Aspectos não pertubativos em TQC

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Notas de aula (draft)
To´picos em aspectos na˜o-perturbativos da teoria quaˆntica
de campos
Prof: Marcelo Santos Guimara˜es
DFT - IF - UERJ
Conteu´do
I Dualidades, defeitos topolo´gicos e confinamento em teorias abe-
lianas 2
1 Simetrias 3
1.1 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Identidades de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Quebra espontaˆnea da simetria global 11
2.1 Teorema de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Teoria efetiva dos bosons de Goldstone: o modelo sigma na˜o-linear . . . . . . . . . 19
3 “Quebra espontaˆnea” da simetria de calibre: o mecanismo de Higgs 21
O mecanismo de Higgs no modelo padra˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Defeitos topolo´gicos: Vortices e Monopolos 28
4.1 Supercondutores - O modelo de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Grupos de homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1
4.3 Soluc¸o˜es de vo´rtices no supercondutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Monopolos de ’t Hooft-Polyakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Propriedades do Monopo´lo de ’t Hooft-Polyakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Dualidades em teorias abelianas e defeitos 43
6 Crite´rios de Confinamento: os loops de Wilson e de ’t Hooft 46
Loop de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Loop de ’t Hooft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 O modelo de Polyakov 52
II Non-perturbative aspects of non-abelian gauge theories 60
8 The renormalization group: beta function and asymptotic freedom 60
8.1 O(3) non-linear sigma model in D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Faddeev-Popov gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 Gauge fixing in the non-perturbative regime: The Gribov problem 71
9.1 Gribov’s no-pole condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III Gauge/Gravity duality - The AdS/CFT correspondence 75
2
Parte I
Dualidades, defeitos topolo´gicos e
confinamento em teorias abelianas
1 Simetrias
1.1 Teorema de Noether
Se a ac¸a˜o de um sistema possui uma simetria cont´ınua, ou seja, se o sistema e´ invariante por uma
transformac¸a˜o parametrizada por um paraˆmetro cont´ınuo, enta˜o existe uma corrente conservada
associada a essa simetria.
Vamos provar essa afirmac¸a˜o. Considere um funcional de ac¸a˜o que tem a forma geral:
S =
∫
U
dDx L(Φ, ∂Φ, x) (1)
Seja a transformac¸a˜o
x→ x′ (U → U ′)
Φ(x)→ Φ′(x′) ≡ F [Φ(x)] (2)
A ac¸a˜o transformada sera´
S ′ =
∫
U ′
dDx′ L(Φ′(x′), ∂′Φ′(x′), x′)
=
∫
U
dDx
∣∣∣∣∂x′∂x
∣∣∣∣ L(Φ′(x′), ∂′Φ′(x′), x′) (3)
onde supomos que a forma funcional da densidade de Lagrangiana na˜o e´ modificada e
∣∣∂x′
∂x
∣∣ e´ o
Jacobiano da transformac¸a˜o. Vamos considerar transformac¸o˜es infinitesimais parametrizadas por
paraˆmetros infinitesimais globais δωa, da forma
x′µ = xµ + δωa
δxµ
δωa
Φ′(x′) = Φ(x) + δωa
δF
δωa
(x) (4)
E´ conveniente tambe´m definir uma notac¸a˜o para a transformac¸a˜o da forma do campo apenas:
Φ′(x) = Φ(x) + δ¯Φ (5)
3
comparando com a transformac¸a˜o eq.(4), vemos que, em primeira ordem em δωa, temos
δ¯Φ = δωa
δF
δωa
(x)− δωa δx
µ
δωa
∂µΦ(x). (6)
Podemos escrever a transformac¸a˜o da densidade de Lagrangeana
L (Φ(x) + δ¯Φ(x) + ∂µΦδxµ, (δµν − ∂ν(δxµ))∂µ(Φ(x) + δ¯Φ(x) + ∂µΦδxµ), xµ + δxµ)
= L (Φ(x), ∂µΦ(x), xµ) + ∂L
∂Φ
(δ¯Φ(x) + ∂µΦδx
µ)
+
∂L
∂∂µΦ
(∂µ(δ¯Φ(x)) + ∂µ(∂νΦ)δx
ν) +
∂˜L
∂˜xµ
δxµ
= L (Φ(x), ∂µΦ(x), xµ) + ∂L
∂Φ
δ¯Φ(x) +
∂L
∂∂µΦ
∂µ(δ¯Φ(x))
+
(
∂˜L
∂˜xµ
+
∂L
∂Φ
∂µΦ +
∂L
∂∂νΦ
∂µ∂νΦ
)
δxµ (7)
onde, δxµ = δωa δx
µ
δωa
. Existe uma sutileza muito importante na expressa˜o acima. Note que a
derivada ∂˜L
∂˜xµ
e´ feita considerando que L(Φ, ∂Φ, x) e´ func¸a˜o das treˆs varia´veis, Φ, ∂Φ e x, e seu
ca´lculo e´ feito mantendo Φ e ∂Φ fixos. Um s´ımbolo diferente foi usado pois tal operac¸a˜o e´ diferente
do significado atribu´ıdo ao s´ımbolo usual ∂L
∂xµ
, que denota a derivada da func¸a˜o mantendo as
coordenadas xν fixas para ν 6= µ. Neste sentido essas operac¸o˜es esta˜o relacionadas da forma
∂L
∂xµ
=
∂˜L
∂˜xµ
+
∂L
∂Φ
∂µΦ(x) +
∂L
∂∂νΦ
(∂µ∂νΦ(x)) (8)
Portanto, obtemos para a variac¸a˜o da Lagrangiana:
δL = ∂L
∂Φ
δ¯Φ(x) +
∂L
∂∂µΦ
∂µ(δ¯Φ(x)) +
∂L
∂xµ
δxµ (9)
Lembrando que det(1 +M) ≈ 1 + TrM , o Jacobiano por ser escrito como∣∣∣∣∂x′∂x
∣∣∣∣ ≈ 1 + ∂µ(δxµ) (10)
Substituindo as equac¸o˜es (9) e (10) em (3) obtemos para a ac¸a˜o transformada
S ′ = S +
∫
U
dDx
(
∂L
∂Φ
δ¯Φ(x) +
∂L
∂∂µΦ
∂µ(δ¯Φ(x)) + ∂µ(Lδxµ)
)
(11)
Integrando por partes, podemos reescrever a eq.(11) na forma
δS =
∫
U
dDx
[(
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
))
δ¯Φ(x) + ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
δ¯Φ(x) + Lδxµ
)]
(12)
4
Neste ponto cabem alguns comenta´rios. Primeiramente, note que na deduc¸a˜o usual das equac¸o˜es
de movimento o procedimento e´ impor que a ac¸a˜o seja estaciona´ria com respeito a variac¸o˜es apenas
na forma funcional dos campos. Isso significa que considerar´ıamos apenas as variac¸o˜es arbitra´rias
δ¯Φ(x), mas com δxµ = 0. Ale´m disso, em geral impomos que δ¯Φ(x) se anula na borda de U . Dessa
forma, na eq.(12) o termo de derivada total seria nulo e, como δ¯Φ(x) e´ arbitra´rio, impondo que a
ac¸a˜o e´ estaciona´ria (δS = 0), obter´ıamos imediatamente as equac¸o˜es de Euler-Lagrange
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
)
= 0 (13)
Por outro lado, queremos analisar a eq.(12) sob outro ponto de vista. Considere que as trans-
formac¸o˜es eq.(4), sa˜o uma simetria da ac¸a˜o. Ou seja, δS = 0 na eq.(12) para uma determinada
transformac¸a˜o global (independente da posic¸a˜o). Notando que δ¯Φ e´ proporcional a δωa pela eq.(6),
δ¯Φ = δωa δ¯Φ
δωa
, obtemos que
0 = δωa
∫
U
dDx
[(
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
))
δ¯Φ
δωa
+ ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
δ¯Φ
δωa
+ Lδx
µ
δωa
)]
(14)
Notando que a regia˜o U e´ completamente arbitra´ria (podemos por exemplo considerar U como
qualquer regia˜o arbitrariamente pequena em torno de um ponto arbitra´rio), vemos que a u´nica
forma da condic¸a˜o acima ser satisfeita e´ se o integrando for nulo(
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
))
δ¯Φ
δωa
+ ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
δ¯Φ
δωa
+ Lδx
µ
δωa
)
= 0 (15)
O teorema de Noether segue desta equac¸a˜o. Se a configurac¸a˜o de campos satisfaz as equac¸o˜es de
movimento eq.(13), enta˜o o termo de derivada total e´ a expressa˜o de uma corrente conservada,
∂µJ
µ
a = 0, com a corrente J
µ
a dada por
Jµa = −
∂L
∂∂µΦ
δ¯Φ
δωa
− Lδx
µ
δωa
= − ∂L
∂∂µΦ
δF
δωa
+
(
∂L
∂∂µΦ
∂µΦ− L
)
δxµ
δωa
(16)
onde na passagem para a segunda linha usamos a eq.(6). O sinal global e´ obviamente arbitra´rio
e foi escolhido para ficar de acordo com a convenc¸a˜o usualmente adotada.
E´ muito importante notar que a conservac¸a˜o da corrente e´ uma consequeˆncia de uma simetria
cont´ınua global da ac¸a˜o.
Vamos considerar um exemplo para ilustrar a aplicac¸a˜o do teorema. Considere a simetria por
translac¸o˜es espac¸o-temporais parametrizadas pelos paraˆmetros infinitesimais aµ
x′µ = xµ + aµ
Φ′(x+ a) = Φ(x) (17)
5
Considerando a eq.(4), temos a identificac¸a˜o
ωa = aµ (a→ µ)
δF
δωa= 0
δxµ
δωa
= gµν (18)
e onde obtemos para a corrente conservada de Noether eq.(16)
Jµν =
∂L
∂∂µΦ
∂νΦ− Lgµν (19)
que e´ a expressa˜o do tensor energia-momento.
Uma outra maneira de encontrar a corrente conservada associada a uma simetria e´ observar que,
se tive´ssemos feito o ca´lculo com um paraˆmetro dependente da posic¸a˜o δωa(x), todo o ca´lculo
seria o mesmo ate´ a eq.(12). Essa equac¸a˜o poderia ser enta˜o reescrita como
δS =
∫
U
dDx
[(
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
))
δ¯Φ
δωa
δωa − ∂µ (Jµa δωa)
]
=
∫
U
dDx
[((
∂L
∂Φ
− ∂µ
(
∂L
∂∂µΦ
))
δ¯Φ
δωa
− ∂µJµa
)
δωa + Jµa ∂µ (δωa)
]
(20)
onde usamos a definic¸a˜o eq.(16). Agora, se a ac¸a˜o possui uma simetria global, vimos que o termo
proporcional a δωa(x) na equac¸a˜o acima se anula, eq.(15), e ficamos com
δS = −
∫
U
dDx Jµa ∂µ (δωa) (21)
Note que na˜o estamos supondo que a transformac¸a˜o local e´ uma simetria da ac¸a˜o. Esse ca´lculo
revela uma forma interessante de obter a expressa˜o da corrente: se a ac¸a˜o possui uma simetria
global, realizamos a transformac¸a˜o com uma paraˆmetro local e olhamos para o coeficiente que
multiplica a derivada deste paraˆmetro; esta sera´ a corrente de Noether.
1.2 Identidades de Ward
Com o objetivo de estender a discussa˜o das simetrias para o contexto quaˆntico, e´ conveniente definir
o gerador de simetria. Considerando as transformac¸o˜es do campo no mesmo ponto, escrevemos
eq.(5) na forma
Φ′(x)− Φ(x) = δ¯Φ ≡ −iδωaGaΦ(x) (22)
e dizemos que Ga e´ o gerador da transformac¸a˜o parametrizada por δωa. Pela eq.(6), vemos que
iGaΦ(x) = − δF
δωa
(x) +
δxµ
δωa
∂µΦ(x) (23)
6
Por exemplo, para a translac¸a˜o, eq.(17), temos, considerando eq.(18), Ga → Gµ e
iGµ = ∂µ ⇒ Gµ = Pµ = −i∂µ (24)
onde podemos identificar o momento linear como o gerador de translac¸o˜es espac¸o-temporais.
No contexto quaˆntico, a dinaˆmica e´ expressa por relac¸o˜es operatoriais que fazem sentido dentro
de valores esperados. Por exemplo, para encontrar a versa˜o quaˆntica das equac¸o˜es de movimento
notamos que:
0 =
∫
DΦ δ
δΦ(x)
(
Φ(x1)...Φ(xN)e
iS(Φ)
)
=
∫
DΦ
(
N∑
i=1
δ(x− xi)Φ(x1)...Φ(xi−1)Φ(xi+1)...Φ(xN)
)
eiS(Φ)
+
∫
DΦ i δS
δΦ(x)
Φ(x1)...Φ(xN)e
iS(Φ) (25)
de onde obtemos
〈T
(
δS
δΦ(x)
Φ(x1)...Φ(xN)
)
〉 = i
N∑
i=1
δ(x− xi)〈T (Φ(x1)...Φ(xi−1)Φ(xi+1)...Φ(xN))〉 (26)
que e´ a versa˜o quaˆntica das equac¸o˜es de movimento. Note que para x 6= xi, i = 1, ..., N , temos
〈T
(
δS
δΦ(x)
Φ(x1)...Φ(xN)
)
〉 = 0 (27)
Alguns nomes (jargo˜es) sa˜o usados para descrever expresso˜es desse tipo. Dizemos que estamos
calculando o valor esperado no va´cuo do operador δS
δΦ(x)
no ponto x com inserc¸o˜es de campos nos
pontos xi, i = 1, ..., N . Tais inserc¸o˜es podem servir, por exemplo, para preparar estados iniciais
e finais como no contexto do ca´lculo de uma matriz S, digamos. A expressa˜o eq.(27) nos diz que
a equac¸a˜o de movimento se anula “fora da diagonal”, ou seja, se todos os operadores forem inse-
ridos em pontos diferentes de x, enta˜o podemos dizer que vale a identidade operatorial δS
δΦ(x)
= 0.
