Algebra II

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ÉRICA MACÊDO
Salvador
2011
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ÁLGEBRA II
EaD UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
PROJETO GRÁFICO
João Victor Souza Dourado
DIAGRAMAÇÃO
Alan Venícius de Araújo Gonçalves
REVISÃO
Andréa da Silva Oliveira
Carla Cristiani Honorato de Souza
O conteúdo deste Material Didático é de inteira responsabilidade do(s)/da(s) autores (as), por cuja 
criação assume(m) ampla e total responsabilidade quanto a titularidade, originalidade do conteúdo 
intelectual produzido, uso de citações de obras consultadas, referências, imagens e outros elementos 
que façam parte desta publicação.
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PREPARAÇÃO DO ORIGINAL
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SUPERVISÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
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Flávia Souza Santos
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FICHA TÉCNICA
EDITORA DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
DIRETORA
Maria Nadja Nunes Bittencourt
 MACEDO, Erica Nogueira. 
M141 Álgebra II: licenciatura em matemática / Erica Nogueira Macedo. Salvador: UNEB / 
GEAD,
 2011.
 65 p. 
 
 
 
 1.Matemática 2. Álgebra I. Erica Nogueira Macedo II. Título. III. Universidade Aberta do 
 Brasil. IV. UNEB / GEAD
 
 CDD: 512
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Caro (a) Cursista.
Estamos começando uma nova etapa de trabalho e para auxiliá-lo no desenvolvimento da sua aprendizagem 
estruturamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura na modalidade de Educação a Distância 
(EaD).
O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados, especialistas da 
área, pesquisadores, docentes que tiveram a preocupação em alinhar o conhecimento teórico e prático de maneira 
contextualizada, fazendo uso de uma linguagem motivacional, capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos 
envolvidos com a disciplina em questão. Cabe salientar, porém, que esse não deve ser o único material a ser 
utilizado na disciplina, além dele, o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), as atividades propostas pelo Professor 
Formador e pelo Tutor, as atividades complementares, os horários destinados aos estudos individuais, tudo isso 
somado compõe os estudos relacionados à EaD.
É importante também que vocês estejam sempe atentos às caixas de diálogos e ícones específicos que aparecem 
durante todo o texto apresentando informações complementares ao conteúdo. A ideia é mediar junto ao leitor, uma 
forma de dialogar questões para o aprofundamento dos assuntos, a fim de que o mesmo se torne interlocutor ativo 
desse material. 
São objetivos dos ícones em destaque:
VOCÊ SABIA?
– convida o leitor a conhecer outros aspectos daquele tema/
conteúdo. São curiosidades ou informações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta.
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diversos e desenvolvimento da argumentação, conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliam a 
compreender melhor o conteúdo abordado.
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 – neste campo, você encontrará sugestões de livros, sites, 
vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas 
ou outros olhares e interpretações sobre determinado tema.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE – consiste num conjunto de atividades para você realizar 
autonomamente em seu processo de autoestudo. Estas atividades podem (ou não) ser aproveitadas pelo professor-
formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo principal é o de provocá-lo, desafiá-lo em seu processo 
de autoaprendizagem.
Sua postura será essencial para o aproveitamento completo desta disciplina. Contamos com seu empenho e 
entusiasmo para juntos desenvolvermos uma prática pedagógica significativa. 
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Prezado(a) Cursista.
Que bom encontrar você aqui em mais um módulo: Álgebra 
II. Neste módulo continuaremos a estudar as estruturas 
algébricas conhecidas por você no módulo anterior, Álgebra I. 
Aprenderemos as noções de subgrupo, conheceremos 
um tipo especial de grupo denominado de grupo cíclico 
e, definiremos aplicações entre tais estruturas algébricas, 
chamada de homomorfismo de grupos, que quando 
satisfazem a condições especiais, passam a ser identificadas 
como isomorfismo de grupos. 
Em seguida, estenderemos os conceitos anteriormente 
estudados para a estrutura de anel. Sendo assim, definiremos 
e estudaremos subconjuntos de anéis, que podem ser 
denominados de subanéis e/ou ideais.
Como antes, definiremos aplicações entre os anéis, que 
chamaremos de homomorfismo de anéis e mais uma vez, 
quando esse homomorfismo satisfaz a condições especiais, 
são identificados como isomorfismo de anéis. 
Dando continuidade, estudaremos um tipo especial de anel: 
o anel de polinômio. Nesse anel, estudaremos os polinômios 
de maneira mais específica, destacando as propriedades das 
operações que aí foram definidas, relacionando-as com seu 
respectivo grau, além de definir e estudar as suas raízes. Tais 
raízes permitem identificar alguns critérios de divisibilidade 
entre polinômios, com destaque para os polinômios lineares.
 
Finalmente, enunciaremos o teorema fundamental da álgebra, 
que nos garante a quantidade máxima de raízes de um 
determinado polinômio com coeficientes em anel.
Bons estudos!
A Autora
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SUMARIO
Capitulo 1
Grupos e subgrupos .................................................................................................................................11
Subgrupos ...........................................................................................................................................13
Grupos cíclicos ....................................................................................................................................16
Classes laterais ...................................................................................................................................20Subgrupos normais ..............................................................................................................................24
Grupo quociente ...................................................................................................................................27
Capitulo 2
Homomorfismo de grupos .........................................................................................................................31
Capitulo 3
Anel ...........................................................................................................................................................39
Subanel .................................................................................................................................................41
Ideal ......................................................................................................................................................43
Anel quociente ......................................................................................................................................44
Homomorfismo de anéis .......................................................................................................................46
Capitulo 4
Anéis de polinômios ..................................................................................................................................51
Polinômio a uma variável ......................................................................................................................53
Operações entre polinômios ..................................................................................................................54
O anel de polinômio ..............................................................................................................................55
Divisão em A[x]...................................................................................................................................58
Algoritmo da divisão .............................................................................................................................59
Raízes de polinômio ..............................................................................................................................60
Referências .......................................................................................................................................65
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CAPÍTULO 1
Grupos e subgrupos
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12
ANOTAÇõES
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13
INTRODUÇÃO
Como você deve estar lembrado, um grupo é uma estrutura algébrica 〈G, ∗〉, em que G é um conjunto, munido 
de uma operação ∗ que admite a propriedade associativa, possui elemento neutro e, além disso, todo elemento é 
simetrizável. Você deve lembrar também que, caso a operação ∗ seja comutativa, temos um grupo denominado de 
grupo abeliano, em homenagem a Niels Henrik Abel.
VOCÊ SABIA?
Niels Henrik Abel (Nedstrand, 25 de Agosto de 1802 — Froland, 6 de Abril de 1829) foi um matemático norueguês. Seu pai, Søren Georg Abel, 
tinha licenciatura em teologia e filosofia e seu avô foi um ativo ministro protestante em Gjerstad, próximo a Risør. Abel entrou na universidade em 
1821 e formou-se em 1822. O primeiro trabalho relevante de Abel consistiu em demonstrar a impossibilidade de resolver equações algébricas 
de quinto grau usando raízes (ver Teorema de Abel-Ruffini). Em 1824, teve sua primeira investigação publicada, ainda que a demonstração fosse 
difícil e obtusa, sendo a mesma posteriormente, republicada de modo mais elaborado, no primeiro volume do Journal für die reine und angewandte 
Mathematik. Em 2002 foi instituído em sua honra o prêmio Abel, outorgado todo ano aos matemáticos mais marcantes. Em sua homenagem o 
grupo que satisfaz a propriedade comutativa passou a se chamar grupo abeliano.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel
No módulo curricular anterior, Álgebra I, nós conhecemos diversos grupos. Entre eles destacamos o grupo ℤm, 
o grupo de Klein, o grupo de permutações e o grupo diedral, além dos grupos mais elementares como 〈ℤ, +〉,
〈ℚ, +〉, 〈ℝ∗, ⋅〉.
Durante o nosso estudo, frequentemente, para facilitar a notação, escreveremos grupo G, para representar o 
grupo 〈G, ∗〉. Assim, fica induzida a operação trivial do grupo em questão.
SUBGRUPOS
Para dar prosseguimento ao nosso estudo, conheceremos agora o conceito de subgrupo. Como o próprio nome 
sugere, um subgrupo é um subconjunto de um grupo que satisfaz a determinadas condições. Vamos acompanhar 
a definição desta estrutura.
Definição 1.1 – Seja 〈G, ∗〉 um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G (denotamos H < 
G) quando, com a operação de G, o conjunto H é um grupo, isto é, quando as condições seguintes são satisfeitas:
(i) h1 ∗ h2 ∈ H, ∀ h1, h2 ∈ H.
(ii) h1 ∗ (h2 ∗ h3) = (h1 ∗ h2) ∗ h3, ∀ h1, h2, h3 ∈ H.
(iii) ∃ e ∈ H tal que e ∗ h = h ∗ e = h, ∀ h ∈ H.
(iv) Para cada h ∈ H, existe k ∈ H tal que h ∗ k = k ∗ h = e.
Você pode perceber que as condições que um subgrupo H de um grupo G deve satisfazer são as mesmas do 
próprio grupo G, ou seja, precisamos de um conjunto fechado em relação à operação do grupo, que satisfaça a 
propriedade associativa, possua elemento neutro e que todo elemento seja inversível. Podemos destacar alguns 
subgrupos dos grupos que já conhecemos.
GRUPOS E SUBGRUPOS 
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14 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Exemplos: (a) O conjunto 〈ℤ, +〉 é um subgrupo do grupo 〈ℚ, +〉. Temos claramente ℤ ⊂ ℚ, e sabemos que 
o conjunto 〈ℤ,+ 〉 satisfaz todas as condições que caracterizam um grupo com respeito à operação de adição.
(b) Seja 2ℤ={2n , n ∈ ℤ}. Temos que 2ℤ < Z , onde 〈ℤ, +〉 é o grupo aditivo dos inteiros. Veja que: 
 0 ∈ 2ℤ.
 Se h, k ∈ 2ℤ, então existem m, n ∈ ℤ tal que h = 2m e k = 2n. Assim, 
h + k = 2m + 2n = 2 (m + n) ∈ 2ℤ.
 Se h ∈ 2ℤ então existe m ∈ ℤ tal que h = 2m. Logo, -h = -2m = 2 (-m) ∈ 2ℤ.
 A propriedade associativa já é satisfeita, pois vale para todos os elementos de 〈ℤ, +〉, em particular para 
elementos de 2ℤ.
(c) O conjunto H = {0} é um subgrupo de 〈ℤ, +〉. A verificação das condições acima é imediata.
(d) O conjunto 〈ℕ, +〉 não é um subgrupo de 〈ℤ, +〉, pois não possui elemento neutro, e nem seus elementos 
são inversíveis em relação à operação do grupo.
VOCÊ SABIA?
A questão de o número zero pertencer ou não ao conjunto ℕ depende do contexto em que se está tratando, ou do autor que escreve um texto de 
Matemática. Dentro do contexto de sequências numéricas, por exemplo, é conveniente escrever que ℕ = {1,2,3,4,...}. 
Um subgrupo H de um grupo G, é um subconjunto não vazio e, necessariamente tem que ser uma parte fechada 
de G em relação à operação do grupo, ou seja, ao operar elementos de um subgrupo H com a operação do grupo 
G, os resultados têm que ser elementos de H. 
Todo grupo G com dois ou mais elementos tal que |G| = n ≥ 2, admite pelo menos dois subgrupos, que 
são denominados de subgrupos triviais. São eles: {e} e G. Todo subgrupo diferente dos subgrupos triviais são 
denominados de subgrupos próprios de G. Por exemplo, o conjunto 〈ℤ,+〉 é um subgrupo próprio de 〈ℚ, +〉.
