Aula 5 de Ondas Sonoras

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Centro de Educação Superior de Brasília 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves Disciplina : Física II 
 
 
Notas de Aula : Física II Curso: Engenharia Civil ( 3° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
Ondas Sonoras 
 
 Ondas sonoras são ondas mecânicas, logitudinais, tridimensional que sensibilizam nossa audição, 
que são muito utilizadas nos dias de hoje. As equipes de prospecção usam ondas sonoras para sondar a 
crosta terrestre em busca de petróleo, navios possuem equipamentos de localização através de som ( 
sonar) para detectar obstáculos submersos, os submarinos usam ondas sonoras para emboscar outros 
submarinos ouvindo ruídos produzidos pelo sistema de propulsão. 
 
 Na média ouvimos sons de freqüência entre 20 Hz e 20.000 Hz. 
 
- Abaixo de 20 Hz, temos o infra-som. 
- Acima de 20.000 Hz, temos o ultra-som. 
 
A velocidade do som 
 
As ondas se caracterizam por ser um transporte de energia, associado a uma oscilação da matéria. 
A energia se propaga através da interação de elementos de volume adjacentes. Como cada material se 
caracteriza por um arranjo específico da matéria, a interação entre os elementos de volume adjacentes se 
dá de um modo peculiar para cada material que consideremos. 
A velocidade de uma onda mecânica, seja ela transversal ou longitudinal, depende tanto das 
propriedades inerciais do meio ( para armazenar energia cinética), como das propriedades elásticas do 
meio ( para armazenar energia potencial). Assim, podemos generalizar que a velocidade de uma onda em 
uma corda é descrita por: 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
Por isso a onda sonora se propaga com uma velocidade diferente para cada meio. Em particular, a 
sua velocidade no ar a 20ºC é de vS = 343m/s . 
Quando uma onda sonora se propaga no meio ar, a energia potencial está associada à compressão 
e expansão de pequenos elementos de volume do ar, e em cada material esses movimentos têm uma 
característica peculiar. Existe uma grandeza que dá conta dessas variações em um meio: é o módulo 
volumétrico da elasticidade B , que leva em conta a variação de pressão e a variação fracional de volume. 
Ele é definido como: 
 
 
Em que 
 
 
 é a variação relativa de volume produzida por uma variação de pressão . 
 
 
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Dessa forma podemos definir a velocidade do som pela equação: 
 
 √
 
 
 
A velocidade do som varia com o meio e com a temperatura.Veja: 
 
 
 
 
 
Propagação de ondas sonoras 
 
À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar do fluido oscila em 
torno de sua posição de equilíbrio. 
Os deslocamentos se realizam para direita e para esquerda sobre a direção x , na qual a onda se 
propaga. 
 
De modo geral, uma onda progressiva s(x,t) que se propaga no sentido positivo do eixo x , tem a 
forma: 
s(x,t) = f(x - vt) 
 
 
 
 
 
 
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Uma onda sonora que se propaga com velocidade v em um tubo longo cheio de ar é composta de 
uma série de expansões e compressões periódicas do ar que se deslocam ao longo do tubo. 
 
 
( a onda em um instante arbitrário) 
 
Quando a onda passa, um elemento de ar de espessura oscila para esquerda e para direita em 
um MHS em torno da posição de equilíbrio. 
 
 
 
O deslocamento máximo para direita ou para esquerda é o Sm chamado de amplitude de 
deslocamento , ou seja, o deslocamento máximo do elemento de ar em qualquer sentido a partir da 
posição de equilíbrio. ( estamo supondo que Sm é muito menor que o comprimento de onda ) 
 
 
 
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Dessa forma, considerando uma onda harmônica progressiva, temos que: 
 
 ( ) ( ) 
 
 O número de onda K, a frequência angular , a frequência, o comprimento de onda , a velocidade 
v e o período T de uma onda sonora ( longitudinal) são definidos do mesmo modo e obdecem às mesmas 
relações que para uma onda transversal , exceto pelo fato de que agora é a distância ( na direção de 
propagação) para a qual o padrão de compressão e expansão associado à onda começa a se repetir. 
 
 
 
 
 Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição x varia senoidalmente. Para 
descrever essa variação escrevemos: 
 
 ( ) ( ) 
 
 Um valor negativo de na equação acima indica uma expansão do ar, um valor positivo, uma 
compressão. O fator é a amplitude de pressão, ou seja, o máximo aumento ou diminuição de 
pressão associado a onda. m é normalmente muito menor que a pressão p na ausência da onda. A 
variação de pressão está relacionada com a amplitude do deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Qualidades Fisiológicas do Som 
 
 Os seres humanos podem distinguir os sons uns dos outros pelas suas qualidades fisiológicas: 
altura, timbre e intensidade. Essas qualidades fisiológicas estão relacionadas às diferentes propriedades 
das ondas sonoras. 
 
