Lista 01 Calculo II

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MA211 - Lista 01
Curvas Diferenciáveis
3 de agosto de 2015
1. ⋆ Calcule os limites.
a) lim
t→0
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
t+ 1
)
b) lim
t→∞
(
arctg t, e−2t,
ln t
t
)
2. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a
direção na qual o parâmetro cresce.
a) r(t) = (t, cos 2t, sen 2t)
b) r(t) = (1 + t, 3t,−t)
3. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t
está no cone z2 = x2 + y2 e use esse fato para esboçar a curva.
4. Mostre que a curva com equações paramétricas x = sen t, y = cos t,
z = sen2 t é a curva de intersecção das superf́ıcies z = x2 e x2 + y2 = 1.
Use esse fato para esboçar a curva.
5. Trace a curva com equações paramétricas
x =
√
1− 0, 25 cos2 10t cos t
y =
√
1− 0, 25 cos2 10t sen t
z = 0, 5 cos 10t.
Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em uma esfera.
6. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t2, y = 1− 3t, z = 1+ t3
passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas não passa pelo ponto (4, 7,−6).
7. � Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção
do cone z =
√
x2 + y2 com o plano z = 1 + y.
8. Determine o domı́nio da curva de equação vetorial
r(t) =
(√
t− 2
t+ 1
, ln (5− t2), e−t
)
.
9. Mostre que a função vetorial
r(t) = (2i+ 2j+ k) + (cos t)
(
1√
2
i− 1√
2
j
)
+ (sen t)
(
1√
3
i+
1√
3
j+
1√
3
k
)
descreve o movimento de uma part́ıcula no ćırculo de raio 1 centrado no
ponto (2, 2, 1) e contido no plano x+ y − 2z = 2.
1
10. Uma part́ıcula se move no plano xy de tal maneira que sua posição no instante
t é
r(t) = (t− sen t)i+ (1− cos t)j.
Trace o gráfico de r(t). A curva resultante é chamada de ciclóide.
11. a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial
r(t) = (t2, t), 0 ≤ t ≤ 2, e desenhe os vetores r(1), r(1, 1) e r(1, 1)−r(1).
b) Desenhe o vetor r(1) começando em (1, 1) e compare com o vetor
r(1, 1)− r(1)
0, 1
.
12. Nos itens abaixo: (i) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial
dada; (ii) Determine r′(t); (iii) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente
r′(t) para o valor dado de t.
a) r(t) = (t− 2, t2 + 1) e t = −1.
b) r(t) = sen(t)i+ 2 cos(t)j e t = π/4.
c) � r(t) = (1 + cos t)i+ (2 + sen t)j e t = π/6.
13. ⋆ Determine a derivada da função vetorial.
a) r(t) = (tg t, sec t, 1/t2)
b) r(t) = sen−1(t)i+
√
1− t2j+ k
14. ⋆ Determine o vetor tangente unitárioT(t) no ponto com valor de parâmetro
t dado, sendo r(t) = cos(t)i+ 3tj+ 2 sen(2t)k e t = 0.
15. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas
equações paramétricas x = e−t cos t, y = e−t sen t, z = e−t no ponto (1, 0, 1).
16. As curvas r1(t) = (t, t
2, t3) e r2(t) = (sen t, sen 2t, t) se interceptam na ori-
gem. Determine o ângulo de intersecção destas com precisão de um grau.
17. Calcule a integral
∫ π/2
0
(3 sen2(t) cos(t)i+3 sen(t) cos2(t)j+2 sen(t) cos(t)k)dt.
18. �Encontre r(t) se r′(t) = 2t i+ 3t2 j+
√
t k e r(1) = i+ j.
19. Se u(t) = (sen t, cos t, t) e v(t) = (t, t cos t, sen t), use a Fórmula 5 do Teorema
3 da Seção 13.2 do Stewart para encontrar
d
dt
[u(t) · v(t)].
2
20. ⋆ Se r(t) ̸= 0, mostre que
d
dt
|r(t)| = 1
|r(t)|
r(t) · r′(t).
(Sugestão: |r(t)|2 = r(t) · r(t)).
21. Calcule
dr
dt
e
d2r
dt2
.
a) r(t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1))
b) r(t) =
3
√
t2i+ cos(t2)j+ 3tk
c) r(t) = sen(5t)i+ cos(4t)j− e−2tk
22. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto
dado.
a) r(t) = (cos t, sen t, t) e r(π/3).
b) r(t) = (t2, t) e r(1).
c) � r(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
e r(2).
23. Determine r(t) sabendo que
a) r′(t) = ti+ 2k e r(0) = i+ j.
b) r′(t) = sen(t)i+ cos(2t)j+
1
t+ 1
k, t ≥ 0 e r(0) = i− j+ 2k.
c) r′(t) =
1
1 + 4t2
i+ e−tj+ k e r(0) = k.
24. Calcule.
a) ⋆
∫ 1
0
(ti+ etj)dt
b)
∫ 1
−1
(
sen(3t)i+
1
1 + t2
j+ k
)
dt
c)
∫ 2
1
(3i+ 2j+ k)dt
25. Sejam u(t) = ti+ j+ etk e v(t) = i+ j+ k. Calcule
a)
∫ 1
0
(u(t)× v(t))dt
b)
∫ 1
0
(u(t) · v(t))dt
3
26. Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma part́ıcula
entre os instantes t1 e t2. Supondo F integrável em [t1, t2], o vetor
I =
∫ t2
t1
F(t)dt
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso
de F no intervalo de tempo dado.
a) F(t) = ti+ j+ t2k, t1 = 0 e t2 = 2.
b) F(t) =
1
t+ 1
i+ t2j+ k, t1 = 0 e t2 = 1.
Referências
[1] J. Stewart. Cálculo, Volume 2, 6a edição, São Paulo, Pioneira/ Thomson Le-
arning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5a Edição, 2002, Rio de
Janeiro.
[3] G. B. Thomas. Cálculo, Volume 2, 10a edição, São Paulo, Addison-
Wesley/Pearson,2002.
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