No caso mais geral pore´m, a natureza de distribuic¸a˜o dos campos quaˆnticos entra em cena e a
multiplicac¸a˜o de operadores no mesmo ponto leva a`s singularidades no lado direito da eq.(26).
Para analisar as consequeˆncias de uma simetria do sistema no caso quaˆntico, devemos obser-
var que a quantidade de interesse e´ a func¸a˜o de partic¸a˜o do sistema. Esta integral funcional e´
definida pela medida de integrac¸a˜o funcional DΦ e a exponencial da ac¸a˜o cla´ssica eiS. Inserc¸o˜es
de operadores nesta formulac¸a˜o definem as func¸o˜es de correlac¸a˜o da teoria e caracterizam o sis-
tema. Uma transformac¸a˜o dos campos pode ser visto neste contexto como uma transformac¸a˜o
das varia´veis de integrac¸a˜o, de forma que esperamos que, por uma transformac¸a˜o Φ→ Φ′
〈F 〉 = N
∫
DΦ′eiS′F [Φ′] = N
∫
DΦeiSF [Φ] (28)
7
onde F [Φ] define uma inserc¸a˜o arbitra´ria e N e´ uma constante de normalizac¸a˜o. Se a ac¸a˜o cla´ssica
possui uma simetria, isso tera´ consequeˆncias para as func¸o˜es de correlac¸a˜o da corrente de Noether.
Para entender as consequeˆncias da existeˆncia de uma simetria da ac¸a˜o cla´ssica no caso quaˆntico,
vamos usar o mesmo racioc´ınio empregado na obtenc¸a˜o de eq.(21). Primeiramente, considere que
a medida de integrac¸a˜o DΦ na˜o e´ modificada pela transformac¸a˜o local δωa(x). Neste caso, a
transformac¸a˜o sera´ devida apenas a` exponencial da ac¸a˜o cla´ssica eiS e teremos∫
DΦ′eiS′F [Φ′] =
∫
DΦeiS
(
1 + i
∫
U
dDx δωa∂µJ
µ
a
)
(F [Φ] + δF [Φ]) (29)
que, levando em conta eq.(28), fornece
0 =
∫
DΦeiS
(
δF + i
∫
U
dDx δωa∂µJ
µ
aF
)
= 〈δF 〉+ i
∫
U
dDx δωa〈T (∂µJµaF )〉
=
∫
U
dDx δωa(x)
(
δ(x− x0)〈 δF
δωa
〉+ i〈T (∂µJµaF )〉
)
(30)
Podemos escolher δωa(x) igual a 1 em uma regia˜o R ⊂ U e nulo fora dela e, uma vez que R e´
arbitra´ria, obteremos que
〈T (∂µJµa (x)F )〉 = iδ(x− x0)〈
δF
δωa
〉 (31)
Para ilustrar melhor, vamos considerar que F [Φ] e´ a inserc¸a˜o de um produto de campos em
diferentes pontos
F [Φ] = Φ(x1)...Φ(xN) (32)
Pela transformac¸a˜o eq.(22), segue que
δF [Φ] =
N∑
i=1
Φ(x1)...δ¯Φ(xi)...Φ(xN)
= −i
N∑
i=1
Φ(x1)...δωa(xi)GaΦ(xi)...Φ(xN)
= −i
∫
dDxδωa(x)
N∑
i=1
δ(x− xi)Φ(x1)...GaΦ(xi)...Φ(xN) (33)
Substituindo em eq.(31) obteremos
〈T (∂µJµa (x)Φ(x1)...Φ(xN))〉 =
N∑
i=1
δ(x− xi)〈T (Φ(x1)...GaΦ(xi)...Φ(xN))〉 (34)
8
Esta expressa˜o e´ o que denominamos identidade de Ward. Esta e´ a generalizac¸a˜o quaˆntica do
teorema de Noether, note que fora da diagonal temos a conservac¸a˜o da corrente, como no resultado
de Noether.
Uma observac¸a˜o importante e´ que no´s deduzimos essa expressa˜o sob a suposic¸a˜o de que a
medida de integrac¸a˜o e´ invariante. Pore´m existem alguns casos em que a ac¸a˜o cla´ssica e´ invariante
mas a medida DΦ na˜o e´, ou seja, a simetria cla´ssica na˜o permanece no n´ıvel quaˆntico. Dizemos,
neste caso, que o sistema possui uma anomalia. Para estes casos ainda podemos escrever iden-
tidades de Ward, pois ainda vale a relac¸a˜o eq.(28). Para ilustrar esse caso mais geral, considere,
que sob uma transformac¸a˜o parametrizada por δωa(x) a medida de integrac¸a˜o se transforma como
DΦ′ = DΦe−i
∫
dDx δωa(x)Aa(x) (35)
onde Aa e´ a chamada anomalia. Dessa forma, a eq.(29) seria modificada para∫
DΦ′eiS′F [Φ′] =
∫
DΦeiS
(
1 + i
∫
U
dDx δωa(∂µJ
µ
a −Aa)
)
(F [Φ] + δF [Φ]). (36)
Todos os ca´lculos seguiriam de forma ana´loga e obter´ıamos no lugar de eq.(34)
〈T (∂µJµa (x)Φ(x1)...Φ(xN))〉 = 〈T (Aa(x)Φ(x1)...Φ(xN))〉
+
N∑
i=1
δ(x− xi)〈T (Φ(x1)...GaΦ(xi)...Φ(xN))〉 (37)
Na verdade, em geral, a anomalia Aa(x) e´ func¸a˜o apenas de campos externos e na˜o depende dos
campos Φ que esta˜o sendo integrados, de forma que o primeiro termo do lado direito pode ser
escrito simplesmente como
〈T (∂µJµa (x)Φ(x1)...Φ(xN))〉A = Aa(x)〈T (Φ(x1)...Φ(xN))〉A
+
N∑
i=1
δ(x− xi)〈T (Φ(x1)...GaΦ(xi)...Φ(xN))〉A (38)
onde introduzimos um subscrito A para lembrar que este valor esperado e´ tomado com respeito
aos campos Φ na presenc¸a de campos externos A. Vemos assim que, mesmo fora da diagonal,
a conservac¸a˜o da corrente seria violada. Por isso neste caso dizemos que existe uma anomalia.
Mas note que na˜o e´ um “problema” (neste caso das simetrias globais) e´ apenas uma propriedade
da formulac¸a˜o quaˆntica. Uma outra manifestac¸a˜o da anomalia e´ que a ac¸a˜o quaˆntica obtida
integrando os campos Φ, ou seja, a ac¸a˜o efetiva para o campo externo A na˜o e´ invariante pela
transformac¸a˜o que e´ uma simetria da ac¸a˜o cla´ssica (discutiremos ac¸o˜es efetivas na pro´xima sec¸a˜o).
Um dos exemplos mais simples desse fenoˆmeno e´ a anomalia quiral em teorias abelianas.Tal
anomalia surge no caso da teoria de fe´rmion quirais na presenc¸a de um campo eletromagne´tico.
Neste caso, os campos Φ sa˜o os campos fermioˆnicos e o campo externo e´ o campo eletromagne´tico
Aµ. A ac¸a˜o cla´ssica e´ invariante por uma transformac¸a˜o quiral global dos fe´rmions (multiplicac¸a˜o
pelo fator eiαγ5) mas a ac¸a˜o efetiva dos campos Aµ, obtida pela integrac¸a˜o fermioˆnica, na˜o e´
9
invariante. A anomalia neste caso, em 4D, e´ dada por A ∼ εµνρσFµνFρσ. Como ja´ comentamos,
isso na˜o e´ um problema para uma simetria global, pore´m se a anomalia fosse com relac¸a˜o a
simetria de gauge, ou seja, se a ac¸a˜o efetiva para o campo de gauge na˜o fosse invariante de
gauge, a teoria seria inconsistente, pois, como veremos mais tarde, a simetria de gauge e´ uma
redundaˆncia das varia´veis e na˜o pode ser quebrada por processos f´ısicos (loops fermioˆnicos neste
caso). Tecnicamente, a quebra da simetria de gauge levaria a` violac¸a˜o da unitaridade da teoria.
Note ainda que, pela forma como deduzimos, esta´ claro que a anomalia e´ um fenoˆmeno na˜o-
perturbativo (na˜o usamos teoria de perturbac¸a˜o em nenhum lugar). Isso de fato pode ser provado
com mais rigor e e´ conhecido como o teorema de Adler-Bardeen.
De qualquer forma, as identidades de Ward sa˜o importantes pois definem relac¸o˜es entre func¸o˜es
de correlac¸o˜es. Na pra´tica as func¸o˜es de correlac¸a˜o sera˜o calculadas por meio de diagramas de
Feynman e tais identidades fornecem relac¸o˜es entre diferentes diagramas.
E´ interessante escrever a forma operatorial dessas relac¸o˜es. Vamos trabalhar com a expressa˜o
eq.(34). Definimos a carga associada a` corrente Jµa por
Qa(t) ≡
∫
Σ
dD−1xJ0a(~x, t) (39)
onde Σ e´ uma sec¸a˜o tipo espac¸o de U (em Minkowski, distaˆncias entre pontos em Σ sa˜o do tipo
espac¸o). Temos∫ t+
t−
dt
∫
Σ
dD−1x∂µJµa (~x, t) =
∫ t+
t−
dt
dQ
dt
+
∫ t+
t−
dt
∫
Σ
dD−1x∂iJ ia(~x, t)
= Qa(t+)−Qa(t−) +
∫ t+
t−
dt
∮
∂Σ
dxiJ
i
a(~x, t)
= Qa(t+)−Qa(t−) (40)
onde foi usado que a corrente e´ nula na borda de Σ. Considerando a expressa˜o eq.(34), vamos
adotar a convenc¸a˜o que x0 ∼ x01 > x02 > ... > x0N . Integrando ambos os lados da id. de Ward
obtemos, com x2, x3, ..., xN 6= x
〈T (Qa(t+)Φ(x1)−Qa(t−)Φ(x1)) Φ(x2)...Φ(xN)〉 = 〈GaΦ(x1)Φ(x2)...Φ(xN)〉 (41)
Supondo que t− < x1 < t+, obteremos no limite em que t+ → t−
〈[Qa,Φ(x)] Φ(x2)...Φ(xN)〉 = 〈GaΦ(x)Φ(x2)...Φ(xN)〉 (42)
onde o comutador e´ realizado a tempos iguais. Como isso e´ va´lido para um conjunto qualquer de
campos Φ(x2)...Φ(xN), resulta a eq. operatorial
[Qa,Φ(x)] = GaΦ(x) (43)
10
2 Quebra espontaˆnea da simetria global
Entendemos por “quebra espontaˆnea de simetria” a situac¸a˜o na qual o estado fundamental de um
sistema na˜o e´ invariante por uma transformac¸a˜o que e´ uma simetria da Hamiltoniana do sistema.
A simetria associada com tal transformac¸a˜o e´ enta˜o dita “quebrada”.
Para melhor entender esse fenoˆmeno e´ conveniente desenvolver uma linguagem que nos permita
discutir as propriedades do va´cuo quaˆntico da teoria. Podemos chamar de va´cuo cla´ssico um
estado de um sistema cla´ssico quando este esta´ no mı´nimo do seu potencial, dado pela parte na˜o
derivativa de sua ac¸a˜o cla´ssica. Queremos uma definic¸a˜o ana´loga para o caso quaˆntico. Primeira-
mente vamos definir enta˜o a chamada ac¸a˜o quaˆntica. Considere o funcional gerador das func¸o˜es
de correlac¸a˜o de um sistema qualquer:
Z[J ] = eiW [J ] =
∫
DΦei(S[Φ]+
∫
dDx J(x)Φ(x)) (44)
onde, graficamente, W [J ] representa a soma de diagramas conexos. Para definir a ac¸a˜o quaˆntica,
imaginamos que ao realizar a integrac¸a˜o funcional para obter a forma expl´ıcita de W [J ], esta pode
ser colocada exatamente na mesma forma do integrando, ou seja, escrevemos algo da forma
eiW [J ] = ei(Γ[ΦJ ]+
∫
dDx J(x)ΦJ (x)) (45)
onde ΦJ e´ uma func¸a˜o de J a ser determinada. Dessa forma, vemos que Γ[ΦJ ] deveria representar
a “ac¸a˜o cla´ssica” de um sistema efetivo que leva em conta todos os efeitos quaˆnticos do sistema
original, por isso e´ chamada de ac¸a˜o quaˆntica ou tambe´m de ac¸a˜o efetiva. Note que de fato, se
os efeitos quaˆnticos puderem ser ignorados a integrac¸a˜o funcional seria definida pelo seu extremo
e poder´ıamos identificar Γ[ΦJ ] com o valor da ac¸a˜o cla´ssica no seu extremo. Graficamente, a
representac¸a˜o gra´fica de Γ[ΦJ ] esta´ associada aos diagramas 1PI (one-particle-irreducible).
