ≠ 9
3
c) O número de pintores é direta ou inversamente proporcional ao tempo gasto no serviço?
Inversamente, pois quanto maior o número de pintores, menor será a quantidade de dias necessária para pintar o prédio.
 Sim, pois 1
9
 = 10
90
 Sim, pois 7,5
4
 = 30
16
 Não, pois 17,5
6
 ≠ 175
600
 Não, pois 40
23
 ≠ 10
8
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 82REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 82 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
83
23. Se um motorista percorre 140 km e outro, com a mesma velocidade, leva o dobro do tempo 
para percorrer outro percurso, qual será a distância percorrida pelo segundo? 
Distância Tempo
140 t
d 2t
Como distância e tempo são diretamente proporcionais: t
2t
140
d
= → d = 280 km
24. Uma senhora leva 18 dias para fazer uma blusa de tricô, trabalhando certo número de horas 
por dia. Sua vizinha, trabalhando o triplo de horas por dia, demorará quantos dias para tricotar 
a mesma blusa? 
Dias Horas por dia
18 h
d 3h
Número de dias e horas trabalhadas por dia são inversamente proporcionais: 3h
h
18
d
= → d = 6 dias
25. Responda:
a) Vou percorrer uma distância dando passos de mesmo tamanho. O número de passos que darei 
é direta ou inversamente proporcional ao comprimento dos meus passos?
Quanto maior for o comprimento do passo, menor será o número de passos a serem dados. Logo, essas grandezas são
inversamente proporcionais.
b) Alguns pedreiros vão construir um muro. O tempo da construção é direta ou inversamente 
proporcional ao número de pedreiros?
Quanto maior o número de pedreiros, menor será o tempo gasto na edificação. Portanto as grandezas são inversamente
proporcionais.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 83REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 83 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
84
26. Um elevador admite a carga máxima de 7 adultos, com 80kg cada um. Quantos jovens de 56 
kg esse elevador pode acomodar?
Pessoas kg/pessoa
7 80
p 56
Quanto menor o peso por pessoa, maior será o número de pessoas acomodadas no elevador. Logo, temos grandezas 
inversamente proporcionais: 56
80
7
p = → p = 10 jovens
27. Em uma linha de montagem, 4 robôs fazem o serviço de solda em 12 horas. Em quanto 
tempo 6 desses robôs, nas mesmas condições, fariam o mesmo serviço?
Robôs Tempo de solda
4 12
6 t
Quanto maior o número de robôs, menor deverá ser o tempo de solda. Logo, mantendo-se as condições, número de robôs e 
tempos de solda são inversamente proporcionais: t
12
4
6
= → t = 8 horas
28. Responda:
a) Tirei 6,0 em uma prova que valia 8 pontos. Qual seria a minha nota se a prova valesse 10?
Nota Valor
6 8
8 10
Nesse caso, mantendo-se as mesmas condições de acerto, as grandezas serão diretamente proporcionais: 8
10
6
n = → n = 7,5
b) Uma prova, de nota máxima 10, tinha 15 questões de igual valor. Eu acertei 9 questões. Que 
nota tirei?
Nota Questões certas
10 15
n 9
Quanto maior o número de questões certas, maior será a nota. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais:
15
9
10
n = → n = 6
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 84REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 84 10/01/24 18:5110/01/2418:51
85
29. Uma impressora industrial pode imprimir 8 000 páginas por hora ou 4 000 páginas por hora 
na velocidade mais baixa, que é mais econômica. Essa máquina fez certo serviço em 7 horas 
e meia, na velocidade mais alta. Em quanto tempo ela faria o mesmo serviço, trabalhando na 
velocidade mais baixa?
Páginas Tempos
8 000 7,5
4 000 t
Quanto maior a velocidade, menor será o tempo de impressão. Logo, temos grandezas inversamente proporcionais: 
t
7,5
8 000
4 000
= → v = 15 horas
30. Com a velocidade constante de 100 km/h, um carro percorreu 500 km. Durante esse 
mesmo tempo, que distância outro carro percorrerá, viajando a 120 km/h?
Velocidade d
100 500
120 d
Velocidade e distância percorrida num mesmo intervalo de tempo são grandezas diretamente proporcionais:
500
d
100
120
= → d = 600 km
31. Com 100 kg de trigo, fabricam-se 65 kg de farinha. Com quantos quilogramas de trigo são 
fabricados 260 kg de farinha?
kg de trigo kg de farinha
100 65
t 260
A quantidade de trigo e a de farinha fabricada são diretamente proporcionais: 65
260
100
t = → t = 400 kg
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 85REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 85 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
86
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 86REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 86 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
87
Grandezas 
e medidas
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão 
estudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 8° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Sistemas de medidas 
• Cálculo de volume 
• Área de figuras planas 
• medida do comprimento da circunferência
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 87REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 87 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
PROFESSOR
UNIDADE 4
90
A unidade de grandezas e medidas trata de medidas cotidianas, como comprimento e massa, clas-
sicamente trabalhadas em Matemática. Porém, estendendo o conceito de medida para além de um 
processo de comparação com unidades padrões, a BNCC sugere que trabalhemos com cálculo de 
áreas e volumes dentro da unidade temática. Isso envolve, obviamente, o conhecimento por parte 
dos estudantes de conceitos geométricos do cálculo de áreas e volumes. Nesse sentido, a unidade 
apresenta as chamadas “fórmulas de cálculo”, já trabalhadas em anos anteriores, ao lado dos concei-
tos comparativos de unidades de medidas. Além dos casos clássicos de cálculo de volume e de área, 
a unidade apresenta a medida do comprimento da circunferência. O desenvolvimento da unidade 
se dá com 4 temas:
1. Sistema de medidas
2. Cálculo de volume
3. Área de figuras planas
4. Medida do comprimento da circunferência
Desenvolvimento 
em 4 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 90REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 90 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
91
Tema 1: Sistema de medidas
O trabalho com esse tema pode ser iniciado com uma gincana das medidas, que combina ludicidade 
com a compreensão das unidades de medida. Em uma caixa, chamada de “caixa surpresa”, coloque 
vários objetos para que os alunos, divididos em grupos, possam identificar qual unidade de medida é 
apropriada e realizar a medição do objeto usando o instrumento adequado. Alguns exemplos de objetos 
que podem ser colocados na caixa: um cubo mágico, um caderno, uma peça de roupa, uma garrafinha 
térmica, uma bolinha de gude, cola, um livro e uma ampulheta. Além disso, disponha uma mesa com 
uma balança, uma fita métrica, um termômetro e um cronômetro para que os alunos possam realizar 
medições correspondentes aos objetos sorteados.
Tema 2: Cálculo de volume
Separe sólidos geométricos, especificamente paralelepípedo e cubo, para que os alunos possam medir 
as dimensões e fazer os cálculos referentes ao volume de cada sólido apresentado.
Outra atividade que pode ser desenvolvida é pedir antecipadamente aos alunos que levem para a sala 
de aula embalagens que tenham formato de paralelepípedo ou de cubo para que, em grupo, possam 
realizar o cálculo do volume dessas embalagens.
Tema 3: Área de figuras planas
Inicie o trabalho deste tema com a videoaula “Área de figuras planas”. Distribua sólidos geométricos 
que estão contidos nos blocos lógicos com o objetivo de calcular a área de figuras planas a partir deles. 
Sorteie 5 blocos e divida-os para grupos de até 5 alunos, com a indicação de fazerem o contorno das 
faces para realizar o cálculo da área de cada face. Os alunos devem utilizar régua para medir esses lados.
