53069542-Monografia-Joao

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2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MONOGRAFIA 
EM 
ÁLGEBRA 
 
GRUPOS 
 
 
 
 
 
 
Três Lagoas 
2010
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL 
Departamento de Ciências Exatas 
Campus de Três Lagoas 
2 
2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 Este trabalho monográfico foi feito para alunos universitários que busquem 
enriquecer o seu conhecimento em Álgebra, especialmente em grupos. 
 Este trabalho foi dividido em quatro capítulos: Grupos e Subgrupos, 
Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos, Grupos Cíclicos e Classes Laterais e 
Teorema de Lagrange. 
 O trabalho foi realizado em sua maior parte com base na obra Álgebra Moderna 
de Hygino H. Domingues e Gelson Iezzi, fonte excelente para se estudar. 
 Este trabalho é dedicado ao professor orientador Dr. Antonio Carlos Tamarozzi 
o qual me motivou a fazer este trabalho. 
 Enfim, ficam meus agradecimentos a Deus e a todos que ajudaram diretamente e 
indiretamente para a realização dessa monografia. 
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2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 - GRUPOS E SUBGRUPOS ............................................................................................. 4
1.1 - Conceito de Grupo .................................................................................................... 4
1.2 - Propriedades imediatas de um grupo ...................................................................... 5
1.3 - Grupos Finitos .......................................................................................................... 5
1.4 - Alguns Grupos Importantes ..................................................................................... 6
1.4.1 - Grupo Aditivo dos Inteiros (comutativo) ........................................................ 6
1.4.2 - Grupo Aditivo dos Complexos (comutativo) .................................................. 6
1.4.3 - Grupo Multiplicativo dos Racionais (comutativo) .......................................... 7
1.4.4 - Grupo Aditivo de Matrizes m x n (comutativo) .............................................. 7
1.4.5 - Grupos Lineares de Grau n (multiplicativo, Não Comutativo se ≥n 1 ) ....... 9
1.4.6 - Grupos Aditivos de Classes Restos (Comutativo) ........................................ 10
1.5 - Subgrupos ............................................................................................................... 12
2 - HOMOMORFISMOS E ISOMOSFISMOS ................................................................ 15
2.1 - Homomorfismo de Grupos .................................................................................... 15
2.2 - Proposições Sobre Homomorfismo de Grupos .................................................... 16
2.3 - Núcleo de um Homomorfismo .............................................................................. 17
2.4 - Isomorfismos de Grupos ........................................................................................ 19
3 - GRUPOS CÍCLICOS .................................................................................................... 22
3.1 - Potências e Múltiplos ............................................................................................. 22
3.2 - Grupos Cíclicos ...................................................................................................... 23
3.3 - Classificação dos Grupos Cíclicos ........................................................................ 24
4 - CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE .......................................... 26
4.1 - Classes Laterais ...................................................................................................... 26
4.2 - O Teorema de Lagrange ......................................................................................... 28
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 30
 
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1 - GRUPOS E SUBGRUPOS 
 
1.1 - Conceito de Grupo 
 
Definição 1: Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio G e uma 
operação ( ) yxyx ∗, sobre G é chamado grupo se essa operação se sujeita aos 
seguintes axiomas: 
 
Associatividade 
( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗ , quaisquer que sejam Gcba ∈,, ; 
 
Existência de Elemento Neutro 
Existe um elemento Ge∈ tal que aaeea =∗=∗ , qualquer que seja Ga∈ ; 
 
Existência de Simétricos 
Para todo Ga∈ existe um elemento Ga∈' tal que eaaaa =∗=∗ '' . 
 
Se além disso, ainda se cumprir o axioma da 
 
Comutatividade 
abba ∗=∗ , quaisquer que sejam Gba ∈, 
O grupo recebe o nome de grupo comutativo ou abeliano. 
Mantidas as notações da definição, um grupo poderá ser indicado apenas por ( )∗,G , em 
que, para facilitar, o símbolo ∗ indica a operação sobre G . E, quando não houver 
possibilidade de confusão, até esse símbolo poderá ser omitido. Assim, será comum 
usarmos expressões como, por exemplo, “Seja G um grupo” ou “Consideremos um 
grupo G ” o que naturalmente pressupõe a operação subentendida. Outra maneira ainda 
de nos referirmos a um grupo ( )∗,G é dizer que “ G tem uma estrutura de grupo em 
relação à operação ∗ ”. 
 
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1.2 - Propriedades imediatas de um grupo 
 
Seja ( )∗,G um grupo; valem as seguintes propriedades 
• A unicidade do elemento neutro de ( )∗,G ; 
• A unicidade do simétrico de cada elemento de G ; 
• ( ) aa ='' , qualquer que seja Ga∈ ; 
• ( ) ''' abba ∗=∗ e, portanto (raciocinando por indução), que 
( ) 1121 ' aaaaaa nnn ′∗∗′∗′=∗∗∗ −  , ( )1≥∀ n ; 
• Todo elemento de G é regular para a operação ∗ , ou seja: Se yaxa ∗=∗ (ou 
ayax ∗=∗ ) onde Gyx ∈, , então yx = . 
No grupo G , a equação ( )baxbxa =∗=∗ tem conjunto solução unitário. 
bax ∗′= 
( ) ( ) bbebaabaa =∗=∗′∗=∗′∗ 
Portanto, bax ∗′= . 
 
1.3 - Grupos Finitos 
 
Um grupo ( )∗,G em que o conjunto G é finito chama-se grupo finito. Nesse caso, o 
número de elementos de G é chamado ordem do grupo (notação ( )Go ) e a tábua da 
operação ∗ se denomina tábua do grupo. Diga-se de passagem, o primeiro matemático a 
usar tábuas para representar grupos foi o inglês Arthur Cayley (1821-1899). Cayley, que 
valorizava sobre modo os aspectos formais da matemática, foi provavelmente o 
precursor do estudo abstrato da teoria dos grupos. Outra realização importante desse 
matemático foi a introdução das matrizes na matemática. 
 
Exemplo: É fácil verificar que { }1,1−=G é um grupo multiplicativo. Sua ordem 
obviamente é 2 e sua tábua: 
• 1 -1 
1 1 -1 
-1 -1 1 
 
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1.4 - Alguns Grupos Importantes 
 1.4.1 - Grupo Aditivo dos Inteiros (comutativo) 
 
É o sistema formado pelo conjunto dos inteiros e a adição usual sobre esse conjunto. 
A adição usual é uma operação sobre Z , associativa e comutativa. Mas, há um elemento 
neutro para ela (o número 0), e o oposto a− de um elemento a ∈Z também pertence a 
esse conjunto. 
 1.4.2 - Grupo Aditivo dos Complexos (comutativo) 
 
A soma de dois números complexos biaz += e dicw += é definida por 
( ) ( )
( ) ( )
zw
biadic
ibdac
idbcawz
+=
+++=
+++=
+++=+
 
Logo, é comutativa. Vamos verificar se ( )+,C é grupo abeliano. 
Seja fiep += , vamos verificar se ocorre a associatividade. 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )pwz
ifdecbia
ifebieca
ifdbeca
fieidbcapwz
++=
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=++
 
Logo, é associativa. 
Podemos afirmar que existe o elemento neutro que é i000 += . Por fim, para todo 
complexo biaz += , o número complexo ( ) ( ) biaibaz −−=−+−=− é seu oposto, o 
que pode ser verificado diretamente sem nenhuma dificuldade. 
 
