MÉTODOS AVANÇADOS EM ECONOMETRIA

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Econometria – Hill, Grifith e Judge – Editora Saraiva
Capítulo 5
Inferência no Modelo de 
Regressão Simples: Estimação de 
Intervalos, Teste de Hipóteses e 
Previsão 
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Hipóteses do Modelo de Regressão Linear Simples
1 2t t ty x e= β + β +RS1.
RS2.
RS3.
RS4.
RS5.
RS6.
( ) 0tE e = ⇔ 1 2( )t tE y x= β + β
2var( ) var( )t te y= σ =
cov( , ) cov( , ) 0i j i je e y y= =
 não é variável aleatória e assume pelo menos dois 
valores distintos 
tx
2~ (0, )te N σ ⇔ 21 2~ [( ), ]t ty N xβ + β σ (opcional)
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Do Capítulo 4
2 2
1 1 2
2
2 2 2
~ ,
( )
~ ,
( )
t
t
t
x
b N
T x x
b N
x x
 σβ  
− 
 σβ  
− 
∑
∑
∑
2
2 ˆˆ
2
te
T
σ =
−
∑
Este Capítulo introduz ferramentas adicionais da inferência 
estatística: estimação de intervalos, previsão, intervalos 
de previsão e testes de hipóteses. 
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5.1 Estimação de Intervalos
5.1.1 A Teoria
Obtemos, de b2 , uma variável aleatória normal padronizada, 
subtraindo sua média e dividindo o resultado pelo seu 
desvio padrão:
2 2
2
~ (0,1)
var( )
bZ N
b
− β
= (5.1.1) 
A variável aleatória padronizada Z é normalmente 
distribuída com média 0 e variância 1.
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5.5.1a A Distribuição Qui-Quadrada
• Variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrada surgem 
quando elevamos ao quadrado variáveis aleatória normais, 
N(0,1).
Se Z1, Z2 , ..., Zm denotam m variáveis aleatórias 
independentes N(0,1), então 
2 2 2 2
1 2 ( )~m mV Z Z Z= + + + χK (5.1.2) 
• A notação é lida como: a variável aleatória V tem 
uma distribuição qui-quadrada com m graus de liberdade. 
2
( )~ mV χ
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2
( )
2
( )
[ ]
var[ ] var 2
m
m
E V E m
V m
 = χ = 
 = χ = 
(5.1.3) 
• V não deve ser negativa, v ≥ 0
• A distribuição tem uma longa calda, ou é assimétrica à 
direita. 
• À medida que os graus de liberdade m aumentam, a 
distribuição se torna mais simétrica e com o forma de 
um “sino”. 
• À medida que m aumenta, a distribuição qui-quadrada 
converge para (e essencialmente se torna) uma 
distribuição normal.
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5.5.1b A distribuição de probabilidade de 2σˆ
• O termo de erro aleatório et tem uma distribuição 
normal, 2~ (0, )te N σ
• Padronize a variável aleatória dividindo-a pelo seu desvio 
padrão, de tal forma que / ~ (0,1)te Nσ
2 2
(1)( / ) ~te σ χ• 
• Se todos os erros aleatórios são independentes, então 
2 2 2 2
21 2
( )~t T T
t
e e e e       
= + + + χ       σ σ σ σ       ∑ L (5.1.4) 
• V não tem uma distribuição porque os resíduos de 
mínimos quadrados não são variáveis aleatórias 
independentes. 
2
( )Tχ
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• Todos resíduos T , , dependem dos 
estimadores de mínimos quadrados b1 e b2. Isso pode ser 
mostrado pelo fato de apenas T−2 dos resíduos de mínimos 
quadrados serem independentes no modelo de regressão 
linear simples. 
1 2tˆ t te y b b x= − −
2
2
( 2)2
ˆ( 2) ~ T
TV
−
− σ
= χ
σ
• Nós não estabelecemos que a variável aleatória qui-
quadrada V é estatisticamente independente dos 
estimadores de mínimos quadrados, mas agora afirmamos 
que é. 