Como atividade complementar pode-se usar o simulador para identificação das figuras planas (quadriláteros). 
O link está disponível em: https://linkja.net/simuladorQuadrilateros. Acesso 11 out. 2023.
−
Marcadores
Grade
Diagonais
Rótulos
Pequenos Passos
C
A
Paralelogramo
B
D
Redefinir forma
A
Tema 4: Medida do comprimento da circunferência
Para trabalhar com este tema utilize os blocos lógicos, separando as figuras que contêm circunferências. 
Distribua para os alunos e oriente-os a usar os blocos para fazer o contorno no caderno e depois 
medir o comprimento da figura com barbante. Logo em seguida, mostre como eles podem comparar 
os diferentes tamanhos de circunferências e sua relação com o raio. Outra atividade possível, caso não 
tenha blocos lógicos, é pedir antecipadamente para os alunos levarem para a sala de aula embalagens 
que contenham círculos em alguma das faces para medir o comprimento da circunferência contornada 
em uma folha ou no caderno.
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF07MA29) (EF07MA30) (EF07MA31) (EF07MA32) (EF07MA33)
Desenvolvimento em 4 temasUNIDADE 4
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 91REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 91 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
88
Sistemas de medidas
O ato de medir sempre fez parte do cotidiano dos seres humanos, pois a compreensão do que 
acontece ao nosso redor depende de dominarmos os fenômenos com os quais nos relacionamos. 
Para conhecermos as dimensões do local em que estamos, uma distância percorrida, o tempo 
gasto para realizar um trabalho, a energia elétrica consumida em um mês etc., precisamos 
realizar medidas.
Considerando que dependemos bastante do ato de medir, é importante que tenhamos sistemas 
organizados para realizar medidas. Nesse sentido, é fundamental que compreendamos o conceito 
de unidade de medida. Afinal, medir alguma coisa é estabelecer quantas vezes essa coisa é maior 
ou menor do que uma unidade que escolhemos como padrão.
Durante muito tempo, cada cultura teve seu próprio sistema de medidas. Essas unidades de medidas 
eram geralmente arbitrárias e baseavam-se, por exemplo, no corpo humano. É o caso de palmo, pé 
e polegada, dos quais você já deve ter ouvido falar.
As diferentes unidades criavam diversos problemas para o comércio, espe- cialmente quando este 
se dava entre povos que utilizavam unidades diferentes. A necessidade de converter uma medida 
em outra era tão importante quanto a necessidade de converter uma moeda em outra. Na verdade, 
em muitos países, inclusive no Brasil dos tempos do Império, a instituição que cuidava da moeda 
também cuidava do sistema de medidas.
Quilograma
O quilograma é definido para medir massa. Inicialmente, no Sistema Métrico, 1 quilograma era 
definido como sendo a massa de um litro de água pura. Para representar um quilograma, foi 
construído um cilindro de platina que também se encontra no Escritório Nacional de Pesos e 
Medidas,em Sèvres, na França, e em outros institutos de pesos e medidas no mundo.
Diversos países adotaram o sistema métrico, inclusive o Brasil. Isso favoreceu o desenvolvimento 
científico e tecnológico, pela facilidade de troca de informações e de utilização de máquinas e 
instrumentos com medidas comuns. Mais tarde, a partir de 1960, o Sistema Métrico Decimal 
evoluiu para o Sistema Internacional de Medidas, adotado hoje em todos os países do mundo.
A massa de um corpo é a medida da quantidade de matéria que ele contém.
Uma forma de determinar a massa de um corpo consiste em tomar um outro corpo como unidade 
de medida e compará-los. Para fazer essa comparação, podemos utilizar uma balança. 
O grama é um submúltiplo do quilograma. Por ser muito utilizado em nosso cotidiano, é tomado 
como referência.
MÚLTIPLOS UNIDADE 
FUNDAMENTAL SUBMÚLTIPLOS
quilograma
kg
1 000 g
hectograma
hg
100 g
decagrama
dag
10 g
grama
g
1 g
decigrama
dg
0,1 g
centigrama
cg
0,01 g
miligrama
mg
0,001 g
Converse com os estudantes sobre as 
diversas grandezas e medidas que utilizamos 
cotidianamente, como algumas das que 
veremos neste tópico. Pergunte-lhes, por 
exemplo, caso eles se sintam confortáveis 
em responder, qual o valor de sua massa em quilogramas, bem como suas 
alturas, mostrando, assim, exemplos bem próximos de sua convivência.
EF07MA29
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 88REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 88 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
89
Observe o quadro e perceba que cada unidade de massa é 10 vezes a unidade à sua direita. 
Com base nisso, da mesma forma com que trabalhamos com o metro e o litro, podemos fazer as 
transformações de unidades.
Acompanhe os exemplos:
2 500 g = 2,5 kg; 27 dg = 270 mg; e 4 388 hg = 438,8 kg
Quando medimos massas muito grandes, é comum utilizarmos como unidade a tonelada (cujo 
símbolo é t). Uma tonelada equivale a 1 000 quilogramas.
1 t = 1  000 kg
Um elefante adulto, por exemplo, pode chegar a 7 000 kg, ou 7 t.
Metro
No Sistema Métrico Decimal, a unidade de medida parra a grandeza comprimento foi denominada 
metro e definida como uma pequena parte de um meridiano terrestre.
Hoje, o metro é definido da seguinte maneira: “comprimento do trajeto percorrido pela luz no 
vácuo, durante um intervalo de tempo equivalente a 1/ 299 792 458 de segundo”. Para que você 
entenda essa definição, basta saber que a velocidade da luz no vácuo é de 299 792,458 quilômetros 
por segundo, ou 299 792 458 metros por segundo. Por essa razão, na fração utilizada na definição, 
a luz percorrerá 1 metro.
Entre as medidas mais comuns que realizamos em nosso dia a dia está a medida de comprimento. 
Já sabemos que a unidade de medida de comprimento é o metro e seu símbolo é m.
Dependendo do comprimento que seja necessário medir, podemos utilizar unidades derivadas do 
metro. Para medir grandes distâncias, por exemplo, como a distância entre duas cidades, geralmente 
utilizamos o quilômetro, que equivale a 1 000 metros. Seu símbolo é km, pois o prefixo k, representa 
1 000 vezes 1 km = 1 000 m.
Por outro lado, quando precisamos medir comprimentos pequenos, como o tamanho de um lápis, 
por exemplo, utilizamos o centímetro (cm) ou o milímetro (mm).
O centímetro é a centésima parte do metro, e o milímetro é a milésima parte do metro, ou seja, o 
centímetro equivale ao metro dividido por 100 e o milímetro ao metro dividido por 1 000.
Note que a régua a seguir está graduada até os 10 cm e que cada divisão do centímetro equivale a 
1 mm. Nessa régua, temos 100 mm.
1 mm1 cm
O quilômetro, o centímetro e o milímetro são, sem dúvida, as unidades derivadas do metro mais 
utilizadas na medida de comprimentos. Porém existem outras.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 89REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 89 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
90
Observe o quadro dessas unidades de comprimento no sistema métrico.
MÚLTIPLOS UNIDADE 
FUNDAMENTAL SUBMÚLTIPLOS
quilômetro
km
1 000 m
hectômetro
hm
100 m
decâmetro
dam
10 m
metro
m
1 m
decímetro
dm
0,1 m
centímetro
cm
0,01 m
milímetro 
mm 
0,001 m
Note que cada unidade é equivalente a 10 vezes a unidade imediatamente à sua direita. Assim, 
temos, por exemplo, que 1 km que equivale a 10 hm.