Para definir ΦJ note que
W [J ] = Γ[ΦJ ] +
∫
dDx J(x)ΦJ(x) (46)
Derivando funcionalmente em relac¸a˜o a J obtemos
δW [J ]
δJ(x)
=
∫
dDy
δΓ[ΦJ ]
δΦJ(y)
δΦJ(y)
δJ(x)
+
∫
dDy
δΦJ(y)
δJ(x)
J(y) + ΦJ(x) (47)
Portanto, se a ac¸a˜o quaˆntica satisfaz a equac¸a˜o (que corresponde a extremizac¸a˜o do argumento
da exponencial em eq.(45), ou seja a equac¸a˜o de movimento do sistema efetivo)
δΓ[ΦJ ]
δΦJ(x)
= −J(x) (48)
temos
δW [J ]
δJ(x)
= ΦJ(x) (49)
11
Mas sabemos que eq.(49) e´ a equac¸a˜o que define o valor esperado no va´cuo do campo Φ na presenc¸a
da corrente externa J
δW [J ]
δJ(x)
= 〈Φ〉J (50)
O va´cuo quaˆntico do sistema e´ definido por esse valor esperado para J = 0. Portanto, estabelece-
mos uma forma bastante intuitiva de determinar o va´cuo do sistema, basta resolver a equac¸a˜o
δΓ[Φ0]
δΦ0(x)
= 0 (51)
onde Φ0 = 〈Φ〉J=0. Se a eq.(51) possuir uma soluc¸a˜o na˜o-nula para Φ0 dizemos que existe um va´cuo
na˜o-trivial, em geral associado a quebra de alguma simetria. Note que a eq.(51) e´ o que temos
em mente quando pensamos no ca´lculo cla´ssico do mı´nimo de um potencial. De fato, podemos
escrever a forma geral em expansa˜o derivativa
Γ[Φ0] =
∫
dDx
(−U(Φ0) + Z(Φ0)(∂Φ0)2 + ...) (52)
onde U(Φ0) (parte na˜o-derivativa da ac¸a˜o quaˆntica) representa a energia potencial quaˆntica do
sistema. Considerando um va´cuo invariante por simetria de translac¸a˜o, o que e´ razoa´vel, temos
que a energia sera´ minimizada quando U(Φ0) for minimizado.
Cabe aqui uma pequena discussa˜o sobre a manifestac¸a˜o de simetrias no contexto da ac¸a˜o
quaˆntica. Vamos considerar o caso bem geral de transformac¸o˜es nos campos que podem ser locais.
Escrevemos
Φ′(x) = Φ(x) + δ¯Φ(x) com δ¯Φ(x) = �F (x,Φ(x)) (53)
onde � e´ uma constante infinitesimal mas permitimos um dependeˆncia expl´ıcita em x na func¸a˜o
F (x,Φ(x)) para descrever o caso de transformac¸o˜es locais (gauge). Suponha que a ac¸a˜o cla´ssica
seja invariante por esta transformac¸a˜o
S(Φ + �F ) = S(Φ) (54)
Mas vamos permitir a possibilidade de uma anomalia, dada pela na˜o invariaˆncia da medida de
integrac¸a˜o
DΦ′ = DΦei�
∫
dDxA(x) (55)
Temos
eiW [J ] =
∫
DΦei(S[Φ]+
∫
dDx J(x)Φ(x))
=
∫
DΦ′ei(S[Φ′]+
∫
dDx J(x)Φ′(x))
=
∫
DΦei(S[Φ]+
∫
dDx J(x)Φ(x)+�
∫
dDx (J(x)F (x,Φ(x))+A(x)))
12
=
∫
DΦei(S[Φ]+
∫
dDx J(x)Φ(x))
(
1 + �
∫
dDx (J(x)F (x,Φ(x)) +A(x))
)
(56)
De onde obtemos ∫
dDx (J(x)〈F (x,Φ(x))〉J +A(x)) = 0 (57)
onde consideramos a possibilidade de um campo externo no sistema (na˜o integrado em DΦ) e que
A(x) so´ depende deste campo externo. Usando a eq.(48), podemos escrever∫
dDx
(
− δΓ[ΦJ ]
δΦJ(x)
〈F (x,Φ(x))〉J +A(x)
)
= 0 (58)
Esta e´ conhecida como a identidade de Slavnov-Taylor. Note que no caso, muito comum, em que
F (x,Φ(x)) e´ linear em Φ temos, usando eq.(53),
〈F (x,Φ(x))〉J = F (x,ΦJ(x)) = δ¯ΦJ (59)
e a equac¸a˜o eq.(58) fica ∫
dDx
δΓ[ΦJ ]
δΦJ(x)
δ¯ΦJ = δΓ[ΦJ ] =
∫
dDx A(x) (60)
ou seja, a ac¸a˜o quaˆntica na˜o e´ invariante devido a` anomalia. Se a anomalia estiver relacionada
a uma redundaˆncia de gauge, esta equac¸a˜o representa uma inconsisteˆncia do sistema, conforme
comentamos na sec¸a˜o anterior.
Apo´s essa ra´pida revisa˜o sobre a ac¸a˜o quaˆntica, vamos retomar o to´pico central desta sec¸a˜o.
A quebra de simetria e´ um fenoˆmeno do infravermelho(IR), ou seja, esta´ associado ao compor-
tamento do sistema em longas distaˆncias. Vamos entender um pouco melhor isso. Suponha um
conjunto de campos escalares, na˜o necessariamente fundamentais, que se transforma como
φm(x)→ φ′m(x) =
∑
n
Lmnφn(x) (61)
onde Lmn sa˜o os elementos de uma matriz constante qualquer. Suponha ainda que a teoria na˜o e´
anoˆmala, enta˜o, se essa transformac¸a˜o e´ uma simetria da ac¸a˜o cla´ssica, pelo que discutimos acima,
sera´ tambe´m uma simetria da ac¸a˜o quaˆntica
Γ[φ] = Γ[Lφ] (62)
o estado fundamental do sistema e´ definido pelo valor de φ no mı´nimo da energia potencial
quaˆntica associada a` Γ. Ou seja, φ sera´ um campo constante φ¯ (pois assim os termos de derivadas
se anulam) que minimiza a energia potencial U(φ¯) = −Γ(φ¯), mas
Γ[φ¯] = Γ[Lφ¯] (63)
13
e portanto, se
φ¯ 6= Lφ¯ (64)
teremos mu´ltiplos va´cuos degenerados. Ao escolher um desses va´cuos obviamente a simetria e´
quebrada.
Mas uma pergunta natural se apresenta. Este e´ um sistema quaˆntico, por que o va´cuo f´ısico
da teoria na˜o poderia ser uma superposic¸a˜o quaˆntica de todos esses va´cuos? P. ex. Suponha uma
transformac¸a˜o L tal que φ → −φ. Na situac¸a˜o descrita acima ter´ıamos dois va´cuos |+〉 e |−〉.
Mas o va´cuo f´ısico poderia ser |+〉+ |−〉 ou |+〉 − |−〉, que sa˜o sime´tricos (a` menos de uma fase)
pois L|+〉 → |−〉 e L|−〉 → |+〉. Por que isso na˜o acontece?
Tal situac¸a˜o de fato ocorre em mecaˆnica quaˆntica mas a medida em que o volume do sistema se
torna muito grande a superposic¸a˜o quaˆntica (coereˆncia) se torna cada vez mais insta´vel e qualquer
perturbac¸a˜o, mesmo muito pequena, que na˜o respeite a simetria, ira´ forc¸ar o sistema a escolher
um dos va´cuos (|+〉 ou |−〉 no caso que acabamos de discutir).
O ponto aqui e´ que no limite de um sistema muito grande, essa perturbac¸a˜o pode ser ta˜o
pequena que seus detalhes na˜o podem ser acessados fisicamente, exceto pela quebra em si.
No limite de um sistema em volume infinito essas observac¸o˜es se tornam exatas e os va´cuos
sa˜o realmente desconexos. Mais precisamente, considere um conjunto de va´cuos degenerados
ortonormais
〈u|v〉 = δuv (65)
para quaisquer operadores hermitianos locais A(x) e B(x) em tempos iguais, temos
〈u|A(~x)B(~0)|v〉 =
∑
w
〈u|A(~x)|w〉〈w|B(~0)|v〉+
∫
dD−1p
∑
N
〈u|A(~x)|N, ~p〉〈N, ~p|B(~0)|v〉 (66)
onde supomos que os va´cuos sa˜o tais que ~ˆP |v〉 = 0 e |v〉 na˜o esta´ conectado a` um espectro cont´ınuo
de ~ˆP (de forma que |v〉 na˜o e´, por exemplo, um estado de uma-part´ıcula de momento nulo). Dessa
forma, escrevemos a relac¸a˜o de completeza dos estados como:
1 =
∑
w
|w〉〈w|+
∫
dD−1p
∑
N
|N, ~p〉〈N, ~p| (67)
onde N representa outros poss´ıveis ro´tulos de estados e podem inclusive ser cont´ınuos. Note que
〈u|A(~x)|w〉 = 〈u|ei ~ˆP ·~xA(~0)e−i ~ˆP ·~x|w〉 = 〈u|A(~0)|w〉 (68)
e
〈u|A(~x)|N, ~p〉 = 〈u|ei ~ˆP ·~xA(~0)e−i ~ˆP ·~x|N, ~p〉 = 〈u|A(~0)|N, ~p〉e−i~p·~x (69)
14
logo:
〈u|A(~x)B(~0)|v〉 =
∑
w
〈u|A(~0)|w〉〈w|B(~0)|v〉
+
∫
dD−1p
∑
N
〈u|A(~0)|N, ~p〉〈N, ~p|B(~0)|v〉e−i~p·~x (70)
Supondo agora que os elementos de matriz no segundo termo acima sa˜o func¸o˜es cont´ınuas e bem
comportadas de ~p, pelo teorema de Riemann-Lebesgue, a integral em ~p se anula no limite em que
|~x| → ∞ e temos
〈u|A(~x)B(~0)|v〉 |~x|→∞−−−−→
∑
w
〈u|A(~0)|w〉〈w|B(~0)|v〉 (71)
da mesma forma
〈u|B(~0)A(~x)|v〉 |~x|→∞−−−−→
∑
w
〈u|B(~0)|w〉〈w|A(~0)|v〉 (72)
Sabemos ainda que causalidade implica que para tempos iguais
[A(~x), B(~0)] = 0; para ~x 6= 0 (73)
Conclu´ımos portanto que as matrizes hermitianas definidas pelos elementos de matriz 〈u|A(~0)|v〉
e 〈u|B(~0|v〉 comutam entre si e portanto podem ser diagonalizadas simultaneamente. Escolhendo
enta˜o a base que diagonaliza essas matrizes teremos para qualquer operador hermitiano local
A(x)
〈u|A(x)|v〉 = δuvav (74)
onde av e´ um nu´mero real.
Isso significa que nenhum operador local e´ capaz de conectar os diferentes va´cuos. Em particu-
lar, qualquer perturbac¸a˜o que quebre a simetria (representada por um termo local na hamiltoniana)
sera´ diagonal nessa mesma base e vai definir um dos va´cuos |v〉 como o va´cuo f´ısico (e na˜o uma
combinac¸a˜o linear deles). E´ importante tambe´m observar que qual dos va´cuos sera´ selecionado
e´ uma questa˜o imaterial, uma vez que todos os va´cuos sa˜o equivalentes fisicamente (ja´ que sa˜o
conectados por uma simetria) e a perturbac¸a˜o que seleciona um deles e´ inacess´ıvel.
2.1 Teorema de Goldstone
Discutiremos agora as consequeˆncias para o espectro da teoria quando uma simetria global
cont´ınua e´ espontaneamente quebrada.
Vimos que podemos associar a uma simetria uma corrente conservada. A carga associada a
esta corrente satisfaz a relac¸a˜o de comutac¸a˜o (43) e define o gerador da simetria correspondente.
15
Quando a simetria e´ quebrada esta relac¸a˜o operatorial permanece va´lida, pois como vimos a
quebra e´ uma propriedade do estado de va´cuo do sistema. O estado de va´cuo na˜o e´ invariante
pela simetria. Isso significa que o operador de carga atuando no va´cuo na˜o pode ser nulo.
Vamos voltar ao exemplo da sec¸a˜o anterior e considerar a forma infinitesimal das trans-
formac¸o˜es (61)
φ′m(x) = φm(x)− i�
∑
m
tnmφm(x) (75)
Assim, vemos pela definic¸a˜o (23) que GaΦ→
∑
m tnmφm(x), de forma que
[Q, φn(x)] =
∑
m
tnmφm(x) (76)
Se a simetria for espontaneamente quebrada, o valor esperado desse comutador na˜o pode ser nulo.