Altura 
A altura é a qualidade fisiológica que nos permite distinguir os sons graves dos agudos. Em 
termos físicos, essa qualidade está associada à freqüência das ondas sonoras: às freqüências baixas 
correspondem sons graves e às freqüências altas, sons agudos. 
 
Timbre 
Timbre é a qualidade fisiológica que nos permite distinguir os sons de diferentes instrumentos 
mesmo que eles estejam produzindo a mesma nota musical. 
Um diapasão, por exemplo, produz uma onda sonora pura, isto é, associada a uma únicafreqüência. Os instrumentos musicais, ao contrário, produzem ondas mais complexas, que resultam da 
superposição do modo fundamental (que define a nota) com um conjunto de harmônicos superiores. O 
conjunto e a intensidade desses harmônicos diferem de um instrumento para outro e definem o timbre do 
instrumento. 
 
 
 
 
 
 
 
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Intensidade 
Intensidade é a qualidade fisiológica que nos permite distinguir os sons fortes dos fracos. Em 
termos físicos, intensidade é a quantidade de energia transportada pela onda sonora através de uma 
superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação por unidade de tempo. 
A intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da sua amplitude. No caso de uma onda 
sonora, a amplitude é dada pela diferença entre a pressão de uma região de compressão (ou de rarefação) 
máxima e a pressão atmosférica normal. No SI, a unidade de intensidade é W / m2. 
Uma grandeza associada à intensidade é o nível sonoro, para o qual usamos uma unidade 
adimensional, o decibel (simbolizado por dB). A tabela abaixo mostra alguns sons e o correspondente 
nível sonoro. 
 
 
A escala de níveis sonoros é definida por: 
 
 
 
 
 
 
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Como log10 1 = 0, vem: ndB (I0) = 0. Assim, uma onda sonora com intensidade de 10−12 
Watt/m2 tem um nível sonoro de zero decibel. 
O som de uma conversa normal tem uma intensidade 10 mil vezes maior do que o som de um 
sussurro. A diferença de 40 dB entre os níveis sonoros corresponde a uma razão de 10000 entre as 
intensidades. 
Por outro lado, qualquer som acima de 85 dB pode causar perda de audição. 
Essa perda depende da intensidade do som e do período de exposição. Uma exposição a um som 
de 90 dB durante 8 horas ou uma exposição a um som de 120 dB durante alguns segundos já causam 
danos. 
 
Cálculo da Intensidade e nível do som 
 
A intensidade de uma onda é definida como a potência média transmitida por unidade de área. 
Quando no nosso cotidiano dizemos que o som está alto, estamos na realidade dizendo que é alta a 
intensidade som emitido pelo aparelho. Matematicamente, temos: 
 
 
 
 
 
A intensidade I está relacionada à amplitude do deslocamento Sm da onda sonora através da 
equação: 
 
 
 
 
 
Variação da intensidade com a distância 
 
Em geral, a intensidade do som varia com a distância de uma fonte real de uma forma bastante 
complexa. Algumas fontes reais , como os auto falantes, podem emitir o som apenas em certas direções, e 
o ambiente normalmente produz ecos ( ondas sonoras refletidas) que se superpõem às ondas originais. Em 
alguma situações podemos ignorar os ecos e supor que a fonte sonora é uma fonte pontual e isotrópica, ou 
seja que emite o som com a mesma intensidade em todas as direções. 
Vamos supor que a energia mecânica das ondas sonoras é conservada quando as ondas se 
espalham a partir de uma fonte pontual isotrópica e construir uma esfera imaginária de raio r e o centro na 
fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Como toda a energia emitida pela fonte passa pela superfície da esfera, a taxa com a qual a energia 
das ondas sonoras atravessa a superfície é igual à taxa com a qual a energia emitida pela fonte, logo a 
intensidade da onda sonora na superfície da esfera é dada por: 
 
 
 
 
 Ou seja a intensidade do som emitido por uma fonte pontual isotrópica diminui com o quadrado da 
distância r da fonte. 
Intensidade: está relacionada com a energia da onda que se relaciona com a amplitude (A) da onda dando 
som forte e som fraco. 
 
