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Prof. Alex de Almeida
UNIDADE II
Conteúdos de Matemática 
para o Ensino Fundamental I
 A unidade II é dedicada às unidades temáticas: números, e probabilidade e estatística. 
Objetivo:
 Revisar, aprofundar e ampliar os conhecimentos acerca do conteúdo matemático no que se 
refere ao ensino dos números, da probabilidade e da estatística.
Apresentação
O que ensinar?
 É uma unidade temática ampla destinada ao ensino sobre as relações quantitativas, o 
sistema de numeração decimal, os conjuntos numéricos (naturais, racionais, positivos, 
negativos etc.), operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), 
diferentes tipos de cálculos (mental, escrito e por algoritmos) e problemas.
Para refletir:
Nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, como lhe foi ensinado e como você 
aprendeu os números?
Você já parou para pensar como surgiram os números?
Unidade temática: números
 Atendimento das necessidades práticas e utilitárias em diferentes períodos históricos.
 Registros e instrumentos pictóricos para registrar as quantidades, como: linhas dos dedos, 
pedrinhas, entalhes em madeira ou marquinhas nas paredes.
 O homem comparava as quantidades a partir de uma relação de correspondência biunívoca.
Aspectos históricos sobre a origem dos números
Fonte: livro-texto.
Figura 1
Realizar a correspondência biunívoca de dez animais é diferente de corresponder mil tracinhos 
para mil ovelhas, por exemplo. Isso seria quase impossível!
 Como a correspondência termo a termo não podia dar conta dessas necessidades, vários 
sistemas de numeração foram criados. Um deles é o sistema de numeração decimal, 
utilizado por, praticamente, todos os povos do mundo.
Importante!
 O sistema de numeração decimal teve a sua origem na Índia e foi introduzido pelos árabes 
na Europa; por isso, também recebe o nome de sistema de numeração indo-arábico.
Aspectos históricos sobre a origem dos números
O SND é um sistema, extremamente, econômico que permite registrar infinitos números, 
porém, possui algumas características e regularidades que, nem sempre, são explícitas em seu 
funcionamento. São elas:
 Algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
 Valor posicional (24 e 42);
 Base dez (agrupamento e 
reagrupamento de dez 
em dez). 
Características do sistema de numeração decimal (SND)
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Quadro 1
Classe dos milhões Classe dos milhares
Classe das 
unidades simples
9ª 
Ordem
8ª 
Ordem
7ª 
Ordem
6ª 
Ordem
5ª 
Ordem
4ª 
Ordem
3ª 
Ordem
2ª 
Ordem
1ª 
Ordem
Centena 
de 
milhão 
Dezena 
de 
milhão 
Unidade 
de 
milhão 
Centena 
de 
milhar 
Dezena 
de 
milhar 
Unidade 
de 
milhar 
Centena Dezena Dezena 
O SND é um sistema, extremamente, econômico que permite registrar infinitos números, 
porém, possui algumas características e regularidades que, nem sempre, são explícitas em seu 
funcionamento. São elas:
 Algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
 Valor posicional (24 e 42);
 Base dez (agrupamento e reagrupamento de dez em dez);
 Princípio aditivo (254 = 200 + 50 + 4).
Importante!
 A representação escrita do sistema de numeração decimal é 
econômica, pois os nomes dos números são falados 
aditivamente, mas escritos posicionalmente.
Características do sistema de numeração decimal (SND)
O SND é um sistema, extremamente, econômico que permite registrar infinitos números, 
porém, possui algumas características e regularidades que, nem sempre, são explícitas em seu 
funcionamento. São elas:
 Algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
 Valor posicional (24 e 42);
 Base dez (agrupamento e reagrupamento de dez em dez);
 Princípio aditivo (254 = 200 + 50 + 4);
 Princípio multiplicativo.
Características do sistema de numeração decimal (SND)
Fonte: livro-texto. 
Quadro 2
Afinal, para que servem os números?
 Quantificar;
 Ordenar;
 Medir;
 Codificar.
Significados e usos dos números naturais
Leia, com atenção, as duas asserções:
I. De acordo com as regularidades do SND, pronunciamos os nomes dos 
números aditivamente. 