Para entender as consequeˆncias disso vamos estudar o comutador
[Jµ(y), φn(x)] (77)
Temos, com 1 =
∑
N |N〉〈N | e |Ω〉 = va´cuo:
〈Ω|Jµ(y)φn(x)|Ω〉 =
∑
N
〈Ω|Jµ(y)|N〉〈N |φn(x)|Ω〉
=
∑
N
〈Ω|Jµ(0)|N〉〈N |φn(0)|Ω〉eipN ·(y−x)
=
∫
d4p
∑
N
〈Ω|Jµ(0)|N〉〈N |φn(0)|Ω〉eip·(y−x)δ(p− pN) (78)
onde usamos que Pˆ |N〉 = pN |N〉. Podemos escrever enta˜o
〈Ω| [Jµ(y), φn(x)] |Ω〉 = 1
(2pi)3
∫
d4p
(
ρµn(p)e
ip·(y−x) − ρ˜µn(p)e−ip·(y−x)
)
(79)
onde
ρµn(p) = (2pi)
3
∑
N
〈Ω|Jµ(0)|N〉〈N |φn(0)|Ω〉δ(p− pN)
ρ˜µn(p) = (2pi)
3
∑
N
〈Ω|φn(0)|N〉〈N |Jµ(0)|Ω〉δ(p− pN) (80)
Devido a simetria de Lorentz, podemos escrever ainda
ρµn(p) = p
µρn(p
2)θ(p0)
ρ˜µn(p) = p
µρ˜n(p
2)θ(p0) (81)
16
onde ρn(p
2) e ρ˜n(p
2) sa˜o func¸o˜es escalares e a restric¸a˜o imposta pela func¸a˜o θ(p0) e´ consequeˆncia
do fato que p e´ o quadrimomento de uma part´ıcula f´ısica associada ao estado |N〉. Temos assim:
ρµn(p)e
ipN ·(y−x) = −i ∂
∂yµ
(
ρn(p
2)θ(p0)eip·(y−x)
)
= −i ∂
∂yµ
(∫
dτδ(p2 − τ)ρn(τ)θ(p0)eip·(y−x)
)
(82)
logo:
〈Ω| [Jµ(y), φn(x)] |Ω〉 = −i ∂
∂yµ
(∫
dτ (ρn(τ)∆+(y − x, τ) + ρ˜n(τ)∆+(x− y, τ))
)
(83)
onde
∆+(z, τ) =
1
(2pi)3
∫
d4p δ(p2 − τ)θ(p0)eip·z (84)
E´ evidente que ∆+(z, τ) e´ uma func¸a˜o invariante de Lorentz, portanto se z for do tipo espac¸o
(z2 < 0), ∆+ depende apenas de z
2 (u´nica quantidade invariante de Lorentz). Se z for do tipo
tempo (z2 > 0), ∆+ pode depender de z
2 e θ(z0). Para z tipo espac¸o temos enta˜o
∆+(z, τ) = ∆+(−z, τ) z2 < 0 (85)
e sabemos ainda que para (x − y)2 < 0, temos 〈Ω|[Jµ(y), φn(x)]|Ω〉 = 0, devido a` causalidade.
Portanto, por (83) com (x− y)2 < 0,
0 = −i ∂
∂yµ
(∫
dτ (ρn(τ) + ρ˜n(τ)) ∆+(x− y, τ)
)
⇒ ρn(τ) = −ρ˜n(τ) (86)
que e´ va´lido para qualquer τ . Voltando a` expressa˜o para (x− y)2 qualquer, obtemos portanto
〈Ω| [Jµ(y), φn(x)] |Ω〉 = −i ∂
∂yµ
(∫
dτ(ρn(τ) (∆+(y − x, τ)−∆+(x− y, τ))
)
(87)
Da definic¸a˜o (84) de ∆+(z, τ), segue que
∂2z∆+(z, τ) = −τ∆+(z, τ) (88)
Portanto, usando a identidade de Ward
〈∂µJµ...〉 = 0 (89)
temos
∂µ〈Ω| [Jµ(y), φn(x)] |Ω〉 = −i ∂
2
∂yµ∂yµ
(∫
dτρn(τ) (∆+(y − x, τ)−∆+(x− y, τ))
)
⇒ 0 = i
∫
dττρn(τ) (∆+(y − x, τ)−∆+(x− y, τ)) (90)
17
Note que a diferenc¸a dos ∆+ dentro do pareˆntesis na˜o e´ nula se (x− y) for do tipo tempo. Como
esta equac¸a˜o e´ va´lida para qualquer x,y, segue que
τρn(τ) = 0 (91)
Mas quando a simetria e´ quebrada, ρn(τ) na˜o pode ser nulo para todo τ !De fato, quando
a simetria e´ quebrada 〈Ω| [Q, φn(x)] |Ω〉 6= 0 e temos
〈Ω| [Q, φn(x)] |Ω〉 =
∫
d3y〈Ω| [J0(y), φn(x)] |Ω〉
= −i
∫
d3y
∂
∂y0
∫
dτρn(τ) (∆+(y − x, τ)−∆+(x− y, τ)) 6= 0
⇒ ρn(τ) 6= 0 (92)
Segue portanto que
ρn(τ) = cnδ(τ) (93)
Esse resultado nos diz que se a simetria e´ quebrada, enta˜o necessariamente existem
part´ıculas de massa nula no espectro da teoria. Podemos entender isso recordando os passos
do ca´lculo que fizemos. Lembre que
ρµn(p) = p
µρn(p
2)θ(p0)
= (2pi)3
∑
N
〈Ω|Jµ(0)|N〉〈N |φn(0)|Ω〉δ(p− pN) (94)
ou seja, o argumento de ρn e´ o momento quadrado associado a um estado f´ısico |N〉 (devido a`
δ(p−pN)). Como ρn(p2) = cnδ(p2), vemos que a u´nica contribuic¸a˜o e´ de estados de massa nula.
Estes sa˜o os bosons de Goldstone. Podemos ver que esses estados sa˜o bosons escalares, pois
sa˜o criados por campos escalares. Mais precisamente, o estado φn(x)|Ω〉 possui uma superposic¸a˜o
na˜o-nula com |N〉 e e´ invariante por rotac¸a˜o, logo os bosons de Goldstone possuem spin
= 0. Ale´m disso, J0|Ω〉 tambe´m tem superposic¸a˜o na˜o-nula com |N〉 e por isso os bosons de
Goldstone possuem os mesmos nu´meros quaˆnticos que J0 (paridade, carga, etc...).
Outra consequeˆncia do teorema de Goldstone e´ que se a teoria possui uma simetria descrita
por um grupo de Lie G, que e´ espontaneamente quebrado para um subgrupo H, enta˜o os bosons
de Goldstone tomam valores na a´lgebra do coset G/H. Em particular, o nu´mero de bosons de
Goldstone no espectro e´ igual ao nu´mero de simetrias quebradas
dim(G/H) = dimG− dimH (95)
Prova: Se isso na˜o fosse verdade, existiria um gerador de simetria Q ∈ g ( = a´lgebra de G) e Q /∈ h
( = a´lgebra de H) tal que Q|Ω〉 = 0. Mas neste caso a simetria associada a` Q na˜o seria quebrada,
contrariando a hipo´tese inicial.
18
2.2 Teoria efetiva dos bosons de Goldstone: o modelo sigma na˜o-linear
Considere a seguinte teoria com simetria global SO(N).
S =
∫
dDx
(
1
2
∂µφ
a∂µφa − λ
4
(
φaφa − v2)2) (96)
onde φa(x) sa˜o campos escalares na representac¸a˜o fundamental de SO(N).
O estado de va´cuo do sistema e´ definido pela configurac¸a˜o
φa = vna; na = constante e nana = 1 (97)
E´ conveniente enta˜o escrever φa(x) na forma
φa(x) = ρ(x)na(x); nana = 1 (98)
de forma que o va´cuo corresponde a configurac¸a˜o ρ(x)→ v e na(x)→ na = constante.
A ac¸a˜o (96) nessas varia´veis fica
S =
∫
dDx
(
1
2
∂µρ∂
µρ+
1
2
ρ2∂µn
a∂µna − λ
4
(
ρ2 − v2)2) (99)
onde foi usado que nana = 1⇒ na∂µna = 0.
No mı´nimo do potencial a configurac¸a˜o de campos define um va´cuo que quebra a simetria de
SO(N) para SO(N−1), pois essa configurac¸a˜o e´ caracterizada por uma direc¸a˜o fixa no espac¸o dos
campos na = constante. As pequenas excitac¸o˜es em torno desse va´cuo sa˜o descritas pelos campos
na(x). Estes sa˜o os bosons de Goldstone da teoria. De fato, o nu´mero de bosons de Goldstone e´:
dim(G/H) = dimG− dimH = dimSO(N)− dimSO(N − 1)
=
N(N − 1)
2
− (N − 1)(N − 2)
2
= N − 1 (100)
e temos N campos na(x) com o v´ınculo nana = 1, ou seja, N − 1 campos independentes. A ac¸a˜o
efetiva no limite de baixas energias (ρ = v) e´:
S =
∫
dDx
v2
2
∂µn
a∂µna (101)
com nana = 1. Podemos explicitar este v´ınculo resolvendo um dos na’s em func¸a˜o dos outros
na =
(
pi1, pi2, ..., piN−1, σ
)
(102)
de forma que
nana = ~pi2 + σ2 = 1⇒ σ =
√
1− ~pi2 ⇒ ∂µσ = − ~pi∂µ~pi√
1− ~pi2 (103)
19
e a ac¸a˜o (101) fica
S =
∫
dDx
(
v2
2
∂µ~pi∂
µ~pi +
v2
2
(~pi∂µ~pi)
2
1− ~pi2
)
(104)
onde o v´ınculo agora ja´ esta´ implementado na ac¸a˜o. Note que essa ac¸a˜o tem a forma geral
S =
1
2
∫
dDx gab(pi)∂µpi
a∂µpib (105)
que e´ conhecido como o modelo sigma na˜o-linear.
obs: Quando gab(pi) → δab o modelo e´ chamado de sigma linear. E´ tambe´m comum denominar
de sigma linear o modelo com gab(pi) = δab e com a adic¸a˜o de um potencial V (pi). Neste sentido,
o modelo original SO(N), eq.(96), do qual partimos e´ um modelo sigma linear.
ex : Modelo O(2)
(n1)2 + (n2)2 = 1 (106)
Podemos parametrizar
n1(x) = sin θ(x); n2(x) = cos θ(x) (107)
de forma que
∂µσ
a∂µσa = cos2 θ(∂θ)2 + sin2 θ(∂θ)2 = (∂θ)2 (108)
e portanto
S =
∫
dDx
v2
2
∂µθ∂
µθ (109)
obs: O modelo sigma na˜o-linear, ainda que descreva um sistema com quebra de simetria, possui a
simetria original. No caso que estudamos, o modelo e´ sime´trico por SO(N). Apenas o estado
de va´cuo tem sua simetria quebrada para SO(N − 1). Isso e´ o´bvio no exemplo O(2). A ac¸a˜o
efetiva (109) tem a simetria θ → θ + constante, que corresponde a` rotac¸a˜o O(2). O va´cuo e´ θ =
constante.
De forma mais precisa, a ac¸a˜o efetiva para os bosons de Goldstone na(x) e´ constru´ıda integrando-
se as excitac¸o˜es massivas associadas ao campo ρ(x). A teoria completa “microsco´pica” e´ o modelo
sigma linear (96). As pequenas excitac¸o˜es em torno do va´cuo ρ = v sa˜o descritas por ω, tal que
ρ(x) = v + ω(x). (110)
A ac¸a˜o (96) fica
S[ω, n] =
∫
dDx
(
1
2
∂µω∂
µω +
1
2
(
v2 + 2vω + ω2
)
∂µn
a∂µna − λ
4
(
2vω + ω2
)2)
(111)
20
A teoria efetiva para na e´ enta˜o definida por:
eiSeff [n] =
∫
DωeiS[ω,n] (112)
Para entender a forma de Seff , note que na ac¸a˜o (111) o campo n
a aparece apenas na combinac¸a˜o
∂µn
a∂µna. Podemos considerar essa combinac¸a˜o como sendo um campo externo e teremos as
seguintes regras diagrama´ticas para calcular as contribuic¸o˜es a Seff
ω
f
ω= propagador de ω ≈ 1
k2 − 2λv2
x = inserc¸o˜es de ∂µn
a∂µna
ω
df
ω
ω
e
= λv;
ω ω
de
ω
ed
ω
=
λ
4
; ωfx = v;
ω
dx
ω
e
(113)
De forma que, em poteˆncias de inserc¸o˜es x
Seff = x + xfc+ xc+ xkx + xcx + xkcx + xkckx + · · ·+ mais loops (114)
onde, por exemplo, os termos com uma inserc¸a˜o de x = ∂µn
a∂µna fornecem
x + xfc+ xc+ ordem maior em loops =
1
2
(
v2 + correc¸o˜es
)
∂µn
a∂µna (115)
As contribuic¸o˜es de segunda ordem em x sa˜o
xkx + xcx + xkcx + xkckx +
x
d
xe
c + mais loops (116)
de forma que, por exemplo, em baixas energias o primeiro termo tem a forma
xfx = (∂µn
a)2
1
k2 − 2λv2 (∂µn
a)2 ∼ (∂µna)2 1
2λv2
(∂µn
a)2 (117)
Fica claro que Seff e´ uma expansa˜o derivativa de forma que em baixas energias podemos manter
apenas os primeiros termos.