A partir desse quadro, você pode utilizar unidades diferentes para expressar um mesmo 
comprimento. Uma pessoa pode dizer que mora a 5 000 m ou a 5 km da praia e um lápis pode 
medir 12 cm ou 120 mm.
Vamos ver como se transforma uma medida de comprimento, de uma unidade para outra.
Basta observar o quadro das unidades de comprimento do sistema métrico e estabelecer a relação 
entre cada uma delas:
10 10 10 10 10 10
km hm dam m dm cm mm
No quadro, da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 10 vezes a seguinte. Por isso, para 
transformar uma certa unidade de medidana seguinte, devemos multiplicar por 10 o número que 
indica a medida. Por exemplo:
7,2 dam = 72 m
120 km = 1 200 hm = 12 000 dam = 120 000 m
Observe que, para passarmos de km para metros, multiplicamos 3 vezes sucessivas por 10, pois o 
metro está a 3 posições à direita do km.
Veja agora que, para transformar uma certa medida de uma unidade em uma anterior, dividimos por 
10 o número que indica a medida. Por exemplo:
80 dam = 8 hm
15 cm = 1,5 dm
2 300 m = 230 dam = 23 hm
Tempo
Medir o tempo é uma das atitudes mais antigas dos seres humanos. Há muito se percebeu 
que, para medir o tempo, era necessário utilizar algum fenômeno periódico, isto é, algo que 
se repetia em determinados intervalos de tempo. Assim, esse intervalo era utilizado como 
unidade de medida.
Atualmente, medimos o tempo utilizando horas, minutos, segundos, dias, semanas, meses, anos, 
séculos etc.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 90REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 90 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
91
Assim:
• 1 minuto tem 60 segundos.
• 1 hora tem 60 minutos.
• 1 dia tem 24 horas.
• 1 ano tem 12 meses.
• Os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias.
• Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias.
• O mês de fevereiro tem 28 dias em anos não bissextos e 29 dias nos anos bissextos.
• Uma década tem 10 anos.
• Um século tem 100 anos.
• Um milênio tem 1 000 anos.
Como horas, minutos e segundos se relacionam como múltiplos de 60, devemos realizar as 
operações de forma um pouco diferente. Veja o exemplo:
Um show de rock começa às 22h35min e dura 1h45min. A que horas ele termina?
Para responder a essa pergunta, precisamos somar 22h35min com 1h45min.
21h35min
1h45min
22h80min
+
Como 1 hora tem 60 minutos, 80 minutos correspondem a 1 hora mais 20 minutos. Então: 
22h80min = 22h + 1h + 20min = 23h20min. Portanto, o show termina às 23h20min.
Cálculo de volume
Um bloco retangular é um sólido que possui altura, comprimento e largura na seguinte configuração:
comprimento
altura
largura
O volume do bloco retangular (Vbloco retangular) é calculado pela multiplicação dessas três grandezas:
Vbloco retangular = comprimento = largura × altura
A unidade de medida desse volume depende das unidades que foram dadas a suas arestas, podendo 
ser, por exemplo, metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3) e centímetro cúbico (cm3).
Acompanhe o exemplo:
• O volume de um paralelepípedo retangular com dimensões 10 cm, 5 cm e 3 cm é:
V = 10 cm × 5 cm × 3 cm
V = 150 cm3
EF07MA30
Se possível, leve caixas retangulares para a 
sala de aula a fim de ajudar os estudantes 
no entendimento de cada parte do bloco 
retangular. Peça-lhes que, com uma régua 
ou trena, meçam as partes da caixa para 
calcular seu volume, o que é uma atividade 
prática bastante simples de realizar.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 91REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 91 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
92
Área de figuras planasVIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
92
EF07MA31 e EF07MA32
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 92REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 92 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
93
Área do trapézio
para o cálculo da área de um trapézio, vamos considerar o trapézio MNOP, de altura h, representado 
na figura a seguir.
h
P O
M N
No trapézio MNOP da figura, é a base menor, b, e é a base maior, B. Uma forma de determinar a 
área deste trapézio de altura h é dividi-lo em dois triângulos:
hh
P O
M
b
N
B
• A área do ∆PNO é A1 = B . h
2
 e a área do ∆PMN é A2 = b . h
2
.
Atrapézio = A1 + A2 → Atrapézio = B . h
2
 + b . h
2
 → Atrapézio = (B + b) . h
2
Dizemos, então, que a área de um trapézio é dada pela metade da soma das bases, multiplicada por 
sua altura:
Atrapézio = (base maior + base menor) · altura)
2
Acompanhe o exemplo:
• Neste trapézio ABCD, as bases são 3 m e 5 cm, e a altura é 2 cm.
D C
A B3 cm
5 cm
2 cm
Veja como calculamos sua área:
Atrapézio = (5 + 3) · 2
2 = 8 cm2
Área de figuras planas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 93REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 93 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
94
Área de um paralelogramo qualquer
Vimos que um paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. Você já 
sabe, também, como se calcula a área de um quadrado e a de um retângulo. Suponha, agora, um 
paralelogramo qualquer ABCD.
A B
CD
Traçando-se por B uma perpendicular a BC, obtemos o triângulo BHC e o segmento BH, que 
é a altura do paralelogramo. Se “recortarmos” o triângulo BHC e o “colarmos” com o vértice B 
coincidindo com o vértice A do paralelogramo, obtemos um retângulo de mesma área, mesma 
altura BH e mesma base DC.
B B
CH C H
Assim, a área de um paralelogramo qualquer é igual à área de um retângulo de mesma base e 
mesma altura que o paralelogramo. Se chamarmos o segmento BH de altura h e o lado relativo 
a essa altura, que na figura é o segmento DC, de base b, podemos escrever a fórmula da área de 
um paralelogramo qualquer.
A B
h
b
CD
A = (base)·(altura) → A = b · h
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 94REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 94 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
95
Área do losango
a área de um losango pode ser calculada como se faz com qualquer paralelogramo, se conhecermos 
um dos lados e a altura relativa a ele. No entanto podemos calcular sua área também a partir de 
suas diagonais D e d.
Observe no losango MNPQ da figura a seguir que ele está envolvido por um retângulo ABCD, cujos 
lados são iguais às diagonais D e d. A figura mostra que a área do losango MNPQ é metade da área 
do retângulo ABCD. 
D
d
PD C
MA
Q N
B
Assim, se a área do retângulo é Aretângulo = D · d, a área do losango será:
Alosango = D ⋅ d
2
Exemplo:
• O losango da figura tem diagonais de medidas 8 cm e 4 cm.
8 cm
4 cm
4
2
A = 8 ⋅ 4
2 → A = 16 cm2
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 95REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 95 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
96
Medida do comprimento da circunferência
o comprimento da circunferência é dado em função de seu raio. É fácil perceber que, quanto maior 
o raio, maior será o comprimento total da circunferência. Considere a circunferência de raio r e 
suponha que “cortamos” a circunferência em P e a “esticamos”. O segmento obtido será o perímetro 
ou comprimento dessa circunferência.
r
PP
C
O comprimento C da circunferência é dado pelo produto de seu diâmetro 2r pelo número irracional 
π, cujo valor é, aproximadamente, 3,14. Assim:
C = 2πr
Atividades
1. Responda, em seu caderno, cada uma das questões estabelecendo a igualdade:
a) Um metro tem quantos centímetros?
b) Um metro tem quantos milímetros?
c) Um quilômetro tem quantos metros?
d) Um decímetro tem quantos milímetros?
e) Dez milímetros equivalem a quantos centímetros?