PORQUE 
II. Registramos posicionalmente, respeitando o valor posicional de cada algarismo no número.
Sobre estas duas asserções, é correto afirmar que:
a) A primeira asserção é verdadeira e a segunda é falsa.
b) A segunda asserção é verdadeira e a primeira é falsa.
c) Ambas as asserções são falsas.
d) Ambas as asserções são verdadeiras.
e) A primeira asserção é verdadeira e a segunda não 
justifica a primeira.
Interatividade
Leia, com atenção, as duas asserções:
I. De acordo com as regularidades do SND, pronunciamos os nomes dos 
números aditivamente. 
PORQUE 
II. Registramos posicionalmente, respeitando o valor posicional de cada algarismo no número.
Sobre estas duas asserções, é correto afirmar que:
a) A primeira asserção é verdadeira e a segunda é falsa.
b) A segunda asserção é verdadeira e a primeira é falsa.
c) Ambas as asserções são falsas.
d) Ambas as asserções são verdadeiras.
e) A primeira asserção é verdadeira e a segunda não 
justifica a primeira.
Resposta
Como você aprendeu as operações no período de escolarização?
 A abordagem atual evidencia a necessidade de compreender a aplicação prática social das 
operações fundamentais no dia a dia;
 A Teoria dos Campos Conceituais, do francês Gerard Vergnaud (1996, 2009), explica tal 
necessidade a partir da compreensão sobre os diferentes significados e das relações 
envolvidas entre a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão.
Operações com números naturais
Aditivo
Multipli-
cativo
Campos 
conceituais
Teoria dos Campos Conceituais
Figura 2
 As operações de adição e subtração fazem parte da mesma família, portanto, existem 
estreitas conexões entre elas. 
Campo aditivo
Fonte: livro-texto. 
Figura 3Prova realOperação de origem
Adição
14
+3
17
17
-3
14
17
-14
3
Subtração 1 Subtração 2
 As operações de multiplicação e divisão fazem parte da mesma família, portanto, existem 
estreitas conexões entre elas.
Campo multiplicativo
Fonte: Adaptado de: São Paulo (2019, p. 93).
Multiplicação Divisão 1 Divisão 2
Prova realOperação de origem
15
-15
00
5
3 15
-15
00
3
53
x 5
15
Figura 4
Categorias
Isomorfismo
de medidas
Produtos
das medidas
Proporcionalidade
Multiplicação
comparativa
Configuração
retangular
Combinatória
Cálculos:
 Comutar: em vez de 2 + 7 = 9, calcular 7 + 2 = 9;
 Decompor: ao resolver 5 + 8 = 13, calculamos 5 + 5 = 10 e, depois, acrescentamos ao 
resultado 3 (10 + 3 = 13);
 Compensar: acrescentar e retirar. Por exemplo: para 3 + 5 = 8, calculamos 4 + 4 = 8. Neste 
caso, o resultado é o mesmo porque retiramos 1 do 5 para acrescentá-lo ao 3;
 Arredondar: na adição 9 + 8 = 17, como só falta 1 para o 9 ser 10, podemos adicionar 
10 + 8 = 18 e retirar 1 do resultado (18 – 1 = 17), obtendo o total de 17.
Estratégias e técnicas para calcular as adições
Técnicas operatórias:
325
- 496
821
1 1
200 + 10 + 3
100 + 20 + 7
300 + 40 + 0 = 340
Cálculos:
 Descontar: para encontrar o resultado de 11 – 3, desconta-se 3 de 11 e considera a 
quantidade que sobrou, 8;
 Contar acrescentando (sobrecontagem): para encontrar o resultado da subtração 14 – 9, 
conta-se acrescentando, de um em um, a partir do número menor, ou seja, do 9 até chegar 
ao 14, que dá 5;
 Contar retirando: inversa à anterior. É realizada uma contagem decrescente, do maior para o 
menor, contando-se, retirando de um em um, de 14 a 9, cujo resultado também dá 5.
Estratégias e técnicas para calcular as subtrações
Técnicas operatórias:
764
- 481
283
5
16
70 + 2
- 30 + 8
30 + 4 = 34
60 10
 Comutar: 9 x 4 = 36, podemos encontrar o mesmo resultado em 4 x 9 = 36.
