Cap2_Curvas e Superfícies

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Capítulo 2 
Curvas e Superfícies 
 
No decorrer deste capítulo vamos discutir as curvas e superfícies representando-as por 
meio de equações paramétricas ou equações vetoriais. 
 
Seção 1 
Curvas 
 
1.1 Representação Paramétrica 
Sejam: ( )x x t= , ( )y y t= e ( )z z t= funções contínuas de uma variável t, definidas para 
[ , ]t a b∈ . Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados por 
estas equações, que são denominadas de equações paramétricas da curva e t é o 
parâmetro. 
Podemos obter uma equação vetorial de uma curva. Basta considerar o vetor posição ( )r t

 
de cada ponto da curva. As componentes de ( )r t

 são precisamente as coordenadas do 
ponto (ver Figura 2.1). 
Escrevemos, 
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +
   
¨, a t b≤ ≤ . 
 
 
Figura 2.1 Vetor posição 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 29 
Observamos que se as funções ( )x x t= , ( )y y t= e ( )z z t= são funções constantes, a 
curva degenera-se em um ponto. 
 
1.2 Exemplos 
(1) A equação vetorial ( )r t ti t j tk= + +
   
¨representa uma reta, cujas equações 
paramétricas são: ttzttyttx === )(,)(,)( . 
(2) As equações paramétricas: 2 cos x t= , 2 sen y t= e 3z t= 
representam uma curva no espaço, chamada hélice circular. A equação vetorial 
correspondente é dada por ( ) 2 cos 2 sen 3r t ti t j tk= + +
   
. 
(3) A equação vetorial 2( ) 3r t ti t j k= + +
   
 representa uma parábola no plano z = 3. 
 
1.3 Definição 
Uma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que 
não é plana chama-se curva reversa. 
 
1.4 Representação Paramétrica de Algumas Curvas 
A seguir daremos a parametrização de algumas curvas importantes que surgem em 
diversas aplicações práticas. 
 
1.4.1 Parametrização de uma reta 
A equação vetorial de uma reta qualquer pode ser dada por ( )r t a tb= +
  
, sendo que a

 e 
b

 são vetores constantes e t é um parâmetro real. 
Considerando-se a reta passa passando pelo ponto A 1 2 3( , , )a a a , que tem vetor posição 
a

 e tem a direção do vetor 1 2 3( , , )b b b b=

, podemos escrever a equação vetorial da reta 
como: 
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )r t a tb i a tb j a tb k= + + + + +
   
 
Dessa forma, tem-se as seguintes equações paramétricas: 1 1( )x t a tb= + , 2 2( )z t a tb= + , 
e 3 3( )z t a tb= + . 
 
Exemplos 
(1) A representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A(2, 1, –1) na direção do 
vetor 2 3b i j k= − +
   
 é dada por: 
( ) (2 2) (1 ( 3)) ( 1 1)r t t i t j t k= + ⋅ + + − + − + ⋅
   
= (2 2 ) (1 3 ) ( 1 )t i t j t k= + + − + − +
  
. 
 
(2) A representação paramétrica da reta que passa por A(2, 0, 1) e B(–1, 1/2, 0) é dada 
por: 
( )r t a tb= +
  
, onde (2, 0, 1)a =

 e b

 = (–1, 1/2, 0) – (2, 0, 1) = (–3, 1/2, –1). 
Assim, 
1( ) (2 ) 3
2
r t i k t i j k = + + − + − 
 
      1(2 3 ) (1 )
2
t i t j t k= − + + −
  
. 
 
1.4.2 Parametrização de uma circunferência 
Uma equação vetorial da circunferência de raio a, com centro na origem, no plano xy, é 
dada por ( ) cos sen r t a ti a t j= +
  
, 0 2t π≤ ≤ . 
Na Figura 2.2, visualizamos o parâmetro t, 0 2t π≤ ≤ , que representa o ângulo formado 
pelo eixo positivo dos x e o vetor posição de cada ponto da curva (Ver Figura 2.2). 
Figura 2.2 – Parametrização de uma circunferência 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 33 
 
Do triângulo OAP na Figura 2.2, obtemos: ( ) cos x t a t= e ( ) sen y t a t= . 
Quando a circunferência não está centrada na origem, a equação vetorial é dada por: 
0 1( ) ( )r t r r t= +
  
 onde 0 0 0r x i y j= +
  
 e 1( ) cos sen , 0 2r t a ti a t j t π= + ≤ ≤
  
. 
Portanto, neste caso, a equação vetorial é dada por 
0 0( ) ( cos ) ( sen ) , 0 2r t x a t i y a t j t π= + + + ≤ ≤
  
¨, representada na Figura 2.3. 
Figura 2.3 – Curva 0 0( ) ( cos ) ( sen ) , 0 2r t x a t i y a t j t π= + + + ≤ ≤
  
¨ 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 33 
 
De maneira análoga, podemos obter uma equação vetorial para uma circunferência 
contida nos planos xz ou yz. Também podemos obter uma equação vetorial para uma 
circunferência contida em um plano paralelo a um dos planos coordenados. 
 
Exemplos 
(1) Obter equações paramétricas da circunferência 2 2 6 4 4 0x y x y+ − − + = no plano z = 
3. 
Para encontrarmos o centro e o raio da circunferência dada, devemos completar os 
quadrados da equação 2 2 6 4 4 0x y x y+ − − + = . Temos, 2 2( 3) ( 2) 9x y− + − = , portanto 
uma circunferência centrada em (3,3) e raio 3. 
Dessa forma as equações paramétricas são: ( ) 3 3 cos x t t= + , ( ) 2 3 sen y t t= + ( ) 3z t = 
0 2t π≤ ≤ . 
 
(2) A equação vetorial ( ) 2 3 cos 3 sen r t i t j tk= + +
   
 representa uma circunferência. 
Determinar a correspondente equação cartesiana. 
As equações paramétricas são: ( ) 2x t = ; ( ) 3 cos y t t= e ( ) 3 sen z t t= , 0 2t π≤ ≤ . 
Vamos eliminar o parâmetro t, por meio de procedimentos algébricos: 
2 2 2 2 9 cos 9 seny z t t+ = + 2 29(cos sen )t t= + = 9 . 
Portanto, a circunferência é dada pela intersecção de 2 2 9y z+ = e x = 2. 
 
1.4.3 Parametrização de uma elipse 
A equação vetorial de uma elipse, no plano xy, com centro na origem e eixos nas direções 
x e y, é dada por: ( ) cos sen r t a ti b t j= +
  
, 0 2t π≤ ≤ (Ver Figura 2.4). 
Consideramos um ponto P(x(t), y(t)) da curva. Traçamos um arco de circunferência de 
raio a, e outro de raio b, ambos centrados na origem. 
Marcamos, respectivamente, sobre esses arcos os pontos A de abscissa x e B de ordenada 
y. Pode-se verificar que os pontos A, B e a origem estão em uma mesma reta. O parâmetro 
t representa o ângulo que esta reta faz com o eixo positivo dos x. 
Do triângulo retângulo ONA, obtemos x = a cos t, e do triângulo retângulo OMB, y = b 
sen t. 
 