O ponto mais importante dessa discussa˜o e´ a observac¸a˜o que a ac¸a˜o efetiva e´ a ac¸a˜o mais geral
para os campos na que respeita a simetria SO(N) e constru´ıda como uma expansa˜o derivativa.
Este e´ um aspecto bem geral das teorias efetivas.
3 “Quebra espontaˆnea” da simetria de calibre: o meca-
nismo de Higgs
Comec¸aremos discutindo uma questa˜o de interpretac¸a˜o. As aspas no t´ıtulo desta sec¸a˜o se justifi-
cam ao considerarmos um teorema devido a Elitzur: Uma simetria local (de calibre) na˜o pode ser
quebrada no mesmo sentido discutido anteriormente para o caso de simetrias globais.
21
A impossibilidade de se quebrar uma simetria de calibre pode ser entendida notando que em
uma teoria de calibre os estados f´ısicos sa˜o invariantes de calibre e os operadores f´ısicos sa˜o os
operadores que preservam este espac¸o de estados:
O : Hphy → Hphy (118)
O e´ portanto um operador invariante de calibre. Em particular, o va´cuo, o estado fundamental
de um sistema, e´ um estado f´ısico no qual os operadores invariantes de calibre atuam para gerar
os demais estados f´ısicos. O va´cuo tem que ser portanto invariante de calibre.1
Mas enta˜o, o que significa a expressa˜o “quebra espontaˆnea” da simetria de calibre? Essa
expressa˜o se refere a um fenoˆmeno muito espec´ıfico em teorias de calibre denominado mecanismo
de Higgs. Para entender este conceitovamos voltar ao exemplo do modelo com simetria SO(N)
dado pela eq.(96). Como feito anteriormente, vamos escrever os campos escalares, que esta˜o na
representac¸a˜o fundamental, na forma
~φ(x) = ρ(x)~n(x); ~n · ~n = 1 (119)
A ac¸a˜o (96) e´ invariante por rotac¸o˜es globais R ∈ SO(N) que “rodam” o vetor unita´rio ~n
~φ(x)→ ~φ′(x) = R~φ(x) (120)
onde R = eθ
αTα , com θα ∈ R e Tα uma matriz N ×N antissime´trica tal que RT = R−1.
Vamos considerar agora a versa˜o com simetria de calibre deste modelo, ou seja, vamos con-
siderar que as matrizes R podem ser diferentes em cada ponto do espac¸o-tempo. A ac¸a˜o deste
novo modelo sera´ invariante por essas transformac¸o˜es locais. Uma consequeˆncia importante dessa
invariaˆncia e´ que o campo ~n(x) deixa de ter qualquer significado f´ısico. De fato, observe que
podemos escolher uma particular func¸a˜o matricial R˜(x) ∈ SO(N) tal que
~n(x)→ R˜(x)~n(x) = R˜(x)

n1(x)
n2(x)
...
nN(x)
 =

0
0
...
1
 (121)
Ou seja, rodamos o vetor ~n(x) alinhando-o com a direc¸a˜o N em cada ponto do espac¸o. Note que
considerando a inversa dessa transformac¸a˜o podemos concluir que
~n(x) =

n1(x)
n2(x)
...
nN(x)
 = R˜−1(x)

0
0
...
1
⇒ na(x) = R˜Na(x) (122)
de forma que os campos na(x) sa˜o totalmente determinados pelos valores de uma coluna da
matriz R˜(x). Mas R˜(x) representa uma redundaˆncia da teoria uma vez que a ac¸a˜o e´ invariante
1Elitzur basicamente calculou o valor esperado de um operador escalar na˜o-invariante de calibre no va´cuo,
obtendo um valor identicamente nulo.
22
por essas transformac¸o˜es, portanto os campos na(x) na˜o podem estar associados a observa´veis
e constituem assim uma redundaˆncia nas varia´veis de campo que descrevem o sistema. Este e´
um ponto importante, pois lembre-se que os campos na(x) foram identificados com os bosons de
Goldstone da quebra espontaˆnea de simetria no caso global discutido na sec¸a˜o anterior e vimos
que o aparecimento desses bosons no espectro f´ısico e´ uma consequeˆncia inevita´vel da quebra
espontaˆnea da simetria global.
Enta˜o, neste caso da simetria local, qual e´ o destino dos bosons de Goldstone? Para entender
isso vamos escrever a ac¸a˜o invariante de calibre obtida de (96) atrave´s da introduc¸a˜o de um campo
de calibre
S =
∫
dDx
(
−1
4
FαµνF
αµν +
1
2
Dµ~φD
µ~φ− λ
4
(
~φ · ~φ− v2
)2)
(123)
onde o campo de calibre Aµ = A
α
µT
α define a derivada covariante
Dµ~φ = ∂µ~φ+ gAµ~φ (124)
e tem seu termo cine´tico F aµνF
aµν escrito em termos do tensor de campo Fµν = F
α
µνT
α
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ + g[Aµ, Aν ] (125)
Para que a ac¸a˜o seja invariante pela transformac¸a˜o local
~φ(x)→ ~φ′(x) = R(x)~φ(x) (126)
o campo de calibre tem que se transformar como
Aµ → A′µ = RAµR−1 +
1
g
R∂µR
−1 (127)
de forma que a derivada covariante se transforma como
Dµ~φ→ RDµ~φ (128)
e como o termo cine´tico do campo de calibre ja´ e´ constru´ıdo como um invariante, a ac¸a˜o e´ de fato
invariante.
Considere a interpretac¸a˜o de part´ıculas para essa ac¸a˜o. Se anularmos todas as interac¸o˜es
(g = λ = 0) teremos o va´cuo perturbativo trivial (Aµ = 0 e ~φ = 0) e as excitac¸o˜es em torno
deste va´cuo sa˜o descritas por part´ıculas vetoriais sem massa (cada uma descrita por uma ac¸a˜o de
Maxwell) e part´ıculas escalares sem massa, todas desacopladas. Note que temos N(N−1)
2
campos
de calibre, pois estes esta˜o na representac¸a˜o adjunta de SO(N) como pode ser inferido pela
transformac¸a˜o (127) e N campos escalares. Se ligarmos o acoplamento g, ainda mantendo λ = 0,
as excitac¸o˜es que acabamos de descrever ira˜o interagir, mas teremos ainda o va´cuo trivial no
regime perturbativo.2
2A teoria tem liberdade assinto´tica e portanto o regime perturbativo (acoplamento fraco) ocorre em altas ener-
gias. Em baixas energias a teoria e´ fortemente acoplada e e´ confinante. Isso significa que os campos fundamentais
da teoria na˜o descrevem mais os graus de liberdade adequados. O va´cuo na˜o perturbativo e´ altamente na˜o trivial,
apresentando condensados e outras propriedades de dif´ıcil acesso anal´ıtico. Discutiremos alguns desses aspectos
mais a frente no curso.
23
Se agora ligarmos tambe´m o acoplamento λ teremos uma dra´stica modificac¸a˜o no espectro
perturbativo da teoria. O potencial descrevendo a auto-interac¸a˜o entre os campos escalares de-
terminara´ o va´cuo como sendo o estado no qual ~φ · ~φ = v2. Para estudar as excitac¸o˜es em torno
deste va´cuo, usamos a representac¸a˜o (119), onde o va´cuo sera´ ρ = v e lembramos que os campos
~n sa˜o varia´veis redundantes e podem ser orientados de forma arbitra´ria. Podemos escolher a re-
presentac¸a˜o (121) onde orientamos na direc¸a˜o N , na = δaN , e com ρ(x) = v + ω(x) o termo de
interesse e´ a derivada covariante
Dµφ
a = ∂µωδ
aN + gAαµ(ω + v)(T
α)abδbN ⇒ DµφaDµφa = ∂µω∂µω + g2(ω + v)2AaNµ AµaN (129)
onde foi usado que δaN(Tα)aN = 0 pois Tα e´ uma matriz antissime´trica e usamos a notac¸a˜o
Aαµ(T
α)ab = Aabµ . A ac¸a˜o fica
S =
∫
dDx
(
−1
4
FαµνF
αµν +
1
2
∂µω∂
µω +
g2
2
(ω + v)2AaNµ A
µaN − λ
4
(
ω2 + 2ωv
)2)
(130)
esta escolha de orientac¸a˜o para na e´ a escolha de um calibre, que denominamos calibre unita´rio.
Note a diferenc¸a fundamental com relac¸a˜o ao caso da simetria global. Aqui, a escolha de orientac¸a˜o
para na na˜o corresponde a` escolha de um va´cuo, pois este e´ invariante de calibre. O nome calibre
unita´rio, vem do fato que neste calibre o espectro perturbativo pode ser lido diretamente na
ac¸a˜o. A parte quadra´tica (livre) descreve um campo escalar massivo (ω) de massa λv, N − 1
campos vetoriais massivos (AaNµ ) de massa gv,
(N−1)(N−2)
2
campos vetorias na˜o massivos (Aabµ , com
a, b 6= N). Veja que neste cena´rio o que aconteceu foi um “rearranjo” dos graus de liberdade.
Lembre que no caso da quebra de simetria global terminamos com N − 1 bosons de Goldstone,
no presente caso os bosons de Goldstone foram substitu´ıdos por N − 1 bosons vetoriais massivos.
Este “rearranjo” dos graus de liberdade e´ o que denominamos mecanismo de Higgs .
E´ importante observar que as ana´lises discutidas acima foram feitas no n´ıvel cla´ssico, mas
sa˜o va´lidas no n´ıvel quaˆntico desde que o acoplamento seja fraco. Se o acoplamento for forte
o va´cuo pode ser completamente diferente. Veremos casos desse tipo ao discutir o problema do
confinamento.
O mecanismo de Higgs no modelo padra˜o
Cabe aqui uma discussa˜o, ainda que um tanto heur´ıstica, sobre o papel do mecanismo de Higgs na
construc¸a˜o de teorias de calibre massivas consistentes e em especial no modelo padra˜o. O ponto e´
que sem o mecanismo de Higgs, o modelo padra˜o seria perturbativamente inconsistente na escala
de ∼ 1 TeV . O problema esta´ na manutenc¸a˜o da unitariedade em teorias que envolvem campos
vetoriais massivos.
Vamos relembrar os argumentos. Suponha que queremos construir uma teoria para um campo
massivo de spin 1. Precisamos de treˆs estados (correspondendo as treˆs poss´ıveis polarizac¸o˜es do
spin) mas tambe´m temos que respeitar a simetria de Lorentz, isso significa que precisamos de um
quadrivetor. Inevitavelmente, somos levados a seguinte forma geral para a lagrangiana livre
S =
∫
dDx
(
−1
4
FµνF
µν +
m2
2
AµA
µ
)
(131)
24
Esse modelo na˜o possui simetria de calibre. Qual e´ o problema com isso? O poss´ıvel problema
esta´ relacionado justamente com o modo longitudinal do campo associado com o termo de massa
(sem esse termo temos apenas os dois graus transversos associados a` polarizac¸o˜es do foton). O
termo de massa implica que a parte longitudinal tera´ participac¸a˜o na dinaˆmica do sistema. Qual
e´ o cara´ter dessa participac¸a˜o?
Vamos comec¸ar com a teoria abeliana. Considere a QED com fotons massivos, por exemplo.A corrente fermioˆnica e´ conservada devido a simetria de Noether e isso garante que o modo
longitudinal na˜o interaja com os fe´rmions. O efeito deste modo esta´ enta˜o restrito ao termo de
massa do foton e podemos nos concentrar no modelo (131) sem nos preocupar com outros campos.
Vamos reescrever este modelo embutindo uma simetria de calibre
S =
∫
dDx
(
−1
4
FµνF
µν +
m2
2
(Aµ + ∂µθ)(A
µ + ∂µθ)
)
(132)
onde introduzimos um campo escalar θ. Este campo e´ fisicamente redundante e constitui ape-
nas um truque para explicitar o modo longitudinal. De fato, note que a teoria agora possui a
ambiguidade de calibre
Aµ → Aµ + ∂µΛ
θ → θ − Λ (133)
e sempre podemos escolher um calibre onde θ e´ eliminado (Λ = θ) e recuperamos a ac¸a˜o original.
Estamos de fato explorando a estrutura do mecanismo de Higgs e a escolha Λ = θ e´ o calibre
unita´rio.
