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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 1 PILARES CENTRAIS DE CONCRETO ARMADO 1. INTRODUÇÃO 1.1. Considerações gerais Em uma estrutura existe a possibilidade de a mesma apresentar instabilidade como um todo, ou seja, como um único corpo (instabilidade global), e que não será aqui visto. Mesmo que isto não aconteça, ainda assim é possível ocorrer a instabilidade de alguns elementos da estrutura, no caso os pilares (elementos verticais submetidos predominante à compressão). Assim há duas situações claras: Aquela em que a estrutura é de nós móveis, sendo neste caso necessário, para se analisar os pilares, considerar os efeitos de segunda ordem devido a não linearidade geométrica e física. Em cada extremidade do pilar será necessário considerar os esforços nodais oriundos da análise global. Aquela em que a estrutura é considerada de nós fixos, de modo que os pilares podem ser admitidos como elementos isolados, e nesse caso manifestam-se em suas extremidades apenas os efeitos de primeira ordem. Cabe lembrar que para efeito de esforços transversais, como a ação do vento, a estrutura deve ser sempre considerada de nós móveis e as solicitações de primeira ordem, oriundas destas ações, deverão ser sempre consideradas no cálculo. Neste capítulo considera-se, em princípio, que os pilares analisados pertencem a estruturas de nós fixos e que os esforços de ações transversais são desprezíveis. O estudo do dimensionamento dos pilares não é simples, pois além de estarem sujeitos à flexão composta (normal ou oblíqua) e à flambagem, nas estruturas de concreto existe sempre o problema da fissuração, que influi no estado de deformação e é sempre difícil de avaliar. O cálculo da armadura de pilares, em algumas situações, pode ser feito com processos simplificados que permitem, com o auxílio de ábacos, como os empregados no dimensionamento de seções sob flexão composta e oblíqua, determinar a armadura necessária sem o uso de programa de computador. Para tanto é necessário definir uma série de conceitos e apresentar as simplificações feitas que levam a uma análise qualitativa e quantitativa das diversas variáveis envolvidas. O que se propõe e se fará aqui, embora possa parecer o contrário, é procurar situações particulares em que algumas variáveis podem ser desprezadas de maneira que o cálculo seja simplificado. Como se verá na seqüência detalhadamente, as principais variáveis em questão e situações que envolvem o dimensionamento de pilares são: Posição do pilar em planta: central ou intermediário, lateral, de canto. Tipo de solicitação: flexão composta normal ou flexão composta oblíqua. Esbeltez (função do comprimento e seção transversal): curto, medianamente esbelto, esbelto, e muito esbelto. Tipo de excentricidade: de forma, inicial, acidental, de segunda ordem, complementar. Características geométricas e condições de contorno dos apoios. Processos de cálculo: simplificados (pilar padrão com curvatura máxima, pilar padrão acoplado a diagrama M, N, 1/r, pilar padrão com rigidez aproximada) e processo geral (substitui os demais). UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 2 1.2. Conceitos básicos Pilar é um elemento estrutural geralmente vertical (em algumas situações pode ser inclinado) e recebe ações predominantemente de compressão. Pode, portanto, estar submetido à compressão composta normal ou oblíqua. São elementos de grande importância estrutural, pois recebem cargas das vigas ou lajes e as conduzem para as fundações. Junto com as vigas os pilares formam os pórticos, que geralmente são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura. Em seu item 14.4.1.2, a NBR 6118:2003 define pilares como elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. Os pilares têm forma prismática ou cilíndrica (usualmente com seção transversal quadrada, retangular ou circular), sendo uma das dimensões (comprimento) bem maior que as outras duas; são tratados como elementos lineares e, geralmente, isolados. 1.3. Efeitos de segunda ordem Pelo fato das ações principais serem de compressão, os pilares estão sujeitos à flambagem, que é um fenômeno que causa equilíbrio instável na barra (Figura 1), onde o estado de deformação da estrutura influi nos esforços internos (não linearidade geométrica), não valendo a superposição de efeitos. Esse fenômeno é designado de efeito de segunda ordem. Momento fletor de segunda ordem P.e P e (a) (b) P 2e Seção transversal 2 no meio do vão e M = P.e2 2 2M M 2 P P Figura 1. Flambagem de uma haste submetida à compressão. Assim, devido à instabilidade, sob a ação do carregamento, surgem esforços de flexão, fazendo com que o pilar apresente uma deformação que, por sua vez, gera nas seções um momento incremental eP , provocando novas deformações e novos momentos. Se as ações externas forem menores que a capacidade resistente da barra, essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as seções da barra, resultando, portanto, uma forma fletida estável. Por outro lado, se as ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade, atingindo um estado limite último. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 3 Essa situação pode ocorrer mesmo nos pilares em que as ações normais são consideradas centradas. Se atuarem apenas forças de tração, haverá um efeito estabilizador e a deformação da própria peça pode ser considerada desprezível. No caso de haver compressão, a deformação da peça, que obrigatoriamente deve ser considerada, é a “deformação de segunda ordem” e a teoria que a considera também é chamada de segunda ordem. Os efeitos de segunda ordem que serão aqui abordados são os referentes à flambagem devida à compressão (efeitos locais), não se estudando as chamadas flambagens “localizadas”, mais comuns em estruturas metálicas. Os efeitos localizados devem ser considerados nos pilares paredes que são aqueles que, segundo o item 14.4.2.4 da Norma, têm uma das dimensões superior a cinco vezes a outra. As considerações a respeito dos efeitos de segunda ordem estão no capítulo 15 da NBR 6118:2003, cujo título é “Instabilidade e efeitos de 2ª ordem”. No item 15.2, conforme transcrito a seguir, estão delineados o campo de aplicação e alguns conceitos fundamentais: Campo de aplicação: As considerações do capítulo 15 se aplicam principalmente às estruturas constituídas por barras submetidas à flexão composta, onde a contribuição da torção, nos efeitos de 2ª ordem, possa ser desprezada; Os princípios do capítulo podem ser aplicados a outros tipos de elementos estruturais, como cascas, paredes e vigas-parede. Estado-limite último de instabilidade: nas estruturas de concreto armado, é atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação. Efeitos de segunda ordem: são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada. Simplificação: os efeitos de segundaordem, em cuja determinação deve ser levado em conta o comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não representem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. 2. DIMENSÕES MÍNIMAS DOS PILARES SEGUNDO A NBR 6118:2003 As dimensões limites de pilares e pilares parede são tratadas no item 13.2.3, e de maneira geral a seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que os esforços solicitantes finais de cálculo, a serem considerados no dimensionamento dos pilares, sejam majorados por um coeficiente adicional n, de acordo com o indicado na Tabela 1, porém com área mínima de 360 cm2. Tabela 1. Coeficiente adicional (tabela 17, NBR 6118:2003). Menor dimensão da seção transversal do pilar (b) b 19 18 17 16 15 14 13 12 n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 4 3. ARMADURAS MÍNIMAS E MÁXIMAS EM PILARES Na NBR 6118:2003, item 17.3.5, estão relacionados princípios básicos que norteiam a adoção de armaduras mínimas e máximas nos elementos estruturais, e os valores correspondentes aos pilares estão no item 17.3.5.3: Armaduras mínimas: a ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada, considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples. Armaduras máximas: a especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de se assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento conjunto aço-concreto. 