Veja: 
( ) 000 =+=−−+=−+ ibiabiazz 
Onde 0 zero é o elemento neutro da operação +. 
 
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1.4.3 - Grupo Multiplicativo dos Racionais (comutativo) 
 
Sistema formado pelo conjunto dos racionais não nulos sobre esse conjunto. 
O conjunto Q* é fechado em relação à multiplicação, ou seja, o produto de dois números 
racionais não nulos também é diferente de zero.A multiplicação usual é associativa em Q*
q
pa =
. 
Sejam , 
s
rb = e 
u
tc = 
( ) ( )cba
u
t
s
r
q
p
u
t
s
r
q
pcba ∗∗=




 ⋅⋅=⋅





⋅=∗∗ 
O número 1 é elemento neutro da multiplicação, obviamente é diferente de zero. 
Vejamos: 
a
q
p
q
paea ==⋅=∗=∗ 11 
aeaea ∗==∗∴ 
 
Se 0≠a , então ∗∈∀ Qa existe ∗− ∈ Q1a que é o inverso de a . 
Logo, aaeaa ∗==∗ −− 11 
Na prática, considerando 
q
pa = temos 
p
qa =−1 . Assim: 
e
p
q
q
paa ==⋅=∗ − 11 
Vimos, então que ( )⋅∗ ,Q é um grupo. 
 
Contra-exemplo: O sistema formado pelo conjunto ∗Z e a multiplicação de números 
inteiros não é um grupo, embora o produto de dois inteiros não nulos seja sempre um 
inteiro não nulo. Ocorre que nenhum inteiro a, salvo 1 e -1, tem inverso em ∗Z . 
 1.4.4 - Grupo Aditivo de Matrizes m x n (comutativo) 
 
Nas considerações a serem feitas aqui indicaremos por K , indistintamente, um dos 
seguintes conjuntos, Z, Q, R ou C e por ( )mxnM K o conjunto das matrizes sobre K com 
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m linhas e n colunas. Isso posto mostraremos que ( )mxnM K é um grupo aditivo. Para 
isso, lembremos primeiro que a adição de matrizes em ( )mxnM K é definida da seguinte 
maneira: 
 
Se 










=
mnm
n
aa
aa
A



1
111
 e 










=
mnm
n
bb
bb
B



1
111
 então 










++
++
=+
mnmnmm
nn
baba
baba
BA



11
111111
 e, portanto, trata-se de uma operação sobre o 
conjunto ( )mxnM K . 
 
Essa adição cumpre os axiomas exigidos pela definição 1, o que é fácil de provar: 
Associatividade: ( ) ( ) CBACBA ++=++ 
Comutatividade: ABBA +=+ 
Existência de Elemento Neutro: é a matriz 
0 0
0
0 0
mxn
 
 =  
 
 

  

 
Existência de Opostos: qualquer que seja a matriz 
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
 
 =  
 
 

  

 
Tomando-se 
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
 
 − =  
 
 

  

 
Que obviamente também é uma matriz de ( )mxnM K , temos: 
11 11 1 1
1 1
( ) 0
n n
mxn
m m mn mn
a a a a
A A
a a a a
− − 
 + − = = 
 − − 

  

 
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Portanto ( ( ), )mxnM K + é um grupo aditivo abeliano quando K ou= Z, Q, R C . 
 1.4.5 - Grupos Lineares de Grau n (multiplicativo, Não Comutativo se ≥n 1) 
 
Indicaremos agora por K , indistintamente, um dos conjuntos ouQ, R C e por ( )nM K 
o conjunto das matrizes de ordem n sobre k . Tratando-se de um caso particular do 
exemplo anterior, ( )nM K é um grupo aditivo. No que se refere a multiplicação de 
matrizes, porém, a situação é diferente. Lembremos que a multiplicação de matrizes 
(linhas por colunas) é definida da seguinte maneira: 
 
Se ( )ijA a= e ( )ijB b= , então: 
( )ijA B c⋅ = , em que 
1
( , 1, 2, , )
n
ij ik kj
k
c a b i j n
=
= ⋅ =∑  
Para essa operação vale a associatividade, como é bem conhecido. Mas, ela conta com 
um elemento neutro que é a matriz idêntica de ordem n: 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
nI
 
 
 =
 
 
 


   

 
Mas sempre há matrizes para as quais não há a matriz inversa: por exemplo, a matriz 
nula. 
0 0
0
0 0
n
 
 =  
 
 

  

 
Cujo produto por uma matriz qualquer é ela mesma, portanto diferente de nI . 
Para saber quais matrizes de ordem n têm inversa, recorremos ao seguinte teorema da 
teoria dos determinantes: “Uma matriz ( )nA M K∈ é inversível se, e somente se, 
det( ) 0A ≠ ”. 
Como o conjunto das matrizes inversíveis, que indicaremos por ( )nGL K , inclui a matriz 
identidade nI , cujo determinante é igual a 1 e 
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det( ) det( ) det( ) 0, , ( )nA B A B A B GL K⋅ = ⋅ ≠ ∀ ∈ então ( ( ), )nGL K ⋅ é um grupo. Esse 
grupo não é comutativo quando 1n ≥ , pois, por exemplo, se 
1
1 1
n
A B
 
 ⋅ =  
 
 

  

 e 
1 1
1
B A
n
 
 ⋅ =  
 
 

  

 
O grupo ( ( ), )nGL K ⋅ é chamado, respectivamente, grupo linear racional, real ou 
complexo, de grau n , conforme K ou= Q, R C . 
 1.4.6 - Grupos Aditivos de Classes Restos (Comutativo) 
 
Para qualquer inteiro 1m > , o conjunto das classes de resto módulo m , ou seja, 
______
{0, 1, 2, , 1}m m= −Z é o conjunto quociente de Z pela relação de congruência módulo 
m . 
Vamos mostrar que ( , )m +Z é grupo comutativo vale a associatividade, pois, temos: 
( ) ( )a b c a b c+ + = + + 
Enquanto a Comutatividade, temos: 
a b b a+ = + 
Existência do Elemento Neutro que é o 0m = . Logo, 
0 0a a a+ = + = 
Portanto, 0 é o elemento neutro dessa operação. 
A classe 
_______
m a− é o oposto de ma ∈Z na adição módulo m , pois 
( ) 0a m a a m a m+ − = + − = = 
Uma vez que 0(mod )m m≡ . Então a m a− = − . 
Vale notar que a ordem desse grupo é m . 
 