Queremos agora estudar esse sistema em altas energias. O ponto e´ que poss´ıveis problemas de
renormalizabilidade va˜o aparecer no comportamento UV dos propagadores. Vamos enta˜o tentar
parametrizar o modo longitudinal escrevendo a ac¸a˜o na forma
S =
∫
dDx
(
− 1
4g2
FµνF
µν +
v2
2
(Aµ + ∂µθ)(A
µ + ∂µθ)
)
(134)
onde agora m = vg. Para g → 0 o termo cine´tico suprime as flutuac¸o˜es do setor transverso
do campo Aµ e neste limite o modo longitudinal se desacopla. Outra forma de obter o mesmo
resultado e´ redefinir Aµ → gAµ. O limite g → 0 com v fixo corresponde a estudar o sistema em
energias � m. Obtemos enta˜o a forma da ac¸a˜o efetiva neste limite como sendo
S =
∫
dDx
v2
2
(∂µθ)
2 (135)
ou seja, em altas energias o campo θ se desacopla do resto do sistema e se comporta como um
campo escalar livre. Ainda que deduzido de forma heur´ıstica aqui, este e´ um resultado bem
conhecido e significa que a QED com fotons massivos e´ renormaliza´vel.
Vamos ver agora como esse mesmo racioc´ınio se aplica a uma teoria na˜o-abeliana. Considere
um triplet SU(2) de campos de gauge massivos
S =
∫
dDx
(
− 1
4g2
Tr FµνF
µν +
v2
2
Tr AµA
µ
)
(136)
25
onde Aµ = A
a
µσ
a. Vamos tentar repetir o que fizemos no caso U(1). Introduzimos treˆs campos
escalares θa atrave´s de uma redefinic¸a˜o de Aµ (que e´ uma transformac¸a˜o de calibre)
Aµ → U−1(Aµ + i∂µ)U = U−1iDµU (137)
onde U = eiθ
a(x)σa . Dessa forma podemos introduzir a ambiguidade de calibre na ac¸a˜o redefinindo
o termo de massa
S =
∫
dDx
(
− 1
4g2
Tr FµνF
µν +
v2
2
Tr (U−1iDµU)(U−1iDµU)
)
(138)
Esta e´ a versa˜o na˜o abeliana da (134). Considerando agora o mesmo limite que antes, g → 0 com
v constante, encontramos como teoria efetiva
S =
∫
dDx
v2
2
Tr (U−1∂µU)(U−1∂µU) (139)
Este e´ um modelo sigma na˜o-linear. De fato, em termos de θa obtemos algo da forma (que e´ a
ac¸a˜o mais geral para θa respeitando a simetria SU(2))
S =
∫
dDx
v2
2
(
(∂θ)2 + θ2(∂θ)2 + · · · ) (140)
ou redefinindo pia = vθa
S =
∫
dDx
1
2
(
(∂pi)2 +
1
v2
pi2(∂pi)2 + · · ·
)
(141)
e vemos que os infinitos termos de interac¸a˜o (na˜o quadra´ticos) possuem acoplamentos com di-
menso˜es inversas de massa. Ou seja, a teoria na˜o e´ renormaliza´vel por contagem de poteˆncias.
Enta˜o, no caso na˜o-abeliano, os modos longitudinais interagem entre si tendo sua dinaˆmica descrita
por um modelo sigma na˜o-linear, que e´ na˜o-renormaliza´vel. Mas por que isso e´ um problema?
Para entender melhor o problema associado a na˜o-renormalizabilidade podemos olhar para o
espalhamento entre os pi’s. A amplitude de espalhamento em mais baixa ordem tem a forma
pi pi
de
pi
ed
pi
∼ E
2
v2
; (142)
onde E e´ a energia caracter´ıstica do processo. Portanto, em uma escala E ∼ v a amplitude de
probabilidade fica de ordem 1 e a teoria ira´ violar a unitariedade. Isso significa que a teoria precisa
ser completada no UV . A ideia do mecanismo de Higgs e´ justamente adotar um modelo sigma
linear (o modelo de Higgs) que completa esse modelo sigma na˜o-linear em altas energias. No caso
do modelo padra˜o temos, depois de colocar os fatores nume´ricos exatos e o valor de v, que a teoria
deixaria de ser unita´ria em uma escala de ∼ 1, 2 TeV . Por outro lado a massa dos bosons vetoriais
e´ da ordem de m ∼ 100 GeV . O modelo padra˜o sem o Higgs funciona muito bem como uma teoria
efetiva neste intervalo de escalas. O problema e´ que 1, 2 TeV ja´ esta´ ao nosso alcance e portanto
precisamos de uma teoria que fac¸a sentido nessa escala.
26
O modelo de Higgs completa a teoria no UV introduzindo um campo escalar massivo no
espectro, de massa ∼ √λv. Esta escala se localiza entre as duas escalas discutidas anteriormente.
Fisicamente isso significa que antes da teoria atingir a escala em que deixa de ser unita´ria, bosons
escalares massivos (os bosons de Higgs) sa˜o produzidos e saturam a amplitude de espalhamento
entre os modos longitudinais dos bosons vetoriais massivos impedindo que se torne maior que 1.
Este e´ o efeito da renormalizabilidade da teoria.
Cabem alguns comenta´rios. A principal vantagem da introduc¸a˜o do potencial de Higgs e´ que
se λ for pequeno a teoria e´ consistente ate´ escalas muito altas, bem mais que seria sem o boson
de Higgs. De fato, o mecanismo de Higgs so´ e´ u´til se λ for pequeno, ou seja, o mecanismo e´
fundamentalmente perturbativo. Isso esta´ diretamente relacionado ao fato que a auto-interac¸a˜o
do potencial de Higgs na˜o e´ assintoticamente livre.
Para entender isso, observe que se λ for muito grande na˜o sera´ u´til do ponto de vista das
baixas energias, pois vai estar em cima do corte UV do modelo sigma na˜o-linear e a teoria vai
deixar de fazer sentido antes que o Higgs aparec¸a para resolver o problema. Por outro lado, λ
na˜o e´ assintoticamente livre e e´ de fato poss´ıvel concluir estudando o grupo de renormalizac¸a˜o
que a teoria apresenta uma singularidade em uma escala de energia finita (o polo de Landau).
Essa singularidade esta´ exponencialmente distante (E ∼ ec/λ), mas se λ for grande o polo de
Landau vai ser puxado para baixo e a teoria tambe´m na˜o vai fazer sentido do ponto de vista de
altas energias. O valor medido para a massa do Higgs (∼ 126 GeV ) e´ o ideal para evitar esses
problemas e manter uma descric¸a˜o perturbativa consistente do sistema.
Obs: quebra espontaˆnea da simetria global × “quebra espontaˆnea” da simetria de gauge:
Pelo que discutimos nas sec¸o˜es anteriores, podemos tornar mais precisa a conexa˜o entre a quebra
espontaˆnea da simetria global e o mecanismo de Higgs (“quebra espontaˆnea” da simetria de gauge).
Considere um sistema que possui quebra espontaˆnea de uma simetria global. Se tornarmos esta
simetria local, ou seja, se “gaugearmos” a simetria, enta˜o o novo sistema apresentara´ o fenoˆmeno
do mecanismo de Higgs. Mas qua˜o geral e´ esta afirmac¸a˜o? Vimos que o mecanismo de Higgs e´ um
fenoˆmeno perturbativo e e´ essencial para o racioc´ınio envolvido que o espetro da teoria possa ser
definido pela parte quadra´tica da ac¸a˜o em baixas energias (va´cuo). Em termos te´cnicos, dizemos
que este tipo de teoria e´ “infrared free”, significando que as part´ıculas se desacoplam umas das
outras no infravermelho. Se este for o caso, podemos concluir que o mecanismo de Higgs e´ o
fenoˆmeno obtido pelo gaugeamento de uma teoria com quebra de simetria global. Um exemplo
onde isso vai falhar e´ o modelo de Georgi-Glashow em 3D que discutiremos mais a frente. Se
retirarmos os campos de gauge deste modelo, a teoria tera´ quebra espontaˆnea de uma simetria
global, mas ao gaugear a simetria, a dinaˆmica no infravermelho e´ profundamente modificada
devido a presenc¸a de configurac¸o˜es topologicamente na˜o-triviais dos campos de calibre. Como
resultado a teoria e´ confinante e o espectro perturbativo esperado ingenuamente na˜o e´ observado.
27
4 Defeitos topolo´gicos: Vortices e MonopolosNesta sec¸a˜o iniciaremos o estudo de configurac¸o˜es de campos que aparecem como soluc¸o˜es cla´ssicas
das equac¸o˜es de movimento dos campos. Tais soluc¸o˜es possuem em geral sua estabilidade garan-
tida devido a na˜o trivialidade do va´cuo. Ou seja, veremos que a exigeˆncia de que as soluc¸o˜es
representem configurac¸o˜es energeticamente finitas esta´ atrelada ao comportamento assinto´tico
dos campos, que precisam tender ao va´cuo. Mas se existem va´rias possibilidades de va´cuo, como
nos exemplos com potencias com quebra espontaˆnea, enta˜o o comportamento assinto´tico dessas
soluc¸o˜es pode sustentar configurac¸o˜es na˜o triviais dos campos.
4.1 Supercondutores - O modelo de Ginzburg-Landau
Podemos entender um supercondutor como um sistema termodinaˆmico caracterizado por um
campo escalar complexo. Este campo e´ uma representac¸a˜o efetiva dos pares de Cooper, cuja
descric¸a˜o fundamental e´ dada pela teoria BCS. A descric¸a˜o efetiva do sistema e´ dada por um
campo escalar complexo φ e pelo campo eletromagne´tico representado pelo potencial Aµ.
O estado supercondutor e´ o estado no qual a configurac¸a˜o de campos energeticamente favora´vel
e´ tal que
|φ| = v (143)
Dµφ = ∂µφ− iqAµφ = 0 (144)
onde v e´ uma constante real e positiva determinada em func¸a˜o de propriedades do material su-
percondutor e q e´ a carga do par de Cooper (= 2 vezes a carga do ele´tron).
Dessas condic¸o˜es segue um dos fenoˆmenos mais caracter´ısticos de um supercondutor, o efeito
Meissner. Pela segunda equac¸a˜o temos
0 = εµνρσ∂ρDσφ = ε
µνρσ∂ρ(∂σφ− iqAσφ)
= −iqεµνρσ(∂ρAσφ+ Aσ∂ρφ)
= −iqεµνρσFρσφ (145)
onde foi usado que o segundo termo na segunda linha e´ nulo pois ∂ρφ = iqAρφ. Conclu´ımos
portanto que Fµν = 0 se φ 6= 0. A condic¸a˜o |φ| = v significa que o supercondutor e´ um estado
coerente de pares de Cooper, ou seja, um condensado ele´trico. Vemos portanto que dentro do
condensado ele´trico (φ 6= 0) o campo eletromagne´tico, e em particular o campo magne´tico, e´ nulo.
Este e´ o efeito Meissner.
O efeito Meissner pode ser entendido tambe´m como sendo consequeˆncia de uma balanc¸o
energe´tico. Vamos considerar o sistema no regime estaciona´rio de forma que o campo eletro-
magne´tico tem apenas a contribuic¸a˜o magne´tica. A forma mais simples do funcional de energia
que favorece energeticamente a configurac¸a˜o de campos de uma estado supercondutor e´
E[φ,A] =
∫
R3
d3x
(
1
2
~B2 +
1
2
|∂iφ− iqAiφ|2 + λ
4
(|φ|2 − v2)2
)
(146)
28
onde i = x, y, z e λ e´ um paraˆmetro cujo valor deve ser determinado experimentalmente. Este
paraˆmetro representa uma informac¸a˜o extra introduzida pela formulac¸a˜o via funcional de ener-
gia. Essa informac¸a˜o e´ justamente sobre o peso energe´tico relativo das contribuic¸o˜es do campo
magne´tico e do condensado. De fato, note que o custo energe´tico para anular ~B na amostra super-
condutora e´ da ordem de V
2
~B2, onde V e´ o volume da amostra. Por outro lado, a u´nica maneria
de ter um campo magne´tico na˜o nulo dentro da amostra e´ se φ = 0 e o custo energe´tico desta
situac¸a˜o e´ V
4
λv4. Portanto o efeito Meissner ira´ ocorrer se o custo energe´tico para expulsar ~B for
menor que o custo para manteˆ-lo na˜o-nulo, ou seja, se
V
2
~B2 <
V
4
λv4 → | ~B| < | ~Bc| ≡
√
λ
2
v2 (147)
Mas o que acontece se | ~B| > | ~Bc|? Neste caso, o campo magne´tico e´ capaz de penetrar na
amostra. Mas o estado supercondutor na˜o e´ necessariamente destru´ıdo completamente. Existe a
possibilidade de que φ = 0 somente em alguns pontos. A questa˜o e´ se essa possibilidade e´ realizada
por uma configurac¸a˜o energeticamente finita e esta´vel de campos.
Para ser uma configurac¸a˜o finita, o integrando do funcional de energia deve se anular no
infinito, ou seja, as condic¸o˜es que definem um supercondutor devem ser satisfeitas exatamente no
infinito. A equac¸a˜o |φ| = v diz que
φ
|~x|→∞−−−−→ veiθ(x) (148)
O infinito de R3 e´ a esfera S2 e portanto o campo φ estabelece um mapa
S2 → U(1) (149)
com o grupo U(1) parametrizado por θ. Note que U(1) representa o espac¸o de va´cuo. Essa
estrutura e´ consequeˆncia do potencial de quebra de simetria associado ao mecanismo de Higgs. O
supercondutor e´ um dos exemplos mais simples de sistemas onde ocorre o mecanismo de Higgs.