 
 
 
 
 
limiar de audibilidade. Corresponde a menor intensidade ouvida pelo ouvido 
humano. 
 
 
 
Nível de intensidade auditiva [sensação sonora produzida no ouvido humano, dado em decíbel 
(dB)]. 
 
 
 
Veja: 
sussuro → N = 10 a 20 dB 
música suave → N = 30 a 40 dB 
conversa normal → N = 60 a 70 dB 
barulho de tráfego → N = 80 a 90 dB 
motor de avião na decolagem → N = 160 a 170 dB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de aplicação: 
 
Se o nível sonoro da conversa entre duas pessoas é de 70 dB e sabendo que 
 
 
 , 
determine a intensidade do som emitido por essas pessoas. 
 
Resolvido em Sala 
Reflexão do som 
Assim como para qualquer outra onda, as ondas sonoras, ao atingirem um obstáculo fixo, como 
uma parede, são refletidas. 
A reflexão do som acontece com inversão de fase, mas mantém a mesma velocidade de 
propagação, mesma freqüência e o mesmo comprimento de onda do som incidente. 
Um efeito muito conhecido causado pela reflexão do som é o efeito de eco. Que consiste na 
reflexão do som que bate em uma parede afastada. 
 
 
Quando uma pessoa emite um som em direção a um obstáculo, este som é ouvido no momento da 
emissão, chamado som direto, e no momento em que o som refletido pelo obstáculo retorna a ele. 
Sabemos que a velocidade é dada pela distância percorrida pelo som em um determinado tempo, 
esta distância é dada por duas vezes a distância ao obstáculo refletor, já que o som vai e volta. Assim: 
 
E a velocidade é a de propagação do som no ar. 
Ao receber um som, este "permanece" em nós por aproximadamente 0,1s, sendo este intervalo 
conhecido como persistência acústica. 
Pela relação da velocidade: 
 
Se este intervalo de tempo for inferior à persistência acústica (t < 0,1s), o som ouvido após ser 
refletido parecerá apenas um prolongamento do som direto. A este efeito dá-se o nome de reverberação. 
Para intervalos maiores que a persistência acústica (t > 0,1s) é instintivo perceber que esta reflexão será 
ouvida como eco. 
Os outros fenômenos acontecem da mesma forma que para as outras ondas estudadas. Tendo uma 
utilização bastante conhecida a de interferênciado som, onde é possível aplicar uma freqüência anti-
ruído, a fim de suavizar o som do ambiente. 
 
 
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Ondas estacionárias em colunas do ar 
 
As ondas estacionárias podem ser criadas em colunas de ar exatamente da mesma forma que nas 
cordas. O princípio é o mesmo: a onda sonora incidente é refletida, a onda refletida interfere 
construtivamente com a onda incidente e se forma o padrão da onda estacionária. 
No caso da corda, tivemos a oscilação da própria corda. No caso das colunas de ar, temos o 
movimento oscilatório das moléculas do ar, descrito pelas ondas de deslocamento e (ou) pressão, como 
ondas estacionárias que se formam em colunas de ar formam o padrão para produzir som em todos os 
instrumentos musicais de sopro (tuba, trombone, flauta...). 
Podemos usar a analogia com as cordas para perceber o que acontece nas colunas de ar. 
No caso das cordas concluímos que as extremidades têm de ser nodos porque estão fixas. No caso 
das colunas de ar discutiremos dois casos distintos, ilustrados na Figura abaixo as colunas de ar abertas 
nas duas extremidades e as colunas de ar fechadas numa das extremidades. 
 
 
Primeiramente vejamos então o que podemos dizer sobre as duas extremidades diferentes. 
 
• extremidade fechada 
Se pensarmos em termos das ondas de deslocamento das partículas, compreendemos que a 
extremidade fechada tem de ser um nodo. Isso acontece porque as moléculas junto à parede não podem 
oscilar (batem na parede). Portanto, o deslocamento das moléculas encostadas à parede é zero. A 
extremidade fechada comporta-se como a extremidade fixa de uma corda, como um nodo de 
deslocamento. 
 
• extremidade aberta 
Neste caso é melhor pensar em termos de ondas de pressão. A extremidade aberta deve ser um 
nodo para as ondas de pressão. Por quê? Porque a extremidade da coluna está à pressão atmosférica, e a 
pressão atmosférica é constante, não se altera. Portanto a amplitude de variação da onda de pressão na 
extremidade da coluna deve ser nula: teremos um nodo na onda de pressão (isso vale somente 
aproximadamente, pois a pressão não se reduz à pressão atmosférica imediatamente na saída da coluna, 
mas um pouco depois). 
 