2. Em determinado voo, o comandante do avião informou aos passageiros que voavam a 12 000 
pés de altura. Sabendo que 1 pé equivale a, aproximadamente, 30,5 cm, determine a altitude do 
avião em metros.
12 000 · 0,35 = 4 200 m
3. Nos Estados Unidos são muito usadas as unidades de comprimento pé e polegada. Sabendo 
que uma polegada tem 2,54 cm e que o pé tem 30,5 cm, calcule quantas polegadas mede 1 pé, 
aproximadamente.
1 pé = 12 polegadas
4. A jarda inglesa refere-se à distância entre a ponta do nariz e a ponta do polegar com o braço 
esticado do Rei Henrique I (1069-1135). Sabendo que uma jarda equivale a 0,91 m, responda 
quanto percorreu em decâmetros uma pessoa que percorreu 3 780 jardas.
343,98 dam
100 cm
1 000 mm
1 000 m
100 mm
1 cm
EF07MA33
EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31, EF07MA32 e EF07MA33
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 96REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 96 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
97
5. Transforme em quilogramas:
a) 7 375 g
b) 125 dg
c) 378 g
d) 7 200 g
e) 155 dag
f) 12 g
6. Se 1 t = 1 000 kg, podemos dizer que 1 kg = 0,001 t. Pensando nisso, transforme em 
toneladas:
a) 2 kg
b) 127 kg
c) 27 kg
d) 1,27 kg
7. Para fazer 3 000 livros de 32 páginas cada um, foram utilizados 384 kg de papel. Qual é, 
aproximadamente, a massa, em gramas, de cada página do livro?
3 000 · 32 = 96 000 páginas
384 : 96 000 = 0,004 kg por página
Portanto, a massa de cada página é 4 g.
8. No setor agropecuário, é muito comum se utilizar, como unidade de massa, a arroba, que 
equivale a 15 kg. Responda, utilizando calculadora:
a) Quantas arrobas pesa uma vaca de 450 kg?
450 : 15 = 30 arrobas
b) Quantos quilogramas tem um bezerro de 12 arrobas?
12 · 15 = 180 kg
7 375 g = 7,375 kg
125 dg = 0,0125 kg
378 g = 0,378 kg
7 200 g = 7,2 kg
155 dag = 1,55 kg
12 g = 0,012 kg
2 kg = 0,002 t
127 kg = 0,127 t
27 kg = 0,027 t
1,27 kg = 0,00127 t
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 97REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 97 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
98
9. Sabendo que, inicialmente, o quilograma foi definido como a quantidade de matéria contida 
em 1 litro de água pura, podemos elaborar a seguinte tabela:
1 L 1 kg
1 cm3 1 g
1 m3 1 000 kg
Com base na tabela, responda:
a) Qual a massa de 25 L de água pura?
25 L de água pura equivalem a 25 kg.
b) Qual a massa de 1 000 L de água pura?
1 000 L de água pura equivalem a 1 000 kg = 1 t.
c) Qual a massa de 10 L de água mineral?
10 L de água mineral equivalem a 10 kg.
d) Uma caixa-d’água de 2 000 L tem massa de 120 kg quando está vazia. Qual a massa dessa caixa-
d’água quando está cheia?
2 000 L  2 000 kg
Total = 2 000 kg + 120 kg = 2 120 kg
10. Um show de música na TV começa às 13h25min e dura 2h45min. A que horas ele termina?
13h25min + 2h45min = 15h70min = 16h10min
11. Qual a diferença, em horas, entre a duração dos meses de agosto e novembro?
24 horas, pois agosto tem 1 dia a mais que novembro.
12. Quantas horas tem 1 mês de 30 dias? E um ano de 365 dias?
30 dias = 30 · 24 = 720h
365 dias = 365 · 24 = 8 760h
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 98REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 98 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
99
13. De uma estação ferroviária um trem parte para a capital a cada 2h40min. Considerando que 
o primeiro trem parte às 10h20min e que após as 18 horas não parte nenhum trem, quantos 
trens partem para a capital a cada dia?
1° 10h20min + 2h40min = 12h60min = 13 h 
2° 13h + 2h40min = 15h40min
3° 15h40min + 2h40min = 17h80min = 1 8h20min 
A cada dia partem apenas três trens.
14. Alessandra comprou uma caixapara guardar os laços de cabelo que gosta de colecionar. Se 
a caixa tem as medidas dadas a seguir, qual seu volume?
30 m
12 m
10 m
V = 30 × 10 × 12 = 3 600 cm3
15. O pedreiro Joselito fez uma caixa retangular de madeira medindo 1,0 m de comprimento, 
80 cm de largura (0,8 metro) e 30 cm de altura (0,3 metro). Qual o volume total da caixa de 
Joselito?
V = 1,0 × 0,8 × 0,3 = 0,24 m3
16. Calcule a área ocupada por uma quadra quadrada de 8 m de lado.
Aquadrado = l2 = 82 = 64 m2
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 99REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 99 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
100
17. Um bloco retangular tem 48 cm de largura. Essa largura é o triplo do comprimento e este é 
o dobro da altura. Qual é o volume do bloco em cm3?
altura
comprimento
largura
V = 48 · 16 · 8   V = 6 144 cm3
18. Calcule a área dos seguintes paralelogramos:
a) 
10 cm
8 cm
b) 
3 cm
7 cm
c) 
4 cm
3 cm
6 cm E CD
BA
M
A = 10 ⋅ 8 → A = 80 cm2 
A = 3 ⋅ 7 → A = 21 cm2 
Como ABCD é um paralelogramo, ME é metade da altura h. Logo h = 6 cm.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 100REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 100 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
101
19. Calcule a área do paralelogramo ABCD da figura a seguir, sabendo-se que o segmento EF 
divide o lado AB em duas partes iguais, é perpendicular a CD em F e que EF
4 cm
3 cm CFD
BA E
Como, AE = ED = EF → AE = ED = EF, temos: AB = 8 cm, EF = 8 cm
A = 8 ⋅ 8 → A = 64 cm2
20. Faça um esboço da figura indicada em cada item e resolva os problemas:
a) Determine a área de um paralelogramo cuja base mede 4 m e a altura 3 m.
A = 3 ⋅ 4 → A = 12 cm2
b) Um paralelogramo tem 64 cm² de área. Calcule a altura desse paralelogramo, sabendo que sua 
base mede 4 cm.
64 = 4 ⋅ h → h = 16 cm2
c) Um paralelogramo tem 20 cm de base. Calcule sua área, sabendo que sua altura é a metade da 
base.
A = 20 ⋅ 10 → A = 200 cm2
21. Calcule a área do trapézio da figura a seguir:
80 m
40
 m
10 m
50 m
(50 + 80) ⋅ 40
c 2 600 cm2= =AA →
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 101REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 101 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
102
22. Cinco quadrados de lados iguais a 5 cm compõem a cruz da figura a seguir. Qual é a área do 
trapézio ALHF? 
C D
J I
H GM L
E FA B
O trapézio tem base maior igual a 3 lados do quadrado, base menor e altura iguais a 1 lado.
Logo: (15 + 5) ⋅ 5
2 50 cm2= =AA →
23. Uma circunferência de 5 cm de raio terá comprimento aproximado de:
C = 2πr → C = 2 · 3,14 · 5 → C = 31,4 cm
24. O pneu de um veículo, com 40 cm de raio, ao dar uma volta completa, percorre quantos 
metros, aproximadamente? 