Alguns aspectos em relação à teoria dos grupos têm aqui que serem levados em consideração. Enunciaremos 
algumas proposições que nos mostrará algumas características específicas de um subgrupo, bem como uma 
forma mais simplificada para identificá-los.
Proposição 1.2 – Sejam 〈G, ∗〉 um grupo e H < G. O elemento neutro de G é o elemento neutro de H.
Prova] Sejam e e e’ os elementos neutros de G e H respectivamente. Considere a ∈ H ⊆ G. Temos que 
a ∗ e’=a e que a ∗ a ∗ e’ = a e que a-1 ∗ a ∗ e’ = a ∗ a-1. Logo e ∗ e’ = e e, portanto e’ = e. ■ 
Proposição 1.3 – Sejam H < G e a ∈ H. O simétrico de a emH coincide com o simétrico de a em G.
Prova] Se k é o simétrico de h em H, então k ∗ h = h ∗ k = e’ em que e’ é o elemento neutro em H. Pela 
proposição 1.2 temos que k ∗ h = h ∗ k = e. Assim, k é o simétrico de h em G. ■
Você notou que as proposições acima nos garantem que um subgrupo, em alguns aspectos, preserva 
características do grupo no qual ele está contido? Tenho certeza que sim. Acompanhe em seguida uma forma mais 
simples de identificar um subgrupo de um grupo G.
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15LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Proposição 1.4 – Seja H um subconjunto não vazio de G. Então, H é um subgrupo de G se, e somente se, para 
h, h1, h2 ∈ H, as duas condições seguintes são satisfeitas:
1) h1 h2 ∈ H 2) h-1 ∈ H
Prova] Suponha que H < G. A condição 1) é então satisfeita. Agora seja h ∈ G; sendo H um grupo, h possui 
inverso em H; mas pela proposição 1.3 este inverso é igual ao inverso de h em G, ou seja h-1; logo h-1 ∈ H e a 
condição 2) é satisfeita. Reciprocamente, suponhamos que as duas condições 1) e 2) sejam satisfeitas. Então a 
condição (i) da definição 1.1 é claramente satisfeita. para verificar a condição (ii) da mesma definição, basta ver 
que e ∈ H; isto de fato acontece pois, tomando h ∈ H, temos h-1 ∈ H pela condição 2) e logo e = hh-1 ∈ H pela 
condição 1). Finalmente, que a condição (iv) é satisfeita decorre da condição 2) é satisfeita. ■ 
 Em resumo, para verificar se um subconjunto H de um grupo G é um subgrupo, è mais conveniente verificar 
se as condições 1) e 2) da proposição 1.4 são satisfeitas.
Exemplos: Considere o grupo G = 〈ℤ10, +〉.
(a) O subconjunto H1={2,8} não é subgrupo de G pois 2 + 8 =(10) = 0 ∉ H1. 
(b) O subconjunto H2={0,5} é subgrupo de G pois 0 +5 = 5 , 5 + 5 = (10) = 0 e, portanto a condição 1) é 
satisfeita. Temos também que o simétrico de 5 é o próprio 5 e, o simétrico de 0 também é ele próprio.
Exemplo: Seja G um grupo e seja Z(G)={g ∈ G, gx = xg, ∀x ∈ G}. Então Z(G) é um subgrupo de G chamado 
de centro de G.
Note que se e é o elemento neutro de G, então ex = xe para todo x ∈ G. Assim, e ∈ Z(G). Além disso, se 
h, k ∈ Z(G) e x ∈ G é um elemento qualquer temos: (hk)x = h(kx) = h(xk) = (hx)k = (xh)k = x(hk). Portanto 
hk ∈ Z(G). Finalmente, temos h-1 x = h-1 (x-1)-1 = (x-1 h)-1 = (hx-1)-1 = xh-1; e concluímos que h-1 ∈ Z(G). 
Nesse caso, fica bem mais simples e rápido verificar quando um subconjunto é um subgrupo de um grupo 
G. Mesmo assim, podemos ainda reescrever a proposição 1.4 a fim de torná-la ainda mais simples. Em verdade 
podemos reescrever as duas condições em uma só. Veja na proposição a seguir.
Proposição 1.5 – Seja H um subconjunto não vazio de G. H é subgrupo de G se, e somente se, para quaisquer 
elementos a,b ∈ H temos ab-1 ∈ H.
Prova] Considere H subgrupo de G. Se a,b ∈ H temos, pela proposição 1.3, que b-1 ∈ H e, portanto, ab-1 ∈ H. 
Reciprocamente, se ab-1 ∈ H para a,b, ∈ H, então aa-1 = e ∈ H. Dado b ∈ H, temos então eb-1 = b-1 ∈ H. Se b-1 
∈ H então a(b-1)-1 = ab ∈ H. Assim, concluímos que H possui elemento neutro, cada elemento de H é inversível, 
e que H é fechado em relação à sua operação. Finalmente, dados a,b,c ∈ H, como H ⊂ G, temos a,b,c ∈ G onde 
vale (ab)c = a(bc). Como H é fechado em relação à sua operação, concluímos que (ab)c = a(bc) ∈ H. Logo, 
H é subgrupo de G. ■ 
Bem, tenho certeza que esta proposição simplificou bastante o processo de identificar se um subconjunto é ou 
não um subgrupo de um dado grupo G. Acompanhe mais alguns exemplos.
Exemplos: Considere o grupo G = 〈ℤ9, +〉.
(a) O subconjunto H1={0,3,5} não é um subgrupo de G, pois (5)-1 = 4 e 3 +(5)-1 = 3 +4 =7 ∉ H1.
(b) O subconjunto H2 = {0,3,6} é subgrupo de G. Para realizar esta verificação, temos que fazer o cálculo de 
todos os compostos do tipo ab-1 e constatar que todos pertencem ao conjunto H2. Acompanhe o cálculo desses 
compostos:
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16 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
0 +(3)-1 = 0 + 6 = 6 ∈ H2 0 + (6)-1 = 0 +3 = 3 ∈ H2
3 +(3)-1 = 3 + 6 = 0 ∈ H2 3 + (6)-1 = 3 + 3 = 6 ∈ H2
6 +(3)-1 = 6 + 6 = 3 ∈ H2 6 + (6)-1 = 6 + 3 = 0 ∈ H2
Enfim, verifique que também podemos relacionar os subgrupos entre si. Acompanhe a próxima proposição que 
nos diz que a intersecção de subgrupos também é um subgrupo.
Proposição 1.6 – Sejam H e K subgrupos de G. Então H ∩ K é também subgrupo de G.
Prova] Sejam a ,b ∈ H ∩ K. Temos que a,b ∈ H e a,b ∈ K. Como H e K são subgrupos, pela proposição 1.5, 
ab-1 ∈ H e ab-1 ∈ K. Assim, ab-1 ∈ H ∩ K, e então H ∩ K é subgrupo de G. ■ 
De uma maneira mais geral, se Hi com i: 1…n, é uma família de subgrupos de um grupo G, então ∩ Hi é 
também um subgrupo de G, ou seja, a intersecção de uma quantidade finita de subgrupos, é também um subgrupo. 
Esta generalização pode ser demonstrada usando a mesma ideia da proposição anterior. Tenho certeza que você 
consegue escrevê-la.
Como você já percebeu, um subgrupo H é um conjunto fechado em relação à operação do grupo principal. Isso 
nos diz que ao operar elementos dentro do subgrupo, o resultado sempre é um elemento do mesmo subgrupo. 
O que tentaremos explicitar agora é uma situação que envolve exatamente a operação realizada com elementos 
de um subgrupo. Ás vezes temos um elemento a pertencente a um subgrupo H, que ao operá-lo sucessivamente, 
encontramos todos os elementos do subgrupo. Quando isto acontece, dizemos que o subgrupo H é gerado pelo 
elemento a e, esse elemento é o que chamamos de gerador do subgrupo. 
Este conceito também pode se estender para um grupo, isto é, podemos ter todos os elementos de um grupo 
originados por operações sucessivas de um elemento do grupo; nesse caso, o grupo passa a ser chamado de 
grupo cíclico, e o elemento a ser operado também se chama gerador do grupo. Vamos acompanhar tais definições 
e proposições relativas a esses conceitos.
GRUPOS CÍCLICOS
Definição 1.7 – Sejam G um grupo e a ∈ G. Denomina-se subgrupo gerado por a o conjunto de todas as potências 
inteiras de a, isto é, 〈a〉 = {am; m ∈ ℤ} = {…,a-2, a-1, a0, a1, a2,…} é o subgrupo gerado por a.
Ao ter um subgrupo cíclico gerado por a, temos um conjunto gerado por potências de a. Neste caso, o elemento 
a é o gerador do subgrupo. 
Veja que aqui estamos usando a definição de potência de um elemento de um grupo. Você lembra a definição 
de potência de um elemento? Caso não esteja recordando, poderá rever a definição 4.7 do módulo de Álgebra I. 
As operações que envolvem potências de um elemento gozam de algumas propriedades que serão muito úteis. 
Além disso, você deve estar lembrado, que a ordem de um elemento a de um grupo é o menor inteiro m tal que 
am = e, onde e é o elemento neutro do grupo. 
Perceba que as potências a serem calculadas são relativas à operação do grupo, ou seja, se temos um grupo 
aditivo, a potência de um elemento é calculada fazendo-se adições sucessivas do elemento. Acompanhe alguns 
exemplos de subgrupos cíclicos.
Exemplos:
(a) O subgrupo H = {0,3,6} de G = 〈ℤ9, +〉 é cíclico. Veja que o elemento 3 é o seu gerador, pois 31=3, 32 = 
3 + 3 = 6 e 33 = 3 + 3 + 3 = 9 = 0. Assim, podemos escrever H = 〈3〉 = {0,3,6}.
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17LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
1 2 3
3 1 2
1 2 3
2 1 3
1 2 3
3 2 1
1 2 3
1 3 2
(b) Considere o grupo diedral do triângulo, D3 = {R0,R1,R2,S1,S2,S3} cuja tábua é a seguinte:
○ R0 R1 R2 S1 S2 S3
R0 R0 R1 R2 S1 S2 S3
R1 R1 R2 R0 S3 S1 S2
R2 R2 R0 R1 S2 S3 S1
S1 S1 S2 S3 R0 R1 R2
S2 S2 S3 S1 R2 R0 R1
S3 S3 S1 S2 R1 R2 R0
em que R0 = ( ); R1 = ( ); R2 = ( ); S1 = ( ); S2 = ( ) e S3 = ( ).
 
O subconjunto H = {R0, R1, R2} é um subgrupo cíclico. Note que é um subconjunto, pois satisfaz as condições 
necessárias para isto. Ele é cíclico, e seu gerador é o elemento R1. Veja que (R1)
1 = R1, (R1)
2 = R2 e (R1)
3 = R0 .
Quando o grupo G é finito, e o elemento a Î G possui ordem igual a k, temos que áañ = {a, a1, a2,..., ak-1, e}. 
No exemplo anterior, 0(R1) = 3 e, portanto, temos o subgrupoH = á R0ñ = {R0, R1, R2}
Mas será que ao fazer potências de um determinado elemento de um grupo, podemos encontrar todos os 
elementos do próprio grupo? Certamente isto pode acontecer em alguns casos. Quando isto acontece, temos o 
que chamamos de grupos cíclicos. 
Definição 1.8 – Seja G um grupo. Diz-se que G é um grupo cíclico se existe um elemento a Î G tal que 
G = áañ, isto é, G = {am, m Î ℤ} = {...,a-2, a-1, a0, a1, a2,...}. 
Aqui, o elemento a Î G, é chamado de gerador do grupo. Além disso, se G é um grupo cíclico, todo elemento 
x Î G é da forma x = am para algum m Î ℤ.
Exemplos:
(a) O grupo áℤ4, +ñ é um grupo cíclico. Seu gerador é o elemento 1 pois, 11 = 1, 12 = 2, 13 = 3 e 14 = 0.