3.1. Valores mínimos Para as armaduras longitudinais de pilares e tirantes, a armadura longitudinal mínima deve ser: c yd d min,s A004,0f N 15,0A (1) onde Nd é o valor da força normal de cálculo e Ac é a área da seção do pilar. Essa expressão pode ser escrita em termos da taxa geométrica de armadura ( cs AA ) e de ( cdcd fAN ), valor da força normal em termos adimensionais: %40,0 f f15,0 yd cd min (2) A Tabela 2 fornece alguns valores para min, para aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Tabela 2. Taxas mínimas de armadura de pilares. Valores de min (%) para CA-50, 1,4c e 1,15s fck 20 25 30 35 40 45 50 Valores de 0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493 0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616 0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739 0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863 0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 5 3.2. Valores máximos A maior armadura possível em pilares deve ser de 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja: ctot,máx,s A100 0,8A (3) 4. ÍNDICE DE ESBELTEZ, RAIO DE GIRAÇÃO, COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM O índice de esbeltez () é uma grandeza que depende do comprimento do pilar, da sua seção transversal (forma e dimensões) e das condições de extremidade; no caso de seções simétricas é definido, para cada uma das direções x e y principais (e também centrais) de inércia, como: A I i i y y y x,e x (4) A Ii i x x x y,e y (5) Em que: índice de esbeltez; e comprimento de flambagem nas direções x ou y - depende das condições de apoio; i raio de giração em x ou y; I momento de inércia em x ou y; A área da seção transversal do pilar. Para peças com seção transversal retangular resulta (Figura 2): 12 hbI 3 x 12 bhI 3 y 12 h hb 1 12 hbi 3 x 12 b hb 1 12 bhi 3 y b 12 == i xe, 12 b xe, y x,e x h 12 == i ye, 12 h ye, x y,e y Observa-se na Figura 2 que quando a deformação ocorre na direção do eixo x (portanto esbeltez x) a rotação da seção transversal ocorre segundo o eixo y (assim raio de giração iy). Quanto maior o índice de esbeltez, maior a possibilidade de haver flambagem do pilar, que ocorre sempre segundo o eixo de menor inércia da seção (ou eixo segundo o qual o índice de esbeltez é maior). UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 6 b h x y y x b h e2 2e Figura 2. Pilar de seção retangular: flambagem segundo o eixo de menor inércia (y). Na NBR 6118:2003 (item 15.8.2) o cálculo do índice de esbeltez é feito em função do comprimento de flambagem e (chamado de comprimento equivalente pela Norma) e do raio de giração i, ou seja: i/e (6) onde: i é o raio de giração mínimo da seção bruta de concreto; e é o comprimento equivalente do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, e deve ser o menor dos seguintes valores (NBR 6118:2003, item 15.6): ho e (7) Sendo (Figura 3): o – distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar (podem ser vigas ou lajes); h – altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; – distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado (vigas ou lajes, em situações de lajes sem vigas); no caso de pilar engastado na base e livre no topo o valor de e é igual a 2 . Observe-se que o gabarito não tem o mesmo significado que pé direito que é a distância entre as superfícies acabadas da face superior de uma laje (pavimento) até a face inferior da laje (pavimento) superior. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 7 Figura 3. Determinação do comprimento de flambagem e . Na Figura 4 são mostrados outros tipos do comprimento de flambagem para algumas situações de vinculação dos apoios nas extremidades. LLLL rótula-rótula Le rótula-engaste L699,0e engaste-engaste L5,0e livre-engaste L2e Figura 4. Comprimentos de flambagem para algumas situações de vinculação. 5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES Para sistematizar o estudo e possibilitar uma abordagem mais simples e prática, os diversos tipos de pilares são classificados: quanto à posição em planta: central, lateral, canto; quanto à esbeltez: curtos, medianamente esbeltos, esbeltos e muito esbeltos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 8 5.1. Classificação dos pilares quanto à posição em planta A localização do pilar em planta, central, lateral ou de canto (Figura 5), determina como as excentricidades do carregamento vertical em relação ao centro do mesmo deverão ser consideradas e o tipo de solicitação a que eleestará submetido (compressão simples, flexão composta normal ou oblíqua). Figura 5. Pilares internos (centrais) de borda (laterais) e de canto (Libânio, 2003). No pavimento ilustrado na Figura 6, onde são encontradas essas três situações, duas observações são importantes: nas extremidades das vigas ocorrem giros significativos tais como em A e D, causados por momentos que são então transmitidos aos pilares e não podem ser desprezados; nos pontos B e C as rotações são pequenas, e portanto os momentos transmitidos aos pilares localizados nestes pontos também são pequenos, e podem geralmente ser desprezados. PLANTA P1 P2 P3 P4 P8P7P6P5 P9 P10 P11 P12 CORTE 1-1 LINHA ELÁSTICA 1 1 Figura 6. Pavimento com pilares centrais, laterais e de canto. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 9 A partir dessas considerações os pilares podem ser classificados, quanto à posição em planta, conforme se apresenta nos três próximos itens. 5.1.1. Pilares centrais ou intermediários (Figura 6, pilares P6 e P7) Localizam-se no interior do edifício. São submetidos, em princípio, só a cargas concentradas verticais (compressão simples, não sofrem flexão). A NBR 6118:2003 (item 14.6.7.1) indica que vigas contínuas podem ser calculadas como simplesmente apoiadas nos pilares centrais, portanto sem transmissão de momentos para os mesmos. 5.1.2. Pilares laterais ou de extremidade (Figura 6, pilares P2, P3, P5, P8, P10 e P11) Localizam-se nas bordas do edifício, e dessa forma as vigas neles apoiadas e perpendiculares a essa borda são interrompidas no pilar. Solicitados por cargas concentradas verticais e momento fletor transmitido pelas vigas na direção perpendicular (flexão composta). Na outra direção (paralela à borda) há continuidade e, portanto, não há transmissão de momentos para o pilar. A NBR 6118:2003 (item 14.6.7.1 c) especifica que quando não for feito o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga (considera-se o nó como rótula), deverá ser considerado, na viga e nos tramos superior e inferior do pilar concorrentes nos apoios externos, momento fletor igual a uma parcela (dependente da rigidez dos elementos) do momento de engastamento perfeito. 5.1.3. Pilares de canto (Figura 6, pilares P1, P4, P9 e P12) Localizam-se nos cantos do edifício, e as vigas que neles chegam, em duas direções, são ali interrompidas. Solicitados por cargas concentradas verticais e momentos fletores transmitidos pelas vigas nas duas direções (flexão composta oblíqua). Podem ser considerados como pilares “laterais” em duas direções. Os momentos transmitidos pelas vigas também podem ser determinados de maneira aproximada, em cada direção, da mesma maneira que nos pilares laterais. As ações nos pilares podem ser representadas pela força normal atuante e pela sua excentricidade final (soma de várias excentricidades) em relação ao centro do pilar, indicando a ação dos momentos fletores. 5.2. Classificação dos pilares, de acordo com a esbeltez, a partir da NBR 6118:2003 No cálculo de pilares, a consideração da flambagem (efeitos de 2a ordem - não linearidade geométrica, onde as deformações da estrutura influem nos próprios esforços internos) está relacionada às condições de apoio, comprimento e seção transversal do pilar, através do índice de esbeltez (), e tem abordagens com maior ou menor simplificação para diferentes valores desse índice. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 10 De acordo com a NBR 6118:2003 (capítulo 15, itens 15.8.2 e 15.8.3), dependendo do índice de esbeltez do pilar, ele não pode ser utilizado, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados ou são definidos os métodos de cálculo a ser empregados. As condições dos itens anteriores são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e armadura constante ao longo de seu eixo, submetidos à flexo-compressão. Chamou-se aqui, para efeitos didáticos, os pilares de curtos, medianamente esbeltos, esbeltos e muito esbeltos, embora essa denominação não conste da norma. 5.2.1. Índice de esbeltez máximo Em nenhum caso se admitem pilares com índice de esbeltez superior a 200 ( 200). 5.2.2. Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem - Pilares Curtos Os esforços locais de 2ª ordem, conforme o item 15.8.2, em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite 1 (dado pela expressão seguinte e limitado a 90), que depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h, onde e1 é a excentricidade de 1a ordem, não incluindo excentricidade acidental; a vinculação dos extremos da coluna isolada; a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. O valor de 1 pode ser calculado pela expressão: 35 90 /h)e12,5 ( b 1 1 25 (8) O valor de b, que depende da vinculação dos extremos da coluna isolada e do carregamento atuante, deve ser determinado da seguinte maneira: a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais: 00,1 40,0 M M 40,060,0 A B b Os momentos de 1ª ordem MA e MB são os momentos nos extremos do pilar. Toma-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado. MB tem o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário. b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura: b = 1,0 c) Para em pilares em balanço: 00,1 85,0 M M 20,080,0 A C b MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 11 d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo: b = 1 se o maior momento calculado ao longo do pilar for menor que o momento mínimo definido no item 11.3.3.4.3, dado por: )h03,0015,0(NM dmín,d1 (9) onde: M1d,min é o momento total de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais (seção 6.3); 0,015 é dado em metros; h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros; Nd é o esforço normal de cálculo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse momento mínimo deve ser respeitado em cada direção principal, separadamente (o pilar deve ser verificado sempre à flexão obliqua composta onde, em cada verificação, pelo menos um dos momentos respeita o mínimo acima). A expressão de M1d,min pode ser expressa em função de uma excentricidade mínima: h)0,03(0,015 N M e d mín1d, mín1d, (10) 5.2.3. Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem Nas situações em que os efeitos de 2ª ordem não podem ser desprezados, a análise dos mesmos pode ser efetuada, de acordo com o item 15.8.3 da Norma, por métodos aproximados e pelo método geral, com a consideração ou não da fluência. a) A consideração da fluência, dada no item 15.8.4 da Norma, é obrigatória para > 90. b) Em barras submetidas à flexo-compressão normal (item 15.8.3.1), o cálculo pode ser feito pelo método geral ou por métodos aproximados, de acordo com itens 15.8.3.2 ou 15.8.3.3. c) O método geral (considera a relação momento-curvatura real em cada seção,e a não- linearidade geométrica de maneira não aproximada) é obrigatório para > 140. d) A determinação dos esforços locais de 2ª ordem, por métodos aproximados, pode ser feita nas seguintes situações: Método do pilar padrão com curvatura aproximada: é permitido para 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. Método do pilar padrão com rigidez (kapa) aproximada: é permitido para 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo: a não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal; a não linearidade física é levada em conta através de expressão aproximada da rigidez. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 12 Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N , 1/r (método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado): permitido em pilares com 140, devendo-se utilizar para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso; se > 90, é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência. Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua: quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta oblíqua, for menor que 90 ( < 90) nas duas direções principais, permite-se aplicar o método do pilar padrão com rigidez (kapa) aproximada simultaneamente em cada uma das direções. 5.2.4. Resumo das recomendações da NBR 6118:2003 a) Pilares curtos ( < 1) A análise dos efeitos locais de 2ª ordem pode ser dispensada, lembrando que por sua vez 1 deve ser menor ou igual a 90. b) Pilares medianamente esbeltos (1< 90) Método do pilar padrão com curvatura aproximada. Método do pilar padrão com rigidez (kapa) aproximada, inclusive para pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua. c) Pilares esbeltos (90< 140) A consideração da fluência é obrigatória. Método do pilar padrão com curvatura real acoplado a diagramas M, N, 1/r. d) Pilares muito esbeltos (140< 200) A consideração da fluência é obrigatória. Método geral é obrigatório. e) Pilares com > 200 Não pode haver pilar com índice de esbeltez superior a 200. 6. TIPOS DE EXCENTRICIDADES Uma força normal atuando em um pilar de seção retangular pode estar aplicada no centro geométrico do mesmo (compressão centrada ou simples), a uma certa distância desse centro e sobre um dos eixos de simetria (flexão composta) e em um ponto qualquer da seção (flexão oblíqua). Essas distâncias, chamadas de excentricidades, que devem ser conhecidas para o dimensionamento de pilares isolados, são de diversos tipos e causadas por fatores diferentes. De maneira geral, elas podem ser divididas em: excentricidade inicial; excentricidade de forma; excentricidade acidental; excentricidade de segunda ordem; excentricidade suplementar. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 13 6.1. Excentricidade inicial (ei) Os pilares laterais e de canto, por estarem monoliticamente ligados à extremidade de uma viga, estão submetidos a um momento fletor inicial, que pode ser representado por uma excentricidade inicial ei da força de compressão atuante. Essa excentricidade ocorre apenas em pilares extremos, pois, como já visto, as normas permitem desconsiderar eventuais momentos transmitidos pelas vigas a pilares intermediários. Reitere-se que aqui está se tratando de estruturas usuais em que o vento não tem ação de grande importância, ou seja, admitindo-se estruturas de nós indeslocáveis e com ações verticais. A excentricidade inicial ocorre em pilares de qualquer esbeltez e nas direções x ou y ou em ambas (eix, eiy), e deve ser considerada como indicado na Figura 7, de acordo com cada situação específica (por exemplo, em pilar lateral pode haver eix ou eiy); deverá ainda ser associada às demais excentricidades que serão vistas. x Fd eix x Fd e x iy Fd e eix x iy Fd e i Pilar Central Pilar Lateral Pilar de Canto Figura 7. Situação de projeto da excentricidade inicial ei de força normal em pilares. As excentricidades iniciais são obtidas dividindo-se os momentos na ligação (Mx, My) pelas forças normais (N) atuantes, ou seja: N M e xx,i (11) N M e yiy (12) Os momentos Mx e My se não calculados de maneira exata, podem ser determinados, aproximadamente, a partir do momento de engastamento perfeito no apoio, conforme o item 14.6.7.1 da NBR 6118:2003. 