Antes, vamos transformar 40 cm em 0,4 m. Agora basta aplicar a equação do comprimento 
de uma circunferência.   C = 2πr → = 2 · 3,14 · 0,4 → C = 2,5 m 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 102REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 102 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
103
25. Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 600 km sobre uma pista circular 
cujo raio é 100 m. Qual o número aproximado de voltas que ele dará?
Se o raio da pista é de 100 m, vamos inicialmente calcular seu comprimento:
C = 2πr → = 2 · 3,14 · 100 → C = 628 m 
Como 600 km equivalem a 600 000 m, o ciclista dará o seguinte número de voltas na pista:
número de voltas = 600 000 m
628 m
 > 955,4 
Ou seja, o ciclista dará, aproximadamente, 955 voltas na pista de 100 m de raio para completar a prova de 600 km.
26. Determine o comprimento de uma circunferência de raio r = 5 cm.
C = 2π × 5 cm ≈ 31,4 cm
27. Calcule a medida do raio de uma circunferência de comprimento igual a 1 m.
C = 2πr   1 m = 2πr   r = 
π
1m
2
 ≈ 0,159 m ≈ 15,9 cm
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 103REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 103 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
104
Antes de iniciar o trabalho com a revisão de cada Unidade Temática, você encontrará um 
conjunto de páginas com orientações e atividades complementares, destinadas a tornar 
mais eficiente a aprendizagem e mais produtiva a recomposição dos pré-requisitos para 
seu melhor desenvolvimento. 
Professor
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 104REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 104 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
105
Probabilidade 
e estatística
O QUE VAMOS REVISAR 
Para ajudá-lo a melhor compreender os conceitos que serão es-
tudados e suplantar as dificuldades de aprendizagem no 6° ano, 
vamos revisar nesta unidade temática: 
• Eventos aleatórios 
• Média e amplitude de um conjunto de dados 
• Gráficos de setores 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 105REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 105 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
PROFESSOR
UNIDADE 5
O trabalho realizado nesta unidade envolve não apenas a evolução da caracterização de eventos e 
o cálculo das probabilidades associadas a eles, especialmente com base no princípio multiplicativo, 
mas também abrange o desenvolvimento de competências relacionadas à pesquisas e suas diversas 
abordagens. A unidade expõe o tratamento dos dados coletados em pesquisas, incluindo a classifi-
cação de frequências de variáveis contínuas e a seleção dos tipos de gráficos mais apropriados para 
representar conjuntos de dados específicos. Isso capacita os estudantes a escolher a maneira mais 
eficaz de apresentar as informações obtidas em uma pesquisa.
Nesse cenário, os conteúdos são desenvolvidos com foco no dinamismo e no olhar para a realidade 
do estudante, trazendo contextos e exemplos com este viés. São muito importantes os conceito de 
frequência e média, pois, com eles, os estudantes podem desde já intuir a natureza do fenômeno 
estudado e suas principais características, fazendo com que seja possível levar essa intuição à análi-
se dos gráficos adequadamente selecionados para determinada distribuição de dados. A unidade se 
desenvolve, portanto, em 3 temas: 
1. Eventos aleatórios
2. Média e amplitude de um conjunto de dados
3. Gráfico de setores
Desenvolvimento 
em 3 temas
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 108REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 108 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
Tema 1: Eventos aleatórios
O trabalho do tema de eventos é muito importante para o desenvolvimento da percepção dos 
alunos dos acontecimentos que podem se repetir ou não. Solicite aos alunos que levem para a sala 
de aula dados, moedas e cartas de baralho.
Com esses materiais em mãos, oriente os alunos a calcular a probabilidade de sair:
Com os dados: números pares; números ímpares; números primos.
Com as moedas: cara; coroa.
Com o baralho: rei; rainha; valete; combinações entre eles (um rei e duas rainhas); especificamente 
de um ou mais naipes.
Dessa forma, eles perceberão que precisam de duas informações: o pedido feito (analisando quantas 
possibilidades há ali) e o número total de possibilidades desse material. Exemplo: Um dado. Qual 
a probabilidade de jogar o dado e a face virada para cima exibir um número primo? Os números 
primos em um dado são 2, 3 e 5. O dado tem 6 lados. Portanto: P(A) = 3 
6
 = 1 
2
 = 50%.
Tema 2: Média e amplitude de um conjunto de dados
Inicie o trabalho do tema com a videoaula “Médias”. Após a videoaula, faça uma pesquisa em sala de 
aula sobre a altura dos alunos e calcule com eles a média desta medida, bem como a média da altura 
das meninas e depois dos meninos. Com esta atividade os alunos perceberão que, para o cálculo da 
média, são necessários primeiramente dados coletados em uma pesquisa para depois organizá-los 
e realizar o cálculo propriamente dito.
Para complementar a atividade, se possível,utilize o simulador para identificar o conceito de média 
entre copos de água. Nele é possível modificar a quantidade de copos de água e o quanto estão 
cheios. O link está disponível em: https://linkja.net/simuladorMedidasAgua. Acesso 12 out. 2023.
Qual a média de água em cada copo?
Prever Média
Ver Média
Ver Graduação
Destacar Nível dÁgua
Número de Copos
2
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 5
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 109REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 109 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
Tema 3: Gráfico de setores
Inicie esse tema realizando uma pesquisa em sala sobre a preferência de sabores de sorvete. Depois, 
oriente os alunos a fazerem os cálculos correspondentes de porcentagem para a quantidade de 
cada um deles. Conhecendo o valor da porcentagem, através da regra de três pode-se fazer a 
correspondência para uma circunferência:
 30% x
100% 360
100x = 10800
x = 10800/100
x = 108°
Outra forma de resolução:
30% = 0,3
0,3 x 360 = 108º
Assim, tendo as porcentagens, os alunos poderão se preparar para a construção do gráfico usando 
compasso e transferidor ou, com a tabela pronta, utilizar o próprio Excel para formar os gráficos. O 
site do IBGE tem vários gráficos, incluindo o gráfico de setores. O link está disponível em: https://
linkja.net/tiposGraficosIbge. Acesso 12 out. 2023.
Concluintes por área de conhecimento
Ciências Sociais, Negócios e Direito
Educação
Saúde e Bem-Estar Social
Engenharia, Produção e Construção
Ciências (Biológicas, Ambientais, da Terra,
Química e Física), Matemática e Computação
Humanidades e Artes
Serviços (Ciências Domésticas, Esportes,
Hotelaria, Beleza, Segurança, Transporte e
Turismo)
Agricultura e Veterinária
2,26%2,60%
3,21%
6,36%
9,48%
14,86%
16,86%
44,37%
HABILIDADES TRABALHADAS NA UNIDADE TEMÁTICA
(EF07MA34) (EF07MA35) (EF07MA36) (EF07MA37)
Exemplo de gráfico de setores:
Desenvolvimento em 3 temasUNIDADE 5
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 110REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 110 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 111REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 111 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
106
Eventos aleatórios 
Espaço amostral (E) de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis para aquele 
experimento.
Espaço amostral:
E = {rl, r2, r3, ..., rn}
rl, r2, r3, ..., rn são os resultados possíveis.
r1
r2
r3…
rn
 resultados possíveis
Por exemplo, jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o seguinte 
espaço amostral:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Qualquer subconjunto do espaço amostral chama-se evento.