(b) O grupo áℤ, +ñ é um grupo cíclico, e o elemento 1 é o seu gerador. Note que aqui, o elemento -1 também 
é um gerador.
Um grupo cíclico pode ter mais de um gerador. Em geral, ele possui pelo menos dois geradores. Verificaremos 
esta observação mostrando a proposição a seguir.
Proposição 1.9 – Se a Î G é um gerador do grupo cíclico G, então o seu simétrico, a’, também é gerador 
de G.
Prova] Se a’ é o simétrico de a em G temos: áa’ñ = {(a’)m;m Î ℤ} = {a-m;m Î ℤ} = {an; n Î ℤ} = áañ = G.
Assim, o grupo gerado por a é o mesmo gerado por a’. Logo, a’ é também um gerador de G. ■
Esta proposição reafirma que todo grupo cíclico possui pelo menos dois geradores, pois se um elemento é 
gerador de um grupo, o seu simétrico também o é. 
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18 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Os grupos cíclicos também possuem características especiais. Uma delas nos diz que todo grupo cíclico é 
comutativo. Acompanhe a proposição seguinte.
Proposição 1.10 – Todo grupo cíclico é abeliano.
Prova] Seja G um grupo cíclico gerado por a, isto é, G = áañ. Sejam x, y Î G. Então existem 
m, n Î ℤ tal que x = am e y = an . 
Daí temos:
 xy = aman = am+n = an+m = yx.
Logo, G é abeliano. ■
Aqui mostramos que todo grupo cíclico satisfaz a propriedade comutativa, ou seja, todo grupo cíclico é abeliano. 
A recíproca dessa proposição não é verdadeira, isto é, existe grupo abeliano que não é cíclico. Um exemplo clássico 
que nos mostra este fato é grupo de Klein K = {e, a, b, c}; ele é abeliano, mas não é cíclico. Veja sua tábua abaixo:
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Note que todos os elementos, diferentes do elemento neutro, possuem ordem 2; assim, não há como algum 
elemento ser gerador do grupo.
Podemos relacionar a ordem do elemento gerador do grupo, com a ordem do grupo. Inicialmente, observe o 
teorema.
Teorema 1.11 – Se G é um grupo cíclico finito de ordem n, gerado pelo elemento a, então:
(i)an = e
(ii)G = {e, a1, a2,..., an-1}.
 [Prova] Sendo G finito, temos que o conjunto Q = {a,a2,a3,...} = {am, m Î Z *+} é um subconjunto finito de G. 
Assim, existem inteiros positivos m1 e m2, com m1 < m2 tais que a
m1 = am2. Logo, temos a seguinte igualdade;
am2-m1 = am2a-m1 = am2 (am1)-1 = am1 (am1)-1 = e.
Como m2 > m1, existe um inteiro k positivo, tal que a
k = e. Seja então s, o menor dos inteiros, tal que as = e. 
Então temos aj ≠ e para j = 1,...s - 1. Mostraremos agora que G = {e, a1, a2,..., as-1}.
De fato, seja x um elemento qualquer G. Como G = áañ, existe m inteiro tal que x = am. Pelo 
algoritmo da divisão, podemos escrever m = sq + r, para q, r Î Z onde 0 ≤ r < s. Logo temos,
 am = asq+r = asq a r = (as)q = eq ar = ar.
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19LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Como 0 ≤ r < s, temos que x Î {e,a,a2,...,as-1}. Por tanto G ⊂ {e,a,a2,...,as-1} e concluímos que 
G = {e,a,a2,...,as-1}. Assim, |G| = s e temos n = s ; logo, G = {e,a,a2,...,an-1} com an = e. ■ 
Com este teorema, concluímos que um grupo cíclico finito de ordem n tem que ser gerado por um elemento 
cuja ordem também seja n. Caso a ordem do elemento seja menor do que a ordem do grupo, o que geramos são 
subgrupos cíclicos, uma vez que todo subgrupo de um grupo cíclico é também cíclico.
Proposição 1.12 – Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico. Mais precisamente, se G é um grupo gerado 
por a, e H subgrupo de G, então H = {e} , onde e é o elemento neutro de G ou H = áasñ, sendo que s é o menor 
dos expoentes positivos n tal que an Î H.
Prova] Como G = {am, m Î Z} temos que os elementos de H são cer tas potências de a. Sendo 
H < G temos dois casos a considerar:
1º caso) H = {e}. Nesse caso, temos H = áeñ.
2º caso) H ≠ {e}. Nesse caso, existe um inteiro k ≠ 0 tal que ak Î H . Como H é subgrupo de G, temos que 
a-k Î G. Assim, existe um expoente positivo n tal que an Î H. Considere então o conjunto S = {n Î ℤ, n > o e an 
Î H} , que é claramente não vazio, e está contido em ℕ. Seja s o menor inteiro em s; mostraremos que H = áasñ.
Dado x Î H, temos x = am para algum inteiro m. Sendo s > 0, pelo algoritmo da divisão, existem q, r inteiros 
tais que m = qs + r em que 0 ≤ r < s. Daí r = m - qs e então temos; ar = am-qs = am a-qs = am ((as) q)-1.
Como x = am Î H e y = as Î H temos que ar = xy-1 Î H. Logo r = 0, pois s é o menor inteiro positivo tal 
que as Î H. Assim, m = qs e então am = aqs = (as)q Î áasñ. Temos então H ⊂ áasñ.
Reciprocamente, como as Î H temos que (as)q Î H para cada q Î ℤ. Logo, (as) ⊂ H.
Concluímos então que H = áasñ e, portanto cíclico. ■ 
Exemplos:
(a) Todo subgrupo de áℤ, +ñ é cíclico. Além disso, se H é subgrupo de ℤ, então H = {0} = á0ñ ou 
H = áañ = {ma, m Î ℤ} onde a é o menor inteiro positivo em H.
(b) Todo subgrupo de áℤm, +ñ é cíclico. Se H é subgrupo de ℤm, então H = {0} = á0ñ ou H = áañ em que a 
é o menor dos inteiros positivos n tal que n Î H.
(c) Com base no exemplo anterior podemos descrever todos os subgrupos do grupo aditivo ℤ10. Vejamos:
H1 = {0}
H2 = {1} = á3ñ = á7ñ = á9ñ = ℤ10
H3 = {2} = á4ñ = á6ñ = á8ñ = {0,2,4,6,8}
H4 = {5} = {0,5}.
Você pode perceber que aqui a ordem dos subgrupos está relacionada com a ordem do grupo. Mais precisamente, 
podemos afirmar que a ordem de um subgrupo não trivial é sempre menor que a do grupo e, na verdade, a ordem 
desse subgrupo divide a ordem do grupo; por exemplo, um grupo com 10 elementos só pode vir a ter subgrupos 
com 1, 2, 5 ou 10 elementos. Para elucidar este fato, teremos que conhecer mais algumas definições de teorema 
para introduzir o Teorema de Lagrange.
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20 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
SAIBA MAIS
Joseph Louis Lagrange nasceu em Torino na Itália e transformou-se no maior matemático do século XVIII, depois de Euler. Além de grande 
matemático, Lagrange era um excelente professor, sendo dele as palavras relembradas pela maioria dos professores do mundo: “somente se 
conhece bem uma teoria quando se é capaz de explicá-la ao primeiro homem que se encontrar na rua”.
CLASSES LATERAIS
Para enunciar e demonstrar o Teorema de Lagrange, precisamos antes conhecer as classes laterais de um 
subgrupo H ⊂ G.
Definição 1.13 – Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para cada elemento a Î G, define-se a classe 
lateral direita de H, determinada por a, como sendo o conjunto:
 Ha = {ha, h Î H}
Analogamente, definimos o conjunto aH = {ah, h Î H} como classe lateral esquerda de H, determinada por a.
Exemplo: Seja G = {1, i, -1, -i} o grupo multiplicativo e seja H= {1, -1} um subgrupo. Suas classes laterais a 
esquerda são:
1 ⋅ H = {1 ⋅ 1,1 ⋅ (-1)} = {1,-1};
i ⋅ H = {i ⋅ 1,i ⋅ (-1)} = {i,-i}; 
-1 ⋅ H = {-1 ⋅ 1,-1 ⋅ (-1)} = {-1,1};
-i ⋅ H = {-i ⋅ 1,-i ⋅ (-1)} = {-i,i}.
Concluímos então que H possui duas classes laterais a esquerda: 1 ⋅ H e i ⋅ H, pois: 1 ⋅ H = -1 ⋅ H, e 
i ⋅ H = -i ⋅ H.
Suas classes laterais a direita são:
H ⋅ 1 = {1 ⋅ 1,-1 ⋅ 1} = {1,-1};
H ⋅ i = {1 ⋅ i,-1 ⋅ i } = {i,-i}; 
H ⋅ (-1) = {1 ⋅ (-1),-1 ⋅ (-1)} = {-1,1};
H ⋅ (-i ) = {1 ⋅ (-i), -1 ⋅ (-i)} = {-i,i}.
Concluímos então que H possui duas classes laterais a direita: H ⋅ 1 e H ⋅ i, pois: H ⋅ 1 = H ⋅ (-1), e 
H ⋅ i = H ⋅ (-i).
Você deve ter percebido também que aqui as classes laterais a direita e a esquerda coincidem, ou seja, 
aH = Ha para todoa Î G. Isto sempre acontece se G é um grupo abeliano. Se G não é um grupo abeliano, nem 
sempre as classes laterais a esquerda e a direita coincidem. Acompanhe o próximo exemplo.
Exemplo: Seja G = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} o grupo diedral do triângulo e seja H = {R0, S1} um subgrupo. De 
acordo com a tábua do grupo exposta abaixo, podemos verificar as classes laterais de H.
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21LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
○ R0 R1 R2 S1 S2 S3
R0 R0 R1 R2 S1 S2 S3
R1 R1 R2 R0 S3 S1 S2
R2 R2 R0 R1 S2 S3 S1
S1 S1 S2 S3 R0 R1 R2
S2 S2 S3 S1 R2 R0 R1
S3 S3 S1 S2 R1 R2 R0
 
Classes laterais à esquerda:
R0 ○ H = {R0 ○ R0, R0 ○ S1} = {R0, S1};
R1 ○ H = {R1 ○ R0, R1 ○ S1} = {R1, S3};
R2 ○ H = {R2 ○ R0, R2 ○ S1} = {R2, S2};
S1 ○ H = {S1 ○ R0, S1 ○ S1} = {S1, R0};
S2 ○ H = {S2 ○ R0, S2 ○ S1} = {S2, R2};
S3 ○ H = {S3 ○ R0, S3 ○ S1} = {S3, R1};
Assim, concluímos que o subgrupo H possui 3 classes laterais à esquerda distintas, que são R0 ○ H, R1 ○ H e 
R2 ○ H, pois R0 ○ H = S1 ○ H, R1 ○ H = S3 ○ H e R2 ○ H = S2 ○ H.
Classes laterais à direita:
H ○ R0 = {R0 ○ R0, S1 ○ R0} = {R0, S1};
H ○ R1 = {R0 ○ R1, S1 ○ R1} = {R1, S2};
H ○ R2 = {R0 ○ R2, S1 ○ R2} = {R2, S3};
H ○ S1 = {R0 ○ S1, S1 ○ S1} = {S1, R0};
H ○ S2 = {R0 ○ S2, S1 ○ S2} = {S2, R1};
H ○ S3 = {R0 ○ S3, S1 ○ S3} = {S3, R2}.
Assim, concluímos que o subgrupo H possui 3 classes laterais à direita distintas, que são H ○ R0, H ○ R1 e H ○ 
R2, pois H ○ R0 = H ○ S1, H ○ R1 = H ○ S2 e H ○ R2 = H ○ S3.