Figura 2.4 – Elipse no plano xy. 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 34 
 
Se a elipse estiver centrada em (x0, y0) e seus eixos forem paralelos aos eixos 
coordenados, sua equação vetorial é dada por: 0 1( ) ( )r t r r t= +
  
, sendo que 0 0 0r x i y j= +
  
 
e 1( ) cos sen r t a ti b t j= +
  
, 0 2t π≤ ≤ . 
Assim, a equação vetorial é : 
0 0( ) ( cos ) ( sen )r t x a t i y b t j= + + +
  
, 0 2t π≤ ≤ (Ver Figura 2.5) 
Figura 2.5 – Elipse centrada em (x0, y0) e semieixos a e b. 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p.35 
Exemplos 
(1) Escrever uma equação vetorial da elipse 2 29 4 36x y+ = , no plano xy. 
Podemos reescrever 2 29 4 36x y+ = , como 
2 2
1
4 9
x y
+ = . Desta forma, a equação vetorial 
é dada por: ( ) 2 cos 3 sen r t ti t j= +
  
, 0 2t π≤ ≤ . 
 
1.4.4 Parametrização de uma hélice circular 
A hélice circular é uma curva reversa. Ela se desenvolve sobre a superfície cilíndrica 
2 2 2x y a+ = . Podemos visualizar uma hélice circular se enrolarmos à volta da superfície 
um triângulo retângulo flexível ABC de modo que A é o ponto (a, 0, 0) e que o lado AB 
se enrola sobre a seção do cilindro no plano xy. A hipotenusa AC determina, então, sobre 
a superfície cilíndrica uma curva chamada hélice circular. (Ver Figura 2.6). 
 
Figura 2.6 – Hélice circular. 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 36 
 
Para parametrizar a hélice, consideremos um ponto P(x, y, z) da hélice cuja proteção no 
plano xy é Q. O ponto P se originou do correspondente ponto M sobre a hipotenusa AC. 
A projeção de M e N e obviamente PQ MN= ¨. Temos ainda AN AQ at= = ¨. 
Dessa forma, escrevemos as equações paramétricas: ( ) cos x t a t= , ( ) sen y t a t= e 
( ) tg tg z t PQ AN atθ θ= = = ¨, sendo que θ é o ângulo agudo BAC. 
Podemos fazer tg mθ = e escrever a equação vetorial da hélice circular como: 
( ) cos sen r t a t i a t j amt k= + +
   
. 
 
1.4.5 Parametrização de uma cicloide 
A cicloide é uma curva que surgiu para solucionar dois problemasfamosos: 
 A determinação da forma de um cabo, de um ponto A até um ponto abaixo B, tal 
que uma bolinha sem atrito, solta em um ponto P entre A e B sobre o cabo, gaste 
o mesmo tempo para alcançar B, qualquer que seja a posição de P. 
 A determinação de um único cabo que liga A até B, ao longo do qual uma bolinha 
escorregará de A até B no menor tempo possível. 
Esses problemas são resolvidos, considerando-se o cabo com a forma de meio arco de 
uma cicloide. 
A cicloide pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0, 0) de um círculo de raio a, 
centrado em (0, a), quando o círculo gira sobre o eixo dos x (Ver Figura 2.7). 
Quando o círculo gira um ângulo t, seu centro se move um comprimento OT . Na Figura 
2.7 temos: 
sentaAP
taCA
aCT
atTPArcoOT
=
=
=
==
___
___
___
___
cos
 
Portanto, as coordenadas de P são 
 sen ( sen )x OT AP at a t a t t= − = − = − 
cos (1 cos )y AT CT AC a a t a t= = − = − = − . 
Essas equações são válidas para qualquer P. Logo, a equação vetorial da cicloide é: 
( ) ( sen ) (1 cos )r t a t t i a t j= − + −
  
. 
Quando t varia de 0 a 2π obtemos o primeiro arco da cicloide. 
Figura 2.7 – Formação da cicloide 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 38 
 
Exemplo 
Escrever a equação vetorial da curva descrita pelo movimento de uma cabeça de prego 
em um pneu de um carro que se move em linha reta , se o raio do pneu é 25 cm. 
Supondo que a cabeça do prego se encontre localizada no pneu no ponto P, conforme 
Figura 2.7, sua trajetória é uma cicloide. Assim, temos que 
( ) 25( sen ) 25(1 cos )r t t t i t j= − + −
  
. 
 
1.4.6 Parametrização de uma hipocicloide 
Para analisar a hipocicloide, vamos inicialmente considerar um círculo de raio b que 
tangencia o círculo de raio a no ponto (a, 0), sendo P o ponto de tangência (Ver Figura 
2.8). 
Figura 2.8 – Hipocicloide 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 39 
 
Pela construção da curva, temos que os arcos AT e PT são iguais. Portanto, at bα= e 
assim a t
b
α = . Na Figura 2.8, podemos observar que PCDângulo=β , assim, 
tβ α= − a t t
b
= −
a b t
b
−
= . 
Queremos determinar as coordenadas x(t) e y(t) do ponto P. Temos, 
x OB BM= + ( ) cos cosa b t b β= − + ( )( ) cos cos a ba b t b t
b
−
− + ; 
y PM= BN= BC CN= − ¨ ( )sen sen a b t b β= − − ( )( ) sen sen a ba b t b t
b
−
= − − . 
Portanto, as equações paramétricas da hipocicloide são 
( )( ) ( ) cos cos a bx t a b t b t
b
−
= − + e ( )( ) ( ) sen sen a by t a b t b t
b
−
= − + . 
A equação vetorial correspondente é: 
( ) ( )( ) ( ) cos cos ( )sen sen a b a br t a b t b t i a b t b t j
b b
− −   = − + + − +      
 
. 
Os cúspides ocorrem nos pontos onde o ponto de tangência dos dois círculos é o ponto 
P. Portanto, ocorrem quando 2at n bπ= ⋅ , n = 0, 1, 2, ..., ou 2 bt n
a
π= ⋅ , n = 0, 1, 2, .... 
Um caso particular muito usado é o da hipocicloide de quatro cúspides (ver Figura 2.9) 
que é obtida fazendo 
4
ab = , resultando: 
(3cos cos3 )
4
ax t t= + e (3 sen sen 3 )
4
ay t t= + . 
Usando as relações trigonométricas 
3cos3 4cos 3cost t t= − e 3sen 3 3 sen 4 sent t t= − , temos: 
3( ) cosx t a t= e 3( ) seny t a t= . 
Assim, uma equação vetorial da hipocicloide é dada por: 
3 3( ) cos senr t a ti a t j= +
  
, [0, 2 ]t π∈ . 
Eliminando o parâmetro t, obtemos a equação cartesiana desta hipocicloide, que é dada 
por : 2/3 2 /3 2 /3x y a+ = . 
 
 
Figura 2.9 – Hipocicloide de 4 cúspides 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, 2007, p. 40 
 
Exemplo 
Dada 2/3 2/3 2x y+ = , encontrar uma equação vetorial desta hipocicloide. Encontrar o 
vetor velocidade e o vetor aceleração no ponto 2 3 6, 
4 4
 
  
 
. 
A equação vetorial é dada por 3 3( ) 2 2 cos 2 2 senr t ti t j= +
  
¨. 
O vetor velocidade é dado por 2 2( ) 6 2 cos sen 6 2 sen cosd rv t t ti t t j
dt
= = − +

  
 e o vetor 
aceleração é 3 2 2 3( ) 6 2(cos 2 sen cos ) 6 2(2cos sen sen )dva t t t t i t t t j
dt
= = − − + −

  
. 
No ponto 2 3 6, 
4 4
 
  
 
, temos que 
3
t π= , portanto, 3 6 9 2
3 4 4
v i jπ  = − + 
 
  
¨ e e 
15 2 3 6
3 4 4
a i jπ  = − + 
 
  
. 
 