Exemplo 1: Construir a tábua do grupo 4( , )+Z . 
+ 0 1 2 3 
0 0 1 2 3 
1 1 2 3 0 
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2 2 3 0 1 
3 3 0 1 2 
 
Observação:
4( , )+Z
 
 é comutativo, pois a tábua de operação é simétrica. 
4( , )+Z existe elemento neutro, pois a linha e a coluna de 0 são fundamentais. 
4( , )+Z todos elementos tem elementos simétricos, pois onde aparece o elemento neutro 
0 , temos que ij jia a= . 
Portanto , 4( , )+Z é grupo abeliano. 
 
Exemplo 2: +Z ; multiplicação. 
Não é grupo. Não existe elementos inversos de 1 1 1, /x x x x e x x− − −+∀ ∈ ⋅ = = ⋅Z o 
elemento neutro, 1e = . Só existirá inversos para 1 e -1. Para 2 o inverso é 1
2
, mas 
1
2 +
∉Z 
 
Exemplo 3: { / é par}A x x= ∈Z ; adição. 
( , )A + é grupo, pois ocorre a associatividade para os números pares inteiros. 
Existe o elemento neutro 0 que é par, pois seja a A∈ , temos: 
0 0a a a+ = + = 
Seja, 2 ,a x x= ∈Z 
Temos o oposto de a , de forma geral, é oposto de todos os elementos de A , que é a− , 
pois x∈Z . Logo, 
( ) 2 2 0a a x x+ − = − = 
 
Exemplo 4: Mostre que R dotado da operação ∗ tal que 3 33x y x y∗ = + é um grupo 
abeliano. 
Dem: ( , )∗R Vamos mostrar primeiro que é um grupo. 
Enquanto, a associatividade, temos: 
3 3 3 3 3 33 3( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + + = + + = ∗ ∗ 
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Existe elemento neutro e , de tal forma que 
x e e x x∗ = ∗ = 
0e = . Logo, 
3 3 3 3 30 0x x x x∗ = + = = 
Todos os números reais têm opostos para essa operação. Vejamos: 
3 3 3 3 3 33( ) ( ) 0 0x x x x x x∗ − = + − = − = = 
Logo, ( )x x e∗ − = 
Portanto, ( , )∗R é um grupo. 
Vamos mostrar agora que esse grupo é abeliano. 
Logo, comutatividade 
3 3 3 33 3x y x y y x y x∗ = + = + = ∗ 
Portanto, ( , )∗R é um grupo abeliano. 
 
Exemplo 5: Construa a tábua da operação ∗ sobre { , , }G e a b= , sabendo que ( , )G ∗ é 
um grupo. 
∗ e a b 
e e a b 
a a b e 
b b e a 
Esse grupo também é abeliano. 
 
1.5 - Subgrupos 
 
Definição 2: Seja ( , )G ∗ um grupo. Diz-se que um subgrupo não vazio H G⊂ é um 
subgrupo de G se: 
• H é fechado para a operação ∗ (isto é, se ,a b H∈ então ( )a b H∗ ∈ ); 
• ( , )H ∗ também é um grupo (aqui o símbolo ∗ indica a restrição da operação de 
G aos elementos de H ). 
Se e indica o elemento neutro de G , então obviamente { }e é um subgrupo de G . É 
imediato também, que o próprio G é um subgrupo de si mesmo. 
Esses dois subgrupos, ou seja, { }e e G , são chamados subgrupos triviais de G . 
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Proposição: Seja ( , )G ∗ um grupo. Para que uma parte não vazia H G⊂ seja um 
subgrupo de G , é necessário e suficiente que ( )a b∗ seja um elemento de H sempre 
que a e b pertencerem a esse conjunto. 
 
Demonstração: 
( )⇒ Indiquemos por e e he , respectivamente, os elementos neutros de G e H . 
Como 
h h h he e e e e∗ = = ∗ 
Todo elemento do grupo é regular em relação à ∗ , então he e= . 
Tomaremos agora um elemento b H∈ e indicaremos por b′ e hb′ seus simétricos em G 
e H , respectivamente. 
Como, porém, 
h hb b e e b b′ ′∗ = = = ∗ 
Então hb b′ ′= (novamente pelo fato de todos os elementos do grupo serem regulares 
para sua operação). Por fim, se ,a b H∈, então ha b H′∗ ∈ , uma vez que, por hipótese, 
( , )H ∗ é um grupo. 
Mas, hb b′ ′= e, portanto, a b H′∗ ∈ . 
 
( )⇐ Como, por hipótese, H não é vazio, podemos considerar um elemento 0x H∈ . 
Juntando esse fato à hipótese: 0 0x x e H′∗ = ∈ . 
Considerando agora um elemento b H∈ , da hipótese e da conclusão anterior segue que: 
e b b H′ ′∗ = ∈ 
Mostraremos agora que H é fechado para a operação ∗ . De fato, se, ,a b H∈ , então, 
levando em conta a conclusão anterior, ,a b H′∈ . De onde (novamente usando a 
hipótese): 
( )a b a b H′ ′∗ = ∗ ∈ 
Falta mostrar a associatividade em H , mas isso é trivial, pois se , ,a b c H∈ , então 
, ,a b c G∈ e, portanto, ( ) ( )a b c a b c∗ ∗ = ∗ ∗ (já que essa propriedade vale em G ). 
 
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Exemplo 1: Como Z é subgrupo de R , em relação a operação de adição, temos que 
(Z,+) é subgrupo de (R,+) . A operação é fechada em Z e em R . 
 
Exemplo 2: O conjunto ∗Q onde a operação de multiplicação que forma o grupo 
, )∗ ⋅(Q é subgrupo de ∗ ⋅(R , ) . 
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2 - HOMOMORFISMOS E ISOMOSFISMOS 
 
2.1 - Homomorfismo de Grupos 
 
Definição 1: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo G ∗( , ) num grupo ,J ⋅(J ) a 
toda aplicação :f G J→ tal que, quaisquer que sejam ,x y G∈ . 
( ) ( ) ( )f x y f x f y∗ = ⋅ 
 
Nessas condições, para simplificar a linguagem, nos referiremos a :f G J→ como 
homomorfismo de grupos. Quando se tratar do mesmo grupo, o que pressupões J G= e 
a mesma operação, então a aplicação f será chamada de homomorfismo de G . 
Se um homomorfismo é uma aplicação injetora, então é chamado de homomorfismo 
injetor. E se for uma aplicação sobrejetora, de homomorfismo sobrejetor. 
O caso que f é bijetora corresponde ao conceito de Isomorfismo e será estudado 
separadamente. 
 