Você percebeu que nesse caso nem todas as classes laterais direita e esquerda coincidem? Perceba que temos, 
por exemplo, R1 ○ H ≠ H ○ R1. Mas alguma coisa elas tem em comum: a quantidade de elementos na classe. Em 
uma classe lateral, a direita ou esquerda, sempre tem a mesma quantidade de elementos. No exemplo anterior, 
cada classe lateral possui exatamente dois elementos.
As classes laterais de um subconjunto possuem suas características e propriedades bem definidas. Vamos 
conhecer algumas delas através das próximas proposições.
Definição 1.14 – A cardinalidade do conjunto das classes laterais à esquerda é o índice de H em G; ele será 
denotado por (G : H) .
Exemplo: No subgrupo H = {R0, S1} de G = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} temos exatamente três classes laterais; assim 
o índice de H em G, é dado por (G : H) = 3.
Uma observação se faz importante: o índice de H em G também é a cardinalidade do conjunto das classes 
laterais à direita de H em G, pois a aplicação ϕ descrita abaixo é uma bijeção.
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22 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ϕ: {classe lateral a direita} → {classe lateral a esquerda} 
 xH → Hx-1
Assim, temos que o índice de um subgrupo H de G é a quantidade de classes laterais à direita ou à esquerda. 
Veja agora mais algumas propriedades importantes sobre classes laterais de um subgrupo.
Teorema 1.15 – Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Então:
(a) ∀a,b Î G, tem-se Ha = Hb ⇔ ab-1 Î H.
(b) ∀a,b Î G, se b Î Ha então Hb = Ha.
(c) Duas classes laterais de H são iguais ou disjuntas, isto é, ∀a,b Î G, Ha = Hb ou Ha ∩ Hb = ∅.
(d) Se H é um subgrupo finito, então a cardinalidade de Ha, de aH e de H é a mesma, ou seja, |H|=|aH|=|Ha|.
(e) A reunião de todas as classes laterais a direita de H é igual a G, ou seja, ⋃aÎGHa = G
Prova] Sejam a e b elementos de G.
(a) (⇒) Sendo e o elemento neutro de G, temos a = ea Î Ha . Se Ha = Hb, então a Î Hb, logo a = hb para 
algum h Î H. Então ab-1 = h Î H. 
 (⇐) Suponha agora que ab-1 Î H. Então temos: (i)Ha ⊂ Hb. Tome x Î Ha; temos x = Ha, para algum h 
Î H. Daí, x = (ha)e = (ha) (b-1b) = (hab-1)b e como hab-1 Î H conclui-se que, x Î Hb.
(ii)Hb ⊂ Ha. Tome x Î Hb; como ab-1 Î H temos que ba-1 Î H pois ba-1 = (ab-1)-1. Assim, x = hb para 
algum h Î H. Daí x = (hb)e = (hb) (a-1a) = (hba-1)a, e como hba-1 Î H conclui-se que, x Î Ha.
De (i) e (ii) temos que Ha = Hb.
(b) Suponha que b Î Ha. Então b = ha para algum h Î H e, portanto, h = ba-1, onde deduzimos que 
ab-1 Î H. Então pelo item (a) temos que Ha = Hb.
(c) Vamos supor que Ha e Hb não são disjuntas. Então existe x Î G tal que Ha ∩ Hb. Logo, x = h1a h2b para 
certos h1,h2
 Î H. Assim, ab-1 = h1h2-1 Î H e, pelo item (a), Ha = Hb.
(d) Considere a aplicação f: H → Ha, definida por f(h) = ha , para todo h Î H. Note que f é uma aplicação 
bijetora; veja que é claramente sobrejetora, pois todo elemento de Ha é da forma ha, para algum h Î H, sendo, 
portanto da forma f(h) para algum h Î H; é também injetora, pois se f(h1) = f(h2), então h1a = h2a e, portanto 
temos h1 = h2. Assim, f estabelece uma relação biunívoca entre H e Ha e, se H for finito, então teremos |H|=|Ha|.
(e) Para cada elemento x Î G temos x Î Hx, logo x Î ⋃xÎG Hx. Portanto G ⊂ ⋃xÎG Hx. Reciprocamente 
Hx Î G para cada x Î G. Logo, ⋃xÎG Hx ⊂ G. Assim, G = ⋃xÎG Hx. ■
Exemplo: Em G ={1,-1,i,-1} temos o subgrupo H ={1,-1} que possui as seguintes classes laterais a direita 
H ⋅ 1 = {1,-1} e H ⋅ i= {i ,-1}. Note que: 
• G =H ⋅ 1 ∪ H ⋅ i
• H ⋅ 1 ∩ H ⋅ i = ∅
• |H|=|H ⋅ 1|=|H ⋅ i|= 2
Observe que o teorema apresentado nos diz que o conjunto das classes laterais a direita (ou a esquerda) de um 
subgrupo H de G, constituem uma partição do grupo G. Lembre-se: uma partição de um conjunto G é um conjunto 
de subconjuntos de G, que são disjuntos e cuja união resulta no próprio G.
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Enunciaremos então um dos teoremas mais importantes no estudo da teoria de grupos: o Teorema de Lagrange. 
Este teorema nos diz que todo subgrupo H de um grupo G tem ordem igual a um divisor da ordem de G. Isto nos 
ajudará a encontrar os subgrupos de um grupo G, uma vez que não precisamos mais testar todos os subconjuntos, 
apenas aqueles que são fechados, possui elemento neutro e tem ordem dividindo a ordem do grupo. Vejamos 
então tal teorema.
Teorema 1.16 – (Teorema de Lagrange) Sejam G um grupo finito e H um subgrupo de G. Então 
|G|=|H| ⋅ (G : H); em particular, a ordem e o índice de H dividem a ordem de G.
Prova] Considerando o conjunto das classes laterais a direita (ou a esquerda), temos um partição do conjunto 
G. De acordo com o teorema 1.15, em cada uma dessas classes temos exatamente |H| elementos. De acordo com 
a definição 1.14, o número de classes laterais é (G : H), e então teremos a igualdade |G|=|H| ⋅ (G : H). Assim, a 
ordem de H divide a ordem de G. ■
Corolário 1.17 – Seja G um grupo finito e seja x Î G. Então a ordem de x divide a ordem de G. Em particular, 
x|G| = e.
Prova] Por definição, a ordem do elemento é a ordem do subgrupo gerado por ele, ou seja, 0(x) = ∣ áxñ ∣. 
Aplicando o teorema de Lagrange, ∣ áxñ ∣|∣G∣. Em particular, ∣G∣ = 0(x) ⋅ m, com m Î ℤ. 
Daí, x|G| = x0(x)⋅m = (x 0(x))m = em = e. ■
Veja que o teorema de Lagrange é muito útil para encontrar subgrupos de um grupo. Sabemos agora que não 
precisamos testar todos os subconjuntos de um grupo, que contenham o elemento neutro, para determinar seus 
subgrupos; basta testar aqueles cuja ordem divida a ordem do grupo. Por exemplo, num grupo de ordem 10, basta 
testar os subconjuntos que tenham ordem 1, 2, 5 ou 10. Em particular, basta testar os subconjuntos de ordem 2 ou 
5, pois o de ordem 1 tem que ser o elemento neutro, e o de ordem 10 é o próprio grupo, ambos subgrupos triviais.
Exemplo: Seja G = áxñ um grupo cíclico multiplicativo de ordem 8. Temos que G = {e,x,x2,x3,x4,x5,x6,x7} e x8 = 
e. Seus subgrupos podem ter ordem 1, 2, 4 ou 8. Assim os subgrupos de G são:
H0 = {e} H1 = áx ñ = áx4ñ = {e,x4}
H2 = áx ñ = áx2ñ = {e,x2,x4,x6} H3 = áx ñ = áxñ = G
Veja que no exemplo anterior nos baseamos no corolário que diz que a ordem do elemento também divide a 
ordem do grupo. Assim, consideramos os subgrupos gerados por elementos que tinham ordem como sendo os 
divisores de 8. Tenho certeza que nosso trabalho de encontrar tais subgrupos foi devidamente reduzido ao aplicarmos 
o corolário. Acompanhe mais um exemplo interessante.
Exemplo: Seja G um grupo de ordem 4. Mostre queG é abeliano.
Aqui basta fazer referência ao grupo que é não cíclico, pois já provamos que todo grupo cíclico é abeliano. 
Temos então que |G|=4. Assim, as possibilidades para as ordens dos elementos de G são 1, 2 ou 4. Como G 
não é cíclico, não existe elemento com ordem 4. Seja a ≠ e, então 0(a) = 2 o que nos leva a a2 = e e, portanto, 
a = a-1 , para todo a Î G. Sejam então a,b Î G; temos que ab = a-1b-1 = (ab)-1 = ba. Logo G é abeliano. Um 
exemplo clássico de grupo não cíclico de ordem 4 é o grupo de Klein, que é claramente abeliano.
Corolário 1.18 – Todo grupo de ordem p - primo é cíclico. Em particular, é abeliano.
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Prova] Seja G um grupo de ordem p-primo. Dado g Î G - {e} temos que 0(g) = p, isto é |áxñ| = p. Logo 
G = ágñ e, portanto, é cíclico e abeliano. ■
Note também que todo grupo de ordem prima só possui os subgrupos triviais: o elemento neutro e o próprio 
grupo. Isto também é devido ao teorema de Lagrange; como a ordem do subgrupo tem que dividir a ordem do 
grupo, um grupo de ordem p-primo só tem como divisores da ordem o 1 e o próprio p.
Em resumo a estes exemplos e corolários podemos concluir que todo grupo finito que possua ordem menor 
ou igual a 5 é abeliano. Veja que se ele tem apenas 1 elemento, este é o neutro e claramente abeliano; se ele tem 
ordem 2, 3 ou 5, por ser número primo, então pelo corolário 1.18 é abeliano; e se ele tem ordem 4, pelo exemplo 
feito anteriormente também é abeliano.
SUBGRUPOS NORMAIS
Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. A operação definida em G induz de maneira natural uma operação 
sobre o conjunto das classes laterais à esquerda de H em G. 
Tal operação é dada por (xH,yH) → xyH, e está bem definida, uma vez que não depende da escolha 
dos representantes x e y. Assim, dados x,y Î G e h,k Î H arbitrários, temos então que x e xh são 
representantes da mesma classe xH, y e yk são representantes da mesma classe yH. Portanto, a operação 
induzida pela operação de G, sobre as classes à esquerda de H é bem definida se, e somente se, yxH 
= xhykH para todo x,y Î G e todo h,k Î H; logo, se, e somente se, y-1x-1xyH = y-1x-1xhykH, ou seja, 
H = y-1hyH para todo y Î G e todo h Î H; e, portanto, se e somente se yhy-1 Î H todo y Î G e todo h Î H.
Esta operação caracteriza um tipo especial de subgrupo: o subgrupo normal. Conheceremos agora, então, este 
tipo de subgrupo. O seu estudo é importante, pois através dele conseguiremos definir também um tipo especial 
de grupo: o grupo quociente.
Definição 1.19 – Um subgrupo H de um grupo G é chamado de subgrupo normal se xH = Hx para todo x Î G.
Para denotar que H é um subgrupo normal de G usaremos a seguinte simbologia: H ⊴ G. 
Dos exemplos estudados acima, podemos destacar alguns subgrupos normais. 
Acompanhe nos exemplos a seguir.