Probabilidade de um evento
a probabilidade de um evento A representa a “chance” de ocorrer um evento A. O valor p(A) é 
igual ao número de elementos de A, dividido pelo número de elementos do espaço amostral E.
p(A) = número de elementos de A
número de elementos de E
n(A)
n(E)
=
p(A): probabilidade de um evento A.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
EF07MA34 
A fim de desenvolver os 
conceitos de probabilidade, 
se possível, leve uma moeda, 
um dado comum e um 
baralho para a aula, buscando 
construir exemplos práticos 
que auxiliem no processo 
de ensino e aprendizagem 
dos estudantes, inclusive 
solicitando a eles que 
realizem alguns experimentos 
aleatórios em aula e façam os 
cálculos correspondentes.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 106REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 106 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
107
Como A e E, temos n(A) < n(E). Logo:
0 ≤ p(A) ≤ 1
Em particular, se p(A) = 0, A será chamado evento impossível e, se p(A) = 1, A será chamado 
evento certo.
Acompanhe alguns exemplos do cálculo da probabilidade de um evento.
a) Qual é o espaço amostral quando lançamos uma moeda duas vezes seguida? Escreva dois 
eventos possíveis nesse espaço amostral.
E = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}
São exemplos de eventos:
– obter 2 caras: A = {(cara, cara)}
– obter ao menos 1 cara: B {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)}
b) Calcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4:
Espaço amostral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: A = {5, 6}
n(A) = 2
n(E) = 6
 → p(A) = 2
6
1
3
=
c) Dispondo de um baralho completo, podemos determinar a probabilidade de retirar ao acaso 
uma carta de ouros.
Um baralho é formado por 52 cartas, divididas em 4 naipes: ouros, copas, paus e espadas, sendo 
13 cartas de cada naipe.
n(E) = 52
n(A) = 13
 → P(A) = 13
52
1
4
= → p(A) = 0,25
Podemos também expressar p(A) em porcentagem:
p(A) = 0,25 → p(A) = 25%.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 107REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 107 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
108
d) Vamos calcular a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 
2 vermelhas e 5 verdes:
3brancas
2 vermelhas
5 verdes




 → n(E) = 10 e n(A) = 2
p(A)= 
2
10 → p(A) = 
1
5 ou p(A) = 20%
e) Suponha que dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de a soma das 
faces voltadas para cima ser 12?
Escrevendo os pares ordenados cujas coordenadas são as faces do dado, obtemos o espaço 
amostral:
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, 
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Note que, para cada face de um dado, temos 6 faces possíveis no outro. Logo, o número de 
elementos do espaço amostral é n(E) = 36.
O evento A = {(6, 6)} é o único em que a soma das faces é 12. Portanto n(A) = 1.
Assim, a probabilidade que queremos calcular é 1
36
.
Ad
ob
e 
St
oc
k 
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 108REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 108 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
109
Médias
VIDEOAULA
PARA AJUDÁ-LO A COMPREENDER MELHOR ESSE CONTEÚDO, ASSISTA À VIDEOAULA. 
DEPOIS, UTILIZE O QUE APRENDEU PARA RESOLVER AS ATIVIDADES PROPOSTAS 
PELO PROFESSOR E SIGA AS ORIENTAÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES.
109
Ao abordar os conceitos de estatística, reforce a importância deles 
para a interpretação dos dados de uma pesquisa, seja em qual 
contexto for. Ressalte também a importância da pesquisa estatística 
no dia a dia, conforme as diversas pesquisas que podemos encontrar 
nas mídias.
EF07MA35
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 109REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 109 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
110
O conceito de média traduz uma ideia muito importante. É um valor associado a todos os elementos 
de determinada lista de valores, de tal maneira que seja possível substituí-la, dependendo do critério 
que escolhemos para essa associação.
Se esse critério é a soma dos elementos da lista, obtemos a média aritmética, que é a mais 
simples e de uso mais comum. Assim, a média aritmética x de uma lista de valores x1 , x2, x3, ... xn 
é um valor calculado a partir da soma dos valores dividida pela quantidade de valores:
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
x = x = Σ 
n 
i = i xi
n
ou
Se o critério a ser considerado for o produto dos elementos da lista, obteremos a média geométrica. 
Assim, a média geométrica a da lista x1 , x2, x3, ... xn é um valor positivo obtido a partir a raiz de 
índice n do produto dos valores da lista:
x1 + x2 + x3 + ... xng =
1
Por sua vez, a média ponderada dos elementos de uma lista x1 , x2, x3, ... xn, considera o que chamamos 
de pesos ou ponderações associados a cada valor. Assim, se os pesos dos valores x1 , x2, x3, ... xn 
foremrespectivamente iguais a p1, p2, p3, ...,pn, a média ponderada da lista é definida por:
p1x1 + p2x2 + p3x3 + ... pn xn
p1 + p2 + p3 + ... pn
p =
Vejamos alguns exemplos de cálculos de médias:
a) Para a lista de valores 16, 25, e 49, vamos calcular a média aritmética e a média geométrica:
• Média aritmética
x1 + x2 + x3 + ... xn
3
x =
16 + 25 + 49
3
 = = 30
• Média geométrica:
x1 x2 x3 16 ⋅ 25 ⋅ 49 26,96g =
3 3
= ≅
b) Veja, agora, as diferentes maneiras que podemos utilizar para calcular a média aritmética x da 
seguinte coleção de 100 dados:
66 63 69 69 68 68 68 65 64 64 71 75 67 67 68 67
67 66 65 66 61 68 68 69 67 60 65 68 67 71 71 70
74 72 66 63 62 61 61 69 69 74 69 69 69 67 66 67
63 66 67 68 68 67 66 64 64 68 68 69 69 67 67 66
64 71 72 73 72 66 66 65 68 65 68 64 68 64 68 61
64 64 65 70 70 70 70 70 71 68 70 67 68 69 70 71
70 69 67 67
Médias
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 110REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 110 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
111
Podemos obter a média somando um a um os valores da coleção e, em seguida, dividindo a soma 
por 100:
6 738
100
x = x = 67,38→ →x = Σ100 
1 = xi
100
Nesse caso, obtivemos o valor ∑xi somando um a um todos os valores, um processo pouco prático 
para tabelas extensas.
• Para facilitar o cálculo da média x para uma coleção xi (i = 1, 2, ..., n) de n valores, podemos 
agrupar os dados em uma tabela de frequências para os n valores diferentes e multiplicarmos 
cada valor por sua frequência, da seguinte forma: 
xi x1 x2 … xn
fi f1 f2 … fn
xi × fi x1 × f1 x2 × f2 … x2 × f2
Fazendo isso, obteremos a média aritmética:
x = Σ100 
1xi ⋅ fi
n
A partir dos dados da tabela anterior, ordenamos os valores do menor para o maior e contamos 
a frequência f em que cada um aparece:
xi fi xi × fi
60 1 60
61 4 244
62 1 62
63 3 189
64 9 576
65 6 390
66 10 660
67 15 1 005
68 17 1 156
69 12 828
70 9 630
71 6 426
72 3 216
73 1 73
74 2 148
75 1 75
Totais 100 6 738
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 111REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 111 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
112
Assim, a média aritmética será:
6 738
100
x = x = 67,38→ →x = Σ100 
1 = xi ⋅ fi
100
b) Suponha agora a seguinte situação: em uma classe com 20 rapazes e 30 moças, foi realizada 
uma prova; a média das moças foi 8 e a dos rapazes, 7. Qual foi a média da classe?