O efeito Meissner e´ justamente o resultado do ganho de massa do foton. O foton massivo significa
que dentro de um supercondutor os campos eletromagne´ticos decaem exponencialmente com a
distaˆncia.
No presente caso, temos interesse nas consequeˆncias da estrutura topolo´gica do va´cuo para
as poss´ıveis soluc¸o˜es cla´ssicas das equac¸o˜es de campos do sistema. Neste ponto, e´ conveniente
interromper a narrativa e fazermos uma pequena revisa˜o do conceito de grupos de homotopia.
4.2 Grupos de homotopia
Definic¸a˜o: Sejam X e Y variedades suaves e f : X → Y um mapa suave entre elas. Uma homotopia
ou deformac¸a˜o do mapa f e´ um mapa suave
F : X × I → Y ; I = [0, 1] (150)
29
tal que F (x, 0) = f(x).
Definic¸a˜o: Dois mapas f e g sa˜o chamados homoto´picos, f ∼ g, se eles puderem ser deformados
continuamente um no outro, ou seja, se existir algum F (x, t) tal que F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) =
g(x).
A relac¸a˜o de homotopia e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia, no sentido de ser sime´trica, transitiva
e reflexiva :
(i) f ∼ g ⇐⇒ g ∼ f (sime´trica)
(ii) f ∼ g e g ∼ h =⇒ f ∼ h (transitiva)
(iii) f ∼ f (reflexiva) (151)
O primeiro grupo de Homotopia
Considere uma curva fechada em uma variedade conexa
f(z); 0 6 z 6 1 (152)
com f(0) = f(1). Em uma variedade conexa podemos deformar a curva de tal maneira a colocar o
ponto f(0) = f(1) em qualquer lugar. Vamos enta˜o definir um ponto base fixo P0 = f(0) = f(1).
Definic¸a˜o: Uma variedade e´ dita multiplamente conexa ou na˜o-simplesmente conexa se existir uma
curva fechada que na˜o pode ser contra´ıda para um ponto continuamente.
Duas curvas fechadas f(z) e g(z) sa˜o homotopicamente equivalentes se existe uma homotopia
F (z, t); 0 6 t 6 1 (153)
tal que
F (z, 0) = f(z); F (z, 1) = g(z)
F (0, t) = F (1, t) = P0 (154)
As relac¸o˜es de homotopia dividem o espac¸o das curvas fechadas em classes de equivaleˆncia. O
conjunto dessas classes e´ conhecido como o primeiro grupo de homotopia da variedade M,
onde as curvas sa˜o definidas, e denotamos por
pi1(M) (155)
Mas por que esse conjunto e´ um grupo? De fato, podemos definir naturalmente as operac¸o˜es que
definem um grupo. Seja um representante da classe de equivaleˆncia que conte´m a curva c. Vamos
denotar genericamente tal representante por f(z; c). Temos
• Multiplicac¸a˜o: Para quaisquer duas classes de equivaleˆncia c1 e c2, definimos o produto
c1 × c2 como a classe de equivaleˆncia que conte´m a curva f(z; c1, c2) que comec¸a em P0,
segue f(z; c1), volta para P0, segue f(z; c2) e volta novamente para P0:
f(z; c1, c2) =
{
f(2z; c1); 0 6 z 6 12
f(2z − 1; c2), 12 6 z 6 1
(156)
30
• Associatividade: (c1 × c2)× c3 = c1 × (c2 × c3)
Isso e´ imediato pois
f(z; c1 × c2, c3) ∼ f(z; c1, c2, c3) ∼ f(z; c1, c2 × c3) (157)
• Elemento identidade: O elemento identidade de pi1(M) e´ definido como sendo a classe que
conte´m a curva
f(z; e) = P0 (158)
E´ fa´cil ver que e× c = c. Definimos a homotopia
F (z, t) =
{
P0; 0 6 z 6 t2
f(2z−t
2−t ; c),
t
2
6 z 6 1
(159)
e vemos que F (z, 0) = f(z; c) e F (z, 1) = f(z; e, c). Ou seja, f(z; c) ∼ f(z; e, c)⇒ e× c = c.
A demonstrac¸a˜o que c× e = c segue de forma ana´loga.
• Inversa: A inversa c−1 da classe de equivaleˆncia c e´ a classe que conte´m a curva f−1(z; c)
que e´ definida como sendo a curva f(z; c) percorrida no sentido inverso
f−1(z; c) = f(1− z; c) (160)
E´ fa´cil verificar que c−1 × c = e. Podemos escrever f(z; c−1, c) como
f(z; c−1, c) =
{
f(1− 2z; c); 0 6 z 6 1
2
f(2z − 1; c), 1
2
6 z 6 1
(161)
Mas essacurva pode ser continuamente deformada para a identidade pela homotopia
F (z, t) =
{
f(1− 2tz; c); 0 6 z 6 t
2
f(2tz + 1− 2t; c), t
2
6 z 6 1
(162)
e vemos que F (z, 0) = f(z; e) e F (z, 1) = f(z; c−1, c). Ou seja f(z; e) ∼ f(z; c−1, c) ⇒
c−1 × c = e. A demonstrac¸a˜o que c× c−1 = e segue de forma ana´loga.
Vemos portanto que pi1(M) e´ um grupo. O exemplo mais simples de variedade com o primeiro
grupo de homotopia na˜o-trivial e´ o c´ırculo M = S1. Podemos parametrizar o c´ırculo por um
aˆngulo θ, com θ = 0 e θ = 2pin (n ∈ Z) representando o mesmo ponto. Podemos enta˜o definir
o grupo de homotopia neste caso como o conjunto das classes de func¸o˜es θ(z), 0 6 z 6 1, que
comec¸am em algum ponto base θ(0) = θ0 e terminam no mesmo ponto base θ(1) = θ0 + 2pin.
Observe que duas func¸o˜es desse tipo so´ podem ser deformadas continuamente uma na outra se
possu´ırem o mesmo valor de n, pois n ∈ Z e na˜o pode mudar continuamente. As diferentes classes
de equivaleˆncias podem enta˜o ser rotuladas por n. O nu´mero n fornece o nu´mero de voltas no
31
c´ırculo S1 (nu´mero de vezes que a func¸a˜o passa pelo ponto base no intervalo 0 6 z 6 1). As
curvas que da˜o n voltas definem assim a classe de equivaleˆncia cn.
O produto de duas classes cn e cm consiste de curvas que comec¸am no ponto base, da˜o n voltas
e depois m voltas terminando no ponto base. Enta˜o a multiplicac¸a˜o do grupo e´ cn × cm = cn+m
ou seja
pi1(S
1) = Z (163)
onde Z e´ o grupo dos inteiros sob a operac¸a˜o de adic¸a˜o. O primeiro grupo de homotopia define
assim o grau de conectividade de uma variedade. Vemos que S1 e´ uma variedade multiplamente
conexa.
E´ fa´cil ver tambe´m que todas as esferas Sd com d > 1 sa˜o, por outro lado, simplesmente
conexas, ou seja, possuem o primeiro grupo de homotopia trivial
pi1(S
d) = 0; d > 1 (164)
Lembrando que grupos de Lie tambe´m podem ser vistos como variedades diferencia´veis, o primeiro
grupo de homotopia tambe´m classifica a conectividade desses grupos, alguns exemplos sa˜o:
pi1(G) =

Z; G = U(N), N > 1
Z2, G = SO(N), N > 3
0, G = Spin(N), N > 3
0, G = SU(N), N > 2
0, G = Usp(N), N > 1
0, G = G2, F4, E6, E7, E8
(165)
Spin(N) e´ a cobertura simplesmente conexa de SO(N) (ex. Spin(3) = SU(2)).
O n-e´simo grupo de Homotopia
E´ natural a generalizac¸a˜o dessas ideias para mapeamentos da esfera Sn para uma variedade
M. Esses mapas podem ser definidos como func¸o˜es de n paraˆmetros f(z1, z2, ..., zn), com 0 6
z1, z2, ..., zn 6 1. Podemos da mesma forma definir classes de equivaleˆncia para esses mapas: dois
mapas pertencem a mesma classe se puderem ser continuamente deformados um no outro. O
conjunto dessas classes tambe´m forma um grupo, denominado n-e´simo grupo de Homotopia
pin(M) (166)
Algumas propriedades u´teis podem ser deduzidas:
pin(M1 ×M1) = pin(M1)× pin(M2); para qualquer n
pin(S
n) = Z
pin(S
k) = 0; para n < k
32
pin(S
1) = 0; para n > 1 (167)
Algumas relac¸o˜es envolvendo grupos de Lie
pi2(G) = 0; para qualquer grupo de Lie G conexo compacto
pi3(G) = Z; para qualquer grupo de Lie G simples conexo compacto (168)
Para qualquer grupo de Lie G e qualquer subgrupo de Lie H ⊂ G:
pi2(G/H) = Ker{pi1(H) −→ pi1(G)} (169)
ou seja, pi2(G/H) e´ o subgrupo de pi1(H) composto pelos elementos que sa˜o mapeados no elemento
trivial de pi1(G), quando H ⊂ G. Em particular
pi2(G/H) = pi1(H); para pi1(G) = 0 (170)
O caso do supercondutor
Podemos voltar agora ao exemplo do supercondutor. Vimos que o campo escalar assinto´tico
define um mapa S2 → U(1) ≈ S1. Mas se considerarmos uma configurac¸a˜o dos campos com
simetria axial, o infinito espacial sera´ S1 e estes “mapas axiais” sera˜o da forma S1 → U(1) ≈ S1
A configurac¸a˜o assinto´tica dos campos e´ tal que o potencial seja nulo no infinito. A anulac¸a˜o
do potencial define a estrutura de quebra de simetria (sempre lembrando que so´ seria de fato uma
quebra se na˜o tivesse simetria de calibre). Para o potencial do supercondutor a quebra e´ da forma
U(1)→ 1. A configurac¸a˜o assinto´tica reflete essa quebra tomando valores no coset U(1)/1 = U(1).
Dessa forma, o primeiro grupo de homotopia, ao qual pertencem os “mapas axiais”, neste caso e´
pi1(U(1)/1) = pi1(U(1)) = Z (171)
No caso geral em que o potencial esta´ associado a` uma quebra G → H, os campos assinto´ticos
tomam valores em G/H e em uma situac¸a˜o em que o espac¸o assinto´tico e´ Sd teremos a classificac¸a˜o
dos mapas dada por
pid(G/H) (172)
Fisicamente, os inteiros que caracterizam o primeiro grupo de homotopia no caso do super-
condutor podem ser associados aos fluxos magne´ticos nos vo´rtices. Os vo´rtices sa˜o as soluc¸o˜es
cla´ssicas representadas pelos “mapas axiais”. Assintoticamente, φ = veiθ(x) e
∂iφ− iqAiφ = 0⇒ ∂iθ − qAi = 0⇒ Ai = 1
q
∂iθ (173)
Realizando uma integrac¸a˜o ao longo de uma curva fechada no espac¸o assinto´tico circulando o
vo´rtice, obtemos ∮
C
d~x · ~A =
∫
S
d~S · ~B = 2pin
q
(174)
onde n ∈ Z define exatamente a classe de homotopia a` qual pertence o mapa θ (note que para
n 6= 0 a func¸a˜o θ na˜o e´ classe C2). Ou seja, o grupo de homotopia define neste caso a quantizac¸a˜o
do fluxo magne´tico em um vo´rtice dentro de um supercondutor.