Exemplo: Seja G = {1,i,-1,-i} o grupo multiplicativo e seja H = {1,-1} um subgrupo. Veja suas classes laterais 
a direita e esquerda mais abaixo:
Classes laterais à esquerda Classes laterais à direita
1 ⋅ H = {1 ⋅ 1,1 ⋅ (-1)} = {1,-1} H ⋅ 1 = {1 ⋅ 1,-1 ⋅ 1} = {1,-1}
i ⋅ H = {i ⋅ 1,i ⋅ (-1)} = {i,-i} H ⋅ i = {1 ⋅ i,-1 ⋅ i} = {i,-i}
-1 ⋅ H = {-1 ⋅ 1,-1 ⋅ (-1)} = {-1,1} H ⋅ (-1) = {1 ⋅ (-1),-1 ⋅ (-1)} = {-1,1}
-i ⋅ H = {-i ⋅ 1,-i ⋅ (-1)} = {-i,i} H ⋅ (-i) = {1 ⋅ (-i),-1 ⋅ (-i)} = {-i,i}
Note que H é um subgrupo normal, pois para todo x Î G temos xH = Hx.
Em geral, em um grupo abeliano, todo subgrupo é normal. Os subgrupos triviais {e} e G de um grupo também 
são subgrupos normais de G. Se o grupo não for abeliano, ele também pode conter subgrupos normais.
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25LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Exemplo: Seja G = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} o grupo diedral do triângulo e seja H = {R0, R1, R2} um subgrupo. De 
acordo com a tábua do grupo exposta abaixo veja as classes laterais a direita e esquerda de H.
○ R0 R1 R2 S1 S2 S3
R0 R0 R1 R2 S1 S2 S3
R1 R1 R2 R0 S3 S1 S2
R2 R2 R0 R1 S2 S3 S1
S1 S1 S2 S3 R0 R1 R2
S2 S2 S3 S1 R2 R0 R1
S3 S3 S1 S2 R1 R2 R0
 
Classes laterais à esquerda Classes laterais à direita
R0 ○ H = {R0, R1, R2} H ○ R0 = {R0, R1, R2}
R1 ○ H = {R1,R2, R0} H ○ R1 = {R1, R2, R0}
R2 ○ H = {R2,R0, R1} H ○ R2 = {R2, R0, R1}
S1 ○ H = {S1, S2 ,S3} H ○ S1 = {S1, S3, S2}
S2 ○ H = {S2, S3 ,S1} H ○ S2= {S2, S1, S3}
S3 ○ H = {S3, S1 ,S2} H ○ S3 = {S3, S2, S1}
Note que H ⊴ G, mesmo G não sendo um grupo abeliano. Veja também que aqui a igualdade das classes laterais 
refere-se à igualdade de conjuntos, isto é, o conjunto xH é igual ao conjunto Hx, para todo x Î G. 
Quando um subgrupo é normal, suas classes laterais à direita e esquerda coincidem. Sendo assim, nos referiremos 
apenas às classes laterais do subgrupo, sem a necessidade de destacar se é direita ou esquerda.
Proposição 1.20 – Seja G um grupo, H um subgrupo de H e a Î G. Então:
(i) aHa-1 = {aha-1, ∀h Î H} é um subgrupo de G.
(ii) aH = Ha se, e somente se aHa-1 = H.
Prova] (i) Para mostrar que aHa-1 é um subgrupo de G, basta mostrar que dados x,y Î aHa-1 temos 
xy-1 Î aHa-1. Então, se x,y Î aHa-1, existem h1, h2 Î H tais que x = ah1a-1 e y = ah2a-1. Logo, 
xy-1 = ah1a-1 (ah2a-1)-1 = ah1a-1 (a-1)-1(h2)-1 a-1 = ah1a-1ah2-1a-1 = ah1 ⋅ e ⋅ h2-1a-1 = ah1 h2-1a-1;
Como H é subgrupo, existe h3 Î H tal que h3 = h1h2-1. Assim, xy-1 = ah3a-1 Î aHa-1. Portanto, aHa-1 é 
subgrupo de G.
(ii) (⇒) Suponha que aH = Ha. Queremos provar que aHa-1 = H, ou seja, temos que provar que 
aHa-1 ⊂ H e que H ⊂ aHa-1.
Temos que aHa-1 ⊂ H pois dado x Î aHa-1 existe h1 Î H tal que x = ah1a-1. Como aH = Ha (igualdade de 
conjuntos) existe um h2 Î H tal que ah1 = h2a; assim, x1 = ah1a-1 = h2aa-1 = h2 ⋅ e = h2 Î H. Por outro lado, 
temos que H ⊂ aHa-1 pois dado h1 Î H e a Î G podemos escrever h1 = h1 ⋅ e = h1aa-1. Como aH = Ha (igualdade 
de conjuntos) existe um h2 Î H tal que h1a = ah2; assim, h1 = h1-1 ⋅ e = h1aa-1 = ah2a-1 Î aHa-1. Concluímos 
então que aHa-1 = H.
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26 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
(⇐) Suponha agora que aHa-1 = H. Queremos provar que aH = Ha, ou seja, temos que provar que aH ⊂ Ha 
e que Ha ⊂ aH.
Temos que aH ⊂ Ha pois dado x Î aH, existe h1 Î H tal que x = ah1. Note que temos xa-1 = ah1a-1 Î 
aHa-1 = H; logo xa-1 Î H e existe h2 Î H tal que xa-1 = h2. Temos então xa-1a = h2a o que nos leva a 
x = h2a para algum h2 Î
 H; logo x Î Ha e temos aH ⊂ Ha. Por outro lado, Ha ⊂ aH, pois dado x Î Ha, existe 
h1 Î
 H tal que x = h1a. Note que temos xa-1 = h1aa-1 = H1 Î H = aHa-1; logo xa-1 Î aHa-1 e existe h2 Î H tal que 
xa-1 = ah2a-1. Temos então xa-1a = ah2aa-1 o que nos leva a x = ah2 para algum h2 Î H; logo x Î H e temos 
Ha ⊂ aH. ■ 
Esta proposição nos permite uma nova caracterização para os subgrupos normais. Note que provamos que 
as classes laterais a direita e esquerda são iguais, para cada elemento a de G, se, e somente se aHa-1 = H, dado 
H um subgrupo qualquer de G. Isto nos diz que tal subgrupo é normal e, assim, podemos escrever uma nova 
definição para caracterizá-lo.
Definição 1.21 – Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. H é um subgrupo normal de G se aHa-1 = H para 
todo a Î G.
Esta definição nos fornece uma nova forma de verificar se um dado subgrupo é normal ou não. Para melhor 
visualizar tal forma acompanhe uma proposição que mostra esta relação.
Proposição 1.22 – Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Então H é um subgrupo normal de G se, e 
somente se, aHa-1 ⊂ H para todo a Î G.
Prova] (⇒) Se H é um subgrupo normal, então pela definição temos que, aHa-1 = H para todo a Î G e, portanto, 
aHa-1 ⊂ H para todo a Î G.
(⇐) Temos que provar que aHa-1 = H para todo a Î G. Por hipótese, temos que, aHa-1 ⊂ H para todo 
a Î G, logo resta mostrar que H ⊂ aHa-1 para todo a Î G. Sendo assim, suponha x Î G; temos que axa-1 Î 
aHa-1, e como por hipótese aHa-1 ⊂ H para todo a Î G temos que axa-1 Î H. Como H é subgrupo, temos que 
b= (axa-1)-1 = a-1x-1a Î H. Daí aba-1 Î aHa-1 e temos aba-1 = a(a-1x-1a)a-1 = (aa-1)x-1 Î aHa-1. Como aHa-1 
é um subgrupo, temos que x Î aHa-1 o que nos leva a H ⊂ aHa-1. Assim, aHa-1 = H para todo a Î G, e temos 
que H é um subgrupo normal de G. ■
Esta proposição facilita os cálculos de verificação de um subgrupo normal. De fato, para H ser um subgrupo 
normal de um grupo G, basta verificar se aHa-1 ⊂ H para todo a Î G. Vamos então acompanhar alguns exemplos 
para elucidar tal proposição.
Exemplos: (a) Seja G um grupo abeliano. Então todo subgrupo H de G é normal.
De fato, seja x Î H; para todo a Î G temos axa-1 Î aHa-1. Como G é abeliano, temos axa-1 = xaa-1 = xe = 
x Î H. Logo, aHa-1 ⊂ H e concluímos que H é normal em G.
(b) Seja G = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} o grupo diedral do triângulo e seja H = {R0, S1} um subgrupo. De acordo 
com a tábua do grupo exposta abaixo podemos ver que H não é um subgrupo normal, pois dado a = R1 temos 
que aHa-1 ⊄ H. Acompanhe: a ○ S1 ○ a-1 = R1 ○ S1 ○ (R1)-1 = R1 ○ S1 ○ R2 = S3 ○ R2 = S2 ∉ H .
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27LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
○ R0 R1 R2 S1 S2 S3
R0 R0 R1 R2 S1 S2 S3
R1 R1 R2 R0 S3 S1 S2
R2 R2 R0 R1 S2 S3 S1
S1 S1 S2 S3 R0 R1 R2
S2 S2 S3 S1 R2 R0 R1
S3 S3 S1 S2 R1 R2 R0
Um resultado importante e bastante utilizado será apresentado no próximo exemplo. Ele nos diz que todo subgrupo 
de índice 2 é um subgrupo normal. Veja:
Exemplo: Se (G : H) = 2, então H ⊴ G.
Para mostrar este fato, verificaremos que xH = Hx para todo x Î G. Veja que se x Î H, temos que xH = H = 
Hx. Se x ∉ H temos xH ≠ Hx e Hx ≠ H. Como (G : H) = 2, existem exatamente duas classes laterais à esquerda 
que são xH e H. Por outro lado, temos também duas classes laterais à direita que são Hx e H. Como as classes 
laterais formam uma partição do grupo G temos:
G = H ⨃xH o que nos leva a xH = G - H; e G = H ⨃Hx o que nos leva a Hx = G - H. Assim, podemos concluir 
que xH = Hx e, portanto que H é normal em G. 
Uma vez conhecido os subgrupos normais, passaremos agora a um tipo especial de grupo: o grupo quociente. 
Acompanharemos sua definição bem como o estudo de suas propriedades.
GRUPO QUOCIENTE
Teorema 1.23 – Sejam G um grupo e H ⊴ G. Então o conjunto G/H = {aH,a Î G} com a operação induzida 
pela operação de G, isto é, para a,b Î G definimos (aH)(bH) = abH é um grupo.
Prova] Se e é o elemento neutro de G, então eH = H é o elemento neutro de G/H. Temos que (aH)-1 = a-1H. 
Por fim, temos a associatividade [(aH) (bH)] (cH) = (abH) (cH) = (abc)H = aH(bcH) = (aH)[(bH) (cH)]. ■
Definição 1.24 – O grupo construído no teorema 1.23 é denominado de grupo quociente de G por H. 
Note que para termos um grupo quociente é necessário que o subgrupo em questão seja um subgrupo normal. 
Veja alguns exemplos de grupos quocientes.
Exemplos: (a) Considere o grupo G = {1,i,-1,-i} e seu subgrupo normal H = {1,-1}. As classes laterais de H 
são H e iH. Sendo assim, o grupo quociente é dado por G/H = {H, iH} e sua tábua é:
⋅ H iH
H H iH
iH iH H
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28 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Note que o elemento neutro desse grupo é o H.
(b) Considere o grupo diedral do triângulo G = {R0, R1, R2, S1, S2, S3} e seu subgrupo normal H = {R0, R1, R2}. As 
classes laterais de H são H e (S1)H. Logo, o grupo quociente é dado por = {H,(S1)H} e sua tábua é:
○ H (S1) H
H H (S1) H
(S1) H (S1) H H
Aqui também o elemento neutro é o H. Lembre-se de que S1 ○ S1 = R0, que é o elemento neutro do grupo diedral 
do triângulo.
Algumas propriedades do grupo G são herdadas pelo grupo quociente G/H, sendo H um subgrupo normal de 
G. Por exemplo, se G é um grupo abeliano, então o grupo quociente G/H é também abeliano, porém a recíproca 
desta afirmação não é verdadeira. Se G é um grupo cíclico então G/H é também um grupo cíclico.