Observe que na classe existem mais moças do que rapazes. Assim, o peso da média das moças é 
maior que a dos rapazes. A média da classe será, portanto, a média ponderada entre as médias das 
moças, com peso 30, e a dos rapazes, com peso 20.
20 ⋅ 8 + 30 ⋅ 7
50
p =
160 + 210
50
= = 7,4
Outra forma conveniente e prática de calcular a média aritmética para coleções extensas de valores 
é a partir da distribuição de frequências. 
Para determinar a média a partir de uma distribuição de frequências, relativa a uma coleção 
xi (i = 1, 2, 3, ..., n) de n dados, procedemos da seguinte forma:
– determinamos o ponto médio xi de cada um dos k intervalos de classe;
– multiplicamos cada xi pela frequência de classe fi correspondente.
A partir desse processo, obtemos a tabela:
Classe Ponto médio Frequência Produto
xa |–– xb
xi = 
xa ⋅ xb
2
fi xi × fi
∑fi = n ∑xi × fi
A média x será dada por:
x = Σk 
1xi ⋅ fi
n
c) Veja o cálculo da média aritmética de uma coleção de 80 dados, representada pela seguinte 
distribuição de frequências:
Classe fi
2 |–– 14 13
14 |–– 26 9
26 |–– 38 8
38 |–– 50 23
50 |–– 62 15
62 |–– 74 10
74 |–– 86 2
∑fi 80
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 112REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 112 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
113
Montamos uma nova tabela com os pontos médios xi dos intervalos de classe e os produtos xi× fi. 
Note que k (número de classes) é 7.
Classe xi fi xk × fk
2 |–– 14 8 13 104
14 |–– 26 20 9 180
26 |–– 38 32 8 256
38 |–– 50 44 23 1 012
50 |–– 62 56 15 840
62 |–– 74 68 10 680
74 |–– 86 80 2 160
∑ xk 3 fk = 3 232
Assim:
x = Σ100 
1xi ⋅ xi
80
 → 3 232
80
x = = 40,4
Podemos também obter o histograma e o polígono de frequências para a distribuição, posicionando 
a média x 
0
5
10
15
20
25
2 —14 14 —26 26 — 38 38 —50 50
40,4
—62 62 —74 74 — 86
Observe que o posicionamento da média x indica sua característica de medida central.
Gráficos de setores
os gráficos de setores, também chamados de gráficos de pizza, sempre aparecem em jornais 
e revistas como instrumento de análise e de interpretação da informação. Normalmente, para 
construí-los, utilizamos programas aplicativos como o Excel que, a partir de uma tabela, gera o 
gráfico automaticamente. Porém é importante que você entenda o processo de construção de 
um gráfico desse tipo, para poder interpretá-los com mais facilidade quando deparar com um 
deles em um jornal, revista ou mesmo em um problema de Matemática.
Se possível, mostre aos 
estudantes como a apresentação 
de gráficos de setores nas 
diversas mídias, como jornais, 
blogs e redes sociais, é um 
recurso bastante utilizado na 
divulgação de alguns tipos de 
informações comparativas.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 113REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 113 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
114
A fim de compreender sua construção, vamos utilizar o que aprendemos sobre ângulos, porcentagens 
e regra de três. 
Para representar os dados em um gráfico de setores é preciso que os valores estejam em 
porcentagem. Para isso, devemos definir que porcentagem cada um deles representa do total da 
categoria a que pertencem. 
Acompanhe, por exemplo, os resultados de uma pesquisa realizada com 400 pessoas sobre o 
esporte preferido de cada uma delas.
Esporte Número de pessoas
Futebol 160
Vôlei 120
Basquete 60
Natação 40
Outros 20
Total 400
Se dividirmos cada um dos valores pelo total das 400 pessoas, encontraremos a porcentagem de 
pessoas que prefere cada um dos esportes.
Esporte Número de pessoas Cálculo da porcentagem
Futebol 160 0,4 40%
Vôlei 120 0,3 30%
Basquete 60 0,15 15%
Natação 40 0,1 10%
Outros 20 0,05 5%
Total 400 1 100%
Como vamos fazer um gráfico de setores, os dados serão representados por um ângulo que indica 
a porcentagem de 360° (comprimento total da circunferência em graus). Aos ângulos obtidos 
associamos um setor do círculo que representará cada variável, que, no caso, é o esporte preferido 
pelas pessoas pesquisadas.
Para encontrar o ângulo que corresponderá a cada setor, fazemos uma regra de três simples para 
cada esporte. Acompanhe:
• Futebol
100%
360°
 = 40%
x
 → x = 144°
• Vôlei
100%
360°
 = 30%
x
 → x = 108°
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 114REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 114 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
115
• Basquete 
100%
360°
 = 15%
x
 → x = 54°
• Natação
100%
360°
 = 10%
x
 → x = 36°
• Outros
100%
360°
 = 5%
x
 → x = 18°
Para construir o gráfico de setores, desenhamos uma circunferência de raio qualquer e, com um 
transferidor, marcamos os ângulos correspondentes a cada uma das variáveis, sempre desenhando 
um ângulo a partir da extremidade do anterior. Veja a marcação do primeiro setor (144°):
144˚
raio
Repetindo o mesmo processo para cada um dos ângulos obtidos, marcados a partir do lado do 
anterior, obtemos um gráfico de setores como o que apresentamos a seguir.
40%
5%
10%
15%
30%
Futebol
Vôlei
Basquete
Natação
Outros
Você pode também construir um gráfico de setores diretamente através de uma planilha eletrônica 
como o Excel, a partir de uma tabela de valores previamente digitada. Selecionando as colunas que 
se deseja relacionar, o software apresenta a possibilidade de produzir diversos tipos de gráficos, 
entre eles o de setores.
No entanto, nosso objetivo aqui é fazer com que você compreenda a estruturade um gráfico de 
setores e saiba realizar leituras a partir deles, quando os encontrar em jornais, revistas, internet, etc.
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 115REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 115 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
116
1. Qual a probabilidade de sorteio de 1 bola que não seja branca de uma urna que contém 6 
bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas?
n(E) = 12
A = {azul, azul, amarela, amarela, amarela, amarela} → n(A) = 6
Logo, a probabilidade é 1
2
6
12 =
2. Em um avião viajam 40 brasileiros, 20 japoneses, 8 americanos e 3 árabes. Escolhendo ao 
acaso um passageiro, determine a probabilidade de ele:
a) ser árabe.
n(E) = 71
n(A) = 3
Logo, a probabilidade é 3
71
b) não ser árabe.
Como existem 68 passageiros que não são árabes, a probabilidade será 
68
71
c) ser japonês ou americano.
Como existem 28 passageiros que são japoneses ou americanos, a probabilidade que procuramos é 28
71
d) ser argentino.
Como não há passageiro argentino, a probabilidade é zero.
Atividades EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 116REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 116 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
117
3. Em uma urna, há 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se 1 bola ao acaso. Calcule a 
probabilidade de seu número ser:
a) ímpar.
n(E) = 20
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} → n(A) = 10
Logo, a probabilidade é 1
2
b) múltiplo de 3.
n(E) = 20
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} → n(A) = 6
Logo, a probabilidade é 
3
10
c) divisível por 2 e 3.
n(E) = 20
A = {6, 12, 18} → n(A) = 3
Logo, a probabilidade é 3
20
d) múltiplo de 5 e 7.
Entre 1 e 20 não existe nenhum número múltiplo de 5 e 7 simultaneamente. Logo a probabilidade procurada é zero.