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5.1.1c A Distribuição t
• Uma variável aleatória “t” (minúscula) é formada pela 
divisão de uma variável aleatória normal padronizada, 
Z~N(0,1), pela raiz quadrada de uma variável aleatória 
independente qui-quadrada, , que é dividida por seus 
graus de liberdade, m.
2
( )~ mV χ
Se Z~N(0,1) e , e se Z e V são 
independentes, então
2
( )~ mV χ
( )~ m
Zt t
V
m
=
(5.1.7) 
• O formato da distribuição t é completamente 
determinada pelos graus de liberdade, m, e a distribuição é 
representada por t(m).
• A distribuição t tem um “pico menos agudo” e é mais 
dispersa do que a N(0,1). 
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• A distribuição t é simétrica, com média E[t(m)]=0 e 
variância var[t(m)]=m/(m−2). 
• À medida que os graus de liberdade m→∞, a t(m) 
distribuição se aproxima de uma normal padronizada, 
N(0,1).
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5.1.1d Um Resultado Chave
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
22
( )
ˆ ˆ( 2)
2
( )
2
ep( )ˆvar( )
t
t
b
x xZ bt
V TT
x x
T
b b
bb
− β
σ
−
− β
= = =
− σ σ
−
σ −
−
− β − β
= =
∑
∑
(5.1.8) 
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5.1.2 Obtenção de Estimativas de Intervalo
Se as hipótese RS1-RS6 do modelo de regressão linear 
simples são mantidas, então
( 2)~ , 1,2ep( )
k k
T
k
bt t k
b −
− β
= = (5.1.9) 
Para k=2
2 2
( 2)
2
~ 
ep( ) T
bt t
b −
− β
= (5.1.10) 
onde 
2
2 2 22
ˆˆ ˆvar( ) e ep( ) var( )
( )t
b b b
x x
σ
= =
−∑
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Podemos encontrar valores críticos tc de uma distribuição 
t(m) , de tal modo que
( ) ( )
2c c
P t t P t t α≥ = ≤ − =
onde α é um valor de probabilidade, em geral considerado 
para ser α=0,01 ou α=0,05. 
• Conseqüentemente, nós podemos afirmar 
( ) 1c cP t t t− ≤ ≤ = − α (5.1.11) 
2 2
2
[ ] 1
ep( )c c
bP t t
b
− β
− ≤ ≤ = − α
2 2 2 2 2[ ep( ) ep( )] 1c cP b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α (5.1.7) 
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5.1.3 O Contexto da Amostragem Repetida
Tabela 5.1 Estimativas de Mínimos Quadrados extraídas de 10 
amostras aleatórias 
 n b1 ep(b1) b2 ep(b2)
 1 51,1314 27,4260 0,1442 0,0378 2193,4597
 2 61,2045 24,9177 0,1286 0,0344 1810,5972
 3 40,7882 17,6670 0,1417 0,0244 910,1835
 4 80,1396 23,8146 0,0886 0,0329 1653,8324
 5 31,0110 22,8126 0,1669 0,0315 1517,5837
 6 54,3099 26,9317 0,1086 0,0372 2115,1085
 7 69,6749 19,2903 0,1003 0,0266 1085,1312
 8 71,1541 26,1807 0,1009 0,0361 1998,7880
 9 18,8290 22,4234 0,1758 0,0309 1466,2541
 10 36,1433 23,5531 0,1626 0,0325 1617,7087
2σˆ
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• As estimativas dos intervalos de confiança de 95% para 
os parâmetros β1 e β2 são dados na Tabela 5.2. 
Tabela 5.2 Estimativas dos Intervalos extraídas de 10 
amostras aleatórias. 
 n 
 1 -4,3897 106,6524 0,0676 0,2207
 2 10,7612 111,6479 0,0590 0,1982
 3 5,0233 76,5531 0,0923 0,1910 
 4 31,9294 128,3498 0,0221 0,1551
 5 -15,1706 77,1926 0,1032 0,2306
 6 -0,2105 108,8303 0,0334 0,1838
 7 30,6237 108,7261 0,0464 0,1542
 8 18,1541 124,1542 0,0278 0,1741
 9 -26,5649 64,2229 0,1131 0,2384
 10-11,5374 83,8240 0,0968 0,2284
1 1ep( ) cb t b− 1 1ep( ) cb t b+ 2 2ep( ) cb t b− 2 2ep( ) cb t b+
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5.1.4 Uma Ilustração
• Para os dados das despesas com alimentação 
2 2 2 2 2[ 2,024ep( ) 2,024ep( )] 0,95P b b b b− ≤ β ≤ + = (5.1.14) 
• O valor crítico tc = 2,024, o qual é apropriado para α = 
0,05 e 38 graus de liberdade. 