1.4.7 Parametrização de outras curvas 
Podemos apresentar parametrização de outras curvas, usando um raciocínio bem simples, 
desde que tenhamos em mãos a forma algébrica da curva. Outra situação interessante é 
quando analisamos a intersecção de duas superfícies que, em geral, representa uma curva 
no plano ou no espaço. 
 
Exemplos 
(1) Escrever uma equação vetorial para 5 3y x= + no plano z = 2. 
A curva C que queremos parametrizar é a intersecção dos planos 5 3y x= + e z = 2. 
Fazemos: ( )x t t= ; ( ) 5 3y t t= + e ( ) 2z t = . Assim a equação vetorial é dada por: 
( ) (5 3) 2r t ti t j k= + + +
   
. 
Observamos que esta parametrização não é única. Também poderíamos ter feito, por 
exemplo: ( ) 2 1x t t= + ; ( ) 5(2 1) 3y t t= + + e ( ) 2z t = , assim, 
( ) (2 1) (10 8) 2r t t i t j k= + + + +
   
. 
 
(2) A intersecção entre superfícies 2 2z x y= + e 2z y= + determina uma curva. Escrever 
uma equação vetorial desta curva. 
Podemos escrever a intersecção como: 
2 22 y x y+ = + ou 2 2 2x y y+ − = e reescrever como 
2
2 1 9
2 4
x y + − = 
 
, para que 
possamos visualizar a circunferência de raio 3
2
 e centro 10,
2
 
 
 
. Esta circunferência é a 
projeção da curva sobre o plano xy. Fazemos então, 
3 cos
2
x t= e 1 3 sen , [0, 2 ]
2 2
y t t π= + ∈ . 
Substituindo o valor de y na equação z =2 +y, obtemos 1 32 sen
2 2
z t= + + . 
Portanto, , 2 ]3 1 3 5 3( ) cos sen sen , [0
2 2 2 2 2
r t ti t j t k t π   = + + + + ∈   
   
   
. 
 
1.5 Curvas Suaves 
Uma curva pode ter pontos angulosos. Vejamos o exemplo a seguir: 
Seja 2 3( ) , 1 1r t t i t j t= + − ≤ ≤
  
. 
A Figura 2.10 mostra esta curva. O ponto (0, 0), correspondente a t = 0, é um ponto 
anguloso. Observamos que (0) 0r′ =
 
. 
Figura 2.10 – Curva com ponto anguloso 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p. 55. 
 
Geometricamente, uma curva suave é caracterizada pela ausência de pontos angulosos. 
Em cada um de seus pontos, a curva tem uma tangente única que varia continuamente 
quando se move sobre a curva. 
Sempre que uma curva C admite uma parametrização ( ) ,r t t I∈ ⊂

 , com derivada 
contínua ( )r t′

 e ( ) 0r t ≠
 
, para todo t I∈ , C é uma curva suave ou regular. 
Uma curva é suave por partes se puder ser dividida em um número finito de curvas 
suaves. 
Uma curva parametrizada ( ) , [ , ]r t t a b∈

 é dita fechada se )()( brar  = . 
Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto quando t = 
a e t = b), dizemos que a curva é simples. 
 
Exemplos: 
 Retas, circunferências, elipses, hélices são curvas suaves, sendo que as 
circunferências e as elipses são curvas fechadas; 
 A cicloide e a hipocicloide são curvas suaves por partes; 
 Na Figura 2.11 temos exemplos de curvas suaves por partes. 
Figura 2.11 – Curvas fechadas suaves por partes 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p. 56. 
 
1.6 Orientação de uma curva 
Se um ponto material desloca-se sobre uma curva suave C, temos dois possíveis sentidos 
de percursos. A escolha de um deles como sentido positivo, define uma orientação na 
curva C. 
Suponhamos que a curva C seja representada por 
( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]r t x t i y t j z t k t a b= + + ∈
   
. 
Convencionamos chamar de sentido positivo sobre C, o sentido no qual a curva é traçada 
quando o parâmetro t cresce de a até b (ver Figura 2.12). O sentido oposto é chamado 
sentido negativo sobre C. 
Figura 2.12 – Curva C com sentido positivo 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p. 56. 
 
De acordo com nossa convenção, sempre que uma curva suave C é representada por 
( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]r t x t i y t j z t k t a b= + + ∈
   
, C é uma curva orientada e o seu sentido positivo 
depercursos é o sentido de valores crescentes do parâmetro t. 
Se uma curva simples C é suave por partes, podemos orientá-la, como mostra a Figura 
2.13, orientando cada parte suave de C. 
Figura 2.13 – Exemplos de curvas suaves por partes com orientação 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p. 57. 
 
Definição: 
Dada uma curva orientada C, representada por ( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]r t x t i y t j z t k t a b= + + ∈
   
; 
a curva –C é definida como sendo a curva C com orientação oposta. A curva –C é dada 
por: 
( ) ( )r t r a b t− = + −
 
 
 ( ) ( ) ( ) , [ , ]x a b t i y a b t j a b t k t a b= + − + + − + + − ∈
  
. 
 
Exemplos 
(1) Vamos analisar a parametrização de uma circunferência de centro na origem e raio a 
no sentido horário. 
Observe que o sentido positivo de uma circunferência jtasenitatr


+= cos)( , 
π20 ≤≤ t é o sentido anti-horário. 
Dessa forma, para obter o sentido negativo, ou seja, o sentido horário, vamos usar a 
definição: 
: ( ) (0 2 )C r t r tπ−− = + −
 
 
 cos(2 ) sen (2 )a t i a t jπ π= − + −
 
 
 cos sen a i a t j= −
 
, [0, 2 ]t π∈ 
A Figura 2.14 ilustra este exemplo. 
 
 
 
Figura 2.14 – Circunferência orientadas 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, 2007, p. 57. 
 
(2) Parametrizar o segmento de reta que une o ponto A(0, 0, 1) ao ponto B(1, 2, 3), no 
sentido de A para B. 
Conforme 2.4.1, reta que passa pelos pontos A e B pode ser parametrizada por 
( )r t a tb= +
  
. 
Podemos escolher o vetor posição (0, 0, 1)a =

. Como queremos o segmento de reta A 
para B, o vetor direção b

 é dado por (1, 2, 3) (0, 0, 1) (1, 2, 2)b = − =

. 
Temos então, 
( ) (0, 0, 1) (1, 2, 2)r t t= +

 
 ( , 2 , 1 2 )t t t= + . 
Precisamos determinar o intervalo de variação do parâmetro t. 
Como o vetor posição do ponto A é (0, 0, 1), o correspondente valor de t satisfaz 
( , 2 , 1 2 ) (0, 0, 1)t t t+ = . Portanto, t = 0. 
No ponto B, temos ( , 2 , 1 2 ) (1, 2, 3)t t t+ = e consequentemente, t = 1. 
Uma equação do segmento de reta que une o ponto A ao ponto B é dada por 
( ) ( , 2 , 1 2 )r t t t t= +

, [0, 1]t∈ . 
Observamos que sempre que queremos parametrizar um segmento de reta com orientação 
de A para B, podemos tomar o vetor a

 como sendo vetor posição do ponto A e o vetor 
direção b

 como B – A. Neste caso, o parâmetro t terá uma variação no intervalo [0, 1]. 
Sempre que nos referimos a um segmento que une o ponto A ao ponto B estaremos 
entendendo que o sentido é de A para B. 
 