 Dobrar: ao multiplicar por 2, por exemplo, 9 × 2, podemos calcular o dobro de 9, recorrendo 
ao fato básico da adição, ou seja, 9 + 9 = 18.
 Decompor:para 6 × 5, podemos calcular, primeiro, 5 × 5 = 25 e, depois, acrescentar mais 5 
ao resultado, para obter o produto 30.
 Compensar: para multiplicar 5 × 8, calculamos quanto dá 10 × 4, ou seja, o dobro do primeiro 
e a metade do segundo, chegando ao mesmo resultado.
 Arredondar: 9 × 7, basta multiplicar 10 × 7 e subtrair 7 do resultado: 9 × 7 = (10 × 7) – 7 = 70 
– 7 = 63.
Estratégias e técnicas para calcular as multiplicações
Técnicas operatórias:
12
284
x 3
852
30
x 7
210 +
4
x 7
28 = 238
Cálculos:
 Por adição: para calcular 26 : 4, realizamos 4 + 4 = 8, 8 + 4 = 12, 12 + 4 = 16, 16 + 4 = 20 e 
20 + 4 = 24. Depois, contamos a quantidade de vezes em que o 4 foi repetido. Assim, o 
quociente é 6, porque podemos adicioná-lo 6 vezes ao 4 para obter 24, ou seja, o número 
mais próximo a 26. Neste caso, o resto é 2, porque 26 - 24 = 2;
 Por subtração: para calcular 26 : 4, subtraímos o 4 tantas vezes possíveis e, depois, 
contamos o número de vezes em que foi subtraído. Por exemplo: 26 - 4 = 22, 22 - 4 = 18, 
18 - 4 = 14, 14 - 4 = 10, 10 - 4 = 6 e 6 - 4 = 2. Assim, e possível chegar ao quociente;
 Por consulta à tabuada.
Estratégias e técnicas para calcular as divisões
Técnicas operatórias:
700 + 60 + 5
- 500
200 + 60 = 260
- 250
10
5
100 + 50 + 30
+ 5 = 15
- 15
0
Divisor
Quociente
Resto
Dividendo 26
-24
2
6
4
Leia o enunciado do problema a seguir:
Yasmin tem 10 anos, Léo tem o dobro dessa idade. Quantos anos Léo tem?
O problema faz parte de qual campo conceitual: aditivo ou multiplicativo?
Que categoria o problema se enquadra de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais?
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, as respostas a essas questões:
a) Aditivo. Comparação positiva.
b) Multiplicativo. Comparação.
c) Aditivo. Comparação negativa.
d) Multiplicativo. Proporcionalidade.
e) Multiplicativo. Combinação.
Interatividade
Leia o enunciado do problema a seguir:
Yasmin tem 10 anos, Léo tem o dobro dessa idade. Quantos anos Léo tem?
O problema faz parte de qual campo conceitual: aditivo ou multiplicativo?
Que categoria o problema se enquadra de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais?
Assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, as respostas a essas questões:
a) Aditivo. Comparação positiva.
b) Multiplicativo. Comparação.
c) Aditivo. Comparação negativa.
d) Multiplicativo. Proporcionalidade.
e) Multiplicativo. Combinação.
Resposta
Você já observou que, no contexto social, existem diferentes tipos de representações 
numéricas? Quais são elas?
Usos e representações dos números racionais
Figura 5
Fonte: Coll e Teberosky (2000, p. 64).
Podemos identificar várias maneiras de comunicar as ideias relacionadas às quantidades, além 
daquelas, diretamente, associadas aos números naturais, como, por exemplo:
 12:00, 15:20 e 9:05, que representam as horas e frações de hora;
 R$ 20,00, R$ 3.480,50 e R$ 756,00, números que expressam os valores associados ao 
sistema monetário brasileiro;
 1/2 e 1/4 kg, números fracionários que se referem às partes da unidade de 
medida de massa;
 10%, 25% e 35%, que representam a porcentagem.
Todas essas representações numéricas são números racionais!
Usos e representações dos números racionais
Os números racionais são aqueles que expressam as unidades e/ou partes de uma unidade. 
Podem ser escritos em forma de frações, como: ½ e ¼, ou em forma decimal, como 
3,10 e 4,45:
 Fração: permite compreender as razões, escalas e porcentagens;
 Decimal: presente nas informações da mídia e nos negócios.