• Ele pode ser calculado com um pacote estatístico.
• Para construir uma estimativa de intervalo para β2 , nós 
utilizamos a estimativa de mínimos quadrados b2 = 0,1283 , 
que tem um erro padrão
2 2ˆep( ) var( ) 0,0009326 0,0305b b= = =
Um intervalo de confiança estimado de 95% para β2:
2 2ep( ) 0,1283 2,024(0,0305)=[0,0666,0,1900]cb t b± = ±
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5.2 Teste de Hipótese 
Componentes dos Testes de Hipóteses 
1. Uma hipótese nula, H0
2. Uma hipótese alternativa, H1 
3. Um teste estatístico
4. Uma região de rejeição
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5.2.1 A Hipótese Nula
A hipótese “nula”, que é denotada por H0 (H-zero), 
especifica um valor para um parâmetro. A hipótese nula 
pode ser escrita como , onde c é uma constante 
e é um importante valor no contexto de um modelo 
específico de regressão.
0 2:H cβ =
5.2.2 A Hipótese Alternativa
Para a hipótese nula H0: β2 = c , três possibilidades de 
hipóteses alternativas são:
H1: β2 ≠ c. 
H1: β2 > c
H1: β2 < c.
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5.2.3 O Teste Estatístico
2 2
( 2)
2
~
ep( ) T
bt t
b −
− β
= (5.2.1) 
Se a hipótese nula H0: β2 = c é verdadeira, então 
2
( 2)
2
~
ep( ) T
b ct t
b −
−
= (5.2.2) 
Se a hipótese nula não for verdadeira, então a estatística 
t na equação 5.2.2 não tem uma distribuição t com T−2 
graus de liberdade.
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5.2.4 A Região de Rejeição
• O nível de significância do teste α é usualmente 
escolhido como 0,01,0,05 ou 0,10. 
• A região de rejeição é determinada ao encontrar os 
valores críticos tc tais como
( ) ( ) / 2c cP t t P t t≥ = ≤ − = α
Regra de rejeição para um teste bicaudal: Se 
o valor da estatística do teste cair na região de 
rejeição, em qualquer uma das caudas da 
distribuição t, então nós rejeitamos a hipótese 
nula e não rejeitamos a alternativa.
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• Os valores amostrais da estatística do teste na região 
central de não-rejeição são compatíveis com a hipótese 
nula e não constituem evidência contra sua veracidade. 
• Encontrar um valor amostral da estatística do teste na 
região de não-rejeição não faz da hipótese nula 
verdadeira num sentido absoluto! 
Se o valor da estatística do teste cair 
entre os valores críticos −tc e tc, na região 
de não-rejeição, então nós não rejeitamos 
a hipótese nula.
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5.2.5 O Exemplo da Despesa com Alimentação
Teste a hipótese nula que contra a alternativa que
2 0,10β =
2 0,10β ≠
, no modelo da despesa com alimentação.
Formato para o Teste de Hipóteses
1. Determine as hipóteses nula e alternativa.
2. Especifique a estatística do teste e sua distribuição 
se a hipótese nula for verdadeira.
3. Selecione α e determine a região de rejeição.
4. Calcule o valor amostral da estatística do teste.
5. Faça sua conclusão.
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Aplicação no exemplo da Despesa com Alimentação,
1. A hipótese nula é H0: β2 =0,10. A hipótese alternativa é 
H1: β2 ≠ 0,10.
2. A estatística do teste , se a hipótese 
nula é verdadeira.
2
( 2)
2
0,10 ~
ep( ) T
bt t
b −
−
=
3. Selecionando α=0,05. O valor crítico tc é 2,024 para a 
distribuição t com (T−2) = 38 graus de liberdade.