6.2. Excentricidade de forma No projeto estrutural de uma edificação, em função do projeto arquitetônico, muitas vezes não é possível fazer com que eixos de vigas e pilares sejam coincidentes. O mais usual é que as faces externas ou internas das vigas coincidam com as faces dos pilares em que estão apoiadas. Dessa maneira, os eixos das vigas não passam pelo centro geométrico da seção transversal do pilar, como pode ser observado em relação ao pilar P4 da Figura 8, de modo que as reações das vigas apresentam excentricidades em relação ao centro do pilar - excentricidades de forma. A excentricidade de forma de uma viga em relação a um pilar, para efeito de cálculo pode, UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 14 em algumas situações, ser considerada absorvida por outra viga, como é o caso da V100 e V101 da Figura 8a, cujo esquema estrutural está indicado na Figura 8b. Porém no caso da viga V100 e pilar P4, é necessário considerar a excentricidade viga-pilar, conforme detalhado na Figura 8c. Especial cuidado deve ser tomado ao se usar programas automáticos de cálculo que muitas vezes adotam como padrão a consideração desta excentricidade, mesmo no caso da Figura 8a, o que pode levar a valores de momentos exagerados no pilar. a) planta b) esquema de V101 c) detalhe ligação V100-P4 Figura 8. Situações de apoio viga-pilar. Esta situação se repete para o caso em que há variação de seção transversal do pilar ao longo da vertical, cabendo ao projetista considerar ou não esta excentricidade. 6.3. Excentricidade acidental (ea) É a excentricidade que, como o próprio nome diz, pode acidentalmente ocorrer (por exemplo, incerteza na localização da força normal ou desvio do eixo da peça, durante a construção, em relação à posição prevista no projeto). A NBR 6118:2003 parte do princípio que, de uma forma genérica, as construções de concreto são geometricamente imperfeitas; nela o assunto é visto no item 11.3.3.4, que trata das imperfeições geométricas dos eixos das peças da estrutura descarregada que devem ser consideradas na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas nas quais, por exemplo, existem imperfeições na posição e forma dos eixos das peças, na forma e dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc. Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderação, mas as imperfeições dos eixos das peças, não. Elas devem ser explicitamente consideradas, porque têm efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. No caso que aqui está se tratando, de elementos isolados,na verificação de um lance de pilar deve ser considerado o efeito das imperfeições locais (Figura 9), que são a falta de retilinidade do seu eixo ou o desaprumo (Figuras 9b e 9c, respectivamente). Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja suficiente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 15 Figura 9. Imperfeições geométricas locais em pilares (figura 11.2, NBR 6118:2003). O valor da excentricidade acidental, para o caso de falta de retilinidade, pode ser calculado pelas duas expressões abaixo: 2 H e i1a (13) min i 1 H100 1 (14) sendo: 1 – desaprumo de um elemento vertical contínuo; Hi – altura de um pavimento; 1min = 1/300 para imperfeições locais; 1máx = 1/200. Segundo a NBR 6118:2003, o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem dado por (já citado na apresentação da Equação 9, sendo h a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros): h03,0015,0NM dmín,d1 Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem, quando for o caso. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. A excentricidade acidental (ea), que ocorre em pilares de qualquer esbeltez, deve ser adicionada à excentricidade inicial (ei), quando houver. A maneira como fazê-lo será mostrada em seções seguintes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 16 6.4 Excentricidade de segunda ordem (e2) O fenômeno da flambagem causa na peça uma deformação, chamada de 2a ordem, que influi no próprio esforço interno, podendo causar sua instabilidade. A teoria que trata desse fenômeno é chamada de teoria de 2a ordem, e pode ser mais ou menos simplificada, dependendo do índice de esbeltez do pilar, como visto nos itens anteriores. Os principais processos de determinação das deformações de uma barra serão apresentados na seção 7. Para reproduzir o efeito da flambagem, admite-se que a força de compressão atue com uma certa excentricidade (e2) em relação ao centro do pilar, chamada de excentricidade de 2a ordem. Ela existe também em pilares considerados centrais e, portanto, mesmo nesses existe flexão composta. A excentricidade de 2a ordem (e2) deve ser tomada, quando necessária, na direção perpendicular ao eixo de menor inércia do pilar, e será adicionada à excentricidade inicial (ei), quando esta existir, e à excentricidade acidental (ea). Deverá ser considerada como se verá posteriormente. 6.5 Excentricidade suplementar (fluência) A excentricidade suplementar deve ser prevista de modo a levar em conta a fluência do concreto, recomendação prevista na NBR 6118:2003, item 15.8.4. É obrigatória em pilares com índice de esbeltez > 90 e pode ser efetuada, de maneira aproximada, acrescentando ao momento de 2ª ordem M2d um momento Mc dado por: cSdc eNM (15) Sendo: 1718,2e N M e Sge Sg NN N a Sg Sg c (16) Em que: eN 2 e cc IE10 MSg , NSg – valores característicos dos esforços solicitantes devidos às ações permanentes; ea – excentricidade acidental; – coeficiente de fluência; Ec – módulo de elasticidade do concreto; Ic – momento de inércia da seção bruta do elemento de concreto segundo a direção do carregamento analisado. Na Tabela 3 está um resumo de todos os tipos de excentricidades e em que situações devem ser aplicadas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 17 Tabela 3. Tipos de excentricidades e aplicação. Excentricidade Símbolo Aplicação Inicial ei Pilar central ei = 0 Pilar lateral eix ou eiy 0 Pilar de canto eix e eiy 0 De forma ef ef = 0 quando há viga capaz de absorver momento ef 0 quando não há viga capaz de absorver momento Acidental ea ea Considerar sempre ou então e1d,min Mínima e1d,min Quando maior considerar no lugar de ea ou de e1 (1ª ordem) Segunda ordem e2 e2 = 0 para 1 e2 0 para > 1 Suplementarr (fluência) ecc ecc = 0 para 90 ecc 0 para > 90 7. CÁLCULO DOS ESFEITOS DE SEGUNDA ORDEM Inicialmente, é necessário apresentar alguns conceitos básicos sobre os efeitos de segunda ordem que serão empregados nos cálculos. Teoria de 1a ordem: no estudo, admite-se que as deformações na estrutura não causam efeitos nos esforços internos; as relações entre tensões e deformações são lineares, geométrica e fisicamente. Teoria de 2a ordem: o estudo leva em conta que as relações entre tensões e deformações não são lineares, ou seja, as tensões são influenciadas pelas deformações; no estágio atual, será estudada apenas a não linearidade geométrica. Não linearidade física: as tensões () não são proporcionais às deformações () devido às características físicas do material; o concreto, por exemplo, não é um material homogêneo e sofre o fenômeno da fissuração. Não linearidade geométrica: os esforços, e consequentemente as tensões, são afetados pelo estado de deformação da estrutura; não há uma relação linear entre essas duas grandezas (é o que ocorre em barras sujeitas à flambagem). Para calcular o efeito de segunda ordem existem diversos métodos que apresentam razoável precisão quando aplicados às situações específicas. Assim, os métodos mais simplificados servem apenas para algumas situações e os mais sofisticados, obviamente, servem para todas as condições, mas dependem de um grande trabalho numérico, muitas vezes só possível com o emprego de programas computacionais. Desta forma, devido ao objetivo deste texto, os métodos mais complexos serão apenas descritos resumidamente, procurando-se dar um enfoque maior nos métodos mais simples que resolvem os casos usuais com precisão razoável. 7.1. Método geral - processo exato O método geral para a determinação da carga crítica de flambagem, segundo o item 15.8.3.2 da NBR 6118:2003, consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, com a consideração da relação momento-curvatuta real em cada seção, e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada. O método geral deve ser empregado obrigatoriamente para pilares muito esbeltos ( > 140), mas por ser geral também pode ser usado nos casos em que o índice de esbeltez seja menor. É indicado também para pilares de seção transversal variável ou caso de cargas laterais. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 18 A curvatura da peça é determinada em função do estado de esforços resistidos pela seção, onde em cada ponto se relaciona o momento atuante com a curvatura, diferentemente do processo simplificado, onde se considera apenas a máxima curvatura da seção mais solicitada. O problema envolve equações diferenciais que geralmente não têm solução direta conhecida e, portanto, é necessário empregar soluções aproximadas (numéricas) para o cálculo,como os métodos iterativos (carregamento incremental) e o que se apropria do conceito de pilar padrão. 7.2. Processo geral iterativo – carregamento incremental O método iterativo consiste em aplicar o carregamento em parcelas – carregamento incremental – de modo que em cada etapa é possível considerar o deslocamento da etapa anterior e, se for o caso, a variação da rigidez ao longo da peça. Em cada etapa o procedimento é linear. A carga crítica é alcançada quando a curva carga deslocamento atinge seu máximo (Figura 10). Esta situação corresponde à situação de instabilidade na flexão normal. Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão normal, com as devidas adaptações para a consideração tanto da existência de dois momentos fletores atuantes quando da variação da posição da linha neutra. Fcrit Fn Fn-1 F2 F1 y1 y2 yn-1 yn ycrit F y Figura 10. Diagrama carga deslocamento com carregamento incremental Conforme pode ser visto na Figura 11, o processo constitui em uma constante atualização, nas direções principais x e y, dos deslocamentos, determinando a carga crítica que, em princípio, poderia ocorrer em x ou y. Na primeira etapa de cálculo devem ser considerados apenas os momentos fletores de 1ª ordem. Com essa hipótese serão determinados os deslocamentos do eixo da barra. Nas etapas subseqüentes de cálculo devem ser considerados os momentos de segunda ordem em cada seção analisada decorrentes dos deslocamentos calculados na etapa anterior. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 19 F= F ref Wx Fcrit Fn crit,F ref) F2 F1 Wy Wx1 Wx2 WxnWy1Wy2Wyn x y x y z u l e1 F Figura 11. Cálculo pelo processo geral da carga crítica para o caso da flexão oblíqua. A partir de valores de F podem ser traçados os diagramas de flechas de Wx e Wy de uma seção de referência. A carga crítica será determinada pelo diagrama de flechas Wx e Wy, que primeiro tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos. O trabalho necessário à aplicação de um processo rigoroso de cálculo é grande, extrapolando os objetivos deste texto. 7.3. Método aproximado do pilar padrão Os métodos aproximados, em geral, procuram identificar a seção mais solicitada do pilar e, a partir de algumas simplificações, estabelecer expressões que permitam calcular o efeito de segunda ordem. Seja um pilar, engastado na base e solto na sua outra extremidade (chamado de pilar padrão), submetido a uma carga normal com uma excentricidade inicial e1 (Figura 12); pode-se considerar que o pilar apresentará, como efeito de segunda ordem, uma elástica com a forma de uma senóide. Observe-se que a situação deformada deste pilar é similar à de um pilar bi- rotulado com o dobro do comprimento. Desta semelhança vem o conceito de comprimento de flambagem. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 20 P a (a) P P a P y x 2 ee 2 Pilar com extremidades engastada e livre rotuladas PiIar com extremidades xsenaxy e )( e1 Figura 12. Pilar engastado na base e solto na extremidade superior solicitado por carga vertical excêntrica, equivalente a um pilar bi-rotulado com o dobro do comprimento. 7.3.1. Determinação da excentricidade e do momento de segunda ordem Para a determinação da excentricidade de segunda ordem são admitidas as seguintes hipóteses: a flecha máxima (a) é função linear da curvatura da barra; a linha elástica da barra deformada é dada por uma função senoidal; a curvatura é dada pela derivada segunda da equação da linha elástica; será desconsiderada a não linearidade física do material. Considera-se que a linha elástica (deformada) y(x) do eixo da barra seja expressa pela função contínua: xsena)x(y e (17) em que e é o comprimento equivalente ou de fambagem do pilar que, conforme visto na Figura 12, é igual a 2, ficando a expressão anterior igual a: x 2 sena)x(y (18) que atende as condições geométricas de contorno, ou seja, y(x = 0) = 0 e y(x = ) = a. Assim, para uma ordenada x qualquer basta entrar com o valor na expressão para encontrar a excentricidade. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 21 Considerando que os deslocamentos y sejam pequenos, a curvatura (1/r) pode ser expressa por: 2 2 dx )x(yd r 1 (19) e derivando duas vezes a expressão y (x) chega-se a: x 2 cosa 2dx )x(dy x 2 sena 2dx )x(yd 2 2 2 e, portanto x 2 sena 4dx )x(yd r 1 2 2 2 2 Para e = 2 tem-se para x = o valor da curvatura: a 2 sena r 1 2 e 2 2 e 2 x e, eliminando o sinal negativo, o valor de a fica: 2 2 e xr 1a Finalmente, fazendo 2 = 10, obtém-se a expressão indicada pela norma (a partir deste ponto, chamar-se-á a de e2): 10r 1e 2 e x 2 (20) Assim o valor da excentricidade de segunda ordem é diretamente proporcional à curvatura na base do pilar (seção mais solicitada) que com as características descritas passa a ser chamado de pilar padrão. Desta forma, ao se fazer um gráfico do momento fletor total [ 1212t MMeePM ] em função da curvatura, para um valor constante de P obtêm-se o gráfico da Figura 13, destacando que M2 é o momento de segunda ordem e M1 o de primeira ordem. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 22 M 1/r e M1 2 - 10 e1 1M 2M = 10 2 eP r 1 x x Figura 13. Representação do momento externo total composto pela soma de M1 com M2. Variando-se o valor da curvatura de zero até um valor máximo que representaria a ruína do material (momento último), mantendo-se a força normal P constante, obtêm-se uma curva do tipo representada na Figura 14. 1/r M M A =constante interno ou resistente P=constante s últimoM Figura 14. Momento interno resistente obtido para valores de AS e P fixos com variação da curvatura (1/r). Existirá equilíbrio se o momento externo [Mexterno = P(ei+e2)] for igual ou inferior ao valor do momento resistido. Na Figura 15 são mostradas 3 situações: a) equilíbrio estável com o momento externo (a partir de 1/r1) menor que o momento resistente; b) equilíbrio estável na situação em que o momento externo é igual ao interno (no valor 1/r2); e c) quando não há possibilidade do momento externo ser igual ou inferior ao interno. 1/r M M A =constante interno ou resistente P=constante s 1 1 M externo, 3 r r2 1 externo, 1M M externo, 2 1e 2e e3 Figura 15. Situações possíveis de equilíbrio. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIACIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 23 A partir da análise baseada Figura 15 percebe-se que é possível montar um procedimento em que se obtém o maior momento interno possível, que corresponde à situação de equilíbrio estável em que o momento externo é igual ao interno. A partir de um determinado valor de força axial, de uma dada taxa de armadura, e geometria conhecida, constrói-se a curva de momento resistido. O momento de segunda ordem é dado pelo produto da força pela excentricidade de 2ª ordem, ou seja: 10r 1PePM 2 e x 22 (21) 7.3.2. Determinação da curvatura Para o cálculo do momento de segunda ordem a partir da expressão 21 é preciso determinar a curvatura (1/r) de uma barra de concreto armado, analisando-a na situação deformada, conforme a Figura 16. ds r= r d dss dsc d ( + )ds As sA Vista Lateral antes de deformar Seção Transversal Vista Lateral após deformar M M M M s dsc ds c s d dsc d d Construção auxiliar Figura 16. Relação entre deformações e curvatura em uma barra de concreto armado. Partindo do princípio que os ângulos são pequenos, e sabendo que a variação de comprimento entre a fibra mais comprimida de concreto e a fibra tracionada de aço é dada por dssc , por semelhança de triângulos (observar construção auxiliar na Figura 16) resulta: ds d ds r sc dr 1 sc A expressão de 1/r obtida é devida apenas à flexão; para levar em conta o efeito da compressão (curvatura de uma seção submetida à flexão composta), e retirando-se a partir de agora o módulo nos valores das deformações, ela passa a ser (h é a altura real e não a altura útil da seção): h5,0r 1 sc (22) Em que: cd d cdc d fhb F fA F é o valor adimensional da força normal. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 24 7.4. Método aproximado do pilar padrão com curvatura máxima Neste método aproximado considera-se, a favor da segurança, que a curvatura deve ter o maior valor possível e, portanto, as deformações do concreto e do aço deverão ser iguais àquelas correspondentes ao estado limite último, ou seja: 0035,0c e E f s yd s Considerando o aço com tensão de escoamento fyd = 435 MPa, resulta no numerador o valor de 0,00557 que acabou sendo simplificado para 0,005 na NBR 6118:2003, chegando-se finalmente a (deve-se ter 15,0 ): h5,0 005,0 r 1 (23) Desta forma, a expressão para o cálculo da excentricidade de segunda ordem ficará: h5,0 005,0 10 e 2 e 2 (24) O cálculo, para os pilares medianamente esbeltos, da curvatura com os valores máximos de s e c permite o emprego dos domínios de deformação e, desta forma, pode-se dimensionar a seção transversal mais solicitada usando ferramentas como ábacos, com e2 calculado com a equação 24. Verifica-se que assim não há inconsistência na solução, pois, estabelecidos os valores de s e c máximos, a curvatura estará definida e não há necessidade, em princípio, de consultar ábacos. O que se está fazendo, ao adotar as deformações específicas máximas, é determinar um efeito de segunda ordem maior do que o real. Outra justificativa para o uso da curvatura decorre da análise do gráfico da Figura 17, onde se percebe que a solução para o caso dado é encontrado com o valor de curvatura 1/r. Este valor é bem próximo ao da curvatura máxima. e1 M externo 1 r rmáxima 1 s P=constante interno ou resistente A =constante M M 1/r Figura 17. Pilar medianamente esbelto com solução próxima ao da curvatura máxima. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 25 7.5. Método aproximado do pilar padrão com curvatura real ou acoplado com diagrama momento curvatura Para os pilares esbeltos com 90 < < 140, pode-se empregar o método do pilar padrão com curvatura real, cujo metodologia já foi desenvolvida na seção anterior (a curvatura aproximada é caso particular da curvatura real). Neste caso os ábacos de flexão composta normal e oblíqua no ELU de flexão ou compressão não podem ser usados porque a instabilidade ocorre para valores de c e s não constantes dos domínios de deformação. O processo é baseado no esquema da Figura 18, em que a solução ideal ocorre quando a curva (no caso do pilar padrão considerada uma reta) de ações tangencia a curva de esforços internos (neste caso 1/r não é máximo). 1/r M A =constante interno ou resistente P=constante s r 1 externoM 1(e /h) 10 1e . 2 e 1 2 L Figura 18. Determinação do ponto L para cálculo do máximo momento de primeira ordem resistido pela seção em que haverá equilíbrio. Conhecendo, para um determinado , as curvas de M1/r ou 1/r, para diversas taxas de armadura (Figura 19), calcula-se a inclinação da reta através da expressão 20, básica do pilar padrão: 10r 1e 2 e x 2 Como visto no texto sobre flexão composta que )h/e(νµ. , essa expressão pode ser escrita da seguinte forma: r 1 10 l h 2 e 2 (25) E finalmente tem-se a expressão da tangente (coeficiente angular) do segmento de reta, traçado a partir do ponto a como mostra a Figura 19-2. 10 l h tg 2 e (26) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 26 1/r =0,1 r2 1 2 e 10i =0,2 =0,3 =0,4 =0,5 =0,5 =0,4 =0,3 =0,2 =0,1 =constante 1/r 1/r =constante 1 2 e 10i 1 a e e. 2 10htag 2 d' h =constante Mh d' 3 4 =0,3 ie 10 2 1 r =constante 1/r 2 1 =constante 1 1 Figura 19. Determinação do momento máximo resistido M1 ( 1 ) usando-se o pilar padrão e gráfico acoplado de momento, curvatura e normal. Conhecido o ponto de passagem da reta de esforços externos, por exemplo, = 1d e 1/r = 0, e a inclinação da mesma é possível traçar o gráfico da Figura 19, obtendo-se o valor de , solução que corresponde a curva que tangencia esta reta. Para obter a solução da armadura basta traçar na curva em questão (a que é tangenciada pela curva, e destacada na Figura 19-4) uma paralela passando pela origem, obtendo o valor de M1 ( 1 ) máximo resistido pela seção, correspondente à taxa de armadura . Esse procedimento, descrito por FUSCO (1995) pode ser sistematizado criando-se um ábaco em função do momento de primeira ordem, força normal, taxa de armadura e comprimento de flambagem. Basta efetuar a rotina anterior diversas vezes, para um certo valor de comprimento de flambagem, variando-se, por exemplo, a taxa de armadura e mantendo o valor da força normal fixo; para cada condição desta tem-se um momento correspondente. Repete-se o procedimento mudando o valor da força normal e assim sucessivamente, obtendo-se um gráfico do tipo apresentado na Figura 20. Assim, conhecidos o valor da força normal P ( na forma reduzida), o comprimento de flambagem e, eo momento de primeira ordem através de 1 pode-se, para a distribuição de aço em duas faces e os cobrimentos indicados, entrar no ábaco e encontrar a taxa da armadura necessária. Neste caso a curvatura não é máxima, não se usaram os domínios de deformação, e o efeito de segunda ordem já está embutido no ábaco. A consideração da estabilidade nas situações de flexão composta oblíqua poderia, em princípio, ser feita a partir de gráficos de curvatura em duas direções e com correções da ação de uma na outra, como mostra FUSCO (1995), porém o próprio autor cita que teoricamente os diagramas das curvaturas podem ser feitos, mas o trabalho material para isso tende a ser proibitivo. Desta forma, a não ser que se usem programas computacionais, a instabilidade na flexão composta oblíqua requer o uso do método geral. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 27 Figura 20. Ábaco obtido pelo método do pilar padrão com diagrama 1/r [FUSCO (1995)]. 7.6. Método aproximado do pilar padrão com a rigidez aproximada Outro método aproximado para o cálculo de pilares medianamente esbeltos é o do pilar padrão com rigidez aproximada, considerando que: A não linearidade geométrica é levada em conta de forma aproximada, supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 28 Esse método, apresentado no item 15.8.3.3.3 da NBR 6118:2003, é permitido para 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. O momento total máximo no pilar é dado pela expressão: min,d1A,d12 A,d1b tot,d MM /120 1 M M (27) O valor da rigidez adimensional (kapa) é dado aproximadamente por: d tot,d Nh M 5132 (28) As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas anteriormente. Essas duas expressões podem ser escritas de outra maneira, considerando a excentricidade de segunda ordem como faz BANKI (2003), resultando em: 10 hke5e25)k2(he10hk e 11 2 111 22 1 2 (29) Com 3840 1k 2 1 e d 1 1 N Me 7.7 Resumo do cálculo das excentricidades Após a determinação das excentricidades de segunda ordem montou-se a Tabela 4, com um resumo das diversas excentricidades e possibilidades de uso no cálculo dos pilares. Tabela 4. Resumo do emprego das excentricidades. Excentricidade Situações para uso Expressões Acidental ea todas Seção extrema 1 Seção intermediária 2/1 200 1 100 1 1 Mínima e1,min Todas se maior que imperfeições geométricas ou de 1a ordem ei,min = 0,015+0,03h (h em m) Segunda ordem e2 Sempre que > 1 1 < <90 h5,0 005,0 10 e 2 e 2 90 <140 r 1 10 e 2 e 2 Gráficos N,1/r,M 140 < 200 Processo geral Forma ef Carga excêntrica sem vigas ef = e Inicial ei Pilares laterais e de canto Pilar lateral N Me ii Pilar de canto N M e ixix N M e iyiy Seções intermediárias ib * i ee Suplementar ecc Sempre que > 90 1718,2e N M e Sge Sg NN N a Sg Sg c 2 e cc e IE10 N UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 29 8. CÁLCULO DE PILARES CENTRAIS A classificação dos pilares quanto à sua posição facilita o uso de processos aproximados e mais simples que não necessitam de programas de computador, nem sempre acessíveis. Pilar central é aquele que, em princípio, não está submetido à flexão devido às cargas verticais. Como aqui está se lidando apenas com estruturas de nós fixos e também com estruturas em que as ações laterais são pequenas, existem três casos a considerar no dimensionamento dos pilares centrais: pilar curto, pilar medianamente esbelto e pilar esbelto. Os cálculos nestas três situações serão abordados em seguida. 