(3) Parametrizar o segmento de reta que une o ponto (1, 2, 3) ao ponto (0, 0, 1). 
Fazemos ( )r t a tb= +
  
, onde (1, 2, 3)a =

 e (0, 0, 1) (1, 2, 3)b = −

( 1, 2, 2)= − − − . 
Temos, 
( ) (1, 2, 3) ( 1, 2, 2)r t t= + − − −

 
 (1 , 2 2 , 3 2 )t t t= − − − , [0, 1]t∈ . 
Poderíamos ter usado o resultado do Exemplo anterior e a definição 2.7.1. Assim, 
( ) ( , 2 , 1+2t)r t t t=

, [0, 1]t∈ , 
( ) (0 1 )r t r t− = + −
 
¨ 
 (1 , 2(1 ), 1 2(1 ))t t t= − − + − 
 (1 , 2 2 , 3 2 )t t t= − − − , [0, 1]t∈ . 
 
1.7 Reta Tangente 
Seja C uma curva suave representada por 
( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ]r t x t i y t j z t k t a b= + + ∈
   
. 
Seja 0 0 0( , , )P x y z um ponto C e t0 o correspondente valor do parâmetro t. Já discutimos 
no capítulo 1 que o 0( )r t′

 é tangente à curva C em P. Portanto, uma parametrização da 
reta tangente à curva C no ponto P, é dada por 0 0( ) ( ) ( )q r t r tω ω ′= +
  
, sendo que ω é um 
parâmetro real. 
Exemplo 
Determinar a reta tangente à curva ( ) 2cos 2 sen r t ti t j= +
  
, no ponto ( 2, 2)P . 
Temos, 
( ) 2cos 2sen r t ti t j= +
  
; 
( ) 2sen 2cos r t ti t j= − +
  
. 
Para obter o valor de t0 correspondente ao ponto P, usamos as equações paramétricas da 
curva, que são dadas por x = 2 cos t e y = 2 sen t. 
No ponto ( 2, 2)P , temos: 02 2cos t= e 02 2sen t= . Portanto, 0 4
t π= . 
A equação da reta tangente será dada por: 
0 0( ) ( ) ( )q r t r tω ω ′= +
  
 
 2cos 2 2sen 2cos
4 4 4 4
i sen j i jπ π π πω   = + + − +   
   
   
 
 ( 2 2 ) ( 2 2 )i jω ω= − + +
 
. 
 
1.8 Comprimento de Arco 
Seja C uma curva dada pela equação vetorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i ÿ t j z t k= + +
   
, [ , ]t a b∈ . 
Vamos calcular o comprimento  de um arco AB , com [ , ]t a b∈ . 
Seja 
0 1 2 1: ... ...i i nP a t t t t t t b−= < < < < < < = 
uma partição qualquer de [a, b]. Indicamos por n o comprimento da poligonal de 
vértices 0 0( )A P r t= =

, 1 1( )P r t=

, ..., ( )n nB P r t= =

. 
Então, 
1
1
| ( ) ( ) |
n
n i i
i
r t r t −
=
= −∑
 
 
 2 2 21 1 1
1
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
n
i i i i i i
i
x t x t y t y t z t z t− − −
=
= − + − + −∑ . 
Na Figura 2.15 visualizamos uma curva C, onde a poligonal foi traçada para n = 6. 
Figura 2.15 – Visualização da análise do comprimento de arco 
 
Fonte: Gonçalves e Flemming, p. 60 
 
Intuitivamente, podemos afirmar que se o limite de n quando n →∞ existe, este limite 
define o comprimento  do arco AB da curva C, ou seja, 
max t 0
lim
i
n∆ →
=  , onde 
1| |i i it t t −∆ = − . 
Se a curva C é suave, podemos encontrar uma fórmula para calcular o limite dado. Temos 
o seguinte teorema. 
Teorema: 
Seja C uma curva suave parametrizada por ( )r t

, a t b≤ ≤ . Então, | ( ) |
b
a
r t dt′= ∫

 . 
Prova. Para provarmos este teorema, vamos utilizar o seguinte resultado cuja 
demonstração será omitida. 
“Se as funções x(t), y(t) e z(t) são contínuas no intervalo [a, b], e se P é uma partição do 
intervalo [a, b] 0 1 1( : ... ... )i i nP a t t t t t b−= < < < < < < = , e it , it e it são números 
quaisquer em 1( , )i it t− , então 
[ ]
2
22
max t 0 1
lim ( ) ( )
i
n
ii i i
i
x t y t z t t
∆ →
=
   + + = ∆ =       
∑ 
 [ ] [ ]2 2 2( ) ( ) ( )x t y t z t dt = + +  ∫ .” 
Se C é uma curva suave em [a, b], temos que ( )x x t= , ( )y y t= e ( )z z t= são funções 
deriváveis em cada subintervalo 1[ , ]i it t− da partição P. Assim, pelo teorema do valor 
médio, existem números it , it e it em 1( , )i it t− tais que 
1( ) ( ) ( )ii i ix t x t x t t− ′− = ∆ 
1( ) ( ) ( )ii i iy t y t y t t− ′− = ∆ ¨ 
1( ) ( ) ( )ii i iz t z t z t t− ′− = ∆ 
Substituindo essas equações no somatório vamos ter: 
( ) ( )
222
1
n
n i
i
l x ti y ti z ti t
=
    ′ ′ ′= + + ∆         
∑ 
e ( ) ( )
1
222
max 0 1
lim
n
it i
l x ti y ti z ti t
∆ →
=
    ′ ′ ′= + + ∆         
∑ 
Usando a definição de integral temos: 
( ) ( ) ( )2 2 2
b
a
l x t y t z t dt′ ′ ′= + +          ∫ 
| ( ) |
b
a
r t dt′= ∫

, 
que é o resultado procurado. 
Se a curva C é suave por partes, seu comprimento é dado por 
1 2
1 1
| ( ) | | ( ) | ... | ( ) |
n
t t b
a t t
l r t dt r t dt r t dt
−
′ ′ ′= + + +∫ ∫ ∫
  
, 
sendo que 1 1 2 1[ , ], [ , ], ..., [ , ]na t t t t b− são os subintervalos de [a, b ]nos quais a curva C 
é suave. 
Exemplos 
(1) Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é 
2/3( )r t ti t j= +
  
, para 1 4t≤ ≤ . 
Temos, 1/32( )
3
r t i t j−= +
  
 e 
2/34| ( ) | 1
9
r t t−′ = +

 2 /3
41
9t
= + 
2 /3
2 /3
9 4
9
t
t
+
= 2 /3 1/ 2 1/31 (9 4)
3
t t−= + . 
Aplicando a integral do teorema dado temos: 
4 2/3 1/ 2 1/3
1
1 (9 4)
3
l t t dt−= +∫ . 
Esta integral pode ser resolvida por substituição, fazendo 2/39 4u t= + . 
Temos, 
4 2/3 1/ 2 1/3
1
1 (9 4)
3
l t t dt−= +∫ 
42/3 3/ 2
1
1 1 (9 4)
3 6 3/ 2
t +
= ⋅ 
2 /3 3/ 2 2 /3 3/ 21 (9.4 4) (9.1 4)
27
 = + − +  
3/ 231 (18 2 4) 13 13
27
 = + −  . 
(2) Encontrar o comprimento da hélice circular 
( ) (cos , sen , )r t t t t=

 do ponto A(1, 0, 0) a B(–1, 0, π ). 
Temos que: 
( ) ( sen , cos , 1)r t t t′ =−

 
2 2| ( ) | sen cos 1r t t t′ = + +

 2= . 
Para A(1, 0, 0) temos t = 0 e par B(–1, 0, π ) temos t = π . 
Usando o teorema, obtemos 
0
2 l dt
π
= ∫ 
2π= . 
 