 
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 Lembre-se agora que as ondas de deslocamento e pressão estão defasadas por 90º , o que significa 
que quando a onda de pressão está no máximo, a onda de deslocamento está em zero, e vice-versa. Isto 
quer dizer que um nodo da onda de pressão (amplitude de oscilação nula) é um antinodo da onda de 
deslocamento (amplitude de oscilação máxima). Portanto, enquanto uma extremidade fechada origina um 
nodo para onda de deslocamento, uma extremidade aberta origina um antinodo para onda de 
deslocamento. 
 
Condições de contorno nos casos de uma extremidade fechada e uma extremidade aberta. 
 
Colunas do ar com ambas as extremidades abertas 
 
Discutiremos primeiro as colunas abertas nas duas extremidades. De acordo com o que vimos 
antes temos de ter um antinodo em cada uma das extremidades. Lembrando o fato de que os nodos e 
antinodos são alternados e igualmente espaçados, o modo mais simples ocorre quando existe um nodo no 
meio da coluna entre dois antinodos extremos, o que está ilustrado na Figura 
 
 
Modo fundamental (primeiro harmônico) da onda estacionária numa 
coluna de ar com extremidades abertas. 
 
Neste caso o comprimento da coluna ( L ) corresponde ao meio comprimento de onda, pois meio 
comprimento de onda é o que vai de um máximo da onda até o mínimo. Chega-se a mesma conclusão 
utilizando o fato que a distância entre dois antinodos é igual ao meio comprimento da onda. 
Determinamos então o comprimento de onda e a frequência do primeiro harmônico: 
 
 ; 
 
 
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O segundo modo de oscilação das moléculas do ar é realizado com um antinodo no meio da 
coluna, e dois nodos entre ele e antinodos extremos, que está ilustrado na figura. 
 
 
Segundo harmônico da onda estacionária numa coluna de ar com 
extremidades abertas. 
 
Neste caso, o comprimento da coluna corresponde a um comprimento de onda, pois um 
comprimento de onda é a distância entre dois máximos sucessivos. Determinamos então o comprimento 
de onda e a frequência do segundo harmônico: 
 
 ; 
Observa-se que o comprimento de onda do segundo harmônico é metade do comprimento de onda 
do primeiro harmônico, e a frequência é dobrada. 
 
O terceiro modo de oscilação está ilustrado na figura 
 
Terceiro harmônico da onda estacionária numa 
coluna de ar com extremidades abertas. 
 
 
 
 Neste caso, o comprimento da coluna corresponde a um e meio (3 2) comprimentos de 
onda. Portanto, o comprimento de onda e a frequência do terceiro harmônico são: 
 
 ; 
 
Podemos agora fazer uma generalização para todos os outros harmônicos, seguindo as dicas das 
equações anteriores. O comprimento de onda do n-ésimo modo é: 
 
 
com frequência correspondente: 
 
 
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onde o v é velocidade de propagação do som no ar. Assim, concluímos que numa coluna de ar 
com as duas extremidades abertas, são possíveis todos os modos de vibração correspondentes aos 
harmônicos com múltiplo inteiro da frequência fundamental 
 
 
. 
 
Colunas de ar com uma extremidade aberta e outra fechada 
 
Vamos, a seguir, considerar colunas de ar fechadas somente numa das extremidades. A onda 
estacionária mais simples tem um nodo na extremidade fechada e um antinodo na extremidade aberta, tal 
como ilustrado na Figura. 
 
 
Modo fundamental (primeiro harmônico) da onda estacionária numa 
coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
Neste caso todo o comprimento da coluna L é atravessado por apenas um quarto de comprimento 
de onda. Então, o modo fundamental é caracterizado peloseguinte comprimento de onda e frequência: 
 
; 
 
Em comparação com o caso de coluna com ambas as extremidades abertas, o comprimento de 
onda é duas vezes maior, enquanto a frequência é duas vezes menor. O segundo modo está ilustrado na 
Figura. Este modo tem mais um nodo e um antinodo no meio. 
 
 
Segundo modo de oscilação da onda estacionária (terceiro harmônico) 
numa coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
 
 
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 Neste caso todo o comprimento da coluna é atravessado por três quartos de comprimento de onda. 
Então, para o segundo modo temos: 
 
 ; 
 
A última igualdade permite compreender porque se usou o subscrito 3 e não 2: porque 
efetivamente a frequência do segundo modo é tripla do modo fundamental. Portanto podemos dizer que 
não há segundo harmônico, há só terceiro harmônico. O terceiro modo, que corresponde ao quinto 
harmônico, tem dois nodos e dois antinodos no meio, e está ilustrado na Figura. 
 