4. Utilizando os dados da Tabela 3.1, a estimativa de 
mínimos quadrados de β2 é b2 = 0,1283, com erro 
padrão ep(b2)=0,0305. O valor da estatística do teste 
é 0,1283 0,10 0,93
0,0305
t −= =
5. Conclusão: como t=0,93 < tc=2,024, nós não rejeitamos 
a hipótese nula.
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5.2.6 Erros do Tipo I e Tipo II 
 Nós tomamos a decisão correta se:
• A hipótese nula é falsa e nós decidimos rejeitá-la.
• A hipótese nula é verdadeira e nós decidimos não 
rejeitá-la.
 Nossa decisão é incorreta se:
• A hipótese nula é verdadeira e nós decidimos rejeitá-la 
(um erro do Tipo I)
• A hipótese nula é falsa e nós decidimos não rejeitá-la 
(um erro do Tipo II)
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Fatos sobre a probabilidade de cometer um erro do 
Tipo II:
 
• A probabilidade de cometer um erro do Tipo II varia 
inversamente ao nível de significância do teste, α.
• Quanto mais perto estiver o valor verdadeiro do 
parâmetro do valor definido para ele na hipótese, maior a 
probabilidade de cometer um erro do Tipo II.
• Quanto maior o tamanho da amostra T, menor a 
probabilidade de ocorrência de erro do Tipo II, dado o 
nível de significância α, que é a probabilidade de cometer 
erro do Tipo I.
• O teste baseado na distribuição t que nós 
descrevemos é um teste muito bom.
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5.2.7 O Valor-p do Teste de Hipótese
O valor-p do teste é calculado encontrando qual é a 
probabilidade da distribuição t tomar um valor igual ou 
maior do que o valor absoluto do valor amostral da 
estatística do teste. 
Regra de rejeição para um teste bicaudal: quando o 
valor-p do teste de hipótese é menor do que o valor 
escolhido de α, então o procedimento do teste leva a 
rejeição da hipótese nula.
• Se o valor-p for maior do que α, nós não rejeitamos a 
hipótese nula.
• No exemplo da despesa com alimentação, o valor-p para 
o teste de H0: β2 = 0,10 contra H1: β2 ≠ 0,10 é
• p=0,3601, no qual é a área nas caldas da distribuição 
t(38), onde |t|≥0,9263
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5.2.8 Testes de Significância
• No modelo da despesa com alimentação uma importante 
hipótese nula é H0: β2 = 0.
• A hipótese alternativa geral é H1: β2 ≠ 0. 
• Rejeitar a hipótese nula implica que existe uma relação “ 
estatisticamente significante” entre y e x. 
5.2.8a Um Teste de Significância no Modelo de 
Despesa com Alimentação
1. A hipótese nula é H0: β2 = 0. A hipótese alternativa é 
H1: β2 ≠ 0. 
2. A estatística do teste é , se a hipótese 
nula for verdadeira.
2
( 2)
2
~
ep( ) T
bt t
b −
=
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3. Seja α=0,05. O valor crítico tc é 2,024 para uma 
distribuição t com (T−2) = 38 graus de liberdade.
4. A estimativa de mínimos quadrados de β2 é b2 = 0,1283, 
com erro padrão ep(b2)=0,0305. O valor da estatística do 
teste é . 
5. Conclusão: Já que t=4,20 > tc=2,024, nós rejeitamos a 
hipótese nula e não rejeitamos a alternativa. Assim, existe 
uma relação entre a renda semanal e a despesa semanal 
com alimentação. 
O valor-p para o teste de hipótese é p=0,000155, que é a 
área nas caudas da distribuição t(38), onde |t|≥4,20. Já que 
p ≤ α, nós rejeitamos a hipótese nula de que β2 = 0 e não 
rejeitamos a alternativa de que β2 ≠ 0. Assim, existe uma 
relação “estatisticamente significante” entre y e x. 
0,1283 0,0305 4,20t = =
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Observação: “Estatisticamente significante”, contudo, não 
implica necessariamente em “economicamente 
significante”. 
• Por exemplo, suponha que uma cadeia de supermercados 
planeja uma certa estratégia se . 2 0β ≠
• Adicionalmente, suponha que uma grande amostra de 
dados sejacoletada, do qual se obtenha a estimativa b2 = 
0,0001, com ep(b2) = 0,00001, produzindo a estatística t 
= 10,0. 