Exemplo 1: A aplicação :f ∗→Z C definida por ( ) mf m i= é um homomorfismo de 
grupos. É preciso notar, primeiro, que em casos como esse as operações são usuais e 
devem ser pressupostas. Portanto, Z é um grupo aditivo e ∗C um grupo multiplicativo. 
Como 
( )( ) ( ) ( )m n m nf m n i i i f m f n++ = = ⋅ = ⋅ 
Fica provado que se trata de homomorfismo. 
Esse homomorfismo não é injetor. Para mostrar isso basta um contra-exemplo. De fato, 
4(4) 1f i= = e 0(0) 1f i= = . Também não é sobrejetor, pois Im( ) {1, , 1, }f i i ∗= − − ≠ C . 
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Exemplo 2: Seja a um número inteiro dado. A aplicação :f →Z Z definida por 
( )f m am= é um homomorfismo de Z . Esse homomorfismo só não é injetor quando 
0a = e só é sobrejetor quando 1a = . 
Quanto à primeira afirmação, basta observar que 
( ) ( ) ( ) ( )f m n a m n a m a n f m f n+ = + = + = + 
Se 0a = , então, para todo m∈Z , e, portanto, f não é injetora nem sobrejetora. 
Supomos 0a ≠ e ( ) ( )f m f n= , isto é, am an= , cancelando-se a (o que é possível, 
pois 0a ≠ ), obtém-se m n= , isso mostra que f é injetora neste caso. 
Se 1a = , então f é a aplicação idêntica de Z e, portanto é sobrejetora. Se 1a ≠ então 
f não é sobrejetora, porque Im( ) {0, , 2 , 3 , }f a a a= ± ± ± ≠ Z . 
 
2.2 - Proposições Sobre Homomorfismo de Grupos 
 
Sejam G e J grupos multiplicativos cujos elementos neutros indicaremos sempre por 
e e u , respectivamente, e :f G J→ um homomorfismo de grupos. 
 
Proposição 1: ( )f e u= 
Dem: Obviamente e e e⋅ = (pois e é o elemento neutro de G ) e ( ) ( )u f e f e⋅ = (pois 
( )f e J∈ e u é o elemento neutro de J ). Levando-se em conta isso e a hipótese de que 
f é um homomorfismo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f e f e f e e f e u f e⋅ = ⋅ = = ⋅ 
( ) ( ) ( ) ( )f e f e u f e f e u∴ ⋅ = ⋅ ⇒ = 
Onde utilizamos o fato que ( )f e é um elemento regular. 
 
 
Proposição 2: Se a é um elemento qualquer de G , então 1 1( ) [ ( )]f a f e− −= 
Dem: Usaremos aqui a proposição anterior: 
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]f a f a f a a f e u f a f a− − −⋅ = ⋅ = = = ⋅ 
1 1( ) ( ) ( ) [ ( )]f a f a f a f a− −∴ ⋅ = ⋅ 
Como ( )f a é regular segue que 
1 1( ) [ ( )]f a f a− −= 
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Corolário 1: 1 1( ) ( ) [ ( )]f a b f a f b− −⋅ = ⋅ 
 
Proposição 3: Se H é um subgrupo de G , então ( )f H é um subgrupo de J . 
Dem: Lembremos primeiro que ( ) { ( ) / }f H f x x H= ∈ . 
i) Como e H∈ , porque H é um subgrupo de G , então ( ) ( )f e u f H= ∈ e, 
portanto, ( )f H ≠ ∅ . 
ii) Sejam , ( )c d f H∈ . Então ( )f a c= e ( )f b d= , para convenientes elementos 
,a b H∈ . 
 
Logo, 1 1 1 1( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )c d f a f b f a f b f a b− − − −⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ . 
Como 1a b H−⋅ ∈ , pois, por hipótese, H é um subgrupo de G , então 1 ( )c d f H−⋅ ∈ . 
 
 
Proposição 4: Sejam ,G J e L grupos. Se :f G J→ e :g J L→ são homomorfismos 
de grupos, então o mesmo se pode dizes de :g f G L→ . 
Dem: Se ,a b G∈ , então: 
( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( )g f a b g f a b g f a f b g f a g f b g f a g f b⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅   
g f∴  é homomorfismo de G a L . 
 
Corolário 2: Se f e g são homomorfismos (sobre) injetores, então g f também é 
um homomorfismo injetor (sobrejetor). 
Dem: Imediata. É só lembrar que a composta de duas funções injetoras (sobrejetoras) 
também é injetora (sobrejetora). 
 
2.3 - Núcleo de um Homomorfismo 
 
18 
2010 
Definição 2: Seja :f G J→ um homomorfismo de grupos. Se u indica o elemento 
neutro de J , o seguinte subconjunto de G será chamado núcleo de f e denominado 
por ( )N f . 
( ) { / ( ) }N f x G f x u= ∈ = 
 
Exemplo 3: Procuremos o núcleo do homomorfismo de grupos :f ∗→Z C definido por 
( ) mf m i= (ver exemplo 1). Como o elemento neutro da multiplicação em ∗C é o 
número 1, então basta resolver a equação 1mi = 
Mas, 1mi = 
4 ,m k k= ∈Z , pois 4 2 2 2( ) ( 1) 1 1m k k k ki i i= = = − = = 
Logo, ( ) {0, 4, 8, 12, }N f = ± ± ±  
 
Proposição 5: Seja :f G J→ um homomorfismo de grupos. Então 
i) ( )N f é um subgrupo de G; 
ii) f é um homomorfismo injetor se, e somente se, ( ) { }N f e= . 
Dem: 
i) Como ( )f e u= , então ( )e N f∈ e, portanto, ( )N f ≠ ∅ . Por outro lado, se 
, ( )a b N f∈ então ( ) ( )f a f b u= = e, portanto: 
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )]f a b f a f b f a f b u u u− − − −⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 
Isso mostra que 1, ( )a b N f− ∈ . 
 
ii) ( )⇒ Por hipótese , f é injetor e temos de mostrar que o único elemento de ( )N f é 
elemento neutro de G . 
Para isso, vamos tomar ( )a N f∈ e demonstrar que necessariamente a e= . De fato, 
como ( )a N f∈ , então ( )f a u= . Mas, devido à proposição 1, ( )f e u= . 
Portanto, ( ) ( )f a f e= . Como, porém, f é injetora, por hipótese então a e= . 
 
( )⇐ Sejam 1 2,x x G∈ elementos tais que 1 2( ) ( )f x f x= . Multiplicando-se cada 
membro dessa igualdade por 12[ ( )]f x
− , obtém-se 11 2( ) [ ( )]f x f x u
−⋅ = . 
Mas, 1 11 2 1 2( ) [ ( )] ( )f x f x f x x
− −⋅ = ⋅ . Portanto, 11 2( )f x x u
−⋅ = o que mostra que 
1
1 2( ) ( ) { }x x N f e
−⋅ ∈ = . 
Então 11 2x x e
−⋅ = e, portanto, 1 2x x= , de onde f é injetor, como queríamos provar. 
 