 
Terceiro modo de oscilação da onda estacionária (quinto harmônico) numa 
coluna de ar com uma extremidade aberta e outra fechada. 
 
Esse modo tem, em total, três nodos e três antinodos. O comprimento da coluna corresponde a um 
comprimento de onda inteiro e mais ainda um quarto de comprimento de onda, ou seja, a 5/4 de 
comprimento de onda. Portanto: 
 
 ; 
 
o que mostra que realmente se trata do quinto harmônico. Generalizando a sequência estabelecida 
pelas equações podemos concluir que o comprimento de onda do n-ésimo modo é: 
 
 
 
 
 
Os valores de 2n −1 correspondem aos números ímpares. Assim, concluímos que numa coluna de 
ar com uma extremidade fechada são possíveis apenas modos de vibração correspondentes aos múltiplos 
inteiros ímpares da frequência fundamental v 4L . 
 
 
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A partir das equações acima podemos discutir como funcionam os instrumentos musicais de 
sopro. Obviamente, existe uma única maneira de mudar frequências dos harmônicos, e, portanto, de variar 
o som do instrumento: variando o comprimento da coluna do ar! Nos instrumentos de madeira isso se faz 
com dedos, tampando os furos (furo se comporta como extremidade aberta). No caso dos instrumentos de 
metal, o comprimento da coluna de ar é mudado por uma seção ajustável. 
 
Batimentos 
Até agora discutimos somente superposição das ondas com mesma frequência. A interferência 
entre essas ondas ocorre devido ao deslocamento espacial, diferentes caminhos que elas percorrem. Esse 
tipo de interferência é chamado interferência espacial. Quando se trata da combinação de ondas com 
frequências diferentes, digamos que ocorre interferência temporal. Neste caso não se forma um padrão 
estável de interferência, pois as posições de ocorrência dos máximos e mínimos mudam com tempo. 
Designamos por batimento um fenômeno que acontece quando existe uma superposição entre 
duas ondas que possuam a mesma direção, amplitude e frequências diferentes, mas próximas. 
Pelo fato das frequências diferirem uma da outra, haverá momentos de interferência construtiva, onde a 
amplitude resultante será grande e momentos de interferência destrutiva, resultando numa amplitude 
diminuída. 
Vamos analisar essa situação matematicamente. Consideraremos um ponto particular do espaço, x 
= 0 (pode ser a posição do nosso ouvido, por exemplo), e veremos o que acontece. Duas ondas chegam 
nesse ponto: 
 
 
e se superpõem, formando uma onda resultante: 
 
 
 
Usando a identidade trigonométrica: 
 
a onda resultante tem a seguinte forma: 
 
 
O resultado é apresentado pelo gráfico na figura abaixo. Em certos instantes as ondas y1 e y2 estão 
em fase: seus máximos coincidem e as duas amplitudes se somam. Porém, como as frequências são 
diferentes, duas ondas não podem ficar sempre em fase. Em certos instantes elas se encontram 
completamente fora de fase, produzindo cancelamento total de amplitude. 
 
 
 
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Superposição de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes. É 
mostrado como a elongação de certo elemento do meio depende do tempo. 
 
Os máximos de amplitude correspondem aos batimentos. Como existem dois máximos de 
amplitude em cada ciclo completo, a frequência dos batimentos é: 
 
igual a diferença das frequências das ondas individuais. Um exemplo familiar do batimento é 
aquele produzido por dois diapasões, ou por duas cordas de guitarra de frequências parecidas. Neste caso, 
ouvimos um som de intensidade variável, cuja frequência de batimento b f é a subtração das duas 
frequências envolvidas. 
 
 
 
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 Batimentos produzidos por dois diapasões com frequências ligeiramente diferentes. 
 
Se o primeiro diapasão produz som com uma frequência de 100 Hz, e outro de 110 Hz, o 
instrumento vai registrar batimentos com frequência de 10 Hz, i.e., 10 batimentos por segundo. 
 