 Em muitas situações cotidianas, os números naturais não são suficientes para resolver todos 
os problemas que surgem no dia a dia.
 Assim, o trabalho com os números racionais, no 1º ao 5º ano, 
deve envolver os seus significados, a leitura, escrita, 
comparação, ordenação, as representações fracionárias e 
decimais de uso frequente.
Usos e representações dos números racionais
 Relação parte-todo: por exemplo, comi dois oitavos de uma pizza, ou seja, 2/8 (dois pedaços 
de oito que representa o todo).
Significados dos números racionais
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Figura 6
Pizza
2/8
 Quociente: divisão do todo em partes iguais. Por exemplo: se uma pizza for dividida entre 
quatro crianças, cada uma irá comer, igualmente, 2/8 (0,25 ou, ainda, 25%).
Significados dos números racionais
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Figura 7
Pizza
Criança 2Criança 1
Criança 3 Criança 4
 Medida: está associado à representação da medida de diferentes grandezas, como: 
comprimento, massa, capacidade, tempo etc. Essa noção é estabelecida a partir de um 
termo comparativo para as grandezas de mesma natureza, denominado de unidade 
de medida.
 Razão: envolve a noção de relatividade. Por exemplo: em uma caixa, há duas fichas azuis e 
quatro fichas vermelhas. Se eu retirar da caixa uma ficha, sem olhar, qual é a probabilidade 
de que seja uma ficha azul? Ora, se temos, no total, 6 fichas e 2 delas são azuis, logo, temos 
a razão 2/6, ou seja, entre seis possibilidades, tenho duas “chances” de retirar uma ficha 
azul da caixa.
 A proposta é que todos os significados – parte-todo, quociente, 
medida e razão – recebam a mesma atenção e o mesmo 
tratamento didático, contribuindo para a familiarização e 
ampliação do repertório dos estudantes quanto aos 
números racionais.
Significados dos números racionais
Leia, com atenção, o problema a seguir:
Em uma sacola, há 5 bolinhas verdes e 5 bolinhas amarelas. Se eu retirar uma bolinha da 
sacola, sem olhar, qual é a probabilidade de que seja uma bolinha amarela?
Qual é o significado de número racional presente neste problema?
a) Operador.
b) Parte-todo.
c) Quociente.
d) Medida.
e) Razão.
Interatividade
Leia, com atenção, o problema a seguir:
Em uma sacola, há 5 bolinhas verdes e 5 bolinhas amarelas. Se eu retirar uma bolinha da 
sacola, sem olhar, qual é a probabilidade de que seja uma bolinha amarela?
Qual é o significado de número racional presente neste problema?
a) Operador.
b) Parte-todo.
c) Quociente.
d) Medida.
e) Razão.
Resposta
 Probabilidade: atendimento de uma demanda social (nas tomadas de decisões em 
problemas do cotidiano, como: clima, investimentos, saúde etc.). Envolve o raciocínio de 
incerteza, inerente ao pensamento probabilístico. A probabilidade é uma maneira de 
interpretar, modelar, criar e recriar a realidade.
 Estatística: as informações estatísticas, por meio de uma linguagem própria, transmitem à
população os dados numéricos e as informações de uma maneira diferenciada, organizada, 
ordenada e agrupada (símbolos, listas, gráficos e tabelas).
Letramento probabilístico e estatístico!
Unidade temática: probabilidade e estatística
Ensinar as ideias probabilísticas a partir de aplicações práticas no cotidiano que contribuam 
para as reflexões que ocorrem por meio de duas perspectivas:
 Frequentista: observação da frequência em que os eventos acontecem;
 Subjetiva: a partir da análise e conclusões particulares sobre determinado fenômeno. 
 A probabilidade surgiu na história da humanidade por meio do conceito de acaso, muito 
discutido em situações de jogos de azar. 
Previsões futuras!
Ideias probabilísticas
 A Teoria das Probabilidades é um modelo matemático fundamentado na ideia do acaso. Ela 
estuda os fenômenos que envolvem os conceitos de incerteza, validando-os por meio de 
cálculos matemáticos. Esses fenômenos podem ser denominados como aleatórios e 
estocásticos não determinísticos, ou seja, situações que, se repetidas em condições, 
exatamente, iguais, produzem resultados diferenciados, não sendo possível determinar, com 
precisão, o seu resultado, cuja natureza é aleatória.
