Lista 6 (Cálculo II)

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2015.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de exerc´ıcios 6
1. Determine o domı´nio das func¸o˜es vetoriais.
a) r(t) = (t2,
√
t− 1,√t− 5).
b) r(t) = (ln t)i+
t
t− 1j + e
−tk
2. Calcule os limites.
a) lim
t→0
(et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
1 + t
)
.
b) lim
t→∞
(
e−ti+
t− 1
t+ 1
j + tg−1(t)k
)
.
3. Determine a derivada da func¸a˜o vetorial dada
a) r(t) = (ln(4− t2))i+ (√1 + t)j − (4e3t)k.
b) r(t) = ta× (b+ tc).
4. Determine as equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva dada pelas equac¸o˜es
parame´tricas, no ponto especificado.
a) x = t5, y = t4, z = t3; (1, 1, 1).
b) x = t cos(2pit), y = t sin(2pit), z = 4t; (0, 1
4
, 1).
5. Determine o ponto de intersecc¸a˜o das retas tangentes a` curva r(t) = (sin(pit), 2 sin(pit), cos(pit))
nos pontos t = 0 e t+ 1
2
.
6. Calcule a integral.
a)
∫ pi
4
1
(cos 2t, sin 2t, t sin t)dt.
b)
∫
(1
t
, 1
t2+1
, sin t cos t)dt.
7. Determine o comprimento de arco da curva.
1
a) r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t). − 10 ≤ t ≤ 10.
b) r(t) = (t
√
2, et, e−t). 0 ≤ t ≤ 1.
8. Reparanetrize a curva em relac¸a˜o ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direc¸a˜o
crescente de t.
a) r(t) = (et sin t, et cos t).
b) r(t) = (3 sin t, 4t, 3 cos t).
9. Determine os versores da tangente e da normal T (t) eN(t). Encontre tambe´m a curvatura.
a) r(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t).
b) r(t) = (1
3
t3, t2, 2t).
10. Em que ponto a curva y = lnx tem curvatura ma´xima? O que acontece com a curvatura
quando x→∞.
2