 
Representação gráfica da interferência temporal das ondas sonoras produzidas 
por dois diapasões (fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O Efeito Doppler 
 
O efeito Doppler proposto em 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler é oriundo do 
movimento relativo entre fonte e detector de ondas sonoras, promovendo umaalteração na freqüência 
original destas ondas. O efeito Doppler se aplica também para ondas eletromagnéticas (microondas, ondas 
de rádio e luz visível). Se o detector ou a fonte está se movendo, ou ambos estão se movendo, a 
frequência emitida f e a frequência detectada f’ são relacionadas através da equação: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentido de aproximá-lo, o sinal da velocidade 
deve resultar em um aumento da frequência. Quando o movimento do detector ou da fonte é no sentiso de 
afastá-lo, o sinal da velocidade deve resultar em uma diminuição da frequência. 
Para resumir, aproximação significa aumento de frequência; afastamento significa diminuição de 
frequência. 
 
Vamos analisar alguns casos. 
 
Detector Em Movimento; Fonte Estacionária ( Parada) 
 
Considere-se o caso de um detector de ondas sonoras D, se aproximando de uma fonte S, com uma 
velocidade vD. A fonte S emite ondas com freqüência f e comprimento de onda , e velocidade v. A 
freqüência captada pelo detector D é a taxa com que D intercepta as frentes de onda. 
 
 
 
 
 
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O caso geral para o detector se aproximando ou se afastando é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fonte Em Movimento; Detector Estacionário 
 
Suponha que o detector D está parado em relação à massa de ar e a fonte F está se movendo em 
direção a D com velocidade Vs. O movimento de F altera o comprimento de onda das ondas sonoras que a 
fonte emitee, portanto, a frequência detectada por D. 
O comprimento de onda original de uma onda sonora é modificado pelo movimento da fonte. 
Considere T o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda sucessivas q e . Durante 
T, a frente de onda se move de uma distância vt e a fonte se move de um distância vst. Após 
transcorrido o tempo T, a frente de onda é emitida. O comprimento de onda, desta onda corresponde à 
distância entre e , dado por vt – vst. A nova freqüência detectada por D será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fonte em Movimento e Detector em movimento 
 Suponha agora que, além do ouvinte a fonte também se mova, com velocidade Vs. a velocidade da 
onda em relação ao meio no qual ela se propaga ( o ar) é ainda igual a v, pois essa velocidade só depende 
das propriedades do meio e não se altera quando a fonte se move. 
 
 
Nesse caso temos duas situações: 
1ª situação: O ouvinte se move atrás da fonte. 
Neste caso o comprimento de onda é dado por: 
 
 
 
 
 
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2ª situação: O ouvinte se move a frente da fonte. 
Neste caso o comprimento de onda é dado por: 
 
 
 
 Em razão do movimento da fonte, as ondas se comprimem na frente da fonte e se distendem atrás 
da fonte. 
 Para encontrar a frequência percebida pelo ouvinte, usamos a equação: 
 
 
 
 ( ) 
Exemplos de aplicação: 
1)Uma sirene da polícia emite uma onda senoidal com frequência fs = 300 Hz. A velocidade do som é 340 
m/s. a) calcule o comprimento de onda das ondas sonoras quando a sirene está em repouso em relação ao 
ar. B) quando a sirene se move a 30 m/s, determine o comprimento de onda das ondas na frente e atrás da 
fonte. 
Resolvido em Sala 
2) Se considerarmos a sirene do exercício anterior e o ouvinte em repouso, considerando que a sirene se 
afasta do ouvinte com uma velocidade de 30 m/s, que frequência o ouvinte escuta? 
Resolvido em Sala 
3) Considere uma ambulância parada com a sirene ligada emitindo som com uma frequência de 300 Hz, 
uma pessoa se afasta da ambulância com uma velocidade de 30 m/s. Com que frequência essa pessoa 
escuta a sirene? 
Resolvido em Sala 
 
 
4) considere uma ambulância se deslocando com a sirene ligada emitindo som com frequência de 300 Hz 
com uma velocidade de 45 m/s em relação ao ar, se afasta de um motorista que está atrás da ambulância 
com uma velocidade de 15 m/s em relação ao ar., que frequência o ouvinte escuta? 
Resolvido em Sala 
 
 
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Exercícios: 
Velocidade do som. 
1) Um flamenguista e um vascaíno assiste a semi final do campeonato carioca no maracanã e veem e 
depois escutam uma bola chutada no campo. O tempo de retardo para o flamenguista é de 0,23 s e 
para o vascaíno é de 0,12 s. as linhas de visão dos dois torcedores até o jogador que chutou a bola 
fazem um ângulo de 90º. A que distância do jogador está (a) o flamenguista, (b) o vascaíno , (c) qual é 
a distância entre o flamenguista e o vascaíno? Resp: a) 78,2 m b) 40,8 m c) 88,2m 
 