8.1. Cálculo de pilares centrais curtos Apesar de não haver momento de segunda ordem (no pilar curto é dispensada a consideração do efeito de segunda ordem) e o momento de primeira ordem ser devido apenas às cargas verticais, este problema acaba recaindo em um dimensionamento de flexão normal composta (não apenas compressão) pois é preciso considerar a excentricidade acidental ou a excentricidade mínima previstas pela NBR 6118:2003. EXEMPLO 1 Calcular um pilar curto de seção transversal quadrada para resistir a um esforço P = 200 kN, com concreto de fck = 2 0MPa, aço CA-50, admitindo que o ambiente seja residencial, que o gabarito da edificação será de 2,70 m, que o revestimento inferior da laje (r1) e do piso (r2) somados sejam de 8 cm, as vigas ligadas ao pilar tenham altura de 30 cm e a laje superior tenha 12 cm de espessura (Figura 21). h/2 h/2 eL = 2 r r 1 L + + p 15 cm 30 cm 15 cm 30 cm 12 cm L o p L r 2 1 r pilar viga viga Figura 21. Corte vertical junto ao pilar do exemplo 1. Comprimento de flambagem e dimensões da seção transversal do pilar: Para resolver o problema é preciso inicialmente definir o comprimento de flambagem do pilar, que é dado pela expressão 7, ou seja, é igual a soma da distância entre as faces internas dos elementos (vigas) que contraventam o pilar somada à dimensão do pilar ou a metade da altura das vigas em UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 30 questão. Como a dimensão do pilar ainda não é conhecida usar-se-á a segunda condição. Assim, o valor do comprimento de flambagem será dado por: m08,330,008,070,2hrr 21pe Chamando de b o lado do pilar tem-se: b 66,10 b 46,308,3 b 46,3 bb12 bbi e 3 e min e Como a condição do problema indica que o pilar deve ser curto então, no máximo, 1 e, com a expressão 8: 35 90 /h)e12,5 ( b 1 1 25 Por ser um pilar bi-apoiado com momento aplicado (zero) menor que o mínimo (e1 = 0), b = 1 (seção 5.2.2 d), 1 fica: 25 1 0)12,5 (25 1 e, portanto, pelas condições impostas, 35 1 . Assim, deve-se ter: 35 b 66,10 resultando em b 0,304, podendo ser considerado b = 0,30 m. Mas, como o comprimento de flambagem ou equivalente deve ser menor que uma das relações 7, a segunda leva ao mesmo valor já determinado: m08,330,008,070,2brr 21pe Excentricidade acidental: Embora não exista momento de primeira ordem aplicado diretamente ao pilar é preciso considerar a excentricidade acidental devida à falta de retilineidade e prumo, com as expressões 13 e 14: 2 e 1a min1 100 1 Sendo: = 3,08 m (altura de um pavimento); 1min = 1/300 para imperfeições locais; 1máx = 1/200. Assim para a seção intermediária tem-se: m0077,0 2 08,3200 1ea UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 31 Para a seção de extremidade o desaprumo é o dobro deste valor: ea = 0,0154 m Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: m024,0)30,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1 Portanto a situação de cálculo corresponde a uma força normal de N = 200 kN e a um momento de mkN8,4024,0200M . Cálculo da armadura: Para determinar a armadura necessária é preciso definir a distância do centro de gravidade da barra longitudinal em relação à face do pilar (Figura 22). detalhe 1y x detalhe 1 c tx e1,min d' Figura 22. Seção transversal do pilar do exemplo 1 com cobrimento da armadura. Admitindo que o pilar seja interno em uma residência e que receberá cobrimento de argamassa, a classe de agressividade ambiental pode ser considerada classe I (agressividade fraca), e que ainda na sua confecção usar-se-á espaçadores de plástico para garantir o cobrimento (com inspeção rigorosa), pode-se usar uma tolerância ∆c = 5 mm, portanto com cobrimento igual a 2 cm. Tomando estribos de t = 5 mm e armadura longitudinal de = 10 mm, chega-se a uma relação d’/h = (2+0,5+0,5)/30 = 0,1. Assim pode-se usar o ábaco 2 do texto sobre flexão composta, com os seguintes valores de entrada: 22,0 4,1 2000030,030,0 2004,1 fbb N cd d 018,022,0 30,0 024,0 b e fbb eN cd 2 d Com esses valores de e resulta = 0. Desta forma deve-se empregar a armadura mínima dada pela expressão 2: %40,0 f f 15,0 yd cd min %11,00011,022,0 5004,1 15,12015,0min Resulta então %4,0min e 2 s cm6,33030004,0A UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 32 8.2. Cálculo de pilares centrais medianamente esbeltos Quando o índice de esbeltez está contido no intervalo de 1 e 90 diz-se que o pilar é medianamente esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura, o pilar pode ter sua armadura calculada com o método do pilar padrão com curvatura máxima. Assim na direção da menor inércia atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min. Como pode ser visto na Figura 23, em princípio é preciso analisar as duas direções, embora normalmente a situação “a”, principalmente se a seção for um retângulo bem alongado, prevaleça. Observe-se que deve ser tomada a excentricidade acidental ea ou a excentricidade mínima emin que também, em geral, prevalece. b)a) min,ye ou a,ye e2,y dF Fd 2,xeea,xoue situações de cálculo d situação de projeto y x y x min,x y F x Figura 23. Excentricidades em projeto e cálculo de pilar central medianamente esbelto. EXEMPLO 2 Calcular o pilar do exemplo 1 (mesmos dados) considerando-o medianamente esbelto. Comprimento de flambagem e dimensões da seção transversal do pilar: Para resolver o problema, levando em conta que a seção transversal é quadrada, o comprimento de flambagem ou equivalente do pilar será, inicialmente, tomado como o do exemplo 1, pois não se conhece o lado do pilar, e apenas em uma direção (na outra direção é o mesmo valor). Desta forma o comprimento de flambagem é: m08,3e Conseqüentemente, chamando o lado do pilar de b, tem-se: b 66,10 imin e Como a condição do problema indica pilar medianamente esbelto, implica em que 90 . Assim: 90 b 66,10 E, portanto, b 0,118 m; como a menor dimensão, sem nenhuma consideração especial, deve ser de 19 cm, adota-se b = 0,20m. Mas ainda, como o comprimento de flambagem ou equivalente deve ser menor que uma das relações 7, chega-se ao seguinte valor para e: m98,2020,008,070,2brr 21pe UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 33 Resulta para o índice de esbeltez: 52 20,0 98,246,3 12/bi ee Excentricidade acidental: A excentricidade acidental, para a altura real do pavimento de 3,08 m será, como no exemplo anterior, igual a: ea = 0,0077 m (seção intermediária); ea = 0,0154 m (seção de extremidade). Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: m021,0)20,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1 , valor a ser utilizado. Excentricidade de segunda ordem: Como o pilar é medianamente esbelto é preciso considerar o efeito de segunda ordem que pode ser dado pela expressão 24: m022,0 20,01 005,0 10 98,2 20,0)5,049,0( 005,0 10 98,2 b5,0 005,0 10 e 222 e 2 Em que: 49,0 4,1 2000020,020,0 2004,1 fbb N cd d 15,0 Cálculo da armadura: Com as mesmas condições do exemplo 1 e pilar de lado igual a 20 cm tem-se d’/h = (2+0,5+0,5)/20 = 0,15. Assim usa-se o ábaco 3 do texto sobre flexão composta, com os seguintes valores de entrada: 49,0 105,049,0 20,0 022,0021,0 b e fbb eN cd 2 d Com esses valores de e resulta = 0. Desta forma deve-se empregar a armadura mínima dada pela expressão 2: %40,0 f f 15,0 yd cd min %24,00024,049,0 5004,1 15,12015,0min Resulta então %4,0min e 2 s cm6,12020004,0A . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 34 EXEMPLO 3 Calcular o pilar do exemplo 1 (mesmos dados) considerando uma das suas dimensões com o valor mínimo, ou seja, 12 cm. Comprimentos de flambagem e outra dimensão da seção transversal do pilar: Com uma das dimensões igual a 12 cm o valor o comprimento de flambagem será em uma direção, supondo x neste caso, de: m90,212,078,2ex E, conseqüentemente, o índice de esbeltez máximo será (nesta direção o lado do pilar será h = 12 cm, mantendo a nomenclatura como nos ábacos, sendo b a dimensão na direção da armadura): 9084 12,0 90,246,3 12/bi e ymin, e x Trata-se, pois, de um pilar medianamente esbelto, e a outra dimensão (no caso b na direção da armadura) terá que ser pelo menos 30 cm, de modo que a área mínima de 360 cm2 da seção transversal do pilar seja respeitada. Assim b = 30 cm e h = 12 cm Dessa maneira, para a direção y resulta: m08,330,078,2ey ; 905,3530,0 08,346,3 12/bi e xmin, e y Excentricidade acidental: As excentricidades acidentais, em cada direção, serão iguais a: Direção x m00725,0 2 90,2 200 1eax m00725,0eax (seção intermediária); m0145,0eax (seção de extremidade) A excentricidade considerada não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: m018,0)12,003,0015,0(h03,0015,0e mín,x1 Direção y m0077,0 2 08,3 200 1ea m0077,0eay (seção intermediária); m0154,0eay (seção de extremidade) A excentricidade considerada não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: m024,0)30,003,0015,0(b03,0015,0e mín,y1 Assim os valores a serem considerados serão m018,0e mínx,x1 e m024,0e mín,y1 . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – RobertoChust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 35 Excentricidade de segunda ordem: Como o pilar é medianamente esbelto nas duas direções é preciso considerar o efeito de segunda ordem que pode ser dado pela expressão 24 (a menor dimensão do pilar é 12 cm., e a maior 30 cm): h5,0 005,0 10 e 2 e 2 Direção x m028,0 12,05,0735,0 005,0 10 9,2e 2 2 Em que (como a menor dimensão do pilar é 12 cm, o carregamento deve ser multiplicado pelo coeficiente adicional de n = 1,35 (Tabela 1)): 735,0 4,1 2000030,012,0 2004,135,1 fbh N cd dn Direção y: m013,0 30,05,0735,0 005,0 10 08,3e 2 2 Cálculo da armadura: Com as mesmas condições dos outros exemplos, para as situações de cálculo (Figura 24) tem-se: Figura 24. Esquema das excentricidades de projeto e cálculo para o exemplo 3. Direção x Nessa direção d’/h = (2+0,5+0,5)/12 = 0,25, devendo ser empregado o ábaco 5 do texto sobre flexão composta, cujos valores de entrada são: 735,0 28,0735,0 12,0 028,0018,0 h e fhb eN cd 2 d Com esses valores de e resulta = 1,17. A armadura é dada por: 2 yd cd s cm84,1317,14,1500 15,1203012 f f hbA UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 36 Direção y Nessa direção d’/h = (2+0,5+0,5)/30=0,10; pode-se então usar o ábaco 6 do texto sobre flexão composta (embora d’/h do ábaco seja de 0,20, maior que este, proporcionando uma armadura maior que a necessária na realidade), com os valores de entrada: 735,0 091,0735,0 30,0 024,0013,0 b e fhb eN cd 2 d Com esses valores de e resulta = 0,25. Prevalece assim a situação anterior ( 2s cm84,13A ), como esperado, podendo-se empregar 12 12,5 mm (6 em cada face, resultando As = 15 cm2), que atende a: %40,0 f f 15,0 yd cd min %36,00036,0735,05004,1 15,12015,0min %4,0min 2 cmin,s cm44,13012100 40,0A 100 40,0A EXEMPLO 4 Calcular o pilar do exemplo 3 (mesmos dados) com o processo da rigidez aproximada. Esbeltez do pilar: Neste caso, por já ter sido resolvido o exemplo anterior, será feito apenas o cálculo na direção x. ex = 2,78+0,12 = 2,90 m 9084 12,0 90,246,3 12/bi e ymin, e x Excentricidade acidental: m00725,0 2 90,2 200 1eax Excentricidade de segunda ordem: A excentricidade de segunda ordem é calculada a partir da expressão 29: 10 hke5e25)k2(he10hk e 11 2 111 22 1 2 0292,0 10 12,08375,0018,05018,025)8375,02(12,0018,01012,08375,0 e 222 2 Com 8375,0 3840 841 3840 1k 22 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 37 Cálculo da armadura: O valor encontrado para a excentricidade de segunda ordem é praticamente o mesmo do exemplo 5.3 com o processo do pilar padrão, e o valor da armadura é o já determinado, ou seja, 12 12,5mm (As = 15 cm2), que atende a quantidade mínima. 8.3. Cálculo de pilares centrais esbeltos Quando o índice de esbeltez está contido no intervalo de 90 a 140 diz-se que o pilar é esbelto. Não havendo variação de seção transversal e nem de armadura, o pilar pode ser calculado com o método do pilar padrão, porém agora com a curvatura real. Assim na direção da menor inércia atuarão as excentricidades e2 e ea ou e2 e e1,min. Além destas excentricidades será necessário também considerar a excentricidade devida a fluência. Neste caso parece lógico considerar como mais desfavorável a situação segundo o índice de esbeltez máximo, e aqui será feita apenas esta consideração. EXEMPLO 5 Calcular a armadura de um pilar de seção quadrada de lado 20 cm, comprimento equivalente de 6 m (pé direito duplo) e força normal de 200 kN. Admite-se que a qualidade do concreto a ser usado e o tipo de impermeabilização da superfície, além de um controle rigoroso de execução e classe ambiental I, permitam um cobrimento de 10 mm. Adota-se fck = 30MPa e aço CA-50. Considerar como 120 kN o valor da força normal permanente. Esbeltez do pilar: A esbeltez do pilar é dada por: 90104 20,0 0,646,3 12/bi e min e Tratando-se, portanto, de um pilar esbelto e o método de cálculo a empregar é o da curvatura real com diagramas acoplados. O fato do ábaco ser para d’/h = 0,10 obriga a um cobrimento pequeno, e daí a necessidade do uso de um concreto de melhor qualidade e mais resistente (menos poroso) e que receba um tratamento de impermeabilização. Excentricidade acidental: Apesar de não haver momento de primeira ordem aplicado ao pilar, deve-se considerar a excentricidade acidental devida à falta de retilineidade e de prumo com as expressões 13 e 14: 2 e 1a min1 100 1 Sendo: = 6,0 m (altura de um pavimento); 1min = 1/300 para imperfeições locais; 1máx = 1/200. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 38 Assim para a seção intermediária tem-se: m015,0 2 0,6 200 1ea Para a seção de extremidade o desaprumo é o dobro deste valor: ea = 0,03 m Por outro lado, a excentricidade não pode ser inferior ao valor mínimo dado pela expressão 10: m021,0)20,003,0015,0(b03,0015,0e mín,1 Excentricidade suplementar: Como se trata de pilar esbelto é preciso considerar também o efeito da fluência cuja excentricidade é dada pela expressão 16: 05,01718,2)015,00(1718,2e N M e Nsg963 1202 NN N a Sg Sg c Sge Sg Sendo: MSg = 0 (trata-se de pilar central e não há momento de carga permanente); NSg = 120 kN valor da força normal devida às ações permanentes; = 2 (valor adotado para o coeficiente de fluência); MPa2607130560085,0f560085,0E ckc ; kN963 6 10000.071.2610IE10N 2 4 2 e cc e . Efeito de segunda ordem: O efeito de segundo ordem já está incluído no ábaco a ser utilizado para determinar AS. Cálculo da armadura: Com as mesmas considerações do exemplo anterior e pilar com 20 cm de lado tem-se d’/b = (1+0,5+0,5)/20 = 0,1. Assim usa-se o ábaco da Figura 20, cujos valores de entrada são: 33,0 4,1 3000020,020,0 2004,1 fbb N cd d 043,033,0 20,0 005,0021,0 b e fbb eN 1 cd 2 1d 1 30 2,0 6 b e Com os valores de , e e/h resulta = 0,2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Pilares centrais de concreto armado – Roberto Chust Carvalho / Jasson Figueiredo Filho 39 Assim, a armadura é dada por: 2 yd cd s cm94,320,04,1500 15,1302020 f fbbA A taxa de armadura é: %1001,0 2020 94,3 A armadura mínima é dada por: %40,0%24,00024,033,0 5004,1 15,13015,0 f f 15,0 yd cd min %1%40,0min Dessa maneira pode-se usar ou 4 12,5 (5 cm2) ou 610 mm (4,8
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