Exemplo: Seja G = ℤ e seja H = 3ℤ um subgrupo de G. Aqui, G é um grupo aditivo e abeliano, assim, temos 
que H é normal em G. O grupo quociente G/H é dado por = {H,1 + H,2 + H} = {0, 1, 2}, em que as classes 
0, 1 e 2 representam respectivamente o resto da divisão do inteiro por 3. Sua tábua é:
+ H 1 + H 2 + H
H H 1 + H 2 + H
1 + H 1 + H 2 + H H
2 + H 2 + H H 1 + H
Note que H é o elemento neutro, que G/H é abeliano e cíclico. Seu gerador é 1 + H. 
Espero que tenha compreendido bem os subgrupos e os tipos especiais de grupos que conhecemos. Daremos 
seguimento ao nosso estudo conhecendo certas aplicações entre grupos. Tais aplicações recebem nomes especiais: 
homomorfismos de grupos. Espero que continue empolgado com tantas descobertas.
Sugestões de atividades
01. Faça o que se pede:
a) Verifique se H = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} é subgrupo de áℤ14, +ñ.
b) Mostre que á14ℤ, +ñ, é subgrupo de á7ℤ, +ñ.
c) Verifique se á5ℤ, +ñ, é subgrupo de á15ℤ, +ñ.
d) Mostre que H = {6n;n Î ℤ} é subgrupo de áℝ*, ⋅ñ.
e) Mostre que J = {x Î ℝ; x > 0} é um subgrupo do grupo multiplicativo dos reais.
G
H
G
H
+
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29LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
f) Verifique se H = {x Î ℝ; x < 0} não é um subgrupo do grupo multiplicativo dos reais.
g) Mostre que K = {x = a + b2; a,b Î ℝ} é subgrupo de G = áℝ, +ñ.
h) Verifique se H = {números pares} é um subgrupo de G = áℤ\{1}, #ñ, onde a # b = a + b - ab.
i) Seja G = áGL2(ℝ), ×ñ, o grupo das matrizes reais inversíveis de ordem 2. Verifique se o conjunto 
K = {( ); a Î ℝ*}, munido da operação de G é subgrupo.
j) Prove que o subconjunto H é um subgrupo de G = áGL2(R), ×ñ, sendo 
H = {( ); a,b Î ℝ são não simultaneamente nulos}.
02. Prove que “se H,K são subgrupos de um grupo G então H ∩ K é também um subgrupo de G”.
03. Afirmação: O resultado análogo para reunião de subgrupos não é verdadeiro. Enuncie este resultado. Prove 
que ele não é verdadeiro.
04. Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:
a) á-15ñ e á12ñ em áℤ, +ñ;
b) á2ñ e á- ñ em áℝ*, ⋅ñ;
 c) á2ñ e á3ñ em áℤ12, +ñ;
d) á2ñ, á5ñ e á7ñ em áℤ*, +ñ;
05. Determine os subgrupos gerados por cada um dos elementos em seu grupo correspondente.
a) S2 em D3; 
b) 7 em áℤ*, +ñ;
c) R3 em D5; 
d) 5 em áℤ13, +ñ;
06. a) Seja G = {a, a2, a3, a4,..., a28} um grupo multiplicativo de ordem 28, gerado pelo elemento. Determine o 
subgrupo gerado por cada um dos elementos: a3, a6, a7, a8, a15.
b) Seja G um grupo cíclico de ordem 36, gerado pelo elemento y. Determine, se possível, os subgrupos deste 
grupo cujas ordens são: 2, 3, 4, 6 e 12.
07. a) Mostre que o par á{0, 6, 12, 18}, +ñ é subgrupo do grupo aditivo ℤ24.
b) Determinar a ordem dos subgrupos de áℤ30, +ñ gerados pelos elementos 5, 7, 15, 20 e 25.
08. Seja G um grupo e seja s Î G. Seja H = ásñ. Então H ⊴ G asa-1 Î G para todo a Î G.
09. Seja G um grupo e H um subgrupo de ordem n > 0. Se H é o único subgrupo de ordem n, então H é normal 
em G.
10. Sejam M e N subgrupos normais de G, então M ∩ N é normal em G.
11. Procure os subgrupos normais de S3 e D4.
12. Seja G um grupo cíclico de ordem 6 gerado por a. Sendo H = áa2ñ construa a tábua do grupo G/H.
4
7
a a
a 0
a a
-b a
7
11
EaD
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30
ANOTAÇõES
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CAPÍTULO 2
Homomorfismo de 
grupos
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32
ANOTAÇõES
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33
Conheceremos agora algumas aplicações entre grupos. Essas aplicações são especiais e, quando possuem 
determinadas características, também recebem nomes especiais. Vamos então conhecer a definição de um 
homomorfismo.
Definição 2.1 – Sejam (G, ⋅) e (J, ∗) dois grupos. Uma aplicação f: G → J é um homomorfismo se, e somente 
se, para todo a, b ∈ G tem-se f(a ⋅ b) = f(a) ∗ f(b).
Note que para ser um homomorfismo não basta apenas ser uma aplicação; é necessário satisfazer a condição 
especificada na definição acima. Acompanhe alguns exemplos de homomorfismos.
Exemplos: (a) A aplicação identidade id: (G, ⋅) → (G, ⋅) dada porid(g) = g para todo g ∈ G é um homomorfismo, 
pois dados a, b ∈ G temos id(a ⋅ b) = a ⋅ b = id(a) ⋅ id(b).
(b) A aplicação e: (G, ⋅) → (J, ∗) dada por e:(g) = eJ para todo g ∈ G é um homomorfismo. Aqui, eJ está 
representando o elemento neutro do grupo (J, ∗), e assim temos para todo a, b ∈ G, a seguinte igualdade 
e(a ⋅ b) = eJ = eJ ∗ eJ = e(a) ∗ e(b). Nesse caso temos o homomorfismo trivial.
(c) A aplicação f:(ℝ∗, ⋅) → (ℝ∗, +) dada por f(a) = log(a) é um homomorfismo pois dados a, b ∈ ℝ* temos 
f(ab) = log(ab) = log(a) + log(b) = f(a) + f(b).
Já que um homomorfismo é uma aplicação, podemos verificar se esta é injetora, sobrejetora ou bijetora. Ao 
satisfazer alguma destas propriedades o homomorfismo também recebe nomes especiais. Acompanhe na próxima 
definição.
VOCÊ SABIA?
Apesar de o conceito de homomorfismo ser muito natural, ele surgiu de forma muito gradual. O conceito de homomorfismo de grupos surgiu, pela 
primeira vez, em torno de 1830, o de homomorfismo de corpos em torno de 1870 e o de homomorfismo de anel somente em 1920.
Definição 2.2 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Dizemos que:
(i) f é um monomorfismo se f for injetora;
(ii) f é um epimorfismo se f for sobrejetora;
(iii) f é um isomorfismo se f for bijetora.
É claro que por esta definição todo isomorfismo é um monomorfismo e epimorfismo ao mesmo tempo. Os 
isomorfismos serão muito utilizados em nosso curso, pois através deles podemos verificar as mesmas propriedades 
em dois grupos diferentes. È comum inclusive identificarmos um grupo através de outro quando temos um 
isomorfismo. 
Se f: (G, ⋅) → (J, ∗) é um isomorfismo, dizemos que os grupos G e J são isomorfos e usamos a seguinte notação: 
G ≃ J. Isto significa que podemos identificar o grupo G como sendo o grupo J e vice versa. Se no isomorfismo 
tivermos G = J, então o chamamos de automorfismo, neste caso, um automorfismo de G. Por enquanto vamos 
conhecer algumas propriedades importantes de um homomorfismo entre grupos.
Proposição 2.3 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Sejam eG e eJ os elementos neutro 
dos grupos G e J respectivamente. Então f(eG) = eJ.
HOMOMORFISMO DE GRUPOS 
+ +
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34 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Prova] De fato temos que f(eG) = f(eG ⋅ eG) = f(eG) ∗ f(eG). Temos que f(eG) ∈ J e, portanto, tem inverso o qual 
denotaremos por {f(eG)}-1. Logo, f(eG) ∗ {f(eG)}-1 = f(eG) ∗ f(eG) ∗ {f(eG-1)}-1 (⇒) eJ = f(eG) ∗ eJ ⇒ f(eG) = eJ. ■
Proposição 2.4 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Então para todo x ∈ G tem-se 
f(x-1) = {f(x)}-1.
Prova] Pela proposição 2.3 temos que eJ
 = f(eG). Assim, eJ = f(eG) = f(x ⋅ x-1) = f(x) ∗ f(x-1). Segue então 
que f(x)-1 ∗ eJ = f(x)-1 ∗ f(x) ∗ f(x-1) e que f(x-1) = {f(x)}-1. ■
Proposição 2.5 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Se H é subgrupo de G, então f(H) 
é um subgrupo de J.
Prova] Para dar início à demonstração lembre-se que f(H) = {f(x); x ∈ H}. Sendo assim, considere 
c,d ∈ f(H); logo, existem a,b ∈ H tal que c = f(a) e d = f(b). Temos então c ∗ d-1 = f(a) ∗ f(b)-1 = f(a) ∗ 
f(b-1) = f(a ⋅ b-1). Com isso, concluímos que c ∗ d-1 ∈ f(H) pois é imagem de a ⋅ b-1 ∈ H e, que, portanto f(H) é 
subgrupo de J. ■
Essa proposição nos mostra que um homomorfismo de G em J leva subgrupos de G em subgrupos de J. Em 
particular, o conjunto imagem de um homomorfismo é também um subgrupo de J.
Quando temos um homomorfismo de grupos, um subconjunto muito especial é construído: o núcleo do 
homomorfismo. Este subconjunto, em verdade, é um subgrupo normal e, através dele podemos perceber mais 
algumas propriedades importantes sobre o homomorfismo. Vamos conhecer este subconjunto?
Definição 2.6 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Chama-se núcleo de f, denotado por N(f) 
ou Ker f, o seguinte subconjunto de G: N(f) = {x ∈ G; f(x) = eJ} em que eJ representa o elemento neutro de (J, *).
Com essa definição, podemos calcular o núcleo de qualquer homomorfismo de grupo. Acompanhem alguns 
desses cálculos.
Exemplos: (a) A aplicação identidade id: (G, ⋅) → (G, ⋅) dada por id(g) = g para todo g ∈ G, tem como núcleo 
o conjunto N(f) = {eG}.
(b) A aplicação e: (G, ⋅) → (J, ∗) dada por eG = eJ para todo g ∈ G, tem como núcleo o próprio grupo G, já que 
todo elemento de G é levado no elemento neutro de J.
 (c) A aplicação f: (ℝ∗, ⋅) → (ℝ, +) dada por f(a) = log(a) tem como núcleo o conjunto N(f) = {1} pois o 
elemento neutro de (ℝ, +) é o número 0 e temos a seguinte igualdade: log(x) = 0 ⇒ x = 100 = 1.
Como mencionamos anteriormente, o núcleo de um homomorfismo é mais que um subconjunto, ele é um 
subgrupo do grupo de partida. Então vamos formalizar esta propriedade através da próxima proposição.
+
Proposição 2.7 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. O núcleo de f, denotado por N(f) ou 
Ker f, é um subgrupo normal de G.