2) Qual é o módulo de elasticidade volumétrico do oxigênio se 32 g de oxigênio ocupam 22,4 L e a 
velocidade do som no oxigênio é 317 m/s? Resp: B = 1,44.10
5
 Pa 
 
3) Quando a porta da capela de um mosteiro é fechada, o último eco ouvido por uma pessoa que está 
atrás da porta, no interior da capela, ocorre 15 s depois. (a) Se esse eco se devesse a uma única 
reflexão em uma parede em frente à porta, a que distância da porta estaria essa parede? (b) como a 
parede está a 25,7 m de distância, a quantas reflexões ( para frente e para trás) corresponde o último 
eco? Resp: a) 2,55 Km b) 197 reflexões 
 
4) Os terremotos geram ondas sonoras no interior da Terra. Aocontrário de um gás, a Terra pode 
transmitir tanto ondas transversais (S) como ondas longitudinais (P ). A velocidade das ondas (S) é da 
ordem de 4,5 Km/s e a das ondas (P) é da ordem de 8,0 Km/s. Um sismógrafo registra as ondas (P) e 
(S) de um terromoto. As primeiras ondas (P) chegam 3,0 min antes das primeiras ondas (S). se as 
ondas se propagam em linha reta, a que distância ocorreu o terremoto? Resp: 1,9.10
3
 Km 
 
5) Em um líquido com densidade igual a 1300 kg/m3, propaga-se uma onda longitudinal com frequência 
igual a 400 Hz e comprimento de onda igual a 8,0 m. calcule o módulo de compressão do líquido. 
Resp: 1,33 . 10
10
 Pa 
 
6) Um aparelho de ultrassom, com frequência de 4,5 MHz, é usado para examinar tumores em tecidos 
moles. (a) Qual é o comprimento de onda no ar das ondas sonoras produzidas pelo aparelho? (b) Se a 
velocidade do som no corpo do paciente é de 1500 m/s, qual é o o comprimento de onda das ondas 
produzidas pelo aparelho no corpo do paciente? Resp: a) 7,5.10
-5
m b) 3,33.10
-4
 m 
 
7) Uma pedra é deixada cair em um poço. O som produzido pela pedra ao se chocar com água é ouvido 
3,0 s depois. Qual é a profundidade do poço? Adote g = 10m/s
2
. Resp: 41,5 m 
Ondas Progressivas e Intensidade sonora 
8) A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação. 
 ( ) [( ) ( ) ] . determine (a) a amplitude , (b) a frequência , 
(c) o comprimento de onda , (d) a velocidade da onda. Resp: a) 1,5 Pa b) 165 Hz c) 2m d) 
330 m/s 
 
 
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9) Uma discussão começa acalorada, com um nível sonoro de 70 dB, mas o nível cai para 50 dB quando 
os interlocutores se acalmam, supondo que a frequência do som é 500 Hz, determine a intensidade (a) 
inicial , (b) final , (c) amplitude inicial , (d) amplitude final. Resp: a) 10
-5
 w/m
2
 b) 10
-7
w/m
2
 c) 70 
nm d) 7 nm 
 
10) Uma onda sonora com frequência de 300 Hz tem uma intensidade de 
 
 
. Qual é a amplitude das 
oscilações do ar causadas pela onda. Resp: 37 nm 
 
11) Uma onda pontual de 1,0 W emite ondas sonoras isotrópicas. Supondo que a energia da onda é 
conservada, determine a intensidade (a) a 1,0 m , (b) a 2,5 m da fonte. Resp: a) 0,080w/m
2
 b) 0,013 
w/m
2
 
12) Uma fonte pontual emite 30 W de som isotropicamente. Um pequeno microfone intercepta o som em 
uma área de 0,75 cm
2
, a 200 m de distância da fonte. Calcule (a) a intensidade sonora nessa posição e 
(b) a potência interceptada pelo microfone. Resp: a) 5,97.10
-5
w/m
2
 b) 4,48 nW 
Tubos abertos e Batimentos 
13) O tubo de um órgão A, com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de 300 
Hz. O terceiro harmônico do tubo de um órgão B, com uma extremidade aberta, tem a mesma 
frequência que o segundo harmônico do tubo A. Qual é o comprimento (a) do tubo A , (b) do tubo B? 
Resp: a) 57 cm b) 42,5 cm 
 
14) Uma corda de violino com 15 cm de comprimento e as duas extremidades fixas oscila no modo n = 1. 
A velocidade das ondas na corda é 250 m/s e a velocidade do som no ar é 348 m/s. Qual é (a) a 
frequência e (b) o comprimento de onda da onda sonora emitida? Resp: a) 833,33 Hz b) 0,42 m 
 