1.8.1 Função comprimento de arco 
Na integral | ( ) |
b
a
l r t dt′= ∫

, se substituímos o limite superior b por um limite variável t, 
[ , ]t a b∈ , a integral se transforma em uma função de t. 
Escrevemos, 
**)()( dttrts
t
a
∫ ′=
 
A função s = s(t) é chamada função comprimento de arco e mede o comprimento de arco 
de C no intervalo [a, t]. 
 
Exemplos 
(1) Escrever a função comprimento de arco da circunferência de raio R. 
Vamos usar **)()( dttrts
t
a
∫ ′=
 , observando que o limite inferior de integração a, pode ser 
substituído por qualquer outro valor 0 0, [ , ]t t a b∈ , isto é, o ponto da curva 
correspondente a s = 0 pode ser escolhido de maneira arbitrária. 
Escolhendo a = 0, temos 
t *
0
( ) s t R dt= ∫ = Rt, onde usamos ( ) cos sen r t R ti R t j= +
  
. 
 
(2) Encontrar a função comprimento de arco da hélice circular 
( ) (2cos , 2sen , )r t t t t= . 
Vamos novamente usar **)()( dttrts
t
a
∫ ′=
 e escolher a = 0. Temos 
*
0
( ) 5 
t
s t dt= ∫ 5 t= . 
 
1.8.2 Reparametrização de curvas por comprimento de arco 
É conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como parâmetro o comprimento 
de arco s. 
Para reparametrizarmos uma curva suave C, dada por 
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +
   
, [ , ]t a b∈ procedemos como segue: 
 Calculamos s = s(t), usando **)()( dttrts
t
a
∫ ′=
 ; 
 Encontramos a sua inversa t = t(s), 0 s l≤ ≤ ; 
 Finalmente, reescrevemos (8) como ( ) ( ( ))h s r t s=
 
=
( ( )) ( ( )) ( ( ))x t s i y t s j z t s k= + +
  
, 0 s l≤ ≤ . 
Temos então, que ( )h s

 descreve a mesma curva C que era dado por ( )r t

, mas com uma 
nova parametrização, onde a variável s, 0 s l≤ ≤ , representa o comprimento de arco de 
C. 
 
Exemplos 
(1) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva 
: ( ) ( cos , sen )C r t R t R t=

, 0 2t π≤ ≤ . 
Temos, 
t *
0
( ) s t R dt= ∫ = Rt, onde usamos ( ) cos sen r t R ti R t j= +
  
. 
Esta função é uma função linear, cuja inversa é 
( ) st t s
R
= = , 0 2s Rπ≤ ≤ . Portanto, 
( ) ( ( )) cos , sen s sh s r t s R R
R R
 = =  
 
 
, 0 2s Rπ≤ ≤ , é a reparametrização da 
circunferência dada. 
 
(2) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por 
( ) ( cos , sen ), 0t tr t e t e t t= ≥

. 
Vamos calcular a função comprimento de arco s = s(t). 
Temos, ( ) ( cos sen , cos sen )t t t tr t e t e t e t e t′ = − +

 e | ( ) | 2 tr t e′ =

. 
Logo, * *
0
( ) 2 
t ts s t e dt= = ∫ 2 ( 1)te= − . 
Podemos escrever 
2( ) ln
2
st t s
 +
= =   
 
, 0s ≥ e então 2 2 2( ) cos ln , sen ln
2 2 2
s s sh s
    + + +
=             
, 
0s ≥ . 
 
(3) Dada uma curva C representada por ( )r t

, mostrar que se | ( ) | 1r t′ =

, então o parâmetro 
t é o parâmetro comprimento de arco de C. 
Temos: *
0
( ) | ( ) |
t
s s t r t dt′= = ∫

. Como | ( ) | 1r t′ =

, vem *
0
t
s dt= ∫ = t. 
O parâmetro t é o parâmetro comprimento de arco s, de C. 
 
(4) Verificar que a curva 
2: ( ) , 
5 5
s sC h s  =  
 

, 0s ≥ está parametrizada pelo comprimento anterior. 
Temos, 
1 2( ) , 
5 5
h s  ′ =  
 

 
2 21 2| ( ) |
5 5
h s    ′ = +   
   

 1 4
5 5
= + = 1. 
Portanto, a curva C dada tem como parâmetro o comprimento de arco. 
É possível mostrar que sempre que uma cura suave está parametrizada pelo comprimento 
de arco temos que | ( ) | 1h s′ =

. 
 
1.9 Vetor tangente unitário 
Dada uma curva suave C, queremos encontra, em cada ponto de C, um vetor tangente à 
curva C, seja unitário. Considerando a curva representada por ( ) ( ( ), ( ), ( ))r t x t y t z t=

, 
o vetor ( )r t′

 é tangente à curva C. 
O vetor ( )( )
| ( ) |
r tu t
r t
′
=
′


 é denominado vetor tangente unitário à curva C. 
Por outro lado, quando C é representada por ( ) ( ( ), ( ), ( ))h t x t y t z t=

, onde s é o parâmetro 
comprimento de arco temos que | ( ) | 1h s′ =

. Assim, neste caso, o vetor tangente unitário 
é dado por ( ) ( )u s h s′=
 
. 
 
Exemplo 
Encontrar o vetor tangente unitário à circunferência de raio 2, centrada na origem, no 
ponto ( 2, 2)P . 
Uma parametrização dessa circunferência é dada por ( ) (2cos , 2sen )r t t t=

, 0 2t π≤ ≤
Temos: 
( )( )
| ( ) |
r tu t
r t
′
=
′


 
 ( 2sen , 2cos )
2
t t−
= 
 ( sen , cos )t t= − . 
Para ( 2, 2)P , temos que 
4
t π= , e então 2 2, 
4 2 2
u π
   = −       

 é vetor tangente 
unitário à curva em ( 2, 2) . 
Poderíamos também chegar a esse resultado usando a reparametrização, por 
comprimento de arco s. Temos: 
( ) 2cos , 2sen 
2 2
s sh t  =  
 

 e 
( ) ( )u s h s′=
 
 
 sen , cos
2 2
s s = − 
 
. 
No ponto ( 2, 2)P temos 
2
s π= e então, 
2 2, 
2 2 2
u π
   = −       

. 
 
Proposição 
Seja C uma curva suave dada por ( )h s

, onde s é o parâmetro comprimento de arco de C. 
Se ( )u s

 é o vetor tangente unitário de C e ( ) 0u s ≠

, então ( )u s′

é ortogonal a ( )u s

e 
aponta para o lado côncavo de C. 
Prova parcial. Provaremos que ( )u s′

 é ortogonal a ( )u s

e a seguir daremos uma 
visualização geométrica de que ( )u s′

 aponta para o lado côncavo de C. 
Desde que ( )u u s=
 
 é unitário, temos: 
 | | 1u =

 
1u u⋅ =
 
 
 1u u⋅ =
 
. 
Derivando, obtemos 
0u u u u′ ′⋅ + ⋅ =
   
 
2 0u u′ ⋅ =
 
 
0u u′ ⋅ =
 
. 
Logo, u′

 é ortogonal a u

. 
Para verificar ( )u s′

 aponta para o lado côncavo de C, vamos analisar geometricamente a 
expressão 
0
( ) ( )( ) lim
s
u s s u su s
s∆ →
+ ∆ −′ =
∆
 

. 
Temos que para 0s∆ > , o vetor ( ) ( )u u s s u s∆ = + ∆ −
  
 aponta para o côncavo de C. Como 
0s∆ > , o mesmo ocorre com o limite de u
s
∆
∆

 quando 0s +∆ → . 
Para 0s∆ < , o vetor u∆

 aponta para o lado convexo de C, porém, como s∆ é negativo, 
o vetor u
s
∆
∆

 aponta para o lado oposto de u∆

. Desta forma, o limite de u
s
∆
∆

 quando 
0s −∆ → aponta para o lado côncavo de C. 
Concluímos assim, que ( )u s′

 aponta para o lado côncavo de C. 
 