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35LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Prova] Inicialmente, veja que N(f) é um subgrupo de G. Ou seja, dados a,b ∈ N(f) temos: f(a) = f(b) = eJ; 
assim, f(a ⋅ b-1)= f(a) ∗ f(b-1) = f(a) ∗ f(b)-1 = eJ * (eJ)-1 = eJ ∗ eJ = eJ. Logo, concluímos que a ⋅ b-1 ∈ N(f), 
e que N(f) é um subgrupo de G. Para verificar que N(f) é um subgrupo normal de G devemos mostrar que: 
g ⋅ x ⋅ g-1 ∈ N(f); ∀g ∈ G e ∀x ∈ N(f). De fato, temos:
f(g ⋅ x ⋅ g-1)= f(g) ∗ f(x-1) ∗ f(g-1) = f(g) ∗ eJ ∗ f(g)-1 = f(g) ∗ f(g)-1 = eJ . ■
Vimos então que o núcleo do homomorfismo é um subgrupo normal de G. Este subgrupo também nos fornece 
informações sobre algumas características do homomorfismo. Veremos que um homomorfismo é injetor, ou seja, 
é um monomorfismo se o seu núcleo contiver apenas o elemento neutro de G. Assim, basta calcular o núcleo do 
homomorfismo para poder classificá-lo como injetor, ou não. 
Proposição 2.8 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. f é injetora se, e somente se, 
N(f) = {eG}.
Prova] (⇒) Suponha que f é um homomorfismo injetor. Vamos verificar que o núcleo é constituído somente 
pelo elemento eG. De fato, seja a ∈ G tal que f(a) = eJ. Como eJ = f(eG) temos (por comparação) que f(a)=f(eG), 
e já que f é injetora, então a = eG. Portanto, concluímos que N(f) = {eG}.
(⇐) Suponha que N(f) = {eG}. Dados a, b ∈ G suponha que f(a) = f(b); assim, temos: f(a) ∗ f(b)-1 = eJ. 
Como f é homomorfismo, temos f(a) ∗ f(b)-1 = f(a ⋅ b-1) = eJ. Já que N(f) = {eG}, então a ⋅ b-1 = eG e então 
segue que a = b. Portanto, f é injetora. ■ 
Note que já temos exemplos de homomorfismos que são injetores. Em id: (G, ⋅) → (G, ⋅) dada por id(g) = g
 para todo g ∈ G, o núcleo é o conjunto N(f) = {eG} e, portanto, o homomorfismo é injetor. Em f:(ℝ*, ⋅) → 
(ℝ, +) dada por N(f) = {1} o núcleo é o conjunto que contém apenas o elemento neutro de (ℝ*, ⋅), é também 
um homomorfismo injetor.
Proposição 2.9 – Seja f: (G, ⋅) → (J, ∗) um homomorfismo de grupos. Se f for bijetora, então 
f-1: (J, *)→ (G, ⋅) é um homomorfismo de grupos.
Prova] Sejam c,d ∈ J e, a,b ∈ G tal que a = f -1(c) e b = f -1(b). Então temos c = f(a) e d = f(b); assim, 
a = f -1(c ∗ d) = f -1(f (a) * f (b)) = f -1(f (a ⋅ b)) = a ⋅ b = f -1(c) ⋅ f -1(d). Portanto f -1 é um homomorfismo 
de grupos. ■ 
Conheceremos agora um importante exemplo de homomorfismo: o homomorfismo canônico. Este homomorfismo 
relaciona um grupo G com o seu respectivo grupo quociente G/H, em H é um subgrupo normal de G. Através desse 
homomorfismo podemos enunciar um dos mais importantes teoremas sobre homomorfismo. Veja a construção 
desse homomorfismo.
Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Considere a aplicação entre G e seu grupo quociente G/H 
definida por f: G → G/H, em que f(a) = aH. Temos que f é um homomorfismo de grupos, pois dados a,b ∈ G 
temos f(ab) = abH = (aH)(bH) = f(a)f(b). Esse homomorfismo é denominado de homomorfismo canônico e 
possui propriedades que destacaremos na próxima proposição.
Proposição 2.10 – Sejam G um grupo e H um subgrupo normal de G. Seja f: G → G/H, f(a) = aH o 
homomorfismo canônico.Então, 
(i) f é um homomorfismo sobrejetor;
(ii) N(f) = H.
+
+
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36 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Prova] (i) Seja aH → G/H, a ∈ G um elemento arbitrário do grupo quociente G/H. Pela definição do homomorfismo 
canônico, temos f(a) = aH donde se conclui que f é sobrejetor.
(ii) Temos que a ∈ N(f) se f(a) = eG/H ; mas eG/H = eG H = H. Isto nos mostra que a ∈ H e que N(f) ⊂ H. Por 
outro lado, se a ∈ H, temos f(a) = aH = H= eG H. Então temos a ∈ N(f) o que nos leva a H ⊂ N(f) e a concluir 
que N(f) = H. ■ 
Observe que o homomorfismo canônico é sobrejetor, mas em geral, não é injetor. Isto se dá pelo fato de nem 
sempre seu núcleo conter apenas o elemento neutro. Note que no homomorfismo canônico o núcleo coincide com 
o subgrupo normal H. Assim, ele será injetor quando o subgrupo H for o subgrupo trivial que contém apenas o 
elemento neutro. Caso contrário, não teremos injetividade no homomorfismo canônico.
Exemplo: Um importante exemplo de homomorfismo canônico é o homomorfismo que relaciona o grupo aditivo 
ℤ com seu grupo quociente dado por f(a) = a para todo a ∈ ℤ. 
Finalizaremos esse capítulo enunciando, provando e exemplificando um dos mais importantes teoremas no 
estudo da álgebra abstrata: o teorema do homomorfismo.
Teorema (Homomorfismo) 2.11 – Seja f: G → J um homomorfismo sobrejetor (epimorfismo). Se N = N(f), 
então G/N ≃ J.
Prova] Nesse teorema temos que provar que o grupo é isomorfo a J, ou seja, que existe um homomorfismo 
bijetor entre os grupo e J, em que N é o núcleo do homomorfismo f: G → J. Sendo assim, considere a aplicação 
ϕ: → J dada por f(aN) = f(a) Mostraremos que ϕ é um isomorfismo. Inicialmente, note que ϕ é um homomorfismo, 
pois dados aN e bN em temos ϕ(aN ⋅ bN) = ϕ(abN) = f(ab) = f(a) ⋅ f(b) = ϕ(aN) ⋅ ϕ(bN). Sabemos que 
o elemento neutro de é N. Assim, para verificar que ϕ é injetora, basta mostrar que seu núcleo é exatamente N. 
De fato, temos que ϕ(xN) = eJ, ou seja, f(x) = eJ o que nos leva a x ∈ N(f) = N e a N(ϕ) ⊂ N. Por outro lado, se 
x ∈ N, temos ϕ(xN) = f(x) = eJ; assim, x ∈ N(ϕ) e temos N ⊂ N(ϕ). Logo, N(ϕ) = N e, portanto ϕ é injetora. 
Finalmente, para cada y ∈ J existe x ∈ G tal que f(x) = y; considerando a classe xN, temos então ϕ(xN) = f(x) 
= y, o que torna ϕ também sobrejetora. ■ 
Com esse resultado podemos estabelecer uma relação entre os homomorfismos estudados. Acompanhe:
Sejam f: G → J um homomorfismo sobrejetor, ψ: G → G/N o homomorfismo canônico e ϕ → J o isomorfismo 
do teorema 2.11. Podemos representar a situação com o seguinte diagrama:
 ℤ 
nℤ
G
N
G
N
G
N
G
N
G
N
G
N
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37LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Temos então que o homomorfismo f é a composta dos homomorfismos ϕ e ψ, ou seja, f = ϕ ○ ψ, pois 
ϕ ○ ψ(a) = ϕ(ψ(a)) = ϕ(aN) = f(a) para todo a ∈ G.
Exemplo: O grupo aditivo ℤ tem como subgrupo normal o subconjunto 3ℤ. Podemos definir o homomorfismo 
sobrejetor f: ℤ → ℤ3 tal que f(a) = a, para todo a ∈ ℤ. O homomorfismo canônico ψ: ℤ → ℤ/3ℤ pode ser composto 
com a aplicação ϕ: → ℤ3, definida por ϕ (a + 3ℤ) = a, resultando em f. De fato, temos aqui o teorema do 
isomorfismo e, podemos afirmar que ℤ/3ℤ é isomorfo a ℤ3. De um modo geral, temos sempre ≃ ℤn para 
todo n natural, n > 1.
Daremos seguimento ao nosso estudo adiante aumentando nosso ambiente de trabalho, ou seja, passaremos 
a trabalhar com os anéis. Sabemos que todo anel é um grupo abeliano no qual definimos uma segunda operação, 
e que em relação a essa segunda operação, as propriedades associatividade e distributividade são satisfeitas. Por 
enquanto revise o que estudamos até agora e tente resolver as atividades propostas a seguir.
Sugestões de atividades
01. Verifique em cada caso de f é um homomorfismo.
a. f: (ℤ, +) → (ℤ, +) dado por f(x) = kx onde k ∈ ℤ∗.
b. f: (ℝ, +) → (ℝ, +) dado por f(x) = x +1.
c. f: (ℤ, +) → (ℝ*, ⋅) dado por f(x) = 2x.
d. f: ℤ × ℤ → ℤ dado por f(m,n) = m - n em que ℤ e ℤ × ℤ são grupos aditivos.
02. Calcule o núcleo de cada um dos homomorfismos da questão anterior.
03. Seja f: G → J um homomorfismo. Se H = áañ então f(H) = á f(a)ñ.
04. Seja a um elemento do grupo (G, ⋅). Mostre que a aplicação f: G → G dada por f(x) = a ⋅ x ⋅ a-1 para todo 
x ∈ G é um isomorfismo.
05. Seja G um grupo. Mostre que a aplicação f: G → J dada por f(x) = x-1 é um homomorfismo se, e somente se 
G é abeliano.
06. Seja f: G → J um homomorfismo sobrejetor de grupos. Se H é subgrupo normal de G, mostre que f(H) é 
subgrupo normal de J. 
 ℤ 
nℤ
 ℤ 
nℤ
+
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ANOTAÇõES
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CAPÍTULO 3
Anel
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ANOTAÇõES
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Iniciaremos este capítulo lembrando a você a definição de um anel. Assim como foi estudado em Álgebra I, um 
anel é uma estrutura algébrica na qual se define duas operações distintas. Em relação a uma dessas operações 
tem-se um grupo abeliano e, em relação à segunda operação temos as propriedades, associativa e distributiva 
sendo satisfeitas. Estudaremos também alguns subconjuntos especiais de um anel: o subanel e o ideal. Acompanhe 
novamente a definição formal de um anel.
Definição 3.1 - Um anel A é um conjunto, não vazio, munido de duas operações internas: uma adição (+) e 
uma multiplicação (⋅), que satisfazem às seguintes condições:
O conjunto A é um grupo abeliano, com respeito à primeira destas operações, isto é,
(i) a operação (+) é associativa;
(ii) a operação (+) é comutativa;
(iii) a operação (+) admite elemento neutro, que neste caso será representado por 0, e temos 0 + a = a para 
todo a ∈ A;
(iv) todo elemento de A é simetrizável com relação à operação (+);
além dessas propriedades temos também que:
(v) a operação (⋅) é associativa, ou seja, dados a,b,c ∈ A tem-se a ⋅ (b + c) = (a + b) ⋅ c;
(vi) a operação (⋅) é distributiva em relação à operação (+), isto é, dados a,b,c ∈ A tem-se a ⋅ (b + c) = 
a ⋅ b + a ⋅ c e (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a.
A notação usada para representar um anel, com respeito às duas operações definidas é áA,+,⋅ñ. Aqui, as 
operações definidas não são obrigatoriamente a adição e multiplicação usuais, apenas usamos seus símbolos para 
representar duas operações definidas em um conjunto. Para simplificar a notação, quando não houver dúvida das 
operações definidas, dizemos apenas que A é um anel, ou então, anel A.
Note que em um anel, a operação multiplicação (⋅) não é necessariamente comutativa. Caso isto ocorra, temos 
então um anel comutativo, ou seja, para quaisquer a,b ∈ A tem-se a ⋅ b = b ⋅ a.