Exemplo 1: Verifique em cada caso se f é um homomorfismo: 
a) :f →Z Z dada por ( )f x kx= , sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um 
inteiro dado. 
É um homomorfismo, pois ( ) ( ) ( ) ( )f x y k x y kx ky f x f y+ = + = + = + 
( ) ( ) ( )f x y f x f y∴ + = + 
 
b) :f →R R dada por ( ) 1f x x= + , sendo R o grupo aditivo dos reais. 
Não é homomorfismo. Logo, 
( ) 1 1 ( ) ( ) ( )f x y x y x y f x y f x f y+ = + + = + + = + ≠ + 
( ) ( ) ( )f x y f x f y∴ + ≠ + 
19 
2010 
 
c) *:f +→Z R dada por ( ) 2
xf x = , em que Z é grupo aditivo e *+R é grupo 
multiplicativo. 
É um homomorfismo, pois ( ) 2 2 2 ( ) ( )x y x yf x y f x f y++ = = ⋅ = ⋅ 
( ) ( ) ( )f x y f x f y∴ + = ⋅ 
 
Exemplo 2: Determine os homomorfismos injetores e sobrejetores: 
a) Temos :f →Z Z dada por ( )f x kx= , sendo Z um grupo aditivo dos inteiros. 
Logo, podemos afirmar que temos um homomorfismo injetor, se 0k ≠ 
Vejamos, 1 2 1 2( ) ( )f x f x kx kx= ⇒ = . Cancelando, k inteiro, temos 1 2x x= que é 
injetor. 
Mas, o homomorfismo não é sobrejetor, pois Im( )f k= ≠Z Z. 
 
b) Verificamos que não é um homomorfismo. Logo, não será homomorfismo 
injetor (sobrejetor). 
 
c) Dado *:f +→Z R com ( ) 2
xf x = , em que Z é grupo aditivo e *+R é grupo 
multiplicativo. 
f é injetor e sobrejetor 
Injetor: ( ) ( ) 2 2x yf x f y= ⇒ = . Pelo teorema fundamental da aritmética (TFA) 
temos: x y= 
Agora, mostraremos que f é sobrejetora. Dado *y +∈R e tomando 2logx y= temos 
2log
2( ) (log ) 2
yf x f y y= = = 
 
Exemplo 3: Determine o núcleo de cada homomorfismo: 
a) De :f →Z Z dada por ( )f x kx= sendo Z um grupo aditivo dos inteiros. 
( ) { / ( ) 0}N f x f x= ∈ =Z 
Logo, temos que determinar: 0kx = 
Se 0k = então ( )N f = Z 
Se 0k ≠ então ( ) {0}N f = 
 
b) Não tem núcleo, pois a aplicação não é um homomorfismo. 
 
c) *:f +→Z R dada por ( ) 2
xf x = , em que Z é grupo aditivo e *+R é grupo 
multiplicativo. 
( ) { / ( ) 1}N f x f x= ∈ =Z 
Logo, 02 1 2 2x x= ⇒ = ⇒ pelo (TFA) 0x = 
( ) {0}N f∴ = 
 
2.4 - Isomorfismos de Grupos 
 
Definição 3: Seja :f G J→ um homomorfismo de grupos. Se f for também uma 
bijeção, então f será chamado de isomorfismo do grupo G no grupo J . 
Neste caso, diz-se que f é um isomorfismo de grupos. 
20 
2010 
 
Se G J= e a operação é a mesma, f é um isomorfismo de G . 
 
Exemplo 4: A função logarítmica (não importa a base) *log : + →R R é um isomorfismo 
de grupo. 
Sendo *+R um grupo multiplicativo e R um grupo aditivo, temos: 
log( ) log( ) log( )x y x y⋅ = + 
Logo, é um homomorfismo. 
Mas, log é uma função bijetora então implica em isomorfismo de grupos. 
 
Proposição 6: Se :f G J→ é um isomorfismo de grupos, então 1 :f J G− → também 
é um isomorfismo de grupos: 
Dem: lembremos primeiro que, como foi provado no nosso estudo de álgebra, o fato de 
f ser uma bijetora, só que obviamente de J em G . 
Assim, falta demonstrar que 1f − conserva as operações (mais uma vez aqui indicadas 
multiplicavelmente). Para isso, tomemos 1 2,y y J∈ . Como f é sobrejetora, 1 1( )y f x= 
e 2 2( )y f x= , para convenientes elementos 1 2,x x G∈ . Daí, 
1 1
1 1 1( ) ( ( ))f y f f x x
− −= = e, 
analogamente 1 2 2( )f y x
− = . Então: 
1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( )f y y f f x f x f f x x x x f y f y
− − − − −⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 
 
Exemplo 1: Mostre que : 2f →Z Z dada por ( ) 2f n n= , n∀ ∈Z , é um isomorfismo 
do grupo aditivo Z no grupo aditivo 2Z . 
Dem: Mostraremos primeiro que f é um homomorfismo, vejamos: 
Sejam ,n p∈Z temos: 
( ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( )f n p n p n p f n f p+ = + = + = + 
Logo, f é um homomorfismo 
Agora, provamos que f é um isomorfismo. f será isomorfismo se ocorrer uma 
bijeção. 
Logo, se ( ) ( )f n f p= temos 2 2n p= cancelando o 2 de ambos os lados, temos: 
n p= 
Logo, temos um homomorfismo injetor. 
Agora, ( )
2
pf n f  =  
 
 
Logo, ( ) 2
2 2
p pf n f p = = ⋅ = 
 
 
( )f n p∴ = 
 
Por sua vez, temos um homomorfismo sobrejetor. 
Portanto, f é um isomorfismo. 
 
Exemplo 2: Mostre que *:f →Z C dada por ( ) mf x i= onde m é número inteiro não é 
um isomorfismo. 
Dem: O homomorfismo f não será isomorfismo, pois não é injetor. Logo, 
(0) 1 (4)f f= = 
21 
2010 
Portanto, não é isomorfismo. 
22 
2010 
3 - GRUPOS CÍCLICOS 
 
3.1 - Potências e Múltiplos 
 
Definição 1: Seja G um grupo multiplicativo. Se a G∈ e m é um número inteiro, a 
potência m-ésima de a , ou potência de a de expoente m , é o elemento de G denotado 
por ma , onde m
m vezes
a a a a= ⋅ ⋅ ⋅

 se 0m > , 0a e= e 1( )m ma a− −= se 0m < . 
Uma consequência imediata dessa definição é que, para todo inteiro m , vale me e= . 
 