Noções probabilísticas:
 Aleatoriedade;
 Certezas e incertezas;
 Eventos prováveis e improváveis, possíveis e 
impossíveis de acontecer.
Ideias probabilísticas
 Estatística: modo particular de quantificar,organizar e divulgar a informação.
 A proposta é que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes vivenciem 
situações em que seja necessário coletar as informações e organizar os dados coletados 
representando-os graficamente em tabelas e gráficos, para, então, interpretar e compreender 
as informações transmitidas por meio da linguagem estatística.
 Coletar.
 Organizar.
 Representar.
 Interpretar.
Coleta, organização, representação e interpretação de dados estatísticos
Tipos de tabelas:
Tabela simples:
Tabela de dupla entrada:
Representação de dados estatísticos
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Sabores de gelatina
Quantidade de 
entrevistados 
que preferem
Abacaxi 5
Limão 4
Morango 7
Uva 8
Abacaxi Limão Morango Uva Total
Meninos 3 1 5 3 12
Meninas 2 3 2 5 12
Total 5 4 7 8 24
Sabores
Entrevistados
Tabela simples dos sabores de 
gelatina preferidos dos entrevistados 
Tabela de dupla entrada dos sabores de gelatina 
preferidos de meninos e meninas entrevistados 
Tipos de gráficos:
Gráfico pictórico construído 
a partir da tabela simples:
Representação de dados estatísticos
Gráfico pictórico construído a partir da tabela de 
dupla entrada:
Figuras 8 e 9
Fontes: Adaptado de: https://cutt.ly/vF7xiZb; https://cutt.ly/sF7zB5z. Acesso em: 11 mar. 2022.
Abacaxi
Limão
Morango
Uva
Abacaxi
Abacaxi
Limão
Limão
Morango
Morango
Uva
Uva
Tipos de gráficos:
Gráfico de barras:
Representação de dados estatísticos
Preferência de sabor de gelatina
Preferência de sabor de gelatina por público-alvo
Abacaxi Limão Morango Uva
Abacaxi Limão Morango Uva
Meninos Meninas
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
Figuras 10 e 11
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Tipos de gráficos:
Gráfico de linhas:
Representação de dados estatísticos
Figuras 12 e 13
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Abacaxi Limão Morango Uva
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Quantidade de entrevistados que
preferem cada sabor de gelatina Preferência de sabor de gelatina por público-alvo 
6
5
4
3
2
1
0
Abacaxi Limão Morango Uva
Tipos de gráficos:
Gráfico de setor:
Representação de dados estatísticos
Figura 14
Fonte: Adaptado de: livro-texto. 
Morango
Uva
Limão
Abacaxi
21%
17%
33%
29%
Quantidade de entrevistados que
preferem cada sabor de gelatina
Qual tema matemático é fundamentado na ideia de acaso e estuda os fenômenos que 
envolvem as noções de incerteza, aleatoriedade e não determinísticos?
a) Álgebra.
b) Estatística.
c) Grandezas e medidas.
d) Números.
e) Probabilidade.
Interatividade
Qual tema matemático é fundamentado na ideia de acaso e estuda os fenômenos que 
envolvem as noções de incerteza, aleatoriedade e não determinísticos?
a) Álgebra.
b) Estatística.
c) Grandezas e medidas.
d) Números.
e) Probabilidade.
Resposta
 BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular do Ensino Básico. 
Brasília, 2018. Disponível em: https://cutt.ly/xD7PKqG. Acesso em: 15 jun. 2022.
 COLL, C.; TEBEROSKY, A. Aprendendo Matemática: conteúdos essenciais para o Ensino 
Fundamental de 1ª a 4ª série. São Paulo: Ática, 2000.
 VECE, J. P. Conteúdos de Matemática para o Ensino Fundamental I. Universidade Paulista, 
São Paulo, 2022. p. 184.
 VERGNAUD, G. A criança, a Matemática e a realidade: problemas do ensino de Matemática 
na escola elementar. Tradução: Maria Lúcia Faria Moro. Curitiba: Ed. da UFPR, 2009.
 VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, 
J. Didática das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!