Os conjuntos áℤ,+,⋅ñ, áℚ,+,⋅ñ, áℝ,+,⋅ñ e áℂ,+,⋅ñ são respectivamente, o anel dos inteiros, o anel dos racionais, 
o anel dos reais, e o anel dos complexos. Esses anéis serão muito utilizados em nosso curso. Além desses, temos 
também o anel áℤm,+,⋅ñ, que representa as classes residuais dos inteiros módulo m.
Conheceremos então os subconjuntos especiais de um anel. Começaremos com o subanel.
SUBANEL
Definição 3.2 – Seja áA,+,⋅ñ um anel e B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um subanel; de A 
se B é fechado para as operações de + e ⋅, ou seja, dados x,y ∈ B tem-se:
(i) x + y ∈ B;
(ii) x ⋅ y ∈ B.
Em verdade, para B ser um subanel de A, basta que seja uma restrição de A, isto é, o conjunto B com as 
mesmas operações de A é um anel. Veja uma proposição que estabelece outros critérios para se ter um subanel.
ANEL
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Proposição 3.3 – Seja áA,+,⋅ñ um anel e seja B um subconjunto não vazio de A. Então B é um subanel se, 
e somente se, para todo x,y ∈ B são satisfeitas as condições:
(i) x - y ∈ B;
(ii) x ⋅ y ∈ B.
Prova] (⇒) Se B é subanel de A, então as condições (i) e (ii) são satisfeitas por definição.
(⇐) Suponha que B ⊂ A e que as condições (i) e (ii) são satisfeitas.Temos então que, para a,b ∈ B, 
b - b = 0 ∈ B; 0 - b = -b ∈ B; a -(-b) = a + b ∈ B; assim, temas que B é fechado para a operação de adição. 
Como em A a adição é associativa e comutativa, o conjunto B herda tais propriedades de A e concluímos que o 
conjunto (B, +) é um grupo abeliano. Em relação à operação de multiplicação, o conjunto B também herda as 
propriedades associativa e distributiva em relação á adição, do conjunto A. Sendo assim, B é um subanel. ■
Para indicar que um conjunto B é um subanel de A usaremos a seguinte notação: B ≤ A.
Exemplos: (a) Temos que ℤ ≤ ℚ, ℚ ≤ ℝ e ℝ ≤ ℂ.
(b) O conjunto B = ℤ(√3) = {a + b√3,a,b ∈ ℤ} é um subanel de ℝ; de fato, sendo x = a + b√3 e y = 
c + d√3 temos que:
x - y = (a + b√3) + (c + d√3) = (a + c) + (b + d)√3 ∈ B;
x ⋅ y = (a + b√3) ⋅ (c + d√3) = ac + ad√3 + bc√3 + 3bc = (ac + 3bd) + (ad + bc)√3 ∈ B.
Assim, pela proposição 3.3, concluímos que B é subanel de ℝ. 
Sabemos que existem anéis com unidade. Lembre-se que a unidade do anel é o elemento neutro da operação 
de multiplicação, ou seja, em um anel áA,+,⋅ñ com unidade representada por 1 temos sempre x ⋅ 1 = 1 ⋅ x para 
todo x ∈ A. Nem sempre a unidade do anel está presente no subanel; por exemplo, o subconjunto 5ℤ é um subanel 
do anel comutativo e com unidade áℤ,+,⋅ñ, no entanto, o subanel 5ℤ não possui a unidade do anel ℤ. Podemos 
também ter subanéis com unidade, mas esta diferente da unidade do anel. 
Exemplo: O subconjunto B = {0,3,6,9} de ℤ12 é um subanel. Sabemos que o anel ℤ12 é um anel comutativo 
e com unidade que é o elemento 1. Observe uma curiosidade deste subanel: 9 ⋅ 0 = 0; 9 ⋅ 3 = 3; 9 ⋅ 6 = 6 e 
9 ⋅ 9 = 9. Sendo assim, o elemento 9 é uma unidade para o subanel B que é diferente da unidade do anel ℤ12.
Esta possibilidade de um subanel ter uma unidade diferente da unidade no anel não acontece caso tenhamos 
um domínio de integridade. Você lembra o que é um domínio de integridade? Estudamos isso anteriormente em 
Álgebra I. Mas, lembrando, um domínio de integridade é um anel comutativo e sem divisores de zero.
Proposição 3.4 – As únicas soluções da equação x2 = x em um domínio de integridade são 0 e 1.
Prova] Seja A um domínio de integridade e x ∈ A tal que x2 = x. Temos que x2 = x → x2 - x = 0 → 
x(x - 1) = 0. Como A é domínio de integridade, segue que x = 0 ou x - 1 = 0 → x = 1. ■
Corolário 3.5 – Seja A um domínio de integridade com unidade 1. Seja B um subanel de A com unidade 1’. 
Então 1 = 1’.
Prova] As unidades 1 e 1’ são distintas de zero. Sendo assim temos 12 = 1 e 1’2 = 1 . Pela proposição 3.4 
segue que 1 = 1’. ■ 
Passaremos agora a estudar um subanel especial: o ideal.
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IDEAL
A construção de um ideal num anel é semelhante à construção de um subgrupo normal num grupo. Para se 
ter grupo quociente é necessário que o subgrupo seja normal. Assim também será nos anéis; para se ter um anel 
quociente é necessário a presença de um ideal. Vamos acompanhar sua definição e o estudo de suas propriedades.
Definição 3.6 – Seja áA,+,⋅ñ um anel. Um subanel I ⊂ A é um ideal de A, se para cada a ∈ A e x ∈ I temos 
a ⋅ x ∈ I e x ⋅ a ∈ I. 
É claro que os subconjuntos {0} e A são ideais do anel A. Nesse caso temos os ideais triviais de A. Se I é um 
ideal diferente de {0} e de A, então ele é denominado ideal próprio de A.
Exemplos: 
(a) O conjunto I = 3ℤ é um ideal de anel ℤ. Note que I já é um subanel e para cada 3x ∈ 3ℤ e a ∈ ℤ temos 
3x ⋅ a = a ⋅ 3x = 3(ax) ∈ 3ℤ.
(b) O conjunto ℤ é um subanel de ℚ mas não é um ideal de ℚ, pois dado a ∈ Z e b ∈ ℚ, temos que a ⋅ b pode 
não pertencer a ℤ. 
(c) Considere o anel A = C[0,1] das funções contínuas f: [0,1] → ℝ com as operações usuais de adição 
e multiplicação de funções. Este anel é comutativo e com unidade (função constante f(x) = 1, ∀x ∈ [0,1]). 
O conjunto I = {f ∈ A; f(b) = 0 ∀b ∈ [0,1]} é um ideal de A. De fato: se f,g ∈ I então f - g ∈ I pois dado 
b ∈ [0,1] temos (f - g)(b) = f(b) - g(b) = 0 - 0 = 0; sejam f ∈ A e g ∈ I, então dado b ∈ [0,1] temos (f ⋅ g) 
(b) = f(b) ⋅ g(b) = f(b) ⋅ 0 = 0 e, portanto f ⋅ g ∈ I.
Acompanharemos agora um exemplo muito importante no estudo dos ideais. Trata-se do ideal gerado por um 
elemento do anel. Este ideal recebe uma nomenclatura especial: ideal principal.
Exemplo: Seja A um anel comutativo. Dado a ∈ A, o conjunto I = áañ = {x ⋅ a, x ∈ A} é um ideal. De fato temos 
que 0 ∈ I pois 0 = 0 ⋅ a. Dados x e y ∈ I temos que existem x1 e x2 ∈ A tal que x = x1 ⋅ a e y = x2 ⋅ a; assim, 
x - y = x1a - x2a = (x1 - x2) ⋅ a ∈ I; também x ⋅ y = x1a ⋅ x2a = (x1ax2) ⋅ a ∈ I. É claro que para todo w ∈ A e todo 
x ∈ I temos w ⋅ x ∈ I e x ⋅ w ∈ I.
Definição 3.7 – Seja A um anel comutativo. Dado a ∈ A, o ideal I = áañ = {x ⋅ a, x ∈ A} é chamado de ideal 
principal gerado por a.
Podemos ter também ideal gerado por dois ou mais elementos. Nesse caso, temos um conjunto de geradores 
para o ideal em questão.
Proposição 3.8 – Seja A uma anel comutativo e S = {a1, a2,...,an} um subconjunto de A. O conjunto denotado 
por (S) definido por (S) = {x1 ⋅ a1 + x2 ⋅ a2 +...+ xn ⋅ an; x1, x2,...,xn ∈ A} é um ideal de A.
Prova] Seja (S) = {x1 ⋅ a1 + x2 ⋅ a2 +...+ xn ⋅ an; x1, x2,...,xn ∈ A}; sendo α = x1a1 + x2a2 +...+ xnan e β = y1a1 
+ y2a2 +...+ ynan com x1, x2,...,xn, y1, y2,...,yn ∈ A temos: α - β = (x1 - y1)a1 + (x2 - y2)a2 + ...+ (xn - yn)an ∈ (S),
e, para cada r ∈ A: r ⋅ α = r ⋅ (x1a1 + x2a2 +...+ xn an) = rx1a1 + rx2a2 +...+ rxn an ∈ (S).
Levando em consideração as propriedades, comutativa e associativa do anel A, concluímos que (S) é um ideal. ■ 
Definição 3.9 – Um anel A é chamado de anel principal ou domínio de ideais principais se A é um domínio de 
integridade e se todo ideal I de A é um ideal principal.
Um excelente exemplo de anel principal é o anel dos inteiros (ℤ). Aqui, todo ideal é gerado por apenas um 
elemento, ou seja, todo ideal é principal. Mais precisamente, todo ideal em ℤ é da forma I = mℤ = (m) = 
{km, k ∈ ℤ} e seu gerador é exatamente m. 
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SAIBA MAIS
No anel ℤ dos inteiros, cada ideal pode ser gerado por apenas um número (assim ℤ é um domínio principal) e o ideal determina o número salvo 
o sinal. Por isso os conceitos de “ideal” e de “número” são quase idênticos em ℤ (e em qualquer domínio principal).
 
ANEL QUOCIENTE
Assim como estudamos o grupo quociente, que é o conjunto das classes laterais de um determinado subgrupo 
normal, estudaremos aqui os anéis quocientes. De maneira análoga ao que fizemos para grupos, para se ter um 
anel quociente é necessário que se tenha em primeiro lugar um ideal. Assim, construiremos um anel quociente, 
módulo esse ideal, e teremos o conjunto das classes laterais do ideal. Inicialmente construiremos uma importante 
relação de equivalência. Importante, pois através dela definiremos a ideia de classe lateral de um ideal. Acompanhe:
Definição 3.10 – Sejam A um anel e I um ideal de A. A relação em A, dada por a ≡ b(mod I) ⇔ 
a - b ∈ I, ∀a,b ∈ A, é definida como relação de congruência em A módulo I.
Esta relação é uma relação de equivalência. Lembre-se que uma relação de equivalência é uma relação que 
satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Proposição 3.11 – A relação de congruência módulo I é uma relação de equivalência.
Prova] A relação é reflexiva pois a ≡ a(mod I)já que a - a = 0 ∈ I. A relação é simétrica, pois se 
a ≡ b(mod I) então a - b ∈ I; como I é ideal, o simétrico aditivo também pertence a ele, ou seja, -(a - b) ∈ I → 
b - a ∈ I e, portanto b ≡ a(mod I). A relação é transitiva, pois se a ≡ b(mod I) e b ≡ c(mod I) temos a - b ∈ I 
e b - c ∈ I; assim, (a - b) + (b - c) = a - c ∈ I e então a ≡ c(mod I) . ■
Baseados nessa relação de equivalência