Exemplo 
Seja C a hélice circular dada por ( ) (2cos , 2sen , 5 )r t t t t=

. Representar 
geometricamente o vetor tangente unitário ( )u t

 e o vetor ( )u t′

 no ponto 
52, 2, 
4
P π
 
  
 
. 
Temos, ( )( )
| ( ) |
r tu t
r t
′
=
′



2 2 5sen , cos , 
3 3 3
t t
 
= −  
 
 e 2 2( ) cos , sen , 0
3 3
u t t t ′ = − − 
 

. 
O valor de t correspondente ao ponto P é 
4
t π= . Portanto, nesse ponto, temos 
2 2 5, , 
4 3 3 3
u π
   = −       

 e 2 2, , 0
4 3 3
u π
 − ′ = −       

. 
 
1.10 Curvatura 
 
Seja C uma curva suave dada por ( )h s

, 0 s l≤ ≤ . Definimos a curvatura de C em um 
ponto como ( ) | ( ) |k s u s′=

 ou ( ) | ( ) |k s h s′′=

. 
Observe que a curvatura é a taxa de variação do vetor tangente unitário ( )u s

 em relação 
ao comprimento do arco s. Como este vetor não varia em intensidade, ela exprime a razão 
de variação da direção do vetor ( )u s

. Assim, geometricamente, podemos dizer que a 
curvatura k(s) nos dá a razão de variação da direção da tangente, quando esta se desloca 
sobre a curva. 
Proposição 
Se uma curva suave C é dada por ( )r t

, onde t é um parâmetro qualquer, sua curvatura 
pode ser expressa por: 
3
| ( ) ( ) |( )
| ( ) |
r t r tk t
r t
′ ′′×
=
′
 
 . 
 
Exemplos 
(1) Calcular a curvatura da circunferência ( ) ( cos , sen )C r t a t a t= =

, [0, 2 ]t π∈ . 
Temos: 
( ) cos , sen s sC h t a a
a a
 = =  
 

, onde s é o parâmetro comprimento de arco. Assim.( ) ( )u s h s′=
 
 sen , coss s
a a
 = − 
 
 e 
1 1( ) cos , sens su s
a a a a
− ′ = − 
 

. 
Portanto, a curvatura de C é dada por 
( ) ( )k s u s′=

 
1
a
= . 
 
Círculo de curvatura 
Quando 0k ≠ em um ponto P de uma curva C, podemos encontrar o círculo de curvatura 
de C em P . Este círculo tem as seguintes características: 
 Está contido no plano formado pelos vetores u

 e u′

; 
 Está centrado na semirreta de origem em P, na direção do vetor u′

; 
 tem raio 1R
k
= , onde k é a curvatura de C em P. 
O raio R do círculo de curvatura é chamado raio de curvatura de C, em P. 
Como a curvatura de uma circunferência e raio R é 1
R
 , observamos que a curvatura de 
C coincide com a de seu círculo de curvatura em P. 
Podemos dizer que, nas proximidades de P, o círculo de curvatura é o círculo que melhor 
aproxima a curva. 
 
Exemplos 
(1) Determinar o raio e o círculo de curvatura em um ponto qualquer da circunferência 
( ) ( cos , sen )C r t a t a t= =

, [0, 2 ]t π∈ . 
Já analisamos que a curvatura em um ponto qualquer de C é 1k
a
= , portanto, o raio de 
curvatura é R = a. 
Para determinar o círculo de curvatura em um ponto qualquer P, basta observar que a 
semirreta de origem em P, na direção de u′

 contém a origem, que é o centro da 
circunferência dada. Portanto, como o raio de curvatura é R = a, o centro do círculo de 
curvatura é (0, 0). Dessa forma, o círculo de curvatura coincide com a circunferência 
dada. 
 
 
1.11 Vetor normal principal 
Quando ( ) 0k s ≠ , podemos definir um vetor unitário ( )p s

, chamado vetor normal 
principal, como ( )( )
( )
u sp s
k s
′
=


. 
O vetor normal ( )p s

 é ortogonal ao vetor tangente unitário ( )u s

 e aponta para o lado 
côncavo de C. 
 
Exemplo 
Escrever o vetor normal principal da circunferência centrada na origem e raio 2, no ponto 
( 2, 2)P . 
Temos que ( ) 2cos , 2sen 
2 2
s sh t  =  
 

 e ( ) sen , cos 
2 2
s su s  = − 
 

. 
Assim, 1 1( ) cos , sen 
2 2 2 2
s su s  ′ = − − 
 

; ( ) | ( ) |k s u s′=
 1
2
= . 
Portanto, 
1 1cos , sen 
2 2 2 2( ) 1
2
s s
p s
 − − 
 =

cos , sen 
2 2
s s = − − 
 
. 
No ponto ( 2, 2)P , temos 
2 2, 
2 2 2
p π
 −  = −       

. 
Os vetores u

 e p

 calculados em um ponto P da curva, definem um plano. Este plano 
contém o círculo de curvatura de C em P, e é chamado PLANO OSCULADOR. 
 
1.12 Vetor Binormal 
O vetor binormal, denotado por ( )b s

, é definido como o vetor unitário, normal ao plano 
osculado que é dado por 
( ) ( ) ( )b s u s p s= ×
  
. 
Os três vetores u

, p

 e b

 determinam um sistema de coordenadas que se move sobre a 
curva C. O triedro determinado por estes vetores é chamado triedro de Frenet da curva 
C. 
Exemplos 
(1) Determinar o vetor binormal da circunferência centrada na origem e raio 2, no ponto 
( 2, 2)P .: 
Temos que 
( ) sen , cos
2 2
s su s  = − 
 

 e ( ) cos , sen 
2 2
s sp s  = − − 
 

 
Portanto, 
( ) ( ) ( )b s u s p s= ×
  
 
sen cos 0
2 2
cos sen 0
2 2
i j k
s s
s s
= −
− −
 
2 2sen , cos
2 2
s s k =  
 

 
k=

. 
 
1.13 Torção 
Nas seções anteriores, vimos que os vetores tangente unitário u

 e normal principal p

 
determinam u plano, chamado plano osculador e que o vetor binormal é ortogonal a este 
plano. Se a curva é plana, o plano osculador é o mesmo em todos os pontos da curva e o 
vetor binormal é constante. No caso de uma curva reversa, ao deslocar-se sobre a curva, 
o plano osculador se altera, mudando a direção do vetor binormal. Veremos que, a menos 
de sinal, a torção exprimirá a taxa de variação do vetor binormal. 
 