Exemplo 1: No grupo multiplicativo *5Z das classes de resto módulo 5, seja 2a = . 
Então 
0 1 2 32 1, 2 2, 2 2 2 4, 2 4 2 3,= = = ⋅ = = ⋅ =  
1 2 1 3 12 3; (2 ) 3 3 9 4; (2 ) 9 3 27 2;− − −= = ⋅ = = = ⋅ = =  
 
Proposição 1: Seja G um grupo multiplicativo. Se m e n são números inteiros e 
a G∈ , então: 
i) m n m na a a +⋅ = 
ii) 1( )m ma a− −= 
iii) ( )m n m na a ⋅= 
 
Dem: i) Demonstraremos pelo seguinte raciocínio, pois 0n ≥ e 0m n+ ≥ será por 
indução sobre n . 
Vejamos: 
Para 0 0n = temos: 
0 0m m m ma a a e a a+⋅ = ⋅ = = 
Logo, é verdadeiro. 
Suponhamos por indução para todo 0n ≥ temos que: m k m ka a a +⋅ = com n k= . 
Vamos provar para 1n k= + ; 
Multiplicando a na hipótese de indução temos: 
1 1 1m k m k m k m k m k m ka a a a a a a a a a a a a a a+ + +⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = 
Portanto, é válido para n∀ ∈N tal que: m n m na a a +⋅ = 
 
ii) Considerando G um grupo multiplicativo, seja a G∈ . 
0m m m ma a a a e− −⋅ = = = 
m ma a e−∴ ⋅ = 
Logo, 1 1( )m m m ma a a ea
−⋅ = ⋅ = . Assim, 1( )m m m ma a a a− −⋅ = ⋅ 
Como todo elemento do grupo é regular 
Logo, 1( )m ma a− −= 
 
iii) Por indução sobre n , para 1n ≥ temos: 
1 1( )m m ma a a ⋅= = que é válido. 
Suponhamos por indução que para n k= , 1n∀ ≥ temos 
23 
2010 
( )m k m ka a ⋅= 
Vamos provar para 1n k= + 
1 1 1 ( 1)( ) ( ) ( )m k m k m m k m m k m m ka a a a a a a+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ += ⋅ = ⋅ = = 
Logo, é válido que ( )m n m na a ⋅= 
 
Definição 2: Seja G um grupo aditivo. Se a G∈ e m é um número inteiro, o múltiplo 
m-ésimo de a é o elemento de G denotado por m a⋅ definido da seguinte maneira: 
• Se 0m ≥ ; 
0 a e⋅ = (elemento neutro de G ) 
( 1)m a m a a⋅ = − ⋅ + , se 1m ≥ 
• Se 0m < ; 
[( ) ]m a m a⋅ = − − ⋅ 
 
Proposição 2: Seja G um grupo aditivo. Se m e n são números inteiros e a G∈ , 
então: 
i) ( )m a n a m n a⋅ + ⋅ = + ⋅ ; 
ii) ( ) ( )m a m a− ⋅ = − ⋅ ; 
iii) ( ) ( )n m a n m a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . 
 
Essa proposição não será demonstrada porque são axiomas dos números reais. 
i) É a propriedade distributiva. 
ii) É a regra de sinais na multiplicação, pois o produto de um fator negativo com 
outro fator positivo é negativo. 
iii) É a propriedade associativa para a multiplicação. 
 
Obs: Neste tópico, vimos que o grupo multiplicativo está relacionado com potências e o 
grupo aditivo com múltiplos. 
 
3.2 - Grupos Cíclicos 
 
Se a é elemento de um grupo G , denotaremos por [ ]a o subconjunto de G formado 
pelas potências inteiras de a , ou seja, [ ] { / }ma a m= ∈Z . Esse subconjunto de G nunca 
é vazio, pois e , o elemento neutro de G , pertence a ele, uma vez que 0e a= . 
 
Proposição 3: 
i) O subconjunto [ ]a é um subgrupo de G ; 
ii) Se H é um subgrupo de G ao qual a pertence, então [ ]a H⊂ . 
 
Dem: 
i) Como já observamos, [ ]a ≠ ∅ . Sejam, pois u e v elementos de [ ]a . Então 
nu a= e nv a= , para convenientes inteiros m e n . Daí, 
1 1( )m n m n m nu v a a a a a− − − −⋅ = ⋅ = = . Isso mostra que 1 [ ]u v a−⋅ ∈ . De onde, [ ]a 
é um subgrupo de G . 
ii) Se a H∈ , então toda potência de a também pertence a H e, portanto, [ ]a H⊂ . 
 
24 
2010 
Definição 3: Um grupo multiplicativo G será chamado grupo cíclico se, para algum 
elemento a G∈ , se verificar a igualdade [ ]G a= . Nessas condições, o elemento a é 
chamado gerador do grupo G . 
 
Obs: Podemos dizer que um grupo multiplicativo G é cíclico significa dizer que 
{ / }G m a m= ⋅ ∈Z , para algum a G∈ . 
E no caso aditivo significa que G inclui um elemento a tal que { / }G m a m= ⋅ ∈Z . 
 
Exemplo: O grupo aditivo Z é cíclico, pois todos os seus elementos são múltiplos de 1 
ou de -1. De fato, { 1/ }m m= ⋅ ∈Z Z ou { ( 1) / }m m= ⋅ − ∈Z Z . 
Portanto, [1] [ 1]= = −Z 
Podemos concluir que os números 1 e -1 são únicos geradores de Z . 
 
Proposição 4: Todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico. 
 
Não iremos demonstrar, mas, veremos um exemplo prático desse resultado. 
 
Exemplo: Devido à proposição anterior, pode-se garantir que um subconjunto não vazio 
H ⊂ Z é um subgrupo de ( , )+Z se, e somente se, [ ]H m= , para algum inteiro m H∈ . 
Portanto, os subgrupos de Z são: 
[0] {0}= , [1] [ 1]= − = Z , [2] [ 2] {0, 2, 4, }= − = ± ±  , [3] [ 3] {0, 3, 6, }= − = ± ±  , 
[4] [ 4] {0, 4, 8, }= − = ± ±  , etc. 
 
3.3 - Classificação dos Grupos Cíclicos 
 
Seja [ ]G a= um grupo cíclico. 
Se ocorrer o caso que 1raa≠ sempre que 1r ≠ e se cumpre a condição que uma 
aplicação :f G→Z definida por ( ) rf r a= é um isomorfismo de grupos. 
Logo, esses grupos são chamados de grupos cíclicos infinitos. 
Se o caso em que r sa a= ocorre para algum par de inteiros distintos, r e s . 
Esses grupos são chamados de grupos cíclicos finitos. 
 
Proposição 5: Seja a um elemento de período 0h > de um grupo G . Então ma e= se, 
e somente se, |h m . 
 
Dem: 
( )⇒ Devemos usar o algoritmo euclidiano com m como dividendo e h como divisor: 
(0 )m hq r r h= + ≤ < 
Então: ( )m h qr h qr h q r q r r re a a a a a a e a e a a+= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 
Ou seja, ra e= . Como não se pode ter 0r > , pois isso contraria a hipótese de que o 
período de a é h , então 0r = e, portanto, m hq= . De onde, |h m . 
 
( )⇐ Se |h m , então m hq= , para algum q∈Z . 
Então: ( )m hq h q qa a a e e= = = = 
 
25 
2010 
Exemplo 1: Verifique se 12Z é um grupo cíclico em relação à adição. 
0 1 2 3
121 {1 , 1 , 1 , 1 , } {0, 1, 2, 3, 4, ,11}〈 〉 = = =  Z ¨ 
Portanto, 1〈 〉 gera o 12Z , logo é cíclico. 
 