4. Lançando-se 2 dados simultaneamente, qual a chance de ocorrerem números iguais?
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2),
(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Logo, n(E) = 36
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} → n(A) = 6
Assim, a probabilidade de sair faces com números iguais será 1
2
18
36 =
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 117REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 117 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
118
5. Jogando-se 2 dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um número par na 
soma das faces?
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2),
(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Logo, n(E) = 36
A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6)}, (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} → n(A) = 18
Assim, a probabilidade de as faces somarem um número par será 1
2
18
36
=
6. São lançadas 3 moedas simultaneamente. Qual a chance de se obterem 3 caras?
Chamando k = cara e c = coroa, temos:
E = {(k, k, k); (k, k, c); (k, c, c); (k, c, k); (c, c, c); (c, c, k); (c, k, k); (c, k, c)} → n(E) = 8
A = {(k, k, k)} → n(A) = 1
Logo, a probabilidade de serem obtidas três caras é 1
8
7. Calcule a probabilidade de se retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 
2 vermelhas e 5 verdes.
3 brancas
2 vermelhas
5 verdes
 → n(E) = 10 e n(A) = 2
p(A) = 2
10
 → p(A) = 1
5
 ou p(A) = 20%
8. Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros, de 1 a 100. Qual é a probabilidade de 
esse número ser múltiplo de 11?
n(E) = 100
A = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99} → n(A) = 9
p(A) = 0,09
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 118REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 118 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
119
9. Calcule a média aritmética dos números: 3
5
, 13
4
 e 1
2
Temos:
 3
20
3
3
5
1213
4
651
2
10
= = ==x
+
+
+
+
87
60
29
20
10. Quatro competidores demoraram, respectivamente, 2min 15s, 1min 45s, 2min 25s, 1min 
55s para cumprirem uma prova de atletismo. Qual foi a média em minutos e segundos desses 
competidores?
Temos: 1
4
=x (2min 15s + 1min 45s + 2min 25s) + 1min 55s =
1
4
1
4
=x (6min 140s) = (2min 5s)(8min 20s) = 
11. Uma empresa concedeu aumento salarial para seus funcionários nos meses de março e 
abril. A taxa utilizada em março foi de 1,5% e a utilizada em abril foi de 2,3%. Qual foi a taxa 
média de aumento mensal nesse bimestre?
100 × (1 + i)2 = 100 × 1,015 × 1,023
(1 + i)2 = 1,015 × 1,023
(1 + i) = 1,038345
i = 1,0189921 – 1
i ≈ 0,019
i ≈ 1,9%
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 119REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 119 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
120
12. Uma emissora de televisão distribui semanalmente um prêmio aos ganhadores de uma 
gincana. Nas últimas três semanas ela distribuiu um total de R$ 1 000,00 por semana, 
em prêmios, para 3, 2 e 5 ganhadores, respectivamente. Calcule o prêmio médio desses 
contemplados.
Temos:
1 000 ⋅ 1 000 ⋅ 1 000 ⋅1
3
1
2
1
5
3
=x
+ +
= 1 000 × 
1 1
5
?
1 11
3
1
2
1
5
3
1000
10 15 6
30
3
� � � �
 
=
= 1 000 × 31
30
1
3
⋅
x ≅ 344,44
13. Calcule a média aritmética para os seguintes valores:
a) x1 0 1 2 3 4 5
fi 6 12 14 5 2 1
b) Classe Frequência
1,50 |― 1,56 6
1,56 |― 1,62 10
1,62 |― 1,68 12
1,68 |― 1,74 8
1,74 |― 1,80 4
Sfi 40 classe fi xi xi × fi
1,50 |–– 1,56 6 1,53 9,18
1,56 |–– 1,62 10 1,59 15,9
1,62 |–– 1,68 12 1,65 19,8
1,68 |–– 1,74 8 1,71 13,68
1,74 |–– 1,80 4 1,77 7,08
Σ fi 40 65,64
Calculando, temos:
0 ⋅ 6 + 1 + 12 – 14 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1
40
= =x x 68
40 
→ x = 1,7
x = Σ
 
xi ⋅ fi
fi
65,64
40 = = 1,641
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 120REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 120 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
121
14. Cem candidatos fizeram uma prova concorrendo a uma bolsa de estudos. Foram atribuídas 
notas de zero a cem, e os resultados foram os seguintes:
43 53 25 21 50 66 26 23 49 76
28 82 6 60 73 40 50 72 55 41
12 47 90 37 27 5 54 32 68 11
33 20 76 60 88 38 47 60 20 56
26 26 17 64 50 86 43 45 60 53
24 9 4 70 60 56 18 76 5 37
65 38 27 16 43 19 3 68 34 40
32 50 68 46 37 36 62 34 70 14
50 63 44 38 92 28 51 42 22 52
37 72 16 55 13 63 98 12 18 33
Agrupe esses dados em dez classes e calcule a média para a distribuição de frequências.
classe xk fk xk × fk
3 |–– 13 8 9 72
13 |–– 23 18 12 216
23 |–– 33 28 12 336
33 |–– 43 38 16 608
43 |–– 53 48 16 768
53 |–– 63 58 13 754
63 |–– 73 68 12 816
73 |–– 83 78 5 390
83 |–– 93 88 4 352
93 |–– 103 98 1 98
x = x = 44,1Σ
 
xi ⋅ fi
n
4 410 
100 = →
Calculando, temos:
0 ⋅ 6 + 1 + 12 – 14 + 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1
40
= =x x 68
40 
→ x = 1,7
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 121REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 121 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
122
15. Analise o gráfico a seguir sobre o uso de terras no Brasil e responda as questões propostas.
OUTROS
57,7%
3,5%
66,3%
20,5%
VEGETAÇÃO
PRESERVADA NOS
IMÓVEIS RURAIS
13,2%
PLASTAGENS
PLANTADAS
8,0%
PLASTAGENS
NATIVAS
13,1%
VEGETAÇÃO
NATIVA EM
UNIDADES DE
CONSERVAÇÃO
18,9%
VEGETAÇÃO NATIVA EM TERRAS
DEVOLUTAS E NÃO
CADASTRADAS
13,8%
VEGETAÇÃO NATIVA
EM TERRAS
INDÍGENAS
9,0%
LAVOURAS E
FLORESTAS
PLANTADAS
3,5%
CIDADES
INFRAESTRUTURA
E OUTROS
PR
O
PR
IE
D
A
D
ES
 R
U
R
A
IS V
EG
ETA
Ç
Ã
O
 N
A
TIV
A
Fonte: SFB, SICAR, EMBRAPA, IBGE, MMA, FUNAI, DNIT, ANA, MPOG
a) Qual a porcentagem das terras brasileiras como propriedades rurais?
50,7 %
b) Levantehipóteses sobre o que representa os 3,5% do gráfico caracterizados por “Outros”.
Hipótese possível: são áreas de uso urbano para moradias, lazer, infraestrutura etc.
c) Qual a diferença percentual entre as pastagens plantadas e as nativas?
13,2% – 8,0% = 5,2%
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 122REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 122 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 123REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO_converted.indd 123 10/01/24 18:5110/01/24 18:51
MATEMÁTICA
Fundamental anos finais
8° ANO
M
A
TETM
Á
TIC
A
8° A
N
O
PROFESSOR
CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 7CAPAS_LOMBADA_MATEMATICA_PROFESSOR.indd 7 27/12/23 15:3327/12/23 15:33
	REVER E APRENDER_MAT_8ANO_INICIAIS_PROFESSOR_001_005_REV7
	REVER E APRENDER_MAT_8ANO_ALUNO_006a124_REV7_NOVO