• Nós rejeitaríamos a hipótese nula de que e não 
rejeitaríamos a alternativa de que . Onde b2 = 
0,0001 é estatisticamente diferente de zero. 
2 0β =
2 0β ≠
• Contudo, 0,0001 pode não ser economicamente 
diferente de zero e a cadeia de supermercados pode 
decidir pelo cancelamento da estratégia planejada. 
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5.2.8b Analisando a Saída do Computador
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
 C 40.76756 22.13865 1.841465 0.0734
 INCOME 0.128289 0.030539 4.200777 0.0002
Dependent Variable: DESP.ALIM
Method: Least Squares
Sample: 1 40
Included Observations: 40
Figura 5.7 Saída da Regressão do EViews 
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5.2.9 Uma Relação entre os Testes de Hipóteses e a 
Estimação de Intervalos
•Existe uma relação algébrica entre testes de hipóteses 
bicaudais e estimativas de intervalos de confiança que em 
alguns casos é útil.
•Suponha que nós estamos testando a hipótese nula 
contra a alternativa . 
0 : kH cβ =
1 : kH cβ ≠
•Se nós falharmos em rejeitar a hipótese nula ao nível de 
significância α, então o valor c cairá dentro de um intervalo 
de (1−α)×100% de confiança de βk. 
•Inversamente, se nós rejeitarmos a hipótese nula, então c 
cairá fora do intervalo de (1−α)×100% de confiança de βk. •Essa relação algébrica é verdadeira porque nós falhamos 
em rejeitar a hipótese nula quando , ou quandoc ct t t− ≤ ≤
ep( )
k
c c
k
b ct t
b
−
− ≤ ≤
ep( ) ep( )k c k k c kb t b c b t b− ≤ ≤ +
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5.2.10 Testes Unicaudais
• Testes unicaudais são utilizados para testar H0: βk = c contra 
a hipótese alternativa H1: βk > c, ou H1: βk < c.
• Para testar H0: βk = c contra a alternativa H1: βk > c, nós 
selecionamos a região de rejeição para valores da estatística 
do teste t que suportem a hipótese alternativa. • Nós definimos a região de rejeição para valores de t maiores 
do que um valor crítico tc, extraído de uma distribuição t com 
T−2 graus de liberdade, tal como ( )cP t t≥ = α
onde α é o nível de significância do teste. 
•A regra de decisão para um teste unicaudal é, “Rejeita-se 
H0: βk = c e não se rejeita a alternativa H1: βk > c se t ≥ tc.” Se 
t < tc, então nós não rejeitamos a hipótese nula.
•O cálculo do valor-p está analogamente confinado a uma 
calda da distribuição 
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No exemplo da despesa com alimentação, teste H0: β2 = 0 
contra a alternativa H1: β2 > 0. 
1. A hipótese nula é H0: β2 = 0. A hipótese alternativa é 
H1: β2 > 0. 
2. A estatística do teste é , se a hipótese 
nula for verdadeira.
2
( 2)
2
~
ep( ) T
bt t
b −
=
3. Para o nível de significância α=0,05, o valor crítico tc é 
1,686 para uma distribuição t com T−2=38 graus de 
liberdade.
4. A estimativa de mínimos quadrados de β2 é b2 = 0,1283, 
com erro padrão ep(b2)=0,0305. Exatamente como no 
teste bicaudal, o valor da estatística do teste t é
0,1283 4,20
0,0305
t = =
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5. Conclusão: Como t=4,20 > tc=1,686, nós rejeitamos a 
hipótese nula e aceitamos a alternativa. Assim, existe 
uma relação positiva entre renda semanal e despesa 
semanal com alimentação. 
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5.2.11 Um Comentário na Construção das 
Hipóteses Nula e Alternativa
• A hipótese nula é geralmente escrita de tal modo que 
se nossa teoria estiver correta, então nós a 
rejeitaremos.
• Nós estabelecemos a hipótese nula para o caso de não 
existir relação entre as variáveis, H0: β2 = 0. Na 
hipótese alternativa, nós colocamos a conjuntura que nós 
gostaríamos de estabelecer, H1: β2 > 0. 