Exemplo 2: Quem são os geradores de 12Z . 
Sabemos que é um grupo cíclico, então sabemos que 1 é gerador. 
0 {0}〈 〉 = 
121〈 〉 = Z 
2 {0, 2, 4, 6, 8,10}〈 〉 = 
3 {0, 3, 6, 9}〈 〉 = 
4 {0, 4, 8}〈 〉 = 
125 {0, 5,10, 3, 8, 1, 6,11, 4, 9, 2, 7}〈 〉 = = Z 
6 {0, 6}〈 〉 = 
127 {0, 7, 2, 9, 4, 1,1 0, 5, 3, 6, 8, 9}〈 〉 = = Z 
8 {0,10, 8, 6, 4, 2}〈 〉 = 
129 {0, 1, 2, 3, ,11}〈 〉 = = Z 
Portanto os geradores de 12Z são 1, 5, 7 e 11 
26 
2010 
4 - CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE 
 
4.1 - Classes Laterais 
 
Proposição 1: 
i) A relação R sobre G definida por “ aRb se, e somente se, 1a b H− ∈ ” é uma 
relação de equivalência. 
ii) Se a G∈ , então a classe de equivalência determinada por a é o conjunto 
{ / }aH ah h H= ∈ . 
 
Dem: 
i) Como 1e a a H−= ∈ , então aRa e, portanto, vale a reflexividade. 
Se aRb então 1a b H− ∈ , mas sendo H um subgrupo de G , então 1 1 1( )a b b a H− − −= ∈ . 
Isso mostra que bRa e, portanto, que a simetria também se verifica para R . 
Suponhamos que aRb e bRc , então 1a b− , 1b c− daí, 
1 1 1 1 1 1( )( )a b b c a b bc a ec a c H− − − − − −= = = ∈ 
Logo, aRc , de onde a transitividade é válida. 
ii) Seja a a classe de equivalência do elemento a . Se x a∈ , então xRa , ou seja, 
1x a H− ∈ . 
Portanto 1x a h− = , para um elemento h H∈ . Mas 1x ah−= e, portanto, x aH∈ , uma 
vez que 1h H− ∈ . 
Por outro lado, se x aH∈ , então x ah= , para algum h H∈ . Daí, 1 1x a h H− −= ∈ e, 
portanto, xRa , de onde, x a∈ . 
Segue que a aH= . 
 
Definição 1: Para cada a G∈ , a classe de equivalência aH definida pela relação R 
introduzida na proposição 1 é chamada classe lateral à direita, módulo H , determinada 
por a . 
Uma decorrência imediata da proposição anterior é que o conjunto das classes laterais à 
direita, módulo H , determina uma partição em G , ou seja: 
A) Se a G∈ , então aH ≠ ∅ 
B) Se ,a b G∈ , então aH bH= ou aH bH∩ =∅ 
C) A união de todas as classes laterais é igual a G . 
 
O conjunto quociente de G por essa relação, denotado por /G H é o conjunto das 
classes laterais ( )aH a G∈ . Um dos elementos desse conjunto é o próprio H , pois 
H eH= . 
De maneira análoga se demonstra que a relação R definida por “ aRb se, e somente se, 
1ab H− ∈ ” também é uma relação de equivalência sobre o grupo G . Só que, neste caso, 
a classe de equivalência de um elemento a G∈ é o subconjunto { / }Ha ha h H= ∈ , 
chamado classe lateral à esquerda, módulo H, determinada por a . É claro que, se G for 
comutativo, então aH Ha= , para qualquer a G∈ . 
 
27 
2010 
Exemplo 1: No grupo multiplicativo {1, 1, , }G i i= − − das raízes quárticas da unidade, 
considere o subgrupo {1, 1}H = − . As classes laterais são: 
1 {1 1,1 ( 1)} {1, 1}H = ⋅ ⋅ − = − 
( 1) {( 1) 1, ( 1) ( 1)} { 1,1}H− = − ⋅ − ⋅ − = − 
{ 1, ( 1)} { , }iH i i i i= ⋅ ⋅ − = − 
( ) {( ) 1, ( ) ( 1)} { , )}i H i i i i− = − ⋅ − ⋅ − = − 
Logo, 1 ( 1)H H= − e ( )iH i H= − 
Portanto, / {1 , }G H H iH= 
Essas duas classes laterais unidas coincidem com o grupo G . 
 
Exemplo 2: Seja G o grupo aditivo 6Z . Para facilitar, escreveremos os elementos de 
6Z sem os traços, ou seja, 6 {0,1,2,3,4,5}=Z . 
Considerando o subgrupo {0,3}H = , temos: 
0 {0,3}H H+ = = 
1 {1,4}H+ = 
2 {2,5}H+ = 
A reunião dessas 3 classes é igual a G . 
Portanto, / { ,1 , 2 }G H H H H= + + . 
 
Exemplo 3: Considere o grupo multiplicativo ∗R dos números reais e H o subgrupo 
formado pelos números reais estritamente positivos, ou seja, { / 0}H x x∗= ∈ >R . 
Como aH H= , se 0a > e { / 0}aH x x∗= ∈ <R , se 0a < então / H∗R é formado por 
duas classes: a dos números reais maiores que zero e a dos números reais menores que 
zero. 
 
Proposição 2: Seja H um subgrupo de G . Então duas classes laterais quaisquer 
módulo H têm a mesma cardinalidade. 
 
Dem: Dadas duas classes laterais aH e bH , temos que mostrar que é possível construir 
uma aplicação bijetora :f aH bH→ . Lembrando a forma geral dos elementos dessas 
classes, é natural definir f da seguinte maneira: ( )f ah bh= , para qualquer h H∈ . 
Sem maiores dificuldades, prova-se que f é injetora e sobrejetora. De fato: 
(Injetora) Se 1,h h H∈ e 1( ) ( )f ah f ah= , então 1bh bh= , como, porém, todo elemento 
de G é regular, então 1h h= . 
(Sobrejetora) Seja y bH∈ . Então y bh= , para algum h bH∈ . Tomando-se 
x ah aH= ∈ , então ( ) ( )f x f ah bh y= = = . 
Em particular, todas as classes têm a mesma cardinalidade de H eH= ( e = elemento 
neutro). 
 
Obviamente, se G é um grupo finito, então o conjunto /G H também é finito. O 
número de classes distintas do conjunto /G H é chamado índice de H em G é 
denotado por ( : )G H . Então, no exemplo 1, ( : ) 2G H = , no exemplo 2, ( : ) 3G H = , no 
exemplo 3, ( : ) 2G H = . 
28 
2010 
Devido ao fato de 1aH Ha−→ é uma aplicação bijetora, como já observamos, então o 
índice de H em G é o mesmo, quer se considerem classes laterais à direita ou à 
esquerda, módulo H . 
 