15) Uma onda sonora que se propaga em um meio fluido é refletida em uma barreira, o que leva à 
deformação de uma onda estacionária. A distância entre nós é 3,8 cm e a velocidade de propagação é 
1500 m/s. Determine a frequência da onda sonora. Resp: 19.737 Hz 
 
16) No tubo A, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2. 
No tubo B, a razão entre a frequência de um harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,4. 
Quantas extremidades abertas existem (a) no tubo A e (b) no tubo B? Resp: a) aberto nas duas 
extremidades ; b) aberto em uma das extremidades 
 
17) Uma das frequências harmônicas do tubo A, que possui as duas extremidades abertas é 325 Hz. A 
frequência harmônica seguinte é 390 Hz. (a) Qual é a frequência harmônica que se segue a frequência 
harmônica de 195 Hz? (b) Qual é o número de harmônicos? Resp: a) 260Hz b) 4 
 
18) A corda lá de um violino está esticada demais. São ouvidos 4 batimentos por segundo quando a corda 
é tocada junto com um diapasão que oscila exatamente na frequência do lá de conserto( 440 Hz). Qual 
é o período de oscilação da corda do violino? Resp: 2,25 ms 
 
 
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19) Ao tentar afinar a nota dó a 523 Hz, uma afinadora de piano ouve 2 batimentos/s entre um oscilador 
de referencia e a corda. (a) Quais são as frequências possíveis da corda? (b) Quando ela aperta a corda 
ligeiramente, ouve 3 batimentos/s. Qual é a frequência da corda agora? (c) Para qual porcentagem deveria 
a afinadora de piano mudar agora a tensão na corda para que ela fique afinada? Resp: 2,2 % 
 
20) Em determinadas escalas de um teclado de piano, mais de uma corda é afinada à mesma nota para 
fornecer sonoridade reforçada. Por exemplo, a nota a 110 Hz tem duas cordas nessa frequência. Se uma 
corda diminuir sua tensão normal de 600 N para 540 N, que frequência de batimento será ouvida quando 
as duas cordas forem excitadas simultaneamente? Resp: 6Hz 
 
21) Um estudante usa um oscilador de áudio de frequência ajustável para medir a profundidade de um 
poço de água. Duas ressonâncias sucessivas são ouvidas em 51,5 Hz e em 60,0 Hz. Qual é a profundidade 
do poço? Resp: L = 10,1 m 
Efeito Doppler 
22) Um apito de 540 Hz descreve uma circunferência de 60 cm de raio com uma velocidade angular de 15 
rad/s. Qual é a frequência (a) mais baixa e (b) mais alta escutada por um ouvinte distante, em repouso em 
relação ao centro da circunferência? Resp: a) 526,1 Hz b) 554,7 Hz 
23) Uma ambulância cuja a sirene emite um som com uma frequência de 1600 Hz passa por um ciclista 
que está a 2,44 m/s. depois de ser ultrapassado, o ciclista escuta uma frequência de 1590 Hz. Qual a 
velocidade da ambulância? Resp: 4,6 m/s 
24) Um guarda rodoviário persegue um carro que excedeu o limite de velocidade em um trecho reto de 
uma rodovia; os dois carros estão a 160 Km/h. a sirene do carro de polícia produz um som com 
frequência de 500 Hz. Qual é o deslocamento Doppler da frente ouvida pelo motorista infrator? Resp: 0 
25) Um detector de movimento estacionário envia ondas sonoras de 0,15 MHz em direção a um caminhão 
que se aproxima com uma velocidade de 45 m/s. qual é a frequência das ondas refletidas de volta ao 
detector? Resp: 1,96.10
6
 Hz 
26) Um automóvel com velocidade constante de 72km/h se aproxima de um pedestre parado. A 
freqüência do som emitido pela buzina é de 720Hz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 
340m/s, a freqüência do som que o pedestre irá ouvir será de: Resp: 765 Hz 
 
 
Bibliografia consultada 
Alonso, M. S. e Finn,E. J., Física, Ed. Edgard Blucher Editora, São Paulo, 1999. 
Young, H. D. e Freedman, R. A. Física II - Termodinâmica e Ondas, Pearson Education do Brasil 
(qualquer edição). 
Halliday, D., Resnick, R, Walker, J Fundamentos de Física 2- Gravitação, Ondas e 
Termodinâmica, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. (9ª Edição).