• É importante estabelecer as hipóteses nula e 
alternativa antes de conduzirmos a análise da regressão. 
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5.3 O Previsor de Mínimos Quadrados
Nós queremos prever o valor da variável dependente y0, 
dado um valor da variável explanatória x0, o qual é dado por
0 1 2 0 0y x e= β + β + (5.3.1) 
onde e0 é um erro aleatório. Esse erro aleatório tem média 
E(e0)=0 e variância var(e0)= . Nós também assumimos que 
cov(e0, et)=0. 
2σ
O previsor de mínimos quadrados de y0 é
0 1 2 0yˆ b b x= + (5.3.2) 
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o erro de previsão é
0 0 1 2 0 1 2 0 0
1 1 2 2 0 0
ˆ ( )
( ) ( )
f y y b b x x e
b b x e
= − = + − β + β +
= − β + − β −
(5.3.3) 
O valor esperado de f é:
0 0 1 1 2 2 0 0ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
E f E y y E b E b x E e= − = − β + − β −
= + − =
(5.3.4) 
Pode ser demonstrado que
2
2 0
0 0 2
1 ( )ˆvar( ) var( ) 1
( )t
x xf y y
T x x
 
−
= − = σ + + 
−  ∑ (5.3.5) 
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A variância do erro de previsão é estimada pela 
substituição de pelo seu estimador ,2σ 2σˆ
2
2 0
2
1 ( )ˆ ˆvar( ) 1
( )t
x xf
T x x
 
−
= σ + + 
−  ∑ (5.3.6) 
A raiz quadrada da variância estimada é o erro padrão da 
previsão,
( ) ( )ˆvarep f f= (5.3.7) 
Conseqüentemente, nós podemos construir uma variável 
aleatória normal padronizada como
~ (0,1)
var( )
f N
f (5.3.8) 
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Então, 
( 2)~ep( )ˆvar( ) T
f f t
ff −
= (5.3.9) 
Se tc é um valor crítico da distribuição , tal que P(t ≥ 
tc) = α/2, então
( 2)Tt −
( ) 1c cP t t t− ≤ ≤ = − α (5.3.10) 
Então,
0 0ˆ[ ] 1
ep( )c c
y yP t t
f
−
− ≤ ≤ = − α
Simplificando essa expressão, obtemos
0 0 0ˆ ˆ[ ep( ) ep( )] 1c cP y t f y y t f− ≤ ≤ + = − α (5.3.11) 
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Um intervalo de (1-α)×100% de confiança, ou intervalo de 
previsão, para y0 é
0ˆ ep( )cy t f± (5.3.12) 
•Equação 5.3.5 implica que, quanto mais afastado for x0 da 
média amostral , maior será a variância do erro de 
previsão
x
•Como a variância de previsão aumenta quanto maior é a 
distância de x0 da média amostral , os limites de 
confiança aumentam à medida que cresce.
x
0| |x x−
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5.3.1 Previsão no Modelo da Despesa com Alimentação
A despesa semanal prevista com alimentação para um 
domicílio com renda semanal de x0 = $750 é
0 1 2 0ˆ 40,7676 0,1283(750) 136,98y b b x= + = + =
A variância estimada do erro de previsão é 
2 2
2 0
2
( )1 1 (750 698)ˆ ˆvar( ) 1 1429,2456 1 1467,4986
( ) 40 1532463t
x xf
T x x
   − −
= σ + + = + + =   
−    ∑
O erro padrão de previsão é então
ˆep( ) var( ) 1467,4986 38,3079f f= = =
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O intervalo de 95% de confiança para y0 é
0ˆ ep( ) 136,98 2,024(38,3079)
[59,44 a 214,52]
cy t f± = ±
• Nosso intervalo de previsão sugere que um domicílio 
com renda semanal de $750 gastará alguma coisa entre 
$59,44 e $214,52 com alimentação. 
• Um intervalo muito amplo significa que nosso ponto de 
previsão, $136,98, não é confiável. 
• Nós podemos melhorá-lo, mensurando o efeito de que 
outros fatores, além da renda, pode ter. 
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