4.2 - O Teorema de Lagrange 
 
Proposição 3: (Teorema de Lagrange): Seja H um subgrupo de um grupo finito G . 
Então ( ) ( ) ( : )o G o H G H= e, portanto, ( ) / ( )o H o G . 
 
Dem: Suponhamos ( : )G H r= e seja 1 2/ { , , , }rG H a H a H a H=  . Então devido à 
proposição 1, 1 2 rG a H a H a H= ∪ ∪ ∪ e i ja H a H∩ =∅ , sempre que i j≠ . Mas, 
devido à proposição 2, o número de elementos de cada uma das classes laterais é igual 
ao número de elementos de H , ou seja, é igual a ( )o H . Portanto, 
( ) ( ) ( ) ( )o G o H o H o H= + + + em que o número de parcelas é ( : )r G H= . De onde: 
( ) ( : ) ( )o G G H o H= e ( ) / ( )o H o G . 
 
Corolário 1: Seja G um grupo finito. Então a ordem (período) de um elemento a G∈ 
divide a ordem de G e o quociente é ( : )G H , em que [ ]H a= . 
 
Dem: Basta lembrar que a ordem de a é igual à ordem de [ ]a o que, devido ao 
Teorema de Lagrange: ( ) ( : ) ([ ])o G G H o a= . 
 
Corolário 2: se a é um elemento de um grupo finito G , então ( )o Ga e= (elemento 
neutro do grupo). 
 
Dem: Seja h a ordem de a . Portanto, h é o menor inteiro estritamente positivo tal que 
ha e> (elemento neutro do grupo). Mas devido ao corolário anterior: ( ) ( )o G G H h= : 
em que [ ]H a= . Portanto ( ) ( : ) ( : ) ( : )( )o G G H h h G H G Ha a a e e= = = = . 
 
Corolário 3: Seja G um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então G é 
cíclico e os únicos subgrupos de G são os triviais, ou seja, { }e e o próprio G . 
 
Dem: Seja ( )p o G= . Como 1p > , o grupo G possui um elemento a diferente do 
elemento neutro. Assim, se [ ]H a= , pelo Teorema de Lagrange garante que ( ) /o H p . 
Logo, ( ) 1o H = ou p e, portanto, { }H e= ou H G= . 
Como a primeira dessas hipóteses é impossível, então G H= e, portanto, G é cíclico. 
Por outro lado, se J é um subgrupo de G , então, ainda devido ao Teorema de 
Lagrange, ( ) / ( )o J o G . Daí, ( ) 1o J = ou p e, portanto, { }J e= ou J G= . 
 
Exemplo 1: Determine todas as classeslaterais de {0, 3, 6, 9}H = no grupo aditivo 12Z . 
Logo, vamos encontrar as classes laterais, módulo H . 
0 {0, 3, 6, 9}H H+ = = 
1 {1, 4, 7,10} 1H H+ = = + 
2 {2, 5, 8,11} 2H H+ = = + 
29 
2010 
Portanto, 12 / { ,1 , 2 }H H H H= + +Z 
 
Exemplo 2: Determine todas as classes laterais de 4Z no grupo aditivo Z . 
Lembrando que 4 {0, 4, 8, 12, }= ± ± ± Z . 
Temos que 0∈Z vamos verificar se será uma classe lateral módulo 4Z 
0 4 {0, 4, 8, 12, }+ = ± ± ± Z 
1 4 { , 3,1,5,9,13, }+ = − Z 
2 4 { , 2,2,6,10,14, }+ = − Z 
3 4 { , 1,3,7,11,15, }+ = − Z 
Podemos concluir que a união destas 4 classes resulta no conjunto dos Z . 
Portanto, / 4 {4 ,1 4 ,2 4 ,3 4 }= + + +Z Z Z Z Z Z . 
 
Exemplo 3: Sendo {0, , 2 , }H m m= ± ±  , m∈Z , um subgrupo do grupo aditivo Z , 
mostre que {0, 1, , 1} mm − = Z é o conjunto das classes laterais de H . Logo, 
( : )H m=Z . 
Dem: Vamos mostrar que mZ é o conjunto das classes laterais de H . Sendo 
( : )H m=Z . Teremos m classes laterais de H . 
0 {0, , 2 , } 0H m m+ = ± ± = 
1 {1, 1, 2 1, } 1H m m+ = ± + ± + = 
2 {2, 2, 2 2, } 2
1 { 1, 1, 2 1, } 1
H m m
m H m m m m m m
+ = ± + ± + =
− + = − ± + − ± + − = −



 
Portanto, mZ é o conjunto das classes laterais de H . 
 
Exemplo 4: Considerando Z como subgrupo do grupo aditivo Q , descreva as classes 
(-1)+Z e 1
2
+Z . 
m∀ ∈Z , temos ( 1) ( 1) 1m m+ − = + − = − =Z Z 
( 1)∴ + − =Z Z 
Agora, 1 1 2 1/ /
2 2 2
nn n n+   + = + ∈ = ∈   
   
Z Z Z 
1 2 1,
2 2
n n+∴ + = ∈Z Z 
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2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BIBLIOGRAFIA 
 
 
L. H. Jacy Monteiro: Elementos de Álgebra – c 1969, Livros Técnicos e Científicos. 
 Editora, Rio de Janeiro. 
 
GARCIA, Arnaldo. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 2006 – 03 
 ex. 
 
DOMINGUES, Hygino H. e IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna, 4 ed. São Paulo: Editora 
 Atual, 2003. 
 
Abramo Hefez Curso de Álgebra, V.1 – Editora SBM, Rio de Janeiro, 2002. 
	MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
	1 - GRUPOS E SUBGRUPOS
	1.1 - Conceito de Grupo
	1.2 - Propriedades imediatas de um grupo
	1.3 - Grupos Finitos
	1.4 - Alguns Grupos Importantes
	1.4.1 - Grupo Aditivo dos Inteiros (comutativo)
	1.4.2 - Grupo Aditivo dos Complexos (comutativo)
	1.4.3 - Grupo Multiplicativo dos Racionais (comutativo)
	1.4.4 - Grupo Aditivo de Matrizes m x n (comutativo)
	1.4.5 - Grupos Lineares de Grau n (multiplicativo, Não Comutativo se )
	1.4.6 - Grupos Aditivos de Classes Restos (Comutativo)
	1.5 - Subgrupos
	2 - HOMOMORFISMOS E ISOMOSFISMOS
	2.1 - Homomorfismo de Grupos
	2.2 - Proposições Sobre Homomorfismo de Grupos
	2.3 - Núcleo de um Homomorfismo
	2.4 - Isomorfismos de Grupos
	3 - GRUPOS CÍCLICOS
	3.1 - Potências e Múltiplos
	3.2 - Grupos Cíclicos
	3.3 - Classificação dos Grupos Cíclicos
	4 - CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE
	4.1 - Classes Laterais
	4.2 - O Teorema de Lagrange
	BIBLIOGRAFIA