33
4.3 Soluc¸o˜es de vo´rtices no supercondutor
E´ interessante estudar um pouco mais em detalhes os vo´rtices no supercondutor e discutir um
pouco o comportamento da ac¸a˜o. Considere uma configurac¸a˜o, tipo mapa axial, invariante por
translac¸o˜es em uma determinada direc¸a˜o, digamos, a direc¸a˜o z. Neste caso os campos na˜o de-
pendem da coordenada z e a energia (146) ira´ divergir linearmente mas podemos considerar a
densidade de energia
E [φ,A] =
∫
R2
d2x
(
1
2
B2 +
1
2
|∂aφ− iqAaφ|2 + λ
4
(|φ|2 − v2)2
)
(175)
onde a = x, y e B = Bz. Note que agora o campo φ define assintoticamente o mapa S
1 →
U(1). O comportamento assinto´tico dos campos, (148) e (173), indica que as soluc¸o˜es na˜o-triviais
que procuramos podem ser detectadas em grandes distaˆncias por fluxos magne´ticos na˜o nulos,
sinalizando o fato de que estas soluc¸o˜es representam vo´rtices no condensado. Estes vo´rtices sa˜o
conhecidos como vo´rtices de Abrikosov. Obviamente no centro do vo´rtice, onde se localiza o
campo magne´tico, φ = 0. Para uma soluc¸a˜o tipo vo´rtice podemos ainda impor simetria de
rotac¸a˜o em torno do eixo z e eliminar mais uma coordenada de forma que os campos so´ dependam
da coordenada radial r2 = x2 + y2. Uma poss´ıvel maneira de parametrizar as soluc¸o˜es tipo vo´rtice
e´ definindo o ansatz:
φ(r) = vh(r)eiθ; Aa =
1
q
∂aθf(r), (176)
onde h(r) e f(r) sa˜o func¸o˜es a serem determinadas numericamente. Estas func¸o˜es se anulam em
r → 0 e tendem a 1 em r →∞. Em termos destas varia´veis o funcional densidade de energia fica:
E [h, f ] = 2pi
∫
dr r
[
1
2q2
1
r2
(
df
dr
)2
+
v2
2
((
dh
dr
)2
+
h2(1− f)2
r2
)
+
λv4
4q2
(
h2 − 1)2] . (177)
Vamos considerar dimenso˜es canoˆnicas para os campos de forma que A e φ tenham dimensa˜o de
massa = 1, dessa forma o u´nico paraˆmetro dimensional e´ v com dimensa˜o de massa = 1. Podemos
colocar a expressa˜o acima numa forma mais conveniente definindo a varia´vel adimensional s = evr:
E [h, f ] = piv2
∫
ds s
[
1
s2
(
df
ds
)2
+
((
dh
ds
)2
+
h2(1− f)2
s2
)
+
λ
2q2
(
h2 − 1)2] (178)
= v2κ, (179)
onde κ e´ um nu´mero positivo adimensional determinado pelas soluc¸o˜es h e f e pelas propriedades
do material supercondutor codificados no paraˆmetro λ
q2
. A expressa˜o acima mostra que este e´ o
u´nico paraˆmetro relevante para a descric¸a˜o do sistema.
Para entender o significado deste paraˆmetro e´ interessante estudar o comportamento do su-
percondutor nas vizinhanc¸as de um vo´rtice. Como F = 0 no supercondutor,A e´ equivalente por
transformac¸o˜es de calibre a A = 0 e podemos escolher o calibre tal que esta condic¸a˜o seja satis-
feita. Neste calibre φ e´ constante e podemos escolher ainda φ = v, por uma transformac¸a˜o global
34
da fase (uma transformac¸a˜o de calibre adicional que mante´m A = 0). O comportamento pro´ximo
ao vo´rtice pode ser analisado perturbando esta soluc¸a˜o; escrevendo φ = v + ρ e considerando a
energia em ordem mais baixa em ρ e A. A energia toma a forma
E[φ,A]→
∫
IR3
d3x
(
1
2
~B2 +
v2q2
2
~A2 +
1
2
(∇ρ)2 + v2λρ2
)
, (180)
que nos diz que as excitac¸o˜es associadas a A e ρ sa˜o massivas com massas MA = vq e Mρ =
√
2λv
respectivamente. Vemos enta˜o que o paraˆmetro que figura em (178) esta´ relacionado com a raza˜o
destas massas:
M2ρ
M2A
=
2λ
q2
. (181)
O comportamento do supercondutor para | ~B| > | ~Bc| pode ser caracterizado pela sua resposta a`
configurac¸a˜o de vo´rtices. O paraˆmetro Mρ
MA
, sendo adimensional, sugere que algo especial acontec¸a
quando Mρ
MA
= 1, de fato este e´ o ponto que marca a diferenc¸a entre um supercondutor tipo I e um
supercondutor tipo II. Para um supercondutor tipo I, Mρ < MA e e´ poss´ıvel mostrar que neste
caso os vo´rtices se atraem. Como consequeˆncia da atrac¸a˜o entre os vo´rtices rapidamente se forma
uma regia˜o macrosco´pica com φ = 0 e a fase supercondutora e´ destru´ıda. Num condutor tipo II,
no entanto, temos MA < Mρ e os vo´rtices se repelem. Para um campo suficientemente forte a
supercondutividade tambe´m sera´ destru´ıda mas neste caso e´ poss´ıvel que uma configurac¸a˜o esta´vel
se estabelec¸a e o estado supercondutor seja mantido na amostra exceto no centro dos tubos de
fluxo que tera˜o uma espessura da ordem de 1
Mρ
.
Voltando a` expressa˜o (178), vemos portanto que em um supercondutor a energia de um vo´rtice
e´ dada por
E = σL, (182)
onde L e´ o comprimento do tubo de fluxo. σ = v2κ e´ um nu´mero real positivo e pode ser
interpretado como a tensa˜o da corda representando o tubo em um limite em que sua espessura e´
desprez´ıvel. Este comportamento da energia e´ caracter´ıstico de um estado confinante. Mas neste
caso o que esta´ sendo confinado? Note que o fluxo magne´tico no tubo de fluxo e´ exatamente o
produzido por um monopolo magne´tico. Imagine que este de fato seja o caso, ou seja, que temos
um monopolo com carga g e um antimonopolo com carga −g ambos imersos num supercondutor.
Pelo que acabamos de discutir a configurac¸a˜o energeticamente favora´vel e´ a formac¸a˜o de um
tubo de fluxo magne´tico conectando os dois monopolos que passam a interagir com uma energia
proporcional a` distaˆncia entre eles e isso define o que chamamos de confinamento.
4.4 Monopolos de ’t Hooft-Polyakov
Pela equac¸a˜o (170) podemos inferir outros modelos que permitem soluc¸o˜es cla´ssicas topologica-
mente na˜o triviais. O caso mais simples ocorre para H = U(1) e teremos
pi2(G/U(1)) = pi1(U(1)) = Z; para pi1(G) = 0 (183)
35
O grupo de Lie G simplesmente conexo mais simples e´ o SU(2). Vamos enta˜o estudar uma teoria
com um potencial de quebra de simetria SU(2)→ U(1).
O modelo de Georgi-Glashow consiste de um triplet de campos escalares SU(2), φa, a = 1, 2, 3,
e campos de gauge. A ac¸a˜o tem a forma
S =
∫
d4x
(
−1
4
GaµνGaµν +
1
2
DµφaDµφ
a − V (φ)
)
, (184)
onde
Gaµν = ∂µW
a
ν − ∂νW aµ − eεabcW bµW cν
Dµφ
a = ∂µφ
a − eεabcW bµφc
V (φ) =
λ
4
(φaφa − v2)2 com λ > 0. (185)
Perturbativamente, o va´cuo e´ caracterizado por W aµ = 0 e φ
aφa = v2. No calibre unita´rio podemos
ler o espectro de excitac¸o˜es perturbativas em torno desse va´cuo e veremos que sobram excitac¸o˜es
na˜o massivas que correspondem ao foton do eletromagnetismo U(1).
Note que pela representac¸a˜o dos campos envolvidos, a simetria e´ de fato o SO(3) com um
potencial de quebra para SO(2). Consideramos a cobertura conexa SU(2) de SO(3) apenas para
ilustrar o uso da propriedade (170). Mas veja que esta e´ uma observac¸a˜o importante. Como
SU(2) e´ a cobertura conexa, ele possui mais representac¸o˜es que SO(3). Enta˜o a pergunta seria:
se adicionarmos outros campos em uma representac¸a˜o de SU(2) que na˜o e´ uma representac¸a˜o
de SO(3) (por exemplo, fermions), os resultados que vamos encontrar para as soluc¸o˜es cla´ssicas
mudariam? A resposta e´ na˜o. Basta notar que na˜o podemos usar a fo´rmula simplificada (170)
pois SO(3) na˜o e´ simplesmente conexo, mas temos pi(SO(3)/SO(2)) = Z e a classificac¸a˜o das
soluc¸o˜es pelos grupos de homotopia continua a mesma.
O campo eletromagne´tico assinto´tico Para entender o significado da existeˆncia de mapas
homotopicamente na˜o-triviais neste modelo, vamos olhar para a regia˜o assinto´tica, onde o potencial
de quebra se anula, e temos condic¸o˜es para os campos escalares que sa˜o ana´logas a`s que definem
um estado supercondutor. Ou seja, exigimos que Dµ~φ = 0 e | ~φ |= v na regia˜o assinto´tica
(va´cuo de Higgs). Vamos entender as consequeˆncias dessas condic¸o˜es na regia˜o infravermelha.
Assintoticamente temos
∂µ~φ = −e~φ× ~Wµ, (186)
Chamando de Aµ a componente de ~Wµ paralela a` ~φ nessa regia˜o, temos:
~φ× (~φ× ~Wµ) = −1
e
(~φ× ∂µ~φ)
⇒ ~φ(~φ · ~Wµ)− ~Wµv2 = −1
e
(~φ× ∂µ~φ)
⇒ ~Wµ = 1
ev2
(~φ× ∂µ~φ) + 1
v
~φAµ, (187)
36
com Aµ =
1
v
~φ · ~Wµ. Podemos calcular o ~Gµν correspondente nessa regia˜o
∂µ ~Wν =
1
ev2
∂µ(~φ× ∂ν~φ) + 1
v
∂µ(~φAν), e
~Wµ × ~Wν = 1
e2v4
(~φ× ∂µ~φ)× (~φ× ∂ν~φ)
+
1
ev3
[
(~φ× ∂µ~φ)× ~φAν + ~φAµ × (~φ× ∂ν~φ)
]
=
1
e2v4
~φ ·
[
(~φ× ∂µ~φ) · ∂ν~φ
]
+
1
ev3
[
~φAµ(~φ · ∂ν~φ)− ~φAν(~φ · ∂µ~φ) + v2Aν∂µ~φ− v2Aµ∂ν~φ
]
, (188)
observe ainda que pela equac¸a˜o (186) temos que ~φ · ∂µ~φ = 0, logo:
~Wµ × ~Wν = 1
e2v4
~φ ·
[
~φ · (∂µ~φ× ∂ν~φ)
]
+
1
ev
[
Aµ∂ν~φ− Aν∂µ~φ
]
, (189)
combinando os resultados, obtemos
~Gµν = ∂µ ~Wν − ∂ν ~Wµ + e ~Wµ × ~Wν
=
1
ev2
[
(∂µ~φ× ∂ν~φ)− (∂ν~φ× ∂µ~φ)
]
− 1
ev4
~φ ·
[
~φ · (∂µ~φ× ∂ν~φ)
]
+
~φ
v
(∂µAν − ∂νAµ). (190)
Observe ainda que
~φ ·
[
~φ · (∂µ~φ× ∂ν~φ)
]
= ~φ×
[
~φ× (∂µ~φ× ∂ν~φ)
]
+ ~φ2(∂µ~φ× ∂ν~φ)
= v2(∂µ~φ× ∂ν~φ), (191)
pois ~φ× (∂µ~φ× ∂ν~φ) = ∂µ~φ(~φ · ∂ν~φ)− (∂ν~φ · ~φ)∂µ~φ = 0, ja´ que ~φ · ∂ν~φ = 0. Logo
~Gµν =
1
ev2
(∂µ~φ× ∂ν~φ) +
~φ
v
(∂µAν − ∂νAµ). (192)
Como ~φ× ~Gµν = 0, podemos escrever
~Gµν =
~φ
v
Fµν ⇒ Fµν = 1
v
~φ · ~Gµν , (193)
enta˜o
Fµν =
1
ev3
~φ · (∂µ~φ× ∂ν~φ) + (∂µAν − ∂νAµ). (194)
37
O uso de Fµν e´ bem sugestivo. De fato podemos mostrar que ele satisfaz as equac¸o˜es de Maxwell.
As equac¸o˜es de movimento de ~Gµν , obtidas da lagrangeana de Yang-Mills-Higgs sa˜o
Dµ ~G
µν = e(~φ×Dν~φ) = 0 (na regia˜o assinto´tica)
⇒ ∂µ ~Gµν = e( ~Wµ × ~Gµν), (195)
Enta˜o
∂µF
µν =
1
v
(∂µ~φ · ~Gµν + ~φ · ∂µ ~Gµν)
=
1
v
[
−e(~φ× ~Wµ) · ~Gµν + e~φ · ( ~Wµ × ~Gµν)
]
=
1
v
[
−e(~φ× ~Wµ) · ~Gµν + e(~φ× ~Wµ) · ~Gµν
]
= 0. (196)
E a identidade de Bianchi, que segue da definic¸a˜o de ~Gµν , nos fornece
D∗µ ~G
µν = 0
⇒ ∂∗µ ~Gµν = e( ~Wµ ×∗ ~Gµν), (197)
onde ∗ ~Gµν = 1
2
εµνρσ ~Gρσ. De forma totalmente ana´loga ao que foi feito para F
µν (com ~Gµν →∗ ~Gµν),
obtemos:
∂∗µF
µν = 0, (198)
ou seja, F µν satisfaz as equac¸o˜es de Maxwell (na regia˜o assinto´tica, onde ele e´ definido). Esse
resultado e´ muito interessante, pois mostra que no infravermelho, temos como teoria efetiva do
sistema na˜o-abeliano de Georgi-Glashow, uma teoria abeliana de Maxwell. Mas note que o F µν
conte´m um termo extra dado em termos dos campos φa. Para entender o significado deste termo,
vamos considerar soluc¸o˜es homotopicamente na˜o-triviais e independentes do tempo no calibre
temporal W a0 = 0. A energia e´ dada por
H =
∫
d3x
(
1
4
GaijG
a
ij +
1
2
Diφ
aDiφ