Proposição 
Se o vetor ( )b s′

 é diferente de zero, então ele é ortogonal ao vetor ( )b s

. 
Proposição 
Se ( )b s′

 é diferente de zero, então ele é ortogonal ao vetor tangente unitário ( )u s

. 
Exemplo 
Encontrar a torção da hélice 0,,0),,,cos()(: >≥= batbttasentatrC  , nos pontos onde 
t π= , 
4
π , 
2
π , considerando a = 2 e 2 3b = . 
Temos: 
( ) cos , sen , 0s sp s
ω ω
 = − − 
 

 e 
( ) sen , cos , b s b s ab s
ω ω ω ω ω
− =  
 

, 
onde 2 2a bω = + . Temos então, 
2 2( ) cos , sen , 0
b s b sb s
ω ω ω ω
 ′ =  
 

, assim, 
2 2( ) cos , sen , 0 cos , , 0
s s b s b sT s sen
ω ω ω ω ω ω
   = − − − ⋅   
   
 
 2 22 2cos sen
b s b s
ω ω ω ω
 = − − − 
 
 
 2
b
ω
= . 
Substituindo os correspondentes valores de a e b, obtemos 
3( )
8
T s = . 
Nos pontos onde t π= , 
4
π , 
2
π a torção é 3
8
. 
Observamos que o resultado encontrado justifica o sinal negativo introduzido, na 
definição de torção. Desta forma, curvas que lembram parafusos com rosca à direita, têm 
torção positiva. 
Também é interessante observar que, neste exemplo, temos 3( ) ( )
8
b s p s′ = −
 
. 
Como o vetor ( )p s

 aponta para o centro da hélice, podemos dizer que o vetor b′

 “pende 
sempre para fora” à medida que se move sobre a hélice. Esta afirmação é confirmada na 
prática quando sentimos a torção ao subir uma escala helicoidal. 
 
1.14 Aplicações: Componentes tangencial e normal da aceleração 
Na Física, discutimos o movimento de uma partícula P em função de sua velocidade 
instantânea ds
dt
, de sua 
2
2
d s
dt
 ao longo da trajetória bem como da curvatura da mesma. 
Para isso, fazemos uma relação entre os vetores velocidade e aceleração e os vetores 
unitários u

 e p

. 
Seja ( ) ( ) ( ) ( )r s x t i y t j z t k= + +
   
¨a função que descreve o movimento de uma partícula P. 
Temos que drv
dt
=


. Usando a regra da cadeia, podemos reescrever : 
dr dsv
ds dt
=


 ou ( ) dsv u s
dt
=
 
 
Portanto a velocidade escalar v é dada por 
| | ( ) ds dsv v u s
dt dt
= = =
  
 desde que 0ds
dt
≥ . 
Derivando em relação à t, obtemos a aceleração: 
2
2
( )( )dv d s du s dsa u s
dt dt dt dt
= = +
 
 
 
 
2
2( )
d s du ds dsu s
dt ds dt dt
= +


. 
Como, ( ) ( )du k s p s
ds
=


, temos: 
22
2 ( ) ( ) ( )
d s dsa u s k s p s
dt dt
 = +  
 
 
. 
Essa expressão é muito utilizada na Mecânica. Os vetores u

 e p

 são utilizados como 
vetores unitários de referência, tais como i

 e j

. As componentes de a

 são chamadas de 
tangencial e normal, respectivamente. Dessa forma, a aceleração pode ser expressa em 
função de suas componente tangencial e normal respectivamente como: 
2
2t
d s dva
dt dt
= =
 
e 
2
2( ) ( )n
dsa k s k s v
dt
 = = 
 
. 
 
Exemplo 
Uma partícula se move ao longo da curva C dada por ( ) cos sen t tr t e ti e t j= +
  
. 
Determinar os vetores velocidade e aceleração; a velocidade escalar e as correspondentes 
tangencial e normal da aceleração. 
Temos, 
Vetor velocidade e vetor aceleração: 
( sen cos , cos sen )t t t td rv e t e t e t e t
dt
= = − + +


 e 
( cos sen , - sen cos ,t t t tdva e t e t e t e t
dt
= = − + +


sen cos , cos sen )t t t te t e t e t e t− + + 
 ( 2 sen , 2 cos )t te t e t= − . 
Temos a velocidade escalar: 
2 2| | ( sen , cos ) ( cos , sen )t t t tdsv v e t e t e t e t
dt
= = = − + −

 
22 te= 
2te= . 
A componente tangencial é 
( )
2
2 2
t
t
d s da e
dt dt
= = 
2 te= . 
A componente normal pode ser calculada como segue: 
Podemos escrever, 
1 na a u a p= +
  
¨ e 2 2| | t na a a= +

 ou ou 2 2 2| | t na a a= +

. 
Logo, 
2 2| |n ta a a= −

 
 2 2| ( 2 sen , 2 cos ) | ( 2 )t t te t e t e= − − 
 2 2 2 2 24 sen 4 cos 2t t te t e t e= + − 
 2 te= . 
 
Fórmulas de Frenet – Teorema Fundamental das curvas 
Na Geometria Diferencial, os conceitos de curvatura e torção são muito importantes para 
um estudo mais aprofundado das curvas. 
As Fórmulas de Frenet permitem caracterizar diversos tipos de curvaspelas propriedade 
de sua curvatura e torção. Por exemplo, quando a curvatura é nula, temos uma reta, e 
quando a torção é nula, temos curva plana. 
O Teorema Fundamental das curas mostra que, quando 0k ≠ , a curvatura e a torção 
descrevem geometricamente a curva, exceto por sua posição no espaço. 
A seguir apresentaremos as Fórmulas de Frenet e enunciamos o Teorema Fundamental 
das Curvas. 
Fórmulas de Frenet: 
u k p′ =
 
 
p ku Tb′ = − +
  
 
b T p′ = −
 
 
Teorema Fundamental das curvas. Toda curva suave C, com curvatura k > 0, e 
completamente determinada, a menos de posição, por sua curvatura e torção. 
 
1.15 Atividades de autoavaliação 
1. Usando um software livre esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 
P(x,y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da 
curva em cada um dos itens: 
a) x = 2 cos t e y = 2 sen t, 0 2t π≤ ≤ 
b) x = t + 1 ; 2 4y t= + e z = 2, t−∞ < < +∞ . 
 
2. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas: 
a) 1( ) , 3 5
2
r t t t = + 
 

 
b) ( )2( ) 1, 2 2r t t t t= − − +

 
 
3. Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma 
equação vetorial para cada uma. 
a) 2 2 2 5 3 0x y x y+ − + − = 
b) 2 2 6 8 0x y x y+ − + = 
 
4. Parametrizar as seguintes curvas. Fazer o gráfico usando um software livre. 
a) 2 22 2 5 2 3 0x y x y+ + + − = 
b) 2 8 4 0x y− + = 
c) 1 0
1
y
x
− =
−
, x > 1 
 
5. Verificar que a curva 
( ) 3cosh senh r t ti t j= +
  
 é a metade de uma hipérbole. Encontrar a equação cartesiana. 
 
6. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto A, na direção 
do vetor b

, onde 
a) 11, , 2
2
A  
 
 e 2b i j= −
  
 
b) A(0, 2) e 5b i j= −
  
 
 
7. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos A e B, onde: 
a) A(2, 0, 1) e B(–3, 4, 0) 
b) 12, 1, 
3
A  
 
 e B(–7, 2, 9) 
 
8. Determinar uma representação paramétrica da reta representada por: 
a) 5 1y x= − , z = 2 
b) 2 5 4 1x y z− + = , 3 2 5 1x y z− − = 
 
9. Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas: 
a) 2 2 4x y+ = , z = 4 
b) 22y x= , 3z x= 
c) 2 22( 1) 10x y+ + = , z = 2 
d) 1/ 2y x= , z = 2 
e) yx e= , xz e= 
f) Segmento de reta de A(2, 1, 2) a B(–1, 1, 3) 
g) Circunferência de centro em (2, 2) e raio 2 no sentido anti-horário 
h) Segmento de reta de A(1, –2, 3) a B(–1, 0, –1) 
i) 3 27 3 2y x x x= − + − , 0 3x≤ ≤ 
j) 2 2 2 2x y z y+ + = , z = y 
 
10. Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma 
parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário. 
a) ( ) (2 3 cos ,1 4 sen )r t t t= + +

, [0, 2 ]t π∈ 
b) ( ) ( , 2, 2 1)r t t t t= + +

, [0, 1]t∈ 
 
11. Determinar uma equação da reta tangente à curva dada, nos pontos indicados. 
( ) (cos , 2 sen )r t t t=

; 1
2 , 2
2
P
 
  
 
 
 
12. Determinar a equação de uma reta s que é tangente à curva 
1( ) , 
1
r t t
t
 =  − 

, t < 1 que passa na origem. 
 
13. Verificar que a curva ( ) cos sen r t t ti t t j tk= + +
   
, 0t ≥ está sobre um cone. 
 
14. Verificar quais das seguintes curvas são suaves: 
a) 3 2( )r t t i t j= +
  
, [ 1, 1]t∈ − 
b) 3 2( )r t t i t j= +
  
, 1 , 1
2
t  ∈   
 
c) ( ) (2cos , 3 sen )r t t t=

, [0, 2 ]t π∈ . 
 
15. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: 
a) ( ) ( cos , sen , )t t tr t e t e t e=

, 0 1t≤ ≤ 
b) 3 2( ) (2 cos , 2 , 6 )r t t t t t=

, 0 3t≤ ≤ 
c) ( ) sen (1 cos )r t ti t j t k= + + +
   
, 0 2t π≤ ≤ 
 
16. Escreva a função comprimento de arco de: 
a) ( ) sen , cos , 2
2 2
t tr t t =  
 

 
b) ( ) (cos 2 , sen 2 , 4)r t t t=

 
c) ( )2( ) , r t t t=

 
d) 3 3 3( ) cos , sen , cos 2
4
r t t t t =  
 

 
e) ( ) (cos 2 , sen2 )r t t t=

, [0, ]t π∈ 
f) hipocicloide 3 3( ) ( cos , sen )r t a t a t=

, 0, 
2
t π ∈   
. 
 
17. Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: 
a) ( )( ) 2 cos , 2 sen r t t t= , [0, 2 ]t π∈ 
b) ( ) (3 1, 2)r t t t= − +

 
c) ( ) (cos 2 , sen2 , 2 )r t t t t=

 
d) 3 22( ) 2 , 8 , 
3
r t t t t =  
 

, [0, 3]t∈ 
e) ( ) ( cos , sen , )t t tr t e t e t e=

 
f) ( ) (cos 2 , sen 2 )r t t t=

 
g) hipocicloide 3 3( ) ( cos , sen )r t a t a t=

, 0, 
2
t π ∈   
 
 
18. Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: 
a) ( ) (sen , cos )r t t t=

, 0t ≥ 
b) 6( ) , 
77
sr s s
 
=   
 

, 0s ≥ 
c) ( ) (2 1, 2, )r t t t t= − +

, 0t ≥ 
d) ( ) cos , sen , s s sq s a a b
c c c
 =  
 

, onde 2 2 2c a b= + 
 
19. Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados: 
a) ( ) ( cos 2 , sen 2 )r t t t t t=

, [0, )t∈ ∞ ; 
2
t π= 
b) ( ) (2cos , 3 sen )r t t t=

, [0, 2 ]t π∈ ; 
4
t π= 
c) t( ) ( cos , e sen , 2)tr t e t t=

; 0 (1, 0, 2)P 
 
20. Calcular a curvatura de raio 2 centrada na origem. 
 
21. Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados. 
a) 1( ) , 
1
r t t
t
 =  + 

, t > 0; 0
11, 
2
P   
 
 
b) ( ) ( 2, 3, 2 4)r t t t t= + + −

, t−∞ < < ∞ ; 0 (3, 4, 2)P − 
 
22. Determinar o círculo de curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados 
representando-os geometricamente: 
a) ( ) (2cos , 2 sen , 2cos )r t t t t=

, 0 2t π≤ ≤ ; 0 (2, 0, 2)P 
b) hélice ( ) (3cos , 3 sen , 3 )r t t t t=

; 
3
t π= 
 
23. Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: 
lny x= , x > 0 
 
24. Mostrar que a curvatura de uma reta é nula. 
 
25. Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado: 
a) ( ) ( 2 cos , 2 sen , 4)r t t t=

; 0 (1, 1, 4)P 
b) ( ) 4cos , sen 
4 4
s sr s  =  
 

, [0, 8 ]s π∈ ; 0 (2 2, 2 2)P 
 
26. Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados: 
a) ( ) 4cos , 4 sen 
4 4
s sr s  =  
 

, [0, 8 ]s π∈ ; 0 (4, 0)P ; 
b) ( ) (3cos , 3 sen )r t t t=

, 0 (3, 0)P 
c) ( ) (2cos , 2 sen , )r t t t t=

 em 
2
t π= 
 
27. Determinar a torção em um ponto qualquer da curva: 
a) 1 2cosx t= + , y= -2t, sentz 22+= 
b) ( ) ( 2 cos , 2sen , 4 )r t t t t=

 
 
28. Uma partícula move-se no plano de modo que, no instante t, sua posição é dada por 
( ) 2cos , 2 sen 
2 2
t tr t  =  
 

. 
a) Calcular o vetor ( )( )
| ( ) |
v tu t
v t
=


 onde ( )v t

 é o vetor velocidade da partícula no instante 
t. 
b) Mostrar que ( )u t

 e du
dt

 são ortogonais. 
c) Calcular o raio da curvatura ρ da trajetória. 
d) Mostrar que 
2dv va u n
dt ρ
= ⋅ + ⋅
  
 onde 
du
dtn
du
dt
=



, v é a velocidade escalar e a

 é a 
aceleração da partícula. 
 
	Curvas e Superfícies
	Seção 1
	Curvas
	1.1 Representação Paramétrica
	1.2 Exemplos
	1.3 Definição
	1.4 Representação Paramétrica de Algumas Curvas
	1.4.1 Parametrização de uma reta
	1.4.2 Parametrização de uma circunferência
	1.4.3 Parametrização de uma elipse
	1.4.4 Parametrização de uma hélice circular
	1.4.5 Parametrização de uma cicloide
	1.4.6 Parametrização de uma hipocicloide
	1.4.7 Parametrização de outras curvas
	1.5 Curvas Suaves
	1.6 Orientação de uma curva
	1.7 Reta Tangente
	1.8 Comprimento de Arco
	1.8.1 Função comprimento de arco
	1.8.2 Reparametrização de curvas por comprimento de arco
	1.9 Vetor tangente unitário
	1.10 Curvatura
	1.11 Vetor normal principal
	1.12 Vetor Binormal
	1.13 Torção
	1.14 Aplicações: Componentes tangencial e normal da aceleração
	1.